北师大版 八年级数学上册 第三章 2平面直角坐标系 教学设计 共3课时

第三章 2　平面直角坐标系 教学设计
1.理解平面直角坐标系的有关概念,并能正确画出平面直角坐标系.
2.能建立适当的坐标系,描述物体的位置.
3.在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标.
1.通过两个找点、连线、观察、确定图形的大致形状的问题,使学生能在给定的直角坐标系中根据坐标描出点的位置,进一步掌握平面直角坐标系的基本内容.
2.通过讨论交流的方式讲解例题.学生掌握根据已知条件建立适当的坐标系来描述物体位置的方法.
1.培养学生发现问题和主动探索的能力.在与同伴的合作交流中,培养学生的责任心.
2.培养学生细致、认真的学习习惯.
3.通过教学,向学生渗透“数形结合”的数学思想,并培养学生将实际问题抽象为“数学模型”的能力.
【重点】
1.能正确画出平面直角坐标系.
2.能在平面直角坐标系中,根据坐标找出点,由点求出坐标.
【难点】
1.理解平面内的点与有序数对之间的一一对应关系.
2.在直角坐标系中,根据坐标找出点,由点求出坐标.
第课时
1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念.
2.认识并能画出平面直角坐标系.
3.能在给定的直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标.
1.从现实情境入手,感受建立平面直角坐标系的必要性,然后抽象出平面直角坐标系的相关概念.
2.通过画坐标系、由点找坐标等过程,发展学生的数形结合意识、合作交流意识.
由平面直角坐标系的有关内容,以及由点找坐标,反映平面直角坐标系与现实生活的密切联系,让学生认识数学与生活的密切联系和对人类历史发展的作用,提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心.
【重点】　学生能正确画出平面直角坐标系,并能在平面直角坐标系中,根据定义写出给定点的坐标,以及根据坐标描出点的位置.
【难点】　理解坐标和平面上的点的一一对应的关系,体会数形结合思想.
【教师准备】　多媒体课件,画图工具,教材图3 - 4,3 - 5,3 - 6的情境图.
【学生准备】　画图工具,方格纸.
导入一:
同学们,你们喜欢旅游吗? 假如你到了某一个城市旅游,那么你应怎样确定旅游景点的位置呢?
下面给出一张某市旅游景点的示意图,在科技大学的小亮如何给来访的朋友介绍该市的几个风景点的位置呢?
尽可能给出简洁的表示方法,并与同伴交流.
大成殿:　　　　;?
中心广场:　　　　;?
碑林:　　　　.?
[设计意图]　试图通过介绍景点回顾前一节中确定位置的方法,体会不同的介绍方法中的共性——一般需要两个数据.
导入二:
　　[过渡语]　同学们,结合以前学过的知识,请根据示意图,回答问题.
你是怎样确定各个景点的位置的?
[处理方式]　学生口答完成,对于回答不完整的由学生补充改正!教师引导性地进行语言说明,在数轴上我们能够用一个数字来表示点的坐标,那么平面内能否用一个数来表示景点的具体的位置呢?既复习了旧知识,又为下面用类比的方法学习新知识做铺垫.此处学生回答的方法多种多样,只要合理即可,还有没有更好的方法,进而提出问题.一一感受建立平面直角坐标系的必要性.
[设计意图]　通过播放图片,调动学生的热情,既复习回顾了旧知识,又激发起进一步学习的兴趣,吸引学生的注意力,用类比的方法学习平面直角坐标系,为学习新知识进行铺垫.引导学生猜想、探索,鼓励学生积极思考,调动学习积极性,并在活动中培养学生的探究、合作、交流的能力.
　　[过渡语]　生活中到处都是确定物体位置的问题,谁能用学过的知识完成下面的做一做呢?
一、做一做(一)
(1)小红在旅游示意图上画上了方格,标上数字,如图(1)所示,并用(0,0)表示科技大学的位置,用(5,7)表示中心广场的位置,那么钟楼的位置如何表示?(2,5)表示哪个地点的位置?(5,2)呢?
(1)　　　　　　　　　　(2)
按照小红的方法,(5,2)中的2表示　　　　,(2,5)中的2表示　　　　.?
(2)如果小亮和他的朋友在中心广场,并以中心广场为“原点”,做了如图(2)所示的标记,那么你能表示“碑林”的位置吗?“大成殿”的位置呢?(通常将(0,0)点称为原点)
　　[过渡语]　在上一节课,我们已经学习了许多确定位置的方法,对于这个问题,大家看用哪种方法比较合适?
如果城市比较大,地图还需要向右上方扩展,你能类似地表示右上部分其他点的位置吗?
[设计意图]　以方格纸为背景,可以方便地利用有序数对描述各景点的位置.生活中用两个距离表示位置时,一般不用负数,而直角坐标系中的坐标是可正可负的,为此,设计了本问题.
二、相关概念
思路一:
给出定义:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常,两条数轴分别置于水平位置与铅直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x轴或横轴,铅直的数轴叫做y轴或纵轴,x轴和y轴统称坐标轴,它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点.
