二 圆锥曲线的参数方程
互动课堂
重难突破
本课时要掌握椭圆、双曲线、抛物线的参数方程,并能应用于设圆锥曲线上的点,从而讨论最值、距离或定值等问题.难点是对参数方程中参数的几何意义或物理意义的理解.?
一、圆锥曲线的参数方程的实际意义?
圆锥曲线的参数方程不是无本之末、无源之水，而是来源于实际生活，是实际生活的抽象.?
例如，在军事上，在一定高度下作水平飞行的飞机将炸弹进攻投向目标，要知道炸弹离开飞机后的各个时刻所处的位置.像这样的实际问题显然炸弹所处的位置与离开飞机的时间密切相关，通过时间就可以将炸弹各个时刻所处横、纵位置给确定，从而可知其所处位置，是否能击中目标就可以及时得知，这时显然通过建立相应的参数方程比建立普通方程容易，这也更有利于实际需要.再比如在研究人造地球卫星的运行轨道时,常常也选择其参数方程的形式来予以研究.这样的例子还有很多.??
二、圆锥曲线的参数方程?
1.椭圆=1(a>0,b>0)的参数方程是(φ为参数).?
要注意:(1)参数φ的几何意义是点(假设为M)的离心角,不是OM的旋转角.?
(2)通常规定φ∈［0,2π).
2.双曲线=1(a>0,b>0)的参数方程是 (φ为参数).?
同样需注意:(1)参数φ是点(假设为M)所对应的圆的半径的旋转角(也称为点M的离心角),不是OM的旋转角.?
(2)通常规定φ∈［0,2π),且φ≠,φ≠.
3.抛物线y2=2px(其中p表示焦点到准线的距离)的参数方程为(t为参数).需强调,参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数,且t∈(-∞,+∞).
4.圆锥曲线的参数方程的特点.
椭圆与双曲线的参数方程都与三角函数有着密切的关系.?
椭圆的参数方程与正弦、余弦函数有着密切的关系，这与椭圆的有界性和正弦、余弦函数的有界性有着一定的关系.而双曲线的参数方程与正割、正切函数有着密切的关系，这也与双曲线的图形分布和正割、正切函数的值域有着密切的关系.?
抛物线的参数方程是一、二次函数形式，同样这也与抛物线的图形分布和一、二次函数的值域相对应着.
5.从课本的推导过程来看，好像一条圆锥曲线的参数方程形式的确是唯一的，但事实上，同一条圆锥曲线的参数方程形式也不唯一，例如椭圆的参数方程可以是的形式，也可以是的形式，它们二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆(通过消参数即可看出)，同样对于双曲线、抛物线亦是如此.
6.当圆锥曲线的普通方程不是标准形式时,也可表示为参数方程形式,如(a>b>0)可表示为 (φ为参数);同时要注意在使用参数方程时所含变量的取值范围.?
例如,实数x、y满足=1,试求x-y的最大值与最小值,并指出何时取得最大值与最小值.?
分析:本题的思考方式也许容易想到由已知方程予以变形代换,但容易看到会出现开方,很不利于求x-y的最大值与最小值.这时,根据已知条件可考虑借助于相应的参数方程来求解,借助于正弦、余弦的有界性从而把问题解决.?
求解的过程可如下:?
解:由已知可设
则x-y=(4cosθ+1)-(3sinθ-2)=(4cosθ-3sinθ)+3=5cos(θ+α)+3,其中cosα=,sinα=.?
当cos(θ+α)=1,即θ+α=2kπ,k∈Z时,?
cosθ=cos(2kπ-α)=cosα=,?
sinθ=sin(2kπ-α)=-sinα=-,?
x=4×+1=,y=3×(-)-2=-时,x-y的最大值为8,?
同理,当x=-,y=-时,x-y的最小值为-2.
活学巧用
【例1】已知A、B分别是椭圆=1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程.?
解析:本题有两种思考方式，求解时把点C的坐标设为一般的(x1,y1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cosθ,3sinθ)的形式，从而予以求解.?
解:由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cosθ,3sinθ)，点G的坐标为(x,y)，则由题意可知点A(6，0)、B(0，3).?
