课件28张PPT。第一章 算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念一、算法的概念
【问题思考】
电视娱乐节目中,有一种有趣的“猜数”游戏:竞猜者如果能在规定的时间内猜出某种商品的价格(或重量等),就可获得该商品.现有一商品,价格在0~8 000元之间,采取怎样的策略才能在较短的时间内猜出正确的结果呢?
解决这个问题有多种途径,其中一种较好的方法是:
第一步 报“4 000”.
第二步 若主持人说“高了”(说明答数在0~4 000之间),就报“2 000”;否则(说明答数在4 000~8 000之间),报“6 000”.
第三步 重复第二步的报数方法,直至得到正确结果.1.竞猜者每一步的报价有一定的规则吗?
提示有,报价为上一个有效范围的中间值.
2.猜出这种商品的步骤是有限的吗?
提示是.
3.填空:在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.计算机解决任何问题都要依赖于算法,只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤,即算法,并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来,计算机才能够解决问题.3.由问题2我们得到了二元一次方程组的求解公式,利用此公式可得到问题1的另一个算法,请写出此算法.
提示第一步,取A1=2,B1=1,C1=-7,A2=4,B2=5,C2=-11.
第三步,输出运算结果.
4.一个问题的算法是唯一的吗?
提示不唯一.5.做一做:(1)下列选项可以看成算法的是( )
A.学习数学时,课前预习,课上认真听讲并记好笔记,课下先复习再做作业,之后做适当的练习题
B.今天餐厅的饭真好吃
C.这道数学题很难做
D.方程2x2-x+1=0无实数根
(2)下面是某人从家出发,先搭出租车去火车站,再坐火车去北京的一个算法,请补充完整.
第一步,从家出发.
第二步, .?
第三步,坐火车去北京.
答案:(1)A (2)搭出租车去火车站思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)一个算法应包含有限的步骤,不能是无限的.( )
(2)算法中的每一步骤都应当是确定的,不应当是含糊的、模棱两可的.( )
(3)算法中的每一步骤都应当有效地执行,并得到确定的结果.( )
(4)一个问题只能设计出一种算法.( )
答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)×探究一探究二探究三思维辨析
【例1】 下列描述不能看作算法的是( )
A.做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤
B.已知圆经过点A(0,0),B(2,1),C(0,2),设出圆的一般方程,利用待定系数法求出圆的方程
C.解方程2x2+x-1=0
D.利用公式S=πr2,计算半径为4的圆的面积,就是计算π×42
解析：A,B,D都描述了解决问题的过程,可以看作算法,而C只描述了一个事件,并没有说明怎么解决问题,不是算法.
答案：C探究一探究二探究三思维辨析反思感悟判断一个问题是不是算法,关键看是否有解决这一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,并且能够在有限步之内完成.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1 下列语句中,可以看成是算法的有( )?
①利用公式S= ah计算底为1,高为2的三角形的面积;
② x>2x+4;
③求M(1,2)与N(-3,-5)两点所在直线的方程,可先求MN的斜率,再利用点斜式方程求得.
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
解析：由算法的特征可判断②不是算法.
答案：B探究一探究二探究三思维辨析
【例2】 写出求1+2+3+4+5+6的值的算法.
分析：思路一:按题意可以采取逐个相加的方法计算结果,但这样做计算量较大.思路二:由于重复做加法,故可以设计做重复加法运算.
解：算法一:
第一步,计算1+2得到3.
第二步,将第一步的运算结果3与3相加,得到6.
第三步,将第二步的运算结果6与4相加,得到10.
第四步,将第三步的运算结果10与5相加,得到15.
第五步,将第四步的运算结果15与6相加,得到21.探究一探究二探究三思维辨析算法二:
第一步,输入n的值6.
第二步,令i=1,S=0.
第三步,判断“i≤n”是否成立.若是,则输出S,结束算法;否则,执行下一步.
第四步,令S的值增加i,仍用S表示,令i的值增加1,仍用i表示,返回第三步.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.该类问题属于数值性计算问题(如解方程、解不等式、直接套用公式求解等),其求解思路是:借助一般数学计算方法,分解成清晰的步骤,直到算出结果即可.
2.算法设计的一般步骤:探究一探究二探究三思维辨析变式训练2写出求1×2×3×4×5×6的值的算法.
解:算法一:第一步,计算1×2得到2.
第二步,将第一步的运算结果2乘3,得到6.
第三步,将第二步的运算结果6乘4,得到24.
第四步,将第三步的运算结果24乘5,得到120.
第五步,将第四步的运算结果120乘6,得到720.
算法二:第一步,输入n的值6.
第二步,令i=2,S=1.
第三步,判断“i≤n”是否成立.若是,则输出S,结束算法;否则,执行下一步.
第四步,令S的值乘i,仍用S表示,令i的值增加1,仍用i表示,返回第三步.探究一探究二探究三思维辨析【例3】 写出求a,b,c三个数中最大数的算法.
分析比较a,b的大小→取a,b中的较大者,记为m→比较m,c的大小→取m,c中的较大者,得最大值
解:第一步,比较a,b的大小.若a
第二步,比较m与c的大小.若m反思感悟在日常生活中,常见的排序、查找、变量变换、文字处理等非数值性的问题,都可通过设计算法来解决.在设计这类问题的算法时,需先建立过程模型,再通过模型进行算法设计与描述.设计具体的数学问题的算法,实际上就是寻求一类问题的算法,它可以通过计算机来完成.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3某比赛在计算选手的最后得分时,要去掉所有评委对该选手所打分数中的最高分和最低分.试设计一个找出最高分的算法.
解:算法如下:
第一步,先假定第一个分数为“最高分”.
第二步,将第二个分数与“最高分”比较.若它比“最高分”高,则假定这个分数为“最高分”;否则,“最高分”不变.
第三步,若还有其他分数,则重复第二步;否则,这时假定的“最高分”就是所有评委打分中的最高分.探究一探究二探究三思维辨析算法中错用省略号而致误
【典例】 设计一个算法,求a1,a2,a3,a4,a5五个不同实数中最小的数.
错解第一步,比较a1,a2的大小.若a1第二步,比较m,a3的大小.若a3……
第四步,比较m,a5的大小.若a5第五步,输出m的值.
以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?
错因分析省略号表达的步骤不明确,不符合算法的确定性.探究一探究二探究三思维辨析正解第一步,比较a1,a2的大小.若a1第二步,比较m,a3的大小.若a3第三步,比较m,a4的大小.若a4第四步,比较m,a5的大小.若a5第五步,输出m的值.
防范措施算法是为解决某一类问题而设计的一系列可操作或可计算的步骤,通过这些步骤能够有效地解决问题.算法具有有限性、确定性、有序性和不唯一性的特征,在解题中要做到灵活应用和熟练掌握,如本例主要考查了算法的确定性.探究一探究二探究三思维辨析变式训练计算下列各式中的S值,能设计算法求解的是( )
①S=1+2+3+…+30;
②S=1+2+3+…+30+…;
③S=1+2+3+…+n(n∈N*).
A.① B.②③ C.①③ D.①②③
解析:我们设计算法是用来求解一类问题的,也就是说在实际的算法中n的值是具体确定的,算法会根据具体确定的n来求值计算,所以①③是正确的.而算法又具有有限性,即执行有限步操作后一定能解决问题,而②显然不符合算法的有限性,所以②不正确,故选C.
答案:C12341.下列关于算法的描述正确的是( )
A.算法与求解一个问题的方法相同
B.算法只能解决一个问题,不能重复使用
C.算法过程要一步一步地执行,每步执行的操作必须确切
D.有的算法执行完后,可能无结果
解析：算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系,故A项不对;
算法能重复使用,故B项不对;
每个算法执行后必须有结果,故D项不对;
由算法的有序性和确定性可知C项正确.
答案：C12342.已知直角三角形两直角边长分别为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步:
①计算c= ;②输入直角三角形两直角边长a,b的值;③输出斜边长c的值.其中正确的顺序是( )
A.①②③ B.②③①
C.①③② D.②①③
答案：D12343. 结合下面的算法:
第一步,输入x.
第二步,判断x是否小于0,若是,则输出x+2,结束算法;否则输出x-1,结束算法.
当输入的x的值为-1时,输出的结果为( )
A.-2 B.0
C.1 D.3
解析：∵输入的x的值为-1,小于0,
∴输出x+2,即输出的结果为1.
答案：C12344.写出作函数y=|x|图象的算法.
第一步,当x>0时,作出第一象限的角平分线.
第二步,当x=0时,即为原点.
第三步, .?
