北师大版 八年级数学上册 第四章 4一次函数的应用 教学设计 共3课时

第四章 4　一次函数的应用 教学设计
1.经历分析实际问题中两个变量之间的关系,并解决有关问题的过程,发展应用意识.
2.进一步体会数形结合思想,发展用数形结合思想解决问题的能力.
利用一次函数图象分析、解决简单的实际问题,
发展几何直观.
初步体会函数与方程的联系.
【重点】　运用一次函数解决简单实际问题.
【难点】　理解函数与方程的联系.
第课时
了解两个条件确定一个一次函数,一个条件确定一个正比例函数.
能由两个条件求出一次函数的表达式,由一个条件求出正比例函数的表达式,并解决有关实际问题.
进一步培养学生的合作意识和自主探索的精
神,体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.
【重点】　根据所给的信息确定一次函数的表达式.
【难点】　用一次函数解决有关实际问题.
【教师准备】　教材图4 - 6投影图片.
【学生准备】　复习一次函数图象及其性质.
导入一:
小红同学受《乌鸦喝水》故事的启发,利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作.
你能根据以上信息求出放入小球后量筒中水面的高度与小球个数之间的关系吗?学了本节内容后,你就能明白其中的秘密.
导入二:
什么叫一次函数?一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)中,k,b对函数图象有什么影响?
一次函数在现实生活中有非常重要的作用,怎样建立一次函数关系式,并用来解决实际问题呢?今天我们来学习用待定系数法确定一次函数表达式.
　　[过渡语]　一次函数的关系式y=kx+b(k≠0)中,如果知道k与b的值,函数表达式就确定了,那么由怎样的条件才能求出k和b的值,从而确定一次函数的表达式呢?
一、确定一次函数的表达式
出示教材图4 - 6及问题.
某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图所示.
(1)写出v与t之间的关系式;
(2)下滑3 s时物体的速度是多少?
【分析】　要求v与t之间的关系式,首先应观察图象,确定它是正比例函数的图象,还是一次函数图象,然后设出函数关系式,再把已知的坐标代入关系式,求出待定系数即可.
二、例题讲解
(教材例1)在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5 cm;当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.
〔解析〕　因为一次函数的图象是一条直线,两点确定一条直线,所以需要两个条件,而正比例函数的图象是经过原点的一条直线,所以只需要确定另外一点坐标就可以确定这条直线的关系式.
解:设y=kx+b(k≠0),根据题意,得14.5=b,①
16=3k+b.②
将①代入②,得k=0.5.
所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5.
当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5.
即物体的质量为4 kg时,弹簧长度为16.5 cm.
[知识拓展]　利用待定系数法确定一次函数的关系式,其步骤为:一设:根据题意,先设出函数关系式为y=kx+b(k≠0);二代:确定两对对应值或图象上两个点的坐标,分别代入函数关系式,得到关于k,b的两个方程;三解:求出k,b的值(暂时可以通过等量代换的方式去求两个未知数);四定:最后确定函数关系式.
确定一次函数表达式的方法:由问题的实际意义直接确定出函数表达式的一般形式:若为正比例函数,则设其表达式为y=kx(k≠0),代入一个除原点以外的点的坐标,求出k的值,即可确定函数表达式;若为一般的一次函数,则设其表达式为y=kx+b(k≠0),代入两个点的坐标,求出k,b的值,从而确定一次函数的表达式.
1.已知一次函数y=kx-4的图象经过点P(2,-1),则函数的解析式为　　　　.?
答案:y=x-4
2.一次函数y=x+b的图象经过点A(1,2),则函数的表达式为　　　　.?
答案:y=x+1
3.要确定正比例函数y=kx的解析式,只需除原点外　　　　个点的坐标,而确定y=kx+b的解析式,则至少需要　　　　个点的坐标.?
答案:1　2
4.如图所示,直线l是一次函数y=kx+b的图象.
(1)图象经过点 (0,　　)和点(4,　　);?
(2)函数的解析式是　　　　;?
(3)当x=10时,y=　　　　.?
答案:(1)3　0　(2)y=-x+3　(3)-4
第1课时
1.确定一次函数的表达式.
2.例题讲解.
一、教材作业
【必做题】
教材第90页习题4.5第1,2题.