由重心坐标公式可知
由此消去θ得到+(y-1)2=1,即为所求.?
点评:本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.
【例2】 在椭圆=1(a>b>0)的第一象限的上求一点P,使四边形OAPB的面积最大,并求最大面积.?
解析:如图,将四边形的OAPB分割成△OAP与△OPB,则P点纵坐标为△OAP的OA边上的高,P点横坐标为△OPB的OB边上的高.?
解:设P(acosθ,bsinθ),S△APB=S△OAP+S△OPB
=absinθ+abcosθ
=ab(sinθ+cosθ)
=absin(+θ).?
当θ=时,四边形OAPB面积最大,最大面积为ab,此时,P点坐标为(a,b).?
点评:用参数方程解决一些最值、距离或定值等问题,非常有效.
【例3】在椭圆7x2+4y2=28上求一点,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,并求出这一最短距离.?
解:把椭圆方程化为=1的形式,?
则可设椭圆上点A坐标为(2cosα,sinα),?
则A到直线l的距离为(其中β=arcsin).?
∴当β-α=时,d有最小值,最小值为.?
此时α=β-,∴sinα=-cosβ=-,cosα=sinβ=.?
∴A点坐标为().
【例4】一炮弹在某处爆炸，在F1(-5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F2(5 000,0)处晚秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上?并求爆炸点所在的曲线的参数方程.?
解析:本题与实际生活紧密相关，主要考查学生能否将所学数学知识应用于实际生活中来解决相关的问题，并注意曲线的普通方程与参数方程之间的关系.?
解:由声速为340米/秒可知F1、F2两处与爆炸点的距离差为340×=6 000米.?
因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上.?
因为爆炸点离F1处比F2处更远，
所以爆炸点D应在靠近F2处的一支上.?
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则PF1-PF2=6 000，?
即2a=6 000,a=3 000，而c=5 000，?
∴b2=5 0002-3 0002=4 0002.?
又PF1-PF2=6 000>0，?
∴x>0.?
∴所求的双曲线方程为=1(x>0).?
故所求曲线的参数方程为〔θ∈(-,)〕.?
点评:在F1处听到爆炸声比F2处晚秒，相当于爆炸点离F1的距离比F2远6 000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题)；借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问题).
二 圆锥曲线的参数方程
1．理解椭圆的参数方程，了解参数的意义，会用椭圆的参数方程解决简单问题．
2．理解双曲线的参数方程，了解参数的意义，会用双曲线的参数方程解决简单问题．
3．理解抛物线的参数方程，了解参数的意义，会用抛物线的参数方程解决简单的相关问题．
4．通过具体问题，体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．
1．椭圆的参数方程
中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为________．
(1)圆的参数方程：(θ为参数)中的参数θ是动点M(x，y)的旋转角，但在椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．
(2)通常规定φ∈[0,2π)．
(3)当椭圆的普通方程不是标准形式时，也可以表示为参数方程的形式．如＋＝1(a＞b＞0)可表示为(φ为参数)．
【做一做1－1】 椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π)，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ为( )．
A．π B. C．2π D.
【做一做1－2】 A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程．
2．双曲线的参数方程
中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1的参数方程是__________规定参数φ的取值范围为__________．
【做一做2】 参数方程(α为参数)的普通方程是( )．
A．y2－x2＝1 B．x2－y2＝1
C．y2－x2＝1(|x|≤) D．x2－y2＝1(|x|≤)
3．抛物线的参数方程
(1)抛物线y2＝2px的参数方程为____________．
(2)参数t的几何意义是________________．
答案：1.(a＞b＞0) [0,2π)
【做一做1－1】 A
【做一做1－2】 解：由于动点C在该椭圆上运动，所以可设点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6,0)，B(0,3)．
由重心坐标公式可知
由此可得＋(y－1)2＝1即为所求．
2. φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠
【做一做2】 C 因为x2＝1＋sin α，所以sin α＝x2－1.
又因为y2＝2＋sin α＝2＋(x2－1)，所以y2－x2＝1.
