第三章 数系的扩充与复数的引入
章末质量评估检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．21教育网
1．复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．i
解析：z＝i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0.
答案：B
2．i是虚数单位，复数在复平面上的对应点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：＝＝＝－i，对应点为，位于第四象限．
答案：D
3．i是虚数单位，则的虚部是( )
A.i B．－i C. D．－
解析：＝＋i，故选C.
答案：C
4．已知i为虚数单位，则复数i(1＋i)的模等于( )
A. B. C. D．2
解析：|i(1＋i)|＝|－1＋i|＝＝.
答案：C
5．复数2的共轭复数是( )
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
解析：2＝＝＝－3＋4i，所以2的共轭复数为－3－4i.
答案：A
6．已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
③若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数．
其中正确的命题有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：根据复数的有关概念判断命题的真假：①是假命题，因为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数；
②是假命题，因为由纯虚数的条件得解得x＝2，当x＝－2时，对应的复数为实数；③是假命题，因为没强调a，b∈R.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：A
7．如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，则b等于( )
A. B. C．－ D．2
解析：＝＝＝＋i，
据题意有＝－，解得b＝－.
答案：C
8．设复数z1＝1－i，z2＝＋i，其中i为虚数单位，则的虚部为( )
A.i B.
C.i D.
解析：＝＝＝＋i，虚部为.
答案：D
9．已知复数z满足(1＋2i3)z＝1＋2i，则z等于( )
A．－＋i B.＋i
C．－－i D.－i
解析：z＝＝＝＝＝－＋i.
答案：A
10．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“a＝1”是“点M在第四象限”的( )www-2-1-cnjy-com
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：z＝(a－2i)(1＋i)＝(a＋2)＋(a－2)i，则点M的坐标为(a＋2，a－2)，当a＝1时，坐标为(3，－1)，即点M在第四象限，若点M在第四象限，而a＝1却不一定成立，故“a＝1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件．21*cnjy*com
答案：A
11．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－ C．4 D.
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3－4i)z＝(3－4i)(a＋bi)＝5，化简得3a＋4b＋(3b－4a)i＝5，所以解得即z＝＋i，所以z的虚部为.
答案：D
12．若z＝cosθ－isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的一个θ值是( )
A．0 B. C．π D．2π
解析：因为z2＝(cosθ－isinθ)2＝cos2θ－isin2θ，又z2＝－1，所以再由选择项验证得θ＝.21cnjy.com
答案：B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z＝1＋i，则－z＝__________.
解析：－z＝－1－i＝×－1－i＝－2i.
答案：－2i
14．若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·＋z＝__________.
解析：因为z＝1－2i，所以z·＝|z|2＝5，所以z·＋z＝6－2i.
答案：6－2i
15．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝__________.2-1-c-n-j-y
解析：根据复数的几何意义，z1＝2－3i与z2＝－2＋3i对应的点关于原点对称．
答案：－2＋3i
16．设z2＝z1－i(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．【来源：21cnj*y.co*m】
解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a＋bi)－i(a－bi)＝(a＋bi)－(b＋ai)＝(a－b)＋(b－a)i，因为z2的实部是－1，所以a－b＝－1，所以虚部b－a＝1.
答案：1
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是3＋i，向量对应的复数是－2－4i，向量对应的复数是－4－i，求B点对应的复数．
解析：因为向量对应的复数是－2－4i，向量对应的复数是－4－i，所以表示的复数是(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，故＝＋对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，所以B点对应的复数为5－2i.21世纪教育网版权所有
18．(本小题满分12分)已知虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋＜0，求z.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)，所以x2＋y2＝1，
则z2＋2z＋＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋
＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.
因为z2＋2z＋＜0且y≠0，
所以又x2＋y2＝1，
解得故z＝－±i.