【选做题】
教材第90页习题4.5第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一根蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧剩下的长度y厘米与燃烧时间x小时的函数关系用图象表示为下图中的 (　　)
2.一次函数y=kx+b的图象如图所示,那么k,b的值分别是 (　　)
A.k=-,b=1
B.k=-2,b=1
C.k=,b=1
D.k=2 ,b=1
3.一个正比例函数的图象经过点(2,-3),则其表达式是 (　　)
A.y=-x　　　　　B.y=x
C.y=2x D.y=-3x
4.已知直线l经过点(0,3)和点(3,0),求直线l的解析式.
【能力提升】
5.如图所示,直线y=kx+b交坐标轴于A (-3,0),B(0,5)两点,则不等式-kx-b<0的解集为 (　　)
A.x>-3
B.x<-3
C.x>3
D.x<3
6.已知直线y=kx+b经过点(k,3)和(1,k),则k的值为 (　　)
A. B.±
C. D.±
7.已知直线y=kx+b与直线y=2x平行,且它与直线y=5x+4的交点在y轴上,则其函数表达式是 (　　)
A.y=4x+2 B.y=2x+5
C.y=2x+4 D.y=5x+2
8.已知一次函数y=kx+b的图象经过(0, 2),(1,3)两点,若一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A(a,0),则a=　　　　.?
9.已知一次函数y=kx-4,当x=2时,y=-3.
(1)求一次函数的解析式;
(2)将该函数图象向上平移6个单位长度,求平移后的图象与x轴的交点坐标.
【拓展探究】
10.已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P(-2,2),且一次函数的图象与y轴相交于点Q(0,4).
(1)求这两个函数的表达式;
(2)在同一坐标系内分别画出这两个函数的图象;
(3)求出ΔPOQ的面积.
【答案与解析】
1.B(解析:蜡烛剩下的长度随时间增大而缩短,根据实际意义可知选B.)
2.B(解析:因为一次函数y=kx+b的图象经过y轴上纵坐标为1的点,所以b=1,即y=kx+1.又因为图象经过点,所以k+1=0,解得k=-2.所以k=-2,b=1.)
3.A
4.解:直线l的解析式为y=-x+3.
5.A
6.B(解析:先将(1,k)代入y=kx+b,得b=0,再将(k,3)代入 y=kx+b,可得k的值.)
7.C(解析:因为直线y=kx+b与直线y=2x平行,所以k=2,又因为与y轴的交点坐标为(0,4),所以b=4,所以这条直线的函数表达式为y=2x+4.故选C.)
8.-2(解析:由题意得b=2,k+b=3,解得b=2,k=1,则y=x+2,当y=0时,x=-2,即a=-2.)
9.解:(1)将x=2,y=-3代人y=kx-4,得-3=2k-4,∴k=,∴一次函数的解析式为y=x-4.　(2)将y=x-4的图象向上平移6个单位长度得y=x+2的图象,当y=0时,x=-4. ∴平移后的图象与x轴的交点坐标为(-4,0).
10.解:(1)设正比例函数表达式为y=k1x,一次函数表达式为y=k2x+4,将(-2,2)分别代入可得2=-2k1,2=-2k2+4,解得k1=-1,k2=1,∴函数表达式分别为y=-x及y=x+4.　(2)根据过点(-2,2),(0,4)可画出一次函数图象,根据过点(0,0),(-2,2)可画出正比例函数图象,画图略.　(3)ΔPOQ的面积=×2×4=4.
确定函数解析式看似简单,但学生在刚刚接触到这个问题的时候往往无从下手.本课时正是基于这点认识,借助引例,首先从方法上指导学生确定函数解析式,即从判断类型、确定k值(或k和b的值)两个方面确定函数解析式.
本课时的例1在确定解析式的过程中,没有向学生说明为什么此时不能列出正比例函数解析式.
由于学生此时尚没有学到二元一次方程组,对于确定一次函数解析式存在一定的困难,教师可以
建议学生用“代换”的方式,转化为一元一次方程,以此求出一次函数解析式当中的两个未知数,进而确定一次函数的解析式.
随堂练习(教材第89页)
1.解:由题意设直线l的表达式为y=kx(k≠0),则3=-k,所以k=-3,所以直线l的表达式为y=-3x.点A,B在该函数的图象上.
2.解:由题意把(-1,1)代入y=2x+b中,得1=-2+b,所以b=3,所以y=2x+3.点B和点C在该函数图象上,点D不在.