而x＝sin＋cos＝sin(＋)，故x∈[－，]．
3．(1)t∈(－∞，＋∞)
(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数
1．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义
剖析：从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令椭圆＋＝1可以变成圆x′2＋y′2＝1，利用圆x′2＋y′2＝1的参数方程(φ是参数)，可以得到椭圆＋＝1的参数方程(φ是参数)，因此，参数φ的几何意义是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为点M的离心角)，而不是OM的旋转角．
2．圆锥曲线的参数方程不是惟一的
剖析：同一条圆锥曲线的参数方程形式是不惟一的．例如，椭圆＋＝1的参数方程可以是的形式，也可以是的形式，二者只是形式上不同而已，实质上都是表示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也不同．
题型一 求圆锥曲线的参数方程
【例1】 椭圆中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6，焦距是2，求椭圆的参数方程．
分析：可先根据题目条件求出椭圆的普通方程，然后化为参数方程．
反思：求参数方程的关键是选准参数，有时可选的参数并不惟一，这时要选择一个恰当的．另外求参数方程比较困难时，也可以先求出它的普通方程，再化为参数方程．
题型二 圆锥曲线普通方程与参数方程的互化
【例2】 参数方程(θ为参数)表示什么曲线？
分析：消去参数，化为普通方程再判断．
反思：有些参数方程很难直接看出它所表示的曲线类型，这时只需先把它化为普通方程再作研究即可．
题型三 圆锥曲线参数方程的应用
【例3】 设M为抛物线y2＝2x上的动点，给定点M0(－1,0)，点P为线段M0M的中点，求点P的轨迹方程．
分析：合理选取参数，将抛物线方程转化为参数方程，再寻求解题方法．
题型四 易错辨析
【例4】 已知P为椭圆＋＝1上一点，且∠POx＝，求点P的坐标．
错解：设点P的坐标为(x，y)，如图所示，
由椭圆的参数方程得即P的坐标为(2,3)．
答案：【例1】 解：由题意，设椭圆的方程为＋＝1，
则a＝3，c＝，
∴b＝2，
∴椭圆的普通方程为＋＝1，化为参数方程得(φ为参数)．
【例2】 解：∵x＝cos θ·sin θ＋cos2θ＝，
∴x－＝.
∵y＝sin2θ＋sin θcos θ＝，
∴y－＝.
∴(x－)2＋(y－)2
＝＝.
∴原参数方程表示的曲线是圆心为(，)，半径为的圆．
【例3】 解：令y＝2t，则x＝＝2t2，得抛物线的参数方程为(t为参数)，则设动点M(2t2,2t)，定点M0(－1,0)．
设点P的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得
即(t为参数)，
这就是点P的轨迹的参数方程．化为普通方程是y2＝x＋.这是以x轴为对称轴，顶点在(－，0)的抛物线．
【例4】 错因分析：椭圆和圆中，参数φ的意义是不同的．在圆的方程中，φ是圆周上的动点M(x，y)所对应的角∠xOM，而椭圆方程中的φ，其意义却不是这样，上述解答把椭圆方程中φ的意义错混为圆的方程中φ的意义，从而导致了解答的错误．
正解：设|OP|＝t，点P的坐标为(tcos，tsin)，代入椭圆方程得＋＝1，即t＝，所以点P的坐标为(，)．
1椭圆(θ为参数)的焦距为( )．
A. B． C. D．
2椭圆(φ为参数)的焦点坐标为( )．
A．(0,0)，(0，－8) B．(0,0)，(－8,0)
C．(0,0)，(0,8) D．(0,0)，(8,0)
3参数方程(θ为参数)所表示的曲线为( )．
A．抛物线的一部分 B．抛物线
C．双曲线的一部分 D．双曲线
4实数x，y满足，则z＝x－y的最大值为________，最小值为________．
5如图，由椭圆＝1上的点M向x轴作垂线，交x轴于点N，设P是MN的中点，求点P的轨迹方程．
答案：1．B
2．D 利用平方关系化为普通方程：＝1.
