一 曲线的参数方程
互动课堂
重难突破
本课的重点是曲线的参数方程的概念、圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化;难点是对参数方程的理解以及参数方程与普通方程互化的等价性.?
一、参数方程的概念?
1.曲线的参数方程的实际意义及其必要性.
在日常生活和工农业生产中，很多时候都会涉及到曲线的参数方程，比如物理学中的水平抛出的物体的运动规律，要知道所抛出的物体在下落的过程中各时刻所处的位置，显然与抛出的时间有着密切的关系；再比如发射出去的炮弹，我们常常想知道所发出去的炮弹所在的位置，同样与发射出去的时间有着紧密的联系，显然像以上两种情形自然会去考虑以时间作为参数建立相应的方程，以便准确地把握所想掌握的信息.此时用参数方程来描述运动规律，常常比用普通方程更为直接简便.有些重要但较复杂的曲线，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解.由此可见，曲线的参数方程是从实际生活中抽象出来的，并非人们的想当然，是现实生活的某个方面的反映，但又不是简单的生活再现，人们通过对曲线参数方程的研究，从而更好地利用它来为人类造福，指导工农业生产.
2.一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数 (※),并且对于t的每一个允许值,由方程组(※)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(※)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
参数是联系变数x、y的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显意义的变数.
3.曲线的参数方程的特点
曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许的取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一个点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取.一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标(x,y)都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x、y的相互关系比较明显，容易列出方程.参数的选取应根据具体条件来考虑.例如可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角、动直线的斜率、倾斜角、截距等.有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程.??
二、圆的参数方程?
1.(θ为参数),这是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程.其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时,OM0转过的角度,如图.
由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程.再例如,上图中圆的参数方程还可为x=rcosωt,?y=rsinωt(t为参数).其中参数t有明确的物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻).
2.一般地,同一条曲线,可以选取不同的变数为参数,因此得到的参数方程也可以有不同的形式.形式不同的参数方程,它们表示的曲线却可以是相同的.注意:在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围.
3.其实对于圆的参数方程的形式完全可以和同一个角的三角函数之间的关系sin2θ+cos2θ=1来类比考虑，进行换元即可得到相应圆的参数方程.即圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，可以先将该方程化为()2+()2=1，然后令于是就得到该圆的参数方程为(θ为参数).由此可见，对于圆的参数方程来说，有多种不同的表现形式，有些参数方程有时也许一下子看不出是否表示圆，这时可考虑通过消去参数转化为普通方程,从而达到目的(对于其他曲线必要时也可类似考虑).??
三、参数方程与普通方程的互化?
1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.如果知道变数x、y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么就是曲线的参数方程.
2.在数学中有时需要把曲线的参数方程转化为普通方程，而有时又需要将普通方程转化为参数方程.这都是基于对曲线的更好的研究，有时要直接建立曲线的普通方程很困难；有时要直接建立曲线的参数方程又不容易，故在数学中常常把问题进行相互转化从而把问题更好地解决.在将二者互化的过程中，要注意互化前后二者的等价性，注意其中的曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，也就是对应曲线上的点不应增加也不应减少；否则它们所表示的曲线就不是同一曲线，从而走上歧途，不能真正解决问题(注意:不是所有的参数方程都可以转化为普通方程).曲线的参数方程与相应的普通方程是同一曲线方程的两种不同表现形式.在具体问题中采用哪种方程形式能更好地研究相应的曲线的性质,就灵活地选用相应曲线的对应方程形式.
3.值得注意的是,在曲线的参数方程与普通方程的互化中，必须使x、y的取值范围保持一致，例如(1)(t为参数),通过消参数得到方程y2=-(x-1)，而事实上由x=cos2t可知0≤x≤1，而由y2=-(x-1)可知其中x≤1，显然两个范围不同，显然两个方程所表示的曲线不是同一条曲线，可以说y2=-(x-1)不是的普通方程.故在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性，即它们二者要表示同一曲线.
4.通过消去参数可以从参数方程得到普通方程,消去参数的方法主要有代入消参法、加减(或乘除)消参法、平方消参法等;还有常用到三角公式,如sin2θ+cos2θ=1等.?
