二 极坐标系
互动课堂
重难突破
一、极坐标的概念?
1.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，我们经常用距离和方向来表示一点的位置.用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标.
2.如图,极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标.把定义弄清楚，我们就会用极坐标确定点的位置.?
特别注意:(1)①极点,②极轴,③长度单位,④角度单位和它的正方向构成了极坐标系的四要素,缺一不可.?
(2)特别地,当M在极点时,它的极坐标ρ=0,θ可以取任意值.极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).?
(3)一般地,不作特殊说明时,ρ≥0,θ可取任意实数.
3.建立极坐标系后,给定ρ(ρ≥0)和θ,就可以在平面内唯一确定点M.确定的方法是:?
(1)由θ定射线.根据θ角确定点M所在的射线OM;?
(2)由ρ取点.在射线OM上取|OM|=ρ,点M的位置即可确定.
4.给定平面内任意一点M,也可以找到它的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0).?
特别注意:(1)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.?
(2)如果规定ρ≥0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.
5.为完整起见,现作一补充:若ρ<0,则-ρ>0,我们规定点M(ρ,θ)与点P(-ρ,θ)关于极点对称.点M(ρ,θ)(ρ<0)的位置的确定方法是:
(1)由θ定射线.先找出θ角的终边所在的射线,确定其反向延长线OM.?
(2)由ρ取点.在射线OM上取|OM|=-ρ,点M的位置即可确定,如图.?
进一步可以得出,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)(-ρ,θ+π+2kπ)(k∈Z)表示同一点.应当指出,若ρ<0,应有说明;否则,可认为ρ≥0.
二、极坐标和直角坐标的互化?
平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标表示.我们要理解极坐标的概念,会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化,利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.
1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.
2.极坐标与直角坐标的互化公式:?
x=ρcosθ,y=ρsinθ.
ρ2=x2+y2,tanθ=(x≠0).
3.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等,还经常用到同乘以(或除以)ρ等技巧.
4.由直角坐标化成极坐标时,要注意点所在象限,从而确定极角θ.?
试一试：
(1)已知点A的极坐标(-4,),求它的直角坐标；
(2)已知点B、C、D的直角坐标为(2,-2),(0,-15),(-12,5),求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).
解：(1)点A的直角坐标为(-2,2).?
(2)∵ρ=?
tanθ==-1,且点位于第四象限,(注意!)
∴θ=,点B的极坐标为(2,).?
又∵x=0,y<0,ρ=15,∴点C的极坐标为(15,).?
对于D(-12,5),ρ=13,tanθ=-.
∵D在第二象限内,∴θ=π-arctan.?
∴D点坐标为(13,π-arctan).
活学巧用
【例1】 已知两点的极坐标A(3,)、B(3,)，则|AB|=________，AB与极轴正方向所成的角为________.
解析:如图,根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=60°，即△AOB为正三角形.?
答案:3
点评:在极坐标系中,点P1(ρ1,θ1)、P2(ρ2,θ2)(ρ1、ρ2>0),则P1P2两点距离|P1P2|=请同学们推导一下.
【例2】在极坐标系中，若等边△ABC的两个顶点是A(2,)、B(2,),那么顶点C的坐标可能是( )
A.(4,)
B.(2,)
C.(2,π)
D.(3,π)
解析:如图,由题设可知A、B两点关于极点O对称，即O是AB的中点.?
又|AB|=4，△ABC为正三角形，|OC|=2，∠AOC=，C对应的极角θ=+=或θ=-=-，即C点极坐标为(23,)或(2,-).
答案:B
点评:在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的方法是一致的，数形结合.
【例3】在极坐标系中与点A(3,-)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )
A.(3,)
B.(3,)
C.(3,)
D.(3,)
解析:极坐标中的点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标为(ρ,2kπ-θ)(k∈Z),利用这一规律即可.
答案:B
点评:一般地,在极坐标系中点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标为(ρ,2kπ-θ)(k∈Z);点(ρ,θ)关于极点对称的点的极坐标为(ρ,2kπ+π+θ)(k∈Z);点(ρ,θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ,2kπ+π-θ)(k∈Z).