解析：依据算法解决的问题知,第三步应为“当x<0时,作出第二象限的角平分线”.
答案：当x<0时,作出第二象限的角平分线课件26张PPT。1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构第1课时 程序框图、顺序结构一、程序框图的概念
【问题思考】
1.为什么要用程序框图来表示算法?
提示算法是由一系列明确和有限的计算步骤组成的,算法步骤有明确的顺序性,而且有些步骤只有在一定条件下才会被执行,有些步骤在一定条件下会被重复执行.我们可以用自然语言表述一个算法,但往往过程复杂,缺乏直观性、简洁性,并且不容易理解.因此,我们有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法,即通过程序框图来实现.
2.什么是“程序框图”?用程序框图表示算法有哪些优点?
提示程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.用框图表示算法具有直观,结构清晰,条理分明,通俗易懂,便于检查、修改及交流的优点,即通常说的“一图胜万言”.3.关于常见的程序框、流程线及各自表示的功能,请完成下表: 4.终端框(起止框)是不是任何程序框图都有?是不是任何程序框图符号都只有一个进入点和退出点?
提示终端框(起止框)是每一个程序框图不可缺少的;除判断框外其他程序框图符号都只有一个进入点和退出点.
5.做一做1:在程序框图中,需要根据给定的条件作出判断的内容应写在下面哪个符号内?( )
答案:C二、顺序结构
【问题思考】
1.已知球的半径为R,设计一个算法,求其表面积和体积.
提示第一步,输入球的半径R.
第二步,计算S=4πR2.
第三步,计算V= πR3.
第四步,输出S,V.
2.上述算法有何特点?
提示按照顺序从上到下依次执行.3.你能画出该算法的程序框图吗?
提示
4.如何定义顺序结构?
提示顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的.这是任何一个算法都离不开的基本结构.5.顺序结构可以用怎样的程序框图来表示?
提示顺序结构可以用程序框图表示为:6.做一做2:(1)任何一种算法都离不开的基本结构为 ( )
A.逻辑结构 B.条件结构
C.循环结构 D.顺序结构
(2)已知如图所示的程序框图,若输入x=32,则输出y的值为 .?
解析:(2)当x=32时,y=log232=log225=5,故输出y的值为5.
答案:(1)D (2)5思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)程序框图虽然可以描述算法,但是不如用自然语言描述算法形象直观.( )
(2)在程序框图中,任何一个程序框都只有一个进入点和一个退出点.( )
(3)顺序结构中一定含有判断框.( )
(4)处理框既可以用来对变量赋值,也可以用来计算.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√探究一探究二探究三【例1】 下列关于程序框图中图形符号的理解正确的有( )
①任何一个程序框图都必须有终端框;
②输入框只能紧跟在开始框后,输出框只能放在结束框前;
③判断框是唯一的具有超过一个退出点的图形符号;
④对于一个程序框图来说,判断框内的条件是唯一的.
A.1个 B.2个C.3个 D.4个
解析:①任何一个程序必须有开始和结束,从而程序框图必须有终端框,正确;②输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置,错误;③除判断框外,大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点,判断框是具有超过一个退出点的唯一的符号,正确;④判断框内的条件不是唯一的,错误.故选B.
答案:B探究一探究二探究三反思感悟1.程序框图是一种表示程序流程的图形,是算法的具体体现,它使算法所表示的较为抽象的问题变得明确和具体.
2.程序框图中所用的图形符号是大家约定俗成的,不能随意编造,只有这样,用程序框图描述的算法才能被学习和用于交流.
3.不同的程序框有不同的作用,不能乱用.探究一探究二探究三变式训练1下列选项是程序框图中的一部分,其中表示恰当的是( )
解析:B选项应该用处理框而非输入、输出框,C选项应该用输入、输出框而不是处理框,D选项应该在出口处标明“是”和“否”,否则运行方向不明确.
答案:A探究一探究二探究三【例2】 已知梯形的上、下底边长分别是a,b,高为h,写出一个求该梯形面积S的算法,并画出程序框图.
分析画程序框图的一般过程是先设计算法,再画程序框图,框图要完整,有起止框,直角矩形与圆角矩形要分清,平行四边形与菱形要分清.本题可利用梯形的面积公式设计算法.探究一探究二探究三解:算法如下:
第一步,输入梯形的上、下底边长a,b和高h.
第二步,计算a+b的值.
第三步,计算(a+b)×h的值.
第五步,输出结果S.
程序框图如图所示.探究一探究二探究三反思感悟1.画程序框图的规则:
(1)使用标准的框图符号;
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画;
(3)在图形符号内描述的语言要简练、清楚.
2.画程序框图的步骤:
第一步,用自然语言表述算法步骤,又称为算法分析.
第二步,确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构,并用相应的程序框图表示,得到该步骤的程序框图.
第三步,将所有步骤的程序框图用流程线连接起来,并加上终端框,便得到表示整个算法的程序框图.探究一探究二探究三变式训练2设计一个算法,求长为a,宽为b的长方形的面积,画出相应的程序框图.
解:算法步骤:
第一步,输入长方形的长和宽a,b.
第二步,计算S=ab.
第三步,输出S.
程序框图如图所示.探究一探究二探究三【例3】已知直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),点P(x0,y0),设计一个算法计算点P到直线l的距离,并画出程序框图.探究一探究二探究三解:用自然语言描述算法如下:
第一步,输入点P的横、纵坐标x0,y0,输入直线
方程的系数,即常数A,B,C.
第二步,计算z1=Ax0+By0+C.
第三步,计算z2=A2+B2.
第五步,输出d.
程序框图如图所示.探究一探究二探究三反思感悟1.对于套用公式求解的问题往往运用顺序结构.编写顺序结构的算法时,应先写出公式,看公式中的条件是否满足,若不满足,则先求出需要量,再将公式中涉及的量全部代入求值即可.
2.顺序结构的特点:语句与语句之间、框与框之间是按照从上到下的顺序进行的,可以形象地称之为“一串糖葫芦”.
3.顺序结构在程序框图中的表现就是用流程线将程序框自上而下连接起来,按顺序执行,中间没有“转弯”,也没有“回头”.顺序结构只能解决一些简单的问题.探究一探究二探究三变式训练3把题中的直线l改为圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,写出求点P0(x0,y0)到圆上的点的距离最大值的算法,并画出程序框图.
解:第一步,输入点P0的横、纵坐标x0,y0,输入圆心C的横、纵坐标a,b,圆的半径r.
第三步,计算d=z+r.
第四步,输出d.
程序框图如图所示.12341.下列选项对终端框叙述正确的是( ) 答案：C 12342.右面程序框图所对应的算法和流程线分别为 ( )
A.5步,5条 B.5步,4条
C.3步,5条 D.3步,4条
答案：D12343.执行如图所示的程序框图,运行结果是( )
A.8 B.4
C.2 D.3
解析：执行顺序结构,S= ×2×4=4,故输出4.
答案：B12344.如图,若输出的结果是2,则输入的m= .?
解析：因为输出的结果是2,所以x=2,lg m=2,故m=100.
答案：100课件25张PPT。第2课时 条件结构一、条件结构的概念
【问题思考】
1.解关于x的方程ax+b=0的算法步骤如何设计?
提示第一步,输入实数a,b.
第二步,判断a是否为0.若是,执行第三步;否则,计算x=- ,并输出x,结束算法.
第三步,判断b是否为0.若是,则输出“方程的解为任意实数”;否则,输出“方程无实数解”.2.问题1中的算法的程序框图还能不能只用顺序结构表示?为什么?
提示不能.从算法中的第二步对a进行分类讨论可以看出,当a为0与否时方程有不同的解,所以程序框图不能由若干个依次执行的步骤组成,因此不能只用顺序结构表示.
3.什么是条件结构?
提示在一个算法中,经常会遇到一些条件的判断,算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是处理这种过程的结构.二、条件结构程序框图的形式
【问题思考】
1.解关于x的方程ax+b=0的算法的程序框图如何设计?
提示程序框图如下:2.关于条件结构程序框图的形式,请完成下表: 3.做一做1:求解下列问题的算法中,含有条件结构的是( )
A.求两个数的积
B.求点到直线的距离
C.解一元二次方程
D.已知梯形两底和高求面积
解析:解一元二次方程时,当判别式Δ<0时,方程无解;当Δ≥0时,方程有解,由于分情况,故用到条件结构.
答案:C4.做一做2:如图所示,若输入x=-1,则输出y= .
?
解析:∵-1<3,∴y=4-(-1)=5.
