3.4 相似三角形的判定与性质
3．4.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定的预备定理
经历三角形相似的判定定理“平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”的探索及证明过程，掌握并能应用该定理进行计算或证明．(重难点)
阅读教材P77～78，自学“例1”“例2”，掌握并能应用三角形相似的判定定理“平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”进行相关的计算或证明．
(一)知识探究
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形________．
(二)自学反馈
在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
(1)△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
(2)分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
(3)△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
活动1 小组讨论
例1 如图，在△ABC中，已知点D，E分别是AB，AC边的中点．求证：△ADE∽△ABC.
证明：∵点D，E分别是AB，AC边的中点，
∴DE∥BC.
∴△ADE∽△ABC.
例2 如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F，使DE＝EF.求证：△CFE∽△ABC.21教育网
证明：∵DE∥BC，点D为△ABC的边AB的中点，
∴AE＝CE.
又DE＝FE，∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△CFE.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴△CFE∽△ABC.
相似多边形对应边成比例，关键要理解“对应”二字，最长边对应最长边，最短边对应最短边．
活动2 跟踪训练
1．如图，△ABC中，DE∥BC，AD∶AB＝1∶3，则DE∶BC＝________.
2．如图，DE与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E两点，且DE∥BC.若DE＝2 cm，BC＝3 cm，EC＝ cm，则AC＝________ cm.21cnjy.com
活动3 课堂小结
相似三角形的判定定理：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．
【预习导学】
知识探究
相似
自学反馈
(1)分别相等．(2)通过测量，得到它们的边长是对应成比例的．(3)△ADE与△ABC相似，平行移动DE的位置，此结论还成立．21世纪教育网版权所有
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．1∶3 2.2
3．4 相似三角形的判定与性质
3．4.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定的预备定理
01 基础题
知识点 用基本定理判定两个三角形相似
1．如图，在△ABC中，DE∥AB，DE与AC，BC的交点分别为D，E，若＝，则等于(B)
A. B.
C. D.
2．(贵阳中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，BC＝12，则DE的长是(B)
A．3 B．4
C．5 D．6
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(B)
A．1 个 B．2个
C．3个 D．4个
4．(威海中考)如图，在?ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF∶CF＝(A)
A．1∶2 B．1∶3
C．2∶3 D．2∶5
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝3 cm，BC＝5 cm，则△ADE与△ABC的相似比为．
6．(1)如图1, DE∥BC，则△ADE∽△ABC，对应边的比例式是： ＝＝；
(2)如图2, A′B′∥AB，则△OA′B′∽△OAB，对应边的比例式是：＝＝．
7．如图，∠ADE＝∠B，求证：△ADE∽△ABC.
证明：∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC.
∴△ADE∽△ABC.
8．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.求BC的长．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝，即＝.
∴＝.
∴BC＝9.
02 中档题
9．在△ABC中，若点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，＝2，DE＝4 cm，则AC的长为(D)
A．8 cm B．10 cm
C．11 cm D．12 cm
10．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是(A)21cnjy.com
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
11．(邵阳中考)如图，在?ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：△ABP∽△AED∽△BEF∽△CDF(任写一组即可)．21·cn·jy·com
12．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，则OC＝4.21世纪教育网版权所有
13．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC、BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN＝38 m，求AB的长．2·1·c·n·j·y
解：∵MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB.
又∵AM＝3MC，
∴＝.
∴＝，即＝.
∴AB＝38×4＝152(m)．
14．如图，已知?ABCD中，E为AD延长线上的一点，AD＝AE，BE交DC于F，指出图中各对相似三角形及其相似比．www.21-cn-jy.com
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，DC∥AB.
∴△DEF∽△CBF，
其相似比为＝＝＝＝.
∵DC∥AB，∴△DEF∽△AEB，
其相似比为＝＝.
∴△CBF∽△AEB，其相似比为＝＝.
03 综合题
15．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．21教育网
解：∵在△ABC中，EG∥BC，
∴△AEG∽△ABC，
∴＝.
∵BC＝10，AE＝3，AB＝5，
∴＝，∴EG＝6.
∵在△BAD中，EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，∴＝.
∵AD＝6，AE＝3，AB＝5，
∴＝，∴EF＝.