3.(1)-18　(2)-42
习题4.5(教材第90页)
1.解:a=2.
2.提示:k=-,b=1,所求三角形的面积为.
3.解:有道理,当一次函数中x增加1时,y就增加[k(x+1)+b]-(kx+b)=k.因此,当x从1变成2时,函数值从3变为5,则k=5-3=2,所以小明确定k的方法有道理.
4.解:(1)设这个一次函数的关系式为v=kt+b(k≠0),由题意得25=k×0+b,5=2k+b,解得k=-10,b=25.所以v=-10t+25.　(2)当v=0时,0=-10t+25,解得t=2.5.答:经过2.5 s后,物体将达到最高点.
　已知y与x-3成正比例,且当x=4时y=3.
(1)求这个函数的表达式;
(2)求当x=3时y的值.
〔解析〕　(1)设 y=k(x-3)(k≠0),将x=4,y=3代入该函数表达式来求系数k的值.(2)将x=3代入(1)中的函数表达式即可求得相应的y值.
解:(1)设y=k(x-3)(k≠0),则根据题意,
得3=(4-3)k,解得k=3,
所以该函数的表达式是y=3(x-3),即y=3x-9.
(2)当x=3时,y=3×(3-3)=0.
　已知正比例函数的图象经过点(-3,6).
(1)求这个正比例函数的表达式;
(2)若这个图象还经过点A(a,8),求点A的坐标.
〔解析〕　先设出表达式,求出待定系数的值,再把A点坐标代入求出a值.
解:(1)设表达式为y=kx(k≠0),
∵正比例函数的图象经过点(-3,6),
∴6=-3k,解得k=-2,∴y=-2x.
(2)把(a,8)代入y=-2x,
得8=-2a,解得a=-4,
故点A的坐标是(-4,8).
第课时
1.能通过一次函数图象获取信息,进一步训练学生的识图能力.
2.能利用一次函数图象解决简单的实际问题,进一步发展学生的数学应用能力.
能利用一次函数图象获取信息,进一步培养学生的数形结合意识,发展学生的数学应用能力.
通过一次函数图象来解决实际问题,使学生初步认识数学与生活的密切联系及对人类历史发展的作用,从而培养学生学习数学的兴趣,使学生积极参与数学活动,进而更好地解决实际问题.
【重点】　一次函数图象的应用.
【难点】　从函数图象中正确获取信息.
【教师准备】　教材图4 - 7和图4 - 8投影图片.
【学生准备】　预习教材第91~92页内容.
导入一:
李老师开车从甲地到相距260千米的乙地,如果油箱剩余油量y(L)与行驶里程x(km)之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是多少?
导入二:
某人从家走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后,又用15分钟返回家里,下面图象中表示此人离家距离y(米)与所用时间x(分)之间的关系的是哪幅图?
　　[过渡语]　在前几节课中,我们分别学习了一次函数的定义,一次函数的图象及一次函数的性质,并且了解到一次函数的应用十分广泛,与我们日常生活密切相关,因此本节课我们一起来学习一次函数图象的应用.
一、引例
出示教材图4 - 7及问题.
由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V(万m3)与干旱持续时间t(天)的关系如图所示,根据图象回答下列问题:
(1)水库干旱前的蓄水量是多少?
(2)干旱持续10天,蓄水量是多少?干旱持续23天呢?
(3)蓄水量小于400万 m3时,将发出严重干旱警报.干旱持续多少天后将发出严重干旱警报?
(4)按照这个规律,预计干旱持续多少天水库将干涸?
【分析】　(1)原蓄水量就是图象与纵轴交点的纵坐标.
(2)求干旱持续10天时的蓄水量,也就是求t等于10时所对应的V的值.当t=10时,V约为1000.同理可知当t为23时,V约为750.
(3)当蓄水量小于400万 m3时,即V小于400,所对应的t值约为40.
(4)水库干涸也就是V为0,函数图象与横轴交点的横坐标即为所求.当V为0时,所对应的t的值约为60.
二、例题讲解
(教材例2)某种摩托车的油箱加满油后,油箱中的剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x(km)之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题:
(1)油箱最多可储油多少升?
(2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米?
(3)摩托车每行驶100 km消耗多少升汽油?
(4)油箱中的剩余油量小于1 L时,摩托车将自动报警,行驶多少千米后,摩托车将自动报警?
