课件36张PPT。2.1.1 指数与指数幂的运算(二)第二章 §2.1 指数函数学习目标
1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.
2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.
3.了解无理数指数幂的意义.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 分数指数幂根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？答案答案 当a>0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数.一般地，分数指数幂定义：
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是： ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是： ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 .梳理0没有意义思考 知识点二 有理数指数幂的运算性质我们知道32×33＝32＋3.那么 成立吗？答案梳理整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).知识点三 无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.实数题型探究命题角度1 分数指数幂化根式
例1 用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0).
(1) ； 解答类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化(2) .实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握.跟踪训练1 用根式表示 (x>0，y>0).解答命题角度2 根式化分数指数幂
例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.解答解答跟踪训练2 把下列根式化成分数指数幂：解答解解解答解例3 计算下列各式(式中字母都是正数)：类型二 运用指数幂运算公式化简求值解答(2) 解答(3) 解答一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.解答解 原式＝解答(2)化简：解答例4 已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值.类型三 运用指数幂运算公式解方程解答解 方法一 ∵a>0，b>0，又ab＝ba，方法二 ∵ab＝ba，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，
即(a9)a＝(9a)a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等目的.解答解 由67x＝33，得67＝3 ，由603y＝81得603＝3 ，当堂训练1.化简8 的值为
A.2 B.4
C.6 D.8√答案234512.25 等于
A.25 B.
C.5 D.答案23451√3.用分数指数幂表示 (a>b)为
A. B.
C. D. 答案√234514.( )4等于
A.a16 B.a8
C.a4 D.a2答案√234515.计算 的结果是
A.32 B.16
C.64 D.128√答案234511.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.
2.指数幂的运算一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.本课结束课件42张PPT。2.1.2 指数函数及其性质(二)第二章 §2.1 指数函数学习目标
1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.
2.能借助指数函数性质比较大小.
3.会解简单的指数方程、不等式.
4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 不同底指数函数图象的相对位置y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？答案答案 经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图象在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图象上方.一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：梳理(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变
小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大
变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.
(2)指数函数y＝ax与y＝ (a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称.思考 知识点二 比较幂的大小若x1＜x2，则 与 (a＞0且a≠1)的大小关系如何？答案答案 当a＞1时，y＝ax在R上为增函数，所以 ＜ ，
当0＜a＜1时，y＝ax在R上为减函数，所以 ＞ .梳理一般地，比较幂大小的方法有：
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的 性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的 的变化规律来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断.单调图象中间值思考 知识点三 解指数方程、不等式若 ＜ ，则x1，x2的大小关系如何？答案答案 当 f(x)在区间[m，n]上单调递增(减)时，若x1，x2∈[m，n]，
则f(x1)＜f(x2)?x1＜x2(x1＞x2).
所以，当0＜a＜1时， ＜ ?x1＞x2，
当a＞1时， ＜ ?x1＜x2.
此原理可用于解指数方程、不等式.梳理简单指数不等式的解法：
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的 求解；
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的 求解；
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数 y＝ax，y＝bx的图象求解.单调性单调性知识点四 与指数函数复合的函数单调性思考 答案一般地，有：形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数 y＝af(x)与函数y＝f(x)有 的定义域.
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性；
当0
∴2x＋4＝－2(x＋2)，
∴x＝－2.解答(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.解 ∵22x＋2＋3×2x－1＝0，
∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，(1)af(x)＝b型通常化为同底来解.
(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围.转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍.跟踪训练1 解下列方程.
(1)33x－2＝81；解答解 ∵81＝34，∴33x－2＝34，
∴3x－2＝4，解得x＝2.(3)52x－6×5x＋5＝0.解答解 令t＝5x，则t>0，
原方程可化为t2－6t＋5＝0，
解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，
∴x＝1或x＝0.命题角度1 比较大小
例2 比较下列各题中两个值的大小.
(1)1.7－2.5 ， 1.7－3；类型二 指数函数单调性的应用解答解 ∵1.7＞1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数.
∵－2.5＞－3，
∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)1.70.3 ， 1.50.3；解答解 方法一 ∵1.7＞1.5，
∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方.