∴FG＝EG－EF＝.
第2课时 相似三角形的判定定理1
1．了解三角形相似的判定定理1的探索及证明过程．
2．掌握并能应用该定理进行相关的计算或证明．(重难点)
阅读教材P79～80，自学“动脑筋”“例3”“例4”，理解相似三角形的判定定理1.
(一)知识探究
两角分别________的两个三角形相似．
(二)自学反馈
1．如图所示，已知∠ADE＝∠B，则△AED∽________.理由是________________．
2．顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？
活动1 小组讨论
例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F.求证：△DEH∽△BCA.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠D＋∠DHE＝∠B＋∠BHF＝90°.
∵∠BHF＝∠DHE，
∴∠D＝∠B.
又∵∠HED＝∠C＝90°，
∴△DEH∽△BCA.
关键是找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，寻找公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角．21教育网
例2 如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C＝90°，∠F＝90°，若∠A＝∠D，AB＝5，BC＝4，DE＝3，求EF的长．21·cn·jy·com
解：∵∠C＝90°，∠F＝90°，∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEF.∴＝.
又AB＝5，BC＝4，DE＝3，
∴EF＝2.4.
活动2 跟踪训练
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝52°，Rt△DEF中，∠F＝90°，∠D＝38°，则这两个三角形的关系是( )21世纪教育网版权所有
A．不相似 B．相似
C．全等 D．不能确定
2．如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O，若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝( )21cnjy.com
A．1 B．2
C．3 D．5
3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC.求证：△ABC∽△FDE.
活动3 课堂小结
1．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
2．根据题目已知条件，如何寻找角相等来证明三角形相似．
【预习导学】
知识探究
相等
自学反馈
1．△ACB 两角分别相等的两个三角形相似
2．相似，理由略．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.D 3.证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B＝∠FDE，∠C＝∠FED，∴△ABC∽△FDE.
第2课时 相似三角形的判定定理1
01 基础题
知识点 两角分别相等的两个三角形相似
1．如图，D是BC上的点，∠ADB＝∠BAC，则下列结论正确的是(B)
A．△ABC∽△DAC B．△ABC∽△DBA
C．△ABD∽△ACD D．以上都不对
2．如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连接BF，则图中与△ABE一定相似的三角形是(B)21世纪教育网版权所有
A．△EFB B．△DEF
C．△CFB D．△EFB和△DEF
3．∠1＝∠2是下列四个图形的共同条件，则四个图中不一定有相似三角形的是(D)
4．(长春中考)如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为(B)
A. B. C．2 D．321cnjy.com
5．如图，锐角△ABC的边AB和AC上的高线CE和BF相交于点D.请写出图中的一对相似三角形：答案不唯一，如△ABF∽△DBE或△ACE∽△DCF或△EDB∽△FDC等．21·cn·jy·com
6．如图，∠C＝∠E＝90°，AD＝10，DE＝8，AB＝5，则AC＝3．
7．(怀化中考)如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，求证：△ABC∽△DEF.www.21-cn-jy.com
证明：在△ABC中，∠B＝180°－∠A－∠C＝79°，
∴∠B＝∠E.
又∵∠C＝∠F，
∴△ABC∽△DEF.
8．如图，点B、D、C、F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.
证明：∵AB∥EF，AC∥DE，
∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF.
∴△ABC∽△EFD.
02 中档题
9．(江阴模拟)下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是(C)
A．都含有一个30°的内角
B．都含有一个45°的内角
C．都含有一个60°的内角
D．都含有一个80°的内角
10．(安徽中考)如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(B)
A．4
B．4
C．6
D．4
11．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE(答案不唯一)，使△ABC∽△ADE.
12．如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP＝1，点D为AC边上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为．21教育网
13．如图，AD、BE是钝角△ABC的边BC、AC上的高，求证：＝.
证明：∵AD、BE是钝角△ABC的高，∴∠BEC＝∠ADC＝90°.
又∵∠DCA＝∠ECB，
∴△DAC∽△EBC.
∴＝.
14．如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F.
(1)△ABE与△DFA相似吗？请说明理由；
(2)若AB＝6，AD＝12，AE＝10，求DF的长．
解：(1)△ABE∽△DFA.
