24.1 圆的有关性质培优提高试题
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九上数学培优提高 第二十四章 圆 第一节 圆的有关性质
一.选择题（共10小题）
1.如图，⊙O中∠BAC=25°,∠CED=30°，则∠BOD的度数是（ ）
A.150° B.125° C.110° D.55°
2.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（ ）
A.150° B.140° C.130° D.120°
3.如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（ ）21cnjy.com
A.140° B.70° C.60° D.40°21·cn·jy·com
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
4.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ）www.21-cn-jy.com
A.1： B.1： C.1：2 D.2：3
5.如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是（ ）
A.8 B.12 C. D.
6.如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（ ）2·1·c·n·j·y
A.3 B.4 C.6 D.8【来源：21·世纪·教育·网】
第6题图 第7题图 第10题图 第11题图
7.如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（ ）21*cnjy*com
A. B. C.4 D.3
8.已知点P是半径为5的⊙O内的一个定点，且OP=3，则过点P的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
9.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A.120° B.135° C.150° D.165°
10.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF∽△AOF.其中一定成立的有（ ）个.21·世纪*教育网
A.3 B.4 C.5 D.6
二.填空题（共10小题）
11.如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，则∠AED的度数为 度.21教育名师原创作品
12.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
13.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为 ，最大值为 .21*cnjy*com
14.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= °.
15.如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB= °.
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
16.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB=22.5°，CD=6cm，则⊙O的半径为 cm.
17.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD= 度.
18.如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧）.若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为 .
19.如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且∠ACB=45°，E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于点G、H.若⊙O的半径为2，则GE+FH的最大值为 .
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
20.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F.若∠E+∠F=70°，则∠A= .【版权所有：21教育】
三.解答题（共6小题）
21.已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC.
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2，求CD的长.
22.如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，且CD⊥AB于点E.
（1）若∠A=48°，求∠OCE的度数；
（2）若CD=4，AE=2，求圆O的半径.
23.如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.【出处：21教育名师】
（1）求证：BE=CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC=AD=8，求CD的长.
24.如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12米，拱顶高出水面4米.
（1）求这座拱桥所在圆的半径.
（2）现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由.21教育网
25.如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°www-2-1-cnjy-com
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.
26.如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K.过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H.2-1-c-n-j-y
（1）求证：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD=a（a为大于零的常数），求BK的长.
参考答案
一.选择题（共10小题）
1C.【解答】解：如图，连接OC.∵∠BOC=2∠BAC=50°，∠COD=2∠CED=60°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=110°，故选C.
2A.【解答】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，∴∠AOC=2∠B=150°.故选A.
3B.【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，
∴∠DOE=180°﹣40°=140°，∴∠P=∠DOE=70°.故选B.
4D.【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，∴，
∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，∴AD=AB，BD=AB，
过C作CF⊥AB于F，连接OE，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，∴OE⊥AB，
∴OE=AB，CF=AB，
∴S△ADE：S△CDB=（AD OE）：（BD CF）=（）：（）=2：3.故选D.
方法二：连接BE，易知AE=AB，BC=AB，
由△ADE∽△CDB，∴S△ADE：S△BDC=（AE：BC）2=2：3，故选D.
5C.【解答】解：∵直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x﹣4y﹣12=0，
即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，
过C作CM⊥AB于M，连接AC，
则由三角形面积公式得：×AB×CM=×OA×OC+×OA×OB，
∴5×CM=4×1+3×4，∴CM=，
∴圆C上点到直线y=x﹣3的最大距离是1+=，
∴△PAB面积的最大值是×5×=，故选：C.
6C.【解答】解：连接EB，如图所示：∵C（0，9），D（0，﹣1），
∴OD=1，OC=9，∴CD=10，∴EB=ED=CD=5，OE=5﹣1=4，∵AB⊥CD，
∴AO=BO=AB，OB===3，∴AB=2OB=6；故选：C.
7D.【解答】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，∴=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，
而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=3.故选：D.
