课件41张PPT。第1课时 集合的含义第一章 1.1.1 集合的含义与表示学习目标
1.了解集合与元素的含义.
2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.
3.理解集合与元素的关系.
4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 集合的概念有首歌中唱道“他大舅他二舅都是他舅”，在这句话中，谁是集合？谁是集合中的元素？答案答案 “某人的舅”是一个集合，“某人的大舅、二舅”都是这个集合中的元素.元素与集合的概念
(1)把 统称为元素，通常用 表示.
(2)把 叫做集合(简称为集)，通常用____________
表示.梳理研究对象小写拉丁字母a，b，c，…一些元素组成的总体大写拉丁字母A，B，C，…思考 知识点二 元素与集合的关系1是整数吗？ 是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？答案答案 1是整数； 不是整数.没有.梳理元素与集合的关系有且只有两种，分别为 、 ，数学符号分别为 、 .属于不属于∈?思考1 知识点三 元素的三个特性某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？答案答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准.高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.思考2 构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？答案答案 2个.集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性.思考3 “中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：“北京、上海、天津、重庆”；乙同学说：“上海、北京、重庆、天津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？答案答案 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的.由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性.只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的.梳理元素的三个特性是指 、 、 .确定性互异性无序性知识点四 常用数集及表示符号N*或N＋NZQR题型探究例1 考察下列每组对象能否构成一个集合.
(1)不超过20的非负数；解答类型一 判断给定的对象能否构成集合(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；解 对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；解 能构成集合；(3)某班的所有高个子同学；解答(4) 的近似值的全体.解 “高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；解 “ 的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.解析 A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；
B能构成集合；
C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；
D中没有明确的标准，所以不能构成集合. 跟踪训练1 下列各组对象可以组成集合的是
A.数学必修1课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数答案解析 命题角度1 判定元素与集合的关系
例2 给出下列关系：
① ∈R；② ?Q；③|－3|?N；④|－ |∈Q；⑤0?N，其中正确的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4类型二 元素与集合的关系答案解析|－3|＝3是自然数，③错；0是自然数，⑤错.
故选B.要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件.跟踪训练2 用符号 “∈”或“?”填空.
－ _____R；
－3____Q；
－1____N；
π____Z.∈答案∈??命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理
例3 集合A中的元素x满足 ∈N，x∈N，则集合A中的元素为______.0,1,2∴0≤x≤2且x∈N.∴A中的元素有0,1,2.答案解析判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法
①使用前提：集合中的元素是直接给出的.
②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现.
(2)推理法
①使用前提：对于某些不便直接表示的集合.
②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.解析 ∵1?A，
∴2×1＋a≤0，a≤－2.
又∵2∈A，
∴2×2＋a>0，a>－4，
∴－4
0，a∈R，若1?A,2∈A，则
A.a>－4 B.a≤－2
C.－4(1)若－3∈A，求a的值；类型三 元素的三个特性的应用解答解 由－3∈A且a2＋1≥1，
可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求.
∴a＝0或－1.(2)若x2∈B，求实数x的值；解答解 当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.(3)是否存在实数a，x，使A＝B.解答解 显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，
只可能a－3＝0或2a－1＝0.
若a－3＝0，
则a＝3，A＝{a－3,2a－1，a2＋1}＝{0,5,10}≠B.故不存在这样的实数a，x，使A＝B.元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等.
元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.跟踪训练4 已知集合M中含有三个元素：2，a，b，集合N中含有三个元素：2a,2，b2，且M＝N，求a，b的值.解答解 方法一 根据集合中元素的互异性，方法二 ∵两个集合相等，则其中的对应元素相同.∵集合中的元素互异，
∴a，b不能同时为零.当a＝0时，由①得b＝1，或b＝0(舍去).当b＝0时，a＝0(舍去).当堂训练1.下列给出的对象中，能组成集合的是
A.一切很大的数
B.好心人
C.漂亮的小女孩
D.方程x2－1＝0的实数根√答案234512.下面说法正确的是
A.所有在N中的元素都在N*中
B.所有不在N*中的数都在Z中
C.所有不在Q中的实数都在R中
D.方程4x＝－8的解既在N中又在Z中答案√234513.由“book中的字母”构成的集合中元素个数为
A.1 B.2
C.3 D.4答案√234514.下列结论不正确的是
A.0∈N B. ?Q
C.0?Q D.－1∈Z答案√234515.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为
A.2 B.3
C.0或3 D.0,2,3均可√答案解析解析 由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意.234511.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.
2.元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A.3.集合中元素的三个特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.本课结束课件30张PPT。第2课时 集合的表示第一章 1.1.1 集合的含义与表示学习目标
1.掌握用列举法表示有限集.
2.理解描述法格式及其适用情形.
3.学会在集合不同的表示法中作出选择和转换.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 列举法要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合.而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？答案答案 把它们一一列举出来.把集合中的元素 出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.适用于元素较少的集合.梳理一一列举思考 知识点二 描述法能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？答案答案 不能.表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}.梳理描述法常用以表示无限集或元素个数较多的有限集.表示方法是在花括号内画一竖线，竖线前写 ，竖线后写 .元素的一般符号及取值(或变化)范围元素所具有的共同特征题型探究例1 用列举法表示下列集合.
(1)小于10的所有自然数组成的集合；解答类型一 用列举法表示集合(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合.解 设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.解 设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，
那么B＝{0,1}.(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；
(2)列举法表示的集合的种类
①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；
②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；
③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}.解 满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}.跟踪训练1 用列举法表示下列集合.
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；解答解 设由1～20以内的所有素数组成的集合为C，
那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.(2)由1～20以内的所有素数组成的集合.例2 试用描述法表示下列集合.
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；类型二 用描述法表示集合解答(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.解 设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，
因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}.解 设大于10小于20的整数为x，
它满足条件x∈Z，且10因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10用描述法表示函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合.解答用描述法表示集合时应注意的四点
(1)写清楚该集合中元素的代号；
(2)说明该集合中元素的性质；
(3)所有描述的内容都可写在集合符号内；
(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略.跟踪训练2 用描述法表示下列集合.
