第3章 图形的相似
3．1 比例线段
3．1.1 比例的基本性质
1．掌握比例的基本性质及其简单应用．(重点)
2．能灵活运用比例的基本性质进行比例式的变形．(难点)
阅读教材P62～63，理解并掌握比例的基本性质．
(一)知识探究
1．如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数________．通常我们把a，b，c.d四个实数成比例表示成a∶b＝c∶d或＝，其中________称为比例内项，________称为比例外项．
2．比例的基本性质：如果＝，那么________＝bc.
(二)自学反馈
1．下列数字中，成比例的一组是( )
A．1，2，3，4 B．16，8，10，5
C．8，5，6，10 D．5，5，6，7
2．若＝≠0，则＝________，＝________.
活动1 小组讨论
例1 已知四个非零实数a，b，c，d成比例，即＝.①
下列各式成立吗？若成立，请说明理由．
＝，②
＝，③
＝.④
解：由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，
因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立．
由①式，得ad＝bc.
在上式两边同除以cd，得＝，即③式成立．
在①式两边都加上1，得＋1＝＋1.
由此得到＝，即④式成立．
例2 根据下列条件，求a∶b的值：
(1)4a＝5b； (2)＝.
解：(1)∵4a＝5b，∴＝.
(2)∵＝，∴8a＝7b.∴＝.
比例式与等积式可以互化，将等积式化为比例式时，只要保证在同一积中的两个数放在同一条“对角线”的两端即可；将比例式化成等积式，利用等式的性质和解方程的观点处理比例式的问题是一种常用的方法．21世纪教育网版权所有
活动2 跟踪训练
1．下列各组数中，成比例的是( )
A．3，6，7，9 B．2，5，6，8
C．3，6，9，18 D．11，12，13，14
2．若＝，则＝________.
3．已知＝，则＝________.
4．求下列各式中的x值．
(1)5∶x＝10∶2;
(2)7∶12＝14∶2x；
(3)∶＝x∶3;
(4)(5－x)∶x＝2∶6.
活动3 课堂小结
1．什么叫四个数成比例？
2．比例的基本性质．
【预习导学】
知识探究
1．成比例 b，c a，d 2.ad
自学反馈
1．B 2.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2. 3. 4.(1)x＝1.(2)x＝12.(3)x＝6.(4)x＝.
第3章 图形的相似
3．1 比例线段
3．1.1 比例的基本性质
01 基础题
知识点1 比例及其有关概念
1．已知a＝3，b＝13，则a与b的比是(A)
A. B.
C. D.
2．下列选项中，与3∶(－2)比值相等的是(C)
A.∶ B．(－)∶
C．(－)∶ D.∶
3．请用2，4，6，3写一个比例式2∶4＝3∶6，其中4和3称为比例内项，2和6称为比例外项．(答案不唯一)21cnjy.com
知识点2 比例的基本性质
4．把ad＝bc写成比例式，不正确的是(C)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
5．若a∶b＝5∶3，则下列a与b关系的叙述，正确的是(A)
A．a为b的倍 B．a为b的
C．a为b的 D．a为b的倍
6．若a∶3＝b∶4，则(A)
A．a∶b＝3∶4 B．a∶b＝4∶3
C．b∶a＝3∶4 D．4∶b＝a∶3
7．若＝，则的值为(A)
A．－ B. C. D.21世纪教育网版权所有
8．填空：
(1)如果7a＝6b，那么a∶b＝；
(2)如果9a＝5b，那么b∶a＝；
(3)如果a＝b，那么a∶b＝；
(4)如果a＝0.45b，那么b∶a＝．
9．已知四个数a，b，c，d成比例．
(1)若a＝－2，b＝3，c＝4，求d；
(2)若a＝3，b＝4，d＝12，求c.
解：(1)d＝－6.
(2)c＝9.
10．求下列各式中x的值：
(1)3∶8＝15∶x；
解：x＝40.
(2)＝；
解：x＝1.6.
(3)∶＝x∶.
解：x＝.
02 中档题
11．若x∶y＝2∶3，则下列各式中正确的是(A)
A．3x＝2y B．2x＝3y
C.＝ D.＝
12．若＝，则的值是(D)
A. B.
C. D.
13．已知＝，则的值是(D)
A. B.
C. D.
14．(牡丹江中考)若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则的值是(A)
A．－5 B．－
C. D．5
15．已知5a＝4b，求下列各式的值：
(1)；(2)；(3).
