2.7二次根式（3课时教学详案）

7　二次根式
1.了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式.
2.探究并掌握二次根式的性质.
3.会进行二次根式(根号下仅限于数)的简单四则运算,并解决简单的实际问题.
1.从具体实例出发,通过类比把有理数的运算律推广到实数范围.
2.从具体实例出发,归纳出无理数的运算律.
3.通过例题和练习,熟悉和巩固无理数的运算律.
发展学生的运算技能,关注解决问题方式的多样性,提高学生应用法则的灵活性和解决问题的能力.
【重点】　利用化简对实数进行简单的四则运算.
【难点】　掌握有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
第课时
1.了解二次根式和最简二次根式的概念.
2.探究二次根式的性质,并能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.
在探究二次根式性质的基础上,能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.
在探究二次根式性质的过程中,体会由特殊到一般的数学思想.
【重点】　利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.
【难点】　利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.
【教师准备】　预设学习过程中学生会遇到的问题.
【学生准备】　复习平方根和开平方的概念,计算器的使用.
导入一:
问题1
,,, ,(其中b=24,c=25),上述式子有什么共同特征?
【问题解决】　都含有开平方运算,并且被开方数都是非负数.
二次根式的定义:一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数.
强调条件:a≥0.
问题2
二次根式有哪些性质呢?
这是我们本节课要解决的新问题.
[设计意图]　通过问题,回顾旧知识,为学习新知识打好基础.
导入二:
电视塔高h km,电视节目信号的传播半径为r km,则它们之间存在近似关系r=,其中R是地球半径,R≈6400 km.若某个电视塔高为200 km,你能求出从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少吗?
【问题探究】　由于R≈6400 km,h=200 km,所以r=.那么如何快速计算呢?
一、活动探究
【做一做】
(1)计算下列各式,你能得到什么猜想?
=　　　　,=　　　　;?
=　　　　,=　　　　;?
=　　　　,=　　　　.?
(2)根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证,并与同伴进行交流.
与, 与.
问题1
观察上面的结果,你得出什么结论?
问题2
从上面得出的结论中,你发现了什么规律?能用字母表示这个规律吗?
【问题解决】　·(a≥0,b≥0), (a≥0, b>0).
积的算数平方根,等于算数平方根的积;
商的算数平方根,等于算数平方根的商.
[设计意图]　最终归纳出·(a≥0,b≥0), (a≥0, b>0).
说明:公式中字母a≥0,b≥0(或b>0)这一条件是公式的一部分,不可忽略.
二、例题讲解
　化简.
(1);
(2);
(3) .
〔解析〕　直接运用两个公式·(a≥0,b≥0), (a≥0, b>0)进行计算.
解:(1)=9×8=72.
(2)=5.
(3) .
观察:化简以后的结果中的被开方数又有什么特征?
[设计意图]　由于现在还没有最简二次根式的概念,学生实际上并不知道化简的方向,因此这里以例题的形式呈现了有关结论.
例1的化简结果5,中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.
　化简.
(1);　(2) ;　(3) .
解:(1)=5.
(2) .
(3) .
[设计意图]　例2是在学习了最简二次根式之后设计的,旨在学生能分辨出哪些是最简的,哪些不是最简的,然后利用所学公式灵活的化为最简二次根式.
【议一议】　(1)你是怎么发现的被开方数含有开得尽方的因数的?你是怎么判断是最简二次根式的?
(2)将二次根式化成最简二次根式时,你有哪些经验与体会?与同伴进行交流.
策略:对于较大的数,我们一般采取小学学过的短除法的形式来判断,如50=2×5×5,从而发现含有开得尽方的因数,14=2×7,故判断是最简二次根式.
说明:含有根号的数与一个不含根号的数相乘,一般把不含根号的数写在前面,并省略乘号.
反思:以上化简过程的规律是:根号里面的数有一部分移到了根号外面,具体来说是能开得尽方的因数,开方后写到了根号外面.从而明确:被开方数若有开得尽方的因数,一般需要进行化简.
[知识拓展]　对于二次根式应注意以下几点:
(1)二次根式从形式上看,必须含有二次根号“”.
(2)在二次根式中,字母a必须满足a≥0,即被开方数必须是非负数,这是定义的一个重要组成部分,不可省略,因为负数没有平方根,所以当a<0时,没有意义.
