一 平面直角坐标系
主动成长??
夯基达标
1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x＇2+8y＇2=1，则曲线C的方程为( )?
A.50x2+72y2=1
B.9x2+100y2=1?
C.25x2+36y2=1
D.
解析:将代入曲线方程2x′2+8y′2=1,得2·(5x)2+8·(3y)2=1,即50x2+72y2=1.?
答案:A
2.将曲线x2+y2=1伸缩变换为的伸缩变换公式为( )
A.
B.
C.
D.
解析:设伸缩变换为代入=1得=1与x2+y2=1比较,得λ2=4,μ2=9.∴λ=2,μ=3.?
答案:A
3.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.?
(1)5x+2y=0;
(2)x2+y2=1.
解:(1)由伸缩变换得到 ①
将①代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′+3y′=0.?
经过伸缩变换后,直线仍然变成直线.?
(2)将①代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是=1.?
经过伸缩变换后,圆可以变成椭圆.
4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x＇2-y＇2-4x＇+3=0，求满足图象变换的伸缩变换.
解:设伸缩变换为将其代入方程x′2-y′2-4x′+3=0得λ2x2-μ2y2-4λx+3=0.
与方程x2-36y2-8x+12=0比较系数得
∴λ=,μ=3.∴伸缩变换为x′=
5.△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是________.
解析:取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-2,0),C(2,0).?
设A(x,y),则D(0,0),|AD|=3.?
∴x2+y2=9(y≠0).?
答案:x2+y2=9(y≠0)
6.在气象台A正西方向300千米处有一台风中心,它以每小时40千米的速度向东北方向移动,距台风中心250千米以内的地方都要受其影响.问:从现在起,大约多长时间后,气象台A所在地将遭受台风影响持续多长时间?
解析:本题的解决如果从题意上考虑,较难入手解决,我们可以考虑通过建立平面直角坐标系来解决.?
解:如图所示,以气象台为坐标原点,正东方向为x轴正方向,建立直角坐标系.则现在台风中心B的坐标为(-300,0).根据题意,可知,t小时后,B1的坐标为(-300+40tcos45°,40tsin45°),即(-300+20t,20t),因为以台风中心为圆心,以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以B1在圆上或圆内时,气象台将受台风影响.?
所以令|AB1|≤250,即(-300+20t)2+(20t)2≤2502,整理得16t2-120t+275≤0.?
解得1.99≤t≤8.61.?
故大约2小时后,气象台A所在地将遭受台风影响,大约持续6个半小时.
7.如图,已知A、B、C是直线m上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O＇切直线m于点A，又过B、C作⊙O＇异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P，
（1）求点P的轨迹方程;?
（2）经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分所成的比等于2∶3，求直线l的方程.
解析:先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程来；根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标来,列出方程组求出点M、N的坐标,从而求出直线方程.?
解:（1）∵|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,?
∴|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=18＞6=|BC|,?
∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.
以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是=1(a＞b＞0).?
∵a=9,c=3,∴b2=72.?
∴P点的轨迹方程是=1(y≠0).?
（2）设M(x1,y1)、N(x2,y2),∵C(3,0)分MN所成的比为,?
由①②消去y2,得(5-x2)2+(1-)=1,?
解得x2=-3,y2=±8,即N(-3,±8).?
∴由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.
8.如右图,某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道全长2.5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh，柱体体积为底面积乘以高.结果精确到0.1 m）
解析:当最大拱高h为定值时,隧道设计的拱宽l即为2a；当最大拱高h为变量时,可根据均值定理,得到椭圆面积为最小.?
解:（1）如图建立坐标系,则点P(11,4.5),椭圆方程为=1.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得a=,l=2a=≈33.3.故隧道的拱宽约为33.3 m.?
（2）由椭圆方程=1,得=1.?
因为≥
即ab≥99,且l=2a,h=b,?
所以S=lh=≥.?
当S取最小值时,有,得a=11,b=,此时,l=2a=22≈31.1,h=b≈6.4.?
故当拱高约为6.4 m,拱宽约为31.1 m时,土方工程量最小.
9.某河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？
解析:求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线,一般用待定系数法.?
本题中影响通航的因素是高度和宽度,而宽度是首要的,据对称性,可取拱顶为坐标原点,拱桥的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy,设抛物线方程为x2=-2py(p＞0),运用待定系数法确定参数p,问题即可获解.?
解:根据题意,建立右图所示的直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p＞0),
∵A（4,-5）在抛物线上,?
∴42=-2p(-5),p=1.6.?
∴x2=-3.2y(-4≤x≤4).?
设当水面BB′上涨到与抛物线拱顶相距h米时船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接触,于是可设木船宽BB′的端点B的坐标为（2,y1）,由22＝-3.2y1,得y1＝-,h=|y1|+=|-|+=2（m）,所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时,船开始不能通航.
10.我们有一种数学方法：数形结合.如果要采取这种方法，基本上都是要建立适当的坐标系，我们为什么要采取这种方法呢？
答案:坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.?
建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.而在其他领域，坐标系与物理、化学等相关学科交织在一起，在日常生活中有着广泛的应用.如飞机航行、炮弹发射问题等等.我们生活中有这样一个例子：教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，那么学生距墙壁多远时看黑板最清楚（即所张的视角最大）？?
我们就可以建立一个平面直角坐标系,运用三角函数的知识加以解决，如图所示.?
平面直角坐标系是进一步学习函数、三角函数及其他坐标系的必备基础知识.
走近高考
1.为了得到函数y=2sin(),x∈R的图象,只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)?
B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)?
C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)?
D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
答案:C
2.如图,已知直线l与半径为1的⊙D相切于点C,动点P到直线l的距离为d,若,建立适当的直角坐标系,求点P的轨迹方程.
解:∵
∴点P的轨迹是以点D为焦点,l为相应准线的椭圆.?
由e=-c=1,解得a=,c=1,b==1.?
于是以CD所在直线为x轴,以CD与⊙D的另一交点O为坐标原点建立直角坐标系,所求点P的轨迹方程为+y2=1.
3.在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-)和F2(0, )为焦点、离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量=+.求:
(1)点M的轨迹方程;
(2)||的最小值.
解:(1)椭圆方程可写为=1,?
式中a>b>0,且
得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为x2+=1(x>0,y>0).?
y=2(0
y′=-
设P(x0,y0),因P在C上,有0设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=,y=?
由=+得M的坐标为(x,y),由x0、y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为=1(x>1,y>2).?
(2)∵||2=x2+y2,
y2==4+,
∴||2=x2-1++5≥4+5=9且当x2-1=,即x=>1时,上式取等号.?
故||的最小值为3.
三 简单曲线的极坐标方程
主动成长??
夯基达标
1.已知点P(),若点P的极角θ满足-π<θ<π,ρ∈R,下列点中与点P重合的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:当-π≤θ≤π时,ρ≥0(或ρ≤0)时,除极点外,点极坐标分别为唯一.当ρ∈R时,一个点的极坐标只有两个形式:(-,-)或(2,).?
答案:D
2.圆ρ=2(cosθ+sinθ)的圆心的坐标是( )
A.(1,)
B.()
C.()
D.(2,)
解析:圆的方程可化为ρ=2cos(θ-).?
这是ρ=2rcos(θ-θ0)形式,它的圆心为O′(r,θ0),本题也可化为直角坐标方程求解.?
