第一章 数与式
第6节 二次根式
考点1. 二次根式的概念和性质
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式：式子__ _叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件
①被开方数__ __；
②被开方数中__ __的因数或因式．
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．
注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关.
2．二次根式的性质：
(1) （a≥0）具有 ，一是 ，二是 ．
(2()2＝____________．
(3)＝|a|＝
考点2. 二次根式的运算
1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 ．
2.乘除运算： （1）二次根式的乘法：·＝__ __(a≥0，b≥0)．
（2）二次根式的除法：＝__ __(a≥0，b＞0)．
3.运算顺序：先算 ，再算 ，最后算 ，如果有 ，就先算 里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点1.二次根式的意义及性质
◇典例：
【例1】(2017云南中考)使有意义的x的取值范围为________．
【解析】根据二次根式有意义的条件可得9－x≥0；即x≤9.
【答案】x≤9
◆变式训练
.要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x= B． x≠ C．x≥ D． x≤
（2015滨州）如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是 ( )
.若x、y满足，则的值等于( )
A. 3 B. C. D.
■考点2. 最简二次根式与同类二次根式
◇典例:【例1】（2016·四川南充）下列计算正确的是（ ）
A． =2 B． = C． =x D． =x
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．
【解答】A、=2，正确；
B、=，故此选项错误；
C、=﹣x，故此选项错误；
D、=|x|，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【例2】(2015曲靖一模)下列式子为最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【解析】最简二次根式要满足：(1)被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；(2)被开方数中不含分母；(3)分母中不含根式．
【答案】A
【例3】(1)（2016龙岩）与是同类二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为5的选项即可
【答案】C
◆变式训练
（2016南充）下列计算正确的是 ( )
A． B． C． D．
下列运算中，错误的有 ( )个
①，②，③，④.
A．1 B．2 C．3 D．4
下列各式与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
■考点3. 二次根式的运算?
◇典例：【例1】(2015·黑龙江哈尔滨）计算＝
【分析】原式先化为同类二次根式,然后再合并即可.
解：原式=2－3×=2－=.
【例2】(1)当l
(2)a、b、c在数轴上对应点如图，化简
【分析】利用二次根式的非负性这一性质去进行根式的化简时，注意符号运算．
解：(1) ∵10,
∴
(2)由数轴可知，0 ∴-a<0，a+b<0，c<0
∴.
◆变式训练
化简： 。
【解析】原式==4-2=2
（2016·内蒙古包头）计算：6﹣（+1）2= ．
（2016·山东潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
下列运算中错误的是 ( )
A． B． C． D．
化简：的结果等于 ( )
A．a-2 B．a+2 C． D．
已知，则的值为( )
A．2 B．4 C．5 D．7
（2015孝感）已知，则代数式的值是 ( )
A．0 B． 2 C．2+ D．2 -
(2016乐山)在数轴上表示实数a的点如图所示，化简的结果为 ( )
A．-7 B．-3 C．7 D．3
（2015日照）若，则x的取值范围是
已知，则 ．
当a<1时，化简的结果是 ．
计算：(1)．
观察下列运算
，，，
…，
利用上面的规律计算
.
(2014曲靖一模)下列无理数中，在－2与1之间的是( )
A．－ B．－ C. D.
(2016开远中考)化简：|a－1|＋()2的结果为( )
A．4－2a B．0 C．2a－4 D．4
对于二次根式，以下说法不正确的是( )
A．它是一个正数 B．是一个无理数 C．是最简二次根式 D．它的最小值是3
(临川中考)已知x＜2，则化简的结果是( )
A．x－2 B．x＋2 C．－x－2 D．2－x
(2016曲靖二模)实数a，b满足＋4a2＋4ab＋b2＝0，则ba的值为( )
A．2 B. C．－2 D．－
若－＝(x＋y)2，则x－y的值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
（2016·贵州安顺）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
(2017太原中考)若|a－2|＋＋(c－4)2＝0，则a－b＋c＝ _．
(2016银川中考)把下列式子的分母有理化＝_______．
小明和小芳在解答题目：“先化简式子，再求值：a＋，其中a＝9”时，得出了不同答案，小明的解答是：原式＝a＋＝a＋(1－a)＝1；小芳的解答是：原式＝a＋＝a＋a－1＝2a－1＝2×9－1＝17.则________的解答错误，错误的原因是________．
计算：3－－.