如图所示,对于平面内任意一点 P,过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线,垂足在 x 轴、y 轴上对应的数 a,b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点 P 的坐标.
如图所示,在平面直角坐标系中,两条坐标轴将坐标平面分成了四部分,右上方的部分叫做第一象限,其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不在任何一个象限内.
思路二:
活动内容1:认识平面直角坐标系.
　　[过渡语]　请同学们打开教材第59页,结合自学提纲阅读课本例1之前的部分内容,并将重点内容标注出来.
(多媒体展示)
问题1
什么是平面直角坐标系?简称什么?两条数轴如何放置?如何称呼?方向如何确定?它们的交点叫什么?
问题2
坐标轴将平面分为哪几个部分?它们的名称分别是什么?坐标轴上的点属于哪个部分?
问题3
在方格纸上画出平面直角坐标系.
问题4
象限是怎样划分的?
[处理方式]　给学生5~8分钟的时间先结合自学提纲自学课本,然后根据自己的理解在方格纸上画出平面直角坐标系,并标出各部分名称.学生之间相互提问解答.最后找学生代表发言,教师要求学生尽量不看课本,对于问题1和问题2,学生根据课本内容回答应该问题不大,但是此处教师应该补充正方向的确定不是唯一的,我们为了习惯,通常取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.对于数轴的名称,多找几位学生回答,最后教师强调画平面直角坐标系应注意:①两条数轴互相垂直;②原点重合;③标注两坐标轴名称;④单位长度一般取相同的.问题3直接要求学生在所画平面直角坐标系中标出各个象限的名称,并引导学生得出坐标轴上的点不在任何一个象限内.
(多媒体出示,同时给学生1分钟时间改正反思,查找错误的原因)
　　注意:坐标轴上的点不属于任何象限,原点既在横轴上又在纵轴上.
在上图建立的平面直角坐标系中,两条坐标轴将坐标平面分成四个部分(按逆时针方向)分别叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.
[设计意图]　平面直角坐标系的产生是法国数学家迪卡尔的伟大发现,里边涉及的概念很难引导学生自己得出,因此可以通过自学的方式让学生掌握这些知识,培养学生自学能力、合作交流能力,体现学生主动学习的理念,对学生进行数学文化方面的熏陶和理想教育.培养作图能力和对概念的进一步认识,强化理解.
活动内容2:点的坐标的定义.
(多媒体出示)
问题1
直角坐标系内,如何根据点的位置确定点的坐标?写出A点的坐标(如图(1)所示).
问题2
在平面直角坐标系内,如何根据点的坐标确定点的位置?找出坐标为(2,4)的C点(如图(2)所示).
[处理方式]　给学生3~4分钟的时间自学课本,然后根据自己的理解,写出A点的坐标,然后同桌比较写出的答案是否一样.找出不同的原因,然后再一次自学课本,小组内讨论得出正确答案:A(3,4).教师引导学生说明怎样得到点A的坐标,例如:①过点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是3,垂足N在y轴上的坐标是4,我们说A点的横坐标是3,纵坐标是4,有序数对(3,4)就叫做点A的坐标,记作A(3,4).②用直角三角板中的直角,使直角顶点落在点A上,并且保证两条直角边与坐标系中x轴和y轴垂直,一条直角边通过x轴上的坐标是3,另一条直角边通过y轴上的坐标是4,所以点A的坐标记作A(3,4).这些方法都可以得到点的坐标,此处学生容易出现错误,教师强调有序数对的横坐标在前,纵坐标在后,教师可以引导学生编顺口溜,利于学生理解辨别(平面直角坐标系,两条数轴来唱戏,一个点,两个数,先横后纵再括号,中间隔开用逗号).然后教师在平面直角坐标系中画出B点,要求学生写出点B的坐标,并板书在黑板上,学生讲评更正.对于问题2如何根据坐标找到平面上的点,学生独立思考,在方格纸上已经画好的平面直角坐标系中找出点C(2,4),组内探索交流后回答,并在黑板上演示,教师强调坐标要写在点旁边,书写格式要正确.
(多媒体出示,同时给学生2分钟时间查缺补漏,查找错误的原因)
[设计意图]　以上两个问题的解决,是本节课的核心环节,教师的讲解配以多媒体的直观演示,能更好地突破难点,将枯燥的知识趣味化,同时,采用独立、对学、小组合作学习等多种形式相结合的学习方式,提高学生的学习兴趣,并及时地做练习,让学生将知识转化成自身的技能,注意到自己独立做题时所出现的错误,从而更好地实现本节课的教学目标.
　　[过渡语]　请同学们利用上面的知识,探究下面的例题.
三、例题讲解
(教材例1)写出图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标.
解:各个顶点的坐标分别是:A(-2,0),B(0,-3),C(3,-3),D(4,0),E(3,3),F(0,3).
[设计意图]　本课时的重点是通过坐标更好地理解平面直角坐标系的思想,认识到坐标与点的一一对应关系.例1和下面的“做一做”分别让学生“根据点的位置写出它的坐标”“根据坐标描出相应的点”,在此基础上进一步感受坐标与点的对应关系.