理由：∵四边形ABCD是矩形，
DF⊥AE，
∴∠B＝∠DFA＝90°.
∴∠FAD＋∠FDA＝90°，∠BAE＋∠FAD＝90°.
∴∠BAE＝∠FDA.
∴△ABE∽△DFA.
(2)∵△ABE∽△DFA，
∴＝.
∴DF＝＝＝7.2.
03 综合题
15．在△ABC中，P为边AB上一点．
(1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；
(2)若M为CP的中点，AC＝2.
①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；
②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．
解：(1)证明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP，
∴△ACP∽△ABC.
∴＝.
∴AC2＝AP·AB.
(2)①作CQ∥BM交AB的延长线于点Q.
∴∠PBM＝∠AQC.
∵∠PBM＝∠ACP，
∴∠AQC＝∠ACP.
又∵∠PAC＝∠CAQ，
∴△APC∽△ACQ.∴＝.
∴AC2＝AP·AQ.
∵M为PC的中点，BM∥CQ，
∴＝＝.
设BP＝x，则PQ＝2x，BQ＝x，
∴22＝(3－x)(3＋x)，
解得x1＝，x2＝－(不合题意，舍去)．
∴BP＝.
②BP＝－1.
第3课时 相似三角形的判定定理2
1．了解三角形相似的判定定理2的探索及证明过程．
2．掌握并能应用该定理进行相关的计算或证明．(重难点)
阅读教材P81～82，自学“动脑筋”“例5”“例6”，掌握相似三角形的判定定理2.
(一)知识探究
两边________且夹角________的两个三角形相似．
(二)自学反馈
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，AB∶A′B′＝BC∶B′C′.求证：△ABC∽△A′B′C′.21世纪教育网版权所有
证明：在△ABC的边AB上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E.则有△ADE∽________.
∴∠ADE＝∠B＝∠B′，AB∶BC＝AD∶DE.
∵AB∶A′B′＝BC∶B′C′，
∴AB∶BC＝________.
∴AD∶DE＝A′B′∶B′C′.
又∵AD＝A′B′，
∴DE＝B′C′.
∴△ADE≌________.
∴△ABC∽△A′B′C′.
活动1 小组讨论
例1 如图，在△ABC与△DEF中，已知∠C＝∠F＝70°，AC＝3.5 cm，BC＝2.5 cm，DF＝2.1 cm，EF＝1.5 cm.21教育网
求证：△ABC∽△DEF.
证明：∵AC＝3.5 cm，BC＝2.5 cm，DF＝2.1 cm，EF＝1.5 cm，
∴＝＝，＝＝.∴＝.
又∵∠C＝∠F＝70°，
∴△ABC∽△DEF(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)．
例2 如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且＝.求证：∠ACB＝90°.
证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°.
又＝，
∴△ACD∽△CBD.
∴∠ACD＝∠B.
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠B＋∠BCD＝90°.
两个三角形相似的判定定理2的判定条件“角相等”必须是“夹角相等”．
活动2 跟踪训练
1．如图，△AEB和△CEF是否相似？说明理由．
2．如图，已知∠DAE＝∠BAC，＝，点E是AC的中点．求证：△DAE∽△ABC.
活动3 课堂小结
1．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
2．根据题目已知条件，如何寻找证明边成比例或角相等的条件．
【预习导学】
知识探究
成比例 相等
自学反馈
△ABC A′B′∶B′C′ △A′B′C′
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．△AEB和△CEF相似．∵＝＝，＝＝，∴＝.又∵∠CEF＝∠AEB，∴△AEB∽△CEF. 2.证明：∵E是AC的中点，∴＝.又∵∠DAE＝∠BAC，＝＝，∴△ADE∽△ABC.
第3课时 相似三角形的判定定理2
01 基础题
知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1．能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是(B)
A.＝
B.＝且∠A＝∠A′
C.＝且∠B＝∠C
D.＝且∠B＝∠B′
2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是(C)21世纪教育网版权所有
A．①②相似 B．①③相似
C．①④相似 D．②④相似
3．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要运用“两边对应成比例，且夹角相等”判定△ABC与△DEF相似，需添加的一个条件是∠A＝∠D．21教育网
4．如图，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6.当OC＝时，△OAC∽△OBD.
