《用频率估计概率》
《用频率估计概率》是《概率初步》这一章的最后一节内容，它是在学习了概率和用列举法求概率的基础上，进一步探究用试验的方法利用频率来估计非等可能事件的概率，通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解试验频率和理论概率的关系。
本节教材一开始设置了一个投币试验，首先要求学生亲自动手试验获得数据，从数据中发现规律；同时又给出历史上投币试验的众多数据，为学生发现规律提供帮助。通过学生的亲手试验和历史数据，学生可以用已有的统计知识来研究投掷一枚硬币时“正面向上”的频率大小。可以发现，在重复投掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0。5左右摆动，随着投掷次数的增加，频率会呈现出一定的稳定性，这个稳定值与用古典概型求出的概率是一致的，从而说明用频率估计概率方法的合理性。
由于用频率估计概率不受随机试验中结果种数有限和各种结果发生等可能的限制，所以它的适用的范围比列举法求概率要大得多。
【知识与能力目标】
能够通过随机试验，获得事件发生的频率；
2、知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率，了解频率与概率的区别与联系。
【过程与方法目标】
通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方法。
【情感态度价值观目标】
?利用生活实例，介绍数学史，激发学生学习数学的热情和兴趣。
【教学重点】
?通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。
【教学难点】
对大量重复试验得到频率的稳定值的分析。
教学过程
一、创设情境，引入新课
问题1 回答下列问题：
（1）用列举法求概率的条件是什么？
（2）用列举法求概率的方法是什么？
（3）在P(A)＝，P(A)的取值范围是什么？
（4）常用的列举试验结果的方法有哪些？
归纳：（1）用列举法求概率的条件是：①每次试验中，可能出现的结果是有限的；②每次试验中，各种结果发生的可能性相等。
（2）每次试验中，有n种可能结果（有限个），发生的可能性相等；事件A包含其中m种结果，则P(A)＝。
（3）0≤P(A)≤1，其中当A为不可能事件时，P(A)=0，当A为必然事件时，P(A)=1。
（4）列表法和树状图法是常用的列举试验结果的方法，它是在列出的所有结果很多或一次试验要涉及3个或更多的因素所用的方法。
问题2 国家实施山川秀美工程，各地将大力开展植树造林活动。为此林业部要考查幼树在一定条件下的移植成活率，我们应采用什么做法呢？
设计意图：问题1通过复习用列举法求概率的条件和方法，问题2设置的是一个不能利用列举法解决的概率问题，两个问题让学生产生认知冲突，激发了学生进一步探究用频率估计概率的学习热情。
二、探索发现，形成新知
问题3 （1）我们先来做一个投掷硬币的试验：把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次。整理获得的试验数据，并把数据填写在下面的表格中。
抛掷次数n
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
“正面向上”的频数m
“正面向上”的频率
第1组的数据填在第1列，第1，2组的数据之和填在第2列……10个组的数据之和填在第10列。
如果在抛掷硬币n次时，出现m次“正面向上”，则称比值为“正面向上”的频率。
根据上表的数据，在下图中标注出对应的点。
追问1：频率和概率有什么不同？
追问2：如果重复实验次数增多，结果会怎样？
追问3：随着重复实验次数的增加，“正面向上”的频率有什么规律？
（2）介绍历史上的抛掷硬币的试验。
历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验。其中一些试验结果见下表：
实验者
抛掷次数n
“正面向上”的次数m
“正面向上”的频率
棣莫弗
2 048
1 061
0.518
布丰
4 040
2 048
0.506 9
费勒
10 000
4 979
0.497 9
皮尔逊
12 000
6 019
0.501 6
皮尔逊
24 000
12 012
0.500 5
思考：随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么?