19．(本小题满分12分)设复数z＝1＋i，且＝1－i，求实数a，b的值．
解析：因为z＝1＋i，所以z2＋az＋b＝(a＋2)i＋a＋b，z2－z＋1＝i，所以＝＝(a＋2)－(a＋b)i.又＝1－i，所以解得www.21-cn-jy.com
20．(本小题满分12分)已知复数z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i，x，a∈R，且a为常数，试求|z|的最小值g(a)的表达式．21·世纪*教育网
解析：|z|2＝(2x＋a)2＋(2－x＋a)2
＝22x＋2－2x＋2a(2x＋2－x)＋2a2，
令t＝2x＋2－x，则t≥2，且22x＋2－2x＝t2－2，
从而|z|2＝t2＋2at＋2a2－2＝(t＋a)2＋a2－2.
当－a≥2，即a≤－2时，g(a)＝；
当－a＜2，即a＞－2时，
g(a)＝＝|a＋1|.
综上可知，g(a)＝
21．(本小题满分12分)设复数z1＝(a2－4sin2θ)＋(1＋2cosθ)i，a∈R，θ∈(0，π)，z2在复平面内对应的点在第一象限，且z＝－3＋4i，21·cn·jy·com
(1)求z2及|z2|.
(2)若z1＝z2，求θ与a的值．
解析：(1)设z2＝m＋ni(m，n∈R)，则
z＝(m＋ni)2＝m2－n2＋2mni＝－3＋4i，
即解得或
所以z2＝1＋2i，或z2＝－1－2i.
又因为z2在复平面内对应的点在第一象限，所以z2＝－1－2i应舍去，故z2＝1＋2i，|z2|＝.2·1·c·n·j·y
(2)由(1)知(a2－4sin2θ)＋(1＋2cosθ)i＝1＋2i，即解得cosθ＝，
因为θ∈(0，π)，所以θ＝，
所以a2＝1＋4sin2θ＝1＋4×＝4，a＝±2.
综上，θ＝，a＝±2.
22．(本小题满分12分)设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
解析：(1)设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，还可得z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是.
(2)ω＝＝＝
＝－i.
因为a∈，b≠0，所以ω为纯虚数．
课时作业(二十一) 复数的几何意义
A组 基础巩固
1．与x轴同方向的单位向量e1与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是( )
A．e1对应实数1，e2对应虚数i
B．e1对应虚数i，e2对应虚数i
C．e1对应实数1，e2对应虚数－i
D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i
解析：e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
答案：A
2．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在( )21cnjy.com
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，∴解得∴复数1＋2i所对应的点在第一象限．
答案：A
3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是( )
A．－1＜a＜1 B．a＞1
C．a＞0 D．a＜－1或a＞0
解析：依题意由＜，解得－1＜a＜1.
答案：A
4．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
解析：由点Z在虚轴上可知，点Z对应的复数是纯虚数和0，∴a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0.
答案：D
5．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．1 个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
解析：由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝－1就舍去．21世纪教育网版权所有
答案：A
6．复数z＝1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
解析：|z|＝＝＝＝2.∵π＜α＜2π，∴＜＜π，cos＜0，于是|z|＝－2cos.21教育网
答案：B
7．若复数z＝sin2α－i(1－cos2α)是纯虚数，则α＝__________.
解析：??2α＝(2k＋1)π，∴α＝kπ＋(k∈Z)．
答案：kπ＋(k∈Z)
8．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是__________．
解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i.
答案：－6－8i
9．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，求复数z.21·cn·jy·com
解析：根据题意可画图形如图，设点Z的坐标为(a，b)，∵||＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，∴a＝－1，b＝，即点Z的坐标为(－1，)，∴z＝－1＋i.www.21-cn-jy.com
10．已知z是复数，z＋2i，均为实数，求复数z.
解析：(1)设z＝x＋yi，z＋2i＝x＋(y＋2)i，
＝＝＝，
由z＋2i，均为实数，得到，解得x＝4，y＝－2，
所以z＝4－2i.
