三 直线的参数方程
互动课堂
重难突破
本课时重点是对直线参数方程的理解,关键是理解参数t的几何意义,难点是应用直线的参数方程解决相关问题.?
一、直线参数方程的意义?
相对于直线的一般方程，参数方程更能反映一条直线上点的特征.判断与其他曲线的关系时，直接代入横坐标和纵坐标对应的参数表达式，方便运算.又由于直线参数方程的标准方程中的参数有一定的几何意义，对于那些需要直接求线段长度或者求有向线段的数量值的问题会更加方便快捷.?
用坐标的观点理解直线参数方程中的参数，在解决有关直线问题时，可以自然地将新旧知识联系起来，特别是在求直线被圆锥曲线所截得的弦长或弦中点问题时，可以提供更广阔的思考空间；具体问题中根据实际情况可以使用参数方程的标准式和非标准式，使解题的方法灵活多样，有利于一题多解和创新思维的培养.??
二、直线参数方程的形式?
对于同一条直线的普通方程随着参数选取的不同，会得到不同的参数方程.例如，对于直线普通方程y=2x+1，如果令x=t即可得到参数方程(t为参数)；如果令x=2t则得到参数方程(t为参数).这样随便给出的参数方程中的参数t不具有一定的几何意义,但是在实际应用中也能简化某些运算.?
而过定点M0(x0,y0)、倾斜角为α的直线l的参数方程都可以写成为 (t为参数)，我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的数量且cos2α+sin2α=1是标准参数方程的基本特征.??
三、直线参数方程中参数的几何意义?
1.对于一般的参数方程，其中的参数可能不具有一定的几何意义，但是对于直线参数方程中的参数有一定的几何意义.
过定点M0(x0,y0)、倾斜角为α的直线l的参数方程都可以写成为x=x0+tcosα,?y=y0+tsinα(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量,也就是:?
(1)直线l上的动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值,即|M0M|=|t|.?
(2)若t>0,则M0M的方向向上;若t<0,则M0M的方向向下;若t=0,则点M与点M0重合.
2.根据直线的参数方程判断直线的倾斜角.
根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如x=2+tcos20°,?y=-4+tsin20°(t为参数)，可以直接判断出直线的倾斜角是20°.?
但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了.例如判断直线x=tsin20°+3,?y=-tcos20°(t为参数)的倾斜角,有两种方法:?
第一种方法:化为普通方程，求倾斜角.
把参数方程改写成
消去t，有y=-(x-3)cot20°，?
即y=(x-3)tan110°，
所以直线的倾斜角为110°.?
第二种方法:化参数方程为直线的标准参数方程
令-t=t＇，则
所以直线的倾斜角为110°.
3.直线的一般参数方程转化为标准参数方程的方法.
给出直线的非标准式参数方程(t为参数)，根据标准式的特点，参数t的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据三角函数的性质,知其平方和为1，所以可以化为2 (t为参数)，再近一步令,根据直线倾斜角的范围让α在［0,π)范围内取值，并且把看成相应的参数t＇,即得标准式的参数方程(t＇为参数).?
由转化的过程可以看出，在一般参数方程(t为参数)中,具有标准式参数方程中参数的几何意义.所以有些较简单的问题可以不必转化为标准式而直接使用，求出相应的t，再乘以即可继续使用参数的几何意义.?
四、根据直线的参数方程,判断直线间的平行和垂直等问题?
对于斜率存在的直线方程，主要从斜率的关系进行考虑，根据斜率进行判断.而直线的参数方程可以和普通方程之间进行互化，所以对于直线的参数方程也可以找到直线平行和垂直的关系.下面分别对直线参数方程的一般形式和标准形式进行说明.?
首先给出直线l1的参数方程 (t为参数)和直线l2的参数方程(t为参数).先考虑直线斜率都存在(b1和b2都不为0)的情况:直线l1和l2的斜率分别为和.如果斜率相等即＝a1b2-a2b1=0且两条直线不重合时，直线l1和l2平行.如果斜率都不存在即b1=b2=0时，如果两条直线不重合，则一定有直线l1和l2平行，代入上式仍然成立.所以可得一般性结论:如果不重合的两条直线l1和l2平行，那么a1b2-a2b1=0，反之也成立,即不重合的直线l1∥l2a1b2-a2b1=0.由两条直线垂直的条件知斜率存在的直线斜率乘积应为-1，即=-1a1a2+b1b2=0.并且易证，对于斜率不存在的情况上式也正确.所以若直线l1和l2垂直，则a1a2+b1b2=0，反之也成立,即l1⊥l2a1a2+b1b2=0.
对于标准方程，由于容易看出直线的倾斜角，所以可以直接根据倾斜角来判断直线的平行和垂直.??
五、根据标准参数t的几何意义解题时,有如下常用结论?
