一 平面直角坐标系
互动课堂
重难突破
本课时的重点是坐标法思想与坐标伸缩变换,难点是怎样建立适当的坐标系及注意问题,对坐标伸缩变换的理解与应用.?
一、坐标法思想?
1.坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法.例如在平面直角坐标系中，根据确定直线位置的几何要素，我们可以探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.在空间坐标系中，通过高次方程的计算，使人们对一些星体的轨迹运动和变化规律有所了解和掌握.
2.坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.?
坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系等.对于不同类型的几何图形，选用相应的坐标系可以使建立的方程更加简单.如要确定体育馆内一个位置，建立柱坐标系就比较适合，通过柱坐标我们可以比较精确地找到这个位置的所在地.
3.“坐标法”应贯穿解析几何教学的始终，帮助同学们不断地体会“数形结合”的思想方法.在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点.在通过代数方法研究几何对象的位置以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系.
4.平面直角坐标系是解析几何的基础,同学们应在已有知识的基础上做好自我完善,从解决问题中提高学习兴趣,激发学习的积极性和主动性,养成不断探求知识、完善自我的良好个性品质.进一步理解平面直角坐标系在对实际问题的解决中的重要作用,会用平面直角坐标系解决实际问题.
二、用数学知识和方法解决实际问题?
1.教材中从实际问题引入数学方法，逐步把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法加以解决.如：利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，此时还不能确定爆炸点的准确位置.再增设一个观测点C，利用B、C两处测得的爆炸声的时间相同，可以求出一条直线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.
2.存在的问题:把实际问题归结为数学模型是需要一定功底的，而我们普遍存在着一些问题：(1)不喜欢应用性问题中烦琐的文字叙述，不愿读下去，勉强读完也弄不清题意;(2)学过的概念、公式、方法到解题时用不上，找不到数学关系式，思路不清，容易混淆;(3)平时学习中对应用性问题接触太少，所以学习感到困难，不知如何下手，也不愿多做，导致心理上不愿学等等.?
我们应注意运用数学方法、思想、观点去观察和分析各种实际问题，从中抽象出数学知识和数学规律，建立数学模型，并运用数学知识进行正确的运算和推理.
3.要善于在普通语言中寻找数量关系，找出哪些是已知量，哪些是未知量，哪些是直接未知量，哪些是间接未知量，用数学语言把这些数量关系表示出来.
4.化实际问题为数学模型，一方面要深入分析实际问题中的空间形式和各种数量关系，另一方面在学习数学理论的过程中，要仔细体会和寻求这些理论对解决实际问题的指导作用，努力把它应用于现实世界，以解决人们迫切需要解决的实际问题.??
三、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换?
1.设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P＇(x＇,y＇),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩.因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.
3.坐标伸缩变换与我们前面学的坐标变换之间的关系.?
两者都是将平面图形进行伸缩平移的变换.实质是一样的.比如正弦曲线经过这两种变换后，所得图形的形状是没有改变的.在一定的变换规律下椭圆能够变成椭圆，也能够变成圆.只是说法上和认识上的一点不同.?
我们结合函数y=Asin(ωx+φ)的图象的形成过程(与y=Acos(ωx+φ)相类似)，看看在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况吧.
函数y=sinωx,x∈R（其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到.平面直角坐标系伸缩变换认为是一个坐标伸缩过程：保持纵坐标不变，将x轴进行压缩或伸长.?
函数y=Asinx,x∈R（其中A>0,ω≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到.平面直角坐标系伸缩变换认为是一个坐标伸缩过程：保持横坐标不变，将y轴进行压缩或伸长.?
由此看出，两者只是说法上的不同，本质上是一样的.?
另外，我们应该注意到：通过一个表达式，平面直角坐标系中坐标伸缩变换将x与y的伸缩变换统一成一个式子了,即我们在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧.P＇(x＇,y＇)是变换图形后的点的坐标，P(x,y)是变换前图形的点的坐标.