8C.【解答】解：如图，过P作弦AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA；
Rt△OAP中，OP=3，OA=5；根据勾股定理，得AP=4；∴AB=2AP=8；
故过点P的弦的长度都在8～10之间；
因此弦长为8、9、10；
当弦长为8、10时，过P点的弦分别为弦AB和过P点的直径，分别有一条；
当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；
故弦长为整数的弦共有4条.故选C.
9C.【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得：EO=BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，
故的度数是150°.故选：C.
10B.【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，所以选项①正确；
②∵C，D是⊙O上的点，∴与不一定相等，∴∠A与∠CBA不一定相等，
∵OB=OC，∴∠C=∠CBA，∴∠A与∠C不一定相等，∵∠AFO=∠CFE，
∴∠AOC与∠AEC不一定相等，∴△CEF与△AOF不一定相似，所以②和⑥不正确；
③∵OB=OC，∴∠C=∠ABC，∵OC∥BD，∴∠C=∠CBD，∴∠ABC=∠CBD，∴CB平分∠ABD，
所以③正确；
④∵OC∥BD，∴∠AFO=∠ADB=90°，∴OC⊥AD，∴AF=DF，所以④正确；
⑤∵AO=BO，AF=FD，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，所以⑤正确，
所以本题正确的结论有：①③④⑤，一共4个；故选B.
二.填空题（共10小题）
11. 69 度.
【解答】解：∵B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，∴∠AOD=138°，
∴∠AED=138°÷2=69°.
12. 8 mm.
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD===4mm，∴AB=2AD=2×4=8mm.故答案为：8.
13. 3 ， 5 .
【解答】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，
∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，
∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB=8，OA=5，∴AM′=×8=4，
∴在Rt△OAM′中，OM′===3，
∴线段OM长的最小值为3，最大值为5.
故答案为：3，5.
14. 62 °.
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BCD=28°，∴∠ACD=62°，
由圆周角定理得，∠ABD=∠ACD=62°，故答案为：62.
15. 119 °.
【解答】解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB=122°，
∴∠ADB=∠AOB=×122°=61°.∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB=180°﹣61°=119°.故答案为：119.
16. 3 cm.
【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=3cm，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，∴OC=CE=3cm，故答案为：3.
17. 70 度.
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；又∵∠BCD=110°，
∴∠BAD=70°.故答案为：70.
18. 9π .
【解答】解：连接PD，过点P作PE⊥CD与点E，PE交AB于点F，则CD边扫过的面积为以PD为外圆半径、PE为内圆半径的圆环面积，如图所示.21世纪教育网版权所有
∵PE⊥CD，AB∥CD，∴PF⊥AB.又∵AB为⊙P的弦，∴AF=BF，∴DE=CE=CD=AB=3，
∴CD边扫过的面积为π（PD2﹣PE2）=π DE2=9π.故答案为：9π.
19. 4﹣ .
【解答】解：连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°.∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=2，
当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值.∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=AB=，∴GE+FH=GH﹣EF=4﹣，故答案为：4﹣.
20. 55° .
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC=∠FBC，
∵∠ADC=180°﹣∠A﹣∠F，∠FBC=∠A+∠E，∴180°﹣∠A﹣∠F=∠A+∠E，
则2∠A=180°﹣（∠F+∠E）=110°，解得，∠A=55°，故答案为：55°.
三.解答题（共6小题）
21.【解答】（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，（∵∠EDC+∠ADE=180°，∠B+∠ADE=180°，∴∠EDC=∠B）
∴∠B=∠C，∴AB=AC；
（2）方法一：
解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，
∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE CB=CD CA，AC=AB=4，
∴ 2=4CD，∴CD=.
方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，
设CD=a，由（1）知AC=AB=4，则AD=4﹣a，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2
在Rt△CBD中，由勾股定理可得：BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2
∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2整理得：a=，即：CD=.
22.【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∠A=48°，∴∠ADE=42°.∴∠AOC=2∠ADE=84°，
∴∠OCE=90°﹣84°=6°；
（2）解：因为AB是圆O的直径，且CD⊥AB于点E，所以CE=CE=×4=2，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
设圆O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，所以r2=（2）2+（r﹣2）2，
解得：r=3.所以圆O的半径为3.