而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.∴1.70.3＞1.50.3.(3)1.70.3,0.83.1.解答解 ∵1.70.3＞1.70＝1，0.83.1＜0.80＝1，
∴1.70.3＞0.83.1.当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小.
(1)0.8－0.1，1.250.2；解答解 ∵0＜0.8＜1，
∴y＝0.8x在R上是减函数.
∵－0.2＜－0.1，
∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
即0.8－0.1＜1.250.2.解答命题角度2 解指数不等式
例3 解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1).解答解 (1)当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
(2)当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当0当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}.解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响.跟踪训练3 已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是 .答案解析命题角度3 与指数函数复合的单调性问题
例4 (1)求函数y＝ 的单调区间；解答在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数，在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函数，解答同理可得减区间是(－∞，－2].复合函数单调性问题归根结底是由x1(1)y＝ ；解答解 设y＝au，u＝x2＋2x－3，
由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数.
当a>1时，y关于u为增函数；
当0∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；
当0∴原函数的增区间为(－∞，1)和(1，＋∞).当堂训练1.若a＝0.5 ，b＝0.5 ，c＝0.5 ，则a、b、c的大小关系是
A.a＞b＞c B.a＜b＜c
C.a＜c＜b D.b＜c＜a√答案23451解析2.方程42x－1＝16的解是答案√23451解析3.函数f(x)＝ 的单调递增区间为
A.(－∞，0] B.[0，＋∞)
C.(－1，＋∞) D.(－∞，－1)答案√23451解析∴f(x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0].4.设0＜a＜1，则关于x的不等式 的解集为________.答案23451解析解析 ∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，(1，＋∞)又∵ ∴2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1.5.若指数函数y＝ax 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝ .解析 若01，则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0，答案解析234511.比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2.解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解.如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论.(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解.
3.(1)研究 y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同.
当0(2)研究 y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间.本课结束课件35张PPT。第1课时 对 数第二章 2.2.1 对数与对数运算学习目标
1.了解对数的概念.
2.会进行对数式与指数式的互化.
3.会求简单的对数值.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 对数的概念解指数方程：3x＝ .可化为3x＝ ，所以x＝ .那么你会解3x＝2吗？答案答案 不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念.对数的概念：
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做 ，记作____
_____，其中a叫做 ，N叫做 .
常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做 ，以e为底的对数称为 ，log10N可简记为 ，logeN简记为 .梳理以a为底N的对数对数的底数真数常用对数lg N自然对数ln Nx＝logaN思考 知识点二 对数与指数的关系loga1(a>0，且a≠1)等于？答案答案 设loga1＝t，化为指数式at＝1，则不难求得t＝0，即loga1＝0.一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝ .
对数恒等式： ＝ ；logaax＝ (a>0，且a≠1).
对数的性质：
(1)1的对数为 ；
(2)底的对数为 ；
(3)零和负数 .梳理xNx零1没有对数题型探究 例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是
A.b<2或b>5 B.2C.40，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.解得0(1)log2(log5x)＝0；类型二 应用对数的基本性质求值解答(2)log3(lg x)＝1.解 ∵log2(log5x)＝0.
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.解 ∵log3(lg x)＝1，
∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题.logaN＝0?N＝1；logaN＝1?N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记. 跟踪训练2 若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为
A.9 B.8
C.7 D.6答案解析解析 ∵log2(log3x)＝0，
∴log3x＝1.
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.
∴x＋y＋z＝9.命题角度1 指数式化为对数式
例3 将下列指数式写成对数式：
(1)54＝625；类型三 对数式与指数式的互化解答解 log5625＝4；(3)3a＝27；解答解 log327＝a；解 log 5.73＝m.指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：解析 logba＝2，故选C. 跟踪训练3 (1)如果a＝b2 (b>0，b≠1)，则有
A.log2a＝b B.log2b＝a
C.logba＝2 D.logb2＝a答案解析解答命题角度2 对数式化为指数式
例4 求下列各式中x的值：
(1)log64x＝解答(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x；解 10x＝100＝102，于是x＝2.(4)－ln e2＝x；解 由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.
所以x＝－2.解答所以x＝1.要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练4 计算：
(1)log927；解答(2)log 81；(3)log 625.命题角度3 对数恒等式 ＝N的应用
例5 (1)求 ＝2中的x.解答(2)求 的值(a，b，c均为正实数且不等于1，N＞0).解 应用对数恒等式注意：
(1)底数相同.
