2.6实数 教学详案

6　实　数
1.了解实数的概念和意义,并能按要求对实数进行分类.
2.了解实数与数轴上的点一一对应,知道实数的绝对值、相反数的意义,会求已知数的绝对值和相反数.
通过用类比的方法探索发现实数性质的过程,培养学生类比联想的能力,以及观察、分析、解决问题的能力.
通过介绍我国古代数学家祖冲之关于圆周率的研究成果,对学生进行爱国主义教育.
【重点】　实数的意义及分类.
【难点】
1.实数的分类.
2.把无理数在数轴上表示出来.
【教师准备】　预设学生在实数分类的过程中会遇到的困难.
【学生准备】　复习有理数和无理数的有关概念和性质.
导入一:
　　[过渡语]　现在复习一下有理数和无理数的有关知识.
(1)什么是有理数?有理数怎样分类?
(2)什么是无理数?带根号的数都是无理数吗?
[设计意图]　回顾以前学习过的内容,为进一步学习引入实数的概念做准备.学生主动思考并积极回答,通过相互补充完善,较为全面地复习了旧知识,通过对有理数分类的复习,使学生进一步明确了分类要按同一标准才能不重不漏.通过举例明确了无理数的表示形式,也为后续判断或者对实数进行分类提供了认知准备.
导入二:
如图所示,将两个边长为1的正方形分别沿它们
的一条对角线剪开,得到四个全等的等腰直角三角形,即可拼成一个大正方形.容易知道,这个大正方形的面积是2,所以大正方形的边长为.你能在数轴上找到表示的点吗?
一、实数的概念
1.把下列各数分别填入相应的集合内.
,,,π,-,, ,-,-, ,0,0.3737737773……(相邻两个3之间的7的个数逐次加1).
知识整理:有理数和无理数统称为实数,即实数可分为有理数和无理数.
[设计意图]　通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合,建立实数概念.学生动手填写,并进行小组交流讨论,对带根号的数是否是无理数有了进一步认识.
2.你能把上面各数填入下面相应的集合内吗?
无理数和有理数一样,也有正负之分.
　　[过渡语]　总结一下,实数可以怎样分类呢?
1.从符号考虑,实数可以分为正实数,0,负实数,即:
实数
2.另外从实数的概念也可以进行如下分类:
实数
[设计意图]　在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类.上面的数中有0,0不能放入上面的任何一个集合中,此处强调0是实数,但它既不是正数也不是负数,应单独作为一类.提醒学生分类可以有不同的方法,但要按同一标准分类才能不重不漏.让学生讨论回答,达成共识.
二、实数的相关概念
1.有理数a的相反数是什么?绝对值是什么?当a不为0时,它的倒数是什么?
2.的相反数是什么?的倒数是什么?,0,-π的绝对值分别是什么?
总结:在实数范围内,相反数、倒数和绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数和绝对值的意义完全一样.
[设计意图]　从复习入手,类比有理数中的相关概念,建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念,它们的意义和有理数范围内的意义是一致的.学生类比有理数的相关概念,体会到了实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义.
【想一想】　(1)a是一个实数,它的相反数为　　　　,绝对值为　　　　;?
(2)如果a≠0,那么它的倒数为　　　　.?
【知识整理】
(1)相反数:a与-a互为相反数;0的相反数仍是0.
(2)倒数:当a≠0时,a与互为倒数(0没有倒数).
(3)绝对值:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
即|a|=
[设计意图]　加深学生对相关概念的理解.学生在讨论交流中进一步掌握了实数的相反数、倒数、绝对值等知识.
三、实数的运算
　　[过渡语]　回忆有理数的运算法则和运算律,比较一下,在实数范围内,这些运算法则和运算律是否适用呢?
1.在有理数范围内,能进行哪些运算(如加、减、乘、除、乘方)?适用哪些运算律?
2.判断下列各式是否成立.
··;
···;
4+7=(4+7)=11.
总结:实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用.
[设计意图]　从复习入手,类比有理数的运算法则及运算律,得到有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.
四、实数与数轴上的点的一一对应关系
　　[过渡语]　我们知道有理数能用数轴上的点表示,那么实数呢?
【议一议】　(1)如图所示,OA=OB,数轴上点A对应的数是什么?它介于哪两个整数之间?
(2)你能在数轴上找到对应的点吗?与同伴进行交流.
【知识整理】
(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数与数轴上的点是一一对应的.
(2)在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
[知识拓展]　1.无理数是指无限不循环小数,并不是带根号的数都是无理数.
2.数的范围从有理数扩充到实数后,要注意有理数与无理数的区别.
1.在实数范围内,相反数、倒数和绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数和绝对值的意义完全一样.
2.实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用.
3.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数与数轴上的点是一一对应的.
4.在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
1.判断下列说法是否正确.
(1)无限小数都是无理数.
(2)无理数都是无限小数.
解:(1)不正确.　(2)正确.
2.求下列各数的相反数、倒数和绝对值.
(1);　(2);　(3) ;　(4) 2-.
解:(1)=-3,的相反数是3,倒数是-,绝对值是3.
(2)=5,的相反数是-5,倒数是,绝对值是5.
(3)的相反数是-,倒数是,绝对值是.
(4)2-的相反数是-(2-)=-2,倒数是,绝对值是2-.
6　实　数
1.实数的概念.
2.实数的相关概念.
