第4章 锐角三角函数
4．1 正弦和余弦
第1课时 正弦及30°角的正弦值
1．通过具体实例，分析、比较后，知道“当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值也固定”的事实．21世纪教育网版权所有
2．了解正弦的概念，知道特殊角30°的正弦值，并能根据正弦的相关概念进行计算．(重点)
阅读教材P109～111，完成下列内容：
(一)知识探究
1．在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个________，与直角三角形的大小________．21教育网
2．在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα，即sinα＝________.
3．sin30°＝________.
(二)自学反馈
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sinA的值是( )
A. B.
C. D.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AB＝________.
活动1 小组讨论
例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5.
(1)求sinA的值；
(2)求sinB的值．
解：(1)∠A的对边BC＝3，斜边AB＝5，于是sinA＝＝.
(2)∠B的对边AC，根据勾股定理，得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16.于是AC＝4.
因此sinB＝＝.
在直角三角形中，求一个角的正弦值只需要用该角所对的直角边比斜边，如果所对直角边或斜边长未知时，可首先通过勾股定理求解出长度．21cnjy.com
易错提示：求一个角的正弦值必须在直角三角形中求解．
活动2 跟踪训练
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( )
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的倍
C．扩大为原来的4倍 D．不变
2．在△ABC中，∠C＝90°，BC∶CA＝3∶4，那么sinA等于( )
A. B. C. D.21·cn·jy·com
3．如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P(3，4)，则sinα＝________.www.21-cn-jy.com
4．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝4，sinB＝，则AB＝________.
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝AB，求sinB的值．
活动3 课堂小结
学生试述：今天学到了什么？
【预习导学】
知识探究
1．常数 无关 2. 3.
自学反馈
1．A 2.2
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.C 3. 4.5 5.∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝AB，∴sinB＝＝.
第4章 锐角三角函数
4．1 正弦和余弦
第1课时 正弦及30°角的正弦值
01 基础题
知识点1 正弦的意义
1．如图，△ABC中，∠C＝90°，则∠A的正弦值可以表示为(C)
A.
B.
C.
D.
2．(贵阳中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为(D)
A. B. C. D.21教育网
3．正方形网格中，△AOB如图放置，则sin∠AOB＝(C)
A.
B.
C.
D.
4．已知△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，则sinA＝(A)
A. B. C. D.21cnjy.com
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AC的长是(A)
A. B．3
C. D.
6．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值(A)
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
7．如图，在平面直角坐标系内有一点P(5，12)，那么OP与x轴的夹角α的正弦值是．
8．分别求出图中∠A、∠B的正弦值．
图1 图2
解：图1：AC＝＝＝4，
∴sinA＝＝，sinB＝＝.
图2：AB＝＝＝2，
∴sinA＝＝＝，sinB＝＝＝.
知识点2 30°角的正弦值
9．计算：sin30°＝．
10．计算：sin30°－|－2|＝－．
11．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝30°，则sin∠ADE的值为．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A∶∠B＝1∶2，则sinA＝．
02 中档题
13．在Rt△ABC中，∠B＝90°.若AC＝2BC，则sinC的值是(C)
A. B．2
C. D.
14．(乐山中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论中不正确的是(C)
A．sinB＝ B．sinB＝
C．sinB＝ D．sinB＝
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于点D，垂足为E，则sin∠CAD＝(A)21·cn·jy·com
A. B.
C. D.
16．(威海中考)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是(D)www.21-cn-jy.com
A. B.
C. D.
17．如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处)，AB＝80米，则孔明从A到B上升的高度BC是40米．
18．如图，在?ABCD中，连接BD，AD⊥BD，AB＝4，sinA＝，求?ABCD的面积．
解：∵AD⊥BD，
∴在Rt△ABD中，sinA＝＝.
∵AB＝4，∴BD＝3.
由勾股定理，得AD＝＝＝，
∴S?ABCD＝AD·DB＝×3＝3.
19．如图，等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm，求它的底边长．
解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD＝∠CAD＝60°，BD＝DC.
