第2章 圆单元检测B卷
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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园单元检测B卷
姓名：__________班级：__________学号：__________
一.选择题（共12题； ）
1.如图，在⊙O中， = ，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 50° B. 40° C. 30° D. 25°
2.如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（ ）
A. DE=EB B. DE=EB C. DE=DO D. DE=OB
3.如图，已知A，B，C在⊙O上， 为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）
A. 2∠C B. 4∠B C. 4∠A D. ∠B+∠C
4.下列命题：①三点确定一个圆，②弦的平分线过圆心，③弦所对的两条弧的中点的连线是圆的直径，④平分弦的直线平分弦所对的弧，其中正确的命题有（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
5.如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（ ）
A. 15° B. 25° C. 30° D. 75°
6.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（ ）
A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
7.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB=25°，则∠ADC的度数为（ ）
A. 65° B. 55° C. 60° D. 75°
8.如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③
9.如图，以BC为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为（ ）
A. B. C. D.
11.我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直段最短”.在此基础上，人们定义了点到点的距离、点到直线的距离，类似地，若点P是O外一点(如图)，则点P与O的距离应定义为( )
A. 线段PO的长度 B. 线段PA的长度 C. 线段PB的长度 D. 线段PC的长度
12.如图,⊙O的直径AB=10cm,弦CD⊥AB,垂足为P.若OP︰OB=3︰5,则CD的长为（ ）
A. 6cm B. 4cm C. 8cm D. 10 cm
二.填空题（共6题 ）
13.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=________．
14.如图1，⊙O的直径AB=4厘米，点C在⊙O上，设∠ABC的度数为x（单位：度，0＜x＜90），优弧 的弧长与劣弧 的弧长的差设为y（单位：厘米），图2表示y与x的函数关系，则α=________度．
15.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=________度．
16.如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是 ________°.
17.如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为 的半圆后得到图形P2 ， 然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3 ， P4 ， …，Pn ， …，记纸板Pn的面积为Sn ， 试通过计算S1 ， S2 ， 猜想得到Sn﹣1﹣Sn=________（n≥2）．
18.如图，在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1 ， 再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2 ， …，照此规律作下去，则点B6的坐标为________．
三.解答题（共8题；共40分）
19.操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件。
（1）分别测量下面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现.
(2) 如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合下面的两个图说明其中的道理.（提示：考虑）
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件.
21.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB=， 求⊙O半径的长．
22.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
（1）当△ABC的外接圆半径为1时，且∠BAC=60°，求弧BC的长度．
（2）连接BD，求证：DE=DB．
23.如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．
(1)请写出两个不同类型的正确结论
(2)若CD=12，tan∠CPO=12 ， 求PO的长．
24.如图，∠B=90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．若AD=2， 且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣8x+k=0的两个实数根．
（1）求⊙O的半径．
（2）求CD的长．
25.如图，AE是圆O的直径，点B在AE的延长线上，点D在圆O上，且AC⊥DC， AD平分∠EAC
(1)求证：BC是圆O的切线。
(2)若BE=8,BD=12,求圆O的半径,
26.如图,⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,且与AB相切于点A.
