第二章方程与不等式第9 节一元二次方程
■考点1. 一元二次方程的概念、解法
1．一元二次方程的概念：只含有__ _个未知数，并且未知数的最高次数是_____，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是____________________ 其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数．
2．一元二次方程的解法
(1)解一元二次方程的基本思想是__ __．
(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法．
①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__ __．
②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝__ __的形式，再利用直接开平方法求解．【出处：21教育名师】
③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝__ _________．
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
1．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__ __的实数根．
2．b2－4ac＝0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________的实数根．
3．b2－4ac＜0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__________实数根．
■考点3. 一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__ __，x1x2＝__ __．
2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
■考点1：一元二次方程的概念、解法
◇典例：
方程(m－1)xm2＋2m－1＋3x－m＝0是关于x的一元二次方程，则m＝________．
【分析】根据一元二次方程的定义就可解得．
解：根据一元二次方程的定义可得：m2＋2m－1＝2且m－1≠0
m=－3
（2014?湖南张家界）已知关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是﹣1，则k= ．
【分析】将x=﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值．
解：根据题意，得
（﹣1）2+2×（﹣1）+k=0，
解得k=1；
故答案是：1．
解方程：
（1）2（x－2）2－1＝0 （2） x2－2x－2＝0
（3） y2－7y＋10＝0 （4） 4x2－5x＋2＝0
解题点拨：解一元二次方程时对方程结构的观察很重要，可先考虑能否用直接开平方，分解因式法，若不行则用求根公式法．21cnjy.com
解：（1）（x－2）2＝，
∴x－2＝±，x＝2±，
∴x1＝2＋，x2＝2－
（2）a＝1，b＝－2，c＝－2，△＝b2－4ac＝4－4×1×（－2）＝12，
∴x＝＝＝1±，
∴x1＝1＋，x2＝1－．
（3） （y－2）（y－5）＝0，y1＝2，y2＝5．
（4）a＝4，b＝－5，c＝2，
∴△＝25－4×2×4＝－7＜0．
∴方程没有实数根．
◆变式训练
下列方程中，是关于x的一元二次方程的为（ ）
A．2x2＝0 B．4x2＝3y C．x2＋＝－1 D．x2＝(x－1)(x－2)
若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
解下列方程：
（1）2x2＋2x＝1．
（2）x2－4x＋10＝0．
（3）x2－10x＋21＝0．
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
◇典例
（2016白贡）已知关于x的一元二次方程x2＋2x－（m－2）＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
【分析】根据关于x的一元二次方程x2＋2x－（m－2）＝0有实数根，可知△≥0．从而可以求得m的取值范围．【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵关于x的一元二次方程x2＋2x－（m－2）＝0有实数根，
∴△＝b2－4ac＝22－4×1×[－（m－2）]≥0，
解得m≥1．故选C．
（2016聊城）如果关于x的一元二次方程kx2－3x －1＝0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是 ．【版权所有：21教育】
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（－3）2－4×k×（－1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．2·1·c·n·j·y
解：∵关于x的一元二次方程kx2－3x－1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（－3）2－4×k×（－1）＞0，
解得：k＞－且k≠0．
◆变式训练
（2016·广西桂林）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）21教育名师原创作品
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
（2016·贵州安顺）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（ ）
A．b=﹣3 B．b=﹣2 C．b=﹣1 D．b=2
（2016·云南昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
■考点3：一元二次方程的根与系数的关系
◇典例：
（2016·江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．
解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，
∴αβ=，
故选D．
设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根．则m2＋3m＋n＝ ．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2＝－2m＋2018．则m2＋3m＋n可化简为2018＋m＋n，再根据根与系数的关系得到m＋n＝－2．然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的实数根，
∴m2＋2m－2018＝0，即m2＝－2m＋2018，
∴ m2＋3m＋n＝－2m＋2018＋3m＋n＝2018＋m＋n，
∵m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，
∴m＋n＝－2．
∴ m2＋3m＋n＝2018－2＝2016．
◆变式训练
若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）
A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0
（2016东山）若t为实数，关于x的方程x2－4x＋t－2＝0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2－1）（b2－1）的最小值是多少？21·cn·jy·com
（2016舟山）一元二次方程2x2－3x＋1＝0根的情况是 （ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
（2016黄冈）若方程3x2 －4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2的值是 （ ）21世纪教育网版权所有
A．－4 B．3 C．－ D．
（2016枣庄）若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是 （ ）2-1-c-n-j-y
（2016福州）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有实数根的是 （ ）21·世纪*教育网
A．a＞0 B．a＝0 C．c＞0 D．c＝0
（2016大庆）若x0是方程ax2＋2x＋c＝0（a≠0）的一个根，设M＝1－ac，N＝（ax0＋1）2，则M与N的大小关系正确的为 （ ）21*cnjy*com