B组 能力提升
11．设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)．
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．
解析：(1)由已知，得
解①，得－1＜m＜0，解②，得m＜2，
故不等式组的解集为－1＜m＜0，
故m的取值范围为－1＜m＜0.
(2)由已知，得点(log2(1＋m)，log(3－m))在直线x－y－1＝0上，
即log2(1＋m)－log(3－m)－1＝0，
∴log2(1＋m)(3－m)＝1，∴(1＋m)(3－m)＝2，
∴m2－2m－1＝0，
∴m＝1±，且当m＝1±时都能使1＋m＞0,3－m＞0，
∴m的值为1±.
12．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点满足下列条件：2·1·c·n·j·y
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴负半轴上；
(3)在上半平面(含实轴)．
解析：(1)要使点位于第四象限，
则有∴
∴－7＜m＜3.
(2)要使点位于x轴负半轴上，
则有∴
∴m＝4.
(3)要使点位于上半平面(含实轴)，则有m2＋3m－28≥0，
解得m≥4或m≤－7.
课时作业(二十三) 复数代数形式的乘除运算
A组 基础巩固
1.＝( )
A．2 B．2
C. D．1
解析：＝＝＝1－i，
所以＝|1－i|＝，选C.
答案：C
2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )
A．6－4i B．－6－4i
C．6＋4i D．－6＋4i
解析：(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
答案：D
3．在复平面内，复数的对应点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：＝＝＝－1＋2i，对应的点的坐标为(－1,2)，所以在第二象限．
答案：B
4．设a是实数，且∈R，则实数a＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
解析：因为∈R，所以不妨设＝x，x∈R，则1＋ai＝(1＋i)x＝x＋xi，
所以有所以a＝1.
答案：B
5．若复数z＝2i＋，其中i是虚数单位，则复数z的模为( )
A. B.
C. D．2
解析：由题意，得z＝2i＋＝2i＋＝1＋i，复数z的模|z|＝＝.
答案：B
6．i是虚数单位，i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 013＝__________.
解析：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＝0(n∈Z)，
所以i＋i2＋…＋i2 013＝i.
答案：i
7．已知复数＝1－bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a＋bi|＝__________.
解析：由＝1－bi，得
2－ai＝i(1－bi)＝i－bi2＝b＋i，
所以b＝2，－a＝1，即a＝－1，b＝2，
所以|a＋bi|＝|－1＋2i|＝.
答案：
8．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)2为纯虚数的概率为__________．21·cn·jy·com
解析：设掷两颗骰子共有36种结果．因为(m＋ni)2＝m2－n2＋2mni，所以要使复数(m＋ni)2为纯虚数，则有m2－n2＝0，即m＝n，共有6种结果，所以复数(m＋ni)2为纯虚数的概率为＝.www.21-cn-jy.com
答案：
9．计算：＋.
解析：因为
＝
＝＝i－1，
＝＝＝－i，
所以＋＝i－1＋(－i)＝－1.
10．已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．
(1)求复数z.
(2)若w＝，求复数w的模|w|.
解析：(1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i.
因为(1＋3i)·z为纯虚数，
所以3－3b＝0，且9＋b≠0，
所以b＝1，所以z＝3＋i.
(2)w＝＝＝＝－i，
所以|w|＝＝.
B组 能力提升
11．计算＋的值是( )
A．0 B．1
C．i D．2i
解析：原式＝＋＝＋＝＋i＝＋i＝＋i＝2i.
答案：D
12．已知i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )
A．－15 B．－3
C．3 D．15
解析：∵＝＝－1＋3i＝a＋bi，∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3，故选B.
答案：B
13．已知x＝1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0的一个根(m，n∈R)，则m＋n＝________.