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；解答(2)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合.解 方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}.解 “二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}.命题角度1 选择适当的方法表示集合
例3 用适当的方法表示下列集合.
(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；类型三 集合表示的综合应用解答解 列举法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}.(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合.解 列举法：{(0,0)，(2,0)}.解 描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}.用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.跟踪训练3 若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝_________________.解析 由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，
所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，
所以B＝{2 000,2 001,2 004}.{2 000,2 001,2 004}答案解析解析 因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B. 命题角度2 新定义的集合
例4 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是
A.18 B.17 D.16 D.15答案解析命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求.跟踪训练4 定义集合运算：A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B的所有元素之和为____.解析 由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，
又0＋2＋4＝6，
故集合A※B的所有元素之和为6.6答案解析当堂训练1.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为
A.{1,1} B.{1}
C.{x＝1} D.{x2－2x＋1＝0}√答案234512.一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是
A.{1，－2} B.{x＝1，y＝－2}
C.{(－2,1)} D.{(1，－2)}答案√234513.设A＝{x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是
A.6∈A B.0∈A
C.3?A D.3.5?A答案√234514.第一象限的点组成的集合可以表示为
A.{(x，y)|xy>0}
B.{(x，y)|xy≥0}
C.{(x，y)|x>0且y>0}
D.{(x，y)|x>0或y>0}答案√234515.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是
A.{x|x＝4k－1，k∈Z}
B.{x|x＝2k－1，k∈Z}
C.{x|x＝2k＋1，k∈Z}
D.{x|x＝2k＋3，k∈Z}√答案234511.在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集.若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示.
2.在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑.本课结束课件35张PPT。1.1.2 集合间的基本关系第一章 §1.1 集合学习目标
1.理解子集、真子集、空集的概念.
2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.
3.掌握列举有限集的所有子集的方法.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 子集如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？答案答案 所有的白马都是马，马不一定是白马.对于两个集合A，B，如果集合A中 元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作 (或 )，读作“ ”(或“ ”).
子集的有关性质：
(1)任何一个集合是它本身的子集，即 .
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么 .
(3)若A?B，B?A，则A＝B.梳理任意一个A?BB?AA含于BB包含AA?AA?C思考 知识点二 真子集在知识点一中，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？答案答案 用真子集.梳理如果集合A?B，但存在元素 ，称集合A是集合B的真子集，记作： (或 )，读作： (或 ).x∈B，且x?AA真包含于BB真包含A知识点三 空集思考 集合{x∈R|x2＜0}中有几个元素？答案答案 0个.梳理不含任何元素?子集知识点四 Venn图思考 图中集合A，B，C的关系用符号可表示为_________.A?B?C梳理一般地，用平面上 曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表达集合间的关系.封闭题型探究例1 (1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；类型一 求集合的子集解 ?，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}.解答(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论.解 若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集.如?，有一个子集，0个真子集.解答为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等. 跟踪训练1 适合条件{1}?A?{1,2,3,4,5}的集合A的个数是
A.15 B.16
C.31 D.32解析 这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个.答案解析 命题角度1 概念间的包含关系
例2 设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为
A.P?N?M?Q B.Q?M?N?P
C.P?M?N?Q D.Q?N?M?P类型二 判断集合间的关系解析 正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，所以选B.答案解析一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先得准确理解概念的定义.跟踪训练2 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N、Z、Q、R表示，用符号表示N、Z、Q、R的关系为__________.解答 命题角度2 数集间的包含关系
例3 设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为
A.A∈B B.B∈A
C.A?B D.B?A解析 ∵0<2，∴0∈B.
又∵1<2，∴1∈B.
∴A?B.答案解析判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察.
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.解析 由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2?A，
故有A?B. 跟踪训练3 已知集合A＝{x|－1A.A∈B B.A?B
C.B?A D.B?A答案解析例4 已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A?B，求实数a的值.类型三 由集合间的关系求参数(或参数范围)解 A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}.
(1)当a＝0时，B＝??A，符合题意.解答综上，a＝0或a＝1.集合A的子集可分三类：?、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略?.跟踪训练4 已知集合A＝{x|1A.{x∈R|x2－1＝0}
B.{x|x＞6或x＜1}
C.{(x，y)|x2＋y2＝0}
D.{x|x＞6且x＜1}√答案234512.集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为
A.P?T B.P∈T
C.P＝T D. P T答案√234513.下列关系错误的是
A.??? B.A?A
C.??A D.?∈A答案√234514.下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是答案23451√5.若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A?B，则实数a可以是
A.3 B.4
C.5 D.6√答案234511.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但xD∈A./2.集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉.
3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为?的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.本课结束课件34张PPT。第1课时 并集与交集第一章 1.1.3 集合的基本运算学习目标
1.理解并集、交集的概念.
2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.
3.会求简单集合的并集和交集.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 并集某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛.已知两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛人数吗？答案答案 19人.参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19人.梳理(1)定义：一般地， 的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作 (读作“A并B”).
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝ .
(3)图形语言： 、 阴影部分为A∪B.
(4)性质：A∪B＝ ，A∪A＝ ，A∪?＝ ，A∪B＝A? ，
A A∪B. 由所有属于集合A或属于集合BA∪B{x|x∈A，或x∈B}B∪AAAB?A?思考 知识点二 交集一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？答案答案 1张.红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张.(1)定义：一般地，由 元素组成的集合，称为A与B的交集，记作 (读作“A交B”).
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝ .
(3)图形语言： 阴影部分为A∩B.
(4)性质：A∩B＝ ，A∩A＝ ，A∩?＝ ，A∩B＝A? ，
A∩B A∪B，A∩B A，A∩B B.梳理属于集合A且属于集合B的所有A∩B{x|x∈A，且x∈B}B∩AA?A?B???题型探究命题角度1 数集求并集
例1 (1)已知集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合A∪B是
A.{1,3,4,5,6} B.{3}
C.{3,4,5,6} D.{1,2,3,4,5,6}类型一 求并集答案解析解析 A∪B是将两集合的所有元素合并到一起构成的集合(相同元素算一个)，因此 A∪B＝{1,3,4,5,6}，故选A.解 如图：(2)A＝{x|－13}，求A∪B.解 如图：由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}.命题角度2 点集求并集
例2 集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义.解 A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}.