1.直线与圆锥曲线相交,交点分别对应t1、t2,则弦长l=|t1-t2|.
2.弦的中点M对应的参数tm=
3.若直线的定点P0(x0,y0)恰是弦的中点,则t1+t2=0,反之亦然.
活学巧用
【例1】写出直线2x-y+1=0的参数方程，并求直线上的点M(1，3)到点A(3，7)、B(8，6)的距离.?
解析:要写出参数方程，首先根据直线的普通方程可以看出直线的斜率为2，设直线的倾斜角为α，则tanα=2，则sinα=，cosα=，根据后边要求的点M恰好在直线上，为了后边的运算方便,选择M作为直线上的定点.要求点M到A、B的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的距离公式都可以.?
解:根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，?
则tanα=2，sinα=，cosα=，?
所以直线的参数方程是(t为参数).?
经验证易知点A(3，7)恰好在直线上，所以有1+t=3,即t=5，即点M到点A的距离是5.?
而点B(8，6)不在直线上，所以不能使用参数t的几何意义，可以根据两点之间的距离公式求出距离为?
点评:本题主要考查直线参数方程的转化和参数的几何意义.常见错误:①转化参数方程时不注意后边的题目内容，随便取一个定点；②把点B(8，6)当成直线上的点很容易由1+t=8,得t=.
【例2】设直线的参数方程为(t为参数)，点P在直线上，且与点M0(-4，0)的距离为2，如果该直线的参数方程改写成(t为参数)，则在这个方程中点P对应的t值为( )?
A.±1
B.0
C.±
D.±
解析:由|PM0|=，知PM0=或PM0=-，即t=±代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为(-3，1)或(-5，-1)；再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t=1或t=-1.
答案:A
点评:直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义，合理使用其几何意义，可以简化运算，使解题过程更加简洁.这也正是直线参数方程标准式的优越性所在.
【例3】求直线l1:(t为参数)与直线l2:x+y-2=0的交点到定点(4,3)的距离.?
解:∵l1的参数方程不是标准方程,则利用换参数的方法把l1的参数方程改写成 (t＇为参数).?
把l1的参数方程的标准形式代入x+y-2=0中,?
得4+t＇+3+t＇-2=0.?
解得t＇=-,
∴|t＇|=.
由|t＇|的几何意义为交点到点(4,3)的距离,?
∴所求的距离为|t＇|=.
【例4】求经过点(1，1)，倾斜角为135°的直线截椭圆+y2=1所得的弦长.?
解析:首先可以根据条件写出直线的参数方程(t为参数)，代入椭圆的方程可得一个关于t的二次方程，根据参数的几何意义可知所求弦长就是方程两根之差的绝对值.?
解:由条件可知直线的参数方程是(t为参数)，?
代入椭圆方程可得，
即5t2+62t+2=0.?
设方程的两实根分别为t1、t2,?
则由二次方程的根与系数的关系可得则直线截椭圆的弦长是|t1-t2|=
点评:本题主要使用参数方程中两点的距离公式，易错的地方是:转化参数方程时，计算135°的正弦和余弦值时出错，再者就是距离公式不会灵活使用，而一味地要使用参数的几何意义.
【例5】 已知直线l过点P(3，2)，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点,求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的方程.?
解析:本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦.如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程来解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算.?
解:设直线的倾斜角为α，则它的方程为(t为参数)，由A、B是坐标轴上的点知yA=0，xB=0，?
∴0=2+tsinα，即|PA|=|t|=;0=3+tcosα，即|PB|=|t|=-故|PA|·|PB|=∵90°<α<180°，∴当2α=270°,即α=135°时，|PA|·|PB|有最小值.∴直线方程为(t为参数)，化为普通方程即x+y-5=0.?
点评:直线的参数方程和普通方程可以进行互化，特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式，而对于某些比较简单的直线问题比如求直线和坐标轴或者与某条直线交点时宜用直线的普通方程.
【例6】设直线l过点P(-3,3),且倾斜角为.?
(1)写出直线l的参数方程;?
(2)设此直线与曲线C:(θ为参数)交于A、B两点,求|PA|·|PB|;?
(3)设A、B中点为M,求|PM|.
解:(1)直线l的参数方程是
(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去,得4x2+y2-16=0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中,得4(-3- t)2+(3+t)2-16=0,
即13t2+4(3+123)t+116=0.?
由t的几何意义,知|PA|·|PB|=|t1·t2|,?
∴|PA|·|PB|=|t1·t2|=
(3)由t的几何意义知中点M的参数为
∴|PM|=|t1+t2|=
三 直线的参数方程
1．掌握直线的参数方程及参数的几何意义．
2．能用直线的参数方程解决简单问题．
1．直线的参数方程的标准形式
过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α(α≠)的直线l的普通方程为y－y0＝(x－x0)tan α，它的参数方程为____________，这种形式称为直线参数方程的标准形式．
其中参数t的几何意义是：________________，即|M0M|＝|t|.