（2014?福建厦门，第22题6分）先化简下式，再求值：（﹣x2+3﹣7x）+（5x﹣7+2x2），其中x=+1．
2016·广西桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：
∵a=3，b=4，c=5
∴p==6
∴S===6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
第一章 数与式
第6节 二次根式
考点1. 二次根式的概念和性质
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式：式子__(a≥0)__叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件
①被开方数__不含分母__；
②被开方数中__不含开得尽方__的因数或因式．
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．21cnjy.com
注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关.21·cn·jy·com
2．二次根式的性质：
(1) （a≥0）具有双重非负性，一是a≥0，二是≥0．
(2()2＝__a(a≥0)__．
(3)＝|a|＝
考点2. 二次根式的运算
1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 合并同类二次根式 ．2·1·c·n·j·y
2.乘除运算： （1）二次根式的乘法：·＝____(a≥0，b≥0)．
（2）二次根式的除法：＝____(a≥0，b＞0)．
3.运算顺序：先算乘方 ，再算 乘除 ，最后算加减 ，如果有 括号 ，就先算 括号 里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．【来源：21·世纪·教育·网】
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点1.二次根式的意义及性质
◇典例：
【例1】(2017云南中考)使有意义的x的取值范围为________．
【解析】根据二次根式有意义的条件可得9－x≥0；即x≤9.
【答案】x≤9
◆变式训练
.要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x= B． x≠ C．x≥ D． x≤
解:由题意得：5x﹣3≥0，解得：x≥，
故选C．
（2015滨州）如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是 ( ) 2-1-c-n-j-y
【答案】C
.若x、y满足，则的值等于( )
A. 3 B. C. D.
解:∵，
∴
.∴.
故选B.
■考点2. 最简二次根式与同类二次根式
◇典例:【例1】（2016·四川南充）下列计算正确的是（ ）
A． =2 B． = C． =x D． =x
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．
【解答】A、=2，正确；
B、=，故此选项错误；
C、=﹣x，故此选项错误；
D、=|x|，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【例2】(2015曲靖一模)下列式子为最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【解析】最简二次根式要满足：(1)被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；(2)被开方数中不含分母；(3)分母中不含根式．www-2-1-cnjy-com
【答案】A
【例3】(1)（2016龙岩）与是同类二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为5的选项即可
【答案】C
◆变式训练
（2016南充）下列计算正确的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】Ａ
下列运算中，错误的有 ( )个
①，②，③，④.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
下列各式与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】A、=2，故不与是同类二次根式，故错误；B、=2，故不与是同类二次根式，故错误；C、=5，故不与是同类二次根式，故错误；D、=2，故，与是同类二次根式，故正确；21教育网
故选D．
■考点3. 二次根式的运算?
◇典例：【例1】(2015·黑龙江哈尔滨）计算＝
【分析】原式先化为同类二次根式,然后再合并即可.
解：原式=2－3×=2－=.
【例2】(1)当l (2)a、b、c在数轴上对应点如图，化简
【分析】利用二次根式的非负性这一性质去进行根式的化简时，注意符号运算．
解：(1) ∵10,
∴
(2)由数轴可知，0 ∴-a<0，a+b<0，c<0
∴.
◆变式训练
化简： 。
【答案】2.
【解析】原式==4-2=2
（2016·内蒙古包头）计算：6﹣（+1）2= ．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案．
解：原式=6×﹣（3+2+1）
=2﹣4﹣2
=﹣4．
故答案为：﹣4．
（2016·山东潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．21世纪教育网版权所有
解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b）
=﹣2a+b．
故选：A．
下列运算中错误的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
化简：的结果等于 ( )
A．a-2 B．a+2 C． D．
【答案】B
已知，则的值为( )
A．2 B．4 C．5 D．7
【答案】B
（2015孝感）已知，则代数式的值是 ( )
A．0 B． 2 C．2+ D．2 -
【答案】C
(2016乐山)在数轴上表示实数a的点如图所示，化简的结果为 ( )
A．-7 B．-3 C．7 D．3
解：由圈可知2故选D
（2015日照）若，则x的取值范围是
【答案】
已知，则 ．
【答案】10
当a<1时，化简的结果是 ．
解：：∵a<1, ∴a<0，原式=．
【答案】
计算：(1)．
【答案】解：原式== 4-1-3 =0．
(2) ．
【答案】解：
原式=
(3)
【答案】解：原式=
观察下列运算
，，，
…，
利用上面的规律计算
.