3．A
4．5 －5 由椭圆的参数方程，可设x＝4cos θ，y＝3sin θ，
∴z＝x－y＝4cos θ－3sin θ＝5cos (θ＋φ)，其中φ为锐角，且tan φ＝.∴－5≤z≤5.
5．解：椭圆＝1的参数方程为(θ为参数)，∴设M(2cos θ，3sin θ)，P(x，y)，则N(2cos θ，0)，
∴.
消去θ，得＝1，
即点P的轨迹方程为＝1.
二 圆锥曲线的参数方程
庖丁巧解牛
知识·巧学
一、椭圆的参数方程
中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：
(1)椭圆=1(a>b>0)的参数方程是(θ为参数，且0≤θ<2π）.
(2)椭圆=1(b>a>0)的参数方程是(θ为参数,且0≤θ<2π).
以(x0，y0)为中心，半长轴为a，半短轴为b，焦点连线平行于x轴的椭圆的参数方程是（θ是参数）.
方法点拨 在利用研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作(acosθ,bsinθ).
二、双曲线的参数方程
中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况：
(1)双曲线=1的参数方程为（φ为参数）；
(2)双曲线=1的参数方程为（φ为参数）.
以(x0，y0)为中心，半实轴为a，半虚轴为b，焦点连线平行于x轴的双曲线的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π，θ≠,).
方法点拨 在利用研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(asecφ,btanφ).
三、抛物线的参数方程
顶点在坐标原点的抛物线参数方程：
抛物线y2=2px(p>0)的参数方程：(p>0,t为参数,t∈R),
其中参数t可视为该抛物线y2=2px(p>0)上任一点P与抛物线顶点O所连直线OP的斜率的倒数.设抛物线上任一点P(x,y),则t=.
以(x0，y0)为顶点，焦参数为p，对称轴平行于x轴的抛物线的参数方程是（t是参数）,其中参数t是抛物线上任意一点与顶点连线的斜率的倒数.
辨析比较 抛物线y2=-2px(p>0)的参数方程：x=(p>0,t为参数,t∈R)；
抛物线x2=2py(p>0)的参数方程：(p>0,t为参数,t∈R)；
抛物线x2=-2py(p>0)的参数方程：(p>0,t为参数,t∈R).
问题·探究
问题1 举一些现实生活中的例子,说明圆锥曲线的参数方程同圆锥曲线的普通方程相比有何特点，圆锥曲线的参数方程在解题中有什么样的作用?
探究：弹道曲线是炮弹飞行的轨迹.在军事上，当炮弹发射出去后，需要知道各个时刻炮弹的位置，很显然相应的位置与炮弹发射出去后的时间有着密切的关系，通过建立适当的坐标系，选择时间作为参数，很容易建立起相应的参数方程，这比根据已知条件直接去找炮弹飞行的普通方程方便得多，并且根据实际军事需要，这样也容易知道各个时刻炮弹所处的位置，有利于为现代战争赢得时间.这正是抛物线的参数方程在实际生活中的具体应用.当然圆锥曲线的参数方程的应用还不止这些，再比如：在研究人造地球卫星的运行轨道时，常常也用其参数方程的形式来予以研究.
问题2 在使用圆锥曲线的参数方程解题时，需要能够正确地把普通方程转化为参数方程.那么，在把普通方程转化为参数方程时，是否会出现不同的结果呢?
探究：会.例如:椭圆=1的参数方程可以是x=的形式，也可以是的形式，它们二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆(通过消参数即可看出)，同样，对于双曲线、抛物线亦是如此.
典题·热题
例1已知A、B分别是椭圆=1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程.
思路分析：本题有两种思考方式，求解时把点C的坐标设为一般的(x1,y1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cosθ,3sinθ)的形式，从而予以求解.
图2-2-1
解：由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cosθ,3sinθ).点G的坐标为(x,y)，则由题意可知点A(6，0)、B(0，3).
由重心坐标公式,可知有
由此消去θ,得到+(y-1)2=1即为所求.
深化升华 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.
例2实数x、y满足=1，试求x-y的最大值与最小值，并指出何时取得最大值与最小值.
