四 渐开线与摆线
互动课堂
重难突破
本课时主要了解圆的渐开线与摆线的参数方程，难点是参数方程的建立过程.?
一、渐开线的产生过程?
我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一枝铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆(如右图).?
也可以使用计算机在软件中进行模拟渐开线的图象.通过模拟中的动态过程理解渐开线的形状和形成原理,加深对渐开线概念和含义的理解.其实质就是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹.??
二、摆线的概念和产生过程?
圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.我们可以在自行车轮子上喷一个白色的印记，观察自行车在笔直的道路上运动时形成的轨迹来理解圆的摆线，也可以借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹.圆的摆线又叫旋轮线.??
三、圆的渐开线和摆线的参数方程?
对于圆的渐开线，我们以基圆圆心O为原点，一条直径所在直线为x轴建立直角坐标系，根据动点满足的条件和向量的有关性质可以得到圆的渐开线的参数方程为?
(φ为参数).
同样道理，根据摆线上任意一点的运动轨迹，取定直线为x轴，动点的其中一个位置为原点建立直角坐标系，根据几何知识可得圆的摆线的参数方程为
(φ为参数).??
四、圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数φ的几何意义?
根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.如图（1），其中的∠AOB即是角φ.显然点M由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单.?
同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母r是指定圆的半径，它决定了摆线的某方面的大小情况.参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小.如图（2），根据参数的几何意义也可以在解决问题中加以引用，简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况.?
(1)??
(2)?
五、用参数方程描述运动规律的特点?
有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线)，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义.如圆的渐开线的普通方程，可以根据其参数方程(φ为参数)消去参数φ得到?
根据方程画出曲线十分费时，而利用参数方程把两个变量x、y间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难.对于参数方程，我们可以根据参数的取值求出坐标的关系，相比之下比普通方程更为直观.所以，在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程，而不去讨论其普通方程.
活学巧用
【例1】写出半径为2的基圆的渐开线方程.?
解:半径为2的基圆的渐开线方程(φ为参数).
【例2】求摆线(0≤t≤2π)与直线y=2的交点的直角坐标.?
解:y=2时，2=2（1-cost）,∴cost=0.?
∵0≤t≤2π,∴t=或π.?
∴x1=2(-sin)=π-2,x2=2(π-sinπ)=3π+2.?
∴交点的直角坐标为（π-2，2），（3π+2，2）.
【例3】已知一个圆的摆线过一定点（1，0）,请写出该摆线的参数方程.?
解析:根据圆的摆线的参数方程的表达式 (φ为参数),可知只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式.?
解:令r(1-cosφ)=0,可得cosφ=1.?
所以φ=2kπ(k∈Z)代入可得x=r(2kπ-sin2kπ)=1.?
所以r=.?
又根据实际情况可知r是圆的半径，故r>0.?
所以应有k>0且k∈Z，即k∈N*.?
所以所求摆线的参数方程是
(φ为参数)(其中k∈N*).?
点评:本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x和y的值，再计算r的值；或者在求出cosφ=1后，直接得出φ=0，从而导致答案不全面.
【例4】已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和，求A、B两点的距离. ?
解析:首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A、B对应的参数代入参数方程可得对应的A、B两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A、B之间的距离.?
解:根据条件可知圆的半径是1，?
所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数)，分别把φ=和φ=代入，?
可得A、B两点的坐标分别为A()、B(,1).?
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为?
|AB|=
=
即点A、B之间的距离为?
点评:本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程，还要牢记两个参数方程.给出圆的半径要能写出对应的参数方程，根据参数方程能写出某对应参数的坐标，从而再解决其他问题.本例题就是对这些知识的综合考查，要注意前后知识的联系.特别是两点之间的距离公式也要熟记.
【例5】已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x-y-6=0.?
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线满足什么关系??
(2)写出平移后圆的摆线方程.?
(3)求摆线和x轴的交点.
解析:(1)圆C平移后圆心为O(0,0),它到直线x-y-6=0的距离为d==6,
恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.?
(2)由于圆的半径是6,所以可得摆线方程是?
(φ为参数).?
(3)令y=0,得6-6cosφ=0cosφ=1.所以φ=2kπ(k∈Z).?
代入x得x=2kπ(k∈Z),?
即圆的摆线和x轴的交点为(2kπ,0)(k∈Z).
