第四章 3 一次函数的图象 教学设计
1.理解函数图象的概念,经历作图象的过程,初步了解作函数图象的一般步骤.理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系,并能熟练作出一次函数的图象.
2.了解正比例函数y=kx的图象的特点,会作正比例函数图象,理解一次函数及其图象的有关性质;进一步培养学生数形结合的意识和能力.
1.会作一次函数的图象,明确一次函数的图象是一条直线.
2.通过观察、思考、交流等过程,得出正比例函数与一次函数图象的性质.
经历作图象的过程,归纳总结作函数图象的一般步骤,培养学生的总结概括能力,让学生全身心地投入到数学活动中,能积极与同伴合作交流并能进行探索活动,发展实践能力与创新精神.
【重点】
1.能熟练地作出一次函数的图象,归纳作函数图象的一般步骤,理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系.
2.正比例函数与一次函数的图象特点.
【难点】
1.理解一次函数的表达式与图象之间的对应关系.
2.正比例函数、一次函数图象的特点的探索.
第课时
1.通过具体操作,感受正比例函数的图象是一条直线.
2.学会选择特殊的点,正确地画出正比例函数的图象.
3.理解正比例函数图象的性质.
经历正比例函数图象画法的探索过程,体会数形结合的数学思想,发展抽象概括能力.
体会数学与人类社会的密切联系,增强学好数学的信心.
【重点】 了解正比例函数的图象是一条直线并会画正比例函数的图象.
【难点】 画正比例函数的图象选点的技巧,正比例函数图象的性质.
【教师准备】 教材例1投影图片.
【学生准备】 直尺.
导入一:
已知A,B两人在一次百米赛跑中,路程s(米)与赛跑时间t(秒)的关系如图所示,你知道A,B两人所跑的路程s(米)与时间t(秒)之间属于哪种函数关系吗?通过这节课的学习,同学们一定会有所了解.
导入二:
如图所示的图象描述了某一天小亮从家骑车去书店购书,然后又骑车回家的情况,你能说出小亮在路上的情形吗?
一、函数图象的概念
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出相应的点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
[设计意图] 根据本节课的特点,要研究一次函数的图象及其性质,必须首先让学生知道什么是函数的图象.
二、画正比例函数的图象
思路一
(教材例1)画出正比例函数y=2x的图象.
解:列表:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-4
-2
0
2
4
…
描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.
连线:把这些点依次连接起来,得到y=2x的图象(如图所示),它是一条直线.
思路二
某地1千瓦时电费为0.8元,表示电费y(元)与所用电量x(千瓦时)之间的函数关系式是 ,你能画出这个函数的图象吗??
〔解析〕 (1)确定自变量的取值范围.
根据题意可知y=0.8x,这是个实际问题,自变量的取值要使实际问题有意义,所以x≥0.
(2)列表.
取自变量x的一些值,算出相应的函数值,列成表格如下:
x
0
1
2
3
4
5
…
y
0
0.8
1.6
2.4
3.2
4
…
(3)描点.
建立平面直角坐标系,以x的取值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出点O,A,B,C,D,E,…,如图所示.
(4)连线.
观察描出的这几个点,它们的位置关系是怎样的?
学生观察这些点会得到这些点在一条直线上,由于自变量的取值范围是x≥0,因此我们猜想这个函数的图象是以原点为端点的一条射线,数学上已经证明这个猜想是正确的,于是这个函数的图象如下图所示.
【归纳】 类似地,数学上已经证明:正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象是一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数的图象,只要描出图象上的两个点,然后过这两点作一条直线就行了,我们常常把这条直线叫做“直线y=kx”.
注意:因为两点可以确定一条直线,因此,画正比例函数的图象时只需过原点(0,0)和点(1,k)画一条直线即可.