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．
27.如图，在 ABCD中，过A、C、D三点的⊙O交AB于点E，连接DE、CE，∠CDE=∠BCE．
（1）求证：AD=CE；
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若BC=3，DE=6，求BE的长．
答案解析
一.选择题
1. 【分析】先根据圆周角的性质得到∠AOC=∠AOB，再由同弧的圆周角等于圆心角的一半即可得到结论．
解：如图：
∵在⊙O中， = ，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠AOC=50°，
∴∠ADC= ∠AOC=25°，
故答案为：D．
2. 【分析】连接EO，只要证明∠D=∠EOD即可解决问题．
解：连接EO． ∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，
∴∠B+∠D=3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，
∴∠DOE=∠D，
∴ED=EO=OB，
故选D．
A、错误．假设DE=EB，则△EOB是等边三角形，则∠AOB=3∠D=90°，OB⊥AD，显然与题目不符．
B、错误．假设 DE=EB，则△EOB是等腰直角三角形，则∠AOB=3∠D=67.5°，显然与题目不符．
C、错误．假设 DE=EB，则△EOB是等腰三角形，且底角∠B=30°，则∠AOB=45°，显然不符合题意．
3. 【分析】根据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C．
解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C． 故选：A．
4. 【分析】根据垂径定理的知识及过3点圆的知识可得正确选项．
解：①不在同一直线上的3个点确定一个圆，故错误； ②弦的垂直平分线经过圆心，故错误；
③根据圆的轴对称性可得，正确；
④平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，故错误；
正确的有1个，
故选C．
5. 【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
解：∵∠A=45°，∠AMD=75°，
∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°，
∴∠B=∠C=30°，
故选C．
6. 【分析】根据圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360度进行分析求解．
解：∵内接四边形的对角互补，
∴∠A：∠B：∠C：∠D=3：4：6：5
设∠A的度数为3x，则∠B，∠C，∠D的度数分别为4x，6x，5x
∴3x+4x+6x+5x=360°
∴x=20°
∴∠D=100°
故选C．
7. 【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠CAB=25°，得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．
解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=25°，∴∠ABC=90°﹣∠CAB=65°，∴∠ADC=∠ABC=65°．故选A．
8. 【分析】连接BE，根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，因为∠AEB=∠D+∠DBE，所以∠AEB＞∠D，所以∠C＞∠D，根据锐角三角形函数的增减性，即可判断．
解：如图，连接BE，
根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，
∵∠AEB=∠D+∠DBE，
∴∠AEB＞∠D，
∴∠C＞∠D，
根据锐角三角形函数的增减性，可得，
sin∠C＞sin∠D，故①正确；
cos∠C＜cos∠D，故②错误；
tan∠C＞tan∠D，故③正确；
故选：D．
9.【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差：
解：在Rt△ACB中，AB=.
∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°.
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，∴D为半圆的中点.
∴阴影部分面积=扇形ACB面积-
故选A．
10.【分析】如图，过O作OC⊥AP于点C，连接OB，
∵OP=4，∠APO=30°，
∴OC=OP=×4=2
∵OB=3，
∴根据勾股定理，得
∴根据垂径定理，得AB=
故选A.
11.【分析】根据前面的几个定义都是点到图形的最小的距离，因而点P到⊙O的距离是线段PA的长度．
解：由图可知：点P到⊙O的距离是线段PA的长度．
故选B．
12. 【分析】根据⊙O的直径可得出半径OB的长，也就求出OP的长；连接OC，在Rt△OCP中，运用勾股定理可求出CP的长，进而可依据垂径定理求得CD的长．
解：连接OC；
∵AB=10cm，∴OB=5cm；
∵OP：OB=3：5，∴OP=3cm；
Rt△OCP中，OC=OB=5cm，OP=3cm；
由勾股定理，得：；
所以CD=2PC=8cm，
故选C．
二.填空题
13. 【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED= CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，最后由BE=OB﹣OE，即可求出BE的长度．本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED的长度．
解：如图，连接OC．
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∴CE=ED= CD=3．
∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，
∴OE= = ，
∴BE=OB﹣OE=4﹣ ．
故答案为4﹣ ．
14. 【分析】直接利用弧长公式表示出y与x之间的关系，进而代入（a，3π）求出答案．
解：设∠ABC的度数为x，根据题意可得：
y= ﹣