若______，则的方向向上；
若______，则的方向向下；
若______，则M与M0重合．
【做一做1－1】 直线(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )．
A．(－4,5) B．(－3,4)
C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1)
【做一做1－2】 参数方程(t是参数)表示的曲线是( )．
A．一条直线 B．两条直线
C．一条射线 D．两条射线
2．根据直线的参数方程判断直线的倾斜角
根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如(t为参数)，可以直接判断出直线的倾斜角是20°.如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了，例如判断直线(t为参数)的倾斜角，有两种方法：
第一种方法：化为普通方程，求倾斜角．
把参数方程改写成
消去t，有y＝－，
即y＝(x－3)tan 110°，所以直线的倾斜角为110°.
第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程令－t＝t′，则
所以直线的倾斜角为110°.
【做一做2－1】 直线(t为参数)的倾斜角α等于( )．
A．30° B．60° C．－45° D．135°
【做一做2－2】 过点(5，－4)，倾斜角α满足tan α＝－的直线l的参数方程是( )．
A.(t为参数) B.(t为参数)
C.(t为参数) D.(t为参数)
3．直线的一般参数方程转化为标准参数方程的方法
给出直线的非标准式参数方程(t为参数)，根据标准式的特点，参数t的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据三角函数的性质知其平方和为1，所以可以化为(t为参数)，再进一步令cos α＝，sin α＝，根据直线倾斜角的范围让α在[0，π)范围内取值，并且把t看成相应的参数t′，即得标准式的参数方程(t′为参数)．
由转化的过程可以看出，在一般参数方程(t为参数)中，t具有标准式参数方程中参数的几何意义．所以有些较简单的问题可以不必转化为标准形式，而直接求出相应的t，再乘即可继续使用标准形式中参数的几何意义．
【做一做3】 写出直线2x－y＋1＝0的参数方程的标准形式，并求直线上的点M(1,3)到点A(3,7)，B(8,6)的距离．
答案：1.(t为参数) |t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离 t＞0 t＜0 t＝0
【做一做1－1】 C
【做一做1－2】 D y＝2表示一条平行于x轴的直线．
①当t＞0时x＝t＋≥2＝2；
②当t＜0时x＝t＋≤－2＝－2，
即x≥2或x≤－2，所以表示两条射线．
【做一做2－1】 B
【做一做2－2】 B
【做一做3】 解：根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，则tan α＝2，sin α＝，cos α＝，所以直线的参数方程是(t为参数)．经验证易知，点A(3，7)恰好在直线上，所以由1＋t＝3得t＝2，即点M到点A的距离是2.而点B(8,6)不在直线上，所以不能使用参数t的几何意义，根据两点之间的距离公式得＝.
综上，点M(1,3)到点A(3,7)的距离为2，到点B(8,6)的距离为.
1．直线的参数方程
剖析：首先，参数t可以理解为直线l上有向线段的数量．参数t的几何意义可以与数轴上点A的坐标a的意义作类比，即a＝±|OA|，当A在O的右侧时取“＋”；当A在O的左侧时取“－”，所以，数轴上点A的坐标就是有向线段的数量．同样，当点M在M0的上方时，t＞0；当点M在M0的下方时，t＜0；当点M与点M0重合时，t＝0.
其次，如果把直线的普通方程y－y0＝tan α(x－x0)写为＝，令上述比例式的比值为t，即＝＝t，由此即得直线的参数方程．
另外，在得到直线的参数方程后，应当注意α，x0，y0都是常数，t是参数．
2．直线的参数方程的其他形式
剖析：对于同一直线的普通方程选取的参数不同，会得到不同的参数方程．例如，对于直线普通方程y＝2x＋1，如果令x＝t，可得到参数方程(t为参数)；如果令x＝，可得到参数方程(t为参数)．这样的参数方程中的t不具有一定的几何意义，但是在实际应用中有时能够简化某些运算．例如，动点M做匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，点M从A点(1,1)开始运动，求点M的轨迹的参数方程．点M的轨迹的参数方程可以直接写为(t为参数)．
3．根据直线的参数方程，判断直线的平行和垂直
剖析：对于直线参数方程的标准形式，容易看出直线的倾斜角及斜率，直接根据倾斜角或斜率关系来判断直线的平行和垂直．
如果直线的参数方程是一般形式，例如：直线l1的方程为(t为参数)，直线l2的方程为(t为参数)．若l1与l2平行时，它们的斜率存在的话应是相等的，即＝?a1b2－a2b1＝0；斜率不存在时有a1＝a2＝0，则必有l1∥l2.故得到一般性结论：不重合的两条直线l1与l2平行时，有a1b2－a2b1＝0，反之也成立，即不重合的直线l1∥l2?a1b2－a2b1＝0.若l1与l2垂直，斜率存在时有·＝－1?a1a2＋b1b2＝0，易知斜率不存在时，直线l1与l2的系数也满足a1a2＋b1b2＝0.故直线l1⊥l2?a1a2＋b1b2＝0.