三、正比例函数的性质
学生画出图象后,引导学生分析:正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过 的直线,我们称它为直线y=kx.当k>0时,经过第 象限,从左往右升,即y随x增大而 ;当k<0时,经过第 象限,从左往右降,即y随x增大而 .?
[知识拓展] 函数的图象可以是直线,也可以是曲线,描点时,所描出的点越多,图象越精确,有时不能把所有的点都描出,就用平滑的曲线连接描出的点,从而得到函数的近似图象.函数的图象是由函数的表达式决定的,因此函数的表达式与图象之间有一种对应关系.
1.正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点的一条直线.通常画正比例函数y=kx(k≠0)的图象时,只取一点(1,k),然后过原点和这一点画直线即可.
2.正比例函数y=kx(k≠0)的性质.
k的取值
k<0
k>0
图象
图象特征
过点(0,0)和(1,k)的直线
变化规律
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
1.正比例函数的图象是一条过 的直线.?
答案:原点
2.正比例函数y=kx(k为常数,k≠0).当k>0时,直线过第 象限,从左向右 ,y随x的增大而 ;当k<0时,直线过第 象限,从左向右 ,y随x的增大而 .?
答案:一、三 上升 增大 二、四 下降 减小
3.如图所示,射线l甲,l乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所行路程s(米)与时间t(分)的函数图象.则他们行进的速度关系是 ( )
A.甲、乙同速
B.甲比乙快
C.乙比甲快
D.无法确定
解析:因为s=vt,所以同一时刻,s越大,v越大,图象表现为越陡峭.故选B.
4.关于函数y=-x,下列说法中正确的是 ( )
A.函数图象经过点(1,5)
B.函数图象经过第一、三象限
C.y随x的增大而减小
D.不论x取何值,总有y<0
解析:函数y=-x,因为自变量的系数小于0,所以它的图象经过第二、四象限,y随x的增大而
减小.故选C.
5.画出函数y=-2x的图象.
解:如图所示.
第1课时
1.函数图象的概念.
2.画正比例函数的图象.
3.正比例函数的性质.
一、教材作业
【必做题】
教材第85页习题4.3第1,2题.
【选做题】
教材第85页习题4.3第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限,则k的取值范围是 ( )
A.k>0 B.k<0
C.k≥0 D.k≤0
2.下列各点在正比例函数y=2x的图象上的是 ( )
A.(2,1) B.(1,2)
C.(-1,2) D.(1,-2)
3.对于函数y=k2x(k是常数,k≠0)的图象,下列说法不正确的是 ( )
A.是一条直线
B.过点
C.经过第一、三象限或第二、四象限
D.y随着x的增大而增大
4.正比例函数y=(2m+2)x中,y随x的增大而减小,则m的取值范围是 ( )
A.m>-1 B.m<-1
C.m=-1 D.m<1
5.物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒)的关系如图所示,则下滑2秒时物体的速度为 .?
6.写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式: (写出一个即可).?
(1)y随着x的增大而减小;
(2)图象经过点(0,0).
7.写出一个y随x的增大而增大的正比例函数的解析式: .?
【能力提升】
8.画出函数y=3x的图象.
【拓展探究】
9.甲车从A地出发匀速驶往B地,同时乙车从B地出发匀速驶往A地.下图表示甲、乙两车在全程行驶的过程中,离各自出发地的路程y(千米)与出发时间x(时)的函数图象.
(1)求A,B两地距离及甲车的速度;
(2)当乙车距A地的距离为A,B两地距离的时,甲车刚好行驶80千米,求此时乙车到达A地还需行驶多长时间.
【答案与解析】
1.A(解析:由正比例函数图象的性质可知k>0时,函数y=kx的图象经过第一、三象限.)
2.B
3.C (解析:k2>0(k是常数,k≠0),则直线y=k2x(k是常数,k≠0)经过第一、三象限,y随着x的增大而增大,不经过第二、四象限,所以C是错误的.)