可以发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5附近摆动。一般地，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性：在0.5附近摆动的幅度会越来越小。这时，我们称“正面向上”的频率稳定于0.5。它与前面用列举法得出的“正面向上”的概率是同一个数值。
当“正面向上”的频率稳定于0.5时，“反面向上”的频率也稳定于0.5。
总结：实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。
追问1：你怎样理解“固定数”？
追问2：“正面向上”的概率是0.5，连续掷2次，结果一定是“正面向上”和“反面向上”各1次吗？
“固定数”就是“概率”；概率是0.5并不能保证掷2n次硬币一定恰好有n次“正面向上”，只是当n越来越大时，正面向上的频率会越来越稳定于0.5。
可见，概率是针对大量重复试验而言的，概率具有稳定性。
三、运用新知，深化理解
例1：某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？
幼树移植成活率是实际问题中的一种概率。这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等未知，所以成活率要由频率去估计。
在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率。随着移植数n越来越大，频率会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值。
引导学生补全教材第145页统计表中的空缺，然后完成表下的填空。
发现：随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定。当移植总数为14 000时，成活的频率为0.902，于是可以估计幼树移植成活的概率为0.9。
例2：某水果公司以2元/kg的成本价新进10 000 kg柑橘。如果公司希望这些柑橘能够获得利润5 000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计。并把获得的数据记录在教材第146页表中。
从表中可以看出，随着柑橘质量的增加，柑橘损坏的频率越来越稳定。柑橘总质量为500 kg时的损坏频率为0.103，于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1(结果保留小数点后一位)。由此可知，柑橘完好的概率为0.9。
根据估计的概率可以知道，在10 000 kg柑橘中完好柑橘的质量为
10 000×0.9＝9 000（kg）。
完好柑橘的实际成本为≈2.22（元/kg）。
设每千克柑橘的售价为x元，则(x－2.22)×9 000＝5 000。
解得x≈2.8（元）。
因此，出售柑橘时，每千克定价大约2.8元可获利润5 000元。
概率的使用条件，即“结果只有有限种，且各种结果出现的可能性大小相等”。
四、学生练习，巩固新知
练习1 某射击运动员在同一条件下练习射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
49
44
92
178
452
击中靶心频率m/n
（1）计算表中击中靶心的各个频率并填入表中。
（2）这个运动员射击一次，击中靶心的概率约是_____。
练习2 一个口袋中放有20个球，其中红球6个，白球和黑球个若干个，每个球出了颜色外没有任何区别。
（1）小王通过大量反复实验（每次取一个球，放回搅匀后再取）发现，取出黑球的概率稳定在四分之一左右，请你估计袋中黑球的个数。
（2）若小王取出的第一个是白球，将它放在桌上，从袋中余下的球中在再任意取一个球，取出红球的概率是多少?
练习3 甲班56人，其中身高在160厘米以上的男同学10人，身高在160厘米以上的女同学3人，乙班80人，其中身高在160厘米以上的男同学20人，身高在160厘米以上的女同学8人。如果想在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手，在哪个班成功的机会大？为什么？
分析：因为已经限定在身高160厘米以上的女生中抽选旗手，在甲班被抽到的概率为，在乙甲班被抽到的概率为，∵＞，∴在甲班被抽到的机会大。
五、课堂小结，梳理新知
今天你学习了什么，有什么收获？
一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，可以用Ｐ（Ａ）＝的方式得出概率。当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过统计频率来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率。
六、布置作业，优化新知
1、教科书习题25.3第1题，第3题，第4题；（必做题）
2、教科书习题25.3第5题，第6题。（选做题）
课件12张PPT。问题引入问题1 （1）用列举法求概率的条件是什么？（2）用列举法求概率的方法是什么？
（3）在P(A)＝ ，P(A)的取值范围是什么？（4）常用的列举试验结果的方法有哪些？归纳：（1）条件：①每次试验中，可能出现的结果是有限的；②每次试验中，各种结果发生的可能性相等。
（2）每次试验中，有n种可能结果（有限个），发生的可能性相等；事件A包含其中m种结果，则P(A)＝ 。
（3）0≤P(A)≤1，当A为不可能事件时，P(A)=0，当A为必然事件时，P(A)=1。
（4）列表法和树状图法是常用的列举试验结果的方法，它是在列出的所有结果很多或一次试验要涉及3个或更多的因素所用的方法。问题2 国家实施山川秀美工程，各地将大力开展植树造林活动。为此林业部要考查幼树在一定条件下的移植成活率，我们应采用什么做法呢？问题引入探究新知问题3 （1）我们先来做一个投掷硬币的试验：把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次。整理获得的试验数据，并把数据填写在下面的表格中。（2）介绍历史上的抛掷硬币的试验。
历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验。其中一些试验结果见下表：探究新知例1：某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？应用新知幼树移植成活率是实际问题中的一种概率。这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等未知，所以成活率要由频率去估计。例2：某水果公司以2元/kg的成本价新进10 000 kg柑橘。如果公司希望这些柑橘能够获得利润5 000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？应用新知练习1 某射击运动员在同一条件下练习射击，结果如下表所示：
（1）计算表中击中靶心的各个频率并填入表中。
（2）这个运动员射击一次，击中靶心的概率约是_____。巩固新知练习2 一个口袋中放有20个球，其中红球6个，白球和黑球个若干个，每个球出了颜色外没有任何区别。
（1）小王通过大量反复实验（每次取一个球，放回搅匀后再取）发现，取出黑球的概率稳定在四分之一左右，请你估计袋中黑球的个数。
（2）若小王取出的第一个是白球，将它放在桌上，从袋中余下的球中在再任意取一个球，取出红球的概率是多少?巩固新知练习3 甲班56人，其中身高在160厘米以上的男同学10人，身高在160厘米以上的女同学3人，乙班80人，其中身高在160厘米以上的男同学20人，身高在160厘米以上的女同学8人。如果想在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手，在哪个班成功的机会大？为什么？巩固新知课堂小结一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，可以用Ｐ（Ａ）＝m/n 的方式得出概率。当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过统计频率来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率。今天你学习了什么，有什么收获？
课外作业1、教科书习题25.3第1题，第3题，第4题；（必做题）
2、教科书习题25.3第5题，第6题。（选做题）