其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴、y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点.解答求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数.跟踪训练2 A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}.求A∪B，并说明其几何意义.解 A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合.解答例3 (1)若集合A＝{x|－5A.{x|－3C.{x|－3如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，
即A∩B＝{x|－3A.{0} B.{1}
C.{0,1,2} D.{0,1}解析 M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，
则M∩N＝{0,1}，故选D.答案解析(3)集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B并说明其几何意义.解答解 A∩B＝{(x，y)|x>0且y>0}，其几何意义为第一象限所有点的集合.求集合A∩B的步骤
(1)首先要搞清集合A，B的代表元素是什么；
(2)把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式；
(3)把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可.跟踪训练3 (1)集合A＝{x|－13}，求A∩B；解答解 A∩B＝{x|－15}，若A∪B＝B，求a的取值范围.类型三 并集、交集性质的应用解答解 A∪B＝B?A?B.
当2a>a＋3，即a>3时，A＝?，满足A?B.
当2a＝a＋3，即a＝3时，A＝{6}，满足A?B.
当2aA.{－1,0,1} B.{－1,0,1,2}
C.{－1,0,2} D.{0,1}√答案234512.已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于
A.{0} B.{0,1}
C.{0,2} D.{0,1,2}答案√234513.已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0A.{x|x>0}
B.{x|x>1}
C.{x|1D.{x|0A.?
B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}
D.{x|0A.0或 B.0或3
C.1或 D.1或3√答案234511.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.2.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.本课结束课件34张PPT。第2课时 补集及综合应用第一章 1.1.3 集合的基本运算学习目标
1.理解全集、补集的概念.
2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.
3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 全集老和尚问小和尚：“如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？”小和尚说：“我从旁边绕过去.”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？答案答案 老和尚设定的运动方向只有2个：前进，后退.小和尚偷换了前提：运动方向可以是四面八方任意方向.梳理所有元素U思考 知识点二 补集实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？答案答案 剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}.梳理不属于集合A?UA{x|x∈U，且x?A}题型探究 例1 (1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则?UA等于
A.{x|0C.{x|0A＝{x∈R|－2≤x≤0}，
∴?UA＝{x|0所以?UA＝{4,5,6,7,8}，?UB＝{1,2,7,8}.解 根据三角形的分类可知A∩B＝?，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
?U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}.求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解.跟踪训练1 (1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?UA＝________.
(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则?UA＝____________.
(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则?UA＝______________.答案{3,4,5}{x|－1＜x＜2}{(x，y)|xy≤0}命题角度1 补集性质在集合运算中的应用
例2 已知A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，?UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.类型二 补集性质的应用解答解 ∵A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}.
而?UB＝{－1,0,2}，
∴B＝?U(?UB)＝{－3,1,3,4,6}.从Venn图的角度讲，A与?UA就是圈内和圈外的问题，由于(?UA)∩A＝?，(?UA)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推.跟踪训练2 如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.{x|0≤x≤1或x＞2}答案解析解析 A∩B＝{x|1由图可得A*B＝?(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}.命题角度2 补集性质在解题中的应用)
例3 关于x的方程：x2＋ax＋1＝0， ①
x2＋2x－a＝0， ②
x2＋2ax＋2＝0， ③
若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围.解答运用补集思想求参数取值范围的步骤：
(1)把已知的条件否定，考虑反面问题；
(2)求解反面问题对应的参数的取值范围；
(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集.跟踪训练3 若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围.解 假设集合A中含有2个元素，
即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，解答解析 ∵?U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}，
又∵B＝{1,2}，∴?UB＝{3,4}，
A中必有3，可以有1,2，一定没有4.
∴A∩(?UB)＝{3}. 例4 (1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(?UB)等于
A.{3} B.{4}
C.{3,4} D.?类型三 集合的综合运算答案解析(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(?RB)＝R，则实数a的取值范围是______.a≥2答案解析解析 ∵?RB＝{x|x<1或x>2}且A∪(?RB)＝R，
∴{x|1≤x≤2}?A，∴a≥2.解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴.解析 根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故选B.跟踪训练4 (1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(?UA)∩(?UB)＝{1,3,7}，A∩(?UB)＝{4,9}，则B等于
A.{1,2,3,6,7} B.{2,5,6,8}
C.{2,4,6,9} D.{2,4,5,6,8,9}答案解析(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2∵A＝{x|－2∴?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3或2A∩B＝{x|－2∴(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(?UB)＝{x|2A.U B.{1,3,5}
C.{3,5,6} D.{2,4,6}√答案234512.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)等于
A.{1,3,4} B.{3,4}
C.{3} D.{4}答案√234513.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T等于
A.{x|－2C.{x|x≤1} D.{x|x≥1}答案√234514.设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是
A.Z∪?UN B.N∩?UN
C.?U(?U?) D.?UQ答案√234515.设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(?UN)＝{2,4}，则N等于
A.{1,2,3} B.{1,3,5}
C.{1,4,5} D.{2,3,4}√答案234511.全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集.因此，全集因研究问题而异.
(2)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.(3)?UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A?U；其次是定义?UA＝{x|x∈U，且x?A}，补集是集合间的运算关系.
2.补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.本课结束课件44张PPT。1.2.1 函数的概念第一章 §1.2 函数及其表示学习目标
1.理解函数的概念.
2.了解构成函数的三要素.
3.能正确使用函数、区间符号.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 函数的概念初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图象？答案答案 因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念. 函数的概念：
设A，B是 的 集，如果按照某种确定的 ，使对于集合 中的 一个数x，在集合 中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 ，x∈A.其中，x叫做
，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做
，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ，值域是集合B的子集.