∵AD⊥BC，
∴∠B＝30°.
∴sinB＝＝.
∵AB＝2，
∴AD＝1，BD＝.
∴BC＝2.
20．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若AC＝4，BC＝3，求sin∠ACD的值．21世纪教育网版权所有
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5.
根据同角的余角相等，得∠ACD＝∠B.
∴sin∠ACD＝sinB＝＝.
03 综合题
21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，请你根据正弦的定义证明sin2A＋sin2B＝1.
证明：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴a2＋b2＝c2，sinA＝，sinB＝.
∴sin2A＋sin2B＝()2＋()2＝＝1，
即sin2A＋sin2B＝1.
第2课时 45°，60°角的正弦值及用计算器求锐角的正弦值或对应的锐角
1．会求特殊角45°，60°的正弦值．
2．会用计算器计算任意锐角的正弦值，会由任意锐角的正弦值求对应的锐角．
阅读教材P111～113，完成下面的内容：
(一)知识探究
1．sin45°＝________，sin60°＝________.
2．已知sinα＝0.368 8，求锐角α的按键顺序是________．
3．用计算器求sin70°的值(精确到0.000 1)．
(二)自学反馈
1．计算sin60°的结果等于( )
A. B．1 C. D.21世纪教育网版权所有
2．计算：|sin45°－|＝________.
活动1 小组讨论
例 计算：sin230°＋2sin45°－sin260°.
解：原式＝()2＋2×－×()2
＝＋－
＝.
我们把(sin30°)2简记为sin230°.
活动2 跟踪训练
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则∠A的度数是( )
A．60° B．45°
C．30° D．无法确定
2．用计算器计算sin63°(精确到0.000 1)的结果是( )
A．0.891 0 B．0.126 3
C．0.153 1 D．0.893 3
3．用计算器计算：sin18°36′＝________(精确到0.000 1)．
4．已知sinα＝0.972 0，用计算器求锐角α＝________(精确到1″)．
5．计算：
(1)1－sin45°sin60°；
(2)sin245°－4sin260°sin30°；
(3)；
(4)sin30°sin45°－sin30°sin60°.
活动3 课堂小结
1．45°，60°角的正弦值．
2．如何用计算器求任意锐角的正弦值及知道锐角的正弦值求锐角．
【预习导学】
知识探究
1. 2.“2ndF”(或“SHIFT”)，“sin”，“0.368 8”
3．0.939 7.
自学反馈
1．D 2.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.A 3.0.319 0 4.76°25′12″ 5.(1)－.(2)－1.(3)3＋2.(4)－.
第2课时 45°，60°角的正弦值及用计算器求锐角的正弦值或对应的锐角
01 基础题
知识点1 45°，60°角的正弦值
1．sin45°的值是(C)
A. B.
C. D.
2．sin60°的相反数是(C)
A．－ B．－
C．－ D．－
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则∠B的度数是(B)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则sinB的值为(A)
A. B.
C. D.
5．计算下列各题：
(1)2sin30°－sin45°；
解：原式＝2×－×＝1－1＝0.
(2)sin245°＋sin30°sin60°；
解：原式＝()2＋×＝＋.
(3)sin230°＋sin260°；
解：原式＝()2＋()2＝1.
(4)(sin30°－1)0－4sin45°sin60°.
解：原式＝1－4××＝1－6＝－5.
知识点2 用计算器求锐角的正弦值及已知正弦值求锐角
6．用计算器计算sin35°(精确到0.000 1)的结果是(D)
A．0.233 5 B．0.233 6
C．0.573 5 D．0.573 6
7．已知sinα＝0.893 8，则锐角α的值为(C)
A．56°22′30″ B．60°18′27″
C．63°21′17″ D．72°33′15″
8．用计算器计算下列各锐角的正弦值(精确到0.000 1)．
(1)20°；
解：sin20°≈0.342 0.
(2)75°；
解：sin75°≈0.965 9.
(3)23°13′；
解：sin23°13′≈0.394 2.