答案:5思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)条件结构的出口有两个,但在执行时,只有一个出口是有效的.( )
(2)条件结构的判断条件要写在判断框内.( )
(3)条件结构根据条件是否成立,选择不同的分支执行.( )
(4)条件结构与顺序结构的明显区别在于条件结构中含有判断框,而顺序结构中不含判断框.( )
答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√探究一探究二探究三【例1】 画出计算函数y=|x-1|的函数值的程序框图.
分析输入x→判断条件→对y赋值→输出y
解:算法如下:
第一步,输入x.
第二步,若x≥1,则y=x-1;
否则,y=1-x.
第三步,输出y.
程序框图如图所示.探究一探究二探究三反思感悟1.本题因x-1的符号不定,从而引起y值对应关系的变化.
2.解决分类讨论问题时,一般需要用条件结构来设计算法,解决此类问题的关键是首先设计好判断框内的条件,然后根据条件是否成立选择不同的流向.
3.利用条件结构解决数学问题需注意分析题目,确定分类标准和方法,明确每个分类中执行的步骤.探究一探究二探究三
设计一个算法,对输入的x的值,输出相应的函数值,并画出程序框图.
解:算法步骤如下:
第一步,输入x.
第二步,若x≥2,则y=x2-x+1;
否则,y=x+1.
第三步,输出y.
程序框图如图所示.探究一探究二探究三 分析该函数为分段函数,当给出一个自变量x的值时,需首先判断x的取值范围,然后确定解析式求函数值,故在画程序框图时要用到两个判断框.探究一探究二探究三解:算法如下:
第一步,输入x.
第二步,若x<0,则y=2x-1,输出y,结束算法;
否则,执行第三步.
第三步,若x<1,则y=x2+1,输出y,结束算法;
否则,执行第四步.
第四步,y=x3+2x,输出y,结束算法.
程序框图如图所示.探究一探究二探究三反思感悟1.在程序设计中,程序的流向要多次根据判断做出选择时,一般要用到条件结构的嵌套.
2.条件结构的嵌套是指在一个条件结构的分支内的步骤中又用到条件结构,就像一个条件结构镶嵌在另一个条件结构中一样.
3.在用到条件结构的嵌套时,一定要分清主次,弄清每个判断框中的条件,以及满足条件时程序的流向.探究一探究二探究三解:算法如下:
第一步,输入自变量x的值.
第二步,判断x>0是否成立.若成立,则计算y=1+x,执行第四步;否则,执行下一步.
第三步,判断x=0是否成立.若成立,则y=0;否则,计算y=-x-3.
第四步,输入y.
程序框图如图所示.探究一探究二探究三【例3】 某商场购物实行优惠措施,若购物金额在800元以上(包括800元),则打八折;若购物金额在500元以上(包括500元),但不到800元,则打九折;否则不打折,设计算法并画出程序框图,要求输入购物金额,能输出实际交款额.探究一探究二探究三解:设购物金额为x元时,实际交款y元,
算法如下:
第一步,输入x.
第二步,若x≥800,则y=0.8x,输出y,结束算法;否则,执行第三步.
第三步,若x≥500,则y=0.9x;否则,y=x.
第四步,输出y.
程序框图如图所示.探究一探究二探究三反思感悟设计程序框图解决实际问题的步骤
(1)读懂题意,分析已知和未知的关系;
(2)概括题意写出表达式;
(3)设计算法步骤;
(4)根据算法步骤画出程序框图.探究一探究二探究三变式训练3某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费,计费方法是:3人和3人以下的住户,每户收取5元;超过3人的住户,每超出1人加收1.2元.设计一个算法,根据输入的人数,计算应收取的卫生费,画出程序框图.
解:算法过程如下:
第一步,输入x.
第二步,若x≤3,则y=5;否则,y=5+1.2(x-3).
第三步,输出y.
程序框图如图所示.1231.如图是算法程序框图的一部分,其算法的逻辑结构是( )
A.顺序结构 B.条件结构
C.判断结构 D.以上都不对
答案：B1232.程序框图如图所示,若输入实数x= ,则输出结果为( ) 123答案：B 1233.某市的出租车收费办法如下:不超过2 km收7元(即起步价7元),超过2 km的里程每千米收2.6元,另每车次超过2 km收燃油附加费1元(不考虑其他因素).相应收费系统的程序框图如图所示,则①处应填( )
A.y=7+2.6x B.y=8+2.6x
C.y=7+2.6(x-2) D.y=8+2.6(x-2)123解析：当x>2时,2 km内的收费为7元,2 km外的收费为(x-2)×2.6,另外燃油附加费为1元,
∴y=7+2.6(x-2)+1=8+2.6(x-2).
答案：D课件27张PPT。第3课时 循环结构一、循环结构、循环体的概念
【问题思考】
在申办奥运会的最后阶段,你知道国际奥委会是如何通过投票决定主办权归属的吗?对竞选出的5个申办城市进行表决的操作程序是:首先进行第一轮投票,如果有一个城市得票数超过总票数的一半,那么该城市就获得主办权;如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半,那么就将得票最少的城市淘汰掉,然后重复上述过程,直到选出一个申办城市为止.
1.上述使用投票方式决定奥运会主办权的过程是算法吗?
提示是.
2.该算法若用程序框图来表示,只有顺序结构与条件结构可以吗?
提示不可以.3.该算法中,控制重复操作的条件是什么?重复操作的内容是什么?
提示控制重复操作的条件为“是否有城市得票超过总票数的一半”,重复操作的内容是“淘汰得票最少的城市”.
4.什么是循环结构、循环体?
提示在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况,这就是循环结构.反复执行的步骤称为循环体.二、循环结构的形式
【问题思考】
1.循环结构有哪两种结构形式?它们各有什么特征?请完成下表:2.做一做1:下列框图是循环结构的是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.②④
解析:①为顺序结构,②为条件结构,③为当型循环结构,④为直到型循环结构.故选C.
答案:C3.做一做2:运行如图所示的程序框图,输出的结果为 .?
解析:n=1,S=0+1=1;n=2,S=3;n=3,S=6;n=4,S=10;n=5,S=15;n=6,
S=21;n=7,S=28.
答案:28思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)循环结构中必然包含条件结构,以保证在适当的时候终止循环.( )
(2)循环结构只有一个入口和一个出口.( )
(3)循环结构分为直到型循环结构和当型循环结构,两种结构不能相互转化.( )
(4)直到型循环结构是先判断是否执行循环体,在条件不满足时执行循环;直到型循环结构可能执行一次循环体,也可能不执行循环体.当型循环结构是先执行一次循环体,再判断是否继续执行循环体;当型循环结构是在条件满足时执行循环;当型循环结构至少执行一次循环体.( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×探究一探究二探究三思维辨析【例1】分别用直到型和当型两种循环结构写出求2+4+6+…+100的值的算法,并画出各自的算法流程图.
分析本例是累加问题,确定计数变量与累计变量后利用循环结构画出框图.探究一探究二探究三思维辨析解:直到型循环算法:
第一步,令S=0.
第二步,令i=2.
第三步,S=S+i.
第四步,i=i+2.
第五步,若i大于100,则输出S,结束算法;
否则,执行第三步.
相应流程图如图①所示.① 探究一探究二探究三思维辨析当型循环算法:
第一步,令S=0.
第二步,令i=2.
第三步,若i≤100成立,则执行第四步,否则,
输出S,结束算法.
第四步,S=S+i.
第五步,i=i+2,返回第三步.
相应流程图如图②所示.② 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.若算法问题中涉及的运算进行了多次重复,且参与运算的数前后有规律可循,就可引入变量采用循环结构.
2.利用循环结构解决问题的三个关注点
(1)确定循环变量及初始值(累加变量的初始值一般为0,累乘变量的初始值一般为1);
(2)确定循环体(包括计数变量,累加(或累乘)变量);
(3)确定循环终止条件(表述要恰当,精确).探究一探究二探究三思维辨析变式训练1设计一个算法,计算1×2×3×…×100的值,并画出程序框图.
解:算法如下:
第一步,令i=1,S=1.
第二步,i=i+1.
第三步,S=S×i.
第四步,判断i≥100是否成立.若成立,则输出S,
结束算法;否则,执行第二步.
程序框图如图所示.探究一探究二探究三思维辨析【例2】 写出一个求满足1×3×5×7×…×n>50 000的最小正整数n的算法,并画出相应的程序框图.
分析利用循环结构重复操作,即可求出最小正整数n.
解:算法步骤如下:
第一步,令S=1.
第二步,令i=3.