23.【解答】（1）证明：∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；
（2）四边形BFCD是菱形.理由如下：
证明：∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，
在△BED和△CEF中，，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，
∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，
∴CE2=DE AE，设DE=x，∵BC=8，AD=10，∴42=x（10﹣x），解得：x=4，
在Rt△CED中，CD==4.
24.【解答】解：（1）连接OA，根据题意得：CD=4米，AB=12米，则AD=AB=6（米），
设这座拱桥所在圆的半径为x米，则OA=OC=x米，OD=OC﹣CD=（x﹣4）米，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，则x2=（x﹣4）2+62，解得：x=6.5，
故这座拱桥所在圆的半径为6.5米.
（2）货船不能顺利通过这座拱桥.理由：连接OM，设MN=5米，∵OC⊥MN，∴MH=MN=2.5（米），
在Rt△OMH中，OH==6（米），∵OD=OC﹣CD=6.5﹣4=2.5（米）
∵OH﹣OD=6﹣2.5=3.5（米）＜3.6米，
∴货船不能顺利通过这座拱桥.
25.【解答】解：（1）∵=，∴∠ACB=∠ADB=45°，∵∠ABD=45°，∴∠BAD=90°，
∴BD是△ABD外接圆的直径；
（2）在CD的延长线上截取DE=BC，连接EA，∵∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE=90°，∵=∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE是等腰直角三角形，∴AC=CE，∴AC=CD+DE=CD+BC；
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，
由对称性可知：∠AMB=∠ACB=45°，
∴∠FMA=45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，∴AM=AF，MF=AM，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，∴∠FAB=∠MAD，
在△ABF与△ADM中，，∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF=DM，在Rt△BMF中，∵BM2+MF2=BF2，∴BM2+2AM2=DM2.
26.【解答】（1）∵DH∥KB，BK⊥AC，∴DE⊥AC，∴∠AED=90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠KCB，
在△ADE和△CBK中∴Rt△ADE≌Rt△CBK，∴AE=CK.
（2）在Rt△ABC中，AB=a，AD=BC=a，
∴AC===，
∵S△ABC=AB×BC=AC×BK，∴BK===a.
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九上数学培优提高 第二十四章 圆 第一节 圆的有关性质
一.选择题（共10小题）
1.如图，⊙O中∠BAC=25°,∠CED=30°，则∠BOD的度数是（ ）
A.150° B.125° C.110° D.55°
2.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（ ）
A.150° B.140° C.130° D.120°
3.如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（ ）21cnjy.com
A.140° B.70° C.60° D.40°21·cn·jy·com
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
4.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ）www.21-cn-jy.com
A.1： B.1： C.1：2 D.2：3
5.如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是（ ）
A.8 B.12 C. D.
6.如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（ ）2·1·c·n·j·y
A.3 B.4 C.6 D.8【来源：21·世纪·教育·网】
第6题图 第7题图 第10题图 第11题图
7.如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（ ）21*cnjy*com
A. B. C.4 D.3
8.已知点P是半径为5的⊙O内的一个定点，且OP=3，则过点P的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
9.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A.120° B.135° C.150° D.165°
10.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF∽△AOF.其中一定成立的有（ ）个.21·世纪*教育网
A.3 B.4 C.5 D.6
二.填空题（共10小题）
11.如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，则∠AED的度数为 度.21教育名师原创作品
12.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
13.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为 ，最大值为 .21*cnjy*com
14.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= °.
15.如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB= °.
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
16.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB=22.5°，CD=6cm，则⊙O的半径为 cm.
17.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD= 度.
18.如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧）.若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为 .
19.如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且∠ACB=45°，E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于点G、H.若⊙O的半径为2，则GE+FH的最大值为 .
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
20.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F.若∠E+∠F=70°，则∠A= .【版权所有：21教育】
三.解答题（共6小题）
21.已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC.
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2，求CD的长.
22.如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，且CD⊥AB于点E.
（1）若∠A=48°，求∠OCE的度数；
（2）若CD=4，AE=2，求圆O的半径.
23.如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.【出处：21教育名师】
（1）求证：BE=CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC=AD=8，求CD的长.
24.如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12米，拱顶高出水面4米.