例如,参数方程 (φ为参数)表示的图形是什么??
分析:由方程知,x2=9cos2φ+24sinφcosφ+16sin2φ,
y2=16cos2φ-24sinφcosφ+9sin2φ.
∴x2+y2=25.
可知图形是圆.
活学巧用
【例1】已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数,a∈R)，点M(5,4)在该曲线上.?
(1)求常数a；?
(2)求曲线C的普通方程.?
解析:
本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知点M(5,4)在该曲线上，则点M的坐标应适合曲线C的方程，从而可求得其中的待定系数，进而消去参数得到其普通方程.?
解:(1)由题意可知,有
故
∴a=1.?
(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为
由第一个方程得t=,代入第二个方程,得y=()2,即(x-1)2=4y为所求.
【例2】 已知圆x2+y2=1，点A(1，0)，△ABC内接于该圆，且∠BAC=60°，当B、C在圆上运动时，求BC的中点的轨迹方程.?
解析:本题是比较典型的使用曲线的参数方程来解决相关问题的题目，涉及到多个点的坐标，怎样比较巧妙地把相关点的坐标给表示出来，从而找到所要求的问题的解.显然借助于圆的参数方程就容易将点B、C的坐标给表示出来，进而把其中的点的坐标给表示出来；然后通过消去参数从而达到目的，之后还要注意其中的参数的取值范围.?
解:如图(1)所示，M为BC的中点，?
由∠BAC=60°，得∠BOC=2×60°=120°,(弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍)?
在△BOC中，OB=OC=1OM=.所以点M的轨迹方程为x2+y2=.?
(1) (2)
又因为x≥时，如图(2),
虽然∠BOC=120°，
但∠BAC=(360°-120°)=120°≠60°,
所以点M的轨迹方程为x2+y2=(x<),如图(2).
点评:本题主要容易忽视隐含的范围x<，忽视了这个范围则本题的解答就不严谨，并且很多资料上的答案也都没有这个范围，像这样的求轨迹的问题一定要注意这一点.
【例3】 M在圆x2+(y-r)2=r2上,O为原点,以∠MOx=φ为参数,则圆的参数方程为_________.?
解析:如图,|OM|=2rsinφ,?
∴(φ为参数).?
答案:(φ为参数)
【例4】已知实数x、y满足(x-1)2+(y-2)2=25，求x2+y2的最大值与最小值.?
解析:这样的题目可考虑数形结合，把满足(x-1)2+(y-2)2=25的x、y视为圆(x-1)2+(y-2)2=25上的动点，待求的x2+y2可视为该圆上的点与原点之间的距离的平方，结合图形易知结果或考虑利用圆的参数方程来求解.?
解:实数x、y满足(x-1)2+(y-2)2=25,可视为(x,y)是圆(x-1)2+(y-2)2=25上的点，于是可利用圆的参数方程来求解.设
代入x2+y2=(1+5cosθ)2+(2+5sinθ)2=30+(10cosθ+20sinθ)=30+10cos(θ+α),
从而可知所求代数式的最大值与最小值分别为30+10,30-10.?
点评:(1)像这样的问题,题目本身是以代数题的形式出现，而实际上在考虑相关问题时常常应该和图形联系起来，这样对于问题的解决常能事半功倍.?
(2)求最值问题,根据参数方程,利用三角变换知识求解是一常用的技巧.
【例5】圆M的方程为x2+y2-4Rxcosα-4Rysinα+3R2=0(R>0).
(1)求该圆圆心M的坐标以及圆M的半径；?
(2)当R固定，α变化时，求圆心M的轨迹，并证明此时不论α取什么值，所有的圆M都外切于一个定圆.?
解析:本题中所给的圆方程中的变数有多个，此时要结合题意分清究竟是哪个真正在变，而像这样的具体题目尤其容易犯弄不清真正的参数的错误.?
解:(1)由题意得圆M的方程为(x-2Rcosα)2+(y-2Rsinα)2=R2，
故圆心为M(2Rcosα,2Rsinα)，半径为R.?