(3)在二次根式中,被开方数a可以是数,也可以是代数式,如,(x≥y),等都是二次根式.
(4)二次根式(a≥0)是非负数a的算术平方根,即(a≥0)是非负数,也就是说,式子包含两个非负数:①被开方数a,即a≥0(这是使有意义的条件);②本身,≥0(这是由算术平方根的意义所决定的).
(5)书写二次根式时不能写成2的形式,也就是说,当根号前的系数是带分数时,要改写成假分数,这和代数式的书写要求是一致的.
(6)要使有意义,则被开方数ab≥0,因此a与b同号或至少有一个为零.
(7)如果一个二次根式的被开方数中的因数或因式是完全平方数或完全平方式,则可以利用性质·(a≥0,b≥0)及=a(a≥0)将这些因数(式)开出来,从而将二次根式化简.
掌握并会运用公式·(a≥0,b≥0), (a≥0,b>0).
1.化简.
(1);　(2) ;　(3) .
解:(1)=3×=3.
(2) .
(3).
2.下列式子中,属于最简二次根式的是 (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
解析:A. =3,C. = 2,D. = .故选B.
3.一个直角三角形的两边长为4和5 ,则另一边长是多少?
解:当另一边为斜边时,其边长为,当另一边为直角边时,其边长为=3.故边长为或3.
第1课时
1.·(a≥0,b≥0), (a≥0,b>0).
2.最简二次根式.
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第64页随堂练习.
【选做题】
教材第65页习题2.9第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.化简下列各式.
(1);　(2);
(3) ;　(4).
2.化简的结果是　　　　.?
3.若是整数,则正整数n的最小值为　　　　.?
【能力提升】
4.下列二次根式中, 已经化成最简二次根式的是 (　　)
A. B.
C.2 D.
5.如图所示,长方形内相邻两正方形的面积分别为2和4,求长方形内阴影部分的面积.
【拓展探究】
6.观察下列各式:
= = =2 ;
= = =3 ……
猜想 等于多少,并通过计算验证你的猜想.
【答案与解析】
1.解:(1)=2×6=12.　(2)=5.　(3) .　(4).
2.3(解析:=3.)
3.5(解析:,所以n的最小值为5.)
4.C(解析:根据最简二次根式的定义可得.)
5.解:由题意,得AB=2,BE=CD=,所以阴影部分的面积=BE×(AB-CD)=·(2-)=2-2.
6.解: =5 .验证: = =5.
本节课经历从具体实例到一般规律的探究过程,运用类比的方法,得出实数运算律和运算法则,使学生清楚新旧知识的区别和联系.
本节课对运算技能要求略高.根据新课标精神,对学生不能过分要求技巧,应关注学生对运算法则的理解,能否根据问题的特点,选择合理、简便的算法,能否依据算理正确地进行计算,能否确认结果的合理性等,对于较复杂的实数运算,应关注学生是否会使用计算器进行运算.
教学设计中要考虑学生的层次不同,对知识深度和广度的要求也有所不同,因此,增加知识拓展的内容,供层次高一些的学生及班级选用.
随堂练习(教材第42页)
解:(1)=4.　 (2)=6.　(3).　(4).　(5).
习题2.9(教材第43页)
1.解:(1)=3×7=21.　(2)=4.　(3).　(4)=3.　(5)=3.　(6).　(7).　(8).
2.解:由勾股定理得另一条直角边的长==5(cm).
3.解:面积为8的正方形的边长为,面积为2的正方形的边长为.由图形可以看出面积为8的正方形的边长是面积为2的正方形的边长的2倍,所以有=2.
4.解:如图所示.线段AB的长等于,理由:因为AC=4,BC=2,所以AB=.
如何快速而准确地将二次根式化成最简二次根式?可分为以下两种情况考虑.
(1)若被开方数是整数并且比较大时,可用小学学过的“短除法”先将被开方数分解成若干个因数的乘积,两个相同的因数开出一个因数,如化简,由于1080=2×2×2×3×3×3×5=22×32×2×3×5,所以=2×3×=6.
(2)若被开方数是分数,且分母是质数,则利用分数的基本性质将分子、分母同时乘以分母,如化简 ;若被开方数是分数,且分母不是质数,则先将分母分解因数,再考虑分子、分母同乘以几,如化简 .
