3.6 位似
第1课时 位似图形的概念及画法
1．理解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．(重点)
2．会画位似图形，并能利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．(难点)
阅读教材P95～97，自学“议一议”，理解位似的概念，会找出位似图形的位似中心，并能按要求将图形进行放大或缩小的位似变换．
(一)知识探究
位似图形：如果两个多边形不仅________，而且对应顶点的连线________，对应边________或________，那么这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作________，这时的相似比又称为________．
(二)自学反馈
请画出如图所示两个图形的位似中心．
正确地作出位似中心，是解决位似图形问题的关键，可以根据位似中心的定义：位似图形的对应点连线的交点就是位似中心．
活动1 小组讨论
例 如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1.
解：①在原图形上取A，B，C，D，E，F，G，在图形外任取一点P；
②作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP；
③在这些射线上依次取A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′＝2PA，PB′＝2PB，PC′＝2PC，PD′＝2PD，PE′＝2PE，PF′＝2PF，PG′＝2PG；
④顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′.
所得到的图形就是符合要求的图形．
在作位似图形时，按要求作出各点的对应点后，注意对应点之间的连线，不要错连．
活动2 跟踪训练
1．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝8，则S△A′B′C′＝________.
2．如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？
3．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求出△ABC与△A1B1C1的相似比；
(3)以点O为位似中心，再画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比等于1.5.
活动3 课堂小结
1．位似的相关概念及位似的性质．
2．画已知图形的位似图形．
【预习导学】
知识探究
相似 相交于一点 互相平行 在同一直线上 位似中心
位似比 2.(1)必定 不一定 (2)一 (5)位似比
自学反馈
略．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．2 2.平行，因为位似的两个图形的对应边平行． 3.(1)略．(2).(3)略．
3．6 位似
第1课时 位似图形的概念及画法
01 基础题
知识点1 位似图形的识别
1．下列判断中，正确的是(B)
A．相似图形一定是位似图形
B．位似图形一定是相似图形
C．全等的图形一定是位似图形
D．位似图形一定是全等图形
2．如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
解：①是位似图形，位似中心是A，②是位似图形，位似中心是P，③不是位似图形，④是位似图形，位似中心是O，⑤不是位似图形．
知识点2 位似图形的性质
3．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长等于(A)
A．6 B．5
C．9 D.
4．如图，两个位似图形△ABO和△A′B′O，若OA∶OA′＝3∶1，则下列结论正确的是(A)
A．AB∶A′B′＝3∶1
B．AA′∶BB′＝AB∶A′B′
C．OA∶OB′＝2∶1
D．OA∶OB′＝3∶1
5．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是1∶4．
6．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10 cm，OA′＝20 cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是1∶2．
7．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2，若AB＝2 cm，则A′B′＝4cm，请在图中画出位似中心O.
解：连接AA′，CC′，它们的交点就是位似中心，如图．
知识点3 位似图形的画法
8．如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为2∶1.
解：如图．
9．已知，如图，四边形ABCD，画出四边形ABCD的位似图形，使其边长缩小为原来的.
解：答案不唯一．如图．
02 中档题
10．如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有(D)
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
11．如图，以O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为(B)
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶6
12．(东营中考)下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是(A)
A．②③ B．①②
C．③④ D．②③④
13．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC∶AF＝2∶3，则下列结论不正确的是(B)
A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
B．AD与AE的比是2∶3
C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3
D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶9
14．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点A、B，A′、B′、O共线，点O是位似中心．
(1)AC与A′C′平行吗？为什么？
(2)若AB＝2A′B′，OC′＝5，求CC′的长．
解：(1)AC∥A′C′，理由：
∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′.
∴∠A＝∠C′A′B′.∴AC∥A′C′.
(2)∵△ABC∽△A′B′C′，
∴＝.
∵AB＝2A′B′，∴＝2.
又∵AC∥A′C′，
∴＝＝2.
又∵OC′＝5，
∴OC＝10.
∴CC′＝OC－OC′＝10－5＝5.
03 综合题
15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2.