活学巧用
【例1】 究竟以什么样的方法建立平面直角坐标系，才能够使方程最为简单呢？在建立坐标系的过程中我们应该注意什么呢？ ?
探究:一般情况下我们有这样一个建立坐标系的规律：（1）当题目中有两条互相垂直的直线,以这两直线为坐标轴;（2）当题目中有对称图形，以对称图形的对称轴为坐标轴;（3）当题目中有已知长度的线段,以线段所在直线为对称轴，以端点或中点为原点.?
直角坐标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点有关的等量关系、所满足的几何条件，列出方程.在将几何条件转化为代数方程的过程中，要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用，还会用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等.?
另外，在化简过程中，我们要注意运算和变形的合理性与准确性，避免“失解”和“增解”.这一步内容中学阶段不作要求（从理论上讲则是必要的），多数情况下不会有什么问题，但若遇特殊情况则应该适当予以说明.
【例2】 (2005江苏高考) 如图,圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=PN,试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.?
解析:本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立适当坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：PM=PN，即(PM)2=2(PN)2，结合图形,由勾股定理转化为PO12-1=2(PO22-1)，设P(x，y),由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.?
解:如图,以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(-2,0),O2(2,0).
设P(x,y)，则PM 2=PO12-MO12=(x+2)2+y2-1.
同理,PN2=(x-2)2+y2-1.?
∵PM=PN，即(x+2)2+y2-1=2［(x-2)2+y2-1］，即x2-12x+y2+3=0，即(x-6)2+y2=33.
这就是动点P的轨迹方程.?
点评:这道高考题是考查解析几何中求点的轨迹方程的方法应用，考查建立坐标系、数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识点，及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目.
【例3】 (1)在同一平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.
①y2=2x;②y=3sin2x.
(2)将曲线C按伸缩变换公式变换后的曲线方程为x＇2+y＇2=1,则曲线C的方程为( )?
A.
B.
C.4x2+9y2=36
D.4x2+9y2=1
解:(1)由伸缩变换 (*)
①将(*)代入y2=2x,得(y＇)2=2·(2x＇).
∴y＇2=64x＇.
∴经过伸缩变换后抛物线y2=2x变成了抛物线y＇2=64x＇.
②将(*)代入y=3sin2x,得y＇=3sin2·(2x＇),?
∴y＇=12sin4x＇.
∴经过伸缩变换后,曲线y=3sin2x变成了曲线y＇=12sin4x＇.?
(2)将代入方程x＇2+y＇2=1,得4x2+9y2=1.?
故选D.
【例4】 在同一平面直角坐标系中，将直线x-2y=2变成直线2x＇-y＇=4，求满足图象变换的伸缩变换.
解:设变换为代入方程2x＇-y＇=4,得2λx-μy=4,与x-2y=2比较系数得λ=1,μ=4.
∴即直线x-2y=2上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的4倍可得到直线2x＇-y＇=4.?
点评:(1)求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出其变换公式，我们将新旧坐标分清，代入对应的直线方程，然后比较系数就可得了.
(2)原曲线的方程f(x,y)=0,新曲线的方程g(x＇,y＇)=0,以及坐标伸缩变换公式中,“知二可求一”.
【例5】 已知f1(x)=cosx,f2(x)=cosωx(ω>0),f2(x)的图象可以看作是把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( )?
A.
B.2
C.3
D.
解析一:f1(x)=cosx→f2(x)=cos3x.?
解析二:
将其代入y=cosx,得到y＇=cos3x＇,即f2(x)=cos3x.
答案:C
点评:本题直接考查变换规律：函数y=cosωx,x∈R（其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到.应用时谨防出错.