将（a，3π）代入得：
3π= ，
解得：α=22.5°．
故答案为：22.5．
15. 【分析】根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可．本题主要考查了圆内接四边形的性质．解答此题时，利用了圆内接四边形的对角互补的性质来求∠BCD的补角即可．
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；
又∵∠BCD=110°，
∴∠BAD=70°．
故答案为：70．
16. 【分析】要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．
解：连接OC、OD，
∵∠BAO=∠CBO=α，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，
∵∠AOE=56°，
∴∠AOB==76°，
∴α==52°．
故答案为：52°．
17. 【分析】由P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为 的半圆后得到图形P2 ， 得到S1= π×12= π，S2= π﹣ π×（ ）2 ． 同理可得Sn﹣1= π﹣ π×（ ）2﹣ π×[（ ）2]2﹣…﹣ π×[（ ）n﹣2]2 ， Sn= π﹣ π×（ ）2﹣ π×[（ ）2]2﹣…﹣ π×[（ ）n﹣2]2﹣ π×[（ ）n﹣1]2 ， 它们的差即可得到．
解：根据题意得，n≥2．S1= π×12= π，
S2= π﹣ π×（ ）2 ，
…
Sn﹣1= π﹣ π×（ ）2﹣ π×[（ ）2]2﹣…﹣ π×[（ ）n﹣2]2 ，
Sn= π﹣ π×（ ）2﹣ π×[（ ）2]2﹣…﹣ π×[（ ）n﹣2]2﹣ π×[（ ）n﹣1]2 ，
∴Sn﹣1﹣Sn= π×（ ）2n﹣2=（ ）2n﹣1π．
故答案为（ ）2n﹣1π．
18. 【分析】根据勾股定理求出OB的长，利用正方形的每一条对角线都把它分成两个全等的等腰直角三角形得出B的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，都逆时针旋转45°，边长都乘以 ，所以可得出B6的坐标.
解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB= ，B（1，1），
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1=2= ，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知OB2=2 = ，
∴B2点坐标为（-2，2），
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都逆时针旋转45°，边长都乘以 ，
∴点B6在第四象限的角平分线上，
∵OB6=（ ）7 ，
∴点B6的横坐标是 ×（ ）7=8，纵坐标是- ×（ ）7=-8，
∴点B6的坐标为（8，-8）.
三.解答题
19. 【分析】(1)通过测量，过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之和等于180°.
(2)如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间没有上面的关系，要么相对两角之和大于180°，如图2，要么两角之和小于180°如图1.总之，过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是:对角互补（对角之和等于）
解：（1）对角互补（对角之和等于）
(2)图1中，
图2中，
过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是:对角互补（对角之和等于）
21. 【分析】（1）本题可连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；
（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．
（1）证明：连接OD，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴ADO=∠E，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠E，
∴AB=BE；
（2）解：由（1）知，OD∥BE，
∴∠POD=∠B，
∴cos∠POD=cosB=，
在Rt△POD中，cos∠POD==，
∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，
∴=，
∴OA=3，
∴⊙O半径=3．
22. 【分析】（1）设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，由圆周角定理得出∠BOC=120°，再由弧长公式即可得出结果；
（2）连接BE，由三角形的内心得出∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠DEB=∠DBE，即可得出结论．
（1）解：设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，如图1所示：
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴弧BC的长度=120π×1180=23π．
（2）证明：连接BE，如图2所示：
∵E是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠DEB=∠1+∠3，∠DBE=∠4+∠5
∠5=∠2，
∴∠DEB=∠DBE，
∴DE=DB．
23. 【分析】（1）由切线长定理得①PC=PD，②∠CPO=∠DPA，由垂径定理得③CD⊥BA，④∠CEP=90°，由切割线定理得，⑤PC2=PA PB；
（2）连接OC，由切线长定理得PC=PD，∠CPO=∠DPA，再由垂径定理得DE，则求得CP，即可得OC，最后根据勾股定理得出OP的长．
（1）解：不同类型的正确结论有：
①PC=PD，②∠CPO=∠DP，③ACD⊥BA，④∠CEP=90°，⑤PC2=PA PB
（2）解：
连接OC
∵PC、PD分别切⊙O于点C、D
∴PC=PD，∠CPO=∠DPA
∴CD⊥AB
∵CD=12
∴DE=CE=12CD=6．
∵tan∠CPO=12，
∴在Rt△EPC中，PE=12
∴由勾股定理得CP=65