〔解析〕　①函数图象与x轴交点的横坐标即为摩托车行驶的最长路程,与y轴交点的纵坐标即为最多储油量.②x从0增加到100时,y从10开始减少,减少的数量即为行驶100 km消耗的油量.③当y<1时,摩托车将自动报警.
解:观察图象,得:
(1)当x=0时,y=10.因此,油箱最多可储油10 L.
(2)当y=0时,x=500.因此,一箱汽油可供摩托车行驶500 km.
(3)x从0增加到100时,y从10减少到8,减少了2,因此摩托车每行驶100 km消耗2 L汽油.
(4)当y=1时,x=450.因此,行驶450 km后,摩托车将自动报警.
[设计意图]　让学生学会利用数学语言、数学符号来表示问题、解决问题.让学生用数学知识去解决现实生活中的问题,体验成功解决问题后的快乐,及数学在自然学科中的魅力,从而使学生更加喜欢数学、更乐于钻研数学.
三、一次函数与一元一次方程
如图所示的是某一次函数的图象,根据图象填空:
(1)当y=0时,x=　　　　;?
(2)这个函数的表达式是　　　　.?
【师生活动】　学生分组讨论,小组简单交流,师生共同归纳结论.
【教师小结】　一般地,当一次函数y=kx+b的函数值为0时,相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.从图象上看,一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.
[设计意图]　使学生明确一次函数还有其他方面的应用,提高学生的探究能力.知道一次函数与一元一次方程之间的关系,掌握知识间的密切联系.
一次函数图象的应用:(1)准确读图,找到图象与x轴、y轴的交点,根据这些关键点解题.
(2)在实际问题中,注意自变量的取值范围,在画图和读图时也要注意.
1.如图所示.
(1)当x=0时,y=　　　　;?
(2)当y=0时,x=　　　　;?
(3)y随x的增大而　　　　;?
(4)直线对应的函数表达式为　　　　.?
答案:(1)2　(2)-2　(3)增大　(4)y=x+2
2.汽车由天津驶往相距120 km的北京,s(km)表示汽车离天津的距离,t(h)表示汽车行驶的时间,其关系如图所示.
(1)汽车经过　　　　h从天津到北京,速度是　　　　;?
(2)当汽车行驶了1 h时,离开天津　　　　km.?
答案:(1)4　30 km/h　(2)30
3.小明骑自行车到学校去上学,学校离家20千米,他离家的距离s(千米)和时间t(分)的关系如图所示.根据图象回答下列问题:
(1)小明到达学校需用多长时间?
(2)小明10分钟骑自行车行驶的路程是多少?
(3)小明骑车行驶15千米需用多长时间?
(4)小明骑车的速度是多少?
解:(1)由图象可知小明到达学校需用40分钟.
(2)由图象知小明10分钟骑车行驶5千米.
(3)由图象可知小明行驶15千米需用30分钟.
(4)小明骑车40分钟,行驶20千米,所以他骑车的速度为=0.5(千米/分).
第2课时
1.引例.
2.例题讲解.
3.一次函数与一元一次方程.
一、教材作业
【必做题】
教材第92页习题4.6第1,2题.
【选做题】
教材第93页习题4.6第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.小明早晨从家骑车到学校,先上坡后下坡,行程情况如图所示.若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变,那么小明从学校骑车回家用的时间是 (　　)
A.37.2分钟　　　　B.48分钟
C.30分钟 D.33分钟
2.小车沿一个斜坡下滑,它的速度v(m/s)与时间t(s)的关系如图所示,v与t之间的关系式是　　　　,下滑3 s时小车的速度是　　　　.?
3.如图所示的折线ABC为某地出租车收费y(元)与乘坐路程x(千米)之间的函数关系图象,当x≥3时,该函数的解析式为　　　　,乘坐2千米时,车费为　　　　元,乘坐8千米时,车费为　　　　元.?
4.一元一次方程0.5x+1=0的解是一次函数y=0.5x+1的图象与　　　　的横坐标.?
5.画出函数y=x+6的图象,利用图象回答下列问题:
(1)求方程x+6=0的解;
(2)求不等式x+6>0的解;
(3)若0≤y≤6,求x的取值范围.