【例4】(1)θ=的直角坐标方程是________；?
(2)极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是________.?
解析:(1)根据极坐标的定义，∵tanθ=，∴tan=，即y=-x(x≤0).
(2)将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断曲线的形状，因为给定的ρ不恒等于零，用ρ同乘方程的两边得ρ2=ρsinθ+2ρcosθ.
化成直角坐标方程为x2+y2=y+2x,即(x-1)2+(y-)2=，这是以点(1,)为圆心，半径为的圆.
答案:(1)y=-x(x≤0) (2)以点(1,)为圆心，半径为的圆
点评:当极坐标方程中含有sinθ、cosθ时,可将方程两边同乘以ρ,凑成含有ρsinθ、ρcosθ的项，然后再代入互化公式便可化为直角坐标方程，此法是常用技巧.
【例5】 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.
(1)y2=4x;(2)y2+x2-2x-1=0;(3)θ=;(4)ρcos2=1;(5)ρ2cos2θ=4;(6)ρ=.
解:(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2=4x,得(ρsinθ)2=4ρcosθ,
化简得ρsin2θ=4cosθ.
(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2+x2-2x-1=0,得(ρsinθ)2+(ρcosθ)2-2ρcosθ-1=0,?
化简得ρ2-2ρcosθ-1=0.?
(3)tanθ=,∴tan==,化简得y=x(x≥0).
(4)∵ρcos2 =1,?
∴ρ=1,即ρ+ρcosθ=2.?
∴+x=2,化简得y2=-4(x-1).?
(5)∵ρ2cos2θ=4,∴ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即x2-y2=4.?
(6)∵ρ=,
∴2ρ-ρcosθ=1.
∴2,化简得3x2+4y2-2x-1=0.
点评:在进行两种坐标间的互化时,我们要注意:
(1)互化公式是有三个前提条件的,极点与直角坐标系的原点重合;极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合;两种坐标系的单位长度相同.?
(2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值.
(3)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简.
(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在,是等价变形,否则,不是等价变形.
二 极坐标系
1．理解极坐标系的概念．
2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．
3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化．
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做________；自极点O引一条射线Ox，叫做______；再选定一个__________、一个角度单位(通常取弧度)及其________(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示______，用θ表示________，ρ叫做点M的______，θ叫做点M的______，有序数对________就叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
(1)极点的极坐标：
极点的极径ρ＝0，极角θ可以是任何实数．所以极点的极坐标为(0，θ)(θ∈R)，也就是说极点有无数个极坐标．
(2)点的极坐标的多样性：
平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点的无数个极坐标，可分为两类：一类为(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)；另一类为(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．
【做一做1－1】 关于极坐标系的下列叙述：
①极轴是一条射线；
②极点的极坐标是(0,0)；
③点(0,0)表示极点；
④点M(4，)与点N(4，)表示同一个点；
⑤动点M(5，θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心，以5为半径的圆．
其中，叙述正确的序号是________．
【做一做1－2】 若ρ1＋ρ2＝0(ρ1≠0，ρ2≠0)，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是( )．
A．关于极轴所在的直线对称 B．关于极点对称
C．关于过极点垂直于极轴的直线对称 D．两点重合
2．极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件：①极坐标系中的______与直角坐标系中的______重合；②极轴与____________重合；③两种坐标系取相同的__________．
(2)互化公式
①直角坐标化为极坐标__________
②极坐标化为直角坐标____________
(1)极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常用到同乘(或除以)ρ等技巧．
(2)通常情况下，由tan θ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．在这里要注意：当x≠0时，角θ才能由tan θ＝按上述方法确定．当x＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：①当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；②当x＝0，y＞0时，可取θ＝；③当x＝0，y＜0时，可取θ＝.