∵PC切⊙O于点C
∴∠OCP=90°
在Rt△OPC中，
∵tan∠CPO=12，
∴=12
∴OC=35，
∴OP=OC2+PC2=15．
24. 【分析】（1）根据切线长定理得出AB AE的长=12，进而得出k的值，设半径的长为r，再代入切线长定理解答即可；
（2）根据切线长定理，即可得出CD=CB，由勾股定理得CD的长即可．
解：（1）连接OD、DE、DB，设⊙O半径为r，
∵CD为⊙O切线，∴∠ODA=90°，
∵BE为⊙O直径，∴∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDO，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
∴AB AE=，
∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣8x+k=0的两个实数根，
∴k=12，
解方程x2﹣8x+12=0得：两个实数根为：2和6，
∴设半径的长为r，
可得半径r=×（6﹣2）=2；
（2）∵∠B=90°，
∴CB为⊙O切线，
∴CD=CB，
∴CB2+AB2=AC2 ，
∴CD2+62=（2+CD）2 ，
∴CD=2．
答：CD的长度为2．
25. 【分析】（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO=90°即可．
（2）已知两边长，求其它边的长，可以来三角形相似，对应边成比例来求．
解：（1）证明：连接OC；
∵AD平分∠EAC，
∴∠CAD=∠BAD；
又在圆中OA=OD，
∴∠AD0=∠OAD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD；
则由AE⊥DC知OC⊥DC，
即DC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠B=∠B，∠DAE=∠BDE，
∴△BDE∽△BAE，
∴ ，
∴BD2=BE·BA，
即：BD2=BE·（BE+EA），
∴122=8(8+AE)
∴AE=10.
26. 【分析】（1）连结OA、OB、OC、BD,根据切线的性质得OA⊥AB,即∠OAB=90°,再根据菱形的性质得BA=BC,然后根据“SSS”可判断△ABO≌△CBO,则∠BCO=∠BAO=90°,于是可根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）由△ABO≌△CBO得∠AOB=∠COB,则∠AOB=∠COB,由于菱形的对角线平分对角,所以点O在BD上,利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD,则∠BOC=2∠ODC,由于CB=CD,∠OBC=∠ODC,所以∠BOC=2∠OBC,根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°,然后利用∠ABC=2∠OBC计算。
解：（1）连结OA、OB、OC、BD,如图,
∵AB与⊙O切于A点,
∴OA⊥AB,即∠OAB=90°,
∵四边形ABCD为菱形,
∴BA=BC,
在△ABO和△CBO中
AB=CDOB=OBOA=OC
∴△ABO≌△CBO（SSS）,
∴∠BCO=∠BAO=90°,
∴OC⊥BC,
∴BC为⊙O的切线；
（2）∵△ABO≌△CBO,
∴∠AOB=∠COB,
∵四边形ABCD为菱形,
∴BD平分∠ABC,DA=DC,
∴点O在BD上,
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD,OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠BOC=2∠ODC,
同理：∠BOC=2∠OBC,
∵∠BOC+∠OBC=90°,
∴∠OBC=30°,
∴∠ABC=2∠OBC=60°．
27. 【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠AED=∠EDC，证出AD∧=CE∧ ， 即可得出AD=CE；
（2）作直径CF，连接EF，则∠EFC=∠EDC，证出∠EFC=∠BCE，再由CF是⊙O的直径，得出∠FEC=90°，得出∠BCF=90°，即可得出结论；
（3）证明△BCE∽△EDC，得出对应边成比例，即可得出结果．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AED=∠EDC．
∴AD=CE；
（2）解：直线BC与⊙O相切，理由如下：
如图所示：作直径CF，连接EF．
则∠EFC=∠EDC，
∵∠BCE=∠CDE，
∴∠EFC=∠BCE．
∵CF是⊙O的直径，
∴∠FEC=90°，
∴∠EFC+∠FCE=90°，
∴∠BCE+∠FCE=90°
∴∠BCF=90°．
∴OC⊥CB．
∴直线BC与⊙O相切；
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB∥CD，
由（1）得：AD=CE，
∴BC=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE．
又∵∠BCE=∠CDE，
∴△BCE∽△EDC，
∴BCDE=BECE，
∵BC=3∴CE=3，
即 36=BE3，
解得，BE=32．
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姓名：__________班级：__________学号：__________
一.选择题（共12题； ）
1.如图，在⊙O中， = ，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 50° B. 40° C. 30° D. 25°
2.如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（ ）
A. DE=EB B. DE=EB C. DE=DO D. DE=OB
3.如图，已知A，B，C在⊙O上， 为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）
A. 2∠C B. 4∠B C. 4∠A D. ∠B+∠C
4.下列命题：①三点确定一个圆，②弦的平分线过圆心，③弦所对的两条弧的中点的连线是圆的直径，④平分弦的直线平分弦所对的弧，其中正确的命题有（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