一 平面直角坐标系
1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用．
2．通过具体例子，了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与________________、曲线与______建立了联系，从而实现了________的结合．
(2)坐标法：根据几何对象的______，选择适当的坐标系，建立它的______，通过______研究__________及____________________．
(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的______元素，将几何问题转化成______问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．
【做一做1－1】 已知平面内三点A(2,2)，B(1,3)，C(7，x)，且满足⊥，则x的值为( )．
A．3 B．6 C．7 D．9
【做一做1－2】 设平行四边形ABCD的顶点为A(0,0)，B(0，b)，C(a，c)，则第四个顶点D的坐标是( )．
A．(a，b＋c) B．(－a，b＋c)
C．(a，c－b) D．(－a，b－c)
【做一做1－3】 已知平行四边形ABCD，求证：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)
2．平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为______伸缩变换，这就是用__________研究______变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换________________的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
【做一做2－1】 如何由正弦曲线y＝sin x经伸缩变换得到y＝sinx的图象( )．
A．将横坐标压缩为原来的，纵坐标也压缩为原来的
B．将横坐标压缩为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍
C．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍
D．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的
【做一做2－2】 将正弦曲线y＝sin x作如下变换：得到的曲线方程为( )．
A．y′＝3sinx′ B．y′＝sin 2x′
C．y′＝sin 2x′ D．y′＝3sin 2x′
答案：1．(1)坐标(有序实数对) 方程 数与形
(2)特征 方程 方程 它的性质 与其他几何图形的关系
(3)几何 代数
【做一做1－1】 C ＝(1，－1)，＝(5，x－2)，
∵⊥，∴·＝5－(x－2)＝0.
∴x＝7.
【做一做1－2】 C 设D(x，y)，由题意，＝，
即(0，b)＝(a－x，c－y)，
∴x＝a，y＝c－b.
∴顶点D的坐标为(a，c－b)．
【做一做1－3】 证明：以边AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)．
设B(a,0)，C(b，c)，则由对称性知D(b－a，c)，
∴AB2＝a2，AD2＝(b－a)2＋c2，
AC2＝b2＋c2，BD2＝(b－2a)2＋c2.
∵AC2＋BD2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，
而AB2＋AD2＝2a2＋b2＋c2－2ab，
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
2．(1)坐标 代数方法 几何
(2)φ：
【做一做2－1】 D
【做一做2－2】 D
建立平面直角坐标系的方法
剖析：一般情况下，有如下建立平面直角坐标系的方法：(1)当题目中有两条互相垂直的直线时，以这两条直线为坐标轴，建立平面直角坐标系；(2)当题目中有轴对称图形时，以轴对称图形的对称轴为坐标轴，建立平面直角坐标系；(3)当题目中有已知长度的线段时，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点，建立平面直角坐标系．在建立平面直角坐标系时，应使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上．
平面直角坐标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件．
题型一 用平面直角坐标系解决实际问题
【例1】 如图所示，A，B，C是三个观察站，A在B的正东，两地相距6 km，C在B的北偏西30°，两地相距4 km，在某一时刻，A观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s后B，C两个观察站同时发现这种信号，在以过A，B两点的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P的坐标．
分析：由题意可知，点P所在的位置满足两个条件：(1)在线段BC的垂直平分线上，(2)在以A，B为焦点的双曲线上．
反思：合理建立坐标系是我们解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，反之，将会带来计算的繁琐，结果也不明确．
题型二 平面直角坐标系下的轨迹问题
【例2】 △ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条直线移动，求△ABC外心的轨迹方程．
反思：在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上，还要注意：
(1)选择恰当的坐标系，坐标系如果选择得恰当，可使解题过程简化，减少计算量；
(2)要注意给出曲线图形的范围，在限定范围的基础上求曲线方程．如果只求出曲线的方程，而没有根据题目要求，确定出x，y的取值范围，则最后的结论是不完备的．
题型三 平面直角坐标系下的伸缩变换
【例3】 在同一平面直角坐标系下经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝1变成了什么曲线？
分析：将伸缩变换中的x，y分别用x′，y′表示，代入已知的曲线方程，即可得到所求曲线的方程，再由方程判断曲线的类型．
题型四 易错辨析
【例4】 在平面直角坐标系中，求方程x＋y＋2＝0所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
错解：直线x＋8y＋4＝0.