题型一 求经过点P(x0，y0)，倾斜角是α的直线的参数方程
【例1】 已知直线l过点P(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)求直线l与直线x－y＋1＝0的交点．
分析：根据直线过点(3,4)及直线的倾斜角θ＝120°，得该直线的参数方程，然后与x－y＋1＝0联立可求得交点．
反思：由直线上一定点和直线的倾斜角，可确定直线的方程．
题型二 求经过两个定点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的参数方程
【例2】 已知两点A(1,3)，B(3,1)和直线l：y＝x，求过点A，B的直线的参数方程，并求它与直线l的交点M分AB的比．
分析：由已知直线过两定点，代入公式(λ为参数，λ≠－1)，可得直线的参数方程，然后再求与直线y＝x的交点．
题型三 直线的参数方程的应用
【例3】 已知直线l过定点P(3,2)且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的方程．
分析：本题可用直线的普通方程求解，但运算较麻烦，如果用直线的参数方程来解就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算．
题型四 易错辨析
【例4】 已知过点M(2，－1)的直线l：(t为参数)，与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，求|AB|及|AM|·|BM|.
错解：把直线方程代入圆的方程，化简得t2－6t＋2＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，那么t1＋t2＝6，t1·t2＝2，由于|MA|＝|t1|，|MB|＝|t2|，从而|MA|·|MB|＝|t1·t2|＝2，|AB|＝|t2－t1|＝＝＝2.
答案：【例1】 解：(1)直线l的参数方程为
(t为参数)，
即(t为参数)．
(2)把代入x－y＋1＝0，
得3－t－4－t＋1＝0，解得t＝0.
把t＝0代入得两直线的交点为(3,4)．
【例2】 解：设直线AB上一动点P(x，y)，选取参数λ＝，则直线AB的参数方程为(λ为参数)．①
把①代入y＝x，得＝，解得λ＝1，所以M分AB的比：＝1.
【例3】 解：设直线的倾斜角为α，则它的方程为(t为参数)．由A，B是坐标轴上的点知yA＝0，xB＝0，∴0＝2＋tsin α，即|PA|＝|t|＝，0＝3＋tcos α，即|PB|＝|t|＝－，故|PA|·|PB|＝·(－)＝－.
∵90°＜α＜180°，
∴当2α＝270°，即α＝135°时，|PA|·|PB|有最小值．
∴直线方程为(t为参数)，化为普通方程为x＋y－5＝0.
【例4】 错因分析：直线l的方程中，参数t的意义与直线参数方程的标准形式中参数t的意义是不同的，后者是有向线段的数量，而前者则不同，错解中把两者等同起来，错用了参数的几何意义．
正解：l的参数方程为(t为参数)．
令t′＝，则有(t′是参数)．
其中t′是点M(2，－1)到直线l上的一点P(x，y)的有向线段的数量，代入圆的方程x2＋y2＝4，化简得t′2－3t′＋1＝0.∵Δ＞0，可设t1′，t2′是方程的两根，由根与系数关系得t1′＋t2′＝3，t1′t2′＝1.由参数t′的几何意义得|MA|＝|t1′|，|MB|＝|t2′|，∴|MA|·|MB|＝|t1′·t2′|＝1，|AB|＝|t1′－t2′|＝＝.
1直线(t为参数)的倾斜角α等于( )．
A．40° B．50° C．－45° D．135°
2若(λ为参数)与(t为参数)表示同一条直线，则λ与t的关系是( )．
A．λ＝5t B．λ＝－5t
C．t＝5λ D．t＝－5λ
3直线(t为参数)被圆x2＋y2＝4截得的弦长为( )．
A. B. C． D．3
4已知P1，P2是直线(t为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t1，t2，则线段P1P2的中点到点P(1，－2)的距离是( )．
A. B. C. D.
5已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)和点N(－2,6)的距离．
答案：1．D 根据tan α＝＝－1，因此倾斜角为135°.
2．C 由x－x0，得－3λ＝tcos α，由y－y0，得4λ＝tsin α，消去α的三角函数，得25λ2＝t2，得t＝±5λ，借助于直线的斜率，可排除t＝－5λ，所以t＝5λ.
3．A 直线为x＋y－1＝0，圆心到直线的距离d＝，所以弦长的一半为，即弦长为.
4．B 由t的几何意义可知，P1P2的中点对应的参数为，P对应的参数为t＝0，∴它到点P的距离为.
5．解：由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，
则tan α＝，sin α＝，cos α＝.
又点P(1,1)在直线l上．
所以直线l的参数方程为(t为参数)．
因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．由1＋t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.
因为点N不在直线l上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN|＝.