【做一做2－1】 点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可以是( )．
A．(2，) B．(2，) C．(2，) D．(2，)
【做一做2－2】 将极坐标(2，)化为直角坐标为( )．
A．(0,2) B．(0，－2)
C．(2,0) D．(－2,0)
答案：1．(1)极点 极轴 长度单位 正方向
(2)|OM| 角xOM 极径 极角 (ρ，θ)
【做一做1－1】 ①③⑤ 设极点为O，极轴就是射线Ox，①正确；极点O的极径ρ＝0，极角θ是任意实数，极点的极坐标应为(0，θ)，②错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定惟一的一点，即极点，③正确；点M与点N的极角分别是θ1＝，θ2＝，二者的终边互为反向延长线，④错误；由于动点M(5，θ)(θ∈R)的极径ρ＝5，极角是任意角，故点M的轨迹是以极点O为圆心，以5为半径的圆，⑤正确．
【做一做1－2】 A
2．(1)极点 原点 x轴的正半轴 长度单位
(2)① ②
【做一做2－1】 B
【做一做2－2】 B
极坐标和直角坐标的相同点和不同点
剖析：极坐标系是用距离和角度来表示平面上点的位置的坐标系，它由极点O与极轴Ox组成．对于平面内任意一点P，若|OP|＝ρ(ρ≥0)，以Ox为始边，OP为终边的角为θ，则点P可用有序数对(ρ，θ)表示．直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的，首先定义原点，接着用两条互相垂直的直线分别构成x轴和y轴，点的坐标用有序数对(x，y)来表示．
在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x，y)是一一对应的，但在极坐标系内，显然一个有序数对(ρ，θ)只能与一个点对应，但一个点P却可以与无数多个有序数对(ρ，θ)对应，也就是说平面上一点的极坐标是不惟一的，极坐标系中的点与有序数对(ρ，θ)不是一一对应的．
题型一 由点的位置确定极坐标
【例1】 写出图中各点的极坐标，其中θ∈[0,2π)．
分析：欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值．
反思：(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了．
(2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．
题型二 对称问题
【例2】 点M的极坐标是(－2，－)，它关于直线θ＝的对称点的极坐标是( )．
A．(2，) B．(－2，)
C．(2，－) D．(－2，－)
反思：极坐标系中的(ρ，θ)关于极轴所在的直线的对称点的极坐标为(ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．
题型三 极坐标与直角坐标的互化
【例3】 (1)将下列各点的极坐标化为直角坐标：
①(，)； ②(6，－)；③(5，π)．
(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
①(，3)；②(－1，－1)；③(－3,0)．
答案：【例1】 解：由点A在极坐标系中的位置知，它的极径为4，极角为0，所以它的极坐标为A(4,0)，同理，得B(2，)，C(3，)，D(1，)，E(4，π)，F(6，)，G(5，)，而极点O的坐标为(0，θ)，θ∈[0,2π)．
【例2】 B 当ρ＜0时，我们找它的极角应在反向延长线上去找．如图描点(－2，－)时，先找到角－的终边，又因为ρ＝－2＜0，所以再在反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点(－2，－)．
直线θ＝，就是极角为的那些点的集合．故M(－2，－)关于直线θ＝的对称点为M′(2，)，但是选项没有这样的坐标．又因为M′(2，)的坐标还可以写成M′(－2，)，故选B.
【例3】 解：(1)①x＝·cos＝1，
y＝·sin＝1，
所以点(，)的直角坐标为(1,1)．
②x＝6·cos(－)＝3，
y＝6·sin(－)＝－3.
所以点(，－)的直角坐标为(3，－3)．
③x＝5·cos π＝－5，
y＝5·sin π＝0，
所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．
(2)①ρ＝＝2，tan θ＝＝.
又因为点在第一象限，所以θ＝.
所以点(，3)的极坐标为(2，)．
②ρ＝＝，
tan θ＝1.
又因为点在第三象限，所以θ＝.