答案：【例1】 解：设点P的坐标为(x，y)，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．
因为|PB|＝|PC|，所以点P在BC的中垂线上．
因为kBC＝－，BC的中点D(－4，)，
所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)．①
又因为|PB|－|PA|＝4，所以点P必在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
双曲线方程为－＝1(x≥2)．②
联立①②，解得x＝8或x＝－(舍去)，
所以y＝5.
所以点P的坐标为(8,5)．
【例2】 解：以边BC所在的定直线为x轴，过A作x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系，则点A的坐标为(0，b)．
设△ABC的外心为M(x，y)．
取BC的中点N，则MN⊥BC，即MN是BC的垂直平分线．
∵|BC|＝2a，∴|BN|＝a，|MN|＝|y|.
又M是△ABC的外心，∴|MA|＝|MB|.
又|MA|＝，|MB|＝＝，
∴＝，化简，得所求的轨迹方程为x2－2by＋b2－a2＝0.
【例3】 解：∵
∴代入圆的方程x2＋y2＝1，得(x′)2＋(y′)2＝1，
∴＋＝1.
∴经过伸缩变换后，
圆x2＋y2＝1变成了椭圆＋＝1.
【例4】 错因分析：点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方程，点(x′，y′)的坐标适合变换后的曲线方程．错解混淆了(x，y)和(x′，y′)的含义．
正解：由坐标伸缩变换
得
代入x＋y＋2＝0，得2x′＋y′＋2＝0，
∴8x′＋y′＋8＝0.
∴经过伸缩变换后，直线x＋y＋2＝0变成直线8x′＋y′＋8＝0.
1点P(1，－2)关于点A(－1,1)的对称点P′的坐标为( )．
A．(3,4) B．(－3,4) C．(3，－4) D．(－3，－4)
2已知点A(－1,3)，点B(3,1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
3在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为( )．
A．25x2＋9y2＝1 B．9x2＋25y2＝1
C．25x＋9y＝1 D.＝1
4已知函数f(x)＝则f(x)的最小值为__________．
5在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．
答案：1．B
2．C 若点C在x轴上可设点C的坐标为(x,0)，由∠ACB＝90°，得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，
∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋1，解得x1＝0，x2＝2.
∴点C的坐标为(0,0)或(2,0)．
若点C在y轴上可设点C的坐标为(0，y)，由∠ACB＝90°，得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，
∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(0＋1)2＋(y－3)2＋(0－3)2＋(y－1)2，
解之得y1＝0，y2＝4.
∴点C的坐标为(0,0)或(0,4)．
故满足条件的点C的个数为3.
3．A 将伸缩变换
代入x′2＋y′2＝1，得25x2＋9y2＝1.
4．f(x)可看作是平面直角坐标系下x轴上一点(x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离之和，结合图形可得，f(x)的最小值为.
5．解：x2－36y2－8x＋12＝0可化为－9y2＝1.①
x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②
比较①②，可得即
所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0的图象．
一 平面直角坐标系
庖丁巧解牛
知识·巧学
一,平面直角坐标系
1.平面直角坐标系的建立
在生产,生活或科技中有很多问题都是可以通过坐标系来分析解决的.解决问题的过程中,有两种情况：（1）所研究的问题中已经有坐标系，此时在给定的坐标系中求出方程即可；（2）条件中无坐标系，这时必须首先选取适当坐标系，通常总是选取特殊位置的点为原点，相互垂直的直线为坐标轴等.