四 渐开线与摆线
1．借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．
2．通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．
1．渐开线的产生过程
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的______，相应的定圆叫做________．
2．摆线的概念及产生过程
圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫______．
渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．
【做一做1】 关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )．
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
(1)圆的渐开线的参数方程：
__________________.
(2)摆线的参数方程：
__________________.
圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，普通方程既烦琐又没有实际意义．
【做一做2－1】 半径为4的圆的渐开线的参数方程是__________．
【做一做2－2】 求摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标．
答案：1．渐开线 渐开线的基圆
2．旋轮线
【做一做1】 C 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
3．(1)(φ为参数)
(2)(φ为参数)
【做一做2－1】 (φ为参数)
【做一做2－2】 解：y＝2时，2＝2(1－cos t)，
∴cos t＝0.
∵0≤t≤2π，∴t＝或π.
∴x1＝2(－sin)＝π－2，
x2＝2(π－sinπ)＝3π＋2.
∴交点坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2)．
1．圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数φ的几何意义
剖析：根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度，如图，其中的∠AOB即是角φ.显然点M由参数φ惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．
同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．
2．圆的渐开线和摆线的参数方程不宜化为普通方程
剖析：用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接、简便．有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线)，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义．如圆的渐开线普通方程，可以根据其参数方程(φ为参数)消去参数φ，得普通方程，但根据方程画出曲线十分费时．而利用参数方程把两个变量x，y间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难．而对于参数方程，我们可以根据参数的取值求出坐标的关系，相比之下比普通方程更为直观．所以，在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程，而不去讨论其普通方程．
题型一 圆的渐开线的参数方程
【例1】 已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数分别是和，求A，B两点的距离．
分析：先写出圆的渐开线的参数方程，再把A，B对应的参数代入参数方程可得对应的A，B两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A，B之间的距离．
题型二 圆的摆线的参数方程
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
分析：根据圆的摆线的参数方程
(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．
题型三 易错辨析
【例3】 已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．
错解：令r(1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝0，代入可得x＝0.故此题无解．
答案：【例1】 解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数)，
分别把φ＝和φ＝代入，
可得A，B两点的坐标分别为A，B.
那么，根据两点之间的距离公式可得A，B两点的距离为
|AB|＝
＝.
即A，B两点之间的距离为
.
【例2】 解：令y＝0，可得r(1－cos φ)＝0，由于r＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝r(φ－sin φ)，得x＝r(2kπ－sin 2kπ)．
又因为x＝2，
所以r(2kπ－sin 2kπ)＝2，
即得r＝(k∈Z)．
又由实际可知r＞0，所以r＝(k∈N＋)．易知，当k＝1时，r取最大值为.
代入即可得圆的摆线的参数方程为
(φ为参数)；
圆的渐开线的参数方程为
(φ 为参数)．
【例3】 错因分析：在求出cos φ＝1时，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面．
正解：令r(1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，
所以φ＝2kπ(k∈Z)，
代入可得x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1.
所以r＝.
又根据实际情况可知r是圆的半径，故r＞0.
所以，应有k＞0且k∈Z，即k∈N＋.
所以，所求摆线的参数方程是
(φ为参数)，其中k∈N＋.
1圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )．
A．π B．3π C．6π D．10π
2给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有( )．
A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④
3已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数θ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
4渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．
5写出半径为2的基圆的渐开线的参数方程．
答案：1．C 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为 (φ为参数)，把y＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．而x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)．
2．C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
3．2 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝代入曲线的参数方程，得x＝，由此可得对应的坐标为．
4．(，0)和(，0) 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为＋y2＝36，整理可得＝1，这是一个焦点在x轴上的椭圆．c＝，故焦点坐标为(，0)和(，0)．
5．解：方程为(φ为参数)．
四 渐开线与摆线
庖丁巧解牛
知识·巧学
一、渐开线的产生过程
我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一枝铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切,逐渐展开,那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线,相应的定圆叫做基圆(如图2-4-1).
图2-4-1
也可以使用计算机在软件中进行模拟渐开线的图象.
渐开线在实际生活和生产中比较常见.在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力,由于渐开线齿形的齿轮磨损少传动平稳,制造安装较为方便,因此大多数齿轮采用这种齿形.设计加工这种齿轮要依据圆的渐开线方程.
在物理问题中,许多问题都要涉及到渐开线问题,因为它是有关传动力学的基础.在数学中,我们都学习过三角函数,其图象的画法,是首先根据单位圆上的点进行平移,实际上也是圆的渐开线问题.
深化升华 圆的渐开线是研究最多的一种渐开线.但是并不是只有一种渐开线,除了圆的渐开线之外,还有正方形的渐开线,长方形的渐开线,椭圆的渐开线等.只需把圆的渐开线中的基圆换成相应的图形即可得到相应的渐开线.研究这些渐开线可以仿照圆的渐开线建立相应的参数方程,进一步得出其性质.