所以点(－1，－1)的极坐标为(，)．
③ρ＝＝3，
极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．
1下列各点中与极坐标(5，)表示同一个点的是( )．
A．(5，) B．(5，)
C．(5，) D．(5，)
2在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．若点P的直角坐标与其极坐标在数值上相同，则点P在( )．
A．x轴上 B ．y轴上
C．射线Ox上 D．射线Oy上
3在极坐标系中，已知A(2，)，B(6，)，则OA，OB的夹角为( )．
A. B．0 C. D.
4点M(6，)到极轴所在直线的距离为________．
5已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M(3，)，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________．
6(1)已知点的极坐标分别为A(3，)，B(2，)，C(，π)，D(－4，)，求它们的直角坐标．
(2)已知点的直角坐标分别为A(3，)，B(0，)，C(－2，)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
答案：1．B 2.C
3．C 如图所示，夹角为.
4．3 依题意，点M(6，)到极轴所在的直线的距离为d＝6×sin ＝3.
5．(7，)或(1，) 如图，|OM|＝3，∠xOM＝，
在直线OM上取点P，Q，
使|OP|＝7，|OQ|＝1，
显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，
|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.
点P，Q都满足条件，且∠xOP＝，∠xOQ＝.
6．解：(1)根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得A，B (－1，)，C(，0)，D(0，－4)
(2)根据ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A()，B，C(4，)．
二 极坐标系
庖丁巧解牛
知识·巧学
一、极坐标系的概念
1.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等，经常用距离和方向来表示一点的位置.用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标.
极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点.引一条射线Ox，叫做极轴.再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个极坐标系.
2.如图1-2-3，极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标.
图1-2-3
深化升华 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
1.特别规定：当M在极点时，它的极坐标ρ=0，θ可以取任意值.
2.平面上一点的极坐标是不唯一的，有无数种表示方法.坐标不唯一是由极角引起的.不同的极坐标可以写出统一表达式.
二、极坐标和直角坐标的互化
1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.
2.互化公式在进行两种坐标间的互化时,应注意以下几点:①两套公式是在三条规定下得到的;②由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定只在主值范围内求值;③由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简;④由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在是等价变形,否则,不是等价变形.
问题·探究
问题1 平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但为什么它并不是确定点的位置的唯一方法，为什么要使用极坐标?
探究:确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离这两个量，有时却是依靠距离与方位角（即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想）这两个量.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，甚至更贴近生活的如人听声音，不但有高低之分,还有方向之分.描述一个人所走的方向和路程，经常会这样说：从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到B点，再从B点向南偏西15°方向行走……描述某飞机的位置：飞行高度1 200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′……这种位置的刻画能够给人一个很直观的形象.
生活中除了应用这两种坐标系外,还应用地理坐标系，它实际上能称为真实世界的坐标系了.它能确定物体在地球上的位置.最常用的地理坐标系是经纬度坐标系，这个坐标系可以确定地球上任何一点的位置.
另外,从几何上来说,有些复杂的曲线，比如说环绕一点做旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理.在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x与y之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系ρ＝ρ0＋aθ(a≠0)，从而可以看出ρ的值是随着θ的增加（或减少）而增加 （或减少）的.
总之，使用极坐标是人们生产生活的需要.平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法.
问题2 用极坐标与直角坐标来表示点时，二者究竟有哪些相同和不同呢？
探究:极坐标系是用距离和角来表示平面上的点的位置的坐标系，它由极点O与极轴Ox组成.对于平面内任一点P，若设|OP|=ρ(≥0)，以Ox为始边，OP为终边的角为θ，则点P可用有序数对(ρ,θ)表示.直角坐标是用两个长度来度量的，直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的，首先定义原点，接着用两条互相垂直的直线分别构成x轴和y轴.点的位置用有序数对(x,y)来表示.
在平面直角坐标系内，点与有序实数对,即坐标（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对（ρ,θ）只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对（ρ，θ）对应.也就是说平面上一点的极坐标是不唯一的.极坐标系中的点与有序实数对极坐标(ρ,θ)不是一一对应的.
典题·热题
例1设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30（万千米）时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标.