四、做一做(二)
(1)在下图所示的平面直角坐标系中,描出下列各点:A(-5,0),B(1,4),C(3,3),D(1,0),E(3,-3),F(1,-4).
(2)依次连接A,B,C,D,E,F,A,你得到什么图形?
(3)在平面直角坐标系中,点与实数对之间有何关系?
【问题解决】　(1)图略.
(2)图形像“飞机”.
(3)在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一对有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一对有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应.
[设计意图]　第(3)问是建立在例1和“做一做”前两问的基础上的,让学生经历根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标的过程,体会平面上的点与有序实数对之间是一一对应的关系.
结论:在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一对有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一对有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应.
[知识拓展]　由于平面直角坐标系中的点是用一个有序实数对来表示的,所以平面上的点和有序实数对是一一对应的关系.点(a,b)(a≠b)与点(b,a)一般是不同的两个点,在描点时应注意.
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.
通常两条数轴分别置于水平位置与铅直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x轴或横轴.铅直的数轴叫做y轴或纵轴.x轴和y轴统称坐标轴.它们的公共原点O称为直角坐标系的原点.如图所示,两坐标轴把平面分成四个部分,右上方的部分叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限.
1.如果P点的坐标为(-1,2),那么P点的横坐标为　　　　,纵坐标为　　　　.?
解析:点的横坐标写在前,纵坐标写在后,用小括号括起来.
答案:-1　2
2.如果Q点的坐标为(2,-3),那么Q点的横坐标为　　　　,纵坐标为　　　　.?
解析:点的横坐标写在前,纵坐标写在后,用小括号括起来.
答案:2　-3
3.如果M点的横坐标为-2,纵坐标为-1,那么M点的坐标为　　　　.?
解析:点的横坐标写在前,纵坐标写在后,用小括号括起来.故填(-2,-1).
4.如图所示,分别写出点A,B,C,D,E,F,G的坐标.
解:A(-1,-1),B(0,-3),C(2,-5),D(4,-1),E(3,2),F(-2,3),G(2,-2).
第1课时
1.做一做(一).
2.相关概念.
3.例题讲解.
4.做一做(二).
一、教材作业
【必做题】
教材第61页习题3.2第1,2题.
【选做题】
教材第61页习题3.2第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在平面直角坐标系中,点P(-2,3)在 (　　)
A.第一象限　　　　　　B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.点P(2,3)的横坐标为　　　　,纵坐标是　　　　.?
【能力提升】
3.点P(0,-3)的位置是在 (　　)
A.x轴的正方向上 B.x轴的负方向上
C.y轴的正方向上 D.y轴的负方向上
4.已知P(3,-2),则P点到x轴的距离为　　　　,到y轴的距离为　　　　.?
5.已知A点在x轴上,且OA=3,则A点的坐标为　　　　.?
6.已知A(-1,4),B(-4,4),则线段AB的长为　　　　.?
【拓展研究】
7.在图中的直角坐标系中描出下列各点.
A(2,3),B(-2,3),C(0,-4),D(-2,0),E(-3,-1),F(3,-2).
【答案与解析】
1.B(解析:由象限的定义可知点P(-2,3)在第二象限.故选B.)
2.2　3
3.D(解析:横坐标为0,在y轴上,纵坐标为负数,在负半轴上.)
4.2　3(解析:点到x轴的距离为纵坐标的绝对值,到y轴的距离为横坐标的绝对值.)
5.(3,0)或(-3,0)(解析:A点在x轴上,OA=3,则A点在O点的左侧或右侧,所以A点的坐标有两个.)
6.3(解析:根据A(-1,4),B(-4,4)得AB平行于x轴,线段AB的长为A,B两点横坐标差的绝对值.)
7.解:根据点的坐标描出即可.图略.
本节课是在上一节的基础之上引入平面直角坐标系的概念,探究点和有序实数对的关系,学生在观察中总结出点的坐标与点在坐标系中的位置的关系,得出在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一对有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一对有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应.总之,结论的得出都是以问题为载体,通过学生观察、思考得出来的规律性的知识.
由于平面直角坐标系是新概念,学生掌握起来有一定的难度,练习不够多,难免有学生掌握不好. 在解决问题时,不少学生还有无从下手的感觉.
适当增加练习,照顾各个层次的学生的需要.在时间允许的情况下,对平面直角坐标系在其他方面的应用加以扩充.
随堂练习(教材第60页)
解:(1)教学楼(2,4),实验楼(3,-3),图书馆(-3,3).　(2)图略.学生公寓在图书馆下面6格,实验楼左面6格的地方.
习题3.2(教材第61页)
1.解:B(0,5),A(5,2),E(3,-4),D(-3,-4),C(-5,2).
2.解:(1)A(3,8),L(6,7),N(9,5),P(9,1), E(3,5).　(2)(4,7)代表C,(5,5)代表F,(2,5)代表D.
3.解:答案不唯一,以大长方形的左下角的顶点为坐标原点建立坐标系:这五个儿童所在的位置坐标分别为D(2,5),E(7,1),A(7,5),C(7,8),B(11,5).
4.解:画图略.游乐园的坐标为(-7,2),映月湖的坐标为(-4,-4),碑林的坐标为(8,1).
