三 简单曲线的极坐标方程
互动课堂
重难突破
本课时的重点、难点是求曲线的极坐标方程,要重点掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程.
一、在极坐标系中,平面曲线的极坐标方程f(ρ,θ)=0.
1.一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0称为曲线C的极坐标方程.
2.在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x、y的方程表示；同样地,在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变量的方程f(ρ,θ)=0来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程.
3.求曲线的极坐标方程的方法、步骤和求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹；将已知条件用曲线上点的极坐标ρ、θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来，就得到曲线的极坐标方程.具体如下：
(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ,θ)是曲线上任意一点；
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；
(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；
(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略.
注意:(1)在找平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系.此法称作三角形法.?
(2)在求曲线的极坐标方程时,关键是找出曲线上的点满足的几何条件,将它用坐标表示,再通过代数变换进行化简.??
二、用极坐标与直角坐标来表示点和曲线的区别.?
1.对极径ρ<0的理解.?
根据极径定义，极径是距离，当然是正的.极径是负的，等于极角增加π.负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”，比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”.而反向延长也可以说成旋转π，因此，所谓“负极径”实质是管方向的.这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”.如：直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的数一正一负，方向也表示是相反的.?
一般情况下，如果不作特殊说明，极径都指的是正的.
2.在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对(ρ,θ)对应.例如(ρ,2nπ+θ)与(-ρ,(2n+1)π+θ)(n∈Z)表示的是同一个点，所以点与极坐标(ρ,θ)不是一一对应的.
3.在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）.可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应.如θ=(ρ∈R)与θ=(ρ∈R)表示同一条直线.
4.在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线ρ=θ，设点P的一极坐标为(,)，那么点P适合方程ρ=θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标(,)就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，当且仅当点P的极坐标中是否有一对坐标ρ=θ适合曲线C的方程.
三、以下几种特殊位置的直线的极坐标方程是要掌握的.
1.过点(a,0)(a>0)且垂直于极轴的直线方程是ρcosθ=a.
2.过点(a,π)(a>0)且垂直于极轴的直线方程是ρcosθ=-a,如图(1).
3.过点(a,)(a>0)且平行于极轴的直线方程是ρsinθ=a,如图(2).
4.过点(a,)(a>0)且平行于极轴的直线方程是ρsinθ=-a,如图(3).
5.过极点倾角为α的直线方程是θ=α(ρ∈R).
(1) (2) (3)
四、以下几种特殊位置的圆的极坐标方程也需要掌握.?
1.以极点为圆心且半径为r的圆的极坐标方程ρ=r.
2.过极点且圆心坐标为(a,0)(a>0)的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ.
3.过极点且圆心坐标为(a,π)(a>0)的圆的极坐标方程为ρ=-2acosθ,如图(1).
4.过极点且圆心坐标为(a,)(a>0)的圆的极坐标方程为ρ=2asinθ,如图(2).
5.过极点且圆心坐标为(a,)(a>0)的圆的极坐标方程为ρ=-2asinθ,如图(3).?
(1) (2) (3)
活学巧用
【例1】
求：(1)过A(2,)且平行于极轴的直线方程；(2)过A(3,)且和极轴成的直线方程.
解析:(1)在直线上任意取一点M，根据已知条件想办法找到变量ρ、θ之间的关系.我们可以通过图中的直角三角形来解决，因为已知OA的长度，还知∠AOx=，还可以得到MH的长度，从而在Rt△OMH中找到变量ρ、θ之间的关系.
(2)在三角形中利用正弦定理来找到变量ρ、θ之间的关系.
解:(1)如图所示,在直线l上任意取点M(ρ,θ)，∵A(2,)，
∴|MH|=2·sin=,在Rt△OMH中,|MH|=|OM|sinθ,即ρsinθ=,
∴过A(2,)且平行于极轴的直线方程为ρsinθ=.
(2)方法一:如图所示,A(3,)，|OA|=3,∠AOB=，由已知∠MBx=，
∴∠OAB=
∴∠OAM=π-.?
又∠OMA=∠MBx-θ=-θ，在△MOA中，根据正弦定理得
∵sin=sin(＋)=，?