某地发生严重的地震灾害,各地群众纷纷捐款捐物,救灾物资分批到达.但是,有些地方因为环境很恶劣,物资不能直接送达,就派送一架飞机在1000米高的上空正对目的地以100千米/时的速度做水平飞行，那么飞机应在离目的地水平距离大约多少米处抛下救灾物资,使物资能落到目的地呢？
物资落下的路线是一条抛物线.物资下落的过程可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.当将此抛物线放到一个合适的坐标系中解决时,就会很容易得到飞机应在离目的地水平距离400米处抛下这批救灾物资.
2.求轨迹方程的一般步骤.
(1)分析曲线的特征,揭示隐含条件;
(2)找出曲线上与任意点有关的位置关系和满足的几何条件;
(3)列出方程.
方法点拨 求圆锥曲线方程的常用方法:定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等.关键是数形结合，建立等量关系.
二、平面直角坐标系中的伸缩变换
以函数y=Asin(ωx+φ)的图象的形成过程为例，研究在平面直角坐标系中伸缩变换作用下的图形的变化情况.
函数y=sinωx,x∈R（其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到.平面直角坐标系中的伸缩变换可认为是一个坐标伸缩过程,即保持纵坐标不变，将x轴进行压缩或伸长.
函数y=Asinx,x∈R（其中A>0,ω≠1）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到.平面直角坐标系中的伸缩变换可认为是一个坐标伸缩过程,即保持横坐标不变，将y轴进行压缩或伸长.
深化升华 正弦曲线经过这两种变换后，所得到图形的形状是完全相同的.平面直角坐标系中的伸缩变换只是从说法上有所不同，本质上是一样的.
应该注意到：通过一个表达式，平面直角坐标系中的坐标伸缩变换将x与y的伸缩变换统一成了一个式子,即
如果不改变坐标轴的方向和长度单位，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.设原坐标系为xOy，平移后新坐标系为x′O′y′，新坐标系的坐标原点在原坐标系中的坐标是O′(h,k)，在坐标平面内的任意一点，都有两个坐标，它们有如下平移公式在新旧坐标变换和方程变换时，可选择使用.
问题·探究
问题1 究竟以什么样的方法建立平面直角坐标系，才能够使方程最为简单呢？在建立坐标系的过程中我们应该注意什么呢？
探究:建立坐标系的规律：（1）当题目中有两条互相垂直的直线,以这两条直线为坐标轴;（2）当题目中有对称图形，以对称图形的对称轴为坐标轴;（3）当题目中有已知长度的线段,以线段所在直线为横轴，以端点或中点为原点,使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上.
直角坐标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件.
如:已知动点P与两定点A、B的距离的平方和为122，|AB|=10,求动点P的轨迹方程.要使AB在x轴上，以AB的中点为原点建立坐标系.
再如:已知线段AB的长为3，平面上一动点M到定点A的距离是到定点B距离的两倍，求动点的轨迹方程.注意到动点M运动到线段AB上时，有|AM|=2|MB|，点M恰为线段AB的一个三等分点，故考虑以这个三等分点为坐标原点建立直角坐标系.
再如:在相距1 400米的A、B两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？它是怎样建立直角坐标系的呢？以A、B两个哨所所在的直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立直角坐标系.
问题2 在伸缩变换下,椭圆能否变成圆?抛物线和双曲线能变成什么曲线?
探究:圆锥曲线之间的图象关系.在一定的伸缩变换规律下椭圆能够变成圆,而双曲线与抛物线仍然是双曲线和抛物线.
如:能把椭圆=1变为中心在原点的单位圆吗?
先经过平移变换把椭圆变为=1,再通过伸缩变换把此椭圆
变为单位圆x″2+y″2=1.上述两种变换可合成一个变换为.
按照这个道理,按照变换对于双曲线和抛物线的方程,不管进行什么样的伸缩变换（当然,把图象伸缩的无限大,或者无限小的极限位置排除在外）之后,方程特点仍然没有变,抛物线方程的二次项和一次项都没有变,双曲线的两个二次项仍然是二次项,这两个二次项之间的减号也没有变;从另外一个角度来说,把它们的图象进行压缩时,图象特点是没有变的,压缩后的图象仍然是抛物线型和双曲线型的,所以它们的图象是没有变化的,仍然是双曲线和抛物线.