　在如图所示的平面直角坐标系中描出A(-1,0),B(5,0),C(2,3),D(0,3)四点,并用线段将A,B,C,D四点依次连接起来,得到一个什么图形?你能求出它的面积吗?
〔解析〕　把A,B,C,D四点描出来,再依次连接起来,得到一个梯形,根据面积公式可求得梯形的面积.
解:如图所示,得到一个梯形,S梯形ABCD=×(2+6)×3=12.
第课时
1.知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征.
2.知道不同象限内点的坐标的特征.
3.经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程,进一步体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系,发展数形结合意识.
1.经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程,发展学生的数形结合思想,培养学生的合作交流能力.
2.通过由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程,进一步培养学生的转化意识.
通过生动有趣的教学活动,发展学生的合情推理能力和丰富的情感、态度,提高学生学习数学的兴趣.
【重点】　体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系,发展数形结合意识.
【难点】　认识坐标轴上的点、各象限内点的坐标特征.
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　画图工具,方格纸若干张.
导入一:
　　[过渡语]　上节课我们学习了平面直角坐标系,请同学们在方格纸上建立一个平面直角坐标系,在建坐标系时要注意哪些问题?
生:应注意标明正方向即箭头,标明x轴和y轴,还应标明单位长度.
师:在你所建的坐标系中标出象限,思考每个象限具有怎样的特点.并指出下列各点所在象限或坐标轴:A(-1,-2.5),B(3,-4),C,D(3,6),E(-2.3,0),F,G(0,0).
生:A点在第三象限,B点在第四象限,C点在第二象限,D点在第一象限,E点在x轴上,F点在y轴上,G点在坐标原点上.
[设计意图]　复习回顾上节课所学的平面直角坐标系,并考察了学生对于象限内点的坐标特点以及坐标轴上点的坐标特点的掌握情况.
导入二:
　　[过渡语]　同学们,相信你们对十字绣一定不陌生吧!你知道绣十字绣时怎样从图纸中找到符号给十字绣画格吗?
这些漂亮的十字绣蕴含哪些数学知识呢?这节课我们从数学的角度来探讨一下这个问题.(板书课题)
[设计意图]　激趣引课,意在调动学生学习的积极性.
为了更好地解决本节课的问题,请同学们思考以下问题:(多媒体出示下列问题)
1.平面直角坐标系的定义.
2.x轴,y轴上点的坐标的特点.
3.平行于x轴或平行于y轴的点的坐标特点.
4.指出下列各点所在象限或坐标轴:A(-1,-2.5),B(3,-4),C(-4,5),D(3,6),E(-2.3,0),F(0,2),G(0,0).
5.若点P(x-2,y+3)在x轴上,则y=　　　　;若在y轴上,则x=　　　　;若在原点,则x=　　　　,y=　　　　.?
[设计意图]　巩固所学知识,同时为探索新知识提供载体.
(教材例2)　在直角坐标系中描出下列各点,并将各组内这些点依次用线段连接起来.
(1)D(-3,5),E(-7,3),C(1,3),D(-3,5);
(2)F(-6,3),G(-6,0),A(0,0),B(0,3).
观察所描出的图形,它像什么?根据图形回答下列问题.
(1)图形中哪些点在坐标轴上,它们的坐标有什么特点?
(2)线段EC与x轴有什么位置关系?点E和点C的坐标有什么特点?线段EC上其他点的坐标呢?
(3)点F和点G的横坐标有什么共同特点?线段FG与y轴有怎样的位置关系?
解:连接起来的图形像“房子”,如图所示.
(1)线段AG上的点都在x轴上,它们的纵坐标都等于0;线段AB上的点都在y轴上,它们的横坐标都等于0.
(2)线段EC平行于x轴,点E和点C的纵坐标相同.线段EC上其他点的纵坐标也相同,都是3.
(3)点F和点G的横坐标相同,线段FG与y轴平行.
[设计意图]　本题创设了一个相对轻松、有趣的情境,使学生进一步掌握在平面直角坐标系中由坐标找到点的位置,并让学生初步感受坐标轴上点的坐标特征,平行于x轴、y轴的直线上点的坐标特征.
【议一议】　在平面直角坐标系中,坐标轴上的点的坐标有什么特点?
【问题解决】　坐标轴上的点的坐标中至少有一个是0,即横轴上的点的纵坐标是0,纵轴上的点的横坐标是0.
【做一做】　如图所示的是一个笑脸.
(1)在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点,指出它们的坐标,说说这些点的坐标有什么特点.
(2)在其他象限内分别找几个点,看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点.
(3)不描出点,分别判断A(1,2),B(-1,-3),C(2,-1),D(-3,4)所在的象限.
[设计意图]　力图引领学生探索同一象限内点的坐标的特征.
【问题解决】　(1)第一象限内的点的坐标有:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(5,2)等,它们的横坐标与纵坐标都是正实数.
(2)第二象限内的点的坐标有:(-1,1),(-1,2),(-2,1),(-2,2),(-2,3),(-5,2)等,它们的横坐标是负实数,纵坐标是正实数.