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
（2016呼和浩特）已知a≥2，m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，则（m－1）2＋（n－1）2的最小值是 ．
（2016菏泽）已知x＝m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则2m2－4m＝ ．
（2015通辽）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程x2－7x＋10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为 ．
选择适当的方法解下列方程：
（1）（x＋3）2＝2．
（2）（＋1）x2－x＝0．
（3）x2－5x＋2＝0．
（4）2（3x－2）＝ （2－3x）（x＋1）
（2016鄂州）关于x的方程（k－1）x2＋2kx＋2＝0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k－1）x2＋2kx＋2＝0的两个根，记S＝＋＋x1＋x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．www.21-cn-jy.com
（2013?河南）方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（?? ）
A.?x=2???B.?x=﹣3????C.?x1=﹣2，x2=3???D.?x1=2，x2=﹣3
（2016?六盘水）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（? ）
A.?（x+2）2=1?? B.?（x+2）2=7???
C.?（x+2）2=13??????D.?（x+2）2=19
（2014?内江）关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（?? ） www-2-1-cnjy-com
A.?x1=﹣6，x2=﹣1??? B.?x1=0，x2=5???
C.?x1=﹣3，x2=5??????D.?x1=﹣6，x2=2
（2017?广东）如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（?? ）
A.?1 B.?2??????C.?﹣1?????D.?﹣2
（2017?呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（?? ） 21教育网
A.?2??????B.?0????????C.?1?????D.?2或0
（2017?益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（?? ）
A.?b2﹣4ac＞0????? B.?b2﹣4ac=0???????
C.?b2﹣4ac＜0?????????D.?b2﹣4ac≤0
（2017?张家界）已知一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两根是m，n，则m2+n2=________．
（2017?赤峰）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
（2017?营口）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根
则k的取值范围是________．
（2017?贵阳）方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是________．
（2015?永州）已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．
（2016?巴中）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．
（2016?潍坊）关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是 ，求另一个根及m的值．
（2014?扬州）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，求k的值．
（2017?滨州）根据要求，解答下列问题：
(1)解答下列问题 ①方程x2﹣2x+1=0的解为________； ②方程x2﹣3x+2=0的解为________； ③方程x2﹣4x+3=0的解为________； …
(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2﹣9x+8=0的解为________； ②关于x的方程________的解为x1=1，x2=n．
(3)请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
第二章方程与不等式第9 节一元二次方程
■考点1. 一元二次方程的概念、解法
1．一元二次方程的概念：只含有__一__个未知数，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__ 其中 ax2 叫做二次项， bx 叫做一次项， c 叫做常数项； a 叫做二次项的系数， b 叫做一次项的系数．【出处：21教育名师】
2．一元二次方程的解法
(1)解一元二次方程的基本思想是__降次__．
(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法．
①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__b＝0__．
②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝____的形式，再利用直接开平方法求解．21教育网
③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝____．
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
1．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__不相等__的实数根．
2．b2－4ac＝0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__相等__的实数根．
3．b2－4ac＜0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有__实数根．
■考点3. 一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__－__，x1x2＝____．
2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
■考点1：一元二次方程的概念、解法
◇典例：
方程(m－1)xm2＋2m－1＋3x－m＝0是关于x的一元二次方程，则m＝________．
【分析】根据一元二次方程的定义就可解得．
解：根据一元二次方程的定义可得：m2＋2m－1＝2且m－1≠0
m=－3
（2014?湖南张家界）已知关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是﹣1，则k= ．
【分析】将x=﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值．
解：根据题意，得
（﹣1）2+2×（﹣1）+k=0，
解得k=1；
故答案是：1．
解方程：
（1）2（x－2）2－1＝0 （2） x2－2x－2＝0
（3） y2－7y＋10＝0 （4） 4x2－5x＋2＝0
解题点拨：解一元二次方程时对方程结构的观察很重要，可先考虑能否用直接开平方，分解因式法，若不行则用求根公式法．21cnjy.com
解：（1）（x－2）2＝，
∴x－2＝±，x＝2±，
∴x1＝2＋，x2＝2－
（2）a＝1，b＝－2，c＝－2，△＝b2－4ac＝4－4×1×（－2）＝12，
∴x＝＝＝1±，
∴x1＝1＋，x2＝1－．
（3） （y－2）（y－5）＝0，y1＝2，y2＝5．
（4）a＝4，b＝－5，c＝2，
∴△＝25－4×2×4＝－7＜0．
∴方程没有实数根．
◆变式训练
下列方程中，是关于x的一元二次方程的为（ ）
A．2x2＝0 B．4x2＝3y C．x2＋＝－1 D．x2＝(x－1)(x－2)
解：A、满足一元二次方程的条件，所以正确；B、是二元二次方程，所以错误；C、是分式方程；所以错误；D、整理得：3x-2=0，所以错误；2·1·c·n·j·y
故选A.