典题·热题
例1如图1-1-2，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=PN,试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
图1-1-2
思路分析：本题利用数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识点，及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目.由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式PM=PN，即(PM)2=2(PN)2，结合图形由勾股定理转化为PO12-1=2(PO22-1)，设P(x，y),由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.
图1-1-3
解：如图1-1-3，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(-2,0),O2(2,0).
设P(x,y)，则PM2=PO12-MO12=(x+2)2+y2-1.
同理,PN2=(x-2)2+y2-1.
∵PM=PN，∴(x+2)2+y2-1=2［(x-2)2+y2-1］，
即x2-12x+y2+3=0，即(x-6)2+y2=33,这就是动点P的轨迹方程.
深化升华 在求轨迹方程时,首先能够建立一个适当的坐标系.同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式.选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式.
例2设有半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇.设A、B两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇？
思路分析：因为A、B两人速度一定，其速度比为3∶1，可以先把其速度设出来.在这个问题中的关键是：路程之间的关系满足勾股定理，根据它可以建立一个关系式.
解：如图1-1-4建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/时，v千米/时，再设出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇,
图1-1-4
则P、Q两点坐标为(3vx0,0)，(0,vx0+vy0).由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,知(3vx0)2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2，即(x0+y0)(5x0-4y0)=0.
∵x0+y0>0,∴5x0=4y0①.将①代入kPQ=，得kPQ=.
又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两人相遇的位置.
设直线y=x+b与圆O:x2+y2=9相切，则有=3.∴b=.
答：A、B两人的相遇点在离村中心正北千米处.
方法归纳 在实际问题中能够根据已知条件合理地建立坐标系是个很关键的问题.本题当中,注意到村落为圆形，且A、B两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动，于是可设想以村落的中心为圆点，以开始时A、B的前进方向为x、y轴，建立直角坐标系.
例3已知f1(x)=cosx,f2(x)=cosωx(ω>0),f2(x)的图象可以看作是把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( )
A. B.2 C.3 D.
思路解析：函数y=cosωx,x∈R（其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到.
答案：C
误区警示 规律容易记错，认为函数y=cosωx,x∈R（其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标伸长（当ω>1时）或缩短（当0<ω<1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到,这是错误的认识.
例4在同一平面直角坐标系中，将直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4，求满足图象变换的伸缩变换.
思路分析：设变换为可将其代入第二个方程，得2λx-μy=4.与x-2y=2比较，将其变成2x-4y=4，比较系数得λ=1,μ=4.
解：设.直线x-2y=2图象上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′-y′=4.
拓展延伸 求满足图象变换的伸缩变换，实际上是求其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的直线方程，然后比较系数就可以了.
若将已知条件换成:将直线2x-y=4变成x′-2y′=2,如何求满足图象变换的伸缩变换呢?
解：设变换为可将其代入第二个方程，得λx-2μy=2，与2x-y=4比较，将λx-2μy=2变成2λx-4μy=4，比较系数得λ=1,μ=.
一 平面直角坐标系
课堂导学
三点剖析
一、建立平面直角坐标系解决问题
我们已经熟悉了平面直角坐标系,借此工具,讨论轨迹非常方便.请看例1.
【例1】 两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹.
解：如图.
以AB所在直线为x轴,以AB中点为原点,建立平面直角坐标系,则A(-3,0),B(3,0),设动点P(x,y),由已知得|PA|2+|PB|2=26,即x2+y2=4.
这即是点M的轨迹方程,是以AB的中点为圆心,2为半径的圆.
温馨提示
由此可见,建立适当的坐标系,一些看似困难的问题就很容易解决了.
各个击破
类题演练 1
已知A为定点,线段BC在定直线l上滑动,|BC|=4,点A到l的距离为3.求△ABC外心的轨迹方程.