将sin(-θ)展开，化简上面的方程，可得ρ(sinθ+cosθ)=∴过A(3,)且和极轴成的直线方程为ρ(sinθ+cosθ)=
方法二:利用教材P15例3的结论可得ρsin(-θ)=ρsin(-)=3sin
点评:可以看到，在求曲线方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.
【例2】判断点(-)是否在曲线ρ=cos上？
解析:在极坐标系内，判断点是否在直线上与在直角坐标系内是不同的.不能只是简单地将点的坐标代入，当点的坐标代入不能满足方程时，我们还要找到这个点的其他坐标是否符合曲线方程.?
解:∵点(-)和点()是同一点，而cos=cos=,?
∴点()在曲线ρ=cos上，即点(-)在曲线ρ=cos上.
点评:我们容易根据直角坐标系的习惯,当把点的坐标代入，不满足方程时就说点不在曲线上，这是不对的.在这个问题上，两种坐标系是不相同的.在极坐标系中，尽管点(-)并不满足ρ=cos，但是据此并不能肯定这个点不在曲线上.
【例3】设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连结MA，自M作MP⊥MA交OA于P，求P点的轨迹方程.
解:以O为极点，射线OM为极轴，建立极坐标系,如图.
设定圆O的半径为r，OM=a，P(ρ,θ)是轨迹上任意一点.
∵MP⊥MA，∴|MA|2+|MP|2=|PA|2，由余弦定理可知|MA|2=a2+r2-2arcosθ，|MP|2=a2+ρ2-2aρcosθ,而|PA|=r-ρ，由此可得?
a2+r2-2arcosθ+a2+ρ2-2aρcosθ=(r-ρ)2，整理化简，得ρ=
点评:寻找一个关键三角形，使动点的极半径和极角与已知条件成为该三角形的元素，借助于三角形的边角关系建立起动点的轨迹方程，这种方法称为三角形法.若三角形为直角三角形，可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程；若三角形为一般三角形，可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程.
【例4】极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是( )?
A.2
B.2
C.1
D.
解法一:两圆圆心的极坐标分别是(,0)和(,),这两圆心的距离是.
解法二:将方程化为直角坐标方程.因为ρ不恒为零,可以用ρ分别乘方程两边,得ρ2=ρcosθ和ρ2=ρsinθ.
∴x2+y2=x和x2+y2=y.
它们的圆心分别是(,0)、(0,),圆心距是.
答案:D
点评:可以用极坐标方程与直角坐标方程互化来判断曲线的形状,求解其他问题等.但记住特殊位置的曲线的极坐标方程会给解题带来方便.
三 简单曲线的极坐标方程
1．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线，过极点或圆心在极点的圆)的方程．
2．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．
1．圆的极坐标方程
(1)曲线C的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中____________________，并且坐标________________________都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．
(1)由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．有些表示形式可能不满足方程．例如，对极坐标方程ρ＝θ，点M(，)可以表示为(，＋2π)或(，－2π)等多种形式，其中只有(，)的形式满足方程，而其他表示形式都不满足方程．
(2)今后我们遇到的极坐标方程多是ρ＝ρ(θ)的形式，即ρ为θ的一个函数．
(3)由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O对称．
(2)圆经过极点O，圆与极轴的另一个交点是A(2a,0)，圆的半径是a，圆心坐标是C(a,0)(a＞0)，则圆的极坐标方程是________________．
【做一做1－1】 极坐标方程ρ＝1表示( )．
A．直线 B．射线 C．圆 D．椭圆
【做一做1－2】 在极坐标系中，求圆心为A(8，)，半径为5的圆的方程．
2．直线的极坐标方程
直线l经过极点，极轴与直线l的夹角是α，则直线l的极坐标方程为________(ρ∈R)．
求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识、利用三角形的面积相等等来建立ρ，θ之间的关系．
【做一做2－1】 极坐标方程sin θ＝(ρ∈R)表示的曲线是( )．
A．两条相交直线 B．两条射线
C．一条直线 D．一条射线
【做一做2－2】 曲线θ＝0，θ＝(ρ≥0)和ρ＝4所围成图形的面积是__________．
【做一做2－3】 极坐标方程ρcos θ＝sin 2θ所表示的曲线是__________．
答案：1．(1)至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0 适合方程f(ρ，θ)＝0的点
(2)ρ＝2acos θ
【做一做1－1】 C
【做一做1－2】 解：在圆上任取一点P(ρ，θ)，那么，在△AOP中，|OA|＝8，|AP|＝5，∠AOP＝－θ或θ－.由余弦定理得cos ∠AOP＝，即ρ2－16ρcos (θ－)＋39＝0为所求圆的极坐标方程．
2．θ＝α
【做一做2－1】 A
【做一做2－2】
【做一做2－3】 一条直线和一个圆 ∵ρcos θ＝sin 2θ＝2sin θcos θ，
∴cos θ＝0或ρ＝2sin θ.
