一 平面直角坐标系
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基础·巩固
1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2=0，则曲线C的方程为( )
A.25x2+36y2=0 B.9x2+100y2=0
C.10x+24y=0 D.x2+y2=0
思路解析：将坐标直接代入新方程,即可得原来的曲线方程.将直接代入2x′2+8y′2=0,得2(5x)2+8(3y)2=0,即25x2+36y2=0为所求曲线C的方程.
答案：A
2△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是_______.
思路解析：取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立直角坐标系,则B(-2,0)、C(2,0),设A(x,y),则D(0,0),所以|AD|=.
答案：x2+y2=9(y≠0)
3在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.
(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=1.
思路分析：根据变换公式,分清新旧坐标代入即可.
解：(1)由伸缩变换,得.将其代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′+3y′=0.经过伸缩变换后,直线仍然是直线.
(2)将代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是=1.经过伸缩变换后,圆变成了椭圆.
4在同一平面直角坐标系中，将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x′2-y′2-4x′+3=0，求满足图象变换的伸缩变换.
思路分析：x2-36y2-8x+12=0可化为()2-9y2=1,①
x′2-y′2-4x′+3=0可化为(x′-2)2-y′2=1,②
比较①②，可得x′-2=,y′=3y.
解：伸缩变换为将曲线x2-36y2-8x+12=0所在的坐标系的x轴扩大到原来的2倍,y轴伸长到原来的3倍,就可得到曲线x′2-y′2-4x′+3=0的图象.
5已知△ABC，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且有BD∶DC=AE∶EB=CF∶FA.求证：△DEF与△ABC的重心重合.
思路分析：根据三角形的特点建立坐标系，利用重心坐标公式求解.
证明：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图：
设A(a,b),B(0,0),C(c,0),由重心G(),设=λ.
则点D(0),E(),F().
由重心坐标公式，可知△DEF的重心G′的坐标为：
(=().
∴G与G′重合.也就是△DEF和△ABC的重心重合.
6已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，sinB-sinC=sinA，求点A的轨迹.
思路分析：由于顶点A为动点，所以应该以底边为x轴建立坐标系，利用正弦定理求解.
解：
以底边BC为x轴，底边BC的中点为原点建立xOy坐标系，这时B(-6,0)，C(6,0)，由sinB-sinC=sinA,得b-c=a=6,即|AC|-|AB|=6.所以，点A的轨迹是以B(-6,0)，C(6,0)为焦点，2a=6的双曲线的左支.其方程为=1(x<-3).
综合·应用
7如图1-1-5，已知A、B、C是直线m上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线m于点A，又过B、C作⊙O′异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P.
图1-1-5
（1）求点P的轨迹方程;
（2）经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分所成比等于2∶3，求直线l的方程.
思路分析：先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程；根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标,列出方程组求点M、N的坐标,从而求出直线方程.
解：（1）∵|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,
∴|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=18＞6=|BC|.
∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.
以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是=1(a＞b＞0).
∵a=9,c=3,∴b2=72.
∴P点的轨迹方程是=1(y≠0).
（2）设M(x1,y1)、N(x2,y2),
∵C(3,0)分MN所成的比为,
∴∴=1.
∴①
又=1,②
由①②消去y2,得=1.
解得x2=-3,y2=±8,即N(-3,±8).
∴由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.
8如图1-1-6，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
图1-1-6
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S=lh，柱体体积为底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）
思路分析：当最大拱高h为定值时,隧道设计的拱宽l即为2a；当最大拱高h为变量时,可根据均值定理,得到椭圆面积为最小.
解：（1）如图建立坐标系,则点P(11,4.5),椭圆方程为=1.
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得a=,l=2a=≈33.3.故隧道的拱宽约为33.3米.
（2）由椭圆方程=1,得=1.
因为≥,
即ab≥99,且l=2a,h=b,
所以S=lh=.
当S取最小值时,有=,得a=,b=.