思路分析：如图1-2-4所示，建立极坐标系，使极点O位于抛物线的焦点处，极轴Ox过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：
图1-2-4
（1）当θ=30°时,ρ=30（万千米）;
（2）当θ=150°时,ρ=30（万千米）;
(3)当θ=210°时,ρ=30(万千米);
(4)当θ=330°时,ρ=30(万千米).
解：彗星此时的极坐标有四种情形：(30,30°),(30,150°),(30,210°),(30,330°).
误区警示 彗星此时的极坐标是四个，不能忽略了夹角的概念.如果只找到了一个极坐标，这是三角概念不清.
例2极坐标与直角坐标的互化：
（1）化点M的直角坐标（-3，4）为极坐标；
（2）化点M的极坐标（-2，）为直角坐标.
思路分析：本题利用直角坐标与极坐标之间的互化公式，化极坐标时，需要找到点所对应的极径,极角；将极坐标化为直角坐标，直接根据公式可得到横,纵坐标.
解：（1）∵ρ==5，tanθ=,
又∵x<0,y>0，
∴θ是第二象限角.
∴θ=π-arctan.
∴点M的极坐标为（5，π-arctan）.
（2）x=2cos()=，y=-2sin()=1，
∴点M的直角坐标为（，1）.
深化升华 （1）化点的直角坐标为极坐标时，一般取ρ≥0,0≤θ<2π，即θ取最小正角,由tanθ=求θ时，还需结合点(x,y)所在的象限来确定θ的值.
（2）化点的极坐标为直角坐标时，直接用互化公式
例3在极坐标系中，A(4,),B(1,),则△OAB的面积是__________.
思路解析：
如图1-2-5所示,∠AOB=-=，
图1-2-5
S△AOB=·|AO|·|BO|·sin∠AOB=·4·1·sin=1.
答案：1
方法归纳 既然是求面积,那么就要明确所用到的面积公式不是一般的底乘高的面积公式,而是正弦定理的面积公式.
例4已知两点的极坐标A(3,)、B(3,)，则|AB|=______，AB与极轴正方向所夹的角为____.
图1-2-6
思路解析：如图1-2-6所示，根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=60°，即△AOB为正三角形.
答案：3,
方法归纳 在坐标系中找到点的位置后，利用数形结合的方法可求出距离来.
例5在极坐标中，若等边△ABC的两个顶点是A(2,)、B(2,),那么顶点C的坐标可能是( )
A.(4,) B.(,)
C.(,π) D.(3,π)
思路解析：如图1-2-7，由题设可知A、B两点关于极点O对称，即O是AB的中点.
图1-2-7
又|AB|=4，△ABC为正三角形，|OC|=，∠AOC=，C对应的极角θ=+=或θ=-=，即C点极坐标为(,)或(,).
答案：B
深化升华 在找点的极坐标时，把图形画出来，通过画图解决问题.
例6(1)θ=的直角坐标方程是______；
(2)极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是______.
思路解析：(1)根据极坐标的定义，∵tanθ=，∴tan=，即y=-x.
(2)将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断曲线的形状，因为给定的ρ不恒等于零，用ρ同乘方程的两边得ρ2=ρsinθ+2ρcosθ.化成直角坐标方程为x2+y2=y+2x,即(x-1)2+(y-)2=，这是以点(1,)为圆心，半径为的圆.
答案：(1)y=-x (2)以点(1,)为圆心，半径为的圆+++++++++++
方法归纳 当极坐标方程中含有sinθ、cosθ时，可将方程两边同乘以ρ，凑成含有ρsinθ、ρcosθ的项，然后再代入互化公式便可化为直角坐标方程，此法称为拼凑法.
二 极坐标系
课堂导学
三点剖析
一、求极坐标方程
【例1】 θ=的直角坐标方程是____________.
解：根据极坐标的定义.
tanθ==-1,
即y=-x(x≤0).
答案:y=-x(x≤0)
温馨提示
充分利用坐标互化公式.
各个击破
类题演练 1
将M(5,)化为直角坐标.
解:由x=ρcosθ=,y=ρsinθ=,
∴M为(,).