【能力提升】
6.某公司市场营销部营销人员的个人收入与其每月的销量成一次函数关系,其图象如下图所示,由图中所给的信息可知营销人员没有销售时的收入是 (　　)
A.310元 B.300元
C.290元 D.280元
7.已知摩托车油箱中的余油量与其行驶的路程成一次函数关系,如图所示的为一辆摩托车余油量与行驶路程的关系,观察图象回答下列问题:
(1)开始时,油箱中共有油　　　　升,摩托车最多能行驶　　　　千米;?
(2)这辆摩托车每百千米的耗油量是　　　　升;?
(3)该车余油量y(升)与行驶的路程x(千米)的函数关系式应为　　　　;?
(4)自变量x的取值范围是　　　　.?
【拓展探究】
8.有一个附有进、出水管的水池,每单位时间内进、出水管的进、出水量都是一定的,设从某时刻开始,4小时内只进水不出水,在随后的时间内不进水只出水,得到时间x(时)与池内水量y(米3)之间的关系.(如图所示)
回答下列问题:
(1)进水管4小时共进多少米3水?每小时进水多少米3?
(2)当0≤x≤4时,y与x有何关系?
(3)当x=9时,水池中的水量是多少?
(4)4小时后,只放水不进水,那么又经过多少小时可将水池中的水放完?
【答案与解析】
1.A (解析:由图可知去学校时,上坡路的路程为36百米,所用时间为18分,∴上坡速度=36÷18=2(百米/分),下坡路的路程是96-36=60(百米),所用时间为30-18=12(分),∴下坡速度=60÷12=5(百米/分).∵去学校时的上坡回家时变为下坡,去学校时的下坡回家时变为上坡,∴小明从学校骑车回家用的时间是60÷2+36÷5=30+7.2=37.2(分).故选A.)
2.v=2.5t　7.5 m/s
3.y=x　3　8
4.x轴交点
5.解析:本题考查了一次函数与一元一次不等式及一元一次方程的关系,属于基础题,关健是正确根据图象解题.
解:函数y=x+6的图象如下图所示.(1)由图象知方程x+6=0的解为x=-6.　(2)由图象知不等式x+6>0的解为x>-6.　(3)由图象知若0≤y≤6,则x的取值范围是-6≤x≤0.
6.B
7.(1)12　400　(2)3　(3)y=-0.03x+12　(4)0≤x≤400
8.解:(1)由图象可知,4小时共进水20米3,所以每小时进水20÷4=5(米3).　(2) y是x的正比例函数,设y=kx,由于其图象过点(4,20),∴20=4k,k=5,即y=5x(0≤x≤4).　(3)由图象可知当x=9时,y=10,即水池中的水量为10米3.　(4)由于x≥4时,y是x的一次函数,故可设y=kx+b(k≠0).由图象可知,该直线过点(4,20),(9,10),所以有20=4k+b①,10=9k+b②.由①得b=20-4k,由②得b=10-9k,∴20-4k=10-9k,∴k=-2,将k=-2代入①中得b=28,∴y=-2x+28.令y=0,则-2x+28=0,∴x=14,14-4=10(小时),所以4小时后,只放水不进水,10小时就可以把水池里的水放完.
根据函数图象解读简单的生活问题是本课时的教学重点,也是教学的难点.在本课时的教学过程中,紧紧围绕从图形到实际问题的主线,帮助学生建立数学和生活的联系.
在例2的教学过程中,为了加深学生对函数图象的理解,应该让学生先确定函数解析式,这样更能让学生准确理解函数图象的含义.在教学过程中,这一点没有做出强调.
函数和我们的生活密切相关.函数图象可以直观地反映一些规律,关于函数图象的理解,其关键是弄清函数图象上的点的意义,即横坐标与纵坐标的意义.讲解时应渗透数形结合的数学思想,通过小组合作交流获取信息,让学生学会应用所学的知识解决有关一次函数的问题.教学时还可以根据学生的实际情况,结合函数图象提出相应的实际问题.
习题4.6(教材第92页)
1.解:约2.5 kg.
2.解:(1)5.1 cm.　(2)11.4 cm.　(3)约10天.　(4)k表示该植物每天生长的高度,b表示该植物起初的高度.
3.解:(1)120 km.　(2)k=60,这里k的含义是汽车行驶的平均速度.
　某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程,如图所示.开始时风速平均每小时增加2千米,4小时后,沙尘暴经过开阔荒漠地,风速变为平均每小时增加4千米,一段时间内,风速保持不变.当沙尘暴经过绿色植被区时,其风速平均每小时减少1千米,最终停止,结合风速与时间的图象,回答下列问题:
(1)在y轴(　　)内填入相应的数值;
(2)沙尘暴从发生到结束,共经过多长时间?
