北师大版 八年级数学上册 第四章 1　函　数 教学设计

第四章　一次函数
1.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义;体会一次函数和正比例函数的意义,能根据所给信息确定一次函数表达式.
2.能画一次函数的图象,理解当k>0和k<0时图象的变化情况,并利用一次函数图象解决简单的实际问题.
3.在画一次函数的图象、探索一次函数图象的变化情况、利用一次函数的图象解决实际问题等过程中,体会数形结合的思想方法与一次函数y=kx+b中k与b的意义.
经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识;经历函数图象信息的识别与应用过程,发展几何直观.
经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识;经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力.
一、《标准》要求
1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解函数的概念;探索具体问题中的数量关系和变化规律,掌握用函数进行表述的方法.
2.通过用函数表述数量关系的过程,体会建模思想,建立符号意识;能独立思考,体会数学的基本思想和思维方式.
3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.
4.在运用数学表述解决问题过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的价值.
5.探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义.
6.结合实例,了解函数的概念和三种表示法,能举出函数的实例.
7.能结合图象对简单问题中的函数关系进行分析.
8.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值.
9.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
10.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论.
11.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式.
12.能利用待定系数法确定一次函数的表达式.
13.能画出一次函数的图象,根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时,图象的变化情况.
14.能用一次函数解决简单实际问题.
二、教材分析
函数是数学中重要的基本概念之一,它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质,是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型.本章是学习函数的入门,也是进一步学习的基础.教材通过具体的实例引入一次函数的概念,并通过练习巩固对一次函数意义的认识;通过让学生动手操作,让学生认识到一次函数的图象是一条直线,从而得出两点法作一次函数图象的方法;通过具体的取值结合函数的图象,让学生逐步得出一次函数的性质,体会一次函数在实际生活中的应用.教材注重让学生参与知识的形成过程,自始至终都采用让学生动手尝试、交流、归纳的方式,鼓励学生通过观察、猜想、验证,主动获取知识.
【重点】
1.初步理解函数的概念.
2.画一次函数的图象.
3.通过一次函数图象解决生活中的简单问题.
【难点】
1.一次函数图象的特点.
2.一次函数y=kx+b中k与b的实际意义.
1.加强与已有知识的联系.
在代数式、方程、不等式等内容的学习、探索中都已经渗透了转化的思想,要注意引导学生在原有知识基础上理解变量和函数的概念.
2.创设丰富的现实情境,重视直观感知的作用.
3.注重学生对必要的数学语言和符号的理解与准确应用,运用数学语言和符号去理解、描述现实世界中问题的变化规律,是本章学习的主要目的之一.要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感.
1　函　数
1课时
2　一次函数与正比例函数
1课时
3　一次函数的图象
2课时
4　一次函数的应用
3课时
回顾与思考
1课时
1　函　数
了解函数产生的背景和函数的概念,能判断两个变量间的关系是否属于函数关系.
通过对函数概念的探索,初步培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
1.经历函数概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想.
2.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.
【重点】
1.掌握函数的概念.
2.会判断两个变量之间的关系是否属于函数关系.
3.能把实际问题抽象概括为函数问题.
【难点】
1.理解函数的概念.
2.能把实际问题抽象概括为函数问题.
【教师准备】　教材图4 - 1投影图片.
【学生准备】　预习教材75~76页内容.
导入一:
长春市某天的气温随时间变化的曲线如图所示.
这条曲线反映了气温与时间之间怎样的关系?从这条曲线中又能获得哪些信息呢?
导入二:
我们生活在一个变化的世界中,时间、温度,还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化.从数学的角度研究变化的量,讨论它们之间的关系,将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来.
观察下图,你能大致地描述男孩和女孩平均身高的变化情况吗?
你的身高在平均身高之上还是之下?你能估计自己18岁时的身高吗?
在现实生活中一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.
一、感知函数
出示教材图4 - 1及相关问题,并由学生讨论完成题目.
(1)根据上图填表:
t/min
0
1
2
3
4
5
…
h/m
…
　　(2)对于给定的时间t,相应的高度h确定吗?