(2)当α变化时，圆心M的轨迹方程为(其中α为参数)，两式平方相加得x2+y2=4R2，所以圆心M的轨迹是圆心在原点，半径为2R的圆.?
由于=2R=3R-R，=2R=R+R,?
所以所有的圆M都和定圆x2+y2=R2外切，和定圆x2+y2=9R2内切.?
点评:本题所给的方程中含有多个变数，看起来都可变，像这样的问题有时容易分不清楚哪个是真正的参数.在具体题目中究竟哪个是真正的参数应视题目给定的条件，从而去分清参数.
【例6】将下列参数方程化为普通方程并说明它们分别表示怎样的曲线.?
(t为参数)；
(t为参数).?
解:（1）由x=cos2t=1-sin2t=1-y2,y2=-(x-1),由x=cos2t可知,0≤x≤1.故其普通方程为y2=-(x-1)(0≤x≤1),它表示的是以点(1,0)为顶点、开口向左的一条抛物线上的一段.?
（2）将两式平方相加得x2+y2=1,由x==-1+21+t2得x≠-1,故其普通方程为x2+y2=1(x≠-1),它表示以原点为圆心、1为半径的圆（除去与x轴相交的左交点）.?
点评:本题所给的题目中所体现的方法都是常见的一些将曲线的参数方程化为普通方程的方法,对于具体的将参数方程转化为普通方程的题目要视具体题目而去选择消去参数的方法,如代入法、平方法、加减法等,有时还需多种方法并用.
一 曲线的参数方程
1．了解学习参数方程的必要性．
2．理解参数方程、普通方程的概念，通过比较参数方程和普通方程，体会两者的联系与区别．
3．掌握圆的参数方程及其参数的意义．
4．能用圆的参数方程解决一些简单问题．
5．能进行普通方程和参数方程的互化．
1．参数方程的概念
(1)在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数(*)，并且对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的________，联系变数x，y的变数t叫做______，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做________．
(2)参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有几何意义或物理意义的变数，也可以是无实际意义的变数．
(1)参数t是联系x，y的桥梁，它可以有物理意义或几何意义，也可以是没有明显实际意义的变数．
(2)参数的选取一般需注意两点：
①x，y的值可由参数惟一确定；
②参数与x，y的关系比较明显，容易列出方程．
(3)参数可根据具体条件选取，如时间、线段长度、方位角、旋转角等．
【做一做1】 与普通方程xy＝1表示相同曲线的参数方程(t为参数)是( )．
A. B. C. D.
2．圆的参数方程
(1)在时刻t，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cos ωt＝______，sin ωt＝______，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(t为参数)．其中参数t的物理意义是______．
(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为________．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O____时针旋转到____的位置时，OM0转过的角度．
给定参数方程，其中a，b是常数．
(1)如果r是常数，α是参数，那么参数方程表示的曲线是圆心为(a，b)，半径为r的圆；
(2)如果α是常数，r是参数，那么参数方程表示的曲线是过定点(a，b)，斜率为tan α(α≠kπ＋，k∈Z)的直线．
【做一做2】 直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(θ为参数)的圆心位于( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的________和________是曲线方程的不同形式．
(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使________保持一致．
【做一做3－1】 将参数方程(θ为参数)化为普通方程为__________．
【做一做3－2】 已知圆的方程为x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参数方程．
答案：1．(1)参数方程 参变数 参数 普通方程
【做一做1】 D
2．(1) 质点作匀速圆周运动的时刻
(2)(θ为参数) 逆 OM
【做一做2】 B 直线y＝ax＋b通过一、二、四象限，则a＜0，b＞0，
∴圆心(a，b)在第二象限．
3．(1)参数方程 普通方程
(2)x，y的取值范围
【做一做3－1】 (x－1)2＋y2＝4
由两式平方相加，得(x－1)2＋y2＝4.
【做一做3－2】 解：由x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，得(x＋1)2＋(y－3)2＝1.