cos θ＝0表示一条直线(y轴)；
ρ＝2sin θ＝2cos (θ－)表示圆心为(1，)，半径为1的圆．
1．直角坐标系与极坐标系的区别
剖析：(1)在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x，y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ，θ)只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对(ρ，θ)对应．例如(ρ，2nπ＋θ)与(－ρ，(2n＋1)π＋θ)(n为整数)表示的是同一个点，所以在极坐标系内点与有序实数对(ρ，θ)不是一一对应的．
(2)在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程)．可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应，所以曲线和它的方程不是一一对应的．
(3)在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρ＝θ，设点P的一个极坐标为(，)，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标(，)就不适合方程ρ＝θ了．所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一种形式适合曲线C的方程即可．
2．求极坐标方程的步骤
剖析：求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹．将已知条件用曲线上的点的极坐标ρ，θ的关系式f(ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程，具体如下：
(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．
(3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．
(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．
3．常见的直线和圆的极坐标方程
剖析：(1)直线的极坐标方程(a＞0)．
①过极点，并且与极轴成α角的直线的极坐标方程：θ＝α(ρ∈R)；
②垂直于极轴和极点间的距离为a的直线的极坐标方程：ρcos θ＝a；
③平行于极轴和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程：ρsin θ＝a；
④不过极点，和极轴成α角，到极点距离为a的直线的极坐标方程：ρsin(α－θ)＝a.
(2)圆的极坐标方程(a＞0)．
①圆心在极点，半径为a的圆的极坐标方程：ρ＝a；
②圆心在(a,0)，半径为a的圆的极坐标方程：ρ＝2acos θ；
③圆心在(a，π)，半径为a的圆的极坐标方程：ρ＝－2acos θ；
④圆心在(a，)，半径为a的圆的极坐标方程：ρ＝2asin θ；
⑤圆心在(a，)，半径为a的圆的极坐标方程：ρ＝－2asin θ；
⑥圆心在(a，θ0)，半径为a的圆的极坐标方程：ρ＝2acos (θ－θ0)．
题型一 圆的极坐标方程
【例1】 求圆心在A(2，)，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．
反思：在求曲线的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，然后化简，最后求出ρ与θ的函数关系，即要求的极坐标方程．
题型二 直线的极坐标方程
【例2】 求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程．
分析：本题可用两种解法：
(1)可先根据题意画出草图，并设点M(ρ，θ)是直线上的任意一点，从而由等量关系建立关于ρ，θ的方程并化简，最后检验是否是所求即可；
(2)可先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方程，然后由公式化为极坐标方程即可．
反思：解法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而建立了以ρ，θ为未知数的方程；解法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过利用直角坐标向极坐标的转化公式间接得解．
题型三 直角坐标方程与极坐标方程的互化
【例3】 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：
(1)射线y＝x(x≤0)；
(2)圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)．
分析：由公式化简即可．
反思：化曲线的直角坐标方程f(x，y)＝0为极坐标方程f(ρ，θ)＝0，只要将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入到方程f(x，y)＝0中即可．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.
例如x2＋y2＝25化为极坐标方程时，有ρ＝5或ρ＝－5两种情况，由于ρ≥0，所以只取ρ＝5.事实上，这两个方程都表示以极点为圆心，以5为半径的圆．
题型四 易错辨析
【例4】 把直角坐标方程x＋y＝0化为极坐标方程．
错解：将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x＋y＝0得
ρcos θ＋ρsin θ＝0.
∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.∴tan θ＝－1.