思路分析：本题的思考方式也许容易想到由已知方程予以变形代换，但容易看到会出现开方，很不利于求x-y的最大值与最小值.这时，根据已知条件可考虑借助于相应的参数方程来求解，借助于正弦、余弦的有界性从而把问题解决.
解：由已知可设
则x-y=(4cosθ+1)-(3sinθ-2)=(4cosθ-3sinθ)+3=5cos(θ+α)+3，
其中cosα=,sinα=.当cos(θ+α)=1,即θ+α=2kπ,k∈Z时，
cosθ=cos(2kπ-α)=cosα=，sinθ=sin(2kπ-α)=-sinα=.
∴x=4×+1=,y=3×()-2=时，x-y的最大值为8.
同理,当x=,y=时，x-y的最小值为-2.
误区警示 本题易错点主要有两点:(1)对于椭圆的参数方程不会转化而直接使用普通方程；(2)在使用参数方程运算时不考虑α的实际取值.
例3点P在圆x2+(y-2)2=上移动，点Q在椭圆x2+4y2=4上移动，求PQ的最大值与最小值，及相应的点Q的坐标.
思路分析：点P与点Q都是动点，PQ的表达式中会有两个参变量，最大值与最小值都难求.点P在圆上，圆是一个中心对称图形.当椭圆上的点到圆心距离最远时，它到圆上的点也会是最远，故先将求PQ转化为求圆心O′与Q的距离.点Q在椭圆上，可利用椭圆的参数方程表示点P的坐标.
解：设Q(2cosα,sinα),O′(0,2),则
O′Q2=(2cosα)2+(sinα-2)2=4cos2α+sin2α-4sinα+4=-3(sinα+)2+8+，
故当sinα=时，O′Q2取最大值为，此时，O′Q=.
当sinα=1时，O′Q2取最小值为1，此时，O′Q=1.
又圆的半径为，故圆上的点P与Q的最大距离为PQ=+.
P与Q的最小距离为PQ=1-=.PQ取最大值时，sinα=,cosα=，
Q的坐标为()或(,)；PQ取最小值时，sinα=1,cosα=0，点Q的坐标为(0,1).
深化升华 本题的解法再次体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,并且对于椭圆的参数方程要求更高了，因为所给方程不是椭圆的标准方程的形式.运用参数方程显得很简单，运算更简便.
例4设P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一点，求使四边形OAPB的面积最大的点P的坐标.
思路分析：由于P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一动点，因此四边形OAPB的形状不定，则不能用特殊四边形的面积公式来求其最值，只能考虑把四边形分解为几个三角形，利用三角形的知识来求其面积的最大值.
解：∵点P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一点,
∴设P(6cosθ,2sinθ),θ∈(0,)(图略).
法一:直线AB方程为=1,即x+3y-6=0.欲使SOAPB最大,只需P到AB的距离最大.
∵dP-AB=θ∈(0,),
∴sin(θ+)>0.∴当θ=时,dmax=.
∴(S△APB)max==6(-1).
∴(SOAPB)max=·6·2+6(-1)=.
法二:SOAPB=S△POA+S△POB=·2·6cosθ+·6·2sinθ
=6(sinθ+cosθ)=sin(θ+),θ∈(0,),
∴当θ=时,(SOAPB)max=,此时点P的坐标为(,2).
拓展延伸 分析本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求S△POA+S△POB，SOAPB的最大值或者求点P到AB的最大距离，或者求SOAPB的最大值.
二 圆锥曲线的参数方程
课堂导学
三点剖析
一、利用参数方程求点的轨迹
【例1】 已知A、B分别是椭圆=1的左顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动,求△ABC的重心G的轨迹的普通方程.
解析:本题有两种思考方式,求解时把点C的坐标设为一般的(x1,y1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cosθ,3sinθ)的形式,从而予以求解.
解：由动点C在该椭圆上运动,故据此可设点C的坐标为(6cosθ,3sinθ),点G的坐标为(x,y),则由题意可知点A(-6,0)、B(0,3).
由重心坐标公式可知
由此消去θ得到+(y-1)2=1,即为所求.
温馨提示
本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,运用参数方程显得更简单、更便捷.