此时l=2a=222≈31.1,h=b≈6.4.
故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.
9某河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？
思路分析：求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线,一般用待定系数法.
本题中影响通航的因素是高度和宽度,而宽度是首要的,据对称性,可取拱顶为坐标原点,拱桥的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy,设抛物线方程为x2=-2py(p＞0),运用代定系数法确定参数p,问题即可获解.
解：根据题意,建立如图所示的直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p＞0),
∵A（4,-5）在抛物线上,∴42=-2p(-5),p=1.6.∴x2=-3.2y(-4≤x≤4).
设当水面BB′上涨到与抛物线拱顶相距h米时船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接触,于是可设木船宽BB′的端点B的坐标为（2,y1）,由22＝-3.2y1,得y1＝,h=|y1|+=||+=2（m）.所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时,船开始不能通航.
10如图1-1-7所示，一个椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，在一直角EOF内滚动，并始终与∠EOF的两边OE、OF分别相切.求椭圆中心O′的轨迹.
图1-1-7
思路分析：由于椭圆相对于直角是运动的，不便找出中心O′相对于直角的变化规律.若反过来变更问题的形式，由于直角与椭圆的动与静是相对的，把椭圆看作是固定的，而与之相切的直角自然就是绕着椭圆转动了.问题就转化为如图所示的“求椭圆=1的两条互相垂直的切线的交点的轨迹”.
解：如图所示，在坐标系xO′y中设两条互相垂直的切线OE、OF的交点O的坐标为(u,v)，当两条切线的斜率都存在时，设椭圆=1的切线的斜率为k，则过点O(u,v)的切线方程为y=k(x-u)+v，将其代入椭圆方程并整理可以得到
(b2+k2a2)x2-2a2(ku-v)x+a2［(ku-v)2-b2］=0.
于是有Δ=［-2a2（ku-v）］2-4(b2+k2a2)·a2［(ku-v)2-b2］=0.
化简得关于k的一元二次方程(u2-a2)k2-2uvk+(v2-b2)=0.
这个关于k的一元二次方程的两个根就是切线OE、OF的斜率.因为OE⊥OF，所以两根之积为-1，即=-1.从而有u2+v2=a2+b2.
当两条切线的斜率不都存在时，显然也有u2+v2=a2+b2成立.
这说明椭圆=1的两条互相垂直的切线OE、OF的交点O与椭圆的中心点O′之距恒为定值.再将问题转回到原问题上来，如图所示建立坐标系xOy，则O′的轨迹方程为x2+y2=a2+b2(b≤x≤a且b≤y≤a).
四 柱坐标系与球坐标系简介
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基础·巩固
1如图1-3-5，极坐标方程ρ=asinθ(a>0)所表示的曲线的图形是( )
图1-3-5
思路解析：如果没有记住它的图形，不妨化其为直角坐标方程:ρ=asinθ，ρ2=ρasinθ,x2+y2=ay,x2+(y-)2=,图形显然是以(0,)为圆心，为半径的圆.选C.
答案:C
2极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是( )
A.2 B. C.1 D.
思路解析：本题有两种解法.第一种解法是直接在极坐标系中,根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是(,0)和(,),这两点间的距离是.第二种解法是将方程化为直角坐标方程,因为ρ不恒为0,可以用ρ分别乘方程两边,得ρ2=ρcosθ和ρ2=ρsinθ,极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2=x和x2+y2=y,它们的圆心分别是(,0),(0,),圆心距是.
答案:D
3在极坐标系中，点P(2,)到直线ρsin(θ-)=1的距离等于( )
A.1 B.2 C.3 D.1+
思路解析：可化为直角坐标，利用点到直线的距离公式求解.
∵xP=2cos=，yP=2sin=-1,∴P点的直角坐标为(,-1).
又直线ρsin(θ-)=1化为直角坐标方程为y-x-1=0,
∴点P到直线的距离d=|-·+·(-1)-1|=1+.