解:(1)从下到上依次填8,32.
(2)32+25=57(时),
∴沙尘暴从发生到结束共经过57小时.
第课时
1.通过观察函数图象,能够从两个一次函数图象中获取信息,理解函数图象交点的实际意义.
2.通过函数图象解决实际问题.
通过创设较深层次的问题情境,激发学生参与探索活动,强化数学建模思想,提高学生应用已有知识灵活处理问题的能力.
通过探索两个一次函数图象,提高学生自主学习的意识.
【重点】　利用图象解决实际问题.
【难点】　从函数图象中提炼出有用的信息.
【教师准备】　教材图4 - 10及例3投影片.
【学生准备】　预习教材93~95页内容.
导入一:
学校有一批复印任务,原来由甲复印社承接,按每100页40元计费.现乙复印社表示:若学校先按月付给一定数额的承包费,则可按每100页15元收费.两复印社每月收费情况如图所示.
根据图象回答:
(1)乙复印社每月的承包费是多少?
(2)当每月复印多少页时,两复印社实际收费相同?
(3)如果每月复印页数在1200页左右,那么应选择哪个复印社?
导入二:
某学校准备组织师生去长白山游玩,甲、乙两家旅行社原价都是每人60元,且都表示对学生优惠,甲旅行社表示:全部8折收费,乙旅行社表示:若人数不超过30人,则按9折收费;若超过30人,则超过部分按7折收费,其余按9折收费.如果你是一位老师,你觉得选择哪家旅行社更优惠呢?你能用图象说明你发现的问题吗?
　　[过渡语]　我们能不能用一次函数解决一些比较复杂的问题呢?
一、引例研讨
如图所示,l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系,l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系,根据图象填空:
(1)当销售量为2 t时,销售收入=　　　　元,销售成本=　　　　元.?
(2)当销售量为6 t时,销售收入=　　　　元,销售成本=　　　　元.?
(3)当销售量等于　　　　时,销售收入等于销售成本.?
(4)当销售量　　　　时,该公司盈利(收入大于成本);当销售量　　　　时,该公司亏损(收入小于成本).?
(5)l1对应的函数表达式是　　　　,l2对应的函数表达式是　　　　.?
【思考】　l1对应的一次函数y=k1x+b1中,k1和b1的实际意义各是什么?l2对应的一次函数y=k2x+b2中,k2和b2的实际意义各是什么?
【师生活动】　学生小组讨论,根据图象加以说明:l1对应的函数关系式是y=1000x,1000表示每销售1 t,销售收入是1000元,这里的“b=0”,说明该产品没销售时无收入;l2对应的函数关系式是y=500x+2000,这里500表示的是销售量每增加1 t,销售成本增加500元,没销售时成本是2000元.
[设计意图]　培养学生观察图象及分析问题的能力,了解y=kx+b中,k和b在实际问题中的意义.
二、例题讲解
(教材例3)我边防局接到情报,近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶.边防局迅速派出快艇B追赶(如图(1)所示).图(2)中l1,l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间的关系.
(1)
根据图象回答下列问题:
(1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系?
(2)A,B哪个速度快?
(3)15 min内B能否追上A?
(4)如果一直追下去,那么B能否追上A?
(5)当A逃到离海岸12 n mile的公海时,B将无法对其进行检查.照此速度,B能否在A逃入公海前将其拦截?
(6)l1与l2对应的两个一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2中,k1,k2的实际意义各是什么?可疑船只A与快艇B的速度各是多少?
〔解析〕　本例题主要通过对函数图象的分析解决问题,首先要准确判断l1和l2哪个代表A,哪个代表B.从A和B的速度角度看,l1较陡,l2较平,这说明l1的速度快.如果l1和l2有交点,交点的坐标就能反映出追赶上的时间和距离海岸的距离.根据图中的坐标关系,可以求出两条直线的解析式,通过解析式就能准确解决问题.
简要解答:
(1)l1表示B到海岸线的距离与追赶时间之间的关系.
(2)B的速度快.
(3)15 min时B尚未追上A.
(4)l1,l2延长之后必相交,所以B一定能追上A.
(5)在A逃入公海前,B能够追上A.