三 直线的参数方程
庖丁巧解牛
知识·巧学
直线参数方程的形式
过定点M0(x0,y0)、倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数),我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式,其中t为参数.
直线参数方程中参数t的几何意义：表示直线l上以定点M0为起点,任意一点M(x,y)为终点的有向线段的数量M0M.
联想发散 很明显,我们也可以把参数t理解为以M0为原点,直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标,其长度单位与原直角坐标系的长度单位相同.
t是直线上有向线段的数量,当α∈(0,π)时,M在M0的上方时,t>0；M在M0的下方时,t<0；M与M0重合时,t=0.
当α=90°时,(t为参数)可化为x=x0,因此在使用时,不必研究直线斜率不存在时的情况.特别地,若直线l的倾角α=0时,直线l的参数方程为当t>0时,点M在点M0的右侧；当t=0时,点M与点M0重合；当t<0时,点M在点M0的左侧.
深化升华 若直线的参数方程为一般形式(t为参数),可把它化为标准形式：(t′为参数),其中α是直线的倾斜角tanα=,此时参数t′才有如前所说的几何意义.
同一直线方程的参数方程有多种形式,如(t为参数)和
(t为参数)表示同一条直线,但后者参数t没有几何意义.直线的参数方程(t为参数)只有当a2+b2=1且b≥0时,参数t才有意义.
对于(t为参数),其中b≥0,若a>0,则直线的倾斜角α为锐角；若a<0,则直线的倾斜角α为钝角；若a=0,则直线的倾斜角α为直角.
问题·探究
问题1 在解决某些问题时可以使用某些已知的结论或公式,正确使用这些结论可以简化运算,使问题的解决更快捷.那么对于直线的参数方程又有哪些常用的结论呢?
探究:根据直线参数方程中参数的几何意义,设直线l的参数方程为(t为参数),直线l上点A,B对应的参数分别为tA、tB,则
(1)A、B两点之间的距离为｜AB｜=｜ta-tb｜,特别地,A、B两点到点M0的距离分别为|tA|、|tB|；
(2)A、B两点的中点所对应的参数为,若点M0是线段AB的中点,则tA+tB=0,反之亦然；
(3)若直线上的点C所对应的参数为tC,C点分所成的比为λ,则tc=.
问题2 通过学习直线参数方程后我们了解到：直线参数方程的一般形式中的参数不具有几何意义,只有标准形式中的参数才具有一定的几何意义.那么直线的一般参数方程怎样才能转化为标准的参数方程呢?
探究:给出直线的非标准式参数方程(t为参数),根据标准式的特点,参数t的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值,根据三角函数的性质知,其平方和为1,所以可以化为(t为参数),再近一步令cosα=,sinα=,根据直线倾斜角的范围让α在［0,π)范围内取值,并且把t看成相应的参数t,即得标准式的参数方程(t为参数).
由转化的过程可以看出,在一般参数方程(t为参数)中,t具有标准式参数方程中参数的几何意义.所以,有些较简单的问题可以不必转化为标准式而直接使用,求出相应的t,再乘以即可继续使用参数的几何意义.
问题3 直线和圆锥曲线的位置关系问题是几何中最常见的问题,对于普通方程,可以把它们的方程联立,根据方程组解的情况来判断交点情况.那么对于参数方程,又该如何判断它们的交点情况呢?
探究:对于直线的普通方程可以把直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量后,根据方程解的情况来判断直线和圆锥曲线的交点情况,对于直线的参数方程可以把参数坐标的横坐标和纵坐标直接代入圆锥曲线方程,得到关于参数t的方程,判断方程的解的情况即可得到直线与圆锥曲线的交点情况.
另外,由于直线的参数方程尤其是标准式的参数方程,根据方程容易画出相应的直线.所以,也可以根据方程画出相应的图形,采用数形结合来判断交点情况.当然有些问题也可以把直线的参数方程转化为普通方程来解.
典题·热题
例1写出直线2x-y+1=0的参数方程,并求直线上的点M(1,3)到点A(3,7)、B(8,6)的距离.
思路分析：
要写出参数方程,首先根据直线的普通方程可以看出直线的斜率为2,设直线的倾斜角为α,则tanα=2,则sinα=,cosα=,根据后边要求的点M恰好在直线上,为了后边的运算方便,选择M作为直线上的定点.要求点M到A、B的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的距离公式都可以.
解：根据直线的普通方程可知斜率是2,设直线的倾斜角为α,则tanα=2,sinα=,cosα=,
所以直线的参数方程是(t为参数).经验证易知点A(3,7)恰好在直线上,所以只需由1+t=3得t=,即点M到点A的距离是.而点B(8,6)不在直线上,所以不能使用参数t的几何意义,可以根据两点之间的距离公式求出距离为
.