所以极坐标方程是θ＝kπ－(k∈Z)．
答案：【例1】 解：如图，设M(ρ，θ)为圆上除O、B外的任意一点，连接OM，MB，则有OB＝4，|OM|＝ρ，∠MOB＝|θ－|，∠BMO＝，从而△BOM为直角三角形，所以有|OM|＝|OB|cos∠MOB，即ρ＝4cos(θ－)＝－4sin θ，点O(0,0)，B(4，)也适合此方程，故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.化为直角坐标方程为x2＋y2＋4y＝0.
【例2】解法一：如图，设M(ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A以外的任意一点，
则∠xAM＝，∠OAM＝，∠OMA＝－θ，
在△OAM中，由正弦定理得＝，即＝，
所以ρsin(－θ)＝，即ρ(sin cos θ－cos sin θ)＝，
化简，得ρ(cos θ－sin θ)＝1，
经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，
所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.
解法二：以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy，
直线的斜率k＝tan ＝1，
直线方程为y＝x－1，将y＝ρsin θ，x＝ρcos θ(ρ≥0)代入上式，得
ρsin θ＝ρcos θ－1，所以ρ(cos θ－sin θ)＝1.
【例3】 解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x，得ρsin θ＝ρcos θ，
∴tan θ＝，∴θ＝或θ＝.
又x≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝，
∴射线y＝x(x≤0)的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)．
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＋2ax＝0，得
ρ2cos2 θ＋ρ2sin2 θ＋2aρcos θ＝0，
即ρ(ρ＋2acos θ)＝0，∴ρ＝－2acos θ，
∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2acos θ，圆心为(－a,0)，半径为r＝|a|.
【例4】 错因分析：由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里通常约定θ只在[0,2π)范围内取值．
正解：将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x＋y＝0得
ρcos θ＋ρsin θ＝0，
∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0，∴tan θ＝－1.
∴θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)．
综上所述，直线x＋y＝0的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)或θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．
1极坐标方程cos θ＝(ρ≥0)表示的曲线是( )．
A．余弦曲线 B．两条相交直线
C．一条射线 D．两条射线
2在极坐标系中，过点P(3，)且垂直于极轴的直线方程为( )．
A．ρcos θ＝ B．ρsin θ＝
C．ρ＝cos θ D．ρ＝sin θ
3(2012广东惠州一模)在极坐标系中，点P(2，)到直线l：3ρcosθ－4ρsinθ＝3的距离为________．
4求过A(2，)且平行于极轴的直线．
5在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹．
答案：1．D ∵cos θ＝，∴θ＝＋2kπ(k∈Z)．
又∵ρ≥0，∴cos θ＝表示两条射线．
2．A 设直线与极轴的交点为A，
则|OA|＝|OP|·cos，
又设直线上任意一点M(ρ，θ)，
则|OM|·cos θ＝|OA|，即ρcos θ＝.
3．1 在相应直角坐标系中，P(0，－2)，直线l方程：3x－4y－3＝0，所以P到l的距离：d＝.
4.解：如图所示，在直线l上任意取一点M(ρ，θ)，
∵A(2，)，
∴|MH|＝2sin＝.
在Rt△OMH中，|MH|＝|OM|sin θ，
即ρsin θ＝，∴过A(2，)且平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝.
5．解：设M(ρ，θ)是所求轨迹上任意一点．连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.
由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ，得ρ0＝8cos θ0.
所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ.
故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.
它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．
三 简单曲线的极坐标方程
课堂导学
三点剖析
一、圆的极坐标方程
【例1】 写出圆心在(3,0)且过极点的圆的极坐标方程,并化为直角坐标方程.
解：由ρ=2acosθ及题意a=3,θ∈［-,］,
得ρ=6cosθ,即ρ2=6ρcosθ,
由x2+y2=ρ2,ρcosθ=x,得
x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9.
温馨提示
直角坐标方程与极坐标方程的互化,最重要的是记熟并会运用互化公式:;其次还要注意“凑”出公式的形式.
各个击破
类题演练 1
把x2+y2=x化为极坐标方程.
解:由公式得ρ2=ρcosθ,
即ρ=cosθ.
变式提升 1
从极点作圆ρ=2acosθ的弦,求弦的中点的轨迹方程.