5．如图，求证：△AEF∽△ABC.
证明：∵＝，＝，
∴＝．
又∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC.
6．如图，AB＝3AC，BD＝3AE，BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE.
证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA＝∠CAE.
又∵＝＝3，
∴△ABD∽△CAE.
7．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且＝.
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)求∠ACB的大小．
解：(1)证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°.
又∵＝，
∴△ACD∽△CBD.
(2)∵△ACD∽△CBD，
∴∠A＝∠BCD.
在△ACD中，∠ADC＝90°.
∴∠A＋∠ACD＝90°.
∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.
02 中档题
8．(南通模拟)如图，已知∠C＝∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是(D)
A．∠BAD＝∠CAE B．∠B＝∠D
C.＝ D.＝
9．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD＝时，△ACB∽△CBD.
10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线BD，AC相交于点E，问△AED与△BEC是否相似？有一位同学这样解答：21cnjy.com
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDE，∠BAE＝∠DCE.
∴△AEB∽△CED.
∴＝.
又∵∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC.
请判断这位同学的解答是否正确？并说明理由．
解：不正确．
∵由已知条件不能得到＝，
∴不能证得△AED∽△BEC.
11．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.21·cn·jy·com
(1)求证：△ACB∽△DCE；
(2)求证：EF⊥AB.
证明：(1)∵＝，＝＝，
∴＝.
又∵△ACB和△DCE的顶点都在格点上，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°.
∴△ACB∽△DCE.
(2)∵△ACB∽△DCE，∴∠ABC＝∠DEC.
又∵∠ABC＋∠A＝90°，∴∠DEC＋∠A＝90°.
∴∠EFA＝90°.∴EF⊥AB.
12．如图，在△ABC中，AC＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1 cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2 cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？www.21-cn-jy.com
解：设经过x秒，两三角形相似，
则CP＝AC－AP＝8－x，CQ＝2x，
①当CP与CA是对应边时，＝，
即＝，解得x＝4.
②当CP与CB是对应边时，＝，
即＝，解得x＝.
故经过4 s或 s，△PQC和△ABC相似．
03 综合题
13．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6 cm，CD＝4 cm，BD＝14 cm，点P在直线BD上，由B点到D点移动．2·1·c·n·j·y
(1)当P点移动到离B点多远时，△ABP∽△PDC?
(2)当P点移动到离B点多远时，∠APC＝90°？
解：(1)设BP＝x cm，则PD＝(14－x)cm.
∵△ABP∽△PDC，AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°.
∴＝，即＝.
解得x1＝2，x2＝12.
∴BP＝2 cm或12 cm.
∴当P点移动到离B点2 cm或12 cm时，△ABP∽△PDC.
(2)若∠APC＝90°，则∠APB＋∠CPD＝90°.
又∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，即∠A＋∠APB＝90°.
∴∠A＝∠CPD.
∴△ABP∽△PDC.
∴要使∠APC＝90°，则需满足△ABP∽△PDC.
∵由(1)得此时BP＝2 cm或12 cm，
∴当P点移动到离B点2 cm或12 cm时，∠APC＝90°.
第4课时 相似三角形的判定定理3
1．了解三角形相似的判定定理3的探索及证明过程．
2．掌握并能应用该定理进行相关的计算或证明．(重难点)
阅读教材P83～84，自学“动脑筋”“例7”“例8”，掌握相似三角形的判定定理3.
(一)知识探究
三边________________的两个三角形相似．
(二)自学反馈
下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答．21教育网
判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由．
甲同学：这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，≠≠，所以它们不相似．
乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似．
活动1 小组讨论
例1 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°，∠C′＝90°，＝.求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.21cnjy.com
证明：设＝＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′.
由勾股定理，得BC＝，B′C′＝，
∴＝＝＝＝k.
∴＝＝.
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似)．
已知两边成比例，一般寻找第三边是否也成比例或夹角是否相等，可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法．21·cn·jy·com
例2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
解：在△ABC中，AB>BC>CA，在△DEF中，DE>EF>FD.
∵＝＝0.6，＝＝0.6，＝＝0.6，
∴＝＝.
∴△DEF∽△ABC.