二、摆线的概念和产生过程
圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.我们可以在自行车轮子上喷一个白色的印记,观察自行车在笔直的道路上运动时形成的轨迹来理解圆的摆线,也可以借助教具或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹.圆的摆线又叫旋轮线.
市面上曾经流行过一种可绘制曲线的器具,它包含一个在圆周上刻满锯齿的小圆形板,以及一个在内外圆周上都刻有锯齿的大圆环形板.把玩之时,将小圆板放在大圆环板内部,并让锯齿套合而使小圆板沿着大圆环板滚动.将笔插入小圆板上的一个小洞,随着小圆板的滚动,铅笔就会描绘出一条曲线,这条曲线实际上也是摆线的一种(如图2-4-2).
图2-4-2
摆线在生产和实际中有着广泛的应用.最速降线是平摆线,椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘,圆摆线齿轮与渐开线齿轮,收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计,星形线与公共汽车门,少齿差行星减速器,摆线转子油泵,旋转活塞发动机的缸体曲线,以及多边形切削等等,都与摆线是分不开的.
其实沿着倒放的摆线弧不仅速度最快,而且有一个奇怪的性质,如果在这条曲线不同的高度放一个小球使其沿曲线下滑,你会惊奇地发现他们同时到达了底端,这就是摆线的等时性.这个性质是物理学家惠更斯发现的,并用这个原理巧妙地设计出了摆线时钟.摆线这个名词正是由于这种曲线被用来改进钟摆而得名.
摆线也有很多种类型,我们课本中给出的只是其中一种类型,它是由圆上的一个定点在一条定直线上的运动轨迹,也叫平摆线或者旋轮线.除此之外还有很多种摆线.
知识拓展 比如,当一个小圆在一个大圆的外部沿着大圆作不滑的滚动时,小圆圆周上的点所描绘的旋轮线称为外摆线；小圆内部与外部的点所描绘的旋轮线称为外次摆线.它们都是很优美的图形,在很多绘图和设计中经常用到.圆的外摆线根据两个圆的半径关系也有很多种类型,在设计中有不同的用处.
三、圆的渐开线的参数方程
我们以基圆圆心O为原点,一条直径所在的直线为x轴建立直角坐标系,根据动点满足的条件和向量的有关性质,可以得到圆的渐开线的参数方程为(φ为参数).
根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母r是指基圆的半径,参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.
方法归纳
根据圆的渐开线的参数方程(φ为参数)消去参数φ,可以得到圆的渐开线的普通方程：xcos()+ysin()=r.
四、圆的摆线的参数方程
根据摆线上任意一点的运动轨迹,取定直线为x轴,动点的其中一个位置为原点建立直角坐标系,根据几何知识可得圆的摆线的参数方程为(φ为参数).
根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母r是指定圆的半径,它决定了摆线的某方面的大小情况.参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小.
用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接、简便.根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量x、y间接地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难.而对于参数方程,我们可以根据参数的取值求出坐标的关系,相比之下比普通方程更为直观.所以,在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程,而不去讨论其普通方程.
问题·探究
问题1 我们知道,在直线的参数方程中,参数t具有相应的几何意义,根据其几何意义可以给我们研究问题带来很多方便.那么,圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数φ是否也具有一定的几何意义呢?
探究:根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母r是指基圆的半径,而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.如图2-4-3,其中的∠AOB即是角φ.显然点M由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单.
同样,根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母r是指定圆的半径,它决定了摆线的某方面的大小情况.参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小.如图2-4-4,根据参数的几何意义也可以在解决问题中加以引用,简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况.
图2-4-3 图2-4-4
问题2 对渐开线和摆线的理解是本节学习的关键,要理解其形成过程和图象的特点及在实际中的应用,还应该从多方面收集信息.那么,我们可以从哪些方面来加强对渐开线和摆线的理解?
探究:由于渐开线和摆线的图形比较复杂,对应的参数方程也不容易理解,即使给出参数方程也很难根据方程画出相应的图形;反过来,根据图形也不容易得到相应的参数方程.因此,要理解渐开线和摆线的有关性质可以结合实际从以下几方面进行考虑：
首先,由于渐开线和摆线在物理和机械制造中有着广泛的应用,我们可以通过走访物理专家和相关的机械制造专家来了解其在实际生产中的应用,结合有关的问题和图纸来加深对概念和性质的理解.摆线还在美术设计中被广泛应用,我们可以找有关美术老师或者通过欣赏一些美术作品来理解数学中的美感.