变式提升 1
极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是_________.
解:由互化公式得(x-1)2+(y-)2=.
答案:圆
二、应用公式,求距离及角
【例2】 已知两点的极坐标A(3,),B(3,),则|AB|=____________,AB与极轴正方向所成的角为____________.
解：如图.
根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=60°,即△AOB为正三角形.答案立得.
答案:3
温馨提示
在极坐标系中,点P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2)(ρ1,ρ2>0),则P1,P2两点间距离是|P1P2|=.
类题演练 2
在极坐标系中,若等边△ABC的两个顶点是A(2,),B(2,),则C的坐标可能是( )
A.(4,) B.(,)
C.(,) D.(3,π)
答案:C
变式提升 2
直线l过点A(3,),B(3,),则直线l与极轴的夹角等于___________.
解析:如图所示,先在图中找到直线与极轴的夹角,另外注意夹角是锐角.
∵|AO|=|BO|=3,∠AOB=-=,
∴∠OAB=,
∴∠ACO=π--=.
答案:
三、直角坐标方程与极坐标方程的互化
【例3】 将y2+x2-2x-1=0化为极坐标方程.
解：由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得
ρ2-2ρcosθ-1=0.
温馨提示
熟记公式:ρ2=x2+y2,
tanθ=(x≠0).
类题演练 3
将ρ=cosθ化为直角坐标方程.
解:整理,得ρ2=ρcosθ,
将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入得
x2+y2=x.
变式提升 3
将y2=4x化为极坐标方程.
解:设x=ρcosθ,y=ρsinθ,则
ρ2sin2θ=4ρcosθ.
故得ρsin2θ-4cosθ=0.
二 极坐标系
课堂探究
探究一 极坐标系中同一个点的表示
1．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了．
2．点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ＞0,0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的．
【例题1】在极坐标系中，下列各点中与不表示同一个点的是( )
A． B．
C． D．
思路分析：在极坐标系中，终边相同的角可以表示为α＝2kπ＋θ(k∈Z)．极径相等、极角的终边相同的点为同一个点．
解析：与极坐标相同的点可以表示为(k∈Z)，只有不合适．
答案：C
探究二 对称问题
极坐标系中的点(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点的极坐标为(ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．
【例题2】在极坐标系中与点A关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )．
A． B．
C． D．
解析：与A关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为(k∈Z)，只有B满足．
答案：B
探究三 极坐标与直角坐标的互化
将极坐标化为直角坐标，只需利用公式已知点的直角坐标求极坐标时，关键是确定θ的值，此时要注意点在平面直角坐标系中的位置及θ的取值范围．
【例题3】(1)已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标；
(2)已知点的直角坐标分别为A(3，－)，B，C(－2,2)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．
思路分析：直接利用直角坐标和极坐标的互化公式进行转化即可．
解：(1)根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得A，B(－1，－)，C，D(0，－4)．
(2)根据ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，
得A，B，C.
二 极坐标系
预习导航
课程目标
学习脉络
1．能说出极坐标系的概念．
2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．
3．能记住极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化.
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标系内一点的极坐标的表示：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．
一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
名师点拨 (1)极点的极坐标：
极点的极径ρ＝0，极角θ可以是任何实数．所以极点的极坐标为(0，θ)(θ∈R)，也就是说极点有无数个极坐标．
(2)点的极坐标的多样性：
平面内给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点的无数个极坐标，且它们的极径相等，极角相差2π的整数倍，即为(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)．
2．极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式
①直角坐标化为极坐标
②极坐标化为直角坐标
思考1 极坐标与直角坐标的互化，常用的方法有哪些？
提示：极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常用到同乘(或除以)ρ等技巧．
思考2 由tan θ确定角θ时，应注意哪些问题？
提示：通常情况下，由tan θ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．在这里要注意，当x≠0时，角θ才能由tan θ＝按上述方法确定．当x＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：①当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；②当x＝0，y＞0时，可取θ＝；③当x＝0，y＜0时，可取θ＝.