(6)k1表示快艇B的速度,k2表示可疑船只A的速度.可疑船只A的速度是0.2 n mile/min,快艇B的速度是0.5 n mile/min.
一次函数的应用
1.如图所示,OA,BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象,图中s和t分别表示运动路程和时间,根据图象求快者的速度比慢者的速度每秒快 (　　)
A.2.5 m　　　　　　B.2 m
C.1.5 m D.1 m
答案:C
2.小明骑自行车从A地去B地,一段时间后小刚骑摩托车也从A地出发追赶小明,两人走的路程s(千米)与小明骑行时间t(时)的关系如图所示.
(1)　　　　表示小明行驶的路程与时间的关系(填“l1”或“l2”);?
(2)小刚比小明晚出发　　　　小时;?
(3)v小刚=　　　　,v小明=　　　　;?
(4)小刚出发　　　　小时后追上小明.?
答案:(1)l1　(2)2　(3)40千米/时　20千米/时　(4)2
第3课时
1.引例研讨.
2.例题讲解.
一、教材作业
【必做题】
教材第95页习题4.7第1,2题.
【选做题】
教材第96页习题4.7第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.小刚、小强两人进行赛跑,小刚比小强跑得快,如果两人同时跑,小刚肯定赢,现在小刚让小强先跑若干米,图中的射线a,b分别表示两人跑的路程与小刚追赶时间的关系,根据图象判断小刚的速度比小强的速度每秒快 (　　)
A.1米　　　　　B.1.5米
C.2米 D.2.5米
2.一辆汽车和一辆摩托车分别从A,B两地去同一城市,它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示.则下列结论错误的是 (　　)
A.摩托车比汽车晚到1 h
B.A,B两地的距离为20 km
C.摩托车的速度为45 km/h
D.汽车的速度为60 km/h
3.如图所示,l甲,l乙分别是甲、乙两弹簧的长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系图象,设甲弹簧每挂1 kg物体伸长的长度为k甲 cm,乙弹簧每挂1 kg物体伸长的长度为k乙 cm,则k甲与k乙的大小关系是 (　　)
A.k甲>k乙 B.k甲=k乙
C.k甲4.如图所示,射线OA,BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数图象,图中s,t分别表示行驶距离和时间,则这两人骑自行车的速度相差　　　　km/h.?
【能力提升】
5.某单位急需用车,但又不准备买车,所以他们准备和一个体车主或一国有出租车公司中的一家签订月租车合同,设汽车每月行驶x km,应付给个体车主的月租费是y1元,应付给国有出租车公司的月租费是y2元,y1,y2与x之间的函数关系图象如下图所示.根据图象回答下列问题:
(1)每月行驶的路程在什么范围内时,租国有公司的车合算?
(2)每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同?
(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300 km,那么这个单位租哪家的车合算?
【拓展探究】
6.某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案,印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印刷份数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要.两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的关系如图所示.
(1)求甲种收费及乙种收费的函数关系式;
(2)该校某年级每次需印制100~450(含100和450)份学案,选择哪种印刷方式较合算?
【答案与解析】
1.D
2.C (解析:由图可知,汽车3 h到达,摩托车4 h到达,故摩托车比汽车晚到1 h,A正确;摩托车与汽车起点的纵坐标不同,可知A,B两地之间的距离为20 km,B正确;由图可知,摩托车从20 km处行驶到180 km处用了4 h,故速度为(180-20)÷4=40(km/h),故C错误;同理可知汽车速度为180÷3=60(km/h),故D正确.)
3.A
4.4
5.解:(1)每月行驶的路程小于1500 km时,租国有公司的车合算.　(2)每月行驶的路程等于1500 km时,租两家车的费用相同.　(3)如果每月行驶的路程为2300 km,那么这个单位租个体车主的车合算.
6.解:(1)设甲种收费的函数关系式为y1=kx+b(k≠0),乙种收费的函数关系式是y2=k1x(k1≠0),由题意,得b=6,把b=6代入16=100k+b,得10=100k,解得k=0.1.将x=100,y2=12代入y2=k1x,解得 k1=0.12,∴y1=0.1x+6(x≥0),y2=0.12 x(x≥0).　(2)由题意,得当y1>y2时,0.1x+6>0.12x,得x<300;当y1=y2时,0.1x+6=0.12x,得x=300;当y1300.∴当100≤x<300时,选择乙种方式合算;当x=300时,甲、乙两种方式一样合算;当300本课时的教学重点是借助一个坐标系中两个函数图象去分析问题,难点是只根据函数图象而不是通过计算去解决问题.学生习惯于通过计算去解决问题,通过函数图象去解决问题的机会比较少.本课时正是基于上述原因,在教学的过程中围绕教材中设立的问题,给学生扩充了问题或者提示,较好地解决了学习过程中的难点问题.