其次,根据现代信息技术的发展的特点,可以在网上搜索相关资料,通过这些资料来了解渐开线和摆线问题的发展过程,和同学讨论一些相关的性质.另外,我们可以通过手工绘图和电脑绘图相对比,通过对比来理解渐开线和摆线的形成过程,还可以使用一些像几何画板等类似软件来描述渐开线和摆线图形的形成过程,认识其有关的性质.
典题·热题
例1给出某渐开线的参数方程(φ为参数),根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_________,且当参数φ取时对应的曲线上的点的坐标是__________.
思路解析：本题考查对渐开线参数方程的理解.根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程(φ为参数)进行对照可知,这里的r=3,即基圆半径是3.然后把φ=分别代入x和y,可得即得对应的点的坐标.
答案：3 (,3)
误区警示 本题易错的解法是:把摆线的参数方程当作渐开线的参数方程,把相应的值代入摆线方程,或者把参数当成横坐标x的值,令x=再求出y值.
例2已知一个圆的摆线过一定点(1,0),请写出该摆线的参数方程.
思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式(φ为参数)可知,只需求出其中的r,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定,因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式.
解：令r(1-cosφ)=0可得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).代入x=r(φ-sinφ)可得x=r(2kπ-sin2kπ)=1.
所以r=.又根据实际情况可知r是圆的半径,故r>0.所以,应有k>0且k∈Z,即k∈N*.
所以,所求摆线的参数方程是(φ为参数)(其中k∈N*).
误区警示 本题易错点是误把点(1,0)中的1或0当成φ的值,代入参数方程中求出x和y的值,再计算r的值；或者在求出cosφ=1时,直接得出φ=0,从而导致答案不全面.
例3给出半径为3的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.
思路分析：首先根据条件建立直角坐标系,对于渐开线可以以圆的圆心为原点,一条半径所在直线为x轴,对于摆线可以以圆上的某一定点为圆心以那条定直线所在直线为x轴,建立直角坐标系.圆的渐开线的参数方程和摆线的参数方程由圆的半径唯一确定.
解：
先求圆的渐开线方程,以圆的圆心为原点,一条半径所在直线为x轴,建立直角坐标系,又根据条件圆的半径是3,所以,渐开线的参数方程是(φ为参数)；
再求圆的摆线方程,以圆上的某一定点为圆心,以定直线所在直线为x轴,建立直角坐标系.又根据条件圆的半径是3,所以摆线的参数方程是(φ为参数).
例4已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和,求A、B两点的距离.
思路分析：首先根据圆的直径可知半径为1,写出渐开线的标准参数方程,再根据A、B对应的参数代入参数方程可得对应的A、B两点的坐标,然后使用两点之间的距离计算公式可得A、B之间的距离.
解：
根据条件可知圆的半径是1,所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数),分别把φ=和φ=代入,可得A、B两点的坐标分别为A(),B(,1).
那么,根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为
|AB|=即点A、B之间的距离为.
深化升华 本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程,还要牢记两个参数方程.给出圆的半径要能写出对应的参数方程,根据参数方程能写出某对应参数的坐标,从而再解决其他问题.本例题就是对这些知识的综合考查,要注意前后知识的联系,特别是两点之间的距离公式也要熟记.
四 渐开线与摆线
课堂导学
三点剖析
一、圆的摆线的参数方程
【例1】 平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆线的参数方程.
思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式(φ为参数),可知只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式.
解:令r(1-cosφ)=0,可得cosφ=1，
所以φ=2kπ(k∈Z),代入可得x=r(2kπ-sin2kπ)=1.
所以r=.
又根据实际情况可知r是圆的半径，故r>0.
所以，应有k>0且k∈Z，即k∈N*.
所以，所求摆线的参数方程是(φ为参数)(其中k∈N*).
温馨提示
本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x和y的值，再计算r的值；或者在求出cosφ=1后，直接得出φ=0，从而导致答案不全面.
各个击破
类题演练 1
求摆线(0≤t≤2π)与直线y=2的交点的直角坐标.
解:y=2时,2=2(1-cost),∴cost=0.
∵0≤t≤2π,
∴t=或.
∴x1=2(-sin)=π-2,
x2=2(-sin)=3π+2.
∴交点的直角坐标为(π-2,2),(3π+2,2).
温馨提示
求交点坐标时,要避免出现增根和减根的情况,因此,要切实注意参数的取值范围.这是初学者最容易忽视的.
二、圆的渐开线的参数方程
【例2】 已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A,B对应的参数分别是和，求A,B两点的距离.
思路分析:首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A,B对应的参数代入参数方程可得对应的A,B两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A,B之间的距离.