答案:A
3.极坐标系中,方程ρ=cosθ(θ∈［0,π］,ρ∈R)表示的曲线是( )
A.以(,0)为圆心,半径为的上半个圆
B.以(,0)为圆心,半径为的圆
C.以(1,0)为圆心,半径为的上半个圆
D.以(,)为圆心,半径为的圆
解析:当ρ≥0时,θ∈［0,］,方程ρ=cosθ表示上半个圆,半径为,当ρ≤0时,θ∈［,π］,方程表示下半个圆,半径为.?
答案:B
4.方程ρ=sinθ+cosθ+K的曲线不经过极点,则K的取值范围是( )?
A.K≠0
B.K∈R?
C.|K|>2
D.|K|≤2
解析:当ρ=0时,sinθ+cosθ=-K,若此方程无解,由|sinθ+cosθ|≤,∴当|K|>2时,方程无解.?
答案:C
5.在极坐标系中,点P(2,)到直线ρsin(θ-)=1的距离等于( )?
A.1
B.2
C.3
D.1+3
解法一:∵xP=2cos=,yP=2sin=-1,?
∴P点的直角坐标为(,-1).?
又直线ρsin(θ-)=1化为直角坐标方程为y-x-1=0.?
∴P点到直线的距离为d=|--·-1|=1+.
解法二:直线ρsin(θ-)=1与直线θ=平行,且距离为1.?
过P点作PH垂直于直线
ρsin(θ-)=1,垂足为H,设PH交直线θ=于M,在Rt△POM中,OP=2,∠POM=.?
∴PM=2sin=.?
故P点到直线ρsin(θ-)=1的距离为1+.?
答案:D
6.点M在直线ρcosθ=a(a>0)上,O为极点,延长OM到P使|MP|=b(b>0),则P的轨迹方程是________.
解析:设M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则ρ0cosθ0=a,ρ=ρ0+b,θ0=θ代入即可.?
答案:(ρ-b)cosθ=a
7.画出极坐标方程(θ-)ρ+(-θ)sinθ=0的图形.
解析:若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线.?
解:如图,将原方程分解因式得(θ-)(ρ-sinθ)=0,∴θ-=0,?
即θ=为一条射线,或ρ-sinθ=0为一个圆.
8.证明过A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)两点的直线l的极坐标方程是
解析:虽然所证明的方程看起来比较复杂,但是,只要我们理清求曲线方程的步骤,问题是不难解决的.我们可以利用三角形的面积法将这些量互相联系起来.?
解:设M(ρ,θ)为直线AB上一点,如图,∵S△AOB=ρ1ρ2sin(θ2-θ1),S△AOM=ρρ1sin(θ-θ1),?
S△BOM=ρρ2sin(θ2-θ),?
又S△AOB=S△AOM+S△BOM,?
∴ρ1ρ2sin(θ2-θ1)=ρρ1sin(θ-θ1)+ρρ2sin(θ2-θ),?
即
9.已知圆ρ=2,直线ρcosθ=4,过极点作射线交圆于A,直线于B,求AB中点M的轨迹方程.
解:设M(ρ,θ),A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),则有?
∴(2ρ-2)cosθ=4ρ=2secθ+1.
10.从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M，P为OM上一点，已知|OP|·|OM|=1，求P点的极坐标方程.
解析:先把直线化为极坐标方程,由于P点的运动与M点有关,可以利用转移法来解决问题.我们可以根据长度之间的关系式找到点P与点M坐标之间的关系.?
解:如图,以O为极点,x轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2ρcosθ+4ρsinθ-1=0.?
设M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),?
则2ρ0cosθ+4ρ0sinθ-1=0.?
又,知代入2cosθ+4sinθ-1=0,?
∴ρ=2cosθ+4sinθ,这是一个圆(ρ≠0).
11.从极点O作圆C：ρ=8cosθ的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程.
解析:在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法,在极坐标系中,求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的.?
解法一:如图,圆C的圆心C(4,0),半径r=|OC|=4,连结CM.?
∵M为弦ON的中点,?
∴CM⊥ON.故M在以OC为直径的圆上.?
所以,动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ.?
解法二:解法一是定义法,下面我们用转移法来解决这个问题.?
设M点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1).?
N点在圆ρ=8cosθ上,?
∴ρ1=8cosθ1.(*)?
∵M是ON的中点,?
∴将它代入(*)式得2ρ=8cosθ,故M的轨迹方程是ρ=4cosθ.
12.O为已知圆外的定点,M在圆上,以OM为边作正三角形OMN,当点M在圆上移动时,求点N的轨迹方程(O、M、N逆时针排列).
解:以O为极点,以O和已知圆圆心O′所在射线为极轴,建立极坐标系,如图,设|OO′|=ρ0,圆的半径为r,那么圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcosθ+ρ02-r2=0,?
设N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),?
∵M在圆上,?
∴ρ12-2ρ0ρ1cosθ1+ρ02-r2=0.①?
∵△OMN为正三角形,∴
代入①得ρ2-2ρ0ρcos(θ-)+ρ02-r2=0,这就是点N的轨迹方程.
走近高考
1.(经典回放)曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为( )?
A.x2+(y+2)2=4
B.x2+(y-2)2=4?
C.(x-2)2+y2=4
D.(x+2)2+y2=4
解析:在ρ=4sinθ两边同时乘以ρ得ρ2=4ρ·sinθ.?
再利用
可得x2+y2=4y,?
即x2+(y-2)2=4.?
答案:B
2.(经典回放)在极坐标系中,过点M(2,)且平行于极轴的直线的极坐标方程是________.
解析:如图所示,设P(ρ,θ)为直线上任一点,连结PO,作PA垂直极轴于点A.?
在Rt△PAO中,|PA|=2,∠POA=θ,∴ρsinθ=2.?
∴所求的极坐标方程为ρsinθ=2.?
答案:ρsinθ=2
3.(经典回放)设有半径为4的圆,它在极坐标系内的圆心的坐标为(4,π),则这个圆的极坐标方程是________.
解析:如图所示,设P(ρ,θ)为圆上任一点,则在Rt△RPO中,?
|OR|=8,∠POR=π-θ,?
∴ρ=8cos(π-θ),即ρ=-8cosθ.?
∴所求圆的极坐标方程是ρ=-8cosθ.?
答案:ρ=-8cosθ
二 极坐标系
主动成长
夯基达标
1.点P的直角坐标为(-,)，那么它的极坐标可表示为( )?
A.(2,)
B.(2,)
C.(2,)
D.(2,)
解析:因为点P(-,)在第二象限,与原点的距离为2,且OP的倾斜角为,故选B.这种类型的问题是极坐标这一知识点中最基本的知识,是这一章知识的基础.?
答案:B
2.点P(ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是( )
A.(-ρ0,θ0)
B.(ρ0,-θ0)?
C.(-ρ0,-θ0)
D.(-ρ0,θ0+π)
解析:由ρ取负值时点的确定方法即可.?
答案:A
3.方程ρ2cos2θ=c2(c>0)的曲线是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析:方程ρ2cos2θ=c2ρ2(cos2θ-sin2θ)=c2x2-y2=c2.?
答案:C
4.曲线的极坐标方程为aρcos2θ+bcosθ-sinθ=0(a≠0),则曲线是( )?
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析:将方程aρcos2θ+bcosθ-sinθ=0各项都乘以ρ,aρ2cos2θ+bρcosθ-ρsinθ=0ax2+bx-y=0y=ax2+bx,是抛物线.?