活动2 跟踪训练
1．顺次连接三角形各边中点所得的三角形与原三角形的相似比是________．
2．△ABC的三边长为，，2，△DEF的两边为1和，如果△ABC∽△DEF，则△DEF的第三边长为________．www.21-cn-jy.com
3．如图，△ABC三边长分别为AB＝3 cm，BC＝3.5 cm，CA＝2.5 cm；△DEF三边长分别为DE＝3.6 cm，EF＝4.2 cm，FD＝3 cm.△ABC与△DEF是否相似？为什么？2·1·c·n·j·y
活动3 课堂小结
1．三边成比例的两个三角形相似．
2．根据题目已知条件，如何寻找证明边成比例的条件．
【预习导学】
知识探究
成比例
自学反馈
略．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．1∶2 2. 3.△ABC∽△DEF.理由：∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝.∴△ABC∽△DEF.21世纪教育网版权所有
第4课时 相似三角形的判定定理3
01 基础题
知识点 三边成比例的两个三角形相似
1．将一个三角形的各边都缩小后，得到的三角形与原三角形(A)
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．不能判断是否相似
2．甲三角形的三边分别为1，，，乙三角形的三边分别为，，5，则甲乙两个三角形(A)
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判断是否相似
3．已知△ABC的三边长分别为6 cm、7.5 cm、9 cm，△DEF的一边长为4 cm，要使这两个三角形相似，则△DEF的另两边长可以是(C)21cnjy.com
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
4．如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是三边成比例的两个三角形相似．
5．若△ABC各边分别为AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，△DEF的两边为DE＝5 cm，EF＝4 cm，则当DF＝3cm时，△ABC∽△DEF.www.21-cn-jy.com
6．△ABC和△A′B′C′符合下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似．
BC＝2，AC＝3，AB＝4；B′C′＝，A′C′＝，A′B′＝2.
解：在△ABC中，AB>AC>BC，
在△A′B′C′中，A′B′>A′C′>B′C′，
＝＝，＝＝，＝＝2.
∴≠≠.
∴△ABC与△A′B′C′不相似．
7．如图所示，根据所给条件，判断△ABC和△DBE是否相似，并说明理由．
解：△ABC∽△DBE.理由如下：
∵＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝.
∴△ABC∽△DBE.
02 中档题
8．下列能使△ABC和△DEF相似的条件是(C)
A．AB＝c，AC＝b，BC＝a，DE＝，EF＝，DF＝
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝1
C．AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝12，EF＝8，DF＝6
D．AB＝，AC＝，BC＝，DE＝，EF＝3，DF＝3
9．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的(C)21教育网
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
10．(东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的三条边长分别是3、4及x，那么x的值(B)21世纪教育网版权所有
A．只有1个 B．可以有2个
C．可以有3个 D．有无数个
11．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求证：△ABC∽△EFD.
证明：∵DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴＝＝＝.
∴△ABC∽△EFD.
12．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，△ABC和△EDF的顶点都在网格的格点上．
(1)求证：△ABC∽△EDF；
(2)求∠BAC的度数．
解：(1)证明：∵DE＝，DF＝＝，EF＝2，AB＝＝，AC＝＝，BC＝5，
∴＝＝＝.
∴△ABC∽△EDF.
(2)∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF.
∵∠DEF＝90°＋45°＝135°，
∴∠BAC＝135°.
13．已知一个三角形框架的三边长分别为3米、4米、5米，现要做一个与其相似的三角形框架，已有一根长为2米的木条，问其他两根木条可选多长？共有多少种不同选法？21·cn·jy·com
解：(1)若2米的木条为最短边，设其他两根木条的长分别为x m和y m，则
＝＝，解得x＝，y＝.
(2)若2米的木条为第二长的边，设其他两根木条的长分别为x m和y m，则
＝＝，解得x＝，y＝.
(3)若2米的木条为最长边，设其他两根木条长分别为x m和y m，则
＝＝，解得x＝，y＝.
03 综合题
14．(菏泽中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：2·1·c·n·j·y
(1)试证明△ABC是直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的3个格点，并且与△ABC相似．
解：(1)证明：根据勾股定理，得
AB＝2，AC＝，BC＝5，
∴AB2＋AC2＝BC2.
∴△ABC为直角三角形．
(2)△ABC和△DEF相似．理由：
根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝2.