解:根据条件可知圆的半径是1，
所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数)，
分别把φ=和φ=代入，
可得A,B两点的坐标分别为A()，B(,1).
那么，根据两点之间的距离公式可得A,B两点的距离为
|AB|=
,
即点A,B之间的距离为
温馨提示
本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程，还要牢记两个参数方程.给出圆的半径要能写出对应的参数方程，根据参数方程能写出某对应参数的坐标，从而再解决其他问题.本例题就是对这些知识的综合考查，要注意前后知识的联系.特别是两点之间的距离公式也要熟记.
类题演练 2
已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程.
解:设摆线方程为
令y=0,得r(1-cosφ)=0,即得cosφ=1.
所以φ=2kπ(k∈Z).
代入x=r(2kπ-sin2kπ)=2,即得r=(k∈Z).
又由实际可知r>0,
所以r=(k∈N*).易知,当k=1时,r最大,最大值为.
代入即可得圆的摆线的参数方程是(φ为参数),
圆的渐开线的参数方程是(φ为参数).
变式提升 2
如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH,…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连结，则曲线AEFGH的长是…( )
A.3π B.4π C.5π D.6π
解析:如题图,根据渐开线的定义可知,是半径为1的圆周长,长度为,继续旋转可得是半径为2的圆周长,长度为π;是半径为3的圆周长,长度为;是半径为4的圆周长,长度为2π.
所以,曲线AEFGH的长是5π.
答案:C
四 渐开线与摆线
课堂探究
探究一 圆的渐开线的参数方程
解答此类题目，不仅要记住圆的渐开线的参数方程的基本形式，还要知道每个字母所表示的意义．
【例题1】已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上的A，B两点所对应的参数分别是和，求A，B两点间的距离．
思路分析：先写出圆的渐开线的参数方程，再把A，B对应的参数分别代入参数方程可得对应的A，B两点的坐标，然后使用两点间的距离公式可得A，B间的距离．
解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线的参数方程是
(φ为参数)．
分别把φ＝和φ＝代入，
可得A，B两点的坐标分别为.
根据两点间的距离公式可得A，B两点间的距离为
|AB|＝
＝.
故A，B两点间的距离为
.
探究二 圆的摆线的参数方程
根据圆的摆线的参数方程的表达式x＝r(φ－sin φ)，
y＝r(1－cos φ)(φ为参数)，可知只需求出其中的r，就能写出相应圆的摆线方程．摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式即可．
【例题2】已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
思路分析：根据圆的摆线的参数方程(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．
解：令y＝0，可得r(1－cos φ)＝0，由于r＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝r(φ－sin φ)，得x＝r(2kπ－sin 2kπ)(k∈Z)．
又因为x＝2，
所以r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得r＝(k∈Z)．
又由实际可知r＞0，所以r＝(k∈N*)．易知，当k＝1时，r取最大值为.
代入即可得所求圆的摆线的参数方程为
(φ为参数)；
所求圆的渐开线的参数方程为
(φ 为参数)．
探究三 易错辨析
易错点：考虑φ不全面
【例题3】已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．
错解：令r(1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝0，代入可得x＝0.故此题无解．
错因分析：在求出cos φ＝1时，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面．
正解：令r(1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，
所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入可得x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1.
所以r＝(k∈Z)．
又根据实际情况可知r是圆的半径，故r＞0.
所以应有k＞0，且k∈Z，即k∈N*.
所以所求摆线的参数方程是
(φ为参数，k∈N*)．
四 渐开线与摆线
预习导航
课程目标
学习脉络
1．借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)．知道平摆线和渐开线的生成过程，以及它们的参数方程．
2．通过阅读材料，知道外摆线、内摆线的生成过程；学会摆线在实际应用中的实例.
1．渐开线
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．
2．摆线
圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
(1)圆的渐开线的参数方程：
(φ为参数)．
(2)圆的摆线的参数方程：
(φ为参数)．
名师点拨 圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，普通方程既繁琐又没有实际意义．
思考1 圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么？
提示：根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度．如图，其中的∠AOB即是角φ.显然点P由参数φ唯一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．
同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．
思考2 圆的渐开线和摆线的参数方程不宜化为普通方程吗？
提示：用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接、简便．有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线)，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义．如圆的渐开线普通方程，可以根据其参数方程(φ为参数)消去参数φ，得普通方程，但根据方程画出曲线十分费时．而利用参数方程把两个变量x，y间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难．而对于参数方程，我们可以根据参数的取值求出坐标的关系，相比之下比普通方程更为直观．所以，在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程，而不去讨论其普通方程．