答案:D
5.点P1(2,),P2(-3,-),则|P1P2|的值为( )?
A.
B.5
C.
D.
解析:应用极坐标系中两点间的距离公式?
|P1P2|=(ρ1、ρ2≥0).?
其中P2(3,),代入可得.?
答案:A
6.已知点A(-2,-),B(2,),O(0,θ),则△ABO为( )
A.正三角形
B.直角三角形?
C.锐角等腰三角形
D.等腰直角三角形
解析:点A(-2,-)即为A(2,),?
∴∠AOB=,且|OB|=2,|OA|=2.?
∴△ABO为等腰直角三角形.?
答案:D
7.直线l过点A(3,)、B(3,),则直线l与极轴夹角等于________.
解析:如图所示,先在图形中找到直线l与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A、B的位置分析夹角的大小.?
∵|AO|=|BO|=3,∠AOB=-=,?
∴∠OAB==.?
∴∠ACO=π--=.?
答案：
8.极坐标方程ρ=所对应的直角坐标方程为________.
解析:本题考查直角坐标与极坐标之间的互化公式,,将ρ、θ消去,换成字母x、y即可.?
因为ρ=可化为ρ=,即ρ=,?
去分母,得ρ=2+ρcosθ,将公式代入得x2+y2=(2+x)2,整理可得.?
答案：y2=4(x+1)?
说明：极坐标与直角坐标的互化是重点,在解这类题时,除正确使用互化公式外,还要注意与恒等变换等知识相结合.
9.已知下列各点的极坐标为A(5,),B(2,0),C(6,-π),D(-4,),E(0,),画出这些点,并求出它们的直角坐标.
解:这些点如图.?
利用公式即可求出它们的直角坐标为A(0,5),B(2,0),C(-33,-3),D(-23,-2),E(0,0).
10.在极轴上求与点A(4,)距离为5的点M的坐标.
解析:题目要求是点在极轴上,可设点M(r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A、M两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M的坐标来.?
解:设M(r,0),?
∵A(4,),?
∴=5,
即r2-8r+7=0.?
解得r=1或r=7.?
∴M点的坐标为(1,0)或(7,0).?
在极坐标系下,任意两点P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下：?
|P1P2|=,此式可直接利用余弦定理得证.
11.舰A在舰B的正东6 km处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4 km处，它们围捕海洋动物.某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号.A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是km/s，其中g为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A所在地为极点建立极坐标系，求舰A发射炮弹的极坐标.
解析:先建立直角坐标系,分析出点P在双曲线上,又在线段BC的垂直平分线上,求出交点P的坐标,然后求出P、A两点之间的距离和PA与x轴正向所成的角,即可确定点P的极坐标.?
解:对舰B而言,A、C两舰位置如图所示.为方便起见,取B所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立直角坐标系,则A、B、C三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,2).?
由于B、C同时发现动物信号,记动物所处位置为P,则|PB|=|PC|.?
于是P在BC的中垂线l上,易求得其方程为x-3y+7=0.?
又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|-|PA|=4,于是知P应在双曲线=1的右支上.?
直线l与双曲线的交点P(8,5)即为动物的位置,至此问题便可获解.?
据已知两点的斜率公式,得直线PA的倾斜角为60°.于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|PA|=10.
所以,以舰A所在地为极点,舰A发射炮弹的极坐标为(10,).
走近高考
1.(经典回放)极坐标方程4ρsin2=5表示的曲线是( )?
A.圆
B.椭圆?
C.双曲线的一支
D.抛物线
解析:利用半角公式把原方程化为4ρ=5,即4ρ-4ρcosθ=10,∴4ρ=4x+10.∵ρ=∴16(x2+y2)=(4x+10)2.整理,得4y2-20x-25=0.∴为抛物线.?
答案:D
2.(经典回放)极坐标方程4sin2θ=3表示的曲线是( )?
A.两条射线
B.两条相交直线?
C.圆
D.抛物线
解析:把原极坐标方程两边都乘以ρ2,得4ρ2sin2θ=3ρ2,即4y2=3(x2+y2),即y=±x.?
∴所表示的曲线是两条相交直线.?
答案:B
3.(经典回放)极坐标方程ρ=cos(-θ)所表示的曲线是( )?
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
解析:利用两角差余弦公式把原极坐标方程变形为ρ=coscosθ+sinsinθ.?
两边同乘以ρ,得ρ2=ρcosθ+ρsinθ,?
即x2+y2=x+y,?
即为x2+y2-x-y=0表示圆.?
答案:D
4.(经典回放)已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+)=,则极点到该直线的距离是________.
解析:∵ρsin(θ+)=,∴ρsinθcos+ρcosθsin=,即x+y=1.∴原点到直线x+y=1的距离为d=.?
答案:
5.在极坐标系中,O是极点,设点A(4,),B(5,-),则△OAB的面积是________.
解析:如图,|OA|=4,|OB|=5,∠AOB=2π--=.
∴S△OAB=×4×5×sin=5.?
答案:5
四 柱坐标系与球坐标系简介
主动成长
夯基达标
1.如图,在柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5),C1(6,分 π2式,5),则此长方体外接球的体积为________.
解析:据顶点的柱坐标求出长方体的三度,其外接球的直径恰为长方体的对角线长.?
由长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5),C1(6,π2,5),
可知OA=4,OC=6,OO1=5,?
则对角线长为
那么球的体积为·π·()3=.?
答案:
2.已知点M的直角坐标为(1,-3,4),则它的柱坐标为_______.
解析:设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),则
,解之,得ρ=2,θ=,z=4.?
∴点M的柱坐标为(2,,4).?
答案:(2,,4)
3.设点M的柱坐标为(2,,7),则它的直角坐标为_______.
解析:设点M的直角坐标为(x,y,z),则∴点M的直角坐标为(,1,7).?
答案:(,1,7)
4.已知点M的球坐标为(2,,),则它的直角坐标为_______.
解析:设M的直角坐标为(x,y,z),则?
∴点M的直角坐标为(-1,1,-).?
答案:(-1,1,-)
5.两平行面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan,θa)、B(25,π-arctan,θB)，
求出这两个截面间的距离.
解析:根据已知可得球半径为25,这样,我们就可以在Rt△AOO1和Rt△BOO1中求出OO1及OO2的长度来,可得两个截面间的距离为O1O2.?
解:由已知,OA=OB=5,∠AOO1=arctan,∠BOO1=π-arctan,在△AOO1中,tan∠AOO1==
∵OA=25,∴OO1=7.?
在△BOO2中,∠BOO2=arctan,tan∠BOO2==.?
∵OB=25,∴OO2=20.?
则O1O2=OO1+OO2=7+20=27.?
∴两个截面间的距离O1O2为27.
6.在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系.有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A(R,,)、B(R,,)，飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？
解析:我们根据A、B两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走AB两地的大圆时,飞机最快,所走的路程实际上是要求我们求出过A、B两地的球面距离.?
解:如图所示,因为A(R,,),B(R,,),?
可知∠O1AO=∠O1BO=,∴∠AO1O=∠BO1O=.?
又∠EOC=,∠EOD=,
∴∠COD=-=.?
∴∠COD=∠AO1B=.?
在Rt△OO1B中,∠O1BO=,OB=R,?
∴O1B=O1A=R.?
∵∠AO1B=,∴AB=R.?
在△AOB中,AB=OB=OA=R,?
∴∠AOB=.
则经过A、B两地的球面距离为R.?