第三象限内的点的坐标有:(-1,-1),(-3,-3)等,它们的横坐标与纵坐标都是负实数.
第四象限内的点的坐标有:(1,-1),(3,-3)等,它们的横坐标是正实数,纵坐标是负实数.
(3)点A(1,2)在第一象限,点B(-1,-3)在第三象限,点C(2,-1)在第四象限,点D(-3,4)在第二象限.
总结:各个象限内的点的坐标特征是怎样的?
第一象限(+,+),第二象限(-,+),
第三象限(-,-),第四象限(+,-).
[知识拓展]　根据点的坐标符号的情况可以确定点的位置;反之,也可以根据点的位置确定点的符号情况.坐标轴上的点不属于任何象限.
对于点P(a,b),用字母表示坐标.
若点P在第一象限,则a>0,b>0;
若点P在第二象限,则a<0,b>0;
若点P在第三象限,则a<0,b<0;
若点P在第四象限,则a>0,b<0.
1.位于x轴上的点的坐标的特征是:纵坐标为0;位于y轴上的点的坐标的特征是:横坐标为0.
2.与x轴平行的直线上点的坐标的特征是:纵坐标相等,横坐标不相等;与y轴平行的直线上点的坐标的特征是:横坐标相等,纵坐标不同.
1.若点P(m+1,m+3)在y轴上,则m=　　　　.?
解析:因为点P(m+1,m+3)在y轴上,所以横坐标为0,即m+1=0,m=-1.故填-1.
2.已知点P(a,b)在第四象限,则Q(b,a)在　　　　.?
解析:因为点P(a,b)在第四象限,所以a>0,b<0,所以Q(b,a)在第二象限.故填第二象限.
3.点P在第二象限内,P到x轴的距离是4,到y轴的距离是3,那么点P的坐标为 (　　)
A.(-4,3)　　　　B.(-3,-4)
C.(-3,4) D.(3,-4)
解析:因为点P在第二象限内,点P到x轴的距离是4,所以点P的纵坐标为4,又点P到y轴的距离是3,所以点P的横坐标为-3.所以点P为(-3,4).故选C.
4.已知点P(a,b)在第三象限,且|a|=3,|b|=4,那么点P的坐标为 (　　)
A.(-4,-3) B.(-3,-4)
C.(-3,4) D.(3,-4)
解析:因为点P(a,b)在第三象限,所以它的横、纵坐标均为负,所以a=-3,b=-4.故选B.
5.如图所示,在平面直角坐标系中,P(-1,1),PQ∥y轴,线段PQ的长为3,求点Q的坐标.
解:由PQ∥y轴可知点Q在点P的正上方或正下方.
当点Q在点P的正上方时,Q(-1,4);当点Q在点P的正下方时,Q(-1,-2).
第2课时
1.教材例2
2.做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第63页随堂练习.
【选做题】
教材第64页习题3.3第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在平面直角坐标系中,点(-3,8)所在的象限是 (　　)
A.第一象限　　　　　B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.在平面直角坐标系中,点(0,-10)在 (　　)
A.x轴的正半轴上 B.x轴的负半轴上
C.y轴的正半轴上 D.y轴的负半轴上
3.在平面直角坐标系中,点P(-2,x2+1)所在的象限是 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.在如图所示的平面直角坐标系中,描出下列各组内的点,并用线段依次连接起来.
(1)(-6,5),(-10,3),(-9,3),(-3,3),(-2,3),(-6,5);
(2)(-9,3),(-9,0),(-3,0),(-3,3);
(3)(3.5,9),(2,7),(3,7),(1,5),(2,5),(0,2),(3,2),(3,0);
(4)(3.5,9),(5,7),(4,7),(6,5),(5,5),(7,2),(4,2),(4,0),(3,0).
观察所得的图形,你觉得它像什么?
【能力提升】
5.若点P(m+5,m-2)在x轴上,则m=　　　　;若点Q(m+5,m-2)在y轴上,则m=　　　　.?
6.已知点A(-3,2),点B(1,4).
(1)若CA平行于x轴,BC平行于y轴,则点C的坐标是　　　　;?
(2)若CA平行于y轴,BC平行于x轴,则点C的坐标是　　　　.?
7.已知线段AB=3,AB∥x轴,若A点坐标为(-1,2),则B点坐标是　　　　.?
【拓展探究】
8.科学探测活动中,探测人员发现目标在如图所示的阴影区域内,则目标的坐标可能是 (　　)
A.(-3,300)
B.(7,-500)
C.(9,600)
D.(-2,-800)
9.已知坐标平面内点A(-2,4),如果将坐标系向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,那么点A变化后的点A'的坐标为　　　　.?
【答案与解析】
1.B(解析:横坐标为负,纵坐标为正,在第二象限.)
2.D(解析:横坐标为0,纵坐标为负,在y轴的负半轴上.)
3.B(解析:横坐标为负,纵坐标为x2+1,恒大于等于1,在第二象限.)
4.解:如图所示,图形像一栋“房子”,旁边还有一棵“大树”.
5.2　-5(解析:点P在x轴上,纵坐标为0,即m-2=0,m=2.点Q在y轴上,横坐标为0,即m+5=0,m=-5.)