答案：D
4下列方程各表示什么曲线?
(1)y=a,答_____________;(2)ρ=a,答_____________;(3)θ=a,答_____________.
思路解析：方程表示什么样的曲线,主要看清楚方程的形式,找到方程中的变量之间的关系.首先得熟悉直角坐标系下的特殊曲线的方程.
答案：(1)在直角坐标系下,y=a表示与x轴平行的直线
(2)在极坐标系下,ρ=a表示圆心在极点,半径为a的圆
(3)在极坐标系下,θ=a表示过极点,倾斜角为a的射线
5画出极坐标方程(θ-)ρ+(-θ)sinθ=0的图形.
思路解析：若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线.
答案：如图,将原方程分解因式得(θ-)(ρ-sinθ)=0,
∴θ-=0,即θ=为一条射线,或ρ-sinθ=0为一个圆.
6证明过A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)两点的直线l的极坐标方程是.
思路分析：虽然所证明的方程看起来比较复杂,但是,只要理清求曲线方程的步骤,问题是不难解决的.
证明：设M(ρ,θ)为直线AB上一点,
∵S△AOB=ρ1ρ2sin(θ2-θ1),
S△AOM=ρρ1sin(θ-θ1),
S△BOM=ρρ2sin(θ2-θ),
又S△AOB =S△AOM+S△BOM,
∴ρ1ρ2sin(θ2-θ1)=ρρ1sin(θ-θ1)+ρρ2sin(θ2-θ),
即.
7在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2+y2=1上一个动点，且∠AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹的极坐标方程.
思路分析：先建系,再由面积求.
解：以圆心O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(ρ,θ),P(1,2θ).
∴S△OAQ+S△OQP=S△OAP.
∴·3ρsinθ+ρsinθ=·3·1·sin2θ.
整理得ρ=cosθ.
8从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M，P为OM上一点，已知|OP|·|OM|=1，求P点的极坐标方程.
思路分析：先把直线化为极坐标方程,由于P点的运动与M点有关,可以利用转移法来解决问题.
解：以O为极点,x轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2ρcosθ+4ρsinθ-1=0.
设M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则2ρ0cosθ+4ρ0sinθ-1=0.
又.代入cosθ+sinθ-1=0,
∴ρ=2cosθ+4sinθ,这是一个圆(ρ≠0).
综合·应用
9点A、B在椭圆=1上，O为原点，OA⊥OB.
(1)求证：为定值；
(2)求△AOB面积的最大值和最小值.
思路解析：此题看起来与极坐标方程没有什么关系,但是当把椭圆方程化为极坐标方程后,就可以发现OA与OB长度的关系了；在△AOB中利用正弦定理的面积公式也容易找到其面积的最大值和最小值.
(1)证明：椭圆半长轴长为a,半短轴长为b,以O为极点,长轴一端与点O的射线为极轴,建立坐标系,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入椭圆方程,得b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2.
∴ρ2=
即ρ2=.设OA的极角为α,则OB的极角为+α.
∴.
∴为定值.
(2)解：设A的极坐标为(ρ1,θ),则B(ρ2,θ+).点A、B满足方程ρ12=,ρ22=.∵OA⊥OB,∴S△OAB=ρ1ρ2.
而ρ12ρ22=,
这里ρ1ρ2与ρ12ρ22同时取得最大值和最小值.
故当sin2θ=0时,ρ12ρ22有最大值,ρ1ρ2有最大值,
(S△OAB)max=·=；
当sin2θ=±1时,ρ12ρ22有最小值,ρ1ρ2有最小值,
(S△OAB)min=·=.
二 极坐标系
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基础·巩固
1点P的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为( )
A.(2,) B.(2,)
C.(2,) D.(2,)
思路解析：
因为点P()在第二象限,与原点的距离为2,且OP的倾斜角为.故选B.