令x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ，
所以参数方程为(θ为参数)．
1．曲线参数方程的特点
剖析：曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x，y间的间接联系．在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着参数相应的值．在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取．一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x，y)都能由参数取某一值惟一地确定出来；二是参数与x，y的相互关系比较明显，容易列出方程．参数的选取应根据具体条件来考虑，可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等．有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程．但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．
2．求曲线参数方程的步骤
剖析：第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择坐标原点的位置，以利于发现变量之间的关系．
第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数惟一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
3．参数方程与普通方程的互化
剖析：(1)参数方程化为普通方程
一般地，将参数方程中的参数消去就会得到普通方程，常采用消去法或代入法进行消参．
(2)普通方程化为参数方程
一般找出变数x，y中的一个与参数t的关系，如：x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是所求的曲线的参数方程．
(3)消参的常用方法
①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．
②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程如果t是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin2θ＋cos2θ＝1消参；如果θ是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(m＋n)2－(m－n)2＝4mn消参．
题型一 曲线的参数方程
【例1】 选取适当参数，把直线方程y＝2x＋3化为参数方程．
分析：普通方程化为参数方程的关键是选择合适的参数．
反思：选择合适的参数是将普通方程化为参数方程的关键．
题型二 圆的参数方程及应用
【例2】 如图，已知点P是圆x2＋y2＝16上的一个动点，定点A(12,0)，当点P在圆上运动时，利用参数方程求线段PA的中点M的轨迹．
反思：利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型，是圆的参数方程的主要作用之一．
题型三 参数方程与普通方程的互化
【例3】 (1)指出下列参数方程表示什么曲线．
①(t为参数)；
②(t为参数)．
(2)曲线的普通方程为＋＝1，写出它的参数方程．
反思：化普通方程为参数方程，就是要把x，y分别用参数表示出来，所以我们要分别找出参数与x，y的关系，然后表达出来即可，另外要特别注意参数的范围．
参数方程化为普通方程的关键是消去参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x＝f(t)，y＝g(t)，根据t的取值范围推导出x，y的取值范围．
题型四 易错辨析
【例4】 已知点P(x，y)满足方程x2＋y2＝1(x≥0，y≥0)，试求x＋y的最大值和最小值．
错解：令则x＋y＝cos θ＋sin θ＝sin (θ＋)∈[－，]，
∴x＋y的最大值是，最小值为－.
反思：在曲线的参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
答案：【例1】 解：选t＝x，则y＝2t＋3，
由此得直线的参数方程(t为参数)．
也可选t＝x＋1，则y＝2t＋1，参数方程为(t为参数)．
【例2】 解：设点M(x，y)，∵圆x2＋y2＝16的参数方程为(θ为参数)，
∴设点P(4cos θ，4sin θ)，由线段中点坐标公式得(θ为参数)，即点M的轨迹的参数方程为(θ为参数)，
∴点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆．
【例3】 解：(1)①(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16，
即(x－1)2＋(y＋2)2＝16，它表示以(1，－2)为圆心，半径为4的圆．
②()2＋()2＝cos2t＋sin2t＝1，即＋＝1，它表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．
(2)设＝cos θ，＝sin θ，
则(θ为参数)，即为所求的参数方程．
【例4】 错因分析：忽视了已知条件x≥0，y≥0，应对角θ的范围加以限制．
正解：设θ∈[0，]．
∴x＋y＝cos θ＋sin θ＝sin (θ＋)．
∵θ∈[0，]，
∴θ＋∈[，]．
∴sin(θ＋)∈[，1]．
∴sin(θ＋)∈[1，]．
∴x＋y的最大值是，最小值是1.
1当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )．
A．(2,3) B．(1,5) C．(0，) D．(2,0)
2将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )．
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
3将参数方程(t为参数)，化为普通方程为________．
4曲线(t为参数)与圆x2＋y2＝4的交点坐标为________．
5设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．
答案：1．D 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.
2．C 转化为普通方程为y＝x－2，x∈[2,3]，y∈[0,1]，故选C.
3．x2－y＝2(y≥2) 由x＝t＋得x2＝t2＋2，
又y＝t2＋，
∴x2＝y＋2.
∵t2＋≥2，
∴y≥2.