误区警示
本题主要考查直线参数方程的转化和参数的几何意义.常见错误:①转化参数方程时不注意后边的题目内容,随便取一个定点；②把点B(8,6)当成直线上的点很容易由1+t=8得t=.
例2设直线的参数方程为(t为参数),点P在直线上,且与点M0(-4,0)的距离为,如果该直线的参数方程改写成(t为参数),则在这个方程中点P对应的t值为( )
A.±1 B.0 C.± D.±
思路解析：由|PM0|=,知PM0=或PM0=,即t=代入第一个参数方程,得点P的坐标分别为(-3,1)或(-5,-1)；再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t=1或t=-1.
答案：A
深化升华 直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义,合理使用其几何意义,可以简化运算,使解题过程更加简洁.这也正是直线参数方程标准式的优越性所在.
例3求经过点(1,1),倾斜角为135°的直线截椭圆+y2=1所得的弦长.
思路分析：首先可以根据条件写出直线的参数方程(t为参数),代入椭圆的方程可得+(1+t)2=1.这是一个关于t的二次方程,根据参数的几何意义可知所求弦长就是方程两根之差的绝对值.
解：由条件可知直线的参数方程是(t为参数),代入椭圆方程可得=1,即t2+t+1=0.设方程的两实根分别为t1、t2,则由二次方程的根与系数的关系可得则直线截椭圆的弦长是|t1－t2|=.
误区警示 本题主要使用参数方程中两点的距离公式,易错的地方是:转化参数方程时,计算135°的正弦和余弦值时出错,再者就是距离公式不会灵活使用,而一味地要使用参数的几何意义.
例4已知直线l过点P(3,2),且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点.求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的方程.
思路分析：本题可以使用直线的参数方程来解,也可以使用参数方程来解,但是使用普通方程解,运算较为麻烦.如果设出直线的倾斜角,写出直线的参数方程来解,就可以把问题转化为三角函数的最小值问题,便于计算.
解：设直线的倾斜角为α,则它的方程为(t为参数),
由A、B是坐标轴上的点知yA=0,xB=0,∴0=2+tsinα,即|PA|=|t|=,0=3+tcosα,
即|PB|=|t|=.故|PA|·|PB|=()=.
∵90°<α<180°,
∴当2α=270°,即α=135°时,|PA|·|PB|有最小值.
∴直线方程为(t为参数),化为普通方程即x+y-5=0.
拓展延伸 直线的参数方程和普通方程可以进行互化,特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义,宜用参数方程的标准形式,而对于某些比较简单的直线问题比如求直线和坐标轴或者与某条直线交点时宜用直线的普通方程.
例5已知点M(2,3)和双曲线x2-=1,求以M为中点的双曲线的弦AB所在的直线l的方程.
思路分析：本题仍然可以根据直线过点M(2,3)设出直线的参数方程,假设弦的两个端点对应的参数分别为ta,tb,则由M为弦的中点可知tA+tB=0.把直线的参数方程代入双曲线方程可得关于t的二次方程,根据根与系数的关系建立方程即可.
解：根据条件可设直线l的参数方程为(t为参数),
代入双曲线的方程可得
(2+tcosα)2-=1.整理可得(2cos2α-sin2α)t2+(8cosα-6sinα)t-3=0.
设弦的两个端点A,B对应的参数分别为ta,tb,因为M(2,3)为弦AB中点,所以tA+tB=0,
由二次方程根与系数的关系可得=0,即得8cosα-6sinα=0.
易得tanα=,即直线的斜率为,可得参数方程为(t为参数).
则直线的普通方程为y-3=(x-2),即4x-3y+1=0.
深化升华 本节内容是直线的参数方程,要认真理解参数方程中参数的几何意义,只有这样才能切实感受到它带给我们的方便,还要注意掌握一些重要的性质.直线和圆锥曲线的关系是解析几何研究的主要内容,在解决有关问题时正确地使用参数方程,可以简化运算过程,使过程更加简单清晰.
例6已知直线l1:x-ky+k=0,l2:kx-y-1=0,其中k为参数,求l1,l2交点的轨迹方程.
思路分析：
本题为求直线的交点轨迹方程问题,由直线方程的形式,既可以考虑参数方程来求解,又可以化为普通方程来求解,但在化为普通方程时需注意其等价性.
解法一：求出两直线的交点坐标,即解方程组.
当k2≠1时,得到（k为参数）.
这就是所求轨迹的参数方程,但如果要求轨迹的普通方程,需消去参数k.
解法二：由kx-y-1=0,
当x≠0时,可得k=,代入方程x-ky+k=0,得x-=0,去分母,化简得x2-y2+1=0(x≠0).
当x=0时,存在k=0,使得y=-1.
所以所求轨迹的普通方程为x2-y2+1=0(y≠1).
方法归纳 (1)解法二中,方程两边同除以x,会丢x=0的解；方程两边同乘以x,会增x=0的根,所以最后得到轨迹方程后应检验是否是同解变形.