解析：把x＝1＋2i代入x2－mx＋2n＝0中，得(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，即1－4＋4i－m－2mi＋2n＝0，∴(2n－m－3)＋(4－2m)i＝0，21世纪教育网版权所有
根据复数相等的充要条件，
得即
∴m＋n＝＋2＝.
答案：
14．设a，b为共轭复数，且(a＋b)2－3abi＝4－6i，求a和b.
解析：设a＝x＋yi，b＝x－yi(x，y∈R)，则(a＋b)2－3abi＝(x＋yi＋x－yi)2－3(x＋yi)(x－yi)i＝4x2－3i(x2＋y2)＝4－6i.21教育网
∴解得
∴或或
或
15．是否存在实数x，使得(x＋i)3＝log成立？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说明理由．21cnjy.com
解析：∵(x＋i)3＝log＝－8，∴3＝1，
∴＝1或＝ω或＝.
若x＋i＝－2，则x?R.
若x＋i＝－2ω＝1－i，则x?R.
若x＋i＝－2＝1＋i，则x＝1.
综上可知，存在满足题意的实数x且x＝1.
课时作业(二十二) 复数代数形式的加减运算及其几何意义
A组 基础巩固
1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
解析：z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.
∵z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0.∴a＝－1.
答案：D
2．已知z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则对应的复数为( )
A．－8＋6i B．8－6i
C．8＋6i D．－2－2i
解析：由复数减法的几何意义，知对应的复数为z1－z2＝(3－4i)－(－5＋2i)＝(3＋5)＋(－4－2)i＝8－6i，故选B.21·cn·jy·com
答案：B
3．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于( )
A．－3 B．3
C．－3i D．3i
解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，
则z＋3i＝x＋(y＋3)i.因为z＋3i是纯虚数，
所以又因为|z|＝＝3，解得x＝0，y＝3，即z＝3i.
答案：D
4．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.www.21-cn-jy.com
答案：D
5．设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是( )
A．圆 B．半圆
C．直线 D．射线
解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，
由|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|得
＝，
化简可得3x－4y＝0，
所以复数z在复平面上对应点的轨迹是一条直线．
答案：C
6．已知复数z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，若z1＋z2＞0，则实数m＝__________.
解析：z1＋z2＝(－2mi)＋(－m＋m2i)
＝(－m)＋(m2－2m)i.
因为z1＋z2＞0，
所以z1＋z2为实数且大于0，
所以解得m＝2.
答案：2
7．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝__________.21cnjy.com
解析：z1－z2＝－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4，
由复数相等的充要条件，得
解得故a＋b＝3.
答案：3
8．设实数x，y，θ满足以下关系：x＋yi＝3＋5cosθ＋i(－4＋5sinθ)，则x2＋y2的最大值是__________．2·1·c·n·j·y
解析：∵x＋yi＝(3＋5cosθ)＋i(－4＋5sinθ)，
∴x2＋y2＝(3＋5cosθ)2＋(－4＋5sinθ)2＝50＋30cosθ－40sinθ＝50＋50cos(θ＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.【来源：21·世纪·教育·网】
∴(x2＋y2)max＝50＋50＝100.
答案：100
9．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：www-2-1-cnjy-com
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解析：(1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又∵＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴解得
∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cosB，
∴cosB＝＝＝＝.
∵0＜B＜π，
∴sinB＝，
∴S＝||||sinB＝××＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.
B组 能力提升
10．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值．
解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z＋2－2i|＝1，
得|z－(－2＋2i)|＝1，表示以(－2,2)为圆心，
1为半径的圆，如图所示，
则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，由数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.21·世纪*教育网
11．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，且z1－z2＝＋i，求cos(α＋β)的值．2-1-c-n-j-y
解析：因为z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，
所以z1－z2＝(cosα－cosβ)＋(sinα＋sinβ)i＝＋i，
所以两式平方相加得(cosα－
cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)＝2－2cos(α＋β)＝2＋2＝1，即2－2cos(α＋β)＝1，21*cnjy*com
所以cos(α＋β)＝.