各个击破
类题演练 1
已知双曲线=1(a>0,b>0)的动弦BC平行于虚轴,M、N是双曲线的左、右顶点.
(1)求直线MB、CN的交点P的轨迹方程;
(2)若P(x1,y1),B(x2,y2),求证:a是x1、x2的比例中项.
(1)解:由题意可设点B(asecθ,btanθ),则点C(asecθ,-btanθ),又M(-a,0),N(a,0),
∴直线MB的方程为y=(x+a),
直线CN的方程为y=(x-a).
将以上两式相乘得点P的轨迹方程为=1.
(2)证明:因为P既在MB上,又在CN上,由两直线方程消去y1得x1=,而x2=asecθ,所以有x1x2=a2,即a是x1、x2的比例中项.
变式提升 1
在直角坐标系xOy中,参数方程(t为参数)表示的曲线是___________.
解析:t=代入y=2t2-1得y=2()2-1,即(x-1)2=2(y+1).
答案:抛物线
二、利用参数方程求坐标
【例2】 在椭圆7x2+4y2=28上求一点,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,并求出这一最短距离.
解：把椭圆方程化为=1的形式,
则可设椭圆上点A坐标为(2cosα,7sinα),
则A到直线l的距离为d=(其中β=arcsin).
∴当β-α=时,d有最小值,最小值为.
此时α=β-,∴sinα=-cosβ=,cosα=sinβ=.
∴A点坐标为(,).
温馨提示
用参数方程解决一些坐标问题,简单易行,本例是很典型的.
类题演练 2
椭圆(θ为参数)的左焦点的坐标是__________.
解析:a=4,b=3,∴c=.∴坐标为(,0).
答案:(,0)
变式提升 2
在椭圆=1(a>b>0)的第一象限的上求一点P,使四边形OAPB的面积最大,并求最大面积.
解析:如图,将四边形OAPB分割成△OAP与△OPB,则P点纵坐标为△OAP的OA边上的高,P点横坐标为△OPB的OB边上的高.
解:设P(acosθ,bsinθ),S四边形OAPB=S△OAP+S△OPB=absinθ+abcosθ
=ab(sinθ+cosθ)=absin(+θ).
当θ=时,四边形OAPB面积最大,最大面积为ab,此时,P点坐标为(a,b).
三、范围及最值问题
【例3】 圆M的方程为x2+y2-4Rxcosα-4Rysinα+3R2=0(R>0).
(1)求该圆圆心M的坐标以及圆M的半径;
(2)当R固定,α变化时,求圆心M的轨迹,并证明此时不论α取什么值,所有的圆M都外切于一个定圆.
思路分析:本题中所给的圆方程中的变数有多个,此时要结合题意分清究竟是哪个真正在变,而像这样的具体题目尤其容易犯弄不清真正的参数的错误.
解:(1)由题意得圆M的方程为(x-2Rcosα)2+(y-2Rsinα)2=R2,故圆心为M(2Rcosα,2Rsinα),半径为R.
(2)当α变化时,圆心M的轨迹方程为(其中α为参数),两式平方相加得x2+y2=4R2,所以圆心M的轨迹是圆心在原点,半径为2R的圆.
由于=2R=3R-R,=2R=R+R,
所以所有的圆M都和定圆x2+y2=R2外切,和定圆x2+y2=9R2内切.
类题演练 3
曲线C:(θ为参数)的普通方程是,如果C与直线x+y+a=0有________公共点,那么实数a的取值范围是_________.
解析：参数方程消去θ得x2+(y+1)2=1.
曲线C与直线x+y+a=0有公共点,则圆心到直线的距离不超过半径长,
即≤1.∴1-≤a≤1+.
答案:x2+(y+1)2=1 1-≤a≤1+
变式提升 3
设a、b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是________.
解析:∵a2+2b2=6,
∴=1.
设(θ为参数),
∴a+b=cosθ+sinθ=3sin(θ+φ),
其中cosφ=,sinφ=,
即a+b的最小值是-3.