答案：B
2图1-2-8是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立坐标系，说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来.
图1-2-8
思路分析：如图所示,以AB所在直线为极轴,点A为极点建立极坐标系.找AB、AC、AD、AE的距离为各点的极径,分别以x轴为始边,AB、AC、AD、AE为终边找在0到2π之间的极角.
解：教学楼点A(0,0),体育馆点B(60,0),图书馆点C(120,),实验楼点D(,),办公楼点E(50,).
3已知过曲线(θ为参数，且0≤θ≤π)上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是( )
A.(3,4) B.(,)
C.(-3,-4) D.(,)
思路解析：因为点P与原点O的直线PO的倾斜角为，即点P的极角θ=，直接代入已知曲线方程，即可求出点P的直角坐标来.
答案：B
4极坐标系中，点A的极坐标是(3,)，则
(1)点A关于极轴对称的点是_______________；
(2)点A关于极点对称的点的极坐标是_______________；
(3)点A关于直线θ=的对称点的极坐标是_______________.（规定ρ>0,θ∈［0,2π］）
思路解析：如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角的变化.另外,我们要注意：极角是以x轴正向为始边,按照逆时针方向得到的.
答案：(1)(3,) (2)(3,) (3)(3,)
5直线l过点A(3,)、B(3,)，则直线l与极轴夹角等于_______________.
思路解析：如图所示,先在图形中找到直线l与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A、B的位置分析夹角的大小.
∵|AO|=|BO|=3,∠AOB=-=,
∴∠OAB=分 π-.
∴∠ACO=π--=.
答案：
6极坐标方程ρ=所对应的直角坐标方程为__________.
思路解析：因为ρ=可化为ρ=,即ρ=,
去分母,得ρ=2+ρcosθ.将公式代入得x2+y2=(2+x)2.整理可得.
答案：y2=4(x+1)
7在极轴上求与点A(,)距离为5的点M的坐标_________.
思路分析：题目要求是点在极轴上,可设点M(r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A、M两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M的坐标来.
解：设M(r,0),
∵A(,),∴=5,
即r2-8r+7=0.解得r=1或r=7.
∴M点的坐标为(1,0)或(7,0).
在极坐标系下,任意两点P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下：
|P1P2|=,此式可直接利用余弦定理证得.
8已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(5,),B(5,),C(,),判断△ABC的形状，并求出它的面积.（提示：对于点M(ρ,θ)，当极径小于零时，此时M点在极角θ终边的反向延长线上，且OM=|ρ|）
思路分析：判断△ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.
解：∵∠AOB=,∠BOC=,∠AOC=,
又∵|OA|=|OB|=5,|OC|=,
∴由余弦定理，得|AC|2=|OA|2+|OC|2-2|OA|·|OC|·cos∠AOC
=52+()2-2×5×·cos=133.
∴|AC|=.同理,|BC|=.
∴|AC|=|BC|.∴△ABC为等腰三角形.
又|AB|=|OA|=|OB|=5,∴AB边上的高h=.
∴S△ABC=×.
综合·应用
9二次方程x2-ax+b=0的两根为sinθ、cosθ，求点P(a,b)的轨迹方程（其中|θ|≤）.
思路分析：这是一道三角函数知识与极坐标知识的综合运用题,尤其对三角要求比较高,还要注意三角函数的有界性,求出轨迹方程的限制条件.
解：由已知,得.①②
①2-2②,得a2=2(b+).
∵|θ|≤,由sinθ+cosθ=sin(θ+),知0≤a≤.
由sinθ·cosθ=sin2θ,知|b|≤.
∴P(a,b)的轨迹方程是a2=2(b+)（0≤a≤）.
10舰A在舰B的正东6 km处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4 km处，它们围捕海洋动物.某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号.A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是 km/s，其中g为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A所在地为极点建立极坐标系，求舰A发射炮弹的极坐标.
