四 柱坐标系与球坐标系简介
互动课堂
重难突破
本课时的重点与难点均为对柱坐标系、球坐标系概念的理解及简单应用.?
一、柱坐标系
1.定义:如图,建立空间直角坐标系O—xyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ,θ,z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞2.空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为
二、球坐标系
1.定义:如图,建立空间直角坐标系O—xyz，设P是空间任意一点，连结OP，记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样，空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，记作P(r,φ,θ)，其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.
2.空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为
3.球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用.在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r,φ,θ)的方位角，90°-φ称为高低角.?
可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.?
在直角坐标系中，我们需要三个长度：(x,y,z)，而在球坐标系与柱坐标系中，我们需要长度，还需要角度.它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ).?
三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.?
至此,我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等知识,可以看到坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化.不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题.??
三、在实际问题中的应用?
在球坐标系中，它的三度实际上也是我们所熟悉的，它与前面所学的球的一些基本知识是有着密切联系的.我们得熟悉这部分内容.?
1.经线与经度： 地球球面上从北极到南极的半个大圆叫做经线，规定经过英国格林威治天文台旧址的经线为0°经线.一个地方的经度是指经过当地经线的所在半平面和0°经线所在半平面之间的夹角的度数，以0°经线为基准，向东度量的为东经，向西度量的为西经.如东经30°、西经60°等.
2.纬线与纬度：与地轴（通过北极和南极的直线）垂直的平面截地球球面所得的圆叫做纬线，其中大圆叫做赤道.一个地方的纬度是指当地与球心的连线和地球赤道平面之间所成的角的度数，赤道为0°纬线,以赤道为基准，向北度量为北纬，向南度量为南纬.如北纬25°、南纬23.5°等.
活学巧用
【例1】一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区,…,十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为500 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来.
解:以圆形体育场中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系.则点A与体育场中轴线Oz的距离为504 m，极轴Ox按逆时针方向旋转,就是OA在地平面上的射影.A距地面的高度为2.8 m，因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置.
∴点A的柱坐标为(504,,2.8)?
点评:找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点的空间中的高度.
【例2】经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标.?
解:在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系,如图.由已知航天器位于经度80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.
∴点P的球坐标为(8 755 km,15°,80°).
【例3】 已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB=14,AD=6,AA1=10,以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为Ox、Oy、Oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标、球坐标、柱坐标.
解析:如图,此题是考查空间直角坐标、球坐标、柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.?
C1点的(x,y,z)分别对应着CD、BC、CC1,C1点的(ρ,θ,z)分别对应着AC、∠BAC、CC1，C1点的（r,φ,θ)分别对应着AC1、∠A1AC1、∠BAC.
解:C1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C1点的柱坐标为(,arctan,10)，C1点的球坐标为(,arccos,arctan).?
点评:应当注意,在球坐标系中,当点P在z轴上,θ不确定;点P与坐标原点O重合,φ与θ都不确定.
四 柱坐标系与球坐标系简介
1．借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法．
2．与空间直角坐标系中刻画点的位置方法相比较，体会它们的区别与联系．
1．柱坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组________(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作________，其中________________________．
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为__________
【做一做1－1】 设点P的直角坐标为(1,1,3)，则它的柱坐标是__________．
【做一做1－2】 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是________．
2．球坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角θ.这样点P的位置就可以用有序数组________表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作__________，其中______________________．
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为______________
在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r，φ，θ)的方位角，－φ称为高低角．
【做一做2】 已知点M的球坐标为(4，，)，则它的直角坐标是______，它的柱坐标是______．
答案：1．(1)(ρ，θ，z) P(ρ，θ，z) ρ≥0，0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞
(2)
【做一做1－1】 (，，3)
【做一做1－2】 以Oz轴所在直线为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱侧面
2．(1)(r，φ，θ) P(r，φ，θ) r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π
(2)
【做一做2】 (－2,2,2) (2，，2)
1．空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别
剖析：它们都是三维的坐标，球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标基础上建立的．
在直角坐标中，我们需要三个长度x，y，z，而在柱坐标与球坐标中，我们需要长度，还需要角度．它们是从长度、方向来描述一个点的位置，需要ρ，θ，z或者r，φ，θ.