[设计意图]　由于我们已初步接触过这方面知识,所以答案较易得出.在这里要注意时间和高度这两个变量之间的关系.
二、做一做
1.罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?
填写下表:
层数n
1
2
3
4
5
…
物体总数y
…
　　【思考】　层数n和物体总数y之间是什么关系?
2.一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到-273 ℃,则气体的压强为零.因此,物理学中把-273 ℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系:T=t+273,T≥0.
(1)当t分别为-43 ℃,-27 ℃,0 ℃,18 ℃时,相应的热力学温度T是多少?
(2)给定一个大于-273 ℃的t值,你都能求出相应的T值吗?
【思考】　在关系式T=t+273中,两个变量中若知道其中一个,是否可以确定另外一个?
三、函数的相关概念
一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数(fun_ction),其中x是自变量.
表示函数的方法一般有:列表法、关系式法和图象法.
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
[知识拓展]　理解函数概念时应注意:
(1)在某一变化过程中有两个变量x与y.
(2)这两个变量互相联系,当变量x取一个确定的值时,变量y的值就随之确定.
(3)对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的一个值与它对应,如在关系式y2=x(x>0)中,当x=9时,y对应的值为3或-3,不唯一,则y不是x的函数.
1.(1)汽车在公路上匀速行驶,速度为每小时30千米,则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)之间的关系式为　　　　.?
(2)圆的面积S与半径R的关系式为　　　　.?
答案:(1)s=30t　(2)S=πR2
2.一般地,在某个变化过程中,有　　　　个变量x,y.如果给定一个x值,相应地就　　　　了一个y值,那么我们称y是x的函数.其中　　　　是自变量,　　　　是因变量.?
答案:两　确定　x　y
3.对于两个变量之间的函数关系,可以采用不同的表达方式:　　　　,　　　　,　　　　.?
答案:列表法　关系式法　图象法
4.圆的周长公式C=2πR中,有　　　　个变量,是　　　　.?
答案:两　R,C
5.某30层的大厦底层高4米,以上每层高3米,从底层数起,则前n层的高度h(米)与n的函数关系式为　　　　.?
答案:h=3n+1
1　函　数
1.感知函数.
2.做一做.
3.函数的相关概念.
一、教材作业
【必做题】
教材第77页习题4.1第1,2题.
【选做题】
教材第78页习题4.1第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列变量间的关系不是函数关系的是 (　　)
A.长方形的宽一定,其长与面积
B.正方形的周长与面积
C.等腰三角形的底边长与面积
D.圆的周长与半径
2.下列是关于变量x和y的四个关系式:①y=x;②y2=x;③2x2=y;④y2=2x.其中y是x的函数的有 (　　)
A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个
3.弹簧挂上物体后伸长,已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表:
物体的质量/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度/cm
10
12.5
15
17.5
20
22.5
下列说法错误的是 (　　)
A.没挂物体时,弹簧的长度为10 cm
B.弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化,物体的质量是因变量,弹簧的长度是自变量
C.在弹簧的弹性限度内,如果物体的质量为m kg,那么弹簧的长度y cm可以表示为y=2.5m+10
D.当物体的质量为4 kg时,弹簧的长度为20 cm
4.下列各题中,哪些是函数关系?哪些不是函数关系?
(1)匀速运动所走的路程和速度;
(2)在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长与半径;
(3)x+3与x;
(4)正方形的面积和梯形的面积;
(5)水管中水流的速度和水管的长度.
【能力提升】
5.如图(1)所示,在长方形ABCD中,动点E从点B出发,沿BADC方向运动至点C处停止.设点E运动的路程为x,ΔBCE的面积为y,如果y关于x的函数图象如图(2)所示,则当x=7时,点E应运动到 (　　)
A.点C处 B.点D处
C.点B处 D.点A处
6.如下图所示的是桂林冬季某一天的气温随时间的变化图象,请根据图填空:　　　　时气温最低,最低气温为　　　　℃,当天最高气温为　　　　℃,这一天的温差为　　　　℃.(所有的结果都取整数)?
【拓展探究】
7.如图所示,正方形ABCD的边长为1,E是CD的中点,P为正方形ABCD边上一个动点,动点P从点A出发,沿A→B→C→E运动.若点P经过的路程为x,ΔAPE的面积为y,则当y=时,求x的值.