解:以l为x轴,过A与l垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,则A为(0,3),设△ABC的外心为P(x,y).因为P是BC的中垂线上的点,故B,C坐标分别为(x-2,0),(x+2,0).因P在线段AB的中垂线上,故|PA|=|PB|,即
,即x2-6y+5=0.
变式提升 1
证明三角形的三条高线交于一点.
证明:如图,△ABC,则AD,BE,CO分别是△ABC的三条高,取边AB所在的直线为x轴,CO所在的直线为y轴,建立坐标系.
设BE交AD于点H(x,y),A(-a,0,),B(b,0),C(0,c),则=(x-b,y),=(x+a,y),=(-b,c), =(a,c).
∵⊥·=0,
即a(x-b)+cy=0,①
∵⊥·=0,
故(-b)(x+a)+cy=0,②
①-②得(a+b)x=0.
∵a+b≠0,∴x=0.
∴H在AB的高线上,即△ABC三条高线交于一点.
二、坐标变换问题
【例2】 在同一平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.
①y2=2x;②y=3sin2x.
解:由伸缩变换得y′.(*)
①将(*)代入y2=2x,得(y′)2=2·(2x′).
∴y′2=64x′.
∴经过伸缩变换后抛物线y2=2x变成了抛物线y′2=64x′.
②将(*)代入y=3sin2x,得y′=3sin2·(2x′),
∴y′=12sin4x′.
∴经过伸缩变换后,曲线y=3sin2x变成了曲线y′=12sin4x′.
类题演练 2
将曲线C按伸缩变换公式变换后的曲线方程为x′2+y′2=1,则曲线C的方程为( )
A.=1 B.=1
C.4x2+9y2=36 D.4x2+9y2=1
解析:将代入方程x′2+y′2=1,得4x2+9y2=1.故选D.
答案:D
变式提升 2
已知f1(x)=cosx,f2(x)=cosωx(ω>0),f2(x)的图象可以看作是把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)而得到的,则ω为( )
A. B.2 C.3 D.
解析:f1(x)=cosx→f2(x)=cos3x.
∴ω=3,选C.
答案:C
三、利用直角坐标系解决应用题
【例3】 某河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽8 m,一木船宽4 m,高2 m,载货后木船露在水面上的部分高为 m,问水面涨到与抛物线拱顶相距多少米时,木船开始不能通航?
解：以水平面与拱的截面的交线为x轴,以该交线的中点为原点建立平面直角坐标系,如图.
由题意,点A(-4,0),B(4,0),C(0,5).
则可设抛物线为y=ax2+c.
∴把A,C代入得16a+c=0且c=5.
∴a=.∴y=x2+5.
当船沿拱的中心方向通过时,D为(-2,0),代入得
y=·4+5=,
即拱到水平面的高为 m.
又船高2 m,∴水面上涨的余地为-2=,若保证船通过,则水平面涨到与拱顶相距 m时,船开始不能通航,其中=5-.
类题演练 3
某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线表示.
(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t).
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102千克,时间单位：天）
解:(1)由题图(1)可得市场售价与时间的函数关系为
f(t)=
由题图(2)可得种植成本与时间的函数关系为
g(t)=(t-150)2+100,0≤t≤300.
(2)设t时刻的纯收益为h(t),则由题意得h(t)=f(t)-g(t),
即h(t)=,
当0≤t≤200时,配方整理得h(t)=(t-50)2+100,
所以当t=50时,h(t)取得区间［0,200］上的最大值100;
当200 所以当t=300时,h(t)取得区间（200,300］上的最大值87.5.
综上,由100>87.5可知,h(t)在区间［0,300］上可以取得最大值100,此时t=50,即从2月1日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.