【答案】解∵ ，，，
…，
∴原式
(2014曲靖一模)下列无理数中，在－2与1之间的是( )
A．－ B．－ C. D.
【解析】找－与之间的数即可．
【答案】B
(2016开远中考)化简：|a－1|＋()2的结果为( )
A．4－2a B．0 C．2a－4 D．4
解：依题意a≥3,
∴|a－1|＋()2
=a-1+a-3=2a-4
故选C
对于二次根式，以下说法不正确的是( )
A．它是一个正数 B．是一个无理数 C．是最简二次根式 D．它的最小值是3
【解析】∵x2＋9总是正数，∴当x＝0时，二次根式＝＝3，是个有理数，∴B错．故选B.
【答案】B
(临川中考)已知x＜2，则化简的结果是( )
A．x－2 B．x＋2 C．－x－2 D．2－x
解：∵x＜2 ，∴x-2＜0
∴==|x－2|=2-x
故选D
(2016曲靖二模)实数a，b满足＋4a2＋4ab＋b2＝0，则ba的值为( )
A．2 B. C．－2 D．－
【解析】∵a＋1＝0，∴a＝－1.把a＝－1代入4a2＋4ab＋b2，得4×1＋4×(－1)×b＋b2＝b2－4b＋4＝(b－2)2＝0，∴b＝2.则ba＝2－1＝.www.21-cn-jy.com
【答案】B
若－＝(x＋y)2，则x－y的值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
解：依题意x-1≥0,1-x≥0 (x＋y)2≥0
∴x=1
∴(x＋y)2=0
∴x+y=0
∴y=-1
∴x－y=-2
故选C
（2016·贵州安顺）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，
解得：x≤1且x≠﹣2．
故答案为：x≤1且x≠﹣2．
(2017太原中考)若|a－2|＋＋(c－4)2＝0，则a－b＋c＝ _．
解：依题意a-2=0,b-3=0,c-4=0
∴a=2,b=3,c=4
∴a－b＋c＝ 3
(2016银川中考)把下列式子的分母有理化＝_______．
【分析】解该类型题的关键是找准有理化因式．一般①＋的有理化因式是＋；②的有理化因式是它本身．21·世纪*教育网
解：＝==
小明和小芳在解答题目：“先化简式子，再求值：a＋，其中a＝9”时，得出了不同答案，小明的解答是：原式＝a＋＝a＋(1－a)＝1；小芳的解答是：原式＝a＋＝a＋a－1＝2a－1＝2×9－1＝17.则________的解答错误，错误的原因是________．21*cnjy*com
【解析】∵＝|1－a|，a＝9，则1－a为负，去绝对值符号时式子前应加“－”，即a－(1－a)＝2a－1＝17.【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】小明；去根号时未考虑被开方数的正负性
计算：3－－.
解：原式＝3×2－3－
＝.
（2014?福建厦门，第22题6分）先化简下式，再求值：（﹣x2+3﹣7x）+（5x﹣7+2x2），其中x=+1．【版权所有：21教育】
【分析】二次根式的化简求值；整式的加减．根据去括号、合并同类项，可化简代数式，根据代数式的求值，可得答案．21教育名师原创作品
【解答】原式=x2﹣2x﹣4
=（x﹣1）2﹣5，
把x=+1代入原式，
=（+1﹣1）2﹣5
=﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，先去括号、合并同类项，再求值．
2016·广西桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明【出处：21教育名师】
例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：
∵a=3，b=4，c=5
∴p==6
∴S===6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 21*cnjy*com
如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
【考点】三角形的内切圆与内心；二次根式的应用．
【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S=即可求得S的值；
（2）根据公式S=r（AC+BC+AB），代入可得关于r的方程，解方程得r的值．
【解答】解：（1）∵BC=5，AC=6，AB=9，
∴p===10，
∴S===10；
故△ABC的面积10；
（2）∵S=r（AC+BC+AB），
∴10=r（5+6+9），
解得：r=，
故△ABC的内切圆半径r=．