　观察下列各个二次根式:
①,②,③,④……
(1)求①,②,③,④的值;
(2)仿照①,②,③,④写出第⑤个二次根式;
(3)仿照①,②,③,④,⑤写出第n个二次根式,并化简.
〔解析〕　(1)根据二次根式的性质进行计算即可;(2)根据(1)中的规律写出第⑤个二次根式即可;(3)根据(1)中的规律,用字母表示第n个二次根式,并化简.
解:(1)①原式==3;②原式==15;
③原式==35;④原式==63.
(2)第⑤个二次根式为.
(3)第n个二次根式为(n≥1,且n为整数).
=(2n-1)(2n+1)(n≥1,且n为整数).
第课时
1.经历二次根式的运算法则的探索过程,了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
2.会进行二次根式简单的四则运算.
1.从具体实例出发,通过类比把有理数的运算律推广到实数范围.
2.通过例题和练习,熟悉和巩固无理数的运算律.
在探究与合作活动中,发展探究能力和合作意识,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
【重点】　会进行二次根式简单的四则运算.
【难点】　正确应用二次根式的运算法则进行四则运算.
【教师准备】　预想学生构建知识体系遇到的困难.
【学生准备】　复习二次根式的性质.
导入一:
　　[过渡语]　前面学习了二次根式的性质,我们复习一下.
【问题】　二次根式的性质是什么?用公式如何表示?
【问题解决】
积的算数平方根,等于算数平方根的积.
商的算数平方根,等于算数平方根的商.
·(a≥0,b≥0), (a≥0, b>0).
[设计意图]　借助复习,在巩固旧知识的同时,导入新课.
导入二:
装风筝的包装盒是一个底为正方形的长方体盒子,正方形的边长为30 cm,长方体盒子的高为5 cm,长方体盒子在包装时需用彩带沿正方形的对角线进行包装,则所需要彩带的长度最少是多少厘米?
【问题】　由于长方体盒子要用彩带沿正方形的对角线进行包装,所以彩带的长最少应为4×(对角线长+高),而正方形对角线的长可以根据勾股定理求得,即,那么如何计算4(+5)呢?
一、活动探究
思路一
　　[过渡语]　将上节课探究的公式·(a≥0,b≥0), (a≥0, b>0)等号的左边与右边对换,可以得到二次根式的乘法法则和除法法则:
·(a≥0,b≥0),= (a≥0,b>0).
思路二
计算下列各式,你能得到什么猜想?
=　　　　,=　　　　;?
=　　　　, =　　　　.?
=4×5=20,=20,所以.
, ,所以= .
我们可以得到二次根式的乘法法则和除法法则:
·(a≥0,b≥0),= (a≥0,b>0).
二、例题讲解
(教材例3)计算.
(1)× ;　(2);　(3).
〔解析〕　常常要把被开方数的分子与分母同时乘以一个适当的数,使得分母成为一个平方数,然后把分母开出来.
解:(1)× = =2.
(2)= =3.
(3)= = .
(教材例4)计算.
(1)3×2;
(2)-5;
(3);
(4)(+3)(-3);
(5);
(6).
〔解析〕　二次根式也可以进行加减运算,以前学过的有理数的运算法则、运算律仍然适用.当然,如果运算结果中出现某些项,它们各自化简后的被开方数相同,那么应该将这些项合并.第(3)(4)题要用到乘法公式中的完全平方公式和平方差公式.
解:(1)3×2=3×2×=6.
(2)-5=-5=-5=6-5=1.
(3)(+1)2=()2+2+1=5+2+1=6+2.
(4)(+3)(-3)=-32=4.
(5)- -=6-1=5.
(6)=2+3=5.
[设计意图]　从本例开始,正式进行二次根式的加、减、乘、除运算,设计时注意了题目的梯度.本例侧重于乘、除运算,只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用(如交换律、结合律、分配律、乘法公式等)了.教学中,注意体会这些题目之间的层次性,教学中务必循序渐进地开展相关技能训练,让更多的学生感受到成功的喜悦.
(教材例5)计算.
(1);
(2)- ;
(3).
〔解析〕　把二次根式化为最简二次根式,能合并的要合并.
解:(1)=4=5.
(2)- - --.
(3)= =2+3=5.
[知识拓展]　1.二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.
2.在·中,a,b必须满足a≥0,b≥0,否则,就没有意义.
3.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式相乘的运算,如··(x≥0,y≥0,z≥0).