第三步,如果S≤50 000,那么S=S×i,i=i+2,
重复第三步;否则,执行第四步.
第四步,i=i-2.
第五步,输出i.
此时输出的i的值就是满足题意的最小正整数n.
程序框图如图所示.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟在循环结构中,通常都有一个起到循环计数作用的变量,这个变量的取值一般都含在执行或中止循环体的条件中,且往往参与计算,一旦条件满足就把此时的变量输出,这就是我们需要的最大(小)值.解答这类问题时要注意以下几点:
(1)要明确数字的结构特征决定循环的终止条件与循环次数.
(2)注意要统计的数出现的次数与循环次数的区别.探究一探究二探究三思维辨析解:算法步骤如下:
第一步,令S=0.
第二步,令i=1.
第三步,S=S+ .
第四步,i=i+1.
第五步,若S≤2,则返回第三步;
否则,输出i-1,循环结束.
此时输出的i-1的值就是满足题意的最小正整数n.
程序框图如图所示.探究一探究二探究三思维辨析【例3】 以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩(单位:分):72,91,58,63,84,88,90,55,61,73,64,77,82,94,60.要求将80分以上的同学的平均分求出来,画出解决该问题的算法的程序框图.
分析对于应用型问题,我们要根据数学应用问题的解题模式,认真审题,先建立数学模型,再结合实际要求和数学模型的特点,分析、设计相应的算法.探究一探究二探究三思维辨析解:程序框图如图所示. 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟利用循环结构解决应用问题的方法 探究一探究二探究三思维辨析不能正确确定循环次数而致误
【典例】 设计一个算法,求1+2+4+…+249的值,并画出程序框图.
错解算法步骤:
第一步,令i=0,S=0.
第二步,S=S+2i.
第三步,i=i+1.
第四步,判断i是否大于等于49.若成立,
则输出S,结束算法;否则,返回第二步.
程序框图如图所示.探究一探究二探究三思维辨析以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?
错因分析在判断框中考虑是填写i>49还是填写i≥49时,关键是看i能否取到49.当i≥49时实际计算的是1+2+4+…+248的值.
正解算法步骤:
第一步,令i=0,S=0.
第二步,S=S+2i.
第三步,i=i+1.
第四步,判断i是否大于49.若成立,
则输出S,结束算法;否则,返回第二步.
程序框图如图所示.探究一探究二探究三思维辨析防范措施1.循环结构中对循环次数的控制非常关键,它直接影响着运算的结果.
2.控制循环次数要引入循环变量,其取值如何限制,要弄清两个问题:一是需要运算的次数;二是循环结构的形式,是“当型”还是“直到型”.
3.要特别注意判断框中计数变量的取值限制,是“>”“<”,还是“≥”“≤”,它们的意义是不同的.探究一探究二探究三思维辨析变式训练设计一个算法,求13+23+…+993+1003的值,并画出程序框图.
解:算法如下:
第一步,令S=0.
第二步,令i=1.
第三步,S=S+i3.
第四步,i=i+1.
第五步,若i≤100成立,则返回第三步;
否则,输出S,算法结束.
程序框图如图所示.12341.执行如图所示的程序框图,输出的S的值为( )
A.1 B.3 C.7 D.15
解析:开始时k=0,S=0.
第一次循环,k=0<3,S=0+20=1,k=0+1=1,
第二次循环,k=1<3,S=1+21=3,k=1+1=2,
第三次循环,k=2<3,S=3+22=7,k=2+1=3.
此时不满足条件k<3,输出结果S,即输出7.
答案:C12342.某同学设计的程序框图如图所示,用以计算12+22+32+…+202的值,则在判断框中应填写( )
A.i<20?
B.i>20?
C.i>21?
D.i<21?
解析:该程序框图中含有当型循环结构,判断框内
的条件不成立时循环终止.因为当i=21时终止循
环,所以在判断框中应填写i<21?,故选D.
答案:D12343.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为6,则输出S的值为( )
A.105 B.16 C.15 D.1
解析:i=1,S=1;i=3,S=3;i=5,S=15;当i=7时,不满足i<6,输出S=15,故选C.
答案:C12344.执行如图所示的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的i的值为 .?
解析:第一次循环:a=1,b=8;第二次循环:a=3,b=6;第三次循环:a=6,b=3;满足条件,结束循环,此时,i=3.
循环结构中抓住结束点是关键.
答案:3课件28张PPT。1.2 基本算法语句1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句一、基本算法语句
【问题思考】
1.前面我们学习了算法的步骤设计和程序框图的画法,但是,计算机对自然语言和程序框图表示的算法却无法识别.为了让计算机能够理解算法步骤、程序框图,我们必须把它们转换成其能理解的语言,即程序语言.程序语言中包括哪些基本算法语句?
提示包括输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句五种.2.基本算法语句与程序框图有怎样的对应关系?
提示二、输入语句、输出语句、赋值语句
【问题思考】
1.输入语句、输出语句、赋值语句的格式和功能分别是怎样的?
提示2.做一做1:当x=3时,输出语句:PRINT x-5的输出结果是 .?
答案:-2 3.做一做2:输入四个变量A,B,C,D,交换变量A和D的值,交换变量B和C的值,并输出交换前后的值.试编写一个程序满足上述要求.
解:
INPUT A,B,C,D
PRINT A,B,C,D
m=A
A=D
D=m
n=B
B=C
C=n
PRINT A,B,C,D
END4.做一做3:阅读下列程序,当输入a=3,b=-1时,输出结果为 .?
INPUT a,b
a=3??a+1
b=2??b-3
a=a/b+b
b=a-b
PRINT a,b
END
解析:程序执行如下:
a=3×3+1=10,b=2×(-1)-3=-5,
a= -5=-7,b=-7-(-5)=-2.
所以输出结果为-7,-2.
答案:-7,-25.数学符号与程序符号之间具有怎样的互化关系?请完成下表: 思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)输入语句与输出语句中“提示内容”与“变量”(或“表达式”)之间必须用“;”分开.( )
(2)输入语句的“变量”可以是多个变量,书写时变量之间要用“,”隔开;同样,输出语句中的“表达式”也可以是多个,书写时用“,”隔开.( )
(3)赋值语句可以对一个变量多次赋值,每次赋的新值将取代变量中的原有值.( )
(4)一个赋值语句只能给一个变量赋值.( )
答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√探究一探究二探究三【例1】 下列输入、输出语句正确的是( )
①输入语句:INPUT a,b,c,d,e
②输入语句:INPUT X=1
③输出语句:PRINT A=4
④输出语句:PRINT 10,3??2,2/3
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
解析:①INPUT语句可以给多个变量赋值,变量之间用“,”隔开;②INPUT语句中只能是变量,而不能是表达式;③PRINT语句中不用赋值号“=”;④PRINT语句可以输出常量、表达式的值.
答案:D探究一探究二探究三反思感悟解决输入语句和输出语句要明确的三个问题:
(1)输入语句要求输入的值只能是具体的常数,不能是变量或表达式(输入语句无计算功能),若输入多个数,则各数之间用“,”隔开.
(2)计算机执行到输入语句时,暂停,等候用户输入“提示内容”所提示的数据,输入后回车,则程序继续进行,“提示内容”及其后的“;”可省略.
(3)输出语句可以输出常数、变量或表达式的值(输出语句有计算功能)或字符,程序中引号内的部分将原始呈现.探究一探究二探究三变式训练1利用输入语句可以给多个变量赋值,下面能实现这一功能的语句是( )
A.INPUT “A,B,C”a,b,c
B.INPUT “A,B,C=”;a,b,c
C.INPUT a,b,c;“A,B,C”
D.PRINT “A,B,C”;a,b,c
解析:由输入语句的一般格式:
INPUT “提示内容”;变量
可知选项B正确.
答案:B探究一探究二探究三【例2】 请写出执行下列程序后输出的结果.
(1)a=5 b=3 c=(a+b)/2 d=c??c PRINT d
(2)a=1 b=2 c=a+b b=a+c-b PRINT a,b,c探究一探究二探究三(3)a=10 b=20 c=30 a=b b=c c=a PRINT a,b,c解:(1)因为a=5,b=3,c= =4,所以d=c2=16,输出d的值为16.
(2)因为a=1,b=2,c=a+b,所以c=3,b=a+c-b,即b=1+3-2=2.所以输出a,b,c的值为1,2,3.
(3)由b=20及a=b知a=20,由c=30及b=c知b=30,再由c=a及a=20知c=20.所以a=20,b=30,c=20,输出a,b,c的值是20,30,20.探究一探究二探究三反思感悟1.赋值语句的作用是首先算出赋值号右边表达式的值,然后把该值赋给赋值号左边的变量,使该变量的值等于表达式的值.