4.B(解析:正比例函数y=(2m+2)x中,y随x的增大而减小,则2m+2<0,所以m<-1.)
5.4米/秒(解析:由图象可看出v是t的正比例函数,当t等于2时,对应的v的值是4.)
6.y=-3x(解析:由已知条件(1)y随着x的增大而减小;(2)图象经过点(0,0)可知此函数是正比例函数,并且自变量的系数k小于0.答案不唯一.)
7.y=6x(解析:y随x的增大而增大的正比例函数,只要满足k大于0即可,答案不唯一.)
8.解析:画正比例函数的图象的方法是先确定函数图象经过的两点的坐标,如(0,0),(1,3),然后过这两点作直线.
解:如图所示.
9.解析:(1)由图象提供的信息可以得出A,B两地间的距离,再根据速度=路程÷时间就可以求出
速度.(2)由(1)知甲车的速度,求出甲车行驶的时间,就是乙车行驶的时间,再利用乙车行驶的路程除以时间就可以求出乙车的速度,进而求出乙车到达A地的时间.
解:(1)由图象得A,B两地的距离为180千米,甲车的速度为180÷3=60(千米/时). (2)乙车的速度是:180×=90(千米/时),则乙车到达A地还需行驶的时间为:180×÷90=(小时).
本节利用数形结合的思想引入新课,通过学生的自主探索与合作交流得到正比例函数的图象和性质,使学生易于接受新知识.通过例题的讲解,加深了学生对正比例函数的图象和性质的理解,提高了学生应用正比例函数的图象和性质解题的能力.
在探讨正比例函数图象、性质的时候,留给学生
观察图象、分析图象的时间不多.通过函数图象分析函数的性质,才能加深对函数图象的理解和记忆.
教学中要重视知识的形成过程,讨论时不要流于形式,要充分调动学生的积极性.对于学生所画的图象,教师可以通过多媒体展示正确的画法,这样便于学生观察,更有效地节省了时间,达到课堂教学的有效性.
随堂练习(教材第85页)
解:所画图象如图所示.函数y=x中,y随x的增大而增大;函数y=-x中,y随x的增大而减小.
习题4.3(教材第85页)
1.解:点(-1,5)和点(0.5,-2.5)在正比例函数y=-5x的图象上.
2.解:如图所示.
3.(2)(4)
4.解:由图象知此函数是正比例函数,设函数的表达式为y=kx,将x=1,y=3代入,得3=k·1,解得k=3,所以函数的表达式为y=3x.
5.解:小明的想法的实质是:图象上其他点与原点的连线,和水平方向所成的角相同,因此这些点都在一条直线上.
如果一个正比例函数的图象经过不同象限内的两点A(2,m),B(n,3),那么一定有 ( )
A.m>0,n>0 B.m>0,n<0
C.m<0,n>0 D.m<0,n<0
〔解析〕 ∵正比例函数的图象经过第一、三象限或第二、四象限,且不同象限内的两点A(2,m),B(n,3)在正比例函数的图象上,∴m<0,n<0.故选D.
第课时
1.理解直线y=kx+b与直线y=kx之间的位置关系.
2.会选择两个合适的点画出一次函数的图象.
3.掌握一次函数的性质.
1.通过研究一次函数的图象,经历知识的归纳、探究过程.
2.通过一次函数的图象归纳函数的性质,体验数形结合、从特殊到一般的数学思想.
1.通过画函数的图象,并借助图象研究函数的
性质,体验数与形的内在联系,感受函数图象的简洁美.
2.在探究函数的图象和性质的活动中,通过一系列的富有探究性的问题,渗透与人合作交流的意识和探究精神.
【重点】 一次函数的图象和性质.
【难点】 由一次函数的图象归纳得出一次函数的性质及对性质的理解.
【教师准备】 教材例2投影图片.
【学生准备】 复习正比例函数的性质.
导入一:
下列哪个是函数y=2x-1的图象呢?