特别提醒：对于函数的定义，需注意以下几点：
①集合A，B都是非空数集；②集合A中元素的无剩余性；③集合B中元素的可剩余性，即集合B不一定是函数的值域，函数的值域一定是B的子集.梳理非空对应关系fA任意唯一确定y＝f(x)自变量B定义域值域函数值数思考 知识点二 函数相等函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？答案答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数.梳理一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域.如果两个函数的
相同，并且 完全一致，我们就称这两个函数相等.
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同.定义域对应关系知识点三 区间(1)区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：(2)注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或
＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号.
②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大.题型探究命题角度1 给出三要素判断是否为函数
例1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数.
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；类型一 函数关系的判断(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；解 A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数.解答解 对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数.解 集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数.(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ ；解答(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.解 对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数.判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：
(1)A，B必须是非空数集；
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一. 解析 A中x＝0时，绝对值还为0，集合B中没有0；B中x＝1时，绝对值x－1＝0，集合B中没有0；C正确；D不正确.跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是
A.A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→
B.A＝N，B＝N*，f：x→|x－1|
C.A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
D.A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→解析答案 命题角度2 给出图形判断是否为函数图象
例2 下列图形中不是函数图象的是解析 A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于A中至少有一个元素在B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，其余B、C、D均符合函数定义.解析答案判断一个图象是函数图象的方法，作任何一条垂直于x轴的线，不与已知图象有两个或以上的交点的，就是函数图象.解析 A中定义域为[－2,0]，不符合题意 ；
B中定义域为[－2,2]，值域为[0,2]，符合题意；
C中存在一个x值对应2个y值的情形，不是函数；
D中定义域为[－2,2]，但值域不是[0,2]，不符合题意. 跟踪训练2 若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是解析答案例3 求下列函数的定义域.类型二 已知函数的解析式，求其定义域解答解答解 由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以x>－2且x≠－1.解答求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.跟踪训练3 函数f(x)＝ 的定义域为______________.{x|x≥0且x≠1}答案解析故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}.例4 下列函数中哪个与函数y＝x相等？类型三 函数相等解答解 y＝( )2＝x(x≥0)，y≥0，定义域不同且值域不同，所以不相等；解答y≥0；值域不同，且当x<0时，它的对应关系与函数y＝x不相同，
所以不相等；在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相等.值域相等，只是前两个要素相等的必然结果.跟踪训练4 下列各组中的两个函数是否为相等的函数？解答解 两函数定义域不同，所以不相等；例5 (1)已知函数f(x)＝ ，若f(a)＝4，则实数a＝____.类型四 对于f(x)，f(a)的理解答案14∴a＋2＝16，a＝14.解析(2)已知f(x)＝ (x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
①求f(2)，g(2)的值；解答又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.②求f(g(2))的值；解答③求f(a＋1)，g(a－1).g(a－1)＝(a－1)2＋2＝a2－2a＋3.f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，只需把相应的x都换成对应的数或式子即可.跟踪训练5 已知f(x)＝ (x≠－1).
(1)求f(0)及f(f( ))的值；解答解答(2)求f(1－x)及f(f(x)).当堂训练1.对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个√答案234512.区间(0,1)等于
A.{0,1}
B.{(0,1)}
C.{x|0D.{x|0≤x≤1}答案√234513.对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是
A.f(a)∈B
B.f(a)有且只有一个
C.若f(a)＝f(b)，则a＝b
D.若a＝b，则f(a)＝f(b)答案√23451答案√23451解析5.下列各组函数是同一函数的是√答案解析23451A.①② B.①③ C.③④ D.①④23451④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数.1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可.
2.定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x的集合.3.在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t等表示自变量.关于对应关系f，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当在f( )中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值.如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值.本课结束课件39张PPT。第1课时 函数的表示法第一章 1.2.2 函数的表示法学习目标
1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.
2.掌握求函数解析式的常见方法.
3.尝试作图并从图象上获取有用的信息.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 解析法一次函数如何表示？答案答案 y＝kx＋b(k≠0).梳理一般地，解析法是指：用 表示两个变量之间的对应关系.数学表达式思考 知识点二 图象法要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？答案答案 一图胜千言.梳理一般地，图象法是指：用 表示两个变量之间的对应关系；这样可以直观形象地表示两变量间的变化趋势.图象思考 知识点三 列表法在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字.设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？答案答案 对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示.这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系. 一般地，列表法是指：列出 来表示两个变量之间的对应关系.
函数三种表示法的优缺点：梳理表格题型探究例1 根据下列条件，求f(x)的解析式.
(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；解答类型一 解析式的求法解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1，解答∴f(x)＝x2－2.∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.解答解 ∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，(1)如果已知函数类型，可以用待定系数法.
(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设 t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式.
(3)如果条件是一个关于f(x)、f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值.如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)、f(－x)的方程，然后消元消去f(－x).解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，跟踪训练1 根据下列条件，求f(x)的解析式.
(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；解答∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.解 设x＋1＝t，
则x＝t－1，f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；解答解答命题角度1 画函数图象
例2 试画出函数y＝ 的图象.类型二 图象的画法及应用解答解 由1－x2≥0解得函数定义域为[－1,1].
当x＝±1时，y有最小值0.当x＝0时，y有最大值1.描点法作函数图象的三个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.跟踪训练2 作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；解答解 列表：当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，
观察图象可知，其值域为[1,5].(2)y＝ ，x∈[2，＋∞)；解答解 列表：当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝ 的一部分，观察图象可知其值域为(0,1].(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2].解答解 列表：画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分.
由图可得函数的值域是[－1,8].命题角度2 函数图象的应用
例3 已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为____________，值域为________.[－2,4]∪[5,8]解析 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合.答案解析[－4,3]函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，寻求最优解.解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)图象如图，
f(x)与直线y＝m图象有2个不同交点，
由图易知－1在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析.解答解 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示.跟踪训练4 若函数f(x)如下表所示：则f(f(1))＝___.1解析 ∵f(1)＝2，
∴f(f(1))＝f(2)＝1.答案解析当堂训练A.1 B.2
C.3 D.41.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于√答案234512.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是
A.f(x)＝x2－1
B.f(x)＝－(x－1)2＋1
C.f(x)＝(x－1)2＋1
D.f(x)＝(x－1)2－1答案√234513.已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为答案√234514.某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是答案23451√5.画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图象，并求出y的最大值，最小值.解答解 y＝2x2－4x－3(0由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3.