2.赋值号两边的内容不能对调,如a=b与b=a表示的意义完全不同.
3.赋值号与“等于”的意义也不同,若把“=”看作等于,则N=N+1不成立,若看作赋值号,则成立.
4.赋值语句只能给一个变量赋值,不能接连出现两个或多个“=”.可给一个变量多次赋值,但只保留最后一次所赋的值.探究一探究二探究三变式训练2写出下列语句描述的算法的输出结果.
(1)x=5 y=10 z=x??y s=x+y+z PRINT s
(2)a=4 b=2 c=a ?? b d=a+c s=a+b+c+d PRINT s探究一探究二探究三解:(1)z=5×10=50,s=5+10+50=65,输出65.
(2)c=4×2=8,d=4+8=12,
s=4+2+8+12=26,输出26.探究一探究二探究三【例3】已知一个正三棱柱的底面边长为a,高为h,试设计一个程序来求解这个正三棱柱的表面积和体积,并画出程序框图.
分析先根据三棱柱的表面积和体积公式画出程序框图,再用算法语句表示.探究一探究二探究三解:程序框图如图所示.
程序:
INPUT “a=”;a
INPUT “h=”;h
S=SQR(3)??a∧2/4
V=S ?? h
C=3 ?? a
T=C ?? h
P=T+2??S
PRINT “体积:”;V
PRINT “表面积:”;P
END探究一探究二探究三反思感悟输入语句、输出语句、赋值语句基本上对应于算法中的顺序结构,编写程序时“INPUT语句”是输入框中的信息,赋值语句是处理框中的信息,“PRINT语句”是输出框中的信息.编写程序的步骤:(1)首先根据问题要求构思算法分析;(2)然后把算法分析转化为程序框图,即画出程序框图;(3)最后把程序框图转化为程序.要注意转化过程中这三种基本结构与相应语句的对应.熟练后可直接写出程序.探究一探究二探究三变式训练3
给出如图所示的程序框图,写出相应的算法语句.探究一探究二探究三解:算法语句如下:
INPUT “x,y=”;x,y
x=x/2
y=3??y
PRINT x,y
x=x-y
y=y-1
PRINT x,y
END12341.(2017黑龙江红岗区期末)将两个数a=-1,b=-2交换,使a=-2,b=-1,下列语句正确的是( )
A.a=b b=a B.c=a a=b b=c C.b=a a=b D.a=c c=b b=a
解析:先把a的值赋给中间变量c,再把b的值赋给变量a,最后把c的值赋给变量b,故选B.
答案:B12342.已知程序如图,若输入A的值为1,则程序执行后输出A的值为( )
INPUT “A=”;A
A=A??2
A=A ?? 3
A=A ?? 4
A=A ?? 5
PRINT A
END
A.5 B.6 C.15 D.120
解析:该程序输出的结果为A=1×2×3×4×5=120.
答案:D12343.下列语句:
①输入语句 INPUT a;b;c
②输入语句 INPUT a+2
③输出语句 PRINT A+B=4
④输出语句 PRINT 5,6 ?? 3
⑤赋值语句 3=A+B
⑥赋值语句 A=A+3
其中正确的有 .(填序号)?
解析:①错误,变量之间应该用“,”隔开;②错误,输入语句只能给变量赋值,不能给表达式a+2赋值;③错误,输出语句不能用赋值号“=”;④正确,输出语句可以输出常量、表达式的值;⑤错误,赋值语句“=”左边只能是变量的符号,而不能是具体的值;⑥正确,它是将含有变量自身的表达式的值赋予变量的形式.
答案:④⑥12344.下列语句执行后,A,B的值分别为 .?
A=2
B=3
B=A ?? A
A=A+B
B=A+B
解析:∵A=2,B=3,
∴执行第三行后B=4,执行第四行后A=6,执行第五行后B=10,
∴执行语句后A=6,B=10.
答案:6,10课件28张PPT。1.2.2 条件语句条件语句
【问题思考】
1.对于含有条件结构的算法,要转化为计算机能够理解的算法语言,只是使用输入语句、输出语句和赋值语句还行吗?还需要使用怎样的语句?
提示不行,要用与条件结构相对应的条件语句.2.关于条件语句的格式和功能,请完成下表: 3.做一做1:下列对条件语句的描述正确的是( )
A.ELSE后面的语句不可以是条件语句
B.两个条件语句可以共用一个END IF语句
C.条件语句可以没有ELSE后的语句
D.条件语句中IF-THEN和ELSE后的语句必须都有
解析:条件语句有两种格式,分别是“IF-THEN”格式和“IF-THEN-ELSE”格式.对于一个分支的条件语句可以没有ELSE后的语句.
答案:C4.做一做2:当a=1,b=3时,执行完下面一段程序后x的值是( )
IF aA.1 B.3 C.4 D.-2
解析:∵a=1,b=3,a答案:C思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)条件语句与程序框图中的循环结构相对应.( )
(2)条件语句中的“THEN”“ELSE”可以理解为“那么”“否则”的意思.( )
(3)条件语句是以IF开始,END IF结束,END IF不可缺少.( )
(4)格式一中的条件语句只有一个语句体,是满足条件时执行语句体.格式二中的条件语句含有两个语句体,满足条件时执行一个语句体;不满足条件时执行另一个语句体.( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√探究一探究二探究三【例1】 输入一个实数x,若它是非负数,就输出它;否则不输出它,画一个程序框图解决这个问题,再写出相应的程序.
分析由于不满足条件的情况下不输出,故选择“IF-THEN-END IF”条件语句.探究一探究二探究三解:程序框图如图所示. 程序如下:
INPUT “x=”;x IF x>=0 THEN PRINT x END IF END
反思感悟“IF-THEN-END IF”语句的选择及注意点
(1)当判断语句的两个出口语句只有一个要执行时,采用“IF-THEN-END IF”语句.
(2)在“IF-THEN-END IF”语句中,“条件”表示判断的条件,“语句”表示当满足条件时执行的操作内容,当条件不满足时,结束程序,END IF表示条件语句的结束.探究一探究二探究三变式训练1编写程序并画出程序框图,任意输入三个实数,输出这三个实数中的最小数.
解:程序框图如下: 程序如下:
INPUT a,b,c IF a>b THEN a=b END IF IF a>c THEN a=c END IF PRINT a END探究一探究二探究三探究一探究二探究三解:程序框图如图所示.
程序如下:
INPUT x
IF x<0 THEN
y=SQR(-x)
ELSE
y=SQR(x)
END IF
PRINT y
END探究一探究二探究三【互动探究】本例若用“IF-THEN-END IF”语句编写程序,则程序如何?
解:程序如下:
INPUT x
IF x<0 THEN
x=-x
END IF
y=SQR(x)
PRINT y
END探究一探究二探究三反思感悟“IF-THEN-ELSE-END IF”语句的选择及注意点
(1)当判断语句的两个出口语句都要执行时,采用“IF-THEN-ELSE-END IF”语句.
(2)首先确定条件和语句体.条件即为判断框内的条件,故在IF后.判断框中“是”后的执行框中的内容,是THEN后的语句体1,“否”后的执行框中(如果有的话)的内容,是ELSE后的语句体2.
(3)然后按照格式书写程序.探究一探究二探究三变式训练2根据下面的程序画出其相应的程序框图.
INPUT x
IF x>=SQR(2) THEN
y=x-SQR(2)
ELSE
y=SQR(2)-x
END IF
PRINT y
END探究一探究二探究三解:程序框图如下: 探究一探究二探究三【例3】 已知分段函数 编写一个程序,要求输入
自变量x的值,输出相应的函数值并画出程序框图.
分析分析分段函数→画出程序框图→写出程序语言.探究一探究二探究三解:程序框图和程序如下:
INPUT x IF x<0 THEN y=-x+1 ELSE IF x=0 THEN y=0 ELSE y=x+1 END IF END IF PRINT y END探究一探究二探究三反思感悟1.已知分段函数的解析式求函数值的问题,须用条件语句书写程序,当条件的判断有两个以上的结果时,可以选择条件结构嵌套去解决.
2.常规格式(注意根据题目需要也可用2个以上的条件语句嵌套):探究一探究二探究三变式训练3已知下列程序:
INPUT x
IF x<=-1 THEN
y=-x-1
ELSE
IF x>1 THEN
y=-x∧2+1
ELSE
y=x-1
END IF
END IF
PRINT “y=”;y
END
若输出的是y=0.75,则输入的x是 .?探究一探究二探究三解析:由程序可知,本题为根据输入的x,求函数
x=-1.75.