（1）求这座拱桥所在圆的半径.
（2）现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由.21教育网
25.如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°www-2-1-cnjy-com
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.
26.如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K.过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H.2-1-c-n-j-y
（1）求证：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD=a（a为大于零的常数），求BK的长.
参考答案
一.选择题（共10小题）
1C.【解答】解：如图，连接OC.∵∠BOC=2∠BAC=50°，∠COD=2∠CED=60°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=110°，故选C.
2A.【解答】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，∴∠AOC=2∠B=150°.故选A.
3B.【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，
∴∠DOE=180°﹣40°=140°，∴∠P=∠DOE=70°.故选B.
4D.【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，∴，
∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，∴AD=AB，BD=AB，
过C作CF⊥AB于F，连接OE，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，∴OE⊥AB，
∴OE=AB，CF=AB，
∴S△ADE：S△CDB=（AD OE）：（BD CF）=（）：（）=2：3.故选D.
方法二：连接BE，易知AE=AB，BC=AB，
由△ADE∽△CDB，∴S△ADE：S△BDC=（AE：BC）2=2：3，故选D.
5C.【解答】解：∵直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x﹣4y﹣12=0，
即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，
过C作CM⊥AB于M，连接AC，
则由三角形面积公式得：×AB×CM=×OA×OC+×OA×OB，
∴5×CM=4×1+3×4，∴CM=，
∴圆C上点到直线y=x﹣3的最大距离是1+=，
∴△PAB面积的最大值是×5×=，故选：C.
6C.【解答】解：连接EB，如图所示：∵C（0，9），D（0，﹣1），
∴OD=1，OC=9，∴CD=10，∴EB=ED=CD=5，OE=5﹣1=4，∵AB⊥CD，
∴AO=BO=AB，OB===3，∴AB=2OB=6；故选：C.
7D.【解答】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，∴=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，
而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=3.故选：D.
8C.【解答】解：如图，过P作弦AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA；
Rt△OAP中，OP=3，OA=5；根据勾股定理，得AP=4；∴AB=2AP=8；
故过点P的弦的长度都在8～10之间；
因此弦长为8、9、10；
当弦长为8、10时，过P点的弦分别为弦AB和过P点的直径，分别有一条；
当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；
故弦长为整数的弦共有4条.故选C.
9C.【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得：EO=BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，
故的度数是150°.故选：C.
10B.【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，所以选项①正确；
②∵C，D是⊙O上的点，∴与不一定相等，∴∠A与∠CBA不一定相等，
∵OB=OC，∴∠C=∠CBA，∴∠A与∠C不一定相等，∵∠AFO=∠CFE，
∴∠AOC与∠AEC不一定相等，∴△CEF与△AOF不一定相似，所以②和⑥不正确；
③∵OB=OC，∴∠C=∠ABC，∵OC∥BD，∴∠C=∠CBD，∴∠ABC=∠CBD，∴CB平分∠ABD，
所以③正确；
④∵OC∥BD，∴∠AFO=∠ADB=90°，∴OC⊥AD，∴AF=DF，所以④正确；
⑤∵AO=BO，AF=FD，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，所以⑤正确，
所以本题正确的结论有：①③④⑤，一共4个；故选B.
二.填空题（共10小题）
11. 69 度.
【解答】解：∵B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，∴∠AOD=138°，
∴∠AED=138°÷2=69°.
12. 8 mm.
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD===4mm，∴AB=2AD=2×4=8mm.故答案为：8.
13. 3 ， 5 .
【解答】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，
∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，
∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB=8，OA=5，∴AM′=×8=4，
∴在Rt△OAM′中，OM′===3，
∴线段OM长的最小值为3，最大值为5.
故答案为：3，5.
14. 62 °.
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BCD=28°，∴∠ACD=62°，
由圆周角定理得，∠ABD=∠ACD=62°，故答案为：62.
15. 119 °.
【解答】解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB=122°，
∴∠ADB=∠AOB=×122°=61°.∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB=180°﹣61°=119°.故答案为：119.
16. 3 cm.
【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=3cm，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，∴OC=CE=3cm，故答案为：3.
17. 70 度.