由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，
∴当x＝1时，ymin＝－5.234511.如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域.主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法).
2.如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等.
3.如何用函数图象
常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题.本课结束课件38张PPT。第2课时 分段函数及映射第一章 1.2.2 函数的表示法学习目标
1.会用解析法及图象法表示分段函数.
2.给出分段函数，能研究有关性质.
3.了解映射的概念.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 分段函数设集合A＝R，B＝[0，＋∞).对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B中的y＝x；若x＜0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对算不算函数？答案答案 算函数.因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应.(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数.
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 .
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.对应关系梳理并集空集思考 知识点二 映射设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长.这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？答案答案 因为A不是非空数集，故该对应不是函数.但满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”.映射的概念
设A，B是两个非空的 ，如果按某一个确定的 f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中 确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的 .
函数一定是映射，映射不一定是函数.集合梳理对应关系都有唯一一个映射题型探究例1 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象.解答类型一 建立分段函数模型解 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，
AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，图象如图所示：当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解答解 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20].函数图象如图所示：命题角度1 给x求y类型二 研究分段函数的性质解答解 ∵－5∈(－∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4.引申探究
例2中f(x)解析式不变，若x≥－5，求f(x)的取值范围.解答解 当－5≤x≤－2时，f(x)＝x＋1∈[－4，－1]；
当－2当x≥2时，f(x)＝2x－1∈[3，＋∞)；
∴x≥－5时，f(x)∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞).分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间；
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.(1)求f(f(f(5)))的值；解答解 因为5>4，
所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，
所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1<4，
所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.(2)画出函数f(x)的图象.解答解 f(x)的图象如下：命题角度2 给y求x(1)若f(x0)＝8，求x0的值；解答解 当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意；(2)解不等式f(x)>8.解答已知函数值求变量x取值的步骤：
(1)先对x的取值范围分类讨论；
(2)然后代入到不同的解析式中；
(3)通过解方程求出x的解；
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内；
(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来.(1)画出f(x)的图象；解 利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.解答解答(3)求f(x)的值域.解答解 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1].解 按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.例4 以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？
(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；类型三 映射的概念解答解 按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；解答解 由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.解 新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射.映射是一种特殊的对应，它具有：
(1)方向性：一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；
(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多. 跟踪训练4 设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是
A.f：x→y＝x2 B.f：x→y＝3x－2
C.f：x→y＝－x＋4 D.f：x→y＝4－x2解析 对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射.答案解析当堂训练1.如图中所示的对应：
其中构成映射的个数为
A.3 B.4 C.5 D.6 √答案234512.f(x)的图象如图所示，其中0≤x≤1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是答案√23451A.1 B.0 C.2 D.－1答案√23451答案√23451A.1 B.0
C.－1 D.π√答案234511.对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数.
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.
(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况.
2.函数与映射的关系
映射f：A→B，其中A、B是两个非空的集合；而函数y＝f(x)，x∈A，A为非空的数集，其值域也是数集.于是，函数是数集到数集的映射.
由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.本课结束课件35张PPT。第1课时 函数的单调性第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值学习目标
1.理解函数单调区间、单调性等概念.
2.会划分函数的单调区间，判断单调性.
3.会用定义证明函数的单调性.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 函数的单调性画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？答案答案 两函数的图象如下：?函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；函数f(x)＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义：
设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 .梳理增函数减函数思考 知识点二 函数的单调区间我们已经知道f(x)＝x2的减区间为(－∞，0]，f(x)＝ 的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？答案答案 f(x)＝x2的减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝ 的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f(x)＝ 的定义域.梳理一般地，有下列常识：
(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.
(2)单调区间D?定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.题型探究例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解答类型一 求单调区间并判断单调性解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.跟踪训练1 写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性.解答所以y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞).命题角度1 证明具体函数的单调性
例2 证明f(x)＝ 在其定义域上是增函数.类型二 证明单调性证明设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x1例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数.证明证明 方法一 设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2.令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0.
f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.
∵x>0，∴f(x)>1，f(x)－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)在R上是增函数.
方法二 设x1>x2，则x1－x2>0，
从而f(x1－x2)>1，即f(x1－x2)－1>0.
f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2)，故f(x)在R上是增函数.因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值.跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0∵当x＞0时，0＜f(x)＜1，∴f(1)≠0，∴f(0)＝1.
令m＝x＜0，n＝－x＞0，
则f(m＋n)＝f(0)＝f(－x)·f(x)＝1，∴f(x)f(－x)＝1，
又∵－x＞0时，0＜f(－x)＜1，∴对任意实数x，f(x)恒大于0.
设任意x10，
∴0∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
∴f(x)在R上是减函数.解析 要使f(x)在R上是减函数，需满足： 命题角度1 利用单调性求参数范围类型三 单调性的应用答案解析分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超.另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.跟踪训练4 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，则实数a的取值范围为____________.解析 由于二次函数开口向上，
故其增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，而f(x)在区间[1,2]上单调，
所以[1,2]?[a，＋∞)或[1,2]?(－∞，a]，即a≤1或a≥2.答案解析a≤1或a≥2命题角度2 用单调性解不等式
例5 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)C.[－2,1] D.[－1,1]1.函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是√答案234512.函数y＝ 的减区间是
A.[0，＋∞)
B.(－∞，0]
C.(－∞，0)，(0，＋∞)
D.(－∞，0)∪(0，＋∞)答案√234513.在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是
A.f(x)＝x2
B.f(x)＝
C.f(x)＝|x|
D.f(x)＝2x＋1答案√234514.已知函数y＝f(x)满足：f(－2)>f(－1)，f(－1)A.函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增
B.函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减
C.函数y＝f(x)在区间[－2,0]上的最小值是f(－1)
D.以上的三个结论都不正确答案√234515.若函数f(x)在R上是减函数，且f(|x|)>f(1)，则x的取值范围是
A.x<1
B.x>－1
C.－1D.x<－1或x>1√答案234511.若f(x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减.