导入二:
①y=2x+1;
②y=2x+2;
③y=2x+3.
以上三个函数的图象有什么位置关系呢?
导入三:
正比例函数是特殊的一次函数,正比例函数的图象是一条直线,那么一次函数的图象也是一条直线吗?从表达式上看,正比例函数与一次函数相差什么?如果体现在图象上又会有怎样的关系呢?
[设计意图] 体现特殊与一般的关系并引发猜想,渗透数形结合思想.
[过渡语] 正比例函数y=-2x的图象是过原点的一条直线,那么一次函数y=-2x+1的图象又是怎样的呢?下面我们研究一次函数y=kx+b的图象.
(教材例2)画出一次函数y=-2x+1的图象.
解:列表.
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
5
3
1
-1
-3
…
描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.
连线:把这些点依次连接起来,得到y=-2x+1的图象(如图所示),它是一条直线.
【思考】 (1)直线y=-2x和直线y=-2x+1是什么位置关系?
(2)画正比例函数图象和画一次函数图象有什么共同之处?
(3)根据上面的函数图象,怎样比较简单地画出一次函数y=-2x+3的图象?
【总结】 一次函数y=kx+b的图象是一条直线,因此画一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两点画直线就可以了.一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
【做一做】 在同一直角坐标系内分别画出一次函数y=2x+3,y=-x,y=-x+3和y=5x-2的图象.
【议一议】 (1)上述四个函数中,随着x值的增大,y的值分别如何变化?相应图象上点的变化趋势如何?
(2)直线y=-x与y=-x+3的位置关系如何?你能通过适当的移动将直线y=-x变为直线y=-x+3吗?一般地,直线y=kx+b与y=kx又有怎样的位置关系呢?
(3)直线y=2x+3与直线y=-x+3有什么共同点?一般地,你能从函数y=kx+b的图象上直接看出b的数值吗?
【提示与解答】 (1)函数y=2x+3和y=5x-2都是y随x的增大而增大,相应图象上点的位置逐渐升高.函数y=-x和y=-x+3都是y随x的增大而减小,相应图象上点的位置逐渐降低.
(2)直线y=-x与直线y=-x+3互相平行,将直线y=-x向上平移3个单位长度就变为直线y=-x+3了.当k≠0,b≠0或k=0,b≠0时,直线y=kx+b与y=kx平行;当k≠0,b=0或k=0,b=0时,直线y=kx+b与y=kx重合.
(3)直线y= 2x+3和直线y=-x+3与y轴相交于同一点(0,3).直线y=kx+b与y轴交点的纵坐标就是b的值,一般能从函数y=kx+b的图象上直接看出b的数值.
【总结】 一次函数y=kx+b的图象经过点(0,b).当k>0时,y的值随着x值的增大而增大;当k<0时,y的值随着x值的增大而减小.
[知识拓展] 1.直线y=kx+b(k≠0,b≠0)与直线y=kx(k≠0)的位置关系:
①直线y=kx+b平行于直线y=kx;②当b>0时,把直线y=kx向上平移b个单位长度,可得直线y=kx+b;③当b<0时,把直线y=kx向下平移|b|个单位长度,可得直线y=kx+b.
2.一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2中:若k1=-k2,b1=b2,则两直线关于y轴对称;若k1=-k2,b1=-b2,则两直线关于x轴对称;若k1=k2,b1≠b2,则两直线平行.
一次函数y=kx+b的图象经过点(0,b),当k>0时,y的值随着x值的增大而增大;当k<0时,y的值随着x值的增大而减小.
1.函数y=3x+1的图象与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为 .?
解析:3x+1=0→3x=-1→x=-;当x=0时,y=1.
答案: (0,1)
2.在同一直角坐标系中,描绘出了下列函数:①y=-x+1;②y=x+1;③y=-x-1;④y=-2(x+1)的图象,则下列说法正确的是 ( )
A.过点(-1,0)的是①③
B.交点在y轴上的是②④
C.互相平行的是①③
D.关于x轴对称的是①②
解析:当k值相等,b值不等时,两直线平行.故选C.