走经过A、B两地的大圆,飞机航线最短,其距离为R.
7.结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图(2)，建立空间直角坐标系O—xyz后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.?
解析:在空间直角坐标系中,我们需要找点的(x,y,z)；在柱坐标系中,需要找到(ρ,θ,z)；在球坐标系中,需要找到(r,φ,θ).?
解:把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.?
下层的原子全部在xOy平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,,0),(,,),(1,,),(,,),它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(,,0),(1,,0),(,,0)；?
中层的原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为,所以,这四个钠原子所在位置的球坐标分别为(,,0),(,arccos,arctan),(,arccos,arctan2),(,,),它们的柱坐标分别为(,0,),(,arctan,),(,arctan2,),(,,)；
上层的钠原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为1,所以,这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1,0,0),(,,0),(,arctan,),(，，),(,arctan,),它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0,1),(,,1),(1,,1),(,,1).
8.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离试用两点的坐标表示这两点间的距离.
解:(1)在平面直角坐标系中,已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2|=.?
(2)在空间直角坐标系中,?
如图,设P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,且点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)在xOy平面上的射影分别为M、N,那么M、N的坐标为M(x1,y1,0)、N(x2,y2,0),在xOy平面上,|MN|=.?
过点P1作P2N的垂线,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|.?
在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=,根据勾股定理,得?
|P1P2|==.?
因此,空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离?
|P1P2|=.?
(3)我们来确定P1、P2两点在柱坐标系中的距离公式：?
根据空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式：
P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),有可得|P1P2|=
(4)我们来确定P1、P2两点在球坐标系中的距离公式：?
空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为
P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),有及
可得|P1P2|=
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1.已知点P的柱坐标为(2,,5)，点B的球坐标为(6,,)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为?（ ）?
A.P点(5,1,1)，B点
B.P点(1,1,5)，B点
C.P点，B点(1,1,5)?
D.P点(1,1,5)，B点
解析:此题考查空间直角坐标系与空间极坐标系的互化.只要我们记住互化公式,问题就能够解决.球坐标与直角坐标的互化公式为
柱坐标与直角坐标的互化公式为
解:设P点的直角坐标为(x,y,z),x=·cos=·=1,y=·sin=1,z=5.?
设B点的直角坐标为(x,y,z),x=·sin·cos=··=,?
y=·sin·sin=··=,z=·cos=·=
所以,点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为().选B.?
答案:B
2.设点M的直角坐标为(1,1,1),求它的柱坐标.
解:设M的柱坐标为(ρ,θ,z),则?
解之,得ρ=,θ=,z=1.?
∴点M的柱坐标为(2,,1).
3.设点M的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标.
解:设M的球坐标为(r,φ,θ),则?
r==2.?
由rcosφ=z,得2cosφ=.?
∴φ=.
又tanθ==1,∴θ=.?
∴点M的球坐标为(2,,).
一 曲线的参数方程
主动成长
夯基达标
1.已知某条曲线的参数方程为 (其中a是参数)，则该曲线是( )?
A.线段
B.圆?
C.双曲线
D.圆的一部分
解析:本题中的参数方程对于同学们来说不太熟悉,很自然这时应该考虑将其转化为相应的普通方程来看,由此进行消参,如何消参,又需要适当的观察,将两式平方相减,得x2-y2=1,并且由|x|=|a+|≥1,x≥1或x≤-1,易知结果.?
答案:C
2.已知某条曲线的参数方程为(0≤t≤5)，则该曲线是( )?
A.线段
B.圆弧?
C.双曲线的一支
D.射线
解析:消去参数t,将其化为普通方程,并注意x,y的范围即可确定.?
由题中的参数方程 (0≤t≤5),消去参数t,得x-3y=5.又0≤t≤5,故1≤y≤26.故题中所给曲线是线段.?
答案:A
3.若曲线(θ为参数),则点(x,y)的轨迹是( )?
A.直线x+2y-2=0?
B.以(2,0)为端点的射线?
C.圆(x-1)2+y2=1?
D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段
解析:∵x=1+cos2θ=1+1-2sin2θ=2-2y,且0≤x≤2,0≤y≤1,∴轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段.?
答案:D
4.曲线C的方程为(t∈R)，则曲线C的图象在( )?
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:本题只需要判定该曲线上的点的坐标的符号即可,不需要知道图象形状,故只需就其方程来判定各点的横、纵坐标的符号即可.?
x=(t+1)2+2≥2,y=(t+2)2+1≥1,
从而易知该曲线位于第一象限.?
答案:A
5.若直线y=ax+b经过第二、三、四象限,则圆(θ为参数)的圆心在( )?
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
解析:∵直线y=ax+b经过第二、三、四象限,?
∴a<0,b<0.∴圆心(a,b)在第三象限.?
答案:B
6.直线系方程为xcosφ+ysinφ=2,圆的参数方程为(φ为参数),则直线与圆的位置关系为( )?
A.相交不过圆心
B.相交且经过圆心?
C.相切
D.相离
解析:圆的普通方程为x2+y2=4,圆心(0,0)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离等于d==2,等于半径,所以直线与圆相切.?
答案:C
7.点P(3,b)在曲线上,则b=_________.
解析:3= +1,∴t=±2.?
∴y1=-5=b,y2=3=b.?
答案:3或-5
8.圆(θ为参数,r>0)的直径是4,则圆心坐标是_________.
解析:∵2r=4,∴r=2.?
∴圆心坐标是(r,),即(2,1).?
答案:(2,1)
9.动点(2-cosθ,cos2θ)的轨迹的普通方程是_________.
解析:设动点坐标为(x,y),得这就是动点所表示的曲线的参数方程.消去参数θ,得y=2(2-x)2-1,即(2-x)2=(y+1),由于|y|=|cos2θ|≤1,动点轨迹只是抛物线的一部分,即(x-2)2=(y+1)(1≤x≤3).?
答案:y=2(x-2)2-1(1≤x≤3)
10.已知实数x、y满足条件x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的取值范围是_________.
解析:本题条件可理解为点(x,y)在圆x2+y2-2x+4y=0上移动,这是数形结合的思想,圆的参数方程为?
x-2y=1+cosθ-2(-2+sinθ)?
=5+5(cosθ-2sinθ)?
=5+5sin(α-θ).?
答案:［0,10］
11.已知实数x、y满足(x+1)2+(y-2)2=16，求3x+4y的最值.
解析:这样的题目可考虑数形结合,把满足的x、y视为圆(x+1)2+(y-2)2=16上的动点,可考虑利用圆的参数方程来求解,也可引入向量来求解,这样也要求同学们对于所学知识能够使用.?
解:由题意知,设代入3x+4y=3(-1+4cosθ)+4(2+4sinθ)=20cos(θ+α)+5,于是3x+4y的最大、最小值分别为25、-15.
12.求u=的最小值.
解:令P(cosθ,sinθ)、Q(1,2),P为圆x2+y2=1上任意一点.?
如图可知,u=就是直线PQ的斜率.当过Q的直线与圆x2+y2=1相切时,切线的斜率就是所求的最小值.?
设过Q与圆x2+y2=1相切的直线方程为?
y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0.?
∵圆心O到切线PQ的距离等于半径1,?
∴=1,解之,得k=.?
∴u的最小值为.
13.已知点Q是圆x2+y2=4上的动点，定点P(4,0)，若点M分PQ所成的比为1∶2，求点M的轨迹.