解：由5a＝4b，得＝.
∴(1)＝－1＝－.
(2)＝＋1＝.
(3)由(1)÷(2)，得＝＝－.
16．已知三个数2、4、8，请你再添上一个数，使它们成比例，求出所有符合条件的数．
解：设添加的数为x，
当x∶2＝4∶8时，x＝1；
当2∶x＝4∶8时，x＝4；
当2∶4＝x∶8时，x＝4，
当2∶4＝8∶x时，x＝16，
所以可以添加的数有1，4，16.
17．已知＝≠1，求证：＝.
证明：设＝＝k(k≠1)，则b＝ak，c＝dk，
将其代入左右两边可得：
左边＝＝，
右边＝＝，
∵左边＝右边，
∴＝.
03 综合题
18．求比例式的值常用的方法有“设参消参法”、“代入消元法”、“特殊值法”．
例：已知＝＝，求的值．
方法1：设＝＝＝k，则x＝2k，y＝5k，z＝7k.
所以＝＝＝.
方法2：由＝＝，得y＝x，z＝x.代入，得
＝＝＝.
方法3：取x＝2，y＝5，z＝7，则＝＝.
参考上面的资料解答下列问题：已知a、b、c为△ABC的三条边，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝－2∶7∶1，a＋b＋c＝24.21教育网
(1)求a、b、c的值；
(2)判断△ABC的形状．
解：(1)设a－c＝－2k，a＋b＝7k，c－b＝k，则
解得
∵a＋b＋c＝24，
∴3k＋4k＋5k＝24.
∴k＝2.
∴a＝6，b＝8，c＝10.
(2)∵a2＋b2＝100，c2＝100，
∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形．
3.1.2 成比例线段
1．掌握比例线段的概念及其性质，会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例．(重点)
2．知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．
阅读教材P64～66，自学，能够灵活运用比例线段的性质解决问题．
(一)知识探究
1．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作____________，简称比例线段．21教育网
2．将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比，即使得________，那么称线段AB被点C________，点C叫作线段AB的____________，较长线段AC与原线段AB的比叫作________．21cnjy.com
1．两线段是几何图形，可用它的长度比来确定．
2．度量线段的长，单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关．21·cn·jy·com
3．表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD.
(二)自学反馈
1．如图，线段AB∶BC＝1∶2，那么AC∶BC等于( )
A．1∶3 B．2∶3 C．3∶1 D．3∶2
2．下列各组中的四条线段成比例的是( )
A．1 cm，2 cm，20 cm，40 cm
B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
C．4 cm，2 cm，1 cm，3 cm
D．5 cm，10 cm，15 cm，20 cm
活动1 小组讨论
例1 已知线段a，b，c，d的长分别为0.8 cm，2 cm，1.2 cm，3 cm，问a，b，c，d是比例线段吗？www.21-cn-jy.com
解：∵＝＝0.4，＝＝0.4，
∴＝，即a，b，c，d是比例线段．
例2 已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.
解：作法：(1)延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A，F为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD＝AB；
(2)连接AD，在AD上截取DE＝DB；
(3)在AB上截取AC＝AE.如图，点C就是线段AB的黄金分割点．
活动2 跟踪训练
1．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是( )
A．AC2＝BC·AB B．AC2＝2AB·BC
C．AB2＝AC·BC D．BC2＝AC·AB
2．延长线段AB到点C，使BC＝AB，则AC∶AB＝________，AB∶BC＝________，BC∶AC＝________.
3．若a＝2，b＝6，c＝5，当d＝________时，a，b，c，d是成比例线段．
4．在比例尺为1：10 000 000的地图上，量得A，B两地的距离是50 cm，则A，B两地的实际距离为________ km.21世纪教育网版权所有
活动3 课堂小结
学生试述：今天学到了什么？
【预习导学】
知识探究
1．成比例线段 2.＝ 黄金分割 黄金分割点 黄金分割比
自学反馈
1．D 2.A
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．A 2.2∶1 1∶1 1∶2 3.15 4.5 000
3.1.2 成比例线段
01 基础题
知识点1 线段的比
1．已知：线段a＝5 cm，b＝2 cm，则＝(C)
A. B．4 C. D.21·cn·jy·com
2．如图，若点A、B、C在同一直线上，且AC∶BC＝3∶2，则AB∶BC＝(C)
A．2∶1 B．5∶3
C．5∶2 D．3∶1
3．根据图示求线段的比：、、.