空间直角坐标：设点M为空间一已知点．我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P，Q，R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x，y，z.于是空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫做点M的坐标，并依次称x，y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示)．
坐标为(x，y，z)的点M通常记为M(x，y，z)．这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系．
如果点M在yOz平面上，则x＝0；同样，zOx面上的点，y＝0；如果点M在x轴上，则y＝z＝0；如果M是原点，则x＝y＝z＝0等．
几种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同．
2．建立空间坐标系的方法
剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等．
坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．
当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系．
有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．
有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．
题型一 直角坐标与柱坐标的互化
【例1】 设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标．
分析：把直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式求出ρ，θ即可．
反思：由直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2求ρ，利用tan θ＝求θ，在求θ时，要特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．
题型二 直角坐标与球坐标的互化
【例2】 已知点M的球坐标为(2，，)，求它的直角坐标．
分析：利用变换公式求解，其中r＝，cos φ＝，tan θ＝.
反思：由直角坐标求球坐标时，可先设点M的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cosφ＝来求．需要特别注意的是在求φ和θ时，要先弄清楚点M所在的位置．
题型三 求空间一点的坐标
【例3】 一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来．
反思：找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度．
题型四 柱坐标系、球坐标系的应用
【例4】 已知点P1的球坐标是P1(2，，)，P2的柱坐标是P2(，，1)，求|P1P2|.
分析：可把两点坐标均化为空间直角坐标，再用空间两点间的距离公式求距离．
反思：柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决．
题型五 易错辨析
【例5】 设点M的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标．
错解：点M的球坐标为(，，)．
答案：【例1】 解：设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，
则有解之得ρ＝，θ＝.
因此，点M的柱坐标为(，，1)．
【例2】 解：设点M的直角坐标为(x，y，z)，则有
∴点M的直角坐标为(－1,1，－)．
【例3】 解：以圆形体育场中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m，极轴Ox按逆时针方向旋转，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.8 m，因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置．
∴点A的柱坐标为(203，，2.8)．
【例4】 解：设P1的直角坐标为P1(x1，y1，z1)，
则
∴P1的直角坐标为(，，)．
设P2的直角坐标为P2(x2，y2，z2)，
则
∴P2的直角坐标为(，，1)．
∴|P1P2|＝
＝.
【例5】 错因分析：球坐标和柱坐标与直角坐标互化的公式记忆混淆，错用公式
正解：∵r＝＝＝2，
z＝rcos φ＝，
∴cos φ＝.∴φ＝.
又∵tan θ＝＝1，∴θ＝.
∴点M的球坐标为(2，，)．
1在空间直角坐标系Oxyz中，方程x＝1表示( )．
A．点 B．直线 C．平面 D．以上都不对
2在空间球坐标系中，方程r＝2(0≤φ≤，0≤θ＜2π)表示( )．
A．圆 B．半圆 C．球面 D．半球面
3点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的球坐标为( )．
A． B．
C． D．
4空间点P的柱坐标为(6，，4)，则点P关于z轴的对称点为________．
5把下列用柱坐标表示的各点用直角坐标表示出来．
(1)(2,0，－2)；(2)(π，π，π)
6把下列用球坐标表示的各点用直角坐标表示出来．
(1)(2，)；(2)(2，)．
答案：1．C 由空间点的直角坐标的定义知，方程x＝1表示与x轴垂直且到原点的距离为1的平面．
2．D 由空间点的球坐标的定义可知，方程r＝2(0≤φ≤，0≤θ＜2π)表示半球面．
3．A 设M的球坐标为(r，φ，θ)，
则解得
4．(6，，4)
5．解：设点的直角坐标为(x，y，z)．
(1)∵(ρ，θ，z)＝(2,0，－2)，
∴
∴(2,0，－2)为所求点的直角坐标．
(2)∵(ρ，θ，z)＝(π，π，π)，
∴∴(－π，0，π)为所求点的直角坐标．
6．解：设点的直角坐标为(x，y，z)．
(1)∵(r，φ，θ)＝(2，)，
∴
∴为所求点的直角坐标．
(2)∵(r，φ，θ)＝(2，)，
∴
∴(1，－1，)为所求点的直角坐标．
四 柱坐标系与球坐标系简介
庖丁巧解牛
知识·巧学
一、柱坐标系
定义：如图1-4-1，建立空间直角坐标系O-xyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.这样，就建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ,θ,z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞图1-4-1
空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为
要点提示 柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.