(2)两种方法得到轨迹的不同形式的方程,只要把参数方程中的参数消去,便可得到同样的普通方程.
三 直线的参数方程
课堂导学
三点剖析
一、直线的参数方程和普通方程的互化
【例1】 写出直线2x-y+1=0的参数方程,并求直线上的点M(1,3)到点A(3,7)、B(8,6)的距离.
解：根据直线的普通方程可知斜率是2,设直线的倾斜角为α,
则tanα=2,sinα=,cosα=,所以直线的参数方程是(t为参数).
经验证易知点A(3,7)恰好在直线上,所以有1+t=3,即t=,即点M到点A的距离是.
而点B(8,6)不在直线上,所以不能使用参数t的几何意义,可以根据两点之间的距离公式求出距离为.
温馨提示
本题主要考查直线参数方程的转化和参数的几何意义.常见错误:①转化参数方程时不注意后边的题目内容,随便取一个定点;②把点B(8,6)当成直线上的点很容易由1+t=8,得t=.
各个击破
类题演练 1
设直线的参数方程为(t为参数),点P在直线上,且与点M0(-4,0)的距离为,如果该直线的参数方程改写成(t为参数),则在这个方程中点P对应的t值为( )
A.±1 B.0 C.± D.±
解析:由|PM0|=,知PM0=或PM0=,即t=±,代入第一个参数方程,得点P的坐标分别为(-3,1)或(-5,-1);再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t=1或t=-1.
答案:A
变式提升 1
设直线的参数方程为求直线的直角坐标方程.
解:把t=代入y的表达式,得y=10-.化简得4x+3y-50=0.
这即是直线的直角坐标方程.
温馨提示
注意变量代换的方法.
二、直线的参数方程与倾斜角
【例2】 设直线l1过点A(2,-4),倾斜角为.
(1)求l1的参数方程;
(2)设直线l2:x-y+1=0,l2与l1的交点为B,求|AB|.
解：(1)由题意得
即(t为参数).
(2)B在l1上,只要求出B点对应的参数值t,则|t|就是B到A的距离.
把l1的参数方程代入l2中,得(2-t)-(-4+t)+1=0,
t=7,
t=,
t为正值,知|AB|=7(-1).
类题演练 2
求直线l1:
(t为参数)与直线l2:x+y-2=0的交点到定点(4,3)的距离.
解:∵l1的参数方程不是标准方程,则利用换参数的方法把l1的参数方程改写成(t′为参数).
把l1的参数方程的标准形式代入x+y-2=0中,
得4+t′+3+t′-2=0.
解得t′=,∴|t′|=.
由|t′|的几何意义为交点到点(4,3)的距离,
∴所求的距离为|t′|=.
变式提升 2
求经过点(1,1),倾斜角为135°的直线截椭圆+y2=1所得的弦长.
解:由条件可知直线的参数方程是(t为参数),
代入椭圆方程可得+(1+t)2=1,
即5t2+t+2=0.
设方程的两实根分别为t1、t2,则由二次方程的根与系数的关系可得则直线截椭圆的弦长是|t1-t2|=
=.
三、直线的参数方程与两点间距离
【例3】 直线过点A(1,3)且与向量(2,-4)共线.
(1)写出该直线的参数方程;
(2)求点P(-2,-1)到此直线的距离.
解：(1)由题意得参数方程为
(2)在直线上任取一点M(x,y),则||2=(x+2)2+(y+1)2
=20t2-20t+25
=20［(t-)2+1］,
当t=时,||2取最小值,此时||等于点P与直线的距离,则||=.
由P向直线作垂线,垂足记为P0,将参数t=代入,得P0(2,1),显然有|PP0|=.
温馨提示
直线的参数方程和普通方程可以进行互化,特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义,宜用参数方程的标准形式.而对于某些比较简单的直线问题,比如求直线和坐标轴或者与某条直线交点时,宜用直线的普通方程.
类题演练 3
已知直线l过点P(3,2),且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点,求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的方程.
解:设直线的倾斜角为α,则它的方程为(t为参数),由A、B是坐标轴上的点,知ya=0,xb=0,
∴0=2+tsinα,即|PA|=|t|=,0=3+tcosα,即|PB|=|t|=.
故|PA|·|PB|=()=.
∵90°<α<180°,∴当2α=270°,即α=135°时,|PA|·|PB|有最小值.
∴直线方程为(t为参数),化为普通方程即x+y-5=0.
变式提升 3
设直线l过点P(-3,3),且倾斜角为.
(1)写出直线l的参数方程;
(2)设此直线与曲线C:(θ为参数)交于A、B两点,求|PA|·|PB|;
(3)设A、B中点为M,求|PM|.
解:(1)直线l的参数方程是
(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去,得4x2+y2-16=0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中,得4(-3-t)2+(3+t)2-16=0,
即13t2+4(3+)t+116=0.