3.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象.
(1)y=2x+1; (2)y=-2x+1.
解:如图所示.
4.已知一次函数y=(4m+1)x-(m+1).
(1)m为何值时,y随x的增大而减小?
(2)m为何值时,直线与y轴的交点在x轴下方?
解:(1)∵y随x的增大而减小,
∴4m+1<0,解得m<-.
∴当m<-时,y随x的增大而减小.
(2)y=(4m+1)x-(m+1)与y轴的交点坐标为(0,-m-1),
∵直线与y轴的交点在x轴下方,
∴-(m+1)<0,解得m>-1.
又∵4m+1≠0,∴m≠-,
∴当m>-1且m≠-时,直线与y轴的交点在x轴下方.
第2课时
1.例2.
2.做一做,议一议.
一、教材作业
【必做题】
教材第87页习题4.4第1,2题.
【选做题】
教材第88页习题4.4第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.将直线y=x+4向下平移2个单位长度,得到直线的表达式为 ( )
A.y=x+6 B.y=x+2
C.y=2x+4 D.y=-2x+4
2.已知点(-4,y1),(2,y2)都在直线y=-x+2上,则y1,y2的大小关系是 ( )
A.y1>y2 B.y1=y2
C.y13.直线y=3x+k-3与y轴交点在x轴上方,则k的取值范围是 ( )
A.k≠3 B.k≠-3
C.k<3 D.k>3
4.一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限,则下列结论正确的是 ( )
A.m<0,n<0 B.m<0,n>0
C.m>0,n>0 D.m>0,n<0
5.已知一次函数y=kx-k,若y随x的增大而减小,则该函数的图象经过 ( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
6.函数y=x+4的图象与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为 .?
7.在同一直角坐标系中分别作出下列一次函数的图象.
(1)y=2x+6;
(2)y=-x.
8.作出函数y=-x-2的图象,并求图象与x轴、y轴的交点坐标.
【能力提升】
9.根据作函数图象的一般步骤,作出函数y=x+1的图象,并根据图象回答:
(1)x为何值时,y的值为0?
(2)y为何值时,x的值为0?
(3)x为何值时,y>0?
10.如图所示,点P(x,y)是第一象限内一个动点,且在直线y=-2x+8上,直线与x轴交于点A.
(1)当点P的横坐标为3时,ΔAPO的面积为多少?
(2)设ΔAPO的面积为S,用含x的式子表示S,并写出x的取值范围.
【拓展探究】
11.阅读下面的材料:
在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义:设一次函数y=k1x+b1(k1≠0)的图象为直线l1,一次函数y=k2x+b2(k2≠0)的图象为直线l2,若k1=k2,且b1≠b2,我们就称直线l1与直线l2互相平行.
解答下面的问题:
(1)求过点P(1,4)且与直线y=-2x-1平行的直线l的函数关系式;
(2)设(1)中直线l分别与y轴、x轴交于点A,B,如果直线m:y=kx+t(t>0)与直线l平行且交x轴于点C,求出ΔABC的面积S关于t的函数表达式.
【答案与解析】
1.B (解析:将直线y=x+4向下平移2个单位长度,则得直线y=x+2.)
2.A(解析:由直线解析式可知y随x的增大而减小,故y1>y2.)
3.D(解析:直线y=3x+k-3与y轴交点在x轴上方,则k-3>0,所以k>3.)
4.A(解析:一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限,画出它的大致图象如图所示,由一次函数图象的性质可以判断m<0,n<0.)
5.B(解析:k和-k互为相反数,若y随x的增大而减小,则k<0,所以直线y=kx-k的大致图象如图所示.故选B.)