答案:-1.7512341.若输入x=3,则根据如图所示的程序输出的结果是( )
INPUT x
IF x>4 THEN
y=x∧2+4
ELSE
y=x∧2-4
END IF
PRINT y
END
A.13 B.20 C.12 D.5
解析:∵x=3<4,∴y=x2-4=32-4=5.
答案:D12342.已知程序如图所示.
INPUT “请输入一个两位正数”;x
IF x>9 AND x<100 THEN
a=x MOD 10
b=(x-a)/10
x=10*a+b
PRINT x
ELSE
PRINT “输入有误”
END IF
END1234若输入的两位数是83,则输出的结果为( )
A.83 B.38 C.3 D.8
解析:当x=83时,a=3,b=8,故输出38.
答案:B12343.根据如图所示的程序,当输入a,b的值分别为2,3时,最后输出的m的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:a=2,b=3,∵2<3,∴m=3.
答案:AINPUT a,b IF a>b THEN m=a ELSE m=b END IF PRINT m END12344.(2017湖北荆门期末)执行如图所示的程序,若输出的结果是4,则输入的x的值是 .?INPUT x IF x>=0
THEN y=x∧2 ELSE y=x END IF PRINT y END1234
当x<0时,若输出的结果是4,则x=4,矛盾;
当x≥0时,若输出的结果是4,则x2=4,解得x=2.
答案:2课件37张PPT。1.2.3 循环语句一、直到型循环语句
【问题思考】
1.直到型循环结构的程序框图是什么?2.直到型循环结构对应的循环语句的一般格式和功能分别是什么?
提示直到型循环结构对应的一般格式:
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
直到型循环语句的功能:
先执行一次DO和UNTIL之间的循环体,再对UNTIL后的条件进行判断,如果条件不符合,继续执行循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍不符合,再次执行循环体,直到条件符合时为止.这时不再执行循环体,跳出循环体执行UNTIL语句之后的语句.3.做一做1:下列循环语句,循环终止时i等于( )
i=1
DO
i=i+1
LOOP UNTIL i>4
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:∵LOOP UNTIL i>4,
∴当i=5时,循环终止.
答案:C二、当型循环语句
【问题思考】
1.当型循环结构的程序框图是什么?
提示当型循环结构:2.当型循环结构对应的循环语句的一般格式和功能分别是什么?
提示当型循环结构对应的循环语句的一般格式:
WHILE 条件
循环体
WEND
当型循环语句的功能:
先判断条件的真假,如果条件符合,就执行WHILE和WEND之间的循环体,然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止,这时不再执行循环体,跳出循环体,执行WEND之后的语句.3.做一做2:下列程序运行后输出的结果为( )
i=1
WHILE i<5
i=i+2
WEND
PRINT i
END
A.1 B.3
C.5 D.7解析:该程序的执行过程是i=1,
i=1<5,是;
i=1+2=3,
i=3<5,是;
i=3+2=5,
i=5<5,否.
输出i的值为5.
答案:C思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)循环语句与程序框图中的循环结构相对应.( )
(2)直到型循环结构对应WHILE语句.( )
(3)计算机执行UNTIL语句时,先执行一次循环体,再对UNTIL后的条件进行判断.( )
(4)循环条件要正确,条件与初始值要对应.( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√探究一探究二探究三思想方法【例1】 画出计算12+32+52+…+9992的值的程序框图,并写出程序.
分析观察各项的特点及关系→确定循环语句→画程序框图→写程序探究一探究二探究三思想方法解:由题意知,各项指数相同,底数相差2,可以借助循环结构设计算法.
程序框图如图所示. 程序如下:
i=1 S=0 DO S=S+i∧2 i=i+2 LOOP UNTIL i>999 PRINT S END探究一探究二探究三思想方法【互动探究】本例若将“12+32+52+…+9992”改为“12+22+32+42+…+9992+1 0002”,则结果又如何?
解:程序框图如图所示.
程序如下:
i=1
S=0
DO
S=S+i∧2
i=i+1
LOOP UNTIL i>1 000
PRINT S
END探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.UNTIL语句的适用类型
直到型循环又称“后测试”循环,也就是我们所讲的“先执行后测试”“先循环后判断”.
2.使用UNTIL语句应关注两点:
(1)DO语句只是循环的开始标记,遇到DO语句,程序只是记住这个标记,其他什么也不做,接着执行后面的循环体,在执行一次循环体后,再检查LOOP UNTIL语句中的条件是否成立,如果不成立,就重复执行循环体,直到条件符合时退出循环.
(2)在循环体内,应注意务必有相应的语句使“条件”改变,保证能终止循环,否则循环将无休止地进行下去.探究一探究二探究三思想方法【例2】 设计一个算法,求1 000以内能被3整除的正整数的和,写出算法分析,画出程序框图,并编写程序.
分析第1个能被3整除的正整数为3,以后每个数比前一个数大3,最后一个数要比1 000小,因此要用循环结构来设计算法.
解:算法分析如下:
第一步,令i=3,S=0.
第二步,若i<1 000,则执行第三步;否则,输出S,
结束算法.
第三步,S=S+i,i=i+3,返回第二步.
程序框图如图所示.探究一探究二探究三思想方法程序如下:
i=3
S=0
WHILE i<1 000
S=S+i
i=i+3
WEND
PRINT S
END探究一探究二探究三思想方法反思感悟WHILE语句的三点注意
(1)计算机执行当型循环语句时,先判断条件的真假,若条件为真,则执行循环体,若条件为假则退出.这是确定是否应用当型循环语句的关键.
(2)在当型循环语句中,WHILE和WEND成对出现.
(3)判断条件往往是控制循环次数的变量.探究一探究二探究三思想方法变式训练1运行下面的程序后,输出的结果为 ( )
i=1
WHILE i<7
i=i+1
S=2*i-1
i=i+2
WEND
PRINT S,i
END
A.13,7 B.7,4
C.9,7 D.9,5探究一探究二探究三思想方法解析:第一次循环,i=1+1=2,S=2×2-1=3,i=2+2=4.第二次循环,i=4+1=5,S=2×5-1=9;i=5+2=7.第三次循环条件不成立,输出S=9,i=7,故选C.
答案:C探究一探究二探究三思想方法【例3】分别用当型和直到型循环语句编写一个程序,同时计算1×3×5×…×99和2×4×6×…×100的值.
分析分别用UNTIL语句与WHILE语句的结构形式进行编写.探究一探究二探究三思想方法解:(1)当型循环语句如下:
i=1
A=1
B=1
WHILE i<=100
A=A??i
i=i+1
B=B ?? i
i=i+1
WEND
PRINT A,B
END探究一探究二探究三思想方法(2)直到型循环语句如下:
i=1
A=1
B=1
DO
A=A*i
i=i+1
B=B*i
i=i+1
LOOP UNTIL i>100
PRINT A,B
END探究一探究二探究三思想方法反思感悟当型循环语句与直到型循环语句互相转化的三个注意点
(1)计算机执行的顺序不同;
(2)条件的内容不同;
(3)对循环体执行的次数不同.探究一探究二探究三思想方法变式训练2读下面甲、乙两个程序:
程序甲 程序乙
i=1 S=0 WHILE i<=1 000 S=S+i i=i+1 WEND PRINT S END i=1 000 S=0 DO S=S+i i=i-1 LOOP UNTIL i<1 PRINT S END 探究一探究二探究三思想方法对甲、乙两个程序和输出的结果表述正确的是( )
A.程序不同,结果相同 B.程序不同,结果不同
C.程序相同,结果相同 D.程序相同,结果不同
解析:执行甲、乙程序后可知都是计算1+2+3+4+…+1 000的值.
答案:A探究一探究二探究三思想方法化归与转化思想在算法中的应用
【典例】 在我国《算经十书》之一《孙子算经》中有文:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何.请设计程序解决此问题,并画出程序框图.
【审题视角】构建数学模型→算法分析→
画出程序框图→写出程序语句探究一探究二探究三思想方法解:设所求的数为m,本题相当于求解关于x,y,z的不定方程
因此,m应同时满足以下三个条件:
①m MOD 3=2;
②m MOD 5=3;
③m MOD 7=2.
从m=2开始检验条件,若有任何一个
不满足,则m加1后再检验条件,直到满足为止.