4．(1，) ∵sin t∈[－1,1]，
∴y∈[0,2]．
∴方程
表示的曲线是线段x＝1(0≤y≤2)．
令x＝1，由x2＋y2＝4，得y2＝3，
∵0≤y≤2，
∴y＝.
5.解：如图，在运动开始时，质点位于点A处，此时t＝0，设动点M(x，y)，对应时刻t，由图可知，又θ＝t(t以s为单位)，
∴所求的参数方程为
(t为参数，t≥0)．
一 曲线的参数方程
庖丁巧解牛
知识·巧学
一、参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即（＊）.并且对于t的每一个允许值，由方程组（＊）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组（＊）就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程来说，以前所学习过的关于x、y的直角坐标方程，叫做曲线的普通方程.
在求曲线的方程时，一般需要建立曲线上动点P（x，y）的坐标x,y之间满足的等量关系F（x，y）＝0，这样得到的方程F（x，y）＝0就是曲线的普通方程；而有时要想得到联系x,y的方程F（x，y）＝0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t，使之与曲线上动点P的坐标x,y间接地联系起来，此时可得到方程组即点P的运动通过变量t的变化进行描述.若对t的每一个值，由方程组确定的点（x，y）都在曲线C上；反之，对于曲线C上的每一个点（x，y），其中x,y都是t的函数，则把方程组叫做曲线C的参数方程，其中的t称为参数.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.
疑点突破 参数的选取应根据具体条件来考虑.但有时出于题目需要，也可以选两个或两个以上的参数，然后再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程.但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，因此参数的选取一般应尽量少.一般说来，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x,y)都不可能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x、y的相互关系比较明显，容易列出方程.
深化升华 参数法在求曲线的轨迹方程时是一种常用的甚至是简捷的解题方法.参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法，因此也可认为引入参数就是引入函数的自变量.
二、圆的参数方程
1.圆心在原点、半径为r的圆的参数方程：(θ为参数).
2.圆心为O1(a,b)，半径为r的圆的参数方程：(θ为参数).
参数θ的几何意义是：以x轴正半轴为始边，以OP为终边的角（其中O为坐标原点，P为圆上一动点）.
圆的参数方程还可以表示为x=(θ为参数).
方法归纳 有时从参数方程看不出它是否表示圆，可通过消去参数转化为普通方程判断其是否表示圆.
三、参数方程和普通方程的互化
1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法.
2.化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)〔或y=φ(t)〕，再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y=φ(t)〔或x=f(t)〕.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标（或纵坐标）.
误区警示 在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.
四、参数方程与普通方程的区别与联系
最明显的区别是其方程形式上的区别；更大的区别是普通方程反映了曲线上任一点坐标x,y的直接关系，而参数方程则反映了x,y的间接关系.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许的取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任意一个点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.
尽管参数方程与普通方程有很大的区别，但它们之间又有着密切的联系，这种联系表现在两方面：（1）这两种方程都是同一曲线的不同的代数表现形式，是同一事物的两个方面；（2）这两种方程之间可以进行互化，通过消参可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程.需要注意的是，在将两种方程互化的过程中，要注意两种方程（在表示同一曲线时）的等价性，即注意参数的取值范围对x,y的取值范围的影响.
联想发散 需注意的是，不是所有的参数方程都可以化为普通方程，有些虽然可以化为普通方程，但是普通方程非常复杂，不便于对其性质的研究，如圆的渐开线和摆线的参数方程，一般都是研究其参数方程.
问题·探究
问题1 曲线的参数方程和普通方程既有各自的优点也有各自的缺点.为了利用各自的优点，有时候需要把参数方程转化为普通方程，有时候需要把普通方程转化为参数方程.那么，如何把一个参数方程化为普通方程，把一个普通方程化为参数方程呢？在普通方程与参数方程互化的过程中，又需要注意哪些问题呢?
探究：把参数方程化为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消参法、加减消参法、恒等式（三角的或代数的）消参法；
把普通方程化为参数方程的基本思路是引入参数，是消参的逆过程，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)〔或y=φ(t)〕，再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y=φ(t)〔或x=f(t)〕.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标（或纵坐标）.