一 平面直角坐标系
课堂探究
探究一 用平面直角坐标系解决实际问题
解决此类问题的关键是：如何建立平面直角坐标系，将几何位置量化，通过有关距离的知识求解．另外，我们还要注意数形结合的思想方法的应用．
【例题1】已知B村庄位于A村庄的正西方向1 km处，原计划在经过B村庄且沿着北偏东60°的方向上埋设一条地下管线l，但在A村庄的西北方向400 m处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100 m范围划为禁区．试问，埋设地下管线l的计划需要修改吗？
思路分析：解决这一问题的关键，在于确定遗址W与地下管线l的相对位置，如图以A为坐标原点，正东方向和正北方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系，只要求出点W到直线l的距离，则问题即可解决．
解：以A为坐标原点，正东方向和正北方向分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(－1 000,0)．由W位于A的西北方向及|AW|＝400，得W(－200，200)．
由直线l过点B且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线l的方程是x－y＋1 000＝0.
于是，点W到直线l的距离为
d＝
＝
＝500－100(＋)≈114＞100，
所以埋设地下管线l的计划不需要修改．
点评 合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，反之，将会带来计算的繁琐，结果也不明确．
探究二 平面直角坐标系下的轨迹问题
在解决能够判断曲线类型的问题时，待定系数法是求其标准方程的最佳选择；而不能判断其曲线类型时，则需要找准相等关系解决．
【例题2】如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．
思路分析：由曲线C上的点M满足的条件可以判断出曲线的类型是双曲线，从而可以用待定系数法来求其方程．
解：以O为坐标原点，AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系(坐标系略)，
则A(－2,0)，B(2,0)，D(0,2)，P(，1)，
依题意得
||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－＝(＋)－(－)＝2＜|AB|＝4.
所以曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的双曲线．
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c＝2,2a＝2，所以a2＝2，b2＝c2－a2＝2.
故曲线C的方程为－＝1.
探究三 平面直角坐标系下的伸缩变换
求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可求解．
【例题3】在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．
思路分析：设出伸缩变换，代入2x′－y′＝4中，与x－2y＝2比较．
解：设满足条件的伸缩变换为将其代入第二个方程，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4.
所以
直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍即可得到直线2x′－y′＝4.
探究四 易错辨析
易错点：混淆原曲线上的点和所求曲线的点
【例题4】在平面直角坐标系中，求方程x＋y＋2＝0所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
错解：直线x＋8y＋4＝0.
错因分析：点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方程，点(x′，y′)的坐标适合变换后的曲线方程．错解混淆了(x，y)和(x′，y′)的含义．
正解：由坐标伸缩变换得
代入x＋y＋2＝0，得2x′＋y′＋2＝0，
所以8x′＋y′＋8＝0.
故经过伸缩变换后，直线x＋y＋2＝0变成直线8x′＋y′＋8＝0.
一 平面直角坐标系
预习导航
课程目标
学习脉络
1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用；
2．通过具体例子，了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：通过直角坐标系，平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．
(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．
(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
思考1 在求曲线方程时，建立不同的平面直角坐标系，计算的繁简程度也有所不同，甚至相差比较大，你认为建立平面直角坐标系时有哪些技巧？
提示：(1)当题目中有两条互相垂直的直线时，一般以这两条直线为坐标轴，建立平面直角坐标系；(2)当题目中有对称图形时，一般以对称图形的对称轴为坐标轴，建立平面直角坐标系；(3)当题目中有长度已知的线段时，以线段所在的直线为x轴，以其端点或中点为原点，建立平面直角坐标系．在建立平面直角坐标系时，应使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
2．平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
思考2 你对伸缩变换是怎样理解的？
提示：设P(x，y)是变换前图形f(x，y)＝0上的点的坐标，P′(x′，y′)是变换后与点P对应的点的坐标．在伸缩变换下，若已知点P的坐标(x，y)，则变换后它所对应点P′的坐标为(λx，μy)；反之，若已知点P′的坐标为(x′，y′)，则与它对应的点P的坐标为.