由t的几何意义,知|PA|·|PB|=|t1·t2|,
∴|PA|·|PB|=|t1·t2|=.
(3)由t的几何意义知中点M的参数为,
∴|PM|=|t1+t2|=.
三 直线的参数方程
课堂探究
探究一 求经过点P(x0，y0)，倾斜角是α的直,,线的参数方程
由直线上一定点和直线的倾斜角，可直接写出直线的参数方程．
【例题1】已知直线l过点P(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)求直线l与直线x－y＋1＝0的交点坐标．
思路分析：根据直线过点(3,4)及直线的倾斜角θ＝120°，得该直线的参数方程，然后与x－y＋1＝0联立可求得交点．
解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．
(2)把代入x－y＋1＝0，
得3－t－4－t＋1＝0，解得t＝0.
把t＝0代入得两条直线的交点坐标为(3,4)．
探究二 直线参数方程的应用
在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t1－t2|来求．直线的参数方程和普通方程可以进行互化．特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的交点的距离时，通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程形式．
【例题2】已知直线的参数方程为(t为参数)，求该直线被圆x2＋y2＝9截得的弦长是多少？
思路分析：本题考虑使用参数方程标准形式中参数t的几何意义来做，所以首先要把原参数方程转化为标准形式再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t′的一元二次方程，弦长即为方程的两根之差的绝对值．
解：将参数方程(t为参数)转化为直线参数方程的标准形式为(t′为参数)，并代入圆的方程，得2＋2＝9，
整理，得t′2＋8t′－4＝0.
设方程的两根分别为t1′，t2′，则有
t1′＋t2′＝－，t1′t2′＝－4.
所以|t1′－t2′|＝
＝＝.
探究三 易错辨析
易错点：错用参数的几何意义
【例题3】已知过点M(2，－1)的直线l：(t为参数)，与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，求|AB|及|AM|·|BM|.
错解：把直线方程代入圆的方程，化简得t2－6t＋2＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，那么t1＋t2＝6，t1·t2＝2，由于|MA|＝|t1|，|MB|＝|t2|，从而|MA|·|MB|＝|t1·t2|＝2，|AB|＝|t2－t1|＝＝＝2.
错因分析：直线l的方程中，参数t的意义与直线参数方程的标准形式中参数t的意义是不同的，后者是点M与直线l上的一点形成的有向线段的数量，而前者则不同，错解中把两者等同起来，错用了参数的几何意义．
正解：l的参数方程可化为(t为参数)．
令t′＝，则有(t′是参数)．
其中t′是点M(2，－1)到直线l上的一点P(x，y)的有向线段的数量，代入圆的方程x2＋y2＝4，化简得t′2－3t′＋1＝0.因为Δ＞0，可设t1′，t2′是方程的两根，由根与系数的关系得t1′＋t2′＝3，t1′t2′＝1.由参数t′的几何意义得|MA|＝|t1′|，|MB|＝|t2′|，
所以|MA|·|MB|＝|t1′·t2′|＝1，
|AB|＝|t1′－t2′|＝＝.
三 直线的参数方程
预习导航
课程目标
学习脉络
1．掌握直线的参数方程及参数的几何意义．
2．能用直线的参数方程解决简单问题.
1．直线的参数方程的标准形式
过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的普通方程为y－y0＝(x－x0)tan α，它的参数方程为(t为参数)．我们通常把这种形式称为直线参数方程的标准形式．
其中参数t的几何意义是：|t|是直线上的动点M(x，y)到定点M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.
若t＞0，则的方向向上；
若t＜0，则的方向向下；
若t＝0，则点M与点M0重合．
思考1 如何根据直线的参数方程求直线的倾斜角？
提示：根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如(t为参数)，可以直接判断出直线的倾斜角是20°.如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了，例如判断直线(t为参数)的倾斜角，有两种方法：
第一种方法：化为普通方程，求倾斜角．
把参数方程改写成
消去t，有y＝－，
即y＝(x－3)tan 110°，所以直线的倾斜角为110°.
第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程.令－t＝t′，则
所以直线的倾斜角为110°.
思考2 如何把直线的一般参数方程化为标准参数方程？
提示：给出直线的非标准式参数方程(t为参数)，根据标准式的特点，参数t的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据三角函数的性质知其平方和为1，所以可以化为(t为参数)，再进一步令cos α＝，sin α＝，根据直线倾斜角的范围让α在[0，π)范围内取值，并且把 t看成相应的参数t′，即得标准式的参数方程(t′为参数)．
归纳总结 由转化的过程可以看出，在一般参数方程(t为参数)中，t具有标准式参数方程中参数的几何意义．所以有些较简单的问题可以不必转化为标准形式，而直接求出相应的t，再乘即可继续使用标准形式中参数的几何意义．