程序框图如图所示.探究一探究二探究三思想方法程序如下:
m=2
WHILE m MOD 3<>2 OR m MOD 5<>3 OR
m MOD 7<>2
m=m+1
WEND
PRINT “m=”;m
END探究一探究二探究三思想方法方法点睛1.化归与转化思想是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种解题策略.需要我们依据问题本身所提供的信息,利用所谓的动态思维,去寻找有利于问题解决的变换途径和方法,并从中进行选择,做到生疏变换成熟悉、复杂变换成简单、抽象变换成直观、含糊变换成明朗.
2.在画程序框图时可以先写出算法,由算法画出框图;在写程序时可以先写出算法,再画出框图,最后转化为程序语言;在解:应用问题时,可以先构建数学模型,再转化为算法、程序框图、程序语句,进行合理的转化是解题的关键.探究一探究二探究三思想方法变式训练某高中男子体育小组的50 m赛跑成绩(单位:s)如下:6.4,6.5,7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5,7.6,6.3,6.4,6.4,6.5,6.7,7.1,6.9,6.4,7.1,7.0.设计一个程序从这些成绩中搜索出小于6.8 s的成绩,并画出程序框图.
解:程序如下:
i=1
WHILE i<=20
INPUT Gi
IF Gi<6.8 THEN
PRINT i,Gi
END IF
i=i+1
WEND
END探究一探究二探究三思想方法程序框图如图所示. 123451.有以下程序段,其中描述正确的是( )
k=8
WHILE k=0
k=k+1
WEND
A.WHILE循环执行10次
B.循环体是无限循环
C.循环体语句一次也不执行
D.循环体语句只执行一次
解析:k=8不满足条件,跳出循环,不执行循环体.
答案:C123452.下列程序中循环体的运行次数是( )
i=40
DO
PRINT i
i=i+10
LOOP UNTIL i>90
END
A.4 B.5 C.6 D.60
解析:循环体第1次运行后,i=50,第2次运行后,i=60,第3次运行后,i=70,第4次运行后,i=80,第5次运行后,i=90,第6次运行后,i=100>90条件成立,循环终止,则共运行了6次.
答案:C123453.下面是一个求10个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为( )
S=0
i=1
DO
INPUT x
S=S+x
i=i+1
LOOP UNTIL ?
a=S/10
PRINT a
END
A.i>10 B.i<10 C.i>=10 D.i<=1012345解析:此为直到型循环,当i=1时,开始执行循环体,当i=10时,继续执行循环体,题目中求10个数的平均数,所以当i>10时应终止循环.
答案:A123454.下面程序的运行结果是 .?
i=1
s=1
WHILE i<=4
s=s*2+1
i=i+1
WEND
PRINT s
END
解析:第一次循环,s=1×2+1=3,i=1+1=2;第二次循环,s=3×2+1=7,i=2+1=3;第三次循环,s=7×2+1=15,i=3+1=4;第四次循环,s=15×2+1=31,i=4+1=5,终止循环.所以s=31.
答案:31123455.下面的程序执行后输出的结果是 .?
n=5
S=0
DO
S=S+n
n=n-1
LOOP UNTIL S>=15
PRINT n
END
解析:当n=5时,S=5;当n=4时,S=9;当n=3时,S=12;当n=2时,S=14;当n=1时,S=15.执行n=n-1得n=0.所以输出结果是0.
答案:0课件29张PPT。1.3 算法案例第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法一、辗转相除法
【问题思考】
1.在小学时,我们利用找公约数的方法来求两个正整数的最大公约数.你能利用这种方法求出36与60的最大公约数是多少吗?
提示首先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数.由于2.如果两个正整数的公约数比较大,并且根据我们的观察又不能一下子得到它们的公约数,我们又该如何求出它们的最大公约数?比如,怎样求出8 251与6 105的最大公约数?观察等式8 251=6 105×1+2 146,你发现8 251与6 105这两个数的公约数和6 105与2 146的公约数有什么关系?
提示8 251的最大约数是2 146的约数,同样6 105与2 146的公约数也是8 251的约数,故8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.3.又6 105=2 146×2+1 813,同理,6 105与2 146的公约数和2 146与1 813的公约数相等.重复上述操作,你能得到8 251与6 105这两个数的最大公约数吗?
提示8 251=6 105×1+2 146,
6 105=2 146×2+1 813,
2 146=1 813×1+333,
1 813=333×5+148,
333=148×2+37,
148=37×4+0.
最后的除数37是148和37的最大公约数,也是8 251与6 105的最大公约数.4.填空:上述这种求两个正整数的最大公约数的方法就是辗转相除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法.其算法步骤如下:
第一步,给定两个正整数m,n.
第二步,计算m除以n所得的余数r.
第三步,m=n,n=r.
第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步.
5.做一做1:求667与928的最大公约数.
解:928=667×1+261,667=261×2+145,
261=145×1+116,145=116×1+29,
116=29×4,
所以667与928的最大公约数是29. 二、更相减损术
【问题思考】
1.设两个不都是偶数的正整数m,n(m>n),若m-n=k,则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等,反复利用这个原理,可求得98与63的最大公约数是多少?
提示98-63=35,63-35=28,35-28=7,28-7=21,21-7=14,14-7=7,∴98与63的最大公约数为7.2.填空:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术.其算法步骤如下:
第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用2约简;若不是,执行第二步.
第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的差与减数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
3.做一做2:342与589的最大公约数为 .?
解析:589-342=247,342-247=95,
247-95=152,152-95=57,
95-57=38,57-38=19,38-19=19.
所以342与589的最大公约数为19.
答案:19 三、秦九韶算法
【问题思考】
1.已知多项式函数f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1,当x=5时f(5)=55+54+53+52+5+1=3 906.这种计算求值的过程中乘法运算和加法运算的次数分别是多少?
提示乘法运算10次,加法运算5次.
2.如果我们把上述多项式函数的解析式变形为f(x)=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1,计算当x=5时f(5)的值,再统计一下这种计算求值的过程中乘法运算和加法运算的次数分别是多少.
提示乘法运算4次,加法运算5次.3.填空:问题2中的算法比问题1中的算法少了6次乘法运算,大大简化了运算过程.问题2中的算法就叫秦九韶算法.
一般地,
f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0
=(anxn-1+an-1xn-2+an-2xn-3+…+a1)x+a0
=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0
=…
=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值. 4.做一做3:用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3,当x=3时的值v2= .?
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
v1=2×3+0=6;
v2=6×3+1=19.
答案:19思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数.( )
(2)用更相减损术求294和84的最大公约数时,需做减法的次数是3.( )
(3)用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值,需要进行乘法运算和加法运算的次数均为6.( )
(4)利用秦九韶算法求f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5当x=2时的值时,先求6×2+5,第二步求2×(6×2+5)+4.( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√探究一探究二思维辨析【例1】 求下列两数的最大公约数:
(1)228与2 223;
(2)612与468.
分析228与2 223相差较大,用辗转相除法求最大公约数;612与468相差较小,用更相减损术求最大公约数.
解:(1)用辗转相除法求228与2 223的最大公约数.
2 223=228×9+171,
228=171×1+57,
171=57×3.
所以228和2 223的最大公约数为57.探究一探究二思维辨析(2)首先612和468都是偶数,所以用2约简,得到306和234,还是偶数,需要再用2约简,得到153和117,最后用更相减损术计算.
153-117=36,
117-36=81,
81-36=45,
45-36=9,
36-9=27,
27-9=18,
18-9=9.
所以612和468的最大公约数是9×2×2=36.探究一探究二思维辨析反思感悟1.利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数,即利用带余除法,用数对中较大的数除以较小的数,若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的数对,再利用带余除法,直到大数被小数除尽,这时的较小数就是原来两个数的最大公约数.
2.利用更相减损术求两个正整数的最大公约数时,首先判断两个正整数是否都是偶数.若是,用2约简.也可以不除以2,直接求最大公约数,这样不影响最后结果.
3.当两个整数的差较大时,利用辗转相除法计算的次数较少.探究一探究二思维辨析变式训练1分别用辗转相除法和更相减损术求779与209的最大公约数.
解:辗转相除法:
779=209×3+152,
209=152×1+57,
152=57×2+38,
57=38×1+19,
38=19×2.
所以,779与209的最大公约数为19.探究一探究二思维辨析更相减损术:
779-209=570,
570-209=361,
361-209=152,
209-152=57,
152-57=95,
95-57=38,
57-38=19,
38-19=19.
所以779和209的最大公约数为19.探究一探究二思维辨析【例2】 用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7-6x6+4x4+3x3-2x2+x-5当x=3时的值.