∵＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF.
(3)如图，△P2P4P5即为所求．
3.4.2 相似三角形的性质
第1课时 与相似三角形的高、角平分线、中线等有关的性质
1．了解探索得出相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比与相似比的关系的过程．
2．会运用相似三角形对应线段的比与相似比的性质解决有关问题．(重点)
阅读教材P85～87，自学“动脑筋”“例9”“例10”“议一议”，理解相似三角形对应的三条重要线段的比与相似比的关系．【来源：21·世纪·教育·网】
(一)知识探究
相似三角形对应高的比________相似比，对应的角平分线的比________相似比，对应边上的中线的比________相似比．21·世纪*教育网
(二)自学反馈
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′.
(1)你能发现图中还有其他的相似三角形吗？
(2)相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于________．
活动1 小组讨论
例1 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC，垂足为点E.已知CD＝2，AB＝6，AC＝4，求DE的长．2·1·c·n·j·y
解：在Rt△ABC和Rt△ACD中，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ABC∽△ACD.
又CD，DE分别为它们的斜边上的高，∴＝.
又CD＝2，AB＝6，AC＝4，∴DE＝.
例2 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AT，A′T′分别为∠BAC，∠B′A′C′的平分线．求证：＝.21cnjy.com
证明：∵△ABC∽A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′.
又AT，A′T′分别为∠BAC，∠B′A′C′的平分线，
∴∠BAT＝∠BAC＝∠B′A′C′＝∠B′A′T′.
∴△ABT∽△A′B′T′.
∴＝.
要证线段的比相等，则联想到证明成比例的线段(三角形的边、高、中线、角平分线)所在的两个三角形相似．21世纪教育网版权所有
活动2 跟踪训练
1．若△ABC∽△A′B′C′，且AB＝2 cm，A′B′＝1 cm，则对应角平分线的比为________．
2．已知△ABC∽△A′B′C′，对应角平分线的比为2∶，且BC边上的中线是5，则B′C′边上的中线是________．www.21-cn-jy.com
3．如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC＝60 cm，AD＝40 cm，四边形PQRS是正方形．21·cn·jy·com
(1)△ASR与△ABC相似吗？为什么？
(2)求正方形PQRS的边长．
活动3 课堂小结
1．相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)的性质．
2．运用相似三角形的对应线段的性质解决相似三角形中边和角的相关问题．
【预习导学】
知识探究
等于 等于 等于
自学反馈
(1)△ABD∽△A′B′D′，△ADC∽△A′D′C′.(2)相似比
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．3∶2 2.5 3.(1)△ASR∽△ABC.理由：∵四边形PQRS是正方形，∴SR∥BC.∴∠ASR＝∠B，∠ARS＝∠C.∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)．(2)24 cm.21教育网
3.4.2 相似三角形的性质
第1课时 与相似三角形的高、角平分线、中线等有关的性质
01 基础题
知识点1 相似三角形对应高的比等于相似比
1．已知△ABC∽△DEF，AB＝1，DE＝4，那么它们的对应边上的高的比为(D)
A．1∶2 B．3∶2
C．2∶1 D．1∶4
2．如图，在△PCD中，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点P到CD的距离是2.7 m，求AB与CD之间的距离．www.21-cn-jy.com
解：∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD.
设AB与CD之间的距离是x m，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得＝.
∴＝.解得x＝1.8.
∴AB与CD之间的距离为1.8 m.
知识点2 相似三角形对应角平分线的比等于相似比
3．两个相似三角形对应高之比为3∶1，那么它们对应角平分线之比为(B)
A．1∶3 B．3∶1
C．1∶4 D．1∶8
4．如图，已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的角平分线，且AB＝10 cm，DE＝5 cm，AM＝12 cm，求DN的长．21cnjy.com
解：∵△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的角平分线，
∴＝.
又∵AB＝10 cm，DE＝5 cm，AM＝12 cm，
∴＝.∴DN＝6 cm.