5.如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（ ）
A. 15° B. 25° C. 30° D. 75°
6.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（ ）
A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
7.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB=25°，则∠ADC的度数为（ ）
A. 65° B. 55° C. 60° D. 75°
8.如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③
9.如图，以BC为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为（ ）
A. B. C. D.
11.我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直段最短”.在此基础上，人们定义了点到点的距离、点到直线的距离，类似地，若点P是O外一点(如图)，则点P与O的距离应定义为( )
A. 线段PO的长度 B. 线段PA的长度 C. 线段PB的长度 D. 线段PC的长度
12.如图,⊙O的直径AB=10cm,弦CD⊥AB,垂足为P.若OP︰OB=3︰5,则CD的长为（ ）
A. 6cm B. 4cm C. 8cm D. 10 cm
二.填空题（共6题 ）
13.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=________．
14.如图1，⊙O的直径AB=4厘米，点C在⊙O上，设∠ABC的度数为x（单位：度，0＜x＜90），优弧 的弧长与劣弧 的弧长的差设为y（单位：厘米），图2表示y与x的函数关系，则α=________度．
15.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=________度．
16.如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是 ________°.
17.如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为 的半圆后得到图形P2 ， 然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3 ， P4 ， …，Pn ， …，记纸板Pn的面积为Sn ， 试通过计算S1 ， S2 ， 猜想得到Sn﹣1﹣Sn=________（n≥2）．
18.如图，在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1 ， 再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2 ， …，照此规律作下去，则点B6的坐标为________．
三.解答题（共8题；共40分）
19.操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件。
（1）分别测量下面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现.
(2) 如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合下面的两个图说明其中的道理.（提示：考虑）
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件.
21.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB=， 求⊙O半径的长．
22.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
（1）当△ABC的外接圆半径为1时，且∠BAC=60°，求弧BC的长度．
（2）连接BD，求证：DE=DB．
23.如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．
(1)请写出两个不同类型的正确结论
(2)若CD=12，tan∠CPO=12 ， 求PO的长．
24.如图，∠B=90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．若AD=2， 且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣8x+k=0的两个实数根．
（1）求⊙O的半径．
（2）求CD的长．
25.如图，AE是圆O的直径，点B在AE的延长线上，点D在圆O上，且AC⊥DC， AD平分∠EAC
(1)求证：BC是圆O的切线。
(2)若BE=8,BD=12,求圆O的半径,
26.如图,⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,且与AB相切于点A.