6.(1)(1,2)　(2)(-3,4)(解析:(1)CA平行于x轴,C点的纵坐标和A点相同,BC平行于y轴,点C的横坐标和B点相同.(2)CA平行于y轴,点C的横坐标和A点相同,BC平行于x轴,点C的纵坐标和B点相同.)
7.(2,2)或(-4,2)(解析:AB∥x轴,A点坐标为(-1,2),则B点纵坐标和A点相同,线段AB=3,在A左侧和右侧分别有一个点符合要求.)
8.B(解析:阴影区域在第四象限,只有点(7,-500)在第四象限.)
9.(1,2)(解析:坐标系向左平移相当于点向右平移,坐标系向上平移相当于点向下平移,所以本题可以看做坐标系不动,点A向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度.)
本课时利用平面直角坐标系,描出图形,然后寻找各个象限内的点的特征,紧跟练习,加以巩固和提高.
教材中的练习较少,由于是新知识,可能有学生
不够熟练,以至于影响以后的学习.
设计分层的练习题,照顾到更多的学生,为后续课程奠定良好的基础.
随堂练习(教材第63页)
解:(1)描点略.像一棵树.　(2)在坐标轴上的点有:(0,3),(-2,0),(6,0),(1,0),(3,0).　(3)其中点(2,5),(4,3),(1,3),(3,3)在第一象限,点(1,-6)和(3,-6)在第四象限,其余各点不属于任何象限;是根据点的横、纵坐标的符号判定的.　(4)答案不唯一,如:点(-2,0),(6,0),(1,0),(3,0)都在x轴上,它们的纵坐标都等于0,点(0,3),(4,3),(1,3),(3,3)都在平行于x轴的同一条直线上,它们的纵坐标相等,都等于3.
习题3.3(教材第64页)
1.解:(1)如图(1)所示,图形像字母“M”.　(2)如图(2)所示,图形像字母“W”.
2.解:(1)点的坐标答案不唯一,在第一象限内的点的坐标符号(+,+),第二象限(-,+),第三象限(-,-),第四象限(+,-).　(2)点的坐标答案不唯一,与x轴平行的线段上的点的纵坐标相等,与y轴平行的线段上的点的横坐标相等.
3.解:(1)A(6,3),B(3,6),C(-2,6),D(-5,3),E(-5,-2),F(-2,-5),G(3,-5),H(6,-2).
(2)找点的答案不唯一,在平行于x(y)轴直线上的点的纵(横)坐标相等.
　已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(0,2),(0,0),(3,1),在直角坐标系中画出图形并写出第四个顶点的坐标.
〔解析〕　已知平行四边形的三个顶点来确定第四个顶点,应该考虑三种情况.
解:如图所示,第四个顶点的坐标有三种情况:
(3,3),(3,-1),(-3,1).
第课时
1.能结合所给图形的特点,建立适当的坐标系,写出点的坐标.
2.能根据一些特殊点的坐标复原坐标系.
3.经历建立坐标系描述图形的过程,进一步发展数形结合意识.
通过多角度的探索,灵活选取简便易懂的方法解决问题,拓宽学生的思维,提高学生解决问题的能力.
1.通过学习建立直角坐标系的多种方法,让学生体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习兴趣,感受数学在生活中的应用,增强学生的数学应用意识.
2.通过“寻宝”游戏,让学生认识数学与生活的密切联系,提高他们学习数学的兴趣.
【重点】　根据实际问题建立适当的坐标系,并能写出各点的坐标.
【难点】　根据一些特殊点的坐标复原坐标系.
【教师准备】　坐标纸,多媒体课件.
【学生准备】　方格纸若干张.
导入一:
复习:(1)如何建立平面直角坐标系?说一说各个象限内点的坐标特征.
(2)如图(1)所示,求出A,B,C,D,E,F的坐标.
(3)在直角坐标系中,设法找到若干个点使得连接各点所得的封闭图形是如图(2)所示的“十”字.
注:选取的坐标系不同,得出的坐标也不同.
导入二:
　　[过渡语]　前面我们学习了平面直角坐标系的相关知识,请利用所学知识回答下面的问题.
(多媒体出示问题)
【问题】　请写出图中各点的坐标.
[处理方式]　在多媒体课件中出示图形与问题,给学生留出一分钟时间审题、做题,由学生举手回答,通过此问题的复习,引入新课.
[设计意图]　由复习引入,从学生已有的知识经验入手,在熟悉中提出新问题,激发学生的求知欲,通过写出直角坐标系中点的坐标,复习所学知识并启发学生的思维,为下面的学习做好铺垫.
　　[过渡语]　如果给出一个平面图形,要想写出图形中一些点的坐标,必须建立直角坐标系,而直角坐标系如何建立?建立方法是否唯一呢?今天我们一起学习:平面直角坐标系——建立适当的直角坐标系(板书课题).首先我们一起学习例3.
(教材例3)如图所示,长方形ABCD的长与宽分别是6,4,建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标.
师:在没有直角坐标系的情况下不能写出各个顶点的坐标,所以应先建立直角坐标系,那么应如何选取直角坐标系呢?请大家思考.