4.二次根式的除法法则中被开方数的取值范围:由于b为分母,因此被开方数a,b的取值范围分别是a≥0,b>0.
5.二次根式的除法法则中的a,b既可以是数,也可以是代数式.
6.在运算中应注意约分要彻底.
二次根式的乘法法则和除法法则:
·(a≥0,b≥0),(a≥0,b>0).
二次根式也可以进行加减运算,实数的运算法则、运算律仍然适用.
1.化简.
(1)× ;　(2);
(3)2;　(4) -;
(5)3-- ;　(6)(-)2.
解:(1)× .
(2)= .
(3)2=2=2×=2×2×+4×=4+4=8.
(4) ---+5-4.
(5) 3-- =3--=3×--=6-3-.
(6)(-)2=()2-2·+()2=6-2+2=8-4.
2.化简.
(1) 7-;　(2) ;
(3) ;　(4)()(-).
解:(1) 7-= 7-.
(2) 　= =5.
(3) 　= =3.
(4)()(-)=()2-()2=5-3=2.
第2课时
二次根式的乘法法则和除法法则:
·(a≥0,b≥0),= (a≥0,b>0).
例3
例4
例5
一、教材作业
【必做题】
教材第45页随堂练习.
【选做题】
教材第46页习题2.10第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.化简× 的结果是 (　　)
A.　　　B.2　　　C.　　　D.
2.下列计算错误的是 (　　)
A. B.
C.=2 D.=2
3.化简 =　　　　;=　　　　.?
4.化简.
(1) × ;
(2) (1-)(1+).
5.计算.
(1)3;
(2);
(3) .
【能力提升】
6.化简()2014(-)2015.
【拓展探究】
7.x=,y=-,求-(x+y).
【答案与解析】
1.B
2.B
3.2　9
4.解:(1) × = =2.　(2)(1-)(1+)=12-=1-6=-5.
5.解:(1)3=9.　(2)=2.　(3) .
6.解:()2014(-)2015=-.
7.解:-(x+y)==-.
本节课推导出二次根式的乘法法则和除法法则,通过不同形式的练习,学生掌握较好,理解了法则,并会应用法则进行计算.
本节课的教学设计中未考虑学生的层次不同,对知识的要求也不同.
增加知识拓展的内容,供层次高一些的学生及班级选用.
随堂练习(教材第45页)
1.解:(1)原式=　=　.　(2)原式==2.　(3)原式=2+2--3=-1.　(4)原式=(2)2-4+1=13-4.
(5)原式=+1=10.　(6)原式=-=1.
(7)原式=3-5=-2.　(8)原式=2-=-.
2.解:(1)不正确.　(2)不正确.　(3)不正确.
习题2.10(教材第45页)
1.提示:(1)1.　(2)3.　(3)7+2.　(4)-1.　(5)-1.　(6)-14.　(7).　(8).
2.解:(1)两个有理数相加、相减、相乘、相除,结果一定是有理数.　(2)两个无理数相加、相减、相乘、相除,结果不一定是无理数.如(1+)+(1-)=2,-=0,(+1)(-1)=4,=1,结果都是有理数.
3.解:SΔABC=3×4-×2×4-×3×1-×3×1=5.
4.解:≈=1.2245.
　同学们,我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2,你一定熟练掌握了吧!现在,我们又学习了二次根式,那么所有的非负数都可以看做是一个数的平方,如3=()2,5=()2.
先阅读理解,再回答问题.
(-1)2=()2-2·1·+12=2-2+1=3-2,
反之,3-2=2-2+1=(-1)2,
所以3-2=(-1)2,
所以-1.
(1)求 ;
(2)求 ;
(3)你会算吗?
(4)若,则m,n与a,b的关系是什么?并说明理由.
解:(1)+1.
(2)+1.
(3)-1.
(4)由,得a±2=m+n±2,则a=m+n,b=mn.
第课时
进一步理解二次根式的概念,进一步熟练二次根式的化简.
利用二次根式的化简解决简单的数学问题,通过独立思考,能选择合理的方法解决问题.
在运算过程中巩固知识,通过与他人交流总结方法.
【重点】　利用二次根式的化简,解决简单的数学问题.
【难点】　根号内含有字母的二次根式的化简.
【教师准备】　教具(方格纸等).
【学生准备】　复习二次根式的性质和运算法则.
导入一:
(1)说一说什么是最简二次根式.