解析:本题是比较典型的求轨迹问题,一个点的位置随另一点的位置的变化而变化,要求的是动点的轨迹,可以先求出其轨迹方程,然后根据方程得知其轨迹.?
解:设点Q(2cosθ,2sinθ),M(x,y),则由题意得两式平方相加,得点M的轨迹方程为(-2)2+(2)2=4,即(x-)2+y2=,故其轨迹为以点(,0)为圆心、为半径的圆.
14.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且c=10，cosA∶cosB=b∶a=4∶3，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值与最小值.
解析:本题与三角函数有一定的联系,题目出现在这里,也是对于前面所学知识的复习,也和曲线的参数方程联系起来了,由此也可以看出数学知识间的联系,具有一定程度的综合性.?
解:由cosA∶cosB=b∶a,得sin2A=sin2B,因为a≠b,A≠B,所以2A=π-2B,即A+B=.由此可知△ABC为直角三角形.又c=10,b∶a=4∶3,a2+b2=c2,可得a=6,b=8.故其内切圆半径为r==2.以顶点C为原点、CA所在直线为x轴（其中点A处于x轴正半轴上,点B位于纵轴的正半轴上）,则CB的相应内切圆的参数方程为则该圆上的动点P的坐标为(2+2cosθ,2+2sinθ),PA2+PB2+PC2=(2cosθ-6)2+(2+2sinθ)2+(2+2cosθ)2+(2sinθ-4)2+(2+2cosθ)2+(2+2sinθ)2=80-8cosθ,故所求的最大值与最小值分别为88、72.
15.在不考虑空气阻力、风向等因素的条件下，炮弹的飞行轨道是一条抛物线，现测得我炮位A与目标B的水平距离为6 000米，而当射程为6 000米时，炮弹最大高度为1 200米，在A、B之间距炮位点A 500米处有一个高度为350米的障碍物，试计算炮弹能否越过障碍物而击中目标？
解析:本题与实际生活密切联系,并且与物理学有一定联系,容易知道炮弹的飞行轨迹是一条抛物线,容易写出其参数方程,从而将问题解决.但题中没有给出坐标系,首先要同学们自己根据题意所述建立合适的坐标系,以把问题解决.?
解:以A为原点、AB所在直线为x轴,建立坐标系,确定出弹道抛物线方程是y=(x-3 000)2+1 200,将x=500代入方程求得y=≈367＞350,故可越过障碍物而击中目标.
16.设有半径为3千米的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东、B向北前进.A出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度都一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？
解析:注意到村落为圆形,且A、B两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动,于是可设想以村落的中心为原点,以开始时A、B的前进方向为x轴、y轴建立直角坐标系,这就为建立解析几何模型创造了条件.?
解:由题意可设A、B两人的速度分别为3v km/h、1v km/h,再设A出发x0小时后,在点P处改变方向,又经过y0小时,在点Q处与B相遇,则P、Q两点的坐标分别为(3vx0,0),(0,v(x0+y0)),（同学们可以根据题目的解答过程画出相应的示意图）由于A从P到Q行走的时间是y0小时,于是由勾股定理知OP2+OQ2=PQ2,即(3vx0)2+［v(x0+y0)］2=(3vy0)2,化简整理得(x0+y0)(5x0-4y0)=0.又x0+y0＞0,所以5x0=4y0①.于是kPQ=,将①代入②得kPQ=-.由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x0+y0)的值就是问题的答案,于是转化为“当直线y=-x+b与圆x2+y2=9相切时,求纵截距b的值”.?
利用圆心到切线的距离等于半径,得=3,b=(b＞0),因此A、B相遇的地点是在离村落中心正北334 km处.
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1.(经典回放)在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )?
A.(2,-7)
B.()?
C.()
D.(1,0)
解析:由参数方程中x和y的取值范围可知A不合题意.?
由y=cos2θ可变形为y=1-2sin2θ,把x=sinθ代入,消参数得普通方程为y=1-2x2.?
把余下三点代入方程,可知点(,)满足方程.?
答案:C
2.(经典回放)曲线的参数方程是 (t是参数,t≠0),它的普通方程是( )?
A.(x-1)2(y-1)=1
B.y=
C.y=
D.y=+1
解法一:利用消参法消去参数t,得到它的普通方程.?
由x=1-,得t=,代入y=1-t2,得y=1-?
解法二:令t=-,则x=3,y=,并代入选择肢检验,只有y=满足要求.?
答案:B
3.若P(2,-1)为圆O＇x=1+5cosθ,?y=5sinθ(0≤θ<2π)的弦的中点,则该弦所在直线l的方程是( )?
A.x-y-3=0?
B.x+2y=0?
C.x+y-1=0?
D.2x-y-5=0
解析:圆心O′(1,0),∴kPO′=-1.∴kl=1.?
∴直线方程为x-y-3=0.?
答案:A
4.(经典回放)把参数方程 (α为参数)化为普通方程,结果是_________.
解析:由y=cosα+1变形,得y-1=cosα,把y-1=cosα和x=sinα两式平方相加,得x2+(y-1)2=1.?
答案:x2+(y-1)2=1
5.曲线C:(θ为参数)的普通方程是_________,如果C与直线x+y+a=0有公共点,那么实数a的取值范围是_________.
解析:由曲线C的参数方程得x=cosθ,y+1=sinθ.?
平方相加得x2+(y+1)2=1.?
曲线C与直线x+y+a=0有公共点,则圆心到直线的距离不超过半径,即≤1.?
∴1-≤a≤1+.?
答案:x2+(y+1)2=1 ［1-,1+］
6.若x2+y2=4,则x-y的最大值是_________.
解析:设(θ为参数),?
∴x-y=2cosθ-2sinθ=2cos(θ+).?
∴x-y的最大值是2.?
答案:22
二 圆锥曲线的参数方程
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夯基达标
1.下列可以作为直线2x-y+1=0的参数方程的是( )?
A.(t为参数)?
B.(t为参数)?
C.(t为参数)?
D.(t为参数)
解析一:根据所给的方程可知直线的斜率为2,而所给直线的参数方程中,A选项的斜率是1,B选项的斜率是-2,C选项的斜率是2,D选项的斜率是.所以只有C符合条件,这里C虽然不是标准式的参数方程,但是只有C能化成2x-y+1=0.?
解析二:化各参数方程为普通方程,再去比较.?
答案:C
2.已知参数方程(a、b、λ均不为零,0≤θ≤2π).当(1)t是参数;(2)λ是参数;(3)θ是参数,则下列结论中成立的是( )?
A.(1)(2)(3)均为直线?
B.只有(2)是直线?
C.(1)(2)是直线,(3)是圆?
D.(2)是直线,(1)(3)是圆锥曲线
解析:若t是参数,a、b、λ、θ为常数,消去t得一个关于x、y的二元一次方程,故t是参数时,参数方程表示直线,若λ是参数,a、b、t、θ是常数,消λ后方程化为关于x、y的二元一次方程,故λ是参数时,参数方程仍表示直线;若θ是参数,a、b、t、λ是常数,消θ后方程化为(x-at)2+(y-bt)2=λ2,参数方程表示圆.?
答案:C
3.两条曲线的参数方程分别是 (θ为参数),(t为参数),则其交点个数为( )?
A.0?
B.1?
C.0或1?
D.2
解析:两个参数方程分别表示线段x-y+2=0(-1≤x≤0,1≤y≤2)和椭圆=1,所以两曲线只有一个交点.?