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．
27.如图，在 ABCD中，过A、C、D三点的⊙O交AB于点E，连接DE、CE，∠CDE=∠BCE．
（1）求证：AD=CE；
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若BC=3，DE=6，求BE的长．
答案解析
一.选择题
1. 【分析】先根据圆周角的性质得到∠AOC=∠AOB，再由同弧的圆周角等于圆心角的一半即可得到结论．
解：如图：
∵在⊙O中， = ，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠AOC=50°，
∴∠ADC= ∠AOC=25°，
故答案为：D．
2. 【分析】连接EO，只要证明∠D=∠EOD即可解决问题．
解：连接EO． ∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，
∴∠B+∠D=3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，
∴∠DOE=∠D，
∴ED=EO=OB，
故选D．
A、错误．假设DE=EB，则△EOB是等边三角形，则∠AOB=3∠D=90°，OB⊥AD，显然与题目不符．
B、错误．假设 DE=EB，则△EOB是等腰直角三角形，则∠AOB=3∠D=67.5°，显然与题目不符．
C、错误．假设 DE=EB，则△EOB是等腰三角形，且底角∠B=30°，则∠AOB=45°，显然不符合题意．
3. 【分析】根据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C．
解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C． 故选：A．
4. 【分析】根据垂径定理的知识及过3点圆的知识可得正确选项．
解：①不在同一直线上的3个点确定一个圆，故错误； ②弦的垂直平分线经过圆心，故错误；
③根据圆的轴对称性可得，正确；
④平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，故错误；
正确的有1个，
故选C．
5. 【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
解：∵∠A=45°，∠AMD=75°，
∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°，
∴∠B=∠C=30°，
故选C．
6. 【分析】根据圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360度进行分析求解．
解：∵内接四边形的对角互补，
∴∠A：∠B：∠C：∠D=3：4：6：5
设∠A的度数为3x，则∠B，∠C，∠D的度数分别为4x，6x，5x
∴3x+4x+6x+5x=360°
∴x=20°
∴∠D=100°
故选C．
7. 【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠CAB=25°，得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．
解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=25°，∴∠ABC=90°﹣∠CAB=65°，∴∠ADC=∠ABC=65°．故选A．
8. 【分析】连接BE，根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，因为∠AEB=∠D+∠DBE，所以∠AEB＞∠D，所以∠C＞∠D，根据锐角三角形函数的增减性，即可判断．
解：如图，连接BE，
根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，
∵∠AEB=∠D+∠DBE，
∴∠AEB＞∠D，
∴∠C＞∠D，
根据锐角三角形函数的增减性，可得，
sin∠C＞sin∠D，故①正确；
cos∠C＜cos∠D，故②错误；
tan∠C＞tan∠D，故③正确；
故选：D．
9.【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差：
解：在Rt△ACB中，AB=.
∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°.
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，∴D为半圆的中点.
∴阴影部分面积=扇形ACB面积-
故选A．
10.【分析】如图，过O作OC⊥AP于点C，连接OB，
∵OP=4，∠APO=30°，
∴OC=OP=×4=2
∵OB=3，
∴根据勾股定理，得
∴根据垂径定理，得AB=
故选A.
11.【分析】根据前面的几个定义都是点到图形的最小的距离，因而点P到⊙O的距离是线段PA的长度．
解：由图可知：点P到⊙O的距离是线段PA的长度．
故选B．
12. 【分析】根据⊙O的直径可得出半径OB的长，也就求出OP的长；连接OC，在Rt△OCP中，运用勾股定理可求出CP的长，进而可依据垂径定理求得CD的长．
解：连接OC；
∵AB=10cm，∴OB=5cm；
∵OP：OB=3：5，∴OP=3cm；
Rt△OCP中，OC=OB=5cm，OP=3cm；
由勾股定理，得：；
所以CD=2PC=8cm，
故选C．
二.填空题
13. 【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED= CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，最后由BE=OB﹣OE，即可求出BE的长度．本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED的长度．
解：如图，连接OC．
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∴CE=ED= CD=3．
∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，
∴OE= = ，
∴BE=OB﹣OE=4﹣ ．
故答案为4﹣ ．
14. 【分析】直接利用弧长公式表示出y与x之间的关系，进而代入（a，3π）求出答案．
解：设∠ABC的度数为x，根据题意可得：
y= ﹣
将（a，3π）代入得：
3π= ，
解得：α=22.5°．
故答案为：22.5．
15. 【分析】根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可．本题主要考查了圆内接四边形的性质．解答此题时，利用了圆内接四边形的对角互补的性质来求∠BCD的补角即可．
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；
又∵∠BCD=110°，
∴∠BAD=70°．
故答案为：70．
16. 【分析】要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．
解：连接OC、OD，
∵∠BAO=∠CBO=α，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，
∵∠AOE=56°，
∴∠AOB==76°，
∴α==52°．
故答案为：52°．
17. 【分析】由P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为 的半圆后得到图形P2 ， 得到S1= π×12= π，S2= π﹣ π×（ ）2 ． 同理可得Sn﹣1= π﹣ π×（ ）2﹣ π×[（ ）2]2﹣…﹣ π×[（ ）n﹣2]2 ， Sn= π﹣ π×（ ）2﹣ π×[（ ）2]2﹣…﹣ π×[（ ）n﹣2]2﹣ π×[（ ）n﹣1]2 ， 它们的差即可得到．
解：根据题意得，n≥2．S1= π×12= π，
S2= π﹣ π×（ ）2 ，
…
Sn﹣1= π﹣ π×（ ）2﹣ π×[（ ）2]2﹣…﹣ π×[（ ）n﹣2]2 ，
Sn= π﹣ π×（ ）2﹣ π×[（ ）2]2﹣…﹣ π×[（ ）n﹣2]2﹣ π×[（ ）n﹣1]2 ，
∴Sn﹣1﹣Sn= π×（ ）2n﹣2=（ ）2n﹣1π．
故答案为（ ）2n﹣1π．
18. 【分析】根据勾股定理求出OB的长，利用正方形的每一条对角线都把它分成两个全等的等腰直角三角形得出B的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，都逆时针旋转45°，边长都乘以 ，所以可得出B6的坐标.
解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB= ，B（1，1），
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1=2= ，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知OB2=2 = ，
∴B2点坐标为（-2，2），
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都逆时针旋转45°，边长都乘以 ，
∴点B6在第四象限的角平分线上，
∵OB6=（ ）7 ，
∴点B6的横坐标是 ×（ ）7=8，纵坐标是- ×（ ）7=-8，
∴点B6的坐标为（8，-8）.
三.解答题
19. 【分析】(1)通过测量，过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之和等于180°.
(2)如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间没有上面的关系，要么相对两角之和大于180°，如图2，要么两角之和小于180°如图1.总之，过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是:对角互补（对角之和等于）
解：（1）对角互补（对角之和等于）
(2)图1中，
图2中，
过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是:对角互补（对角之和等于）
21. 【分析】（1）本题可连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；
（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．
（1）证明：连接OD，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴ADO=∠E，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠E，
∴AB=BE；
（2）解：由（1）知，OD∥BE，
∴∠POD=∠B，
∴cos∠POD=cosB=，
在Rt△POD中，cos∠POD==，
∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，
∴=，
∴OA=3，
∴⊙O半径=3．
22. 【分析】（1）设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，由圆周角定理得出∠BOC=120°，再由弧长公式即可得出结果；
（2）连接BE，由三角形的内心得出∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠DEB=∠DBE，即可得出结论．
（1）解：设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，如图1所示：
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴弧BC的长度=120π×1180=23π．
（2）证明：连接BE，如图2所示：
∵E是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠DEB=∠1+∠3，∠DBE=∠4+∠5
∠5=∠2，
∴∠DEB=∠DBE，
∴DE=DB．