生1:如下图所示,以点C为坐标原点,分别以CD,CB所在直线为x轴、y轴,建立直角坐标系.
由CD的长为6,CB长为4,可得A,B,C,D的坐标分别为A(6,4),B(0,4),C(0,0),D(6,0).
生2:如下图所示,以点D为坐标原点,分别以CD,AD所在直线为x轴、y轴,建立直角坐标系.
师:这两位同学选取坐标系的方式都是以矩形的某一个顶点为坐标原点,矩形的相邻两边所在直线分别作为x轴、y轴,建立直角坐标系的.这样建立直角坐标系的方式还有两种,即分别以A,B为原点,矩形两邻边所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系.除此之外,还有其他方式吗?
生1:有,如下图所示,以矩形的中心(即对角线的交点)为坐标原点,平行于矩形相邻两边的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A,B,C,D的坐标分别为A(3,2),B(-3,2),C(-3,-2),D(3,-2).
生2:把上图中的x轴逐渐向上或向下移动,y轴向左或向右移动,则可得到不同的坐标系,从而得到A,B,C,D四点的不同坐标.
师:从刚才我们讨论的情况看,大家能发现什么?
生:建立直角坐标系有多种方法.
(教材例4)对于边长为4的等边三角形ABC(如左下图所示),建立适当的直角坐标系,写出各个顶点的坐标.
解:如图所示,以边BC所在的直线为x轴,以边BC的中垂线为y轴建立直角坐标系.
由等边三角形的性质可知AO=2,等边三角形ABC各个顶点A,B,C的坐标分别为A(0,2),B(-2,0),C(2,0).
师:等边三角形的边长已经确定是4,它一边上的高是不是会因所处位置的不同而发生变化呢?
生:不会,只是位置变化,而长度不会变.
师:除了上面的直角坐标系的选取外,是否还有其他的选取方法?
生:有……
师:你认为怎样建立适合的直角坐标系?
[设计意图]　体会同一图形在不同坐标系中的位置不同,关键点的坐标也不同.培养学生综合应用知识解决问题的能力.
注意:确定坐标系时,要看点的位置,同时要看此点到坐标轴的距离,而距离往往需要进行计算.
　　[过渡语]　同学们,既然我们已经学会建立平面直角坐标系来确定点的位置了,那么下面我们一起去“寻宝”吧!
【议一议】　在一次“寻宝”游戏中,寻宝人已经找到了A(3,2)和B(3,-2)两个标志点,并且知道藏宝地点的坐标为(4,4),除此之外不知道其他信息.如何确定直角坐标系找到“宝藏”?与同伴进行交流.
[设计意图]　这个情境具有一定趣味性和探究性,这样可以大大激发学生的思维,增强学生的学习兴趣,使学生进入快乐的学习中来,提高学生学习的积极性和主动性,同时引导学生进入新课的学习.
[处理方式]　(1)学生分组讨论如何找到宝藏.(2)让每组选一名代表发言,阐述本组讨论的结果.(3)师生共同完成“寻宝”.
[设计意图]　通过小组讨论活动,让学生理解坐标系的特点,并能应用特点解决问题.培养学生逆向思维的习惯以及勇于探索、团结协作的精神.
[知识拓展]　根据点的坐标的符号特征可以判定点的位置,反之,也可以根据点在直角坐标系中的位置判断其坐标符号的情况.
本节通过学习建立直角坐标系的多种方法,体验数学活动充满着探索与创造,不同的坐标系,对于同一个图形,点的坐标是不同的.
建立不同的平面直角坐标系,同一个图形,同一个点可以用不同的坐标表示,在实际应用中,以坐标简单容易计算为前提.
1.如图所示,在一次军棋比赛中,如果团长所在的位置的坐标为(2,-4),司令所在的位置的坐标为(4,-1),那么工兵所在的位置的坐标为　　　　.?
解析:根据团长所在位置的坐标为(2,-4),司令所在位置的坐标为(4,-1),可确定直角坐标系的原点、单位长度、坐标轴的位置,得出工兵所在位置的坐标.故填(1,-1).
2.某地为了发展城市群,在现有的四个中小城市A,B,C,D附近新建机场E,试建立适当的直角坐标系,并写出各点的坐标.
解:答案不唯一,可以以点A为坐标原点,建立平面直角坐标系.
第3课时
1.教材例3.
2.教材例4.
3.议一议.
一、教材作业
【必做题】
教材第66页习题3.4第1,2,3题.
【选做题】
教材第66页习题3.4第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示的是A,B,C,D四位同学的家所在位置,若以A同学家的位置为坐标原点建立平面直角坐标系,那么C同学家的位置的坐标为(1,5),则B,D两同学家的坐标分别为 (　　)
A.(2,3),(3,2)　　　　B.(3,2),(2,3)
C.(2,3),(-3,2) D.(3,2),(-2,3)
2.如图所示,若“帅”位于点(1,-2)上,“相”位于点(3,-2)上,则“炮”位于点　　　　.?