12．已知|z1|＝|z2|＝1，z1＋z2＝＋i，求复数z1，z2及|z1－z2|.
解析：由于|z1＋z2|＝＝1.设z1，z2，z1＋z2对应的向量分别为，，，则||＝||＝||＝1，故A，B，C三点均在以原点为圆心，半径为1的圆上，如图．
方法一：由余弦定理易得：
cos∠AOC＝＝，
故∠AOC＝60°，又由平行四边形法则知四边形OBCA为平行四边形，
∴?OACB为菱形，且△BOC，△COA都是等边三角形，
即∠AOB＝120°.
又∵与x轴正半轴的夹角为60°，
∴点A在x轴上，即A(1,0)．
而xB＝||cos120°＝－，yB＝||sin120°＝，
∴点B的坐标为.
∴或
∴|z1－z2|＝＝.
方法二：∵|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2－|z1＋z2|2＝3，
∴|z1－z2|＝.
方法三：由余弦定理，得||2＝||2＋||2－2||||cos120°＝3.
又∵z1－z2＝－＝，
∴|z1－z2|＝||＝||＝.
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长度分别为a，b，c，设复数z＝cosA＋isinA，且满足|z＋1|＝1.21世纪教育网版权所有
(1)求复数z；
(2)求的值．
解析：(1)∵z＝cosA＋isinA，
∴z＋1＝1＋cosA＋isinA.
∴|z＋1|＝
＝.
∵|z＋1|＝1.∴2＋2cosA＝1.
∴cosA＝－.∴A＝120°.
∴sinA＝.∴复数z＝－＋i.
(2)由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，c＝2R·sinC(其中R为△ABC外接圆的半径)，21教育网
∴原式＝.
∵B＝180°－A－C＝60°－C，
∴原式＝
＝＝
＝＝2，
即的值为2.
课时作业(二十) 数系的扩充和复数的概念
A组 基础巩固
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
解析：3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
答案：A
2．若复数cosθ＋isinθ和sinθ＋icosθ相等，则θ值为( )
A. B.或π
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：由复数相等定义得∴tanθ＝1，∴θ＝kπ＋(k∈Z)，故选D.
答案：D
3．下列命题中：①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；
③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
④若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应．
正确的命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错；②③错；对于④，a＝0时，ai＝0，④错，故选A.21教育网
答案：A
4．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
解析：由题意知解得a＝－4.
答案：C
5．已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m的值为( )21·cn·jy·com
A．4 B．－1
C．4或－1 D．1或6
解析：由题意知∴m＝－1.
答案：B
6．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数x的取值范围是__________．
解析：∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，
∴∴x＝－2.
答案：{－2}
7．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝__________，n＝__________.21cnjy.com
解析：由复数相等的充要条件有
?
答案：2 ±2
8．复数z＝cos＋isin，且θ∈，若z是实数，则θ的值为__________；若z为纯虚数，则θ的值为__________．www.21-cn-jy.com
解析：若z为实数，则sin＝cosθ＝0，
又∵θ∈，∴θ＝±.
若z为纯虚数，则有?θ＝0.
答案：± 0
9．已知x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0，求实数x，y的值．
解析：由复数相等的概念，得解得或
10．若x、y∈R，且(x－1)＋yi＞2x，求x，y的取值范围．
解析：∵(x－1)＋yi＞2x，∴y＝0且x－1＞2x，
∴x＜－1，
∴x，y的取值范围分别为x＜－1，y＝0.
B组 能力提升
11．关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
解析：设方程的实数根为x＝m，
则原方程可化为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴解得a＝11或a＝－.
故实数a的值为11或－.
12．求满足条件2≤|z|＜3的复数z在复平面上表示的图形．
解析：如图，图形是以原点O为圆心，半径分别为2个单位长和3个单位长的两个圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周．21世纪教育网版权所有