分析解答本题时首先要将原多项式化成f(x)=((((((7x-6)x+0)x+4)x+3)x-2)x+1)x-5的形式,然后弄清v0,v1,v2,…,v7分别是多少,最后进行计算.探究一探究二思维辨析解:f(x)=((((((7x-6)x+0)x+4)x+3)x-2)x+1)x-5,
v0=7,v1=7×3-6=15;
v2=15×3+0=45;
v3=45×3+4=139;
v4=139×3+3=420;
v5=420×3-2=1 258;
v6=1 258×3+1=3 775;
v7=3 775×3-5=11 320.
∴当x=3时,多项式的值为11 320.探究一探究二思维辨析反思感悟利用秦九韶算法计算多项式的值的步骤 探究一探究二思维辨析变式训练2用秦九韶算法求多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6在x=5时的值.
解:由于f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6
=(((2x-6)x-5)x+4)x-6.
根据秦九韶算法,我们有
v0=2,v1=2x-6=2×5-6=4,
v2=4x-5=4×5-5=15,
v3=15x+4=15×5+4=79,
v4=79x-6=79×5-6=389.探究一探究二思维辨析用秦九韶算法求多项式的值时忽略空项而致误
【典例】 已知f(x)=x5+x3+x2+x+1,用秦九韶算法求f(3)的值.
错解因为f(x)=(((x+1)x+1)x+1)x+1,
所以当x=3时,
v0=1,v1=3+1=4,
v2=4×3+1=13,
v3=13×3+1=40,
v4=40×3+1=120+1=121,
所以当x=3时,f(3)=121.
以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?
错因分析忽视了函数f(x)中x4项的系数为0这一点,导致结果错误.探究一探究二思维辨析正解原多项式可化为
f(x)=((((x+0)x+1)x+1)x+1)x+1,
当x=3时,
v0=1,v1=1×3+0=3,v2=3×3+1=10,
v3=10×3+1=31,v4=31×3+1=94,
v5=94×3+1=283,
所以,当x=3时,f(3)=283.
防范措施当多项式中间出现空项时,用秦九韶算法求函数值要补上系数为0的相应项,即把这些项看成是0·xn.探究一探究二思维辨析变式训练用秦九韶算法求多项式f(x)=x5+0.11x3-0.15x-0.04当x=0.3时的值.
解:根据秦九韶算法,将f(x)改写为
f(x)=((((x+0)x+0.11)x+0)x-0.15)x-0.04.
按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=0.3时的值.
v0=1,
v1=v0×0.3+0=0.3,
v2=v1×0.3+0.11=0.2,
v3=v2×0.3+0=0.06,
v4=v3×0.3-0.15=-0.132,
v5=v4×0.3-0.04=-0.079 6.
即x=0.3时,f(x)=x5+0.11x3-0.15x-0.04的值为-0.079 6.12341.用辗转相除法求56与264的最大公约数,需要做除法的次数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:264=56×4+40,56=40×1+16,40=16×2+8,16=8×2.即最大公约数为8,做了4次除法,故选B.
答案:B12342.用更相减损术求123和48的最大公约数是( )
A.3 B.7 C.9 D.12
解析:123-48=75,75-48=27,48-27=21,27-21=6,21-6=15,15-6=9,9-6=3,6-3=3,所以123和48的最大公约数是3.
答案:A12343.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6当x=-4时的值,v4的值为( )
A.-57 B.220
C.-845 D.3 392
解析:由秦九韶算法有v0=3,v1=v0x+5=-7,v2=-7x+6=34,v3=34x+79=-57,v4=-57x-8=220.
答案:B12344.(2017湖南娄底期中)用秦九韶算法求多项式f(x)=x6-8x5+60x4+16x3+96x2+240x+64当x=2时,v2的值为 .?
解析:∵f(x)=x6-8x5+60x4+16x3+96x2+240x+64=(((((x-8)x+60)x+16)x+96)x+240)x+64,当x=2时,v0=1,v1=1×2-8=-6,v2=-6×2+60=48,∴v2的值为48.
答案:48课件19张PPT。第2课时 进位制一、进位制的概念
【问题思考】
1.进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,如满十进一,就是十进制;每七天为一周,就是七进制;每十二个月为一年,就是十二进制;每六十分钟为一个小时,就是六十进制等等.一般地,“满k进一”就是k进制,其中k称为k进制的基数.那么k是一个什么范围内的数?
提示k是大于1的整数.
2.十进制使用0~9十个数字,那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字?
提示二进制使用0和1两个数字;五进制使用0~4五个数字;七进制使用0~6七个数字.
3.填空:进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,“满几进一”就是几进制,几进制的基数就是几. 二、进位制之间的相互转化
【问题思考】
1.如何将二进制数110011(2),八进制数7342(8)分别化为十进制数?
提示110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=51,
7342(8)=7×83+3×82+4×81+2×80=3 810.
2.填空:将k进制数anan-1…a1a0(k)化为十进制的方法为:把k进制数anan-1…a1a0(k)写成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,然后计算出结果即为对应的十进制数,即anan-1an-2…a0(k)=
an×kn+an-1×kn-1+…a1k1+a0k0. 3.如何将十进制数89化为二进制数?
提示因为89=2×44+1,
44=2×22+0,
22=2×11+0,
11=2×5+1,
5=2×2+1,
2=2×1+0,
1=2×0+1,
所以89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1
=2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1
=…
=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20
=1011001(2).4.上述化十进制数89为二进制数的算法叫做除2取余法,转化过程有些复杂.观察下面的算式,你有什么发现吗?
提示把算式中各步所得的余数按箭头方向从下向上写出,即为89的二进制数.
5.做一做:把二进制数1011(2)化为十进制数为 ,把八进制数127(8)化为十进制数为 .?
解析:1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20=11.
127(8)=1×82+2×81+7×80=87.
答案:11 87思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)二进制使用0,1两个数字,六进制使用0,1,2,3,4,5六个数字.( )
(2)十进制数化为k进制数是采取除k取余法,即用k连续去除十进制数所得的商,最后将余数顺排写出.( )
(3)k进制数化为十进制数是把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式,再计算出结果即可.( )
答案:(1)√ (2)× (3)√探究一探究二探究三【例1】 将下列各数化为十进制数.
(1)11001000(2); (2)310(8).
分析解答本题时可按其他进制转化为十进制的方法,先写成不同位上的数乘以基数的幂的形式,再相加求和.
解:(1)11001000(2)=1×27+1×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+0×20=200;
(2)310(8)=3×82+1×81+0×80=200.
反思感悟将k进制数化为十进制数的方法是:先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果.探究一探究二探究三变式训练1把六进制数3251(6)化为十进制数为 ,把十六进制数259(16)化为十进制数为 .?
答案:751 601探究一探究二探究三【例2】 (1)将194化为八进制数;
(2)将48化为二进制数.
分析将数除以k,再将所得商除以k,直到商为0为止,将余数倒序写出.探究一探究二探究三探究一探究二探究三反思感悟十进制数化为k进制数的步骤 探究一探究二探究三变式训练2(1)把十进制数8 543转化为七进制数;
(2)把十进制数1 285转化为十六进制数.探究一探究二探究三【例3】 把1234(5)转化为六进制数.
分析五进制数→十进制数→六进制数
解:1234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=194.
则1234(5)=522(6).
反思感悟把一个非十进制数转化为另一个非十进制数时,要先把这个数转化为十进制数,再利用“除k取余法”转化为另一个非十进制数.探究一探究二探究三变式训练3将七进制数235(7)转化为八进制数.
解:235(7)=2×72+3×71+5×70=124,利用除8取余法得124=174(8),过程如图所示.所以235(7)转化为八进制数为174(8).12341.(2017湖南娄底期中)下列四个数中,数值最小的是( )
A.25 B.54(6) C.10111(2) D.26(8)
解析:∵对于B,54(6)=5×61+4×60=34;对于C,10111(2)=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20=23;对于D,26(8)=2×81+6×80=22,所以四个数中26(8)最小.故选D.
答案:D12342.把53化为三进制数为( )
A.2122(3) B.1222(3)
C.2221(3) D.312(3)
解析:用除3取余法可得53=1222(3).
答案:B12343.五位二进制数能表示的最大十进制数为( )
A.21 B.31
C.41 D.51
解析:11111(2)=1×24+1×23+1×22+1×21+1×20=31.
答案:B12344.七进制数中各个数位上的数字只能是 中的一个.?
解析:“满几进一”就是几进制.因为进位制是七进制,所以满七进一,根本不可能出现7或比7大的数字,所以各个数位上的数字只能是0,1,2,3,4,5,6中的一个.
答案:0,1,2,3,4,5,6