(2)当N>0时才成立，例如y＝x与y＝ 并非相等函数.解析 ∵25 ＝(52) ＝
＝(2x－1)2＝9.
∴2x－1＝±3，
又∵2x－1>0，
∴2x－1＝3.
∴x＝2.跟踪训练5 设25 ＝9，则x＝____.答案解析2当堂训练1.logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是
A.ab＝N B.ba＝N
C.aN＝b D.bN＝a√答案234512.若logax＝1，则
A.x＝1 B.a＝1
C.x＝a D.x＝10答案√23451答案√234514.已知logx16＝2，则x等于
A.±4 B.4
C.256 D.2答案√234515.设10lg x＝100，则x的值等于
A.10 B.0.01
C.100 D.1 000√答案234511.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2) ＝N.
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.本课结束课件31张PPT。第2课时 对数的运算第二章 2.2.1 对数与对数运算学习目标
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.
2.掌握换底公式及其推论.
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 对数运算性质有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算.那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？答案答案 有.例如，设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，∴MN＝am·an＝am＋n，∴loga(MN)＝m＋n＝logaM＋logaN.得到的结论loga(MN)＝logaM＋logaN可以当公式直接进行对数运算.一般地，如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝ ；
(2)loga ＝ ；
(3)logaMn＝ (n∈R).梳理logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM思考1 知识点二 换底公式观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式.而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e为底)，可以查表求对数值.那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？答案答案 设法换为同底.思考2 假设 ＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，再化为对数式可得到什么结论？答案答案 把3x＝5化为对数式为：log35＝x，梳理一般地，对数换底公式：
logab＝ (a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；
特别地：logab·logba＝ (a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).1题型探究例1 计算：(1)log345－log35；解答类型一 具体数字的化简求值(2)log2(23×45)；＝2log33＝2.解 log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213)
＝13log22＝13.解答解 原式＝解答(4)log29·log38.解 log29·log38＝log2(32)·log3(23)
＝2log23·3log32＝6.具体数的化简求值主要遵循2个原则.
(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式.
(2)不同底化为同底.解答跟踪训练1 计算：
(1)2log63＋log64；解 原式＝log632＋log64＝log6(32×4)
＝log6(62)＝2log66＝2.＝2×10＝20.解答(3)log43·log98；命题角度1 代数式恒等变换类型二 代数式的化简解答∴y>0，z>0.使用公式要注意成立条件，如lg x2不一定等于2 lg x，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的.要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.解答解答命题角度2 用代数式表示对数
例3 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.解 方法一 ∵log189＝a,18b＝5，
∴log185＝b，方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，方法三 ∵log189＝a,18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元.解答跟踪训练3 已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.又∵log37＝b，当堂训练√答案23412.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是
A.logab·logcb＝logca
B.logab·logca＝logcb
C.loga(bc)＝logab·logac
D.loga(b＋c)＝logab＋logac答案√2341解析3.log29×log34等于答案√23414.lg 0.01＋log216的值是___.答案2341解析解析 lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2.21.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
2.运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N).本课结束课件41张PPT。2.2.2 对数函数及其性质(二)第二章 §2.2 对数函数学习目标
1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.
2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.
3.会解简单的对数不等式.
4.了解反函数的概念及它们的图象特点.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 y＝logaf(x)型函数的单调区间我们知道y＝2f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，那么y＝log2f(x)的单调区间与y＝f(x)的单调区间相同吗？答案答案 y＝log2f(x)与y＝f(x)的单调区间不一定相同，因为y＝log2f(x)的定义域与y＝f(x)定义域不一定相同.一般地，形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法：
①先求g(x)＞0的解集(也就是函数的定义域)；
②当底数a大于1时， g(x)＞0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)＞0限制之下g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间；
③当底数a大于0且小于1时，g(x)＞0限制之下g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反.梳理思考 知识点二 对数不等式的解法log2x＜log23等价于x＜3吗？答案答案 不等价.log2x＜log23成立的前提是log2x有意义，即x＞0，
∴log2x＜log23?0＜x＜3.梳理般地，对数不等式的常见类型：
当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)?f(x)＞0(可省略)，
g(x)＞0，
f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)?f(x)＞0，
g(x)＞0(可省略)，
f(x)＜g(x).思考 知识点三 不同底的对数函数图象的相对位置y＝log2x与y＝log3x同为(0，＋∞)上的增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？答案答案 可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数.梳理一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0(1)y＝ax的定义域R，就是y＝logax的值域，而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域.