知识点3 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比
5．(兰州中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为(A)【来源：21·世纪·教育·网】
A. B. C. D.21·世纪*教育网
6．已知△ABC∽△DEF，对应角平分线的比为4∶3，△ABC中AB边上的中线为12，则△DEF中DE边上的中线为9．21世纪教育网版权所有
7．如图，△ABC∽△A′B′C′，AB＝15 cm，A′B′＝10 cm，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线．AD与A′D′的和为15 cm，分别求AD和A′D′的长．www-2-1-cnjy-com
解：∵△ABC∽△A′B′C′，且AB＝15 cm，A′B′＝10 cm，
∴＝.
∵AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，
△ABC∽△A′B′C′，
∴＝.
∵AD＋A′D′＝15，
∴AD＝9 cm，A′D′＝6 cm.
8．如图，△ABC∽△BDC，E，F分别为AC，BC的中点．已知AC＝6，BC＝4，BE＝3，求DF的长．
解：∵△ABC∽△BDC，E，F分别为AC，BC的中点，
∴＝.
∴＝.
∴DF＝2.
02 中档题
9．已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC与△A2B2C2的对应角平分线的比为(B)2·1·c·n·j·y
A．2∶3 B．2∶5
C．3∶5 D．5∶2
10．两个相似三角形的相似比为2∶5，已知其中一个三角形的一条中线为10，那么另一个三角形对应的中线是4或25．21教育网
11．如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，已知AD∶DB＝4∶3，AB＝18 cm，EG＝4 cm，求CF的长．2-1-c-n-j-y
解：∵AD∶DB＝4∶3，
∴AD∶AB＝4∶7.
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE.
∵CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，
∴＝.∴＝.
∴CF＝7 cm.
12．如图，要在一块△ABC的纸片上截取正方形DEFG模型．其中，G，F在BC边上，D，E分别在AB，AC边上，AH⊥BC交DE于M，若BC＝12 cm，AH＝8 cm，求正方形DEFG的边长．
解：设正方形DEFG的边长为x cm，
则AM＝AH－HM＝(8－x)cm.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝，即＝，
解得x＝4.8.
即正方形DEFG的边长为4.8 cm.
13．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC＝∠ACD＝90°，BM⊥AC于点M，CN⊥AD于点N，且BC＝12，BM＝8，CD＝15.求CN的长．21·cn·jy·com
解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD.
又∵∠ABC＝∠ACD＝90°，
∴△ABC∽△ACD.
又∵BM⊥AC，CN⊥AD，
∴＝.
又∵BC＝12，BM＝8，CD＝15，
∴＝.
∴CN＝10.
03 综合题
14．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F.已知AC＝8，BC＝6.
(1)求的值；
(2)求四边形DECF的面积．
解：(1)∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°.
∴∠B＝∠ACD，∠ADC＝∠CDB.
∴△ACD∽△CBD.
又∵DF⊥BC，DE⊥AC，
∴＝.
又∵BC＝6，AC＝8，
∴＝＝＝.
(2)由(1)可知＝，设DF＝3x，则DE＝4x.
∴S△ACD＝AC·DE＝×8×4x＝16x，
S△BCD＝BC·DF＝×6×3x＝9x.
又∵S△ABC＝AC·BC＝×8×6＝24，
∴16x＋9x＝24，解得x＝.
∴S四边形DECF＝DE·DF＝4x·3x＝12x2＝12×()2＝.
第2课时 与相似三角形的面积、周长有关的性质
1．理解相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系．(重点)
2．会运用上述性质解决有关的问题．(难点)
阅读教材P87～88，自学，理解相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系．
(一)知识探究
相似三角形的周长比等于________，面积比等于________．
(二)自学反馈
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′.
(1)你能发现图中还有其他的相似三角形吗？
(2)△ABC与△A′B′C′中，＝________，＝________.
活动1 小组讨论
例1 如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，S四边形BCFE＝8，求S△ABC.
解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.
又＝，∴＝.
∴＝()2＝，
即＝.
∵S四边形BCFE＝8，
∴S△AEF＝1.
∴S△ABC＝9.
例2 已知△ABC与△A′B′C′的相似比为，且S△ABC＋S△A′B′C′＝91，求△A′B′C′的面积．
解：∵△ABC与△A′B′C′的相似比为，
∴＝()2＝，即S△ABC＝S△A′B′C′.
又S△ABC＋S△A′B′C′＝91，
∴SA′B′C′＋SA′B′C′＝91.