解:设曲线上动点M的坐标为(r,φ),
则
把θ=φ和ρ=2r代入ρ=2acosθ,得
2r=2acosφ,
即r=acosφ(-≤φ≤),
即其轨迹是以(,0)为圆心,半径为的圆.
二、极坐标方程与直角坐标方程互化
【例2】 写出圆心在(2,)处且过极点的圆的极坐标方程,并把它化为直角坐标方程.
解：由ρ=2asinθ,0≤θ≤π,得
ρ=4sinθ,0≤θ≤π,
变为ρ2=4ρsinθ.
由得x2+y2=4y,
即x2+(y-2)2=4.
温馨提示
当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时,要建立圆的极坐标方程,通常把极点放置在圆心处,极轴与x轴同向,这样,圆的极坐标方程十分简单,为ρ=R.
类题演练 2
写出圆心在(-1,1)处,且过原点的圆的直角坐标方程,并化为极坐标方程.
解:圆的半径为R=,
故方程为(x+1)2+(y-1)2=2,
变为x2+y2=-2(x-y),
即ρ=2(sinθ-cosθ).
变式提升 2
画出极坐标方程(θ-)ρ+(-θ)sinθ=0的图形.
解析:若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线.
解:如图,将原方程分解因式得(θ-)(ρ-sinθ)=0,
∴θ-=0,
即θ=为一条射线,或ρ-sinθ=0为一个圆.
三、动点的轨迹问题
【例3】 从极点作圆ρ=4sinθ的弦,求各条弦的中点的轨迹方程.
解：设动点为M(r,φ),则
把θ=φ和ρ=2r代入ρ=4sinθ,得2r=4sinφ,即r=2sinφ,-≤φ≤.
其轨迹是以（2,0）为圆心,以2为半径的圆.
温馨提示
寻找一个关键三角形，使动点的极半径和极角与已知条件成为该三角形的元素，借助于三角形的边角关系建立起动点的轨迹方程，这种方法称为三角形法.若三角形为直角三角形，可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程；若三角形为一般三角形，可利用正,余弦定理建立动点的极坐标方程.如变式提升3.
类题演练 3
判断点(-,)是否在曲线ρ=cos上.
解:∵点(-,)和点(,)是同一点,而cos=cos=,
∴点(,)在曲线ρ=cos上,即点(-,)在曲线ρ=cos上.
变式提升 3
设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连结MA，自M作MP⊥MA交OA于P，求P点的轨迹方程.
解:以O为极点，射线OM为极轴，建立极坐标系,如图.
设定圆O的半径为r，OM=a，P(ρ,θ)是轨迹上任意一点.
∵MP⊥MA，∴|MA|2+|MP|2=|PA|2，由余弦定理可知|MA|2=a2+r2-2arcosθ，|MP|2=a2+ρ2-2aρcosθ,而|PA|=r-ρ，由此可得
a2+r2-2arcosθ+a2+ρ2-2aρcosθ=(r-ρ)2，整理化简，得ρ=.
三 简单曲线的极坐标方程
课堂探究
探究一 圆的极坐标方程
在求曲线的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，然后化简，最后求出ρ与θ的函数关系，即为要求的极坐标方程．
【例题1】求圆心在A，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．
思路分析：如图，在圆A上任取异于O，B外的一点M，连接OM.设M(ρ，θ)，则∠MOB＝，即可求圆A的极坐标方程．
解：如图，设M(ρ，θ)为圆上除O，B外的任意一点，连接OM，MB，
则有|OB|＝4，|OM|＝ρ，
∠MOB＝，∠BMO＝，
从而△BOM为直角三角形，
所以有|OM|＝|OB|cos∠MOB，
即ρ＝4cos＝－4sin θ.因为点O(0,0)，B也适合此方程，故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.化为直角坐标方程为x2＋y2＋4y＝0.