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；又∵∠BCD=110°，
∴∠BAD=70°.故答案为：70.
18. 9π .
【解答】解：连接PD，过点P作PE⊥CD与点E，PE交AB于点F，则CD边扫过的面积为以PD为外圆半径、PE为内圆半径的圆环面积，如图所示.21世纪教育网版权所有
∵PE⊥CD，AB∥CD，∴PF⊥AB.又∵AB为⊙P的弦，∴AF=BF，∴DE=CE=CD=AB=3，
∴CD边扫过的面积为π（PD2﹣PE2）=π DE2=9π.故答案为：9π.
19. 4﹣ .
【解答】解：连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°.∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=2，
当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值.∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=AB=，∴GE+FH=GH﹣EF=4﹣，故答案为：4﹣.
20. 55° .
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC=∠FBC，
∵∠ADC=180°﹣∠A﹣∠F，∠FBC=∠A+∠E，∴180°﹣∠A﹣∠F=∠A+∠E，
则2∠A=180°﹣（∠F+∠E）=110°，解得，∠A=55°，故答案为：55°.
三.解答题（共6小题）
21.【解答】（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，（∵∠EDC+∠ADE=180°，∠B+∠ADE=180°，∴∠EDC=∠B）
∴∠B=∠C，∴AB=AC；
（2）方法一：
解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，
∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE CB=CD CA，AC=AB=4，
∴ 2=4CD，∴CD=.
方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，
设CD=a，由（1）知AC=AB=4，则AD=4﹣a，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2
在Rt△CBD中，由勾股定理可得：BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2
∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2整理得：a=，即：CD=.
22.【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∠A=48°，∴∠ADE=42°.∴∠AOC=2∠ADE=84°，
∴∠OCE=90°﹣84°=6°；
（2）解：因为AB是圆O的直径，且CD⊥AB于点E，所以CE=CE=×4=2，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
设圆O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，所以r2=（2）2+（r﹣2）2，
解得：r=3.所以圆O的半径为3.
23.【解答】（1）证明：∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；
（2）四边形BFCD是菱形.理由如下：
证明：∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，
在△BED和△CEF中，，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，
∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，
∴CE2=DE AE，设DE=x，∵BC=8，AD=10，∴42=x（10﹣x），解得：x=4，
在Rt△CED中，CD==4.
24.【解答】解：（1）连接OA，根据题意得：CD=4米，AB=12米，则AD=AB=6（米），
设这座拱桥所在圆的半径为x米，则OA=OC=x米，OD=OC﹣CD=（x﹣4）米，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，则x2=（x﹣4）2+62，解得：x=6.5，
故这座拱桥所在圆的半径为6.5米.
（2）货船不能顺利通过这座拱桥.理由：连接OM，设MN=5米，∵OC⊥MN，∴MH=MN=2.5（米），
在Rt△OMH中，OH==6（米），∵OD=OC﹣CD=6.5﹣4=2.5（米）
∵OH﹣OD=6﹣2.5=3.5（米）＜3.6米，
∴货船不能顺利通过这座拱桥.
25.【解答】解：（1）∵=，∴∠ACB=∠ADB=45°，∵∠ABD=45°，∴∠BAD=90°，
∴BD是△ABD外接圆的直径；
（2）在CD的延长线上截取DE=BC，连接EA，∵∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE=90°，∵=∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE是等腰直角三角形，∴AC=CE，∴AC=CD+DE=CD+BC；
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，
由对称性可知：∠AMB=∠ACB=45°，
∴∠FMA=45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，∴AM=AF，MF=AM，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，∴∠FAB=∠MAD，
在△ABF与△ADM中，，∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF=DM，在Rt△BMF中，∵BM2+MF2=BF2，∴BM2+2AM2=DM2.
26.【解答】（1）∵DH∥KB，BK⊥AC，∴DE⊥AC，∴∠AED=90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠KCB，
在△ADE和△CBK中∴Rt△ADE≌Rt△CBK，∴AE=CK.
（2）在Rt△ABC中，AB=a，AD=BC=a，
∴AC===，
∵S△ABC=AB×BC=AC×BK，∴BK===a.
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