答案:-3
二 圆锥曲线的参数方程
课堂探究
探究一 椭圆的参数方程的应用
在求解一些最值问题时，可以用参数方程来表示曲线上点的坐标，利用正弦、余弦函数的有界性来解决问题，简化运算过程．另外，利用椭圆的参数方程可以解决一些与椭圆有关的特殊动点的轨迹问题．
【例题1】在椭圆＋＝1中有内接矩形，问内接矩形的最大面积是多少？
解：椭圆的参数方程为(t为参数)．
设第一象限内椭圆上一点M(x，y)，由椭圆的对称性，知内接矩形面积为
S＝4xy＝4×5cos t×4sin t＝40sin 2t.
当t＝时，面积S取得最大值40，此时x＝5cos＝，y＝4sin＝2.
因此，矩形在第一象限的顶点为，此时内接矩形的面积最大，且为40.
探究二 双曲线的参数方程的应用
1．利用双曲线的参数方程可进行三角代换，从而将有关问题转化为三角函数问题求解．
2．直线与双曲线位置关系的综合题，可考虑利用双曲线的参数方程设元，再探求解题方法．
【例题2】如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2是两个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
思路分析：设P，证明等式两边等于同一个式子即可．
证明：设P，
∵F1(－，0)，F2(，0)，
∴|PF1|＝
＝，
|PF2|＝
＝.
∴|PF1|·|PF2|
＝＝－1.
∵|OP|2＝＋tan2φ＝－1，
∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
点评 利用圆锥曲线的参数方程证明恒等式，方法简单、明确，有利于掌握应用．
探究三 圆锥曲线参数方程的应用
利用抛物线的参数方程求动点的轨迹是常见的题型和方法，方法明确，运算简捷，要认真体会并应用．
【例题3】设M为抛物线y2＝2x上的动点，给定点M0(－1,0)，点P分M0M的比为2∶1，求点P的轨迹方程．
解：如图，设M(2t2,2t)，P(x，y)，
∵P分M0M的比为2∶1，
∴(t为参数)．
消去参数t，得y2＝x＋，故点P的轨迹方程为y2＝x＋.
探究四 易错辨析
易错点：混淆φ的意义
【例题4】已知P为椭圆＋＝1上一点，且∠POx＝，求点P的坐标．
错解：设点P的坐标为(x，y)，如图所示，由椭圆的参数方程得
即P的坐标为(2,3)．
错因分析：椭圆(φ为参数)和圆(φ为参数)中，参数φ的意义是不同的．在圆的方程中，φ是圆周上的动点M(x，y)所对应的角∠xOM，而椭圆方程中的φ，其意义却不是这样，上述解答把椭圆方程中φ的意义错混为圆的方程中φ的意义，从而导致了解答的错误．
正解：设|OP|＝t，点P的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，即t＝，所以点P的坐标为.
二 圆锥曲线的参数方程
预习导航
课程目标
学习脉络
1．知道椭圆的参数方程，参数的意义，并会用椭圆的参数方程解决简单问题．
2．知道双曲线的参数方程，参数的意义，并会用双曲线的参数方程解决简单问题．
3．知道抛物线的参数方程，参数的意义，并会用抛物线的参数方程解决简单问题．
4．通过具体问题，体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性.
1．椭圆的参数方程
中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个参数方程是(φ为参数)．规定参数φ的取值范围为[0,2π)．
温馨提示 (1)圆的参数方程(θ为参数)中的参数θ是动点M(x，y)的旋转角，但在椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为离心角)，不是OM的旋转角．
(2)当椭圆的普通方程不是标准形式时，也可以表示为参数方程的形式．如＋＝1(a＞b＞0)可表示为(φ为参数)．
2．双曲线的参数方程
中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的参数方程是(φ为参数)．规定参数φ的取值范围为φ∈[0,2π)，且φ≠，φ≠.
3．抛物线的参数方程
(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为
(t为参数，t∈(－∞，＋∞))．
(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
思考 把圆锥曲线的普通方程转化为参数方程时会不会有不同的结果呢？
提示：同一条圆锥曲线的参数方程形式不是唯一的．例如，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程可以是(θ为参数)的形式，也可以是(θ为参数)的形式，二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也不同．