【答案与解析】
1.C(解析:A.长=;B.面积=;C.高不能确定,共有三个变量;D.周长=2π·半径.故选C.)
2.B(解析:①③是y关于x的函数.)
3.B(解析:因为表中的数据主要涉及弹簧的长度和所挂物体的质量,所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系,所挂物体的质量是自变量,弹簧的长度是因变量,故选项B错误,符合题意.故选B.)
4.解:(1)匀速运动所走的路程和速度符合s=vt,是函数关系.　(2)在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长L与半径r符合L=2πr,是函数关系.　(3)x+3与x,设y=x+3,即可得出是函数关系.　(4)正方形的面积和梯形的面积没有关系,所以不是函数关系.　(5)水管中水流的速度和水管的长度没有关系,所以不是函数关系.所以(1)(2)(3)是函数关系,(4)(5)不是.
5.B(解析:当E在AB上运动时,ΔBCE的面积不断增大,当E在AD上运动时,面积不变,当E在DC上运动时,ΔBCE的面积不断减小,所以当x=7时,点E应运动到点D处.故选B.)
6.4　-2　10　12
7.解:①当点P在AB上运动时,如图(1)所示,y=x(0≤x<1).当y=时,x=.②当点P在BC上运动时,如图(2)所示,y=1-×1×(x-1)-(2-x)-×1,整理得y=-x(1≤x<2).当y=时,-x,解得x=.③当点P在CE上运动时,如图(3)所示,EP=-x,y=×1×,即y=-x(2≤x≤2.5).当y=时,-x,解得x=.因为不在2≤x≤2.5内,所以此情况不符合要求.所以当y=时,x的值为或.
本课时是函数学习的起始课,因此理解函数的基本思想和表达方式是本课时的重点.通过生活实例中对变量的提取,帮助学生比较深刻地领悟了函数的意义.
教材安排的实际问题,旨在让学生通过直观感知,领悟相关概念,这些问题不宜单纯作为教师讲解的例题,要注意引导学生观察其中数量之间的相互关系、鼓励学生发表意见,可以根据学生交流的情况,鼓励学生举出自己熟悉的实例,穿插在几个问题的讨论之中.
本课时的学习需注意后续相关内容的渗透,例如:观察函数图象,感知函数的单调性;通过求函数值,渗透初步的对应思想等.教师在组织教学中应注意做适当的铺垫.
随堂练习(教材第77页)
解:(1)问题中有时间和温度两个变量,且温度是时间的函数,自变量的取值范围是大于等于0,小于等于24.　(2)问题中有汽车的速度v(km/h)和汽车紧急刹车后滑行的路程s(m)两个变量,且s是v的函数,v>0.　(3)问题中有信件质量m(g)与邮资y(元)两个变量,且y是m的函数,0习题4.1(教材第77页)
1.解:(1)反映了物体与抛射点之间的水平距离s与物体的高度h之间的关系.　(2)依次填2,2.5,2.65,2.5,2,1.2,0.　(3)确定.　(4)可以.
2.解:(1)当x=3时,y=9.　(2)依题意得y=3x,x的取值范围是x>0,且x是整数.
3.解:买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元)与铅笔数x(支)之间的关系,其函数的关系式为y=0.4x,自变量的取值范围是非负整数.(答案不唯一)
4.解:(1)能.　(2)能.　(3)能.
1.关于确定函数关系式的问题,需要分析实际问题中的等量关系,其具体方法和列方程解应用题类似.
2.关于函数自变量的取值范围的讨论,主要包含两个方面:一是自变量取值使函数关系式有意义;二是自变量取值使实际问题有意义,这需要对实际问题作具体分析,具有一定难度.
　图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第n层(n为正整数)圆点的个数,则下列函数关系式中正确的是 (　　)
A.y=4n-4　　　　B.y=n2
C.y=4n+4　　　　D.y=4n
〔解析〕　由图可知n=1时,圆点有4个,即y=4;n=2时,圆点有8个,即y=8,从而可知y=4n.故选D.