(2)二次根式化简过程中,你有哪些体会?
(3)上节课课后作业:已知≈1.414,≈1.732,≈2.449,计算.你是怎样解决的?
　　[设计意图]　借助复习,在巩固旧知识的同时,导入新课.
导入二:
在七年级学习有理数的时候,我们学过混合运算,二次根式也同有理数一样,能够进行混合运算,运算顺序和有理数一样,先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号内的,下面我们通过几个例题,来感受一下.
例题讲解
(教材例6)计算.
(1) -;
(2)-;
(3);
(4) -.
〔解析〕　二次根式也有混合运算,运算顺序和有理数一样,结果要化为最简二次根式.
解:(1) - = - -.
(2)--=3-2.
(3)- ---=2-.
(4) -= -+3-3=-+3.
说明:可以放手让学生独立完成,然后通过交流,发现问题,给出意见.
　　[过渡语]　下面我们来解决一个实际问题.
【做一做】　如图所示,图中小正方形的边长为1,试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法?与同伴进行交流.
(1)直接求法.
过点D作AB边上的高DE,可发现边AB,DC及DE都是某一个直角三角形的斜边.根据勾股定理可求得AB=5, CD=,DE=3,梯形ABCD的面积是×(5)×3=18.
(2)间接求法(割补法).
将梯形ABCD补成一个5×7的长方形,用长方形的面积减去3个小三角形的面积,得梯形ABCD的面积是5×7-×5×5-×4×2-×1×1=18.
[知识拓展]　二次根式的混合运算几种主要的题型分别是什么?
(1)()(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0)型,运用分配律化简.
(2)()()型,可类比多项式乘多项式进行计算,即()()=(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0).
(3)()(-)型,即()(-)=-=a-b(a≥0,b≥0),运用平方差公式.
(4)型,即=a±2+b(a≥0,b≥0),运用完全平方公式.
(5)()÷(-)型,要进行分母有理化,即()÷(-)=(a≥0,b≥0,且a≠b).
在进行二次根式的混合运算时,应注意以下几点:
(1)二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样,先算乘方,后算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.
(2)在运算过程中,每个二次根式都可以看做一个“单项式”,多个不同的二次根式可以看做“多项式”,因此有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.
(3)二次根式的混合运算的结果应写成最简形式,这个形式应该是最简二次根式,或几个非同类二次根式的和或差,或有理式.
1.化简.
(1)(2+3)(2-3);　(2)(-)2;　(3)(-1)÷(+1).
解:(1)(2+3)(2-3)=(2)2-32=12-9=3.
(2)(-)2=()2-2+()2=3x-2+y.
(3)(-1)÷(+1)
=
=
=2-2+1=3-2.
2.计算.
(1)+4 -(-);
(2).
解:(1)+4 -(-)=2+2-(-)=2+2-+3.
(2)　= =2+.
【方法归纳】　在计算过程中,注意在有理数中学到的公式法则,在二次根式的运算中同样适用.比如平方差公式、完全平方公式.
第3课时
教材例6.
做一做.
一、教材作业
【必做题】
教材第47页随堂练习.
【选做题】
教材第48页习题2.11第2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列运算中错误的是 (　　)
A.　　　B.
C.2+3=5 D.-
2.化简.
(1)- 4;
(2)(-2)×-6 .
【能力提升】
3.长方形的长和宽分别为3 cm,2 cm,这个长方形的面积是　　　　.?
4.三角形的三边长分别是 cm, cm, cm,这个三角形的周长是　　　　.?
5.直角三角形的两直角边长分别是 cm, cm,这个直角三角形的斜边长是　　　　.?
6.已知a=,b=,求的值.
7.化简.
8.解下列方程.
(1)(x+1)=(x-1);
(2)x+1=x.
【拓展探究】
9.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,求 -的值.
【答案与解析】
1.D(解析:=|-|=-.)
2.解:(1)原式=-4=-4=.　(2)原式=3-6-3=-6.
3.30 cm2(解析:3×2=30(cm2).)
4.(5+2)cm(解析:=5+2(cm).)
5. cm(解析: (cm).)
6.解:.
7.解:=-3-2.
8.提示:(1)x=13+2.　(2)x=.
9.解:因为a,b互为相反数,c,d互为倒数,所以a+b=0,cd=1,所以--1=0-1=-1.
本节课主要学习二次根式的混合运算,通过练习,使学生掌握计算方法和运算技巧,能够灵活运用.