3.星期天,小王、小李、小张三位同学相约到文化广场游玩,出发前,他们每人带了一张利用平面直角坐标系画的示意图(如图所示),其中行政办公楼的坐标是(-4,3),南城百货的坐标是(2,-3).
(1)图中省略了平面直角坐标系,请根据上述信息,画出这个平面直角坐标系;
(2)写出图中体育馆、升旗台、北部湾俱乐部、盘龙苑小区、国际大酒店的坐标;
(3)小王、小张两人到了升旗台附近,这时还没看到小李,于是打电话问小李的位置,小李说他现在位置的坐标是(-2,-2),请在图中用字母A标出小李的位置.
【能力提升】
4.如图所示,若点E的坐标为(-2,1),点F的坐标为(1,-1),则点G的坐标为　　　　.?
【拓展研究】
5.在平面直角坐标系中,点A的坐标(-3,4),点B的坐标是(-1,-2),点O为坐标原点,求ΔAOB的面积.
6.如图所示,正方形ABCD的边长为10,连接各边的中点E,F,G,H得到正方形EFGH,请你建立适当的坐标系,分别写出A,B,C,D,E,F,G,H的坐标.
【答案与解析】
1.D(解析:建立正确的平面直角坐标系,然后确定B,D两家的坐标.)
2.(-2,1)(解析:由“帅”位于点(1,-2),“相”位于点(3,-2),确定平面直角坐标系,再找到“炮”的位置,写出它的坐标.)
3.解:(1)建立平面直角坐标系如图所示.　(2)体育馆(-9,4),升旗台(-4,2),北部湾俱乐部(-7,-1),盘龙苑小区(-5,-3),国际大酒店(0,0).
(3)小李的位置是如图所示的A点.
4.(1,2)
5.解:ΔAOB的面积是5.
6.解:答案不唯一,如:以EG所在直线为x轴,以FH所在直线为y轴,建立如图所示的坐标系,则A(-5,-5),B(5,-5),C(5,5),D(-5,5),E(-5,0),F(0,-5),G(5,0),H(0,5).
例题的设计是这节课的一个亮点,通过实际的练习,学生认识到平面直角坐标系的用途和需要注意的地方,通过不同的平面直角坐标系,对同一个图形、同一个顶点用不同坐标来表示,加强了学生的认识和理解.
由于练习比较少,不少学生对平面直角坐标系理解不透彻,利用不够熟练.
设计不同的情境,让学生自己建立平面直角坐标系,写出点的坐标,然后再进一步地练习.
随堂练习(教材第66页)
解:答案不唯一.可以以四角星的中心为坐标原点,以方格的横线、纵线所在的直线为横轴和纵轴,建立直角坐标系,这样八个顶点的坐标分别表示为A(6,0),B(2,2),C(0,6),D(-2,2),E(-6,0),F(-2,-2),G(0,-6),H(2,-2).
习题3.4(教材第66页)
1.(2,1)
2.解:答案不唯一,如图所示,建立直角坐标系,各顶点的坐标分别为O(0,0),A(4,0),B(4,4),C(0,4).
3.提示:如图所示,连接AB,作AB的垂直平分线Ox,垂足为D,则Ox为x轴,向右为正方向,在射线DO上截取DO=AB,过O作Oy⊥Ox,则Oy为y轴(竖直向上为正方向),由此可确定出(3,3)的位置C.
4.解:建立如图所示的平面直角坐标系,A(-1,),B(-2,0),C(-1,-),D(1,-),E(2,0),F(1,).
5.解:答案不唯一.如果以八角星的中心为坐标原点,以方格的横线、纵线所在的直线为横轴和纵轴,建立直角坐标系,这样八个顶点的坐标分别表示为A(7,0),B(5,5),C(0,7),D(-5,5),E(-7,0),F(-5,-5),G(0,-7),H(5,-5).如果以八角星的左下角顶点为坐标原点,以方格的横线、纵线所在的直线为横轴和纵轴,建立直角坐标系,这样八个顶点的坐标分别表示为A(12,5),B(10,10),C(5,12),D(0,10),E(-2,5),F(0,0),G(5,-2),H(10,0).同一点在两个坐标系中的坐标之间的关系是:第二种情况的横坐标、纵坐标比第一种情况都大5.
　已知菱形两条对角线的长分别为6和8,建立适当的直角坐标系,写出各顶点的坐标.
解:设菱形ABCD,AC=8,BD=6,则以AC所在的直线为x轴,BD所在的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,那么点A的坐标是(-4,0),点B的坐标是(0,-3),点C的坐标是(4,0),点D的坐标是(0,3).(答案不唯一)
　正方形的边长为2,建立合适的直角坐标系,写出各顶点的坐标 .
〔解析〕　正方形的四个角都是直角,四条边相等,对角线相等且互相垂直平分.因此,本题的解法很多.
解:答案不唯一,如图(1)所示,A(0,2),B(2,2),C(2,0),O(0,0);
如图(2)所示,A(-1,1),B(1,1),C(1,-1),D(-1,-1);
如图(3)所示,A(-2,2),B(0,2),D(-2,0),O(0,0);
如图(4)所示,A(-,0),B(0,),C(,0),D(0,-).