答案:B
4.若 (λ为参数)与(t为参数)表示同一条直线,则λ与t的关系是( )?
A.λ=5t?
B.λ=-5t?
C.t=5λ?
D.t=-5λ
解析:依题意,由x-x0,得-3λ=tcosα,?
由y-y0,得4λ=tsinα,消去α的三角函数,得25λ2=t2,得t=±5λ,借助于直线的斜率可排除D.?
答案:C
5.直线(t为参数)被圆x2+(y-1)2=9所截得的线段长等于( )?
A.3?
B.6?
C.9?
D.与α的值无关
解析:把x=tcosα,y=1+sinα代入圆的方程,得t2cos2α+t2sin2α=9,得t2=9,得t1=3,t2=-3,线段长为|t1-t2|=6.?
答案:B
6.直线(t为参数)的倾斜角α等于( )?
A.30°?
B.60°?
C.-45°?
D.135°
解析:由x=-2+tcos30°,得t=?
∴y=3-·sin60°=-x+1.?
答案:D
7.按照规律(t是参数)运动后,质点从时间t1到t2经过的距离是_________.
解析:时间t1对应的点A的坐标是(a+t1cosθ,b+t1sinθ),时间t2对应的点B的坐标是(a+t2cosθ,b+t2sinθ),利用两点距离公式可以求得质点从时间t1到t2经过的距离
|AB|=
=
=|t1-t2|.?
答案:|t1-t2|
8.直线l经过点M0(1，5)，倾斜角为，且交直线x-y-2=0于M点，则|MM0|=_________.
解析:直线l的参数方程为(t为参数),?
代入方程x-y-2=0中得1+t-(5+t)-2=0t=6(-1).根据t的几何意义即得|MM0|=6(-1).?
答案:6(-1)
9.已知直线l的参数方程是(t为参数)，其中实数α的范围是(0,)，则直线l的倾斜角是_________.
解析:首先要根据α的范围把直线的参数方程化为标准参数方程,根据标准式结合α的范围得出直线的倾斜角.?
答案:-α
10.过点A(1,1)作直线,被椭圆所截得的弦被此点平分,则此直线方程为__________________.
解析:设直线为(t为参数)代入椭圆方程并整理得(4cos2α+9sin2α)t2+(8cosα+18sinα)t-23=0.?
∵t1+t2=0,∴8cosα+18sinα=0.?
∴tanα=-.∴直线方程为4x+9y-13=0.?
答案:4x+9y-13=0
11.下表是一条直线上的点和对应参数的统计值:?
参数t
2
6
2
横坐标x
2-
1
2-3
0
纵坐标y
5+
6
5+3
7
根据数据可知直线的参数方程是_________，转化为普通方程是(一般式)_________，直线被圆(x-2)2+(y-5)2=8截得的弦长为_________.
解析:这是一个由统计、直线参数方程和普通方程、圆的知识组成的综合问题.充分考查了这几部分知识的灵活运用.首先,根据统计的基本知识,观察分析所给数据的特点给出直线的参数方程(t为参数),然后把参数方程转化为普通方程x+y-7=0,而由参数方程可知直线一定过点(2,5),恰好是所给圆的圆心,所以直线被圆所截的弦长恰好是圆的直径,易知直径长为4.?
答案: (t为参数) x+y-7=0 4
12.给出两条直线l1和l2，斜率存在且不为0，如果满足斜率互为相反数，且在y轴上的截距相等，那么直线l1和l2叫做“孪生直线”.?
(1)现在给出4条直线的参数方程如下:?
(t为参数); (t为参数);
(t为参数);(t为参数).
其中构成“孪生直线”的是_________.?
(2)给出由参数方程表示的直线 (t为参数),
直线(t为参数),?
那么，根据定义，直线l1、直线l2构成“孪生直线”的条件是_________.
解析:根据条件,两条直线构成“孪生直线”意味着它的斜率存在不为0,互为相反数,且在y轴的截距相等,也就是在y轴上交于同一点.对于题(1),首先可以判断出其斜率分别为-1,1,-1,1,斜率互为相反数条件很明显,再判断在y轴上的截距.令x=0得出相应的t值,代入y可得只有直线l1和直线l4在y轴上的截距相等,而其斜率又恰好相反,可以构成“孪生直线”.对于题(2)首先写出相应斜率分别是tanα1和tanα2,因此要tanα1=-tanα2,即tanα1+tanα2=0；然后再考虑在y轴上的截距,首先在l1的参数方程中,令x=x1+tcosα1=0,可得t=-代入得y=y1-x1tanα1.同理,可得直线l2在y轴上的截距是y=y2-x2tanα2.由定义中的条件“截距相等”可得y1-x1tanα1=y2-x2tanα2,即y1-y2=x1tanα1-x2tanα2.如果把tanα1=-tanα2代入式子还可以进一步得到y1-y2=x1tanα1+x2tanα1,即y1-y2=(x1+x2)tanα1.?
答案:（1）直线l1和直线l4?
（2）tanα1+tanα2=0且y1-y2=x1tanα1+x2tanα2〔也可以写成y1-y2=(x1+x2)tanα1〕
13.过原点作直线l,交直线2x-y-1=0于A,交2x+y+3=0于B,若原点为线段AB的中点,求l的方程.
解:设l的倾斜角为α,则l的参数方程为(t为参数).?
将方程分别代入两直线方程中,?
2tcosα-tsinα=1,得t1=
2tcosα+tsinα+3=0,得t2=-
∵O(0,0)为AB中点,∴t1+t2=0.?
4cosα=4sinα.?
∴k=tanα=1,所求l的方程为y=x.
14.直线l经过点(0,)斜率为2,交椭圆于A、B两点,求AB中点到点(0,5)的距离.
解:由k=2=tanα,∴sinα=,cosα=,?
直线l的参数方程为(t为参数).?
代入椭圆方程9()2+4(+)2-36=0?5t2+16t-16=0.?
所求距离d=|t1+t2|=|-|=.
15.已知直线l过点P(-1,1),倾斜角为θ,与抛物线y2=-8x交于A、B两点.?
(1)求|PA|·|PB|的最小值及此时l的方程;?
(2)若P(-1,1)平分线段AB,求l的方程;?
(3)若线段AB被P(-1,1)三等分,求l的方程.
解析:由于题目所求部分有明确几何意义,可考虑用直线的参数方程.?
解:设直线l的参数方程为(t为参数),代入抛物线方程并整理得t2sin2α+2tsinα+8tcosα-7=0.?
∵Δ=(2sinα+8cosα)2+28sin2α=48+8sin(2α+)>0,∴它的两根t1、t2为AB对应的参数值.?
(1)|PA|·|PB|=|t1|·|t2|=|t1t2|=
(α≠kπ,否则直线与抛物线只有一个交点)?
当sinα=±1时,|PA||PB|有最小值7,此时直线方程为x=-1.?
(2)若P为中点,则t1+t2=0,?
∴=0.∴k=tanα=-4.?
直线l的方程为4x+y+3=0.?
(3)为AB的三等分点,不妨设|PA|=2|PB|,?
即t1=-2t2,
∴t1+t2=-t2,t1t2=-2t22.?
∴-2(t1+t2)2=t1t2.?
由韦达定理知
=-2·,?整理得(3sinα+8cosα)(sinα+8cosα)=0.?
∴k1=tanα1=-,k2=tanα2=-8.?
故所求直线l的方程为8x+3y+5=0或8x+y+7=0.