本节还涉及根号内含有字母的二次根式的化
简,仍然要求化成最简二次根式.这部分内容对学生的要求较高,基础不好的学生掌握得不好.
习题可以分层次布置,以满足不同层次的学生的需要.
随堂练习(教材第47页)
解:(1)原式=-.　(2)原式=2-.　(3)原式=-=10.　(4)原式=10+2-3=7+2.
习题2.11(教材第48页)
1.提示:(1).　(2)-.　(3).　(4)+4.
2.解:因为AB==5,BC==2,CD=,AD=6,所以梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2+6+6.
3.解:=2ab.
4.解:=2-,.
复习题(教材第49页)
1.(1) ,0.3,,,0.5757757775…(相邻两个5之间7的个数逐次加1)　(2)-,　(3)-,0.3,,,0　(4) ,,0.5757757775…(相邻两个5之间7的个数逐次加1)
2.提示:(1)±1.5,1.5.　(2)±19,19.　(3)±,.　(4)±10-2,10-2.
3.提示:(1)-8.　(2)0.2.　(3)-.　(4)102.
4.提示:(1).　(2)0.5.　(3)-.　(4)-1.　(5)-.　(6)-10-2.
5.提示:(1)8.66.　(2)-5.37.　(3)2.49.　(4)10.48.　(5)-89.44.
6.提示:(1)6.6.　(2)4.
7.提示:(1)|-1.5|<1..　(2)-<1.414.　(3).
8.提示:(1)1.　(2)5.　(3)1.　(4)16.　(5)-.　(6).
9.解:(1)=　=4.　(2)=　=2.
10.解:(1)点A表示-.　(2)->-2.5.
11.解:面积为×2×1=1.周长为2+2≈4.83.
13.解:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根分别为:±1,±,±,±2,±,±,±,±2,±3,±,立方根分别为:1,,,,,,,2,,.有理数有:±1,±2,±3,1,2.无理数有:±,±,±,±,±,±2,±,,,,,,,,.
14.(1)0,1　(2)0　(3)0,1　(4)0,±1　(5)1,2,3
(6)-1,0,1,2
15.(1)?　(2)?
16.解:不对,如无理数π,0.101001000100001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
17.解:按如图(1)所示剪开,拼成的正方形如图(2)所示,边长为.

18.解:设正方形的边长为x cm,则x2=π,x= ≈1.77.答:正方形的边长约是1.77 cm.
19.解:设此木箱的棱长为x m.x3=4,x=≈1.6.答:此木箱的棱长约为1.6 m.
20.解:πr3=9850,r=≈13.3(cm).
21.解:设长方形的长为5x cm,宽为3x cm,34x2=68,x2=2,x=.故长约为7.1 cm,宽约为4.2 cm.
22.解:(1)因为p=×(5+6+7)=9,所以S==6,S==
=6.　(2)因为p=×(),所以S=·.因为a=,b=,c=,所以a2=5,b2=6,c2=7,所以S=.
23.解:T=2π≈1.42(s).≈42(次).
24.解:v=16≈78.4(km/h).
25.解:因为P=,所以R=,当U=150 V时,R==15(Ω);当U=170 V时,R=≈19.3(Ω).所以15 Ω26.解:遮雨棚高为50+100≈223.2(cm).答:遮雨棚的高起码要223.2 cm.
　问题:在ΔABC中,AB,BC,AC三边的长分别为,,,求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点三角形ABC(即ΔABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图①所示,这样不需要求ΔABC的高,而借助网格就能计算出它的面积.
(1)ΔABC的面积为　　　　;?
(2)我们把上述求ΔABC的面积的方法叫做构图法,若ΔABC三边的长分别为a,2a,a(a>0),请你在图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)上画出对应的ΔABC,并求出它的面积;
(3)若ΔABC三边的长分别为,,2(m>0,n>0且m≠n),试运用构图法求出这个三角形的面积.
解:(1)
(2)a可看做两直角边长为4a和a的直角三角形的斜边长,同理,a,2a也分别为某个直角三角形的斜边长,画出ΔABC如图③所示(位置不唯一),SΔABC=2a×4a-×a×2a-×2a×2a-a×4a=3a2.
(3)构造ΔABC如图④所示, SΔABC=3m×4n-×m×4n-×3m×2n-×2m×2n=5mn.