在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，如(t为参数),通过消参数得到方程y2=-(x-1)，而事实上由x=cos2t可知0≤x≤1，而由y2=-(x-1)可知其中x≤1，显然两个范围不同，即两个方程所表示的曲线就不是同一条曲线，可以说y2=-(x-1)就不是的普通方程.故在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性，即它们二者要表示同一曲线.
问题2 圆是我们最常见的曲线，利用圆的参数方程可以解决许多与圆有关的问题.那么，你能推导出圆的参数方程吗？其形式是否唯一呢？参数的意思是什么？
探究：利用换元即可得到相应圆的参数方程.例如:圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，可以先将该方程化为(=1，
然后令(其中θ为参数).于是就得到该圆的参数方程为(其中θ为参数).由此可见，对于圆的参数方程来说，也有多种不同的表现形式，有些参数方程有时也许一下子看不出是否表示圆，这时可考虑通过消去参数转化为普通方程从而达到目的(对于其他曲线必要时也可类似考虑).这里参数θ的几何意义是：以x轴正半轴为始边，以OP为终边的角（O为坐标原点，P为圆上一动点）.
典题·热题
例1已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数,a∈R)，点M(5,4)在该曲线上.
(1)求常数a；
(2)求曲线C的普通方程.
思路分析：根据曲线与方程之间的关系,可知点M(5,4)在该曲线上.由点M的坐标适合曲线C的方程，从而可求得其中的待定系数，进而消去参数得到其普通方程.
解：(1)由题意可知有
∴a=1.
(2)由已知及(1),可得曲线C的方程为.
由第一个方程,得t=.代入第二个方程,得y=()2,
∴(x-1)2=4y为所求.
深化升华 把参数方程化为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消参法、加减消参法、恒等式（三角的或代数的）消参法等，在消参过程中一定要注意其等价性.
例2已知圆x2+y2=1，点A(1，0)，△ABC内接于该圆，且∠BAC=60°，当B、C在圆上运动时，求BC的中点的轨迹方程.
思路分析：本题是比较典型的使用曲线的参数方程来解决相关问题的题目，涉及到多个点的坐标.
解：如图2-1-1所示，M为BC的中点，
由∠BAC=60°，得∠BOC=2×60°=120°(弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍).
在△BOC中，OB=OC=1,所以OM=.所以点M的轨迹方程为x2+y2=.
图2-1-1 图2-1-2
又因为x≥时，如图2-1-2.
虽然∠BOC=120°，但∠BAC=(360°-120°)=120°≠60°,
所以点M的轨迹方程为x2+y2=(x<),如图2-1-2.
误区警示 本题主要容易忽视隐含的范围x<，忽视了这个范围则本题的解答就不严谨，并且很多资料上的答案也都没有这个范围，像这样的求轨迹的问题一定要注意这一点.
例3已知实数x、y满足(x-1)2+(y-2)2=25，求x2+y2的最大值与最小值.
思路分析：这样的题目可考虑数形结合，把满足(x-1)2+(y-2)2=25的x、y视为圆(x-1)2+(y-2)2=25上的动点，待求的x2+y2可视为该圆的点与原点之间的距离的平方，结合图形易知结果或考虑利用圆的参数方程来求解.
解：实数x、y满足(x-1)2+(y-2)2=25视为圆(x-1)2+(y-2)2=25上的点，
于是可利用圆的参数方程来求解，设
代入x2+y2=(1+5cosθ)2+(2+5sinθ)2=30+(10cosθ+20sinθ)=30+105cos(θ+α),
从而可知所求代数式的最大值与最小值分别为30+105,30-105.
深化升华 本题中出现了圆的方程，像这样的问题,题目本身是以代数题的形式出现，而实际上在考虑相关问题时常常应该和图形联系起来，这样对于问题的解决常能事半功倍.
例4圆M的方程为x2+y2-4Rxcosα-4Rysinα+3R2=0(R>0).
(1)求该圆圆心M的坐标以及圆M的半径；
(2)当R固定，α变化时，求圆心M的轨迹，并证明此时不论α取什么值，所有的圆M都外切于一个定圆.