2.对增函数的判断，对任意x14.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③ 单调递减(f(x)≠0).
5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商
与1比较.本课结束课件35张PPT。第2课时 函数的最大(小)值第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值学习目标
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
2.会借助单调性求最值.
3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 函数的最大(小)值在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？答案答案 最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值.一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值.
如果存在实数M满足：
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值.梳理答案 x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点.思考 知识点二 函数的最大(小)值的几何意义函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如下：
试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值. 答案梳理一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个.题型探究例1 已知函数f(x)＝ (x>0)，求函数的最大值和最小值.解答类型一 借助单调性求最值解 设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x10，x1x2－1<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0,1]上单调递增；
当1≤x10，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减.(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的.
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.跟踪训练1 已知函数f(x)＝ (x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值.解答解 设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x10，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).例2 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；类型二 求二次函数的最值解答解 ∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2).
∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；解答解 ∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.
④当11时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)， (3)已知函数f(x)＝x－2 －3，求函数f(x)的最值；解答由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增.
∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值.(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)解答解 作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.
(2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.解 设x2＝t(t≥0)，则x4－2x2－3＝t2－2t－3.
y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增.
∴当t＝1即x＝±1时，f(x)min＝－4，无最大值.跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值；解答解 ∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；解答(3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋ ，x∈[0， ].求水流喷出的高度h的最大值是多少？解答例3 已知x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.类型三 函数最值的应用解答解 方法一 令y＝x2－x＋a，
要使x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，方法二 x2－x＋a>0可化为a>－x2＋x.
要使a>－x2＋x对任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需a>(－x2＋x)max，引申探究
把例3中“x∈(0，＋∞)”改为“x∈( ，＋∞)”，再求a的取值范围.解答恒成立的不等式问题，任意x∈D，f(x)>a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)min>a来解决.任意x∈D，f(x)A.有最大值无最小值
B.有最小值无最大值
C.有最大值也有最小值
D.无最大值也无最小值答案√234513.函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值，最小值分别为
A.4,1
B.4,0
C.1,0
D.以上都不对答案√23451A.10,6 B.10,8
C.8,6 D.以上都不对答案√23451√答案234511.函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝ .如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a).
2.二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得. 本课结束课件44张PPT。第1课时 奇偶性的概念第一章 1.3.2 奇偶性学习目标
1.理解函数奇偶性的定义.
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 函数奇偶性的几何特征下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案答案 ①②关于y轴对称，③④关于原点对称.一般地，图象关于y轴对称的函数称为 函数，图象关于原点对称的函数称为 函数.梳理奇偶思考1 知识点二 函数奇偶性的定义为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？答案答案 因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断.思考2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处？答案答案 好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然.
(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作.梳理函数奇偶性的概念：
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上.
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图象上.f(－x)＝f(x)任意f(－x)＝－f(x)任意思考 知识点三 奇(偶)函数的定义域特征如果一个函数f(x)的定义域是(－1,1]，那么这个函数f(x)还具有奇偶性吗？答案答案 由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，才能进一步判断f(－x)与f(x)的关系.而本问题中，1∈(－1,1]，－1?(－1,1]，f(－1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了.所以该函数既非奇函数，也非偶函数.一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于 对称.原点梳理题型探究命题角度1 已知函数解析式，证明奇偶性证明类型一 证明函数的奇偶性证明 因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，
所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；证明证明 函数的定义域为R，因函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，
又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，
所以函数为偶函数.(3)证明f(x)＝ 既是奇函数又是偶函数.证明证明 定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，
所以f(－x)＝f(x)，即该函数既是奇函数又是偶函数.利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域.跟踪训练1 (1)证明f(x)＝(x－2) 既非奇函数又非偶函数；证明证明 由 ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.(2)证明f(x)＝x|x|是奇函数.证明证明 函数的定义域为R，因f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，
所以函数为奇函数.命题角度2 证明分段函数的奇偶性
例2 判断函数f(x)＝ 的奇偶性.解答解 由题意可知f(x)的定义域为(－6，－1]∪[1,6)，
关于原点对称，
当x∈(－6，－1]时，－x∈[1,6)，
所以f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)；
当x∈[1,6)时，－x∈(－6，－1]，
所以f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x).
综上可知对于任意的x∈(－6，－1]∪[1,6)，
都有f(－x)＝f(x)，分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：
(1)定义域是否关于原点对称；
(2)对于定义域内的任意x，是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x))，只不过对于不同的x，f(x)有不同的表达式，要逐段验证是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x)).跟踪训练2 证明f(x)＝ 是奇函数.证明证明 定义域为{x|x≠0}.
若x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2，∴f(－x)＝－f(x)；
若x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x).
∴f(x)为奇函数.命题角度3 证明抽象函数的奇偶性
例3 f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性.解答解 ∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数.
f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数.
f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数.利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入－x，看总的结果. 跟踪训练3 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数答案解析解析 A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错.
B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错.
C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确.
D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，D错.命题角度1 奇(偶)函数图象的对称性的应用
例4 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示.类型二 奇偶性的应用解答(1)画出f(x)的图象；解 先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图.(2)解不等式xf(x)>0.解答解 xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).引申探究
把例4中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.解答解 (1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2).鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.跟踪训练4 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示.解答(1)画出在区间[－5,0]上的图象；解 如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.
分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，
再用光滑曲线连接即得.(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.解答解 由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.
∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5).命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值
例5 若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝____，b＝____.答案解析解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，0又f(x)为偶函数，函数奇偶性的定义有两处常用：①定义域关于原点对称；②对定义域内任意x，恒有f(－x)＝f(x)(或－f(x))成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x进行赋值.答案解析0当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.当堂训练1.下列函数为偶函数的是
A.f(x)＝x－1
B.f(x)＝x2＋x
C.f(x)＝2x－2－x
D.f(x)＝2x＋2－x√答案23451解析解析 D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.2.函数f(x)＝x(－1A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数答案√234513.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)等于
A.－1 B.1
C.－5 D.5答案√23451解析解析 函数y＝f(x)＋x是偶函数，∴x＝±2时函数值相等.
∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5，故选D.4.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是
A.1 B.2
C.3 D.4答案√234515.下列说法错误的个数是
①图象关于原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交；
⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R).
A.4 B.3
C.2 D.023451答案√1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)
?f(－x)＋f(x)＝0?f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?f(x)为偶函数.
2.两个性质：函数为奇函数?它的图象关于原点对称；函数为偶函数?它的图象关于y轴对称.
3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.本课结束课件37张PPT。第2课时 奇偶性的应用第一章 1.3.2 奇偶性学习目标
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式.
3.理解函数的奇偶性的推广——对称性.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 用奇偶性求解析式函数f(x)在区间[a，b]上的解析式与该区间函数图象上的点(x，y)有什么关系？答案答案 点(x，y)满足y＝f(x).一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式，该等式同时满足两个条件：
①定义域符合要求；
②图象上任意一点均满足该式.
特别地，如果知道函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求对称区间[－b，－a]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间[－b，－a]上任一点(x，y)，通过关于原点(或y轴)的对称点(－x，－y)(或(－x，y))满足的关系式间接找到(x，y)所满足的解析式.梳理思考 知识点二 奇偶性与单调性观察偶函数y＝x2与奇函数y＝ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？答案答案 偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y＝ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同.梳理一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.思考 知识点三 奇偶性的推广对于定义域内任意x，若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)的图象关于(0,0)对称，那么若f(1－x)＝－f(1＋x)，函数f(x)的图象又有什么特点？答案即点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))关于点(1,0)对称.一般地，对于定义域内任意x，
(1)若f(a－x)＝2b－f(a＋x)，则f(x)图象关于点(a，b)对称.当a＝b＝0时，即为奇函数定义.
(2)若f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)图象关于直线x＝a对称，当a＝0时，即为偶函数定义.梳理题型探究命题角度1 已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式
例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式.解答类型一 用奇偶性求解析式解 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.跟踪训练1 已知y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2.求y＝f(x)的解析式.解答解 设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.
因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.命题角度2 已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式
例2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝ ，求函数f(x)，g(x)的解析式.解答解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，f(x)＋g(x)＝ 对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.
因为f(x)，g(x)一奇一偶，才能把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x).跟踪训练2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.解答解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2. ①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2， ②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.命题角度1 由x的取值情况推导f(x)的取值情况
例3 设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b，－a]上是增函数.类型二 奇偶性对单调性的影响证明证明 设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2.
∵－b≤x1＜x2≤－a，∴a≤－x2＜－x1≤b.
∵f(x)在[a，b]上是减函数，∴f(－x2)＞f(－x1).
∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，
∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1).
∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2).
∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数.引申探究
区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称.
(1)若f(x)为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最____值_____.小解析 设x∈[－b，－a]，则－x∈[a，b]，
∴f(－x)≤M且存在x0∈[a，b]，使f(x0)＝M.
∵f(x)为奇函数，∴－f(x)≤M，f(x)≥－M，
且存在－x0∈[－b，－a]，使f(－x0)＝－M.
∴f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.答案解析－M(2)若f(x)为奇函数，f(x)＋2在[a，b]上有最大值M，则f(x)＋2在[－b，－a]上有最___值________.解析 由(1)知，f(x)在[a，b]上有最大值M－2时，
f(x)在[－b，－a]上有最小值－M＋2.
∴f(x)＋2在[－b，－a]上有最小值－M＋4.解析小答案－M＋4与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x1，x2属于哪个区间.同样，求哪个区间上的最值，也设x属于哪个区间.跟踪训练3 已知函数y＝f(x)是偶函数，当x>0时，有f(x)＝ ，则当x∈[－4，－1]时，求函数f(x)的值域.解答因为1≤x10，x2＋2>0，所以f(x1)例4 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(x－1)＝f(|x－1|)，
又f(2)＝0，∴f(x－1)>0，
即f(|x－1|)>f(2)，
∵|x－1|,2∈[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减.
∴|x－1|<2，即－2∴x的取值范围为(－1,3).解析(－1,3)答案若f(x)在[a，b]上单调递增，则x1，x2∈[a，b]时，可由f(x1)0.解答解 ∵f(x)在[0，＋∞)上单调递减且为奇函数，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴f(x－1)＋f(2x＋3)>0?f(x－1)>－f(2x＋3)＝f(－2x－3)?x－1<－2x－3，例5 定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝x，试画出f(x)的图象.类型三 对称问题解答解 ∵f(x)是奇函数，∴f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，
∴f(x)关于直线x＝－2对称.
反复利用f(x)关于原点对称又关于直线x＝－2对称，可画出f(x)的图象如图：奇偶性推广到一般的对称性后，要善于抓住特征识别对称中心(或对称轴)，而应用对称性与应用奇偶性完全类似.跟踪训练5 定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝x.试画出f(x)的图象.解答解 ∵f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称.
又∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x)关于点C(－2,0)对称.
反复利用f(x)关于(－2,0)对称又关于y轴对称，可画出的图象如图：当堂训练1.f(x)＝x2＋|x|
A.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
B.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C.不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
D.是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数√答案234512.已知f(x)是奇函数，且x>0时，f(x)＝x－1，则x<0时f(x)等于
A.x＋1
B.x－1
C.－x－1
D.－x＋1答案√234513.若奇函数f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是
A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数答案√234514.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A.aB.a>b
C.|a|<|b|
D.0≤ab≥0答案√234515.已知对于函数f(x)＝x2＋ax定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a等于
A.1 B.－1
C.2 D.－223451答案√1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称.
2.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.
3.具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性.
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.本课结束课件42张PPT。章末复习课第一章 集合与函数概念学习目标
1.构建知识网络，理解其内在联系.
2.盘点重要技能，提炼操作要点.
3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.知识网络2.重要技能
(1)运算技能主要表现在求并交补集，求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇偶性的证明和应用中大量的方程、不等式运算，以及式子的变形等.