走近高考
1.(2006江西六校联考二) 已知点(x0,y0)在直线ax+by=0(a、b为常数)上,则的最小值为_________.
解析:由题意知最小值为点(a,b)到直线ax+by=0的距离.?
答案:
2.(经典回放)直线 (t为参数)的倾斜角是( )?
A.20°
B.70°?
C.110°
D.160°
解析一:把直线参数方程化成标准形式,为?
∴直线的倾斜角为110°.?
解析二:化直线参数方程为=-cot20°,即=tan110°,
∴直线的倾斜角是110°.?
答案:C?
评析:这一试题的考查方向是求参数方程表示直线的倾斜角.考查的知识点是直线参数方程的标准形式以及参数方程化普通方程等;主要考查由直线参数方程求倾斜角以及三角变换的能力等.
3.过点B(0,-a)作双曲线x2-y2=a2右支的割线BCD,又过右焦点F作平行于BD的直线,交双曲线于G、H两点.?
(1)求证:?
(2)设M为弦CD的中点,S△MBF= a2,求割线BD的倾斜角.
(1)证明:当a>0时,设割线的倾斜角为α,则它的参数方程为(t为参数). ①?
则过焦点F且平行于BD的直线GH的参数方程为(t为参数). ②?
将①代入双曲线方程,得t2cos2α+2atsinα-2a2=0.?
设方程的解为t1、t2,则有
BC·BD=t1t2=-,
同理,GF·FH=-FG·FH=-?
∴=2.?
同理,当a<0时也得上述结果.?
(2)解:当a>0时,首先确定割线BD的倾斜角的范围,?
显然1于是,BM=
设F到BD的距离为d,则d=
∴tanα=或tanα=-(舍去).?
∴α=arctan.?
同理,当a<0时,-∴BD的倾斜角为arctan(a>0)或π-arctan(a<0).
二 圆锥曲线的参数方程
主动成长
夯基达标
1.参数方程表示的曲线不在( )?
A.x轴上方?
B.x轴下方?
C.y轴右方?
D.y轴左方
答案:D
2.直线=1与椭圆=1相交于A、B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积等于3，这样的点P共有( )?
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:设P1(4cosα,3sinα),α∈(0,),则?
SP1AOB=S△OAP1+S△OBP1?
=12×4sinα+12×3×4cosα?
=6(sinα+cosα)=6 sin(α+).?
当α=时,SP1AOB的最大值为6.?
故S△P1AB≤6-S△OAB=6-6＜3.?
故AB的上方不存在满足题意的点P.又S△OAB=6＞3,所以AB的下方存在2个点满足要求.?
答案:B
3.椭圆(θ为参数)的左焦点的坐标是( )?
A.(-7,0)?
B.(0,-7)?
C.(-5,0)?
D.(-4,0)
解析:椭圆中,a=4,b=3,∴c=7.?
答案:A
4.参数方程 (1+sinθ)(0<θ<2π)表示( )?
A.双曲线的一支,这支过点(1,)?
B.抛物线的一部分,这部分过点(1,)?
C.双曲线的一支,这支过点(-1,)?
D.抛物线的一部分,这部分过点(-1,)
解析:消去参数θ,得x2=2y.?
∵x=|cos+sin|=|2sin(θ+)|,?
∵0<θ<2π,∴0≤x≤.?
∴参数方程表示抛物线的一部分,这部分过(1,).?
答案:B
5.已知曲线的参数方程为(t为参数),点A、B在曲线上对应的参数分别为t1和t2,又t1+t2=0,则|AB|等于?( )?
A.2p(t1-t2)?
B.2p(t12+t22)?
C.2p|t1-t2|?
D.2p(t1-t2)2
解析:由x1=2pt12,x2=2pt22,?
∴x1-x2=2p(t12-t22)=2p(t1+t2)(t1-t2)=0.?
则有|AB|=|y2-y1|,?
又∵y1=2pt1,y2=2pt2,?
∴|y2-y1|=2p|t2-t1|.?
答案:C
6.点P(x,y)在椭圆+(y-1)2=1上,则x+y的最大值是( )?
A.3+5?
B.5+5?
C.5?
D.6
解析:由于点P(x,y)在椭圆+(y-1)2=1上,有
(φ为参数).?
∴x+y=3+2cosφ+sinφ.?
由三角函数性质知x+y的最大值为3+.?
答案:A
7.参数方程(θ为参数)表示的曲线为( )?
解析:由x=sinθ+cosθ两边平方,得?
x2=1+2sinθcosθ=1+2y.?
∴y=x2-.?
且x=sinθ+cosθ=sin(θ+)∈［-,］.
答案:C
8.在椭圆+y2=1上求一点P,使点P到直线x-y+4=0的距离最小.
解:∵点P在椭圆+y2=1上,可设P(2cosφ,sinφ),则有?
d=d=
当θ-φ=时,d最小=
∴P().
9.设P(x,y)是椭圆2x2+3y2=12上的一动点,求x+2y的取值范围.
解:由2x2+3y2=12,∴=1.?
∴(θ为参数).?
∴x+2y=cosθ+4sinθ=sin(θ+φ),θ为实数,φ为辅助角.?
∴x+2y∈［-,］.
10.设直线l:x+2y+1=0交椭圆C:4(x-1)2+9(y+2)2=36于A、B两点，在椭圆上求一点P，使△ABP的面积最大.
解析:因为A、B为两定点,AB为定长,所以可将问题转化为在椭圆上求一点到直线的距离最大的问题.?
解:设椭圆C上的点P(1+3cosθ,-2+2sinθ),由于定直线l和定椭圆C截得的弦长为定长,又设P到直线l的距离为d,
则d==|5sin(θ+α)-2|,其中tanα=.?
故当sin(θ+α)=-1,即θ=2kπ+-α,k∈Z时,d有最大值,这时△ABP的面积最大.?
∵sinθ=sin(2kπ+-α)=-cosα=-,cosθ=-sinα=-,∴P()为所求.
11.已知抛物线y2=2px(p>0)上存在两点关于直线x+y-1=0对称，求p的取值范围.
解析:利用抛物线的参数方程,设点A、B的坐标分别为(2px12,2px1),(2px22,2px2),又二者关于直线x+y-1=0对称,则可列出等价方程,建立p的不等式.?
解:设抛物线上两点A、B的坐标分别为(2px12,2px1),(2px22,2px2)且关于直线x+y-1=0对称,则有
由第二个方程可得x1+x2=1代入第一个方程得x12+x22=＞0,故0＜p＜1.又由,得,即0＜p＜为所求.
12.已知双曲线=1(a>0,b>0)的动弦BC平行于虚轴，M、N是双曲线的左、右顶点,?
(1)求直线MB、CN的交点P的轨迹方程；?
(2)若P(x1,y1)，B(x2,y2),求证:a是x1、x2的比例中项.
解析:由题意可知点M的位置是由B、C的位置所决定的,而B、C又是动点,如果将B、C的坐标设为一般的形式,显然很难计算,计算起来很复杂,故在此可考虑将B、C两点坐标设为参数形式,对于此题的计算很有帮助.?
（1）解:由题意可设点B(asecθ,btanθ),
则点C(asecθ-btanθ),又M(-a,0),N(a,0),?
∴直线MB的方程为y=(x+a),?
直线CN的方程为(x-a).?
将以上两式相乘得点P的轨迹方程为x2a2+y2b2=1.?