学生根据一个坐标系内两个一次函数的图象去
分析问题还是存在一定的困难的,需要老师在观察图象、分析图象等方面给予一定的方法指导.本课时在这方面的指导较少.
学生掌握知识需要一定的强化过程,例题的设置和讲解是重要的一环.在今后的教学过程中,除了精选课时练习之外,还应该增加例题的数量及供学生交流和讨论的问题.
习题4.7(教材第95页)
1.3000元　3500元　-500元
2.(1)1　(2)1.5　20　(3)40　
3.提示:(1)甲厂:y=x+1500,乙厂:y=2.5x.　(2)略　(3)印制800份宣传材料时选择乙厂比较合算.该公司拟拿出3000元用于印制宣传材料,找甲厂印制宣传材料能多一些.
复习题(教材第97页)
1.A,F,G　B,E,I　C,D,H
2.解:(2).
3.解:(1)y=0.6x+15.　(2)一次项系数表示每挂1千克物体弹簧伸长的长度,常数项表示弹簧原长.
4.解:y=-2x,3个空依次填2,0,-2.
5.解:图象略.(1)减小　(2)　(0,3)　(3)<
7.解:(1)V=5t+10(0≤t≤16).　(2)60.
8.D
9.解:(1)在甲商店买需10+10×70%=17(元),在乙商店买需20×85%=17(元),两家一样.　(2)小明现有24元钱,在甲商店可买30本,在乙商店可买28本,所以最多能买30本练习本.
10.提示:(1)不相同,从甲地到乙地时速度大, 返航时速度小.　(2)略
11.解:(1)他的头顶比脚底多“走”了约9.42 m.　(2)不管在半径为多大的星球上环绕一周,头顶比脚底都多“走”了约9.42 m.
13.提示:(1)能.　(2)y=1.8x+32.　(3)略
14.解:(1)点A表示这条线路的运营成本为1万元,点B表示当乘客量为1.5万人时收支差额为0万元,即不挣不亏.　(2)c　b
15.解:(1)l2表示小明的路程与时间的关系.　(2)10米.　(3)设l2:s=kt(k≠0),且经过(5,35),所以k=7,所以l2:s=7t,当s=100时,100=7t,所以t=.设l1:s=kt+10(k≠0),且经过(5,40),所以k=6,所以l1:s=6t+10,当s=100时,100=6t+10,所以t=15.因为<15,所以小明将赢得这场比赛.　(4)一次项系数为6,它的实际意义是小亮的速度.
16.解:(1)略　(2)这些点近似地在一条直线上.　(3)t=25-6.5h.　(4)约2.25 ℃.
18.提示:(1)画图略.两个图象关于y轴对称.　(2)y=-3x+2,y=3x+2的图象关于y轴对称.一般地,y=-kx+b,y=kx+b(k≠0)的图象关于y轴对称.
　某通讯公司推出①②两种通讯收费方式供用户选择,其中一种有月租费,另一种无月租费,且两种收费方式的通讯时间x(分钟)与收费y(元)之间的函数关系如图所示.
(1)有月租费的收费方式是　　　　(填“①”或“②”),月租费是　　　　元;?
(2)分别求出①②两种收费方式中y与自变量x之间的函数解析式;
(3)请你根据用户通讯时间的多少,给出经济实惠的选择建议.
解:(1)①　30
(2)设y1=k1x+30(k1≠0),y2=k2x(k2≠0),
由题意,将(500,80),(500,100)分别代入,
可得500k1+30=80,∴k1=0.1,
500k2=100,∴k2=0.2.
故所求的函数解析式为y1=0.1x+30,y2=0.2x.
(3)由y1=y2,得0.2x=0.1x+30,解得x=300;
当x=300时,y=60.
故由图可知当通话时间在300分钟内时,选择通话方式②实惠;
当通话时间超过300分钟时,选择通话方式①实惠;
当通话时间为300分钟时,选择通话方式①②一样实惠.