若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
【分析】把x=﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
解：根据题意，将x=﹣2代入方程x2+ax﹣a2=0，得：
4﹣3a﹣a2=0，即a2+3a﹣4=0，
左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）=0，
∴a﹣1=0，或a+4=0，
解得：a=1或﹣4，
故选：C．
解下列方程：
（1）2x2＋2x＝1．
解：△＝4－4×2×（－1）＝12，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
（ 2）x2－4x＋10＝0．
解： △＝48－4×1×10＝8，
∴x＝＝2±，
∴x1＝ 2＋，x2＝2±．
（3）x2－10x＋21＝0．
解：∵（x－3）（x－7）＝0，
∴x1＝3，x2＝7．
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
◇典例
（2016白贡）已知关于x的一元二次方程x2＋2x－（m－2）＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）21教育名师原创作品
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
【分析】根据关于x的一元二次方程x2＋2x－（m－2）＝0有实数根，可知△≥0．从而可以求得m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程x2＋2x－（m－2）＝0有实数根，
∴△＝b2－4ac＝22－4×1×[－（m－2）]≥0，
解得m≥1．故选C．
（2016聊城）如果关于x的一元二次方程kx2－3x －1＝0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（－3）2－4×k×（－1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程kx2－3x－1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（－3）2－4×k×（－1）＞0，
解得：k＞－且k≠0．
◆变式训练
（2016·广西桂林）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：k＜5且k≠1．
故选B．
（2016·贵州安顺）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（ ）
A．b=﹣3 B．b=﹣2 C．b=﹣1 D．b=2
【分析】根据判别式的意义，当b=﹣1时△＜0，从而可判断原命题为是假命题．
解：△=b2﹣4，当b=﹣1时，△＜0，方程没有实数解，
所以b取﹣1可作为判断命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题的反例．
故选C．
（2016·云南昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式．
【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．
解：在方程x2﹣4x+4=0中，
△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选B．
■考点3：一元二次方程的根与系数的关系
◇典例：
（2016·江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．21·世纪*教育网
解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，
∴αβ=，
故选D．
设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根．则m2＋3m＋n＝ ．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2＝－2m＋2018．则m2＋3m＋n可化简为2018＋m＋n，再根据根与系数的关系得到m＋n＝－2．然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的实数根，
∴m2＋2m－2018＝0，即m2＝－2m＋2018，
∴ m2＋3m＋n＝－2m＋2018＋3m＋n＝2018＋m＋n，
∵m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，
∴m＋n＝－2．
∴ m2＋3m＋n＝2018－2＝2016．
◆变式训练
若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）
A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0
解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．
A、两根之和等于﹣3，两根之积却等于﹣2，所以此选项不正确．
B、两根之积等于2，两根之和等于3，所以此选项正确．
C、两根之和等于2，两根之积却等3，所以此选项不正确．
D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确．
故选B．
（2016东山）若t为实数，关于x的方程x2－4x＋t－2＝0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2－1）（b2－1）的最小值是多少？www.21-cn-jy.com
解：依题意得：a＋b＝4，ab＝t－2
（a2－1）（b2－1）