(1)把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
(2)以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2；
(3)直接回答：＝．
解：(1)(2)如图．
第2课时 平面直角坐标系中的位似图形
会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后点的坐标变化的规律．(重难点)
阅读教材P98～99，自学“动脑筋”，掌握以原点为位似中心的两个位似图形对应顶点的坐标规律．
(一)知识探究
1．一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的位数，所得到的图形与原图形是以________为位似中心的位似图形．
2．在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________．
(二)自学反馈
(1)如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
(2)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比为________；
(3)△ABC和△A1B1C1关于原点位似且点A(－3，4)，它的对应点A1(6，－8)，则△ABC和△A1B1C1的相似比是________；
(4)若△ABC三顶点的坐标分别为A(1，2)，B(1，0)，C(3，3)，以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABC放大得到其位似图形△A1B1C1，则△A1B1C1各顶点的坐标分别为A1________，B1________，C1________．
活动1 小组讨论
例 如图，在平面直角坐标系中，已知?OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(4，2)，C(1，2)．以坐标原点O为位似中心，将?OABC放大为原图形的3倍．
解：将?OABC的各顶点的坐标分别乘3，得O(0，0)，A′(9，0)，B′(12，6)，C′(3，6)，依次连接点O，A′，B′，C′，则四边形OA′B′C′即为所要求的图形．
活动2 跟踪训练
1．某个图形上各点的横、纵坐标都变成原来的，连接各点所得的图形与原图形相比( )
A．完全没有变化
B．扩大为原来的2倍
C．面积缩小为原来的
D．关于纵轴成轴对称
2．在平面直角坐标系中，将坐标为(0，0)，(2，4)，(2，0)，(4，4)，(6，0)的点用线段顺次连接起来形成一个图案．
(1)将这五个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，求上述点的坐标，将所得的五个点用线段顺次连接起来，所得图案与原图案相比有什么变化？
(2)横坐标不变，纵坐标分别减去3呢？
(3)横坐标都加上3，纵坐标不变呢？
(4)横、纵坐标都乘以－1呢？
(5)横、纵坐标分别变成原来的2倍呢？面积如何变化？
活动3 课堂小结
以原点为位似中心，位似图形对应点之间的坐标的关系．
【预习导学】
知识探究
1．坐标原点 2.k或－k
自学反馈
(1)略 (2)k或－k (3) (4)(2，4)或(－2，－4) (2，0)或(－2，0) (6，6)或(－6，－6)
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.(1)图略．横向缩小.(2)向下平移3个单位长度．
(3)向右平移3个单位长度．(4)关于原点作中心对称变换．(5)以原点为位似中心作位似变换，相似比为2，面积扩大为原来4倍．
第2课时 平面直角坐标系中的位似图形
01 基础题
知识点 以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律
1．(武汉中考)如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为(A)
A．(3，3) B．(4，3)
C．(3，1) D．(4，1)
2．如图，已知O是坐标原点，△OBC与△ODE是以O点为位似中心的位似图形，且△OBC与△ODE的相似比为1∶2，如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，则M在△ODE中的对应点M′的坐标为(B)
A．(－x，－y) B．(－2x，－2y)
C．(－2x，2y) D．(2x，－2y)
3．已知△ABC和△A′B′C′关于原点位似，且点A(－3，4)，它的对应点A′(6，－8)，则△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2．
4．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与点A′(－2，0)是对应点，点B(2，2)，则B′点的坐标(－4，－4)．
5．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则大鱼上的一点(a，b)对应小鱼上的点的坐标是(－0.5a，－0.5b)．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)．
(1)若点A(，3)，则A′的坐标为(5，6)；
(2)若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积＝4m．
7．如图，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(3，0)．以O为位似中心，画出一个△OA′B′，使得△OA′B′与△OAB的相似比为2∶1，并写出点A′和点B′的坐标．
解：如图所示：A′(2，4)，B′(6，0)．
8．如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)．
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；
(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标．
解：(1)△OB′C′是所求的三角形．
(2)B′的坐标是(－6，2)，C′的坐标是(－4，－2)．
02 中档题
9．如图，△OAB与△OA′B′位似，其中A、B的对应点分别为A′、B′，A′、B′均在图中正方形网格格点上，若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(C)
A．(，) B．(m，n)
C．(2m，2n) D．(2n，2m)
10．(东营中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)、B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是(D)
A．(－1，2)
B．(－9，18)
C．(－9，18)或(9，－18)
D．(－1，2)或(1，－2)
11．(荆州中考)如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是(，)．
12．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与A′(－2，0)是对应点，若△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是6.
13．已知在平面直角坐标系中，点A(－3，－1)、B(－2，－4)、C(－6，－5)，以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1∶2，则点B的对应点的坐标为：(1，2)或(－1，－2)．
14．如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1，0)．
(1)写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心的坐标；
(2)正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标．
解：(1)正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心的坐标为(0，0)．
(2)∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1，0)，
∴OA1＝A1C1＝1，OA2＝A2C2＝2.
∴A3O＝A3C3＝4.
∴OA4＝A4C4＝8.∴OA5＝16.
∴A4(8，0)，A5(16，0)，B4(16，8)，C4(8，8)．
03 综合题
15．已知，△DEF是△ABC的位似三角形(点D，E，F分别对应点A，B，C)，原点O为位似中心，△DEF与△ABC的位似比为k.
(1)若位似比k＝，请你在平面直角坐标系的第四象限中画出△DEF；
(2)若位似比k＝m，△ABC的周长为C，则△DEF的周长＝mC；
(3)若位似比k＝n，△ABC的面积为S，则△DEF的面积＝n2S．