(4)15°32′.
解：sin15°32′≈0.267 8.
9．已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°)．
(1)sinα＝0.822 1；
解：α≈55.3°.
(2)sinA＝0.627 5；
解：∠A≈38.9°.
(3)sinα＝0.737 2；
解：α≈47.5°.
(4)sinα＝0.128 8.
解：α≈7.4°.
02 中档题
10．点M(－sin60°，sin30°)关于x轴对称的点的坐标是(B)
A．(，) B．(－，－)
C．(－，) D．(－，－)
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶b＝3∶4，运用计算器计算，∠A的度数(精确到1°)为(B)
A．30° B．37°
C．38° D．39°
12．如果∠A为锐角，且sinA＝0.7，那么(B)
A．0°＜A≤30° B．30°＜A＜45°
C．45°＜A＜60° D．60°＜A≤90°
13．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝，则α等于(C)
A．50° B．60° C．70° D．80°21世纪教育网版权所有
14．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于(C)21教育网
A. B. C. D.21cnjy.com
15．如图所示，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则sin∠OMN的值为(B)www.21-cn-jy.com
A. B. C. D．12·1·c·n·j·y
16．已知∠A，∠B是△ABC中的两个锐角，且(sinA－)2＋＝0，求∠C的度数．
解：由非负数的性质，得
∴sinA＝，sinB＝.
∴∠A＝30°，∠B＝45°.
∴∠C＝105°.
17．(淮安中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20.求∠A的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
解：在Rt△BDC中，BC＝BD·sin∠BDC＝10×sin45°＝10.
在Rt△ABC中，
sinA＝＝，
∴∠A＝30°.
03 综合题
18．数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为哪个三角形的面积大？21·cn·jy·com
解：分别过点A、D作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，
在Rt△ABG中，AG＝ABsinB＝5sin50°.
在Rt△DHE中，∠DEH＝180°－130°＝50°，DH＝DEsin∠DEH＝5sin50°.
∴AG＝DH.
∵BC＝4，EF＝4，
∴S△ABC＝S△DEF.
第3课时 余弦
1．知道“当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比值也固定”的事实．
2．了解余弦的概念，能根据特殊角(30°，45°，60°)的正、余弦值说出对应的锐角度数及其应用．(重点)21世纪教育网版权所有
3．掌握互余两锐角的正弦值与余弦值的关系．(难点)
4．会用计算器求任意锐角的余弦值，会由任意锐角的余弦值求对应的锐角．
阅读教材P113～115，完成下面的内容：
(一)知识探究
1．在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的________，记作cosα.即cosα＝.21教育网
2．cosα＝sin(90°－α)，sina＝________.
(二)自学反馈
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，BC＝3，则cosB＝( )
A. B. C. D.
2．已知sin72°≈0.951 1，则cos18°的值约为________．
活动1 小组讨论
例1 求cos30°，cos45°，cos60°的值．
解：cos30°＝sin(90°－30°)＝sin60°＝，
cos45°＝sin(90°－45°)＝sin45°＝，
cos60°＝sin(90°－60°)＝sin30°＝.
直接根据互余两角的正弦、余弦之间的关系求解．对于一般的锐角α(30°，45°，60°除外)的余弦值，我们可以利用计算器求解．如：求50°角的余弦值，我们可以在计算器上依次按键，显示结果为0.642 7….如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角．如：已知cosα＝0.866 1，依次按键，显示结果为29.991 4…，表示角α约等于30°.21cnjy.com
例2 计算：cos30°－cos60°＋cos245°.
解：原式＝－×＋×()2
＝.
活动2 跟踪训练
1．用计算器计算cos54°的结果(精确到0.000 1)是( )
A．0.326 1 B．0.587 8
C．0.625 2 D．0.832 5
2．已知α为锐角，sinα＝cos40°，则α等于( )
A．20° B．30°
C．40° D．50°
3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝，则α的度数为________．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝4，则cosA的值为________．
5．计算：
(1)cos45°cos30°－2cos60°；
(2)cos230°＋cos245°＋cos260°.