二、球坐标系
定义：如图1-4-2，建立空间直角坐标系O-xyz，设P是空间任意一点，连结OP，记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样，空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间就建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系，有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，记作P(r,φ,θ)，其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.
空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为
图1-4-2
要点提示 在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r,φ,θ)的方位角，90°-φ称为高低角.
三、坐标系的建立
1.当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系;
2.有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等），则可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题;
3.有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系.
深化升华 当描述点的位置只用长度来形容不够时,要考虑用角度来表示;如果用一个角度不够,就用两个角度来表示,来分别建立适当的空间坐标系.
问题·探究
问题1 分析在柱坐标系,球坐标系和空间直角坐标系中刻画空间中点的位置的方法,探讨有何异同?
探究:它们都是三维的坐标，球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标基础上建立的.
在直角坐标中，需要三个长度：(x,y,z)，而在球坐标与柱坐标中，既需要长度，也需要角度.它们是从长度、方向来描述一个点的位置，需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ).
空间直角坐标：设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标,纵坐标和竖坐标.(如图1-4-3所示）
图1-4-3
坐标为(x,y,z)的点M通常记为M(x,y,z).这样，通过空间直角坐标系，就建立了空间的点M和有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系.
如果点M在yOz平面上，则x=0；同样，zOx面上的点，y=0；如果点M在x轴上，则y=z=0；如果M是原点，则x=y=z=0等.
几种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化,它们都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同.
典题·热题
例1如图1-4-4，请你说出点M的球坐标.
图1-4-4
思路分析：抓住球坐标定义.
解:连结OM，记|OM|=R,OM与Oz轴正向所夹的角为θ，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为φ.这样点M的位置就可以用有序数组(R,θ,φ)表示.
答案：M(R,θ,φ).
误区警示 字母与平时表示不一样,容易出错.
例2经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标.
思路分析：在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立平面极坐标系，在此基础上，取以O为端点且经过北极的射线Oz（垂直于赤道平面）为另一条极轴，如图1-4-5建立一个球坐标系.
图1-4-5
解：在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系.由已知航天器位于经度为80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.
∴点P的球坐标为(8 755,15°,80°).
深化升华 在球坐标系中，它的三度与前面所学的球的一些基本知识是有着密切的联系的.
（1）经线与经度：地球球面上从北极到南极的半个大圆叫做经线，规定经过英国格林威治天文台旧址的经线为0°经线.一个地方的经度是指经过当地经线的所在半平面和0°经线所在半平面之间的夹角的度数，以0°经线为基准，向东度量的为东经，向西度量的为西经.如东经30°,西经60°等.（2）纬线与纬度：与地轴（通过北极和南极的直线）垂直的平面截地球球面所得的圆叫做纬线，其中大圆叫做赤道.一个地方的纬度是指当地与球心的连线和地球赤道平面之间所成的角的度数，赤道为0°纬线；以赤道为基准，向北度量为北纬，向南度量为南纬.如北纬25°,南纬23.5°等.
例3已知长方体ABCD-A1B1C1D1的边长为AB=14,AD=6,AA1=10,以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为Ox、Oy、Oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标,球坐标,柱坐标.
解：如图1-4-6,此题是考查空间直角坐标,球坐标,柱坐标的概念，要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同点.
图1-4-6
C1点的(x,y,z)分别对应着CD、BC、CC1,C1点的(ρ,θ,z)分别对应着CA、∠DAC、CC1，C1点的（r,φ,θ)分别对应着AC1、∠A1AC1、∠BAC.
∴C1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C1点的柱坐标为(,arctan,10)，C1点的球坐标为(,arctan).