思路分析：本题中所给的圆方程中的变数有多个，此时要结合题意分清究竟哪个是真正在变，而像这样的具体题目尤其容易犯弄不清真正的参数的错误.
解：(1)由题意得圆M的方程为(x-2Rcosα)2+(y-2Rsinα)2=R2，
故圆心为M(2Rcosα,2Rsinα)，半径为R.
(2)当α变化时，圆心M的轨迹方程为(其中α为参数).两式平方相加,得x2+y2=4R2.所以圆心M的轨迹是圆心在原点，半径为2R的圆.
由于=2R=3R-R，=2R=R+R,
所以所有的圆M都和定圆x2+y2=R2外切，和定圆x2+y2=9R2内切.
一 曲线的参数方程
课堂导学
三点剖析
一、求曲线的参数方程
【例1】 设质点沿以原点为圆心,半径为2的圆作匀速(角速度)运动,角速度为 rad/s,试以时间t为参数,建立质点运动轨迹的参数方程.
解：如图,运动开始时质点位于A处,此时t=0,设动点M(x,y)对应时刻t,由图可知
又θ=t,
得参数方程为t(t≥0).
各个击破
类题演练 1
求3x+4y+7=0的参数方程.
解:令x=t,则y=(3t+7).
∴参数方程为
变式提升 1
已知(φ为参数),判断曲线类型.
解:由平方关系得=1,
即上述参数方程表示的是椭圆.
二、化参数方程为普通方程
【例2】 化为普通方程.
解：整理，得
由sin2t+cos2t=1得(x-1)2+(y+2)2=16.
温馨提示
掌握好参数的取值范围,注意所用的消元法的选择.正确的选择是解题的关键.对于正弦、余弦来说,重要的一个关系即是平方关系:sin2θ+cos2θ=1.
类题演练 2
化为普通方程.
解:由sin2t+cos2t=1得=1.
变式提升 2
设直线的参数方程为求P(-1,1)到直线的距离d.
解:整理,得x-2=
∴y-2x+5=0.
∴d=.
三、参数方程与轨迹
【例3】 已知圆x2+y2=1,点A(1,0),△ABC内接于该圆,且∠BAC=60°,当B、C在圆上运动时,求BC的中点的轨迹方程.
解：如图(1)所示,M为BC的中点,
由∠BAC=60°,得∠BOC=2×60°=120°(弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍),
在△BOC中,OB=OC=1OM=.所以点M的轨迹方程为x2+y2=.
又因为x≥时,如图(2),虽然∠BOC=120°,但∠BAC= (360°-120°)=120°≠60°,所以点M的轨迹方程为x2+y2=(x<),如图(1).
温馨提示
利用消元法,实现参数方程与普通方程互化,解决距离问题、最值问题、交点问题及类型的判断问题,一般把参数方程化为普通方程来解.
类题演练 3
一直线过点(2,1),且与向量(-1,1)平行,
(1)求参数方程;
(2)求P(-1,-2)到直线的距离d.
解:(1)直线斜率k=-1,倾斜角135°,
则(t为参数).
(2)化为x+y-3=0,
d=.
变式提升 3
已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数,a∈R),点M(5,4)在该曲线上.
(1)求常数a;
(2)求曲线C的普通方程.
解:本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知点M(5,4)在该曲线上,则点M的坐标应适合曲线C的方程,从而可求得其中的待定系数,进而消去参数得到其普通方程.
(1)由题意可知,有故∴a=1.
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为
由第一个方程得t=,代入第二个方程,得y=()2,即(x-1)2=4y为所求.
一 曲线的参数方程
课堂探究
探究一 曲线的参数方程
引入参数θ后，根据圆的中点弦的性质结合变量x，y的几何意义，用半径a及参数θ表示坐标x，y，即可得出曲线的参数方程．
【例题1】经过原点作圆x2－2ax＋y2＝0(a＞0)的弦，求这些弦的中点的轨迹的参数方程．
思路分析：根据题目的条件，选取恰当的参数，联系动点M(x，y)的坐标，进而写出曲线的参数方程．
解：如图，设OQ是经过原点的任意一条弦，OQ的中点是M(x，y)，设弦OQ和x轴的夹角为θ，取θ作为参数，已知圆的圆心是O′(a,0)，连接O′M，那么O′M⊥OQ，过点M作MM′⊥OO′，那么|OM|＝acos θ.