＝（ab）2－（a2＋b2）＋1
＝（ab）2－（a＋b）2＋2ab＋1
＝（t－2）2＋2（t－2）－15
＝t2－2t－15，
又，得2≤t＜6，
所以，当t＝2时，t2－2t－15有最小值－15．
（2016舟山）一元二次方程2x2－3x＋1＝0根的情况是 （ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
（2016黄冈）若方程3x2 －4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2的值是 （ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．－4 B．3 C．－ D．
【答案】D
（2016枣庄）若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是 （ ）【版权所有：21教育】
【答案】B
（2016福州）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有实数根的是 （ ）
A．a＞0 B．a＝0 C．c＞0 D．c＝0
【答案】D
（2016大庆）若x0是方程ax2＋2x＋c＝0（a≠0）的一个根，设M＝1－ac，N＝（ax0＋1）2，则M与N的大小关系正确的为 （ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
解：∵x0是方程ax2＋2x＋c＝0（a≠0）的一个根，∴ax02＋2x0＋c＝0，
即ax02＋2x0＝－c，则N－M＝（ax0＋1）2－（1－ac）＝a2x02＋2ax0＋1－1＋ac
＝a（ax02＋2x0）＋ac＝－ac＋ac＝0，∴M＝N，
故选：B
（2016呼和浩特）已知a≥2，m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，则（m－1）2＋（n－1）2的最小值是 ．
解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是关于x的方程x2－2ax＋2＝0的两个根，
∴m＋n＝2a，mn＝2，∴（m－1）2＋（n－1）2 ＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝（m＋n）2－2mn－2（m＋n）＋2＝4a2－4－4a＋2＝4（a－）2－3，∵a≥2，∴当a＝2时，（m－1）2＋（n－1）2有最小值，21*cnjy*com
∴（m－1）2＋（n－1）2的最小值＝4（a－）2－3＝4（2－）2－3＝6．
（2016菏泽）已知x＝m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则2m2－4m＝ ．
【答案】6
（2015通辽）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程x2－7x＋10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为 ．
【答案】20
选择适当的方法解下列方程：
（1）（x＋3）2＝2．
解：x1＝－1，x2＝－5．
（2）（＋1）x2－x＝0．
解：x1＝0，x2＝ ．
（3）x2－5x＋2＝0．
解：x1＝，x2＝．
（4）2（3x－2）＝ （2－3x）（x＋1）
解：x1＝，x2＝－3．
（2016鄂州）关于x的方程（k－1）x2＋2kx＋2＝0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k－1）x2＋2kx＋2＝0的两个根，记S＝＋＋x1＋x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．21世纪教育网版权所有
解：（1）①当k－1＝0即k＝1时，方程为一元一次方程2x＋2＝0，x＝－1，有一个解；
②当k－1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
△＝（2k）2－4×2（k－1）＝4k2－8k＋8＝4（k－1）2＋4＞0
方程有两不相等的实数根
综合①②得不论k为何值，方程总有实根．
（2）∵x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴S＝＋x1＋x2
∴S＝＝2k－2
若S＝2则2k－2＝2．k＝2．
∴S的值能为2．此时k的值为2．
（2013?河南）方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（?? ）
A.?x=2?????B.?x=﹣3???C.?x1=﹣2，x2=3???D.?x1=2，x2=﹣3
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 解：（x﹣2）（x+3）=0， x﹣2=0，x+3=0， x1=2，x2=﹣3， 故选D．www-2-1-cnjy-com
（2016?六盘水）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（? ）
A.?（x+2）2=1? B.?（x+2）2=7??
C.?（x+2）2=13???D.?（x+2）2=19 【考点】解一元二次方程-配方法 【来源：21cnj*y.co*m】
【分析】把方程两边加上7，然后把方程左边写成完全平方式即可本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 解：x2+4x=3， x2+4x+4=7， （x+2）2=7． 故选B． 21*cnjy*com
（2014?内江）关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（?? ）
A.?x1=﹣6，x2=﹣1??? B.?x1=0，x2=5????