3.实数的运算.
4.实数与数轴上的点的一一对应关系.
一、教材作业
【必做题】
教材第39页随堂练习第1,3题,第40页习题2.8第1,2,3.
【选做题】
教材第40页习题2.8第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法不正确的是 (　　)
A.有理数和无理数统称为实数
B.无理数是无限不循环小数
C.无理数包括正无理数、零、负无理数
D.无理数都可以用数轴上的点来表示
2.-的倒数是 (　　)
A.-　　　B.-　　　C.　　　D.
3.下列各组数中,互为相反数的是 (　　)
A.-2与- B.|-2|与2
C.-2与 D.-2与
4.把下列各数分别填在相应的集合里.
-,0 ,0.16 ,3 ,0.15,,-,, ,3.1415 ,-0.78 ,- .
有理数集合{　　　　　　　　　　　　　…};
无理数集合{　　　　　　　　　　　　　…};
正实数集合{　　　　　　　　　　　　　…};
负实数集合{　　　　　　　　　　　　　…}.
【能力提升】
5.如图所示,以数轴的单位长度为边长作一个正方形,以表示2的点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴于点A,则点A表示的数是 (　　)
A.- B.2-
C.1- D.-2
6.一个等腰直角三角形的三角板沿着数轴正方向向前滚动,起始位置如图所示,顶点C和A在数轴上的位置表示的实数分别为-1和1.那么当顶点C下一次落在数轴上时,所在的位置表示的实数是　　　　.?
7.在数轴上作出和-对应的点.
【拓展探究】
8.如图所示,已知A,B,C三点分别对应数轴上的数a,b,c.
(1)化简|a-b|+|c-b|+|c-a|;
(2)若a=,b=-z2,c=-4mn,且满足x与y互为相反数,z是绝对值最小的负整数,m,n互为倒数,试求98a+99b+100c的值;
(3)在(2)的条件下,在数轴上找一点D,到点A,C的距离之和为10,且点D表示整数,并求出所有这些整数的和.
【答案与解析】
1.C
2.B
3.C
4.有理数集合-,0 ,0.16 ,3 ,0.15 , ,3.1415,-0.78 ,…;无理数集合 ,- , , - , … ;正实数集合0.16 ,3 ,0.15 ,,,3.1415 ,…;负实数集合- ,- , , -0.78 ,- ,… .
5.B(解析: 由勾股定理得正方形的对角线长为,设点A表示的数为x,则2-x=,解得x=2-.故选B.)
6.3+2(解析: 在等腰直角三角形ABC中,AC=CB=2,根据勾股定理可以得到AB=2,则当顶点C下一次落在数轴上时,所在的位置表示的实
数是3+2.故填3+2.)
7.解:如图所示,点C是对应的点,点G是-对应的点.
8.解:(1)由数轴可知:a-b>0,c-b<0,c-a<0,所以原式=(a-b)-(c-b)-(c-a)=a-b-c+b-c+a=2a-2c.　(2)由题意可知x+y=0,z=-1,mn=1,所以a=0,b=-(-1)2=-1,c=-4,∴98a+99b+100c=-99-400=-499.　(3)满足条件的点D表示的整数为-7或3,它们的和为-4.
本节课作为有理数的扩张,关注前后知识之间的内在联系,关注运用类比的思想学习新的知识,这样学生比较容易接受.
八年级的学生的认知状况不同,这种借助类比思想学习实数的有关知识,对有些学生来说比较困难,因为这样的设计使课堂容量增大不少.
根据学生的认知状况,借助类比学习实数的有关知识,如果学生整体认知水平较高,教学过程可以更加开放,在讨论了实数的两个分类标准之后,引导学生尝试自主地进行实数的分类,再进行交流.
随堂练习(教材第39页)
1.解:(1)不正确.　(2)正确.　(3)不正确.
2.解:(1)的相反数是-,倒数是,绝对值是.　(2)的相反数是2,倒数是-,绝对值是2.　(3)的相反数是-7,倒数是,绝对值是7.
3.解:如图所示.
习题2.8(教材第40页)
1.(1)7.5,4,,,0.31,0.　(2) ,　,-π　(3)7.5, ,4,　,,0.31,0.　(4),-π
2.解:(1)-3.8,,3.8.　(2),-,.
(3)π,-,π.　(4)-,,.　(5)-,,.
3.解:如图所示,点A就是-对应的点.
4.解:如图所示,ΔABC为钝角三角形,且面积为3,AB=AC=,BC=6.(答案不唯一)
　-的绝对值是 (　　)
A.　　　　　　　B.-
C. D. -
〔解析〕　|-|=.故选A.
　如图所示,数轴上A,B两点表示的数分别为和5.1,则A,B两点之间表示整数的点共有 (　　)
A.6个 B.5个
　　C.4个 D.3个
〔解析〕　因为1<<2,5<5.1<6,所以A,B两点之间表示整数的点所对应的数为2,3,4,5,共有4个.故选C.
[解题策略]　根据数轴的特点把数和点对应起来,也就是把“数”和“形”结合起来,二者互相补充,相辅相成,在学习中要注意数形结合思想的应用.
　如图所示,正方形ODBC中,OC=1,OA=OB,则数轴上点A表示的数是　　　　.?
〔解析〕　因为OB=,所以OA=OB=,因为点A在数轴上原点的左边,所以点A表示的数是-.故填-.