(2)图形处理技能包括识图能力和作图能力.识图主要体现在给出Venn图，数轴，函数图象，要能从中读出相关信息；作图能力体现在给出集合间的关系或运算，能用Venn图或数轴表示，给出函数解析式或性质，能画出相应图象.(3)推理技能主要体现在给出子集、并集、交集、补集、函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性的定义，依据这些定义去证明或判断具体的集合和函数问题.
课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论，这叫归纳推理；还有一些类比：如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数，由具体函数到抽象函数等.
(4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据，这样可以更直观，更便于发现数据的内在规律.(5)数学交流体现在使用了大量的文字、符号、图形语言，用以刻画集合的关系运算及函数表示和性质，往往还需要在三种语言间灵活转换，有意识地培养灵活选择语言，清晰直观而又严谨地表达自己的想法，听懂别人的想法，从而进行交流与合作.
3.数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想，本章用到以下思想方法：
(1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题.(2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化，函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域.
(3)分类讨论主要体现在集合中对空集和区间端点的讨论，函数中主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨.
(4)数形结合主要体现在用数轴求并交补集，借助函数图象研究函数性质.题型探究例1 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}.
(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围；类型一 集合的综合运算解答解 ∵A＝{x|0≤x≤2}，
∴?RA＝{x|x<0或x>2}.
∵(?RA)∪B＝R.(如图)(2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？解答解 由(1)知(?RA)∪B＝R时，
－1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]，
∴A?B，这与A∩B＝?矛盾.
即这样的a不存在.借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反.跟踪训练1 已知全集U＝{x||x|≤5}，集合A＝{x|－2＜x＜1}，集合B＝{x|－3＜x≤3}，求?UA，A∩B，?U(A∩B)，(?UA)∩B.解答解 由题意知U＝{x|－5≤x≤5}，把集合U及集合A，B分别在数轴上表示出来.如图，?UA＝{x|－5≤x≤－2或1≤x≤5}，
A∩B＝{x|－2＜x＜1}，
?U(A∩B)＝{x|－5≤x≤－2或1≤x≤5}，
(?UA)∩B＝{x|－3＜x≤－2或1≤x≤3}.命题角度1 函数三要素
例2 某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次.
(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；类型二 函数概念及性质解答解 设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设y＝kx＋b(k≠0)，
当x＝4时，y＝16，当x＝7时，y＝10，
得到16＝4k＋b,10＝7k＋b，
解得k＝－2，b＝24，
∴y＝－2x＋24.解得定义域为{x∈N|0≤x≤12}.(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数.解答解 设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，
则S＝xy＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，x∈[0,12]且x∈N.
所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12，
则每日最多运营人数为110×72＝7 920.
故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.建立函数模型是借助函数研究问题的第一步，在此过程中要善于抓住等量关系，并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来；在实际问题中，定义域不但受解析式的影响，还受实际含义约束.跟踪训练2 如图，ABCD是边长为1的正方形，M是CD的中点，点P沿着路径A→B→C→M在正方形边上运动所经过的路程为x，△APM的面积为y.
(1)求y＝f(x)的解析式及定义域； 解答(2)求△APM面积的最大值及此时点P位置.解答解 易知f(x)在(0,1)上为增函数，证明 由f(x)＋f(y)＝f(x＋y)可得 f(x＋y)－f(x)＝f(y).
在R上任取x1>x2，令x＋y＝x1，x＝x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2).
∵x1>x2，∴x1－x2>0.
又x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，
即f(x1)－f(x2)<0.
由定义可知f(x)在R上是减函数.命题角度2 函数性质的综合应用
例3 已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－ .
(1)求证：f(x)在R上是减函数；证明∴f(－3)＝f(4－3)－f(4)＝f(1)－f(3)－f(1)＝－f(3)＝2.
即f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值；解答解 ∵f(x)在R上是减函数；
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数；
∴f(－3)最大，f(3)最小.(3)解不等式f(x)－f(－x)>2.解答解 由(2)知f(－3)＝2，
f(x)－f(－x)>2即f(x)>f(－x)＋2＝f(－x)＋f(－3)＝f(－3－x)，
由(1)知f(x)在R上为减函数，
∴f(x)>f(－3－x)?x<－3－x，(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用.跟踪训练3 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).
(1)求f(1)的值；解答解 ∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；解答解 f(x)为偶函数.
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围.解答解 依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2?f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
∴0<|x－1|<16，解之得－15∴x的取值范围是{x|－15(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；类型三 函数图象的画法及应用解答解 函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.
则f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数.
图象关于y轴对称.(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.解答画出图象如图所示，根据图象知，函数f(x)的最小值是－1，无最大值.
单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1].画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果.跟踪训练4 已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.求x∈[－3,5]时，f(x)＝ 的所有解的和.解答解 当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，∴f(－x)＝－x.
又∵f(x)为奇函数，∴x∈[－1,0]时，f(x)＝－f(－x)＝x.
即x∈[－1,1]时，f(x)＝x.
又由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图象关于直线x＝1对称.
由此可得f(x)在[－3,5]上的图象如下：由图可知在[－3,5]上共有四个交点，从左到右记为x1，x2，x3，x4，
则x1与x4，x2与x3关于直线x＝1对称，∴x1＋x2＋x3＋x4＝4.当堂训练1.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)等于
A.{x|x≥0}
B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}
D.{x|0C.P?Q D.P∩Q＝?√答案解析√23451答案解析解析 ∵3>1，∴f(3)＝32－3－3＝3，4.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于
A.－3 B.－1
C.1 D.3答案√23451解析解析 f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.答案23451解析√1.集合是函数乃至整个现代数学的基础，学习时要侧重符号语言的理解与准确表达，集合的并交补运算是重要的基本技能.
2.函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为选择题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题.
3.单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题.解题捷径是结合题意选一易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向.4.(1)函数图象的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判断，多可利用函数图象上点的坐标进行排除.
(2)应用函数图象的关键是从图象中提取所需的信息，提取图象中信息的方法主要有：①定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图象上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题.②定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.本课结束