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称.
(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.但单调区间不一定相同.题型探究命题角度1 求单调区间
例1 求函数y＝log (－x2＋2x＋1)的值域和单调区间.解答类型一 对数型复合函数的单调性解 设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.
∵y＝log t为减函数，且0∵y＝log 2＝－1，即函数的值域为[－1，＋∞).求复合函数的单调性要抓住两个要点：
(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域；
(2) f(x)，g(x)单调性相同，则 f(g(x))为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”.跟踪训练1 已知函数f(x)＝log (－x2＋2x).
(1)求函数 f(x)的值域；解答解 由题意得－x2＋2x>0，∴x2－2x<0，
由二次函数的图象知，0当0∴log (－x2＋2x)≥log 1＝0.
∴函数y＝log (－x2＋2x)的值域为[0，＋∞).(2)求f(x)的单调性.解答解 设u＝－x2＋2x(0∵函数u＝－x2＋2x在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，v＝log u是减函数，
∴由复合函数的单调性得到函数f(x)＝log (－x2＋2x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数.命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围
例2 已知函数y＝log (x2－ax＋a)在区间(－∞， )上是增函数，求实数a的取值范围.解答若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，
那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，
因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，
所以6－2a>0，解得a<3，
所以1A.(0,1) B.(1,3)
C.(1,3] D.[3，＋∞)答案解析类型二 对数型复合函数的奇偶性解答所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称.即f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，解答∵f(x)为奇函数，∴－(－b)＝a，即a＝b.∴有f(－x)＝－f(x)，∴此时f(x)为奇函数.
故f(x)为奇函数时，a＝b.引申探究(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数).
(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单.解答所以函数的定义域为R且关于原点对称，即f(－x)＝－f(x).＝lg(1＋x2－x2)＝0.
所以f(－x)＝－f(x)，例4 已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0，且a≠1).解关于x的不等式：loga(1－ax)＞f(1).类型三 对数不等式解答解 ∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a).
∴1－a＞0.∴0＜a＜1.
∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a).∴0＜x＜1.
∴不等式的解集为(0,1).对数不等式解法要点
(1)化为同底logaf(x)＞logag(x)；
(2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向；
(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0. ∴A＝(0,4).答案解析当堂训练√答案234512.如果 x< y<0，那么
A.yB.xC.1D.1答案√234513.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于
A.log2x B.
C. x D.2x－2 答案√2345123451答案√5.函数f(x)＝ln x2的减区间为__________.答案(－∞，0)234511.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.
2.y＝ax与x＝logay图象是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于y＝x对称，因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称.本课结束课件37张PPT。§2.3 幂函数第二章 基本初等函数(Ⅰ)学习目标
1.理解幂函数的概念.
2.掌握y＝xα(α＝－1， ，1,2,3)的图象与性质.
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 幂函数的概念y＝ ，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？答案答案 底数为x，指数为常数.一般地， 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.梳理函数 y＝xα知识点二 五个幂函数的图象与性质1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝x ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图.2.五个幂函数的性质[0，＋∞){x|x≠0}[0，＋∞){y|y≠0}偶奇非奇非偶奇增减增增减减奇[0，＋∞)RRRRR思考 知识点三 一般幂函数的图象特征类比y＝x3的图象和性质，研究y＝x5的图象与性质.答案答案 y＝x3与y＝x5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同.只不过当01时，x5＝x3·x2>x3，结合两函数性质，可得图象如下：一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 ；
(2)α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是 函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当0<α<1时，幂函数的图象 ；
(3) 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到 的顺序排列.梳理(1,1)原点增下凸上凸α<0小大题型探究例1 已知y＝(m2＋2m－2) ＋2n－3是幂函数，求m，n的值.解答类型一 幂函数的概念幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数.如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝ 都不是幂函数. 跟踪训练1 在函数y＝ ，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3答案解析y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，
可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1),
所以常数函数y＝1不是幂函数.类型二 幂函数的图象及应用解答在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1A.1 B.2
C.3 D.无法确定答案解析∴αβ＝1.故选A. 命题角度1 比较大小
例3 设 则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>b>a类型三 幂函数性质的综合应用答案解析此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量.跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小：解答解 ∵0<0.3<1，
∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数.解答解 ∵y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，解答解 ∵y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数，又 y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为减函数，命题角度2 幂函数性质的综合应用
例4 已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 < 的a的取值范围.解答解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.所以a＋1>3－2a>0或3－2a(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；解答解 ∵m∈N*，
∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数.