活动3 课堂小结
学生试述：今天学到了什么？
【预习导学】
知识探究
1．余弦 2.cos(90°－α)
自学反馈
1．B 2.0.951 1
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.D 3.60° 4.. 5.(1).(2).
第3课时 余弦
01 基础题
知识点1 余弦
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则cosA可表示为(C)
A. B. C. D.21世纪教育网版权所有
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，那么cosA的值等于(B)
A. B. C. D.
3．(广东中考)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是(D)
A. B. C. D.www.21-cn-jy.com
4．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosB＝，则BC＝8．
5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求cosA和cosB的值．
解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝＝.
∴cosA＝＝＝，cosB＝＝＝.
知识点2 特殊角的余弦值
6．计算：cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝．
7．已知α是锐角，cosα＝，则α等于30°．
8．计算：
(1)cos30°－cos45°－cos60°；
解：原式＝×－×－
＝－1－
＝0.
(2)2cos245°＋cos260°－3cos230°.
解：原式＝2×()2＋()2－3×()2
＝1＋－
＝－1.
知识点3 互余两角的正弦、余弦之间的关系
9．若α是锐角，且sinα＝，则cos(90°－α)＝(A)
A. B. C. D.21教育网
10．对于锐角∠A，∠B，如果sinA＝cosB，那么∠A与∠B的关系一定满足(D)
A．∠A＝∠B B．∠A＋∠B＝45°
C．∠A＋∠B＝60° D．∠A＋∠B＝90°
知识点4 用计算器求锐角的余弦值及已知余弦值求锐角
11．填空(精确到0.000 1)：
(1)cos42°≈0.743__1；
(2)cos80°25′≈0.166__5；
(3)cos49°18′≈0.652__1．
12．填空(精确到0.1°)：
(1)若cosα＝0.324 5，则α≈71.1°；
(2)若cosα＝0.843 4，则α≈32.5°；
(3)若cosα＝0.585 8，则α≈54.1°．
02 中档题
13．(汕尾中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值是(B)
A. B. C. D.2·1·c·n·j·y
14．在△ABC中，若sinA＝cosB＝，则下列最确切的结论是(C)
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
15．(南通中考)如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则cosA＝．
16．(鞍山中考)△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝，则BC的长为2．
17．(天水中考)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA＝．21·cn·jy·com
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD⊥AB于D，AC＝12，试求：
(1)sinA的值；
(2)cos∠ACD的值；
(3)CD的值．
解：(1)由BC＝5，AC＝12，得
AB＝13，sinA＝.
(2)cos∠ACD＝sinA＝.
(3)∵sinA＝，
∴CD＝AC·sinA＝12×＝.
或由面积公式，得13CD＝5×12，得CD＝.
19．如图，在△ABC中，已知AC＝6，∠C＝75°，∠B＝45°，求△ABC的面积．
解：过点C作CD⊥AB于D，
∵∠C＝75°，∠B＝45°，
∴∠A＝60°.
在Rt△ACD中，
AD＝AC·cos60°＝3，CD＝AC·sin60°＝3.
又∵∠BCD＝90°－∠B＝45°，
∴CD＝BD＝3.
∴S△ABC＝AB·CD＝×(3＋3)×3＝＋.
03 综合题
20．(1)如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；21cnjy.com
(2)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；【来源：21·世纪·教育·网】
(3)比较大小：(填“＜”“＞”或“＝”)
若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα
cosα；
(4)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°.
解：(1)在图1中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3.
∵sin∠B1AC1＝，sin∠B2AC2＝，
sin∠B3AC3＝，而＞＞，
∴sin∠B1AC1＞sin∠B2AC2＞sin∠B3AC3.
正弦值随着锐角度数的增大而增大．
在图2中，Rt△ACB1中，∠C＝90°，cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝.
∵AB3即cos∠B1AC＜cos∠B2AC＜cos∠B3AC.
余弦值随锐角度数的增大而减小．
(2)sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°.
(4)cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°.