∴S△A′B′C′＝63.
在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根．21世纪教育网版权所有
活动2 跟踪训练
1．已知△ABC∽△A′B′C′且＝，则S△ABC∶S△A′B′C′为________．
2．若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是________．
3．设两个相似多边形的周长比是3∶4，它们的面积差为70，那么较小的多边形的面积是________．
4．已知△ABC∽△DEF，＝，△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2.
(1)求△DEF的周长；
(2)求△DEF的面积．
活动3 课堂小结
1．相似三角形的周长、面积的性质．
2．运用相似三角形的周长、面积的性质求相关图形的面积或求线段长．
【预习导学】
知识探究
相似比 相似比的平方
自学反馈
(1)△ABD∽△A′B′D′，△ADC∽△A′D′C′.(2)k k2
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．1∶4 2.4∶9 3.90 4.(1)∵＝，∴△DEF的周长为12×＝8(cm)．(2)∵＝，∴△DEF的面积为30×()2＝13(cm2).21教育网
第2课时 与相似三角形的面积、周长有关的性质
01 基础题
知识点1 相似三角形的面积比等于相似比的平方
1．(柳州模拟)△ABC和△DEF相似，且相似比为，那么△DEF和△ABC的面积比为(D)
A. B.
C. D.
2．如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边长为39，那么较大的三角形的面积为(C)21世纪教育网版权所有
A．90 B．180
C．270 D．540
3．(张家界中考)如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为1∶4．
4．(长沙中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18．
知识点2 相似三角形的周长比等于相似比
5．(重庆中考)已知△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(C)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶16
6．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为(A)
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶16
7．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、5、6，△DEF的最短边长为9，那么△DEF的周长等于(D)21cnjy.com
A．14 B.
C．21 D．42
8．△ABC∽△DEF，它们的周长之比为∶1，则它们的对应高的比及面积比分别为(B)
A．1∶；2∶1 B.∶1；2∶1
C．2∶1；∶1 D．1∶2；∶1
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D.求△BCD与△ABC的周长之比．
解：∵∠B＝∠B，∠BDC＝∠BCA＝90°，
∴△BCD∽△BAC.
∴∠BCD＝∠A＝30°.
Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD.
∵△BCD∽△BAC，
∴C△BCD∶C△BAC＝BD∶BC＝1∶2.
10．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．21·cn·jy·com
解：在△DEF和△ABC中，∵AB＝2DE，AC＝2DF，
∴＝＝.
又∠A＝∠D，
∴△DEF∽△ABC，并且相似比为.
∴C△DEF＝×24＝12，
S△DEF＝()2×48＝12.
02 中档题
11．(湘西中考)如图，在?ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是(A)www.21-cn-jy.com
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶5
12．(随州中考)如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点．且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是(B)2·1·c·n·j·y
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶25
13．(湘西中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为(D)【来源：21·世纪·教育·网】
A．3 B．5
C．6 D．8
14．如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，第2 017个三角形的周长为．
15．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2，BC＝2，试求DE的长．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝()2.
又∵＝，
∴＝.
∴()2＝.
∴DE2＝BC2＝8.
∴DE＝2.
16．如图，?ABCD中，AE∶EB＝2∶3，DE交AC于F.
(1)求证：△AEF∽△CDF；
(2)求△AEF与△CDF的周长之比；
(3)如果△CDF的面积为20 cm2，求△AEF的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB.
∴△AEF∽△CDF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB.
∵AE∶EB＝2∶3，
设AE＝2k，则BE＝3k，DC＝5k.
∵△AEF∽△CDF，
∴＝＝.
∴△AEF与△CDF周长之比为2∶5.
(3)∵△AEF∽△CDF，
∴＝()2＝()2＝.
∵S△CDF＝20 cm2，
∴S△AEF＝S△CDF＝×20＝(cm2)．
03 综合题
17．如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.21教育网
(1)求证：EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
解：(1)证明：∵DC＝AC，CF平分∠ACB，
∴AF＝DF.
又∵点E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线．
∴EF∥BD，即EF∥BC.
(2)由(1)知，EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝()2＝()2＝.
∴S△AEF＝S△ABD.
∴S△ABD－6＝S△ABD.
∴S△ABD＝8.