（2）证明:因为P既在MB上,又在CN上,由两直线方程消去y1得x1=,而x2=asecθ,所以有x1x2=a2,即a是x1、x2的比例中项.
13.(1)求椭圆=1的内接矩形的最大面积;?
(2)已知矩形ABCD中,点C坐标为(4,4),A点在曲线x2+y2=9(x>0,y>0)上移动,且AB、AD两边始终分别平行于x、y坐标轴,求矩形面积ABCD最小时点A的坐标.
解:(1)设内接矩形在第一象限内的顶点为P(acosθ,bsinθ),则有?
S内接矩形=4S矩形AOBP=4·acosθ·bsinθ=2absin2θ.?
∵θ∈［0,］,∴2θ∈［0,π］.?
∴S内接矩形的最大值为2ab.?
(2)如图所示,设A(x,y),又设矩形ABCD的面积为S,则有S=(4-x)(4-y)=16-4(x+y)+xy.?
∵A(x,y)在曲线x2+y2=9上,?
∴x2+y2=(x+y)2-2xy=9.?
∴xy=
∴S=16-4(x+y)+
=［(x+y)-4］2+.?
又∵x=3cosθ,y=3sinθ(0<θ<),?
∴x+y=3(cosθ+sinθ)=32sin(θ+).?
∵<θ+<,∴3∴当x+y=4时,S有最小值.?
解方程组
∴A点坐标为()或().
14.点P在圆x2+(y-2)2=上移动，点Q在椭圆x2+4y2=4上移动，求PQ的最大值与最小值，及相应的点Q的坐标.
解:设Q(2cosα,sinα),O′(0,2),则O′Q2=(2cosα)2+(sinα-2)2=4cos2α+sin2α-4sinα+4=-3(sinα+)2+8+.?
故当sinα=-时，O′Q2取最大值为，O′Q=.
当sinα=1时，O′Q2取最小值为1，O′Q=1.?
又圆的半径为，?
故圆上的点P与Q的最大距离为PQ=+，P与Q的最小距离为PQ=1-=.?
PQ取最大值时，sinα=-,cosα=±，Q的坐标为()或(-)；?
PQ取最小值时，sinα=1,cosα=0，点Q的坐标为(0,1).
15.已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)、B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.
解析:本题的运算量较大,如果直接用普通方程来求解,其计算量会更大,同学们不妨一试.?
解:设A、B关于直线l的对称点分别为A1、B1,由对称性知∠A1OB1=∠AOB=90°,由抛物线的参数方程可设A1(2pt12,2pt1)(t1＜0),B1(2pt22,2pt2),?
又OA1=OA=1,OB1=OB=8,则有两式相除得=64.?
又∵kOA1=,kOB1=,OA1⊥OB1,?
∴k OA1·kOB1=-1,即t1·t2=-1.
则可将t2=-代入上式,得t16=,t1=-.?
故有2p=.?
∴A1(,-2).∴kAA1=,kl=.?
故所求直线l的方程为y=2x,抛物线C的方程为y2=x.
走近高考
1.(经典回放)在直角坐标系xOy中,参数方程 (t为参数)表示的曲线是( )?
A.双曲线
B.抛物线
C.直线
D.圆
解析:由x=2t+1,得t=,并代入y=2t2-1,得(x-1)2=2(y+1),表示抛物线.?
答案:B
2.(经典回放)下列参数方程(t为参数)中与方程y2=x表示同一曲线的是( )?
A.
B.
C.
D.
解析:由A得y=x2;由C得y2=|x|与y2=x不同,排除A、C;由B得y2=x(0≤x≤1)与y2=x的定义域不同,故排除B.?
答案:D
3.(经典回放)点P(1,0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为( )?
A.0
B.1?
C.2
D.2
解析:距离d==t2+1≥1.?
答案:B
4.(经典回放)直线y=2x-与曲线(φ为参数)的交点坐标是_________.
解析:曲线方程消去参数φ,得y=1-2x2.?
与y=2x-联立,得4x2+4x-3=0.?
∴x1=,x2=-.?
∵-1≤x≤1,∴x=.
∴y=.?
答案:( ,)
5.(经典回放)曲线 (θ为参数)上一点到直线y=x-5的距离d的最小值为( )?
A.
B.
C.
D.0
解析:d=
-9≤4cos(θ+)-5≤-1,?
∴d的最小值为.?
答案:C
6.设a、b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是( )?
A.-2
B.-
C.-3
D.-
解析:∵a2+2b2=6,∴=1.?
设(θ为参数),?
∴a+b=cosθ+sinθ=3sin(θ+φ),?
其中cosφ=,sinφ=,?
即a+b的最小值是-3.?
答案:C
7.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于( )?
A.-
B.-4?
C.4?
D.
解析:该双曲线方程为y2-=1,?
∴a2=1,b2=-.又∵b=2a,?
∴-=4.∴m=-.?
答案:A
8.设P是椭圆+y2=1(a>1)短轴的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值.
解:依题意可设P(0,1),Q(x,y),则|PQ|=
又因为Q在椭圆上,?
所以x2=a2(1-y2).?
|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1?
=(1-a2)y2-2y+1+a2?
=(1-a2)(y-)2-+1+a2.?
因为|y|≤1,a>1.?
若a≥2,则||≤1,当y=时,|PQ|取最大值;?
若1四 渐开线与摆线
主动成长
夯基达标
1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( )?
A.只有圆才有渐开线?
B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形?
C.正方形也可以有渐开线?
D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
解析：本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.首先要明确不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处,但是它们的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.?
答案：C
2.给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;?
②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;?
③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程;?
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.?
其中正确的说法有( )?
A.①③
B.②④?
C.②③
D.①③④
解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题.对于一个圆,只要半径确定,渐开线和摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.?
答案：C
3.已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是___________，当参数φ=时对应的曲线上的点的坐标为___________.
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.求当φ=π4时对应的坐标只需把φ=代入曲线的参数方程,x=,由此可得对应的坐标为().?
答案：2 ()
4.我们知道关于直线y=x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为___________.
解析：关于直线y=x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出摆线方程关于直线y=x的对称曲线方程，把其中的x与y互换，即是交换x与y对应的参数表达式.?
答案：(φ为参数)
5.已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的摆线的参数方程.
解析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4,易得圆的面积为16π,再代入渐开线的参数方程的标准形式即可得圆的渐开线的参数方程.
解：首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为4,所以面积是16π.?
该圆对应的渐开线的参数方程是?
(φ为参数).
6.已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程.
解析：根据圆的摆线的参数方程的表达式(φ为参数),只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式,根据表达式求出r的最大值,再确定对应的摆线和渐开线的方程.?
解：令y=0,得r(1-cosφ)=0,?
即得cosφ=1.?
所以φ=2kπ(k∈Z).?
代入x=r(2kπ-sin2kπ)=2,即得r=(k∈Z).?
又由实际可知r>0,?
所以r=1kπ(k∈N*).易知,当k=1时,r最大,最大值为1π.?
代入即可得圆的摆线的参数方程是?
(φ为参数),?
圆的渐开线的参数方程是?
(φ为参数).
?
走近高考
1.（高考预测题）如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH、…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )?
A.3π?
B.4π?
C.5π?
D.6π
解析：如题图,根据渐开线的定义可知,是半径为1的圆周长,长度为,继续旋转可得是半径为2的圆周长,长度为π；是半径为3的圆周长,长度为;是半径为4的圆周长,长度为2π.所以,曲线AEFGH的长是5π.?
答案：C