6.(-6,0) (0,4)(解析:图象与x轴的交点的纵坐标为0,当y=0时,x=-6,所以此图象与x轴的交点坐标是(-6,0);图象与y轴交点的横坐标为0,当x=0时,y=4,所以此图象与y轴的交点坐标是(0,4).)
7.解析:由于一次函数的图象是一条直线,故画函数图象的时候先确定函数图象经过的两个点的坐标,然后过这两个点作直线即可.
解:如图所示.
8.解:图象如图所示.与x轴交点的坐标是(-4,0),与y轴交点的坐标是(0,-2).
9.解析:因为一次函数图象是一条直线,所以采用两点法作图象.结合一次函数的图象及性质进行解答.
解:列表:
x
0
-1
y=x+1
1
0
描点、连线,如图所示.(1)当x=-1时,y=0. (2)当y=1时,x=0. (3)当x>-1时,y>0.
10.解:(1)令y=0,则-2x+8=0,解得x=4,所以OA=4,因为点P(x,y)是第一象限内一个动点,且在直线y=-2x+8上,所以当x=3时,y=
(-2)×3+8=2,所以SΔAPO=×4×2=4. (2)因为点P (x,-2x+8),所以SΔAPO=OA×(-2x+8)=×4×(-2x+8)=-4x+16(011.解:(1)设直线l的关系式为y=-2x+b,因为当x=1时,y=4,所以4=-2+b,所以b=6,所以直线l的函数关系式为y=-2x+6. (2)由题意,得B(3,0),A(0,6),C.因为t>0,所以>0,所以C点在x轴的正半轴上.当C点在B点左侧时,此时06,S=×6=-9.所以ΔABC的面积S关于t的函数表达式为S=
一次函数的图象和性质是在正比例函数基础上的继续学习,有了上一个课时的学习经历,学生对本课时的学习在方法上有了一定的了解.因此本课时的基本思路是通过学生的类比学习、探究学习达到理解知识、掌握知识的目标.教学实践证明本课时的教学设计指导思想是正确的.
本课时在引导学生分析k值的影响时做得不够
到位.研究一次函数图象及其性质,除了借助图象本身去分析外,还应该注重引导学生思考k值对函数图象和性质的影响,只有深刻领会k值的影响,才能从更深层次理解一次函数图象及性质.
除了教材的例题外,再增加一个练习题.这样可以帮助学生深刻领会一次函数图象之间的特殊位置关系.
随堂练习(教材第87页)
1.解:如图所示.
2.增大 (0,-3)
3.提示:当y=10时,由2x+6=10得x=2,由5x-2=10,得x=.因为2<,所以y=2x+6的值先到达10.当y=20时,由2x+6=20,得x=7,由5x-2=20,得x=,因为<7,所以函数y=5x-2的值先到达20.说明略.
习题4.4(教材第87页)
1.解:当x=2时,y=2×2-3=1;当x=0时,y=2×0-3=-3;当x=3时,y=2×3-3=3.只有点(2,1)在y=2x-3的图象上.
2.解:如图所示.
3.(1) (2) (2)(3)
4.解:设直线OA的表达式为y=kx,则2k=4,所以k=2,即直线OA的表达式为y=2x,将直线OA向上平移1个单位长度得到一次函数的图象,该一次函数的表达式为y=2x+1.
5.提示:(1)答案不唯一,只要m<0即可,如m=-1,m=-0.5等. (2)答案不唯一,只要m<即可,如m=0,m=-2等.
一次函数y=kx+b(k≠0)的性质如下表所示.
函数
图象
性质
经过象限
变化规律
y=kx+b(k,b为
常数,且k≠0)
k>0
b>0
第一、二、
三象限
y随x的增
大而增大
b=0
第一、三
象限
b<0
第一、三、
四象限
y随x的增
大而减小
k<0
b>0
第一、二、
四象限
b=0
第二、
四象限
b<0
第二、三、
四象限