解：＝＝，
＝＝，
＝＝.
知识点2 比例线段
4．下列各组中的四条线段成比例线段的是(A)
A．1 cm，2 cm，20 cm，40 cm
B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
C．4 cm，2 cm，1 cm，3 cm
D．5 cm，10 cm，15 cm，20 cm
5．在比例尺是1∶38 000的南京交通游览图上，玄武湖公园与雨花台烈士陵园之间的距离约为20厘米，则它们之间的实际距离约为(D)www.21-cn-jy.com
A．19 000厘米 B．0.76千米
C．1.9千米 D．7.6千米
6．已知a，b，c，d是成比例线段．
(1)若a＝4，b＝1，c＝12，求d；
(2)若a＝1.5，b＝2.5，d＝2，求c；
(3)若b＝，c＝，d＝3，求a.
解：(1)∵＝，∴＝.∴d＝3.
(2)∵＝，∴＝.∴c＝1.2.
(3)∵＝，∴＝.∴a＝.
知识点3 黄金分割
7．如图，点C是线段AB的黄金分割点，则下列等式不正确的是(D)
A.＝ B.≈0.618
C．AC＝AB D．BC＝AB
8．一条线段的黄金分割点有2个．
9．如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离(结果保留根号)．
解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝80×＝40－40.
∴CD＝AC＋BD－AB＝2BD－AB＝80－160.
答：C、D之间的距离为(80－160)cm.
02 中档题
10．已知成比例的四条线段的长度分别为6 cm，12 cm，x cm，8 cm，且△ABC的三边长分别为x cm，3 cm，5 cm，则△ABC是(C)21教育网
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．无法判定
11．已知线段AB上有两点C、D，且AC∶CB＝1∶5，CD∶AB＝1∶3，则AC∶CD等于(A)
A．1∶2 B．1∶3
C．2∶3 D．1∶1
12．如图所示，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E，F分别为AB，CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于(A)
A.∶1
B．1∶
C.∶1
D．1∶
13．将两块长为a米，宽为b米的长方形红布，加工成一个长c米，宽d米的长方形，有人就a，b，c，d的关系写出了如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是(D)21世纪教育网版权所有
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
14．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为(C)21cnjy.com
A．4 cm
B．6 cm
C．8 cm
D．10 cm
15．甲、乙两地的图上距离是15 cm，实际距离是750 km，则比例尺为1∶5__000__000．
16．已知三条线段的长分别为3 cm，6 cm，8 cm，如果再增加一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长可以为多少？2·1·c·n·j·y
解：设这条线段长为x cm，
若x、3、6、8成比例，则＝，解得x＝；
若3、x、6、8成比例，则＝，解得x＝4；
若3、6、x、8成比例，则＝，解得x＝4；
若3、6、8、x成比例，则＝，解得x＝16.
综上所述，这条线段的长可以为4 cm，16 cm或 cm.
17．我们知道：选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说两条线段的比AB∶CD＝m∶n，如果把表示成比值k，那么＝k，或AB＝kCD.请完成以下问题：
(1)四条线段a，b，c，d中，如果＝，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段．
(2)已知＝＝2，那么＝3，＝3；
(3)如果＝，那么＝成立吗？请用两种方法说明其中的理由．
解：成立．方法一：∵＝，
∴－1＝－1，即＝.
方法二：设＝＝k，则a＝kb，c＝kd.
∴＝＝k－1，＝＝k－1.
∴＝.
03 综合题
18．已知线段AB，试作线段AB的黄金分割点C.
作法：(1)作BD⊥AB，且使BD＝AB；
(2)连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E；
(3)以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C.点C就是线段AB的黄金分割点．
请你探究：点C为什么是线段AB的黄金分割点？
解：设DB＝x，则AB＝2x，
AD＝＝x.
又∵DE＝x，
∴AE＝x－x，即AC＝x－x.
∴＝＝.
∴点C是线段AB的黄金分割点．