深化升华 另外，点B的空间直角坐标为(14,0,0)，柱坐标为(14,0,0)，球坐标为(14,,0)；点A1的空间直角坐标为(0,0,10)，柱坐标为(0,0,10)，球坐标为(10,0,0).
例4设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R,45°,70°)，点B的坐标为(R,45°,160°)，求A、B两点的球面距离.
思路分析：要求A、B两点间球面距离，要把它放到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的度数和AB的长度，就可求球面距离.
解：如图1-4-7，OB=R，由点A、B的球坐标可知∠BOO′=45°，∠AOO′=45°，这两个点都在北纬90°-45°=45°圈上，设纬度圈的圆心为O′，地球中心为O，则∠xOQ=70°，∠xOH=160°,
图1-4-7
∴∠AO′B=160°-70°=90°.
∵OB=R,O′B=O′A=R,
∴AB=R.连结AO、AB,则AO=BO=AB=R.
∴∠AOB=60°,
B=·2πR=R.
答:A、B两点间的球面距离为R.
深化升华 要先将球坐标中的三度所表示的量在图形中找到.
四 柱坐标系与球坐标系简介
课堂导学
三点剖析
一、已知直角坐标求柱坐标
【例1】 设点M的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标.
解：
由变换公式得ρ2=x2+y2=12+12=2,
∴ρ=.
又tanθ==1,
∴θ=(M在第Ⅰ卦限).
故M的柱坐标为(,,3).
温馨提示
可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.
在直角坐标系中,我们需要三个长度:(x,y,z),而在柱坐标系与球坐标系中,我们需要长度,还需要角度.它是从长度,方向来描述一个点的位置,需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ).
三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.
类题演练 1
设M的直角坐标为(1,,4),求其柱坐标.
解:由公式得ρ2=1+3=4,
∴ρ=2.
又tanθ==,
∴θ=.
∴柱坐标为(2,,4).
变式提升 1
设M的柱坐标为(2,,7),求直角坐标.
解:由公式得ρ2=x2+y2=4,
又tan==,
∴y=x.∴y2=1.∴y=1,x=.
∴直角坐标为(,1,7).
二、已知直角坐标求球坐标
【例2】 设点M的直角坐标为(1,1,),求它的球坐标.
解：由公式得r==2,
由rcosφ=z=,得
cosφ=,φ=.
又tanθ==1,θ=.
∴点M的球坐标为(2,,).
类题演练 2
设M的直角坐标为(,-1,1),求它的球坐标.
解:由公式得r==2,
由rcosφ=z得cosφ=,φ=.
又tanθ=,
∴θ=π-arctan.
∴球坐标为(2,,π-arctan).
三、用柱坐标与球坐标解决空间实际问题
【例3】 已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB=14,AD=6,AA1=10,以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB,AD,AA1分别为Ox、Oy、Oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标,球坐标,柱坐标.
解析：如图,此题是考查空间直角坐标,球坐标,柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.
C1点的(x,y,z)分别对应着CD,BC,CC1,C1点的(ρ,θ,z)分别对应着AC,∠BAC,CC1，C1点的（r,φ,θ)分别对应着AC1,∠A1AC1,∠BAC.
解:C1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C1点的柱坐标为(,arctan,10)，C1点的球坐标为(,arccos,arctan).
温馨提示
应当注意,在球坐标系中,当点P在z轴上,θ不确定;点P与坐标原点O重合,φ与θ都不确定.
类题演练 3
经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标.
解:在赤道平面上，选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系,如图.由已知航天器位于经度80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.
∴点P的球坐标为(8 755 km,15°,80°).
变式提升 2
两平行平面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan,θa),B(25,π-arctan,θb)，
求出这两个截面间的距离.
解:由已知,OA=OB=25,∠AOO1=arctan,∠BOO1=π-arctan,在△AOO1中,tan∠AOO1==.
∵OA=25,∴OO1=7.
在△BOO2中,∠BOO2=arctan,tan∠BOO2==.
∵OB=25,∴OO2=20.
则O1O2=OO1+OO2=7+20=27.
∴两个截面间的距离O1O2为27.