23. 【分析】（1）由切线长定理得①PC=PD，②∠CPO=∠DPA，由垂径定理得③CD⊥BA，④∠CEP=90°，由切割线定理得，⑤PC2=PA PB；
（2）连接OC，由切线长定理得PC=PD，∠CPO=∠DPA，再由垂径定理得DE，则求得CP，即可得OC，最后根据勾股定理得出OP的长．
（1）解：不同类型的正确结论有：
①PC=PD，②∠CPO=∠DP，③ACD⊥BA，④∠CEP=90°，⑤PC2=PA PB
（2）解：
连接OC
∵PC、PD分别切⊙O于点C、D
∴PC=PD，∠CPO=∠DPA
∴CD⊥AB
∵CD=12
∴DE=CE=12CD=6．
∵tan∠CPO=12，
∴在Rt△EPC中，PE=12
∴由勾股定理得CP=65
∵PC切⊙O于点C
∴∠OCP=90°
在Rt△OPC中，
∵tan∠CPO=12，
∴=12
∴OC=35，
∴OP=OC2+PC2=15．
24. 【分析】（1）根据切线长定理得出AB AE的长=12，进而得出k的值，设半径的长为r，再代入切线长定理解答即可；
（2）根据切线长定理，即可得出CD=CB，由勾股定理得CD的长即可．
解：（1）连接OD、DE、DB，设⊙O半径为r，
∵CD为⊙O切线，∴∠ODA=90°，
∵BE为⊙O直径，∴∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDO，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
∴AB AE=，
∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣8x+k=0的两个实数根，
∴k=12，
解方程x2﹣8x+12=0得：两个实数根为：2和6，
∴设半径的长为r，
可得半径r=×（6﹣2）=2；
（2）∵∠B=90°，
∴CB为⊙O切线，
∴CD=CB，
∴CB2+AB2=AC2 ，
∴CD2+62=（2+CD）2 ，
∴CD=2．
答：CD的长度为2．
25. 【分析】（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO=90°即可．
（2）已知两边长，求其它边的长，可以来三角形相似，对应边成比例来求．
解：（1）证明：连接OC；
∵AD平分∠EAC，
∴∠CAD=∠BAD；
又在圆中OA=OD，
∴∠AD0=∠OAD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD；
则由AE⊥DC知OC⊥DC，
即DC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠B=∠B，∠DAE=∠BDE，
∴△BDE∽△BAE，
∴ ，
∴BD2=BE·BA，
即：BD2=BE·（BE+EA），
∴122=8(8+AE)
∴AE=10.
26. 【分析】（1）连结OA、OB、OC、BD,根据切线的性质得OA⊥AB,即∠OAB=90°,再根据菱形的性质得BA=BC,然后根据“SSS”可判断△ABO≌△CBO,则∠BCO=∠BAO=90°,于是可根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）由△ABO≌△CBO得∠AOB=∠COB,则∠AOB=∠COB,由于菱形的对角线平分对角,所以点O在BD上,利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD,则∠BOC=2∠ODC,由于CB=CD,∠OBC=∠ODC,所以∠BOC=2∠OBC,根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°,然后利用∠ABC=2∠OBC计算。
解：（1）连结OA、OB、OC、BD,如图,
∵AB与⊙O切于A点,
∴OA⊥AB,即∠OAB=90°,
∵四边形ABCD为菱形,
∴BA=BC,
在△ABO和△CBO中
AB=CDOB=OBOA=OC
∴△ABO≌△CBO（SSS）,
∴∠BCO=∠BAO=90°,
∴OC⊥BC,
∴BC为⊙O的切线；
（2）∵△ABO≌△CBO,
∴∠AOB=∠COB,
∵四边形ABCD为菱形,
∴BD平分∠ABC,DA=DC,
∴点O在BD上,
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD,OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠BOC=2∠ODC,
同理：∠BOC=2∠OBC,
∵∠BOC+∠OBC=90°,
∴∠OBC=30°,
∴∠ABC=2∠OBC=60°．
27. 【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠AED=∠EDC，证出AD∧=CE∧ ， 即可得出AD=CE；
（2）作直径CF，连接EF，则∠EFC=∠EDC，证出∠EFC=∠BCE，再由CF是⊙O的直径，得出∠FEC=90°，得出∠BCF=90°，即可得出结论；
（3）证明△BCE∽△EDC，得出对应边成比例，即可得出结果．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AED=∠EDC．
∴AD=CE；
（2）解：直线BC与⊙O相切，理由如下：
如图所示：作直径CF，连接EF．
则∠EFC=∠EDC，
∵∠BCE=∠CDE，
∴∠EFC=∠BCE．
∵CF是⊙O的直径，
∴∠FEC=90°，
∴∠EFC+∠FCE=90°，
∴∠BCE+∠FCE=90°
∴∠BCF=90°．
∴OC⊥CB．
∴直线BC与⊙O相切；
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB∥CD，
由（1）得：AD=CE，
∴BC=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE．
又∵∠BCE=∠CDE，
∴△BCE∽△EDC，
∴BCDE=BECE，
∵BC=3∴CE=3，
即 36=BE3，
解得，BE=32．
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