C.?x1=﹣3，x2=5??????D.?x1=﹣6，x2=2 【考点】解一元二次方程-公式法
【分析】利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h± ，则﹣h﹣ =﹣3，﹣h+ =2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h± ，所以x1=0，x2=5． 解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=﹣h± ， 而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2， 所以﹣h﹣ =﹣3，﹣h+ =2， 方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h± ， 所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5． 故选：B．
（2017?广东）如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（?? ）
A.?1 B.?2?????C.?﹣1??????D.?﹣2
【考点】一元二次方程的解
【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值． 解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k=0的一个根， ∴22﹣3×2+k=0， 解得，k=2． 故选：B．
（2017?呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（?? ）
A.?2???????B.?0???????C.?1??????D.?2或0 【考点】根与系数的关系
【分析】设方程的两根为x1 ， x2 ， 根据根与系数的关系得a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，然后利用判别式的意义确定a的取值． 解：设方程的两根为x1 ， x2 ， 根据题意得x1+x2=0， 所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2， 当a=2时，方程化为x2+1=0，△=﹣4＜0，故a=2舍去， 所以a的值为0． 故选B．
（2017?益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（?? ）
A.?b2﹣4ac＞0????? B.?b2﹣4ac=0????????
C.?b2﹣4ac＜0?????????D.?b2﹣4ac≤0 【考点】根的判别式，根与系数的关系
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可． 解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1， ∴b2﹣4ac＞0， 故选A
（2017?张家界）已知一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两根是m，n，则m2+n2=________．
【考点】根与系数的关系
【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系，求出m+n与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两个根， ∴m+n=3，mn=﹣4， 则m2+n2=（m+n）2﹣2mn=9+8=17． 故答案为：17．
（2017?赤峰）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
【考点】根的判别式
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16﹣8m＞0，解之即可得出m的取值范围． 解：∵关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根， ∴△=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＞0， 解得：m＜2． 故答案为：m＜2． 2-1-c-n-j-y
（2017?营口）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根
则k的取值范围是________．
【考点】一元二次方程的定义，根的判别式
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0， 解得：k＞ 且k≠1． 故答案为：k＞ 且k≠1．
（2017?贵阳）方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是________．
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【分析】直接应用因式分解法解一元二欠方程即可解答. 解：（x﹣3）（x﹣9）=0， x﹣3=0，x﹣9=0， x1=3，x2=9， 故答案为：x1=3，x2=9．
（2015?永州）已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．
【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系 【分析】把x=﹣1代入已知方程列出关于m的新方程，通过解该方程来求m的值；然后结合根与系数的关系来求方程的另一根．
解：设方程的另一根为x2 ， 则 ﹣1+x2=﹣1， 解得x2=0． 把x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得 （﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m=0，即m（m﹣2）=0， 解得m1=0，m2=2． 综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0．
（2016?巴中）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．
【考点】根的判别式 【分析】根据2☆a的值小于0结合新运算可得出关于a的一元一次不等式，解不等式可得出a的取值范围，再由根的判别式得出△=（﹣b）2﹣8a，结合a的取值范围即可得知△的正负，由此即可得出结论．本题考查了根的判别式以及新运算，解题的关键是找出△＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键．
解：∵2☆a的值小于0， ∴22a+a=5a＜0，解得：a＜0． 在方程2x2﹣bx+a=0中， △=（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0， ∴方程2x2﹣bx+a=0有两个不相等的实数根
（2016?潍坊）关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是 ，求另一个根及m的值．
【考点】根与系数的关系 【分析】由于x= 是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后由根与系数的关系来求方程的另一根．此题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，把方程的根代入原方程就可以确定待定系数m的值． 21·cn·jy·com
解：设方程的另一根为t． 依题意得：3×（ ）2+ m﹣8=0， 解得m=10． 又 t=﹣ ， 所以t=﹣4． 综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10
（2014?扬州）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，求k的值．
【考点】一元二次方程的定义，根的判别式 【分析】根据根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．
解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根， ∴△=0， ∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）× =0， 整理得，k2﹣3k+2=0， 即（k﹣1）（k﹣2）=0， 解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2． ∴k=2．
（2017?滨州）根据要求，解答下列问题：
(1)解答下列问题 ①方程x2﹣2x+1=0的解为________； ②方程x2﹣3x+2=0的解为________； ③方程x2﹣4x+3=0的解为________； …
(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2﹣9x+8=0的解为________； ②关于x的方程________的解为x1=1，x2=n．
(3)请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性． 【考点】一元二次方程的解，解一元二次方程-配方法，解一元二次方程-因式分解法
【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积.（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确． 解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1，； ②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，； ③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3； … （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8； ②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n． （3）x2-9x=-8 x2-9x+ =-8+ （x- ）2= ?x- = ? 所以 ? 所以猜想正确。