所以
所求轨迹的参数方程为
.
探究二 圆的参数方程及应用
利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见题型，是圆的参数方程的主要应用之一．
【例题2】点A(3,0)是圆x2＋y2＝9上的一个定点，在圆上另取两点B，C，使∠BAC＝，求△ABC重心的轨迹方程．
解：因为B，C在圆上，所以设B(3cos θ，3sin θ)，
C，0＜θ＜.
设重心为G(x，y)，
则x＝＝1＋cos，y＝＝sin，
消去θ得(x－1)2＋y2＝1.
∵0＜θ＜，＜θ＋＜，－1≤cos＜，
∴0≤x＜.
故重心G的轨迹方程是圆(x－1)2＋y2＝1中满足0≤x＜的一段圆弧．
探究三 参数方程与标准方程的互化
化普通方程为参数方程，就是要把x，y分别用参数表示出来，所以我们要分别找出参数与x，y的关系，然后表达出来即可，另外要特别注意参数的取值范围；化参数方程为普通方程只要消去相应参数即可．
【例题3】(1)指出下列参数方程表示什么曲线？
①(t为参数)；
②(t为参数)．
(2)椭圆的方程为＋＝1，写出它的参数方程．
解：(1)①(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16，
即(x－1)2＋(y＋2)2＝16，它表示以(1，－2)为圆心，半径为4的圆．
②2＋2＝cos2t＋sin2t＝1，
即＋＝1，它表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．
(2)设＝cos θ，＝sin θ，则
(θ为参数)，即为所求的参数方程．
点评 参数方程化为普通方程的关键是消去参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x＝f(t)，y＝g(t)，根据t的取值范围推导出x，y的取值范围．
探究四 易错辨析
易错点：忽视题中条件对θ角的限制
【例题4】已知点P(x，y)满足方程x2＋y2＝1(x≥0，y≥0)，试求x＋y的最大值和最小值．
错解：令
则x＋y＝cos θ＋sin θ＝sin∈[－，]，
所以x＋y的最大值为，最小值为－.
错因分析：忽视了已知条件x≥0，y≥0，应对角θ的范围加以限制．
正解：设θ∈.
所以x＋y＝cos θ＋sin θ＝sin.
因为θ∈，所以θ＋∈.
所以sin∈，即sin∈.
故x＋y的最大值是，最小值是1.
一 曲线的参数方程
预习导航
课程目标
学习脉络
1．知道参数方程、普通方程的概念，通过参数方程和普通方程的比较，体会两者的区别与联系．
2．会写圆的参数方程并了解其参数的意义．
3．能用圆的参数方程解决一些简单问题．
4．能进行普通方程和参数方程的互化.
1．参数方程的概念
(1)在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数(*)，并且对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
(2)参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有几何意义或物理意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
思考1 曲线的参数方程有什么特点？
提示：曲线的普通方程直接反映了一条曲线上的点的横坐标、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x，y间的间接联系．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值．在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取．一般来说，选取参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x，y)都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x，y的相互关系比较明显，容易列出方程．
思考2 求曲线参数方程的步骤是什么？
提示：第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．
第二步，选择适当的参数．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
2．圆的参数方程
(1)如果在时刻t，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cos ωt＝，sin ωt＝，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(t为参数)．其中参数t的物理意义是质点做匀速圆周运动的时刻．
(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时点M的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．
3．参数方程与普通方程的转化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．
(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
温馨提示 给定参数方程其中a，b是常数．
(1)如果r是常数，α是参数，那么参数方程表示的曲线是圆心为(a，b)，半径为r的圆；
(2)如果α是常数，r是参数，那么参数方程表示的曲线是过定点(a，b)，斜率为tan α的直线．