探究二 直线的极坐标方程
在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般方法为：在直线上任取一点M(ρ，θ)，连接OM，构造出含有OM的三角形，再利用三角形知识求|OM|，即把|OM|用θ表示，这就是我们所需求的ρ与θ的关系，即为直线的极坐标方程，也可先求出直角坐标方程，再变换为极坐标方程．
【例题2】求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程．
思路分析：本题可用两种解法：
(1)可先根据题意画出草图，并设点M(ρ，θ)是直线上的任意一点，从而由等量关系建立关于ρ，θ的方程并化简，最后检验是否是所求即可；
(2)可先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方程，然后由公式化为极坐标方程即可．
解法一：如图，设M(ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A以外的任意一点，
则∠xAM＝，∠OAM＝，∠OMA＝－θ.
在△OAM中，由正弦定理得＝，即＝，
所以ρsin＝，
即ρ＝，
化简，得ρ(cos θ－sin θ)＝1，
经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，
所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.
解法二：以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy，
直线的斜率k＝tan ＝1，
直线方程为y＝x－1，将y＝ρsin θ，x＝ρcos θ(ρ≥0)代入上式，得
ρsin θ＝ρcos θ－1，所以ρ(cos θ－sin θ)＝1.
点评 解法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而建立了以ρ，θ为未知数的方程；解法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过利用直角坐标向极坐标的转化公式间接得解．
探究三 直角坐标方程与极坐标方程的互化
将极坐标方程化为直角坐标方程的方法有：①直接利用公式；②两边同乘以ρ；③两边同时平方等．将直角坐标方程化为极坐标时，直接用公式代入化简即可．
【例题3】把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化：
(1)x2＋(y－2)2＝4；
(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；
(3)ρ＝4；
(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.
思路分析：利用公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化即可．
解：(1)∵x2＋(y－2)2＝4，∴x2＋y2＝4y，
代入x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得ρ2－4ρsin θ＝0，
即ρ＝4sin θ.
(2)∵ρ＝9(sin θ＋cos θ)，
∴ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，
∴x2＋y2＝9x＋9y，
即2＋2＝.
(3)∵ρ＝4，∴ρ2＝42，∴x2＋y2＝16.
(4)∵2ρcos θ－3ρsin θ＝5，
∴2x－3y＝5.
点评 化曲线的直角坐标方程f(x，y)＝0为极坐标方程f(ρ，θ)＝0，只要将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入到方程f(x，y)＝0中即可．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.
例如x2＋y2＝25化为极坐标方程时，有ρ＝5或ρ＝－5两种情况，由于ρ≥0，所以只取ρ＝5.事实上，这两个方程都表示以极点为圆心，5为半径的圆．
探究四 易错辨析
易错点：忽略极坐标参数θ的取值范围
【例题4】把直角坐标方程x＋y＝0化为极坐标方程．
错解：将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x＋y＝0，得
ρcos θ＋ρsin θ＝0，
∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.∴tan θ＝－1.
∴极坐标方程是θ＝kπ－(k∈Z)．
错因分析：由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里通常约定θ只在[0,2π)范围内取值．
正解：将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x＋y＝0，得
ρcos θ＋ρsin θ＝0，
∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0，∴tan θ＝－1.
∴θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)或θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．
综上所述，直线x＋y＝0的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)或θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．
三 简单曲线的极坐标方程
预习导航
课程目标
学习脉络
1．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线，过极点或圆心在极点的圆)的方程．
2．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.
1．圆的极坐标方程
(1)曲线C的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．
名师点拨 (1)平面上点的极坐标的表示形式不唯一．
(2)我们遇到的极坐标方程多是ρ＝ρ(θ)的形式，即ρ为θ的一个函数．
(3)由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于过极点且垂直于极轴的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O对称．
(2)圆经过极点O，圆心坐标是C(a,0)(a＞0)，则圆的极坐标方程是ρ＝2acos_θ.
2．直线的极坐标方程
直线l经过极点，极轴与直线l的夹角是α，则直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
名师点拨 求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识、利用三角形的面积相等等来建立ρ，θ之间的关系．
思考1 曲线与方程在直角坐标系与极坐标系中的区别是什么？
提示：(1)在平面直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程)．可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应，所以曲线和它的方程不是一一对应的．
(2)在平面直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρ＝θ，设点P的一个极坐标为，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标就不适合方程ρ＝θ了．所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一种形式适合曲线C的方程即可．
思考2 怎样求极坐标方程，步骤是什么？
提示：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．
(3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．