令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数.(2)若函数还经过(2， )，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围.解答解 ∵ ＝2 ＝ ，
∴m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2(舍去)，
∴f(x)＝ ，
由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数.
∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，
解得1≤a<当堂训练√答案23451解析答案√234513.设α∈{－1,1， ，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为
A.1,3 B.－1,1
C.－1,3 D.－1,1,3答案√234514.下列是y＝x 的图象的是答案√234515.以下结论正确的是
A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大
而增大
D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限√答案234511.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.
2.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性，α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸.
3.在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1， ，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.本课结束课件37张PPT。章末复习课第二章 基本初等函数(Ⅰ)学习目标
1.构建知识网络.
2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆.
3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.知识网络2.要点归纳
(1)分数指数幂
① ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1).
② ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1).
(2)根式的性质(3)指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈R).
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R).
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).
(4)指数式与对数式的互化式
logaN＝b?ab＝N(a>0，且a≠1，N>0).(5)对数的换底公式(6)对数的四则运算法则
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则
①loga(MN)＝logaM＋logaN.③logaMn＝nlogaM(n∈R).题型探究例1 化简：(1) 解答类型一 指数、对数的运算解 原式＝ 解答＝log39－9＝2－9＝－7.指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.解析 ∵log32×log2(log327)＝log32×log23答案解析∴原式＝2 ×2 ＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.111例2 比较下列各组数的大小：
(1)27，82；类型二 数的大小比较解答解 ∵82＝(23)2＝26，
由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27即82<27.(2)log20.4，log30.4，log40.4；解答解 ∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.44又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，即log20.4(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小.跟踪训练2 比较下列各组数的大小：
(1)log0.22，log0.049；解答又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，
∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.(2)a1.2，a1.3；解答解 ∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数；当底数0而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2当0a1.3.(3)30.4，0.43，log0.43.解答解 30.4>30＝1，
0<0.43<0.40＝1，
log0.43∴log0.43<0.43<30.4.命题角度1 函数性质及应用
例3 已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；类型三 指数函数、对数函数、幂函数的综合应用解答解 当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，
所以函数f(x)单调递增；
当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，
所以函数f(x)单调递减.(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围.解答解 f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究.跟踪训练3 已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；解答解得－3＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4].
∵－3∵0由loga4＝－2，得a－2＝4，∴a＝4 ＝(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值.解答解析 借助函数的图象求解该不等式.
令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图. 命题角度2 函数图象及应用
例4 如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是
A.{x|－1＜x≤0} B.{x|－1≤x≤1}
C.{x|－1＜x≤1} D.{x|－1＜x≤2}答案解析∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－10，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是答案解析解析 由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝( )x，显然图象错误；
选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；
选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；
选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称.显然不符.故选B.当堂训练√答案23451解析2.在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是答案√23451解析解析 显然a>0且a≠1.
若0若a>1，只有B中y＝xa符合，但B中g(x)不符合.3.函数f(x)＝ 与函数g(x)＝ |x|在区间(－∞,0)上的单调性为
A.都是增函数
B.都是减函数
C.f(x)是增函数，g(x)是减函数
D.f(x)是减函数，g(x)是增函数答案√23451解析4.已知P＝2 ， 则P，Q，R的大小关系是
A.P＜Q＜R B.Q＜R＜P
C.Q＜P＜R D.R＜Q＜P答案√23451解析所以P＞R＞Q.5.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4√答案解析解析 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝
图象的交点个数.
在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝ 的图象(图略)，
易知有2个交点.234511.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题.
2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查.本课结束