思路分析：先建立直角坐标系,分析出点P在双曲线上,又在线段的垂直平分线上,求出交点P的坐标,然后求出P、A两点之间的距离和PA与x轴正向所成的角,即可确定点P的极坐标.
解：对舰B而言,A、C两舰位置如图所示.为方便起见,取B所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立平面直角坐标系,则A、B、C三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,).由于B、C同时发现动物信号,记动物所处位置为P,则|PB|=|PC|.于是P在BC的中垂线l上,此直线的倾斜角为30°,则其斜率为tan30°=,设此直线为y=x+b,将B,C的中点(-4,)代入上式,得b=,则求得其方程为x-3y+=0.
又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|-|PA|=4.∴a=2.又A、B的坐标分别为(3,0)、(-3,0),可知c=3.∴.于是知P应在双曲线=1的右支上.由得直线l与双曲线的交点P(8,53)即为动物的位置,至此问题便可获解.据已知两点的斜率公式,得直线PA的倾斜角为60°.于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|PA|==10.
所以,以舰A所在地为极点,舰A发射炮弹的极坐标为(10,).
11我们已经熟悉了极点在直角坐标系的原点、极轴与x轴正向相同的极坐标系下直角坐标与极坐标的互化,那么当极点不在坐标原点,以与x轴平行的直线的正向为极轴时，又怎么求出点的极坐标来呢？
(1)极坐标系的极点在直角坐标系的O′(-3+)，极轴的方向与x轴正向相同，两个坐标系的长度单位相同，则点P(-3,)的极坐标是____________.
(2)极点在点O′(3,5)处，极轴与y轴正方向一致，两个坐标系的长度单位相同，求点M(9,-1)的极坐标.
思路分析：不管哪种建系原则,我们只要从定义出发,就能够解决问题.需要的量是极径、极点与点P的距离、极角,从极轴开始逆时针旋转到OP所得到的角.
解：(1)如图(1),在Rt△PAO′中,O′A=-3+-（-3）=,AP=-=.则tanα==1,α=,θ=∠x′O′P=π+=,
ρ=|O′P|=.
在极坐标系O′x′中,P点的极坐标是(,).
(2)利用定义求出点的极坐标.
如图(2),过O′点作O′A∥Ox轴,过M点作MA∥Oy轴,与O′A交于A点,连结O′M,则
ρ=|O′M|=,
在Rt△MAO′中,|O′A|=9-3=6,cos∠AO′M=,
∴∠AO′M=.
∴θ=-=.（注:极角是极轴按照逆时针方向旋转的）
∴M().
12如图1-2-9所示是某防空部队进行射击训练时的示意图，以O为极点，OA所在直线为极轴，已知A点坐标为(1,0)（千米），直升飞机位于D点向目标C发射防空导弹，D点坐标为(,)，该导弹运行与地面最大高度为3千米，相应水平距离为4千米(即图中E点)，在地面O、A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为α和β，tanα=，tanβ=，不考虑空气阻力，导弹飞行轨道为一抛物线，那么按轨道运行的导弹能否击中目标C?说明理由.
图1-2-9
思路分析：能否击中C点，关键是看一下C点是否在导弹飞行的轨迹上，需要算出它的轨迹方程来.先把极坐标化为直角坐标，然后建立直角坐标系：以地面为x轴，以点D向地面作的垂线为y轴,并且求出C点坐标，再验证该点是否满足轨迹方程.
解：A点化为(1,0)，D点化为(0,)，由已知E点为(4,3),
设抛物线为y=a(x-4)2+3.由抛物线过点(0,)，求得a=.所以y=(x-4)2+3=x2+x+.
设C点坐标为(x0,y0)，过C作CB⊥Ox于B，tanα=,tanβ=,则x0=(x0-1).
解得x0＝7，求出y0＝,即C点坐标为(7,)，经计算x02+x0+=·72+·7+=.
所以C点在抛物线上.故依轨道运行的导弹可以击中目标C.
