4.4 解直角三角形的应用
第1课时 与仰角、俯角有关的应用问题
1．了解仰角、俯角的概念．
2．会利用解直角三角形解决与视角有关的实际问题，逐步培养分析问题、解决问题的能力．(重点)
阅读教材P125～126，完成下面的内容：
(一)知识探究
如图，视线与水平线所成的角∠1叫作________角；∠2叫作________角．
(二)自学反馈
1．如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC的顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的距离AB＝12米，则旗杆的高度为( )21教育网
A．6米 B．6米 C．12米 D．12米
2．如图是引拉线固定电线杆的示意图．已知：CD⊥AB，CD＝3 m，∠CAD＝∠CBD＝60°，则拉线AC的长是________m.21cnjy.com
活动1 小组讨论
例 如图，在离上海东方明珠塔底部1 000 m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°，仪器距地面高AE为1.7 m．求上海东方明珠塔的高度BD(结果精确到1 m)．2·1·c·n·j·y
解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝25°，AC＝1 000 m，因此tan25°＝＝.
从而BC＝1 000×tan25°≈466.3(m)．
因此，上海东方明珠塔的高度
BD＝466.3＋1.7＝468(m)．
答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m.
活动2 跟踪训练
1．如图，从热气球C上测定建筑物A，B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A，D，B在同一直线上，建筑物A，B间的距离为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．150米
B．180米
C．200米
D．220米
2．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30 m，那么楼的高度AC为________m(结果保留根号)．21世纪教育网版权所有
3．如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？(结果精确到0.1米)21·cn·jy·com
4．一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC.如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角是30°，然后沿正东方向前行62米到达D点，在点D测得山顶点A的仰角为60°(B，C，D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计)．求小岛的高度AC.(结果精确到1米，参考数据：≈1.4，≈1.7)www.21-cn-jy.com
活动3 课堂小结
做这一类题的一般步骤：
(1)建立直角三角形模型；
(2)利用解直角三角形的知识解题．
【预习导学】
知识探究
仰 俯
自学反馈
1．C 2.6
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.10 3.在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠DAC＝30°，AD＝4.∵tan30°＝＝，∴CD＝.∴CE＝CD＋DE＝＋1.68≈4.0.答：这棵树大约有4.0米高 4.由题意，知∠ADC＝60°，∠ABC＝30°.设AC＝x米．在Rt△ACD中，tan60°＝，∴CD＝＝＝米．在Rt△ACB中，tan30°＝，即＝.解得x＝31≈53.∴小岛的高度AC为53米．
4.4 解直角三角形的应用
第1课时 与仰角、俯角有关的应用问题
01 基础题
知识点1 与仰角、俯角有关的应用问题
1．(太原中考)如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B、C在同一水平面上)．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为(A)21世纪教育网版权所有
A．100 m
B．50 m
C．50 m
D. m
2．如图，从热气球C处测得地面两点A、B的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为80米，点A、D、B在同一直线上，那么A、B两点的距离是(D)21教育网
A．160米 B．80米
C．100米 D．80(1＋)米
3．(南通中考)如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16 m，到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物M的高度等于(A)21cnjy.com
A．8(＋1)m B．8(－1)m
C．16(＋1)m D．16(－1)m
4．(郴州中考)小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法．如图，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋房间的距离为9米．请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．(结果保留到整数，参考数据：≈1.4，≈1.7)21·cn·jy·com
解：过点C作CD⊥AB于点D，
由题意可知CD＝9，
在Rt△ADC中，∵tan30°＝，
∴AD＝CD·tan30°＝9×＝3.
在Rt△CDB中，∵tan45°＝＝1，
∴BD＝CD＝9.
∴AB＝AD＋DB＝9＋3≈14(米)．
答：楼房AB的高度约为14米．
知识点2 与夹角有关的应用问题
5．(钦州中考)如图，为固定电线杆AC，在离地面高度为6 m的A处引拉线AB，使拉线AB与地面上的BC的夹角为48°，则拉线AB的长度约为(C)www.21-cn-jy.com
(结果精确到0.1 m，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)
A．6.7 m B．7.2 m C．8.1 m D．9.0 m
6．(益阳中考)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为(A)2·1·c·n·j·y
A.米 B.米
C.米 D.米
02 中档题
7．(抚顺中考)如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为100米．【来源：21·世纪·教育·网】
8．(深圳中考)某兴趣小组借助无人机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人机的飞行速度为4米/秒，求这架无人机的飞行高度．(结果保留根号)www-2-1-cnjy-com
解：作AD⊥BC，BH⊥水平线，垂足分别为D、H.
则∠ADB＝∠ADC＝∠BHC＝90°，
由题意知∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，
∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°.
∵AB＝4×8＝32，∴在Rt△ABD中，
BD＝AB·cos∠ABC＝32cos30°＝16，
AD＝AB·sin∠ABC＝32sin30°＝16.
在Rt△ACD中，∵∠ACB＝45°，
∴CD＝AD＝16.
∴BC＝CD＋BD＝16＋16.
在Rt△BCH中，∵∠BCH＝30°，
∴BH＝BC＝8＋8.
∴这架无人机的飞行高度为(8＋8)米．
9．(娄底中考)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图)，图乙是从图甲中引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端的距离AD为20米，请求出立柱BH的长．(结果精确到0.1米，≈1.732)21·世纪*教育网
解：设DH＝x米，∵∠CDH＝60°，∠H＝90°，
∴CH＝DH·tan60°＝x米．
∴BH＝BC＋CH＝(2＋x)米．
∵∠A＝30°，
∴AH＝BH＝(2＋3x)米．
∵AH＝AD＋DH，
∴2＋3x＝20＋x，解得x＝10－.
∴BH＝2＋×(10－)＝10－1≈16.3(米)．
答：立柱BH的长约为16.3米．
10．(北海中考)如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．(结果保留小数点后两位，参考数据：sin22°≈0.374 6，cos22°≈0.927 2，tan22°≈0.404 0)
解：∵∠BAE＝22°，∠ABC＝90°，∠CED＝∠AEC＝90°，
∴∠BCE＝158°.
∴∠DCE＝22°.
又∵tan∠BAE＝，
∴BD＝AB·tan∠BAE.
又∵cos∠BAE＝cos∠DCE＝，
∴CE＝CD·cos∠BAE
＝(BD－BC)·cos∠BAE
＝(AB·tan∠BAE－BC)·cos∠BAE
＝(10×0.404 0－0.5)×0.927 2
≈3.28(m)．
答：CE的长度为3.28 m.
03 综合题
11．(泰州中考)如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平面上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)
解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，则∠AFC＝90°.
在Rt△ABD中，tan45°＝，
∴AB＝BD.
设AE＝x m，
则AF＝x＋56－27＝(x＋29)m，
CF＝BD＝AB＝(x＋56)m.
∵在Rt△ACF中，tan36°52′＝，
∴tan36°52′＝.
∵tan36°52′≈0.75，
∴＝0.75.解得x＝52.
经检验x＝52是原方程的根，且符合题意．
答：该铁塔的高AE为52 m．
第2课时 与坡度、坡角有关的应用问题
1．了解坡度、坡角的概念，学会解决相关问题．
2．经历用解直角三角形解决实际问题的过程，体验用数学知识解决实际问题．
3．渗透数学来源于实践又服务于实践的观点，培养用数学的意识，渗透数形结合的思想方法．
阅读教材P127～128，完成下面的内容：
(一)知识探究
如图，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度________(即线段________的长)与水平前进的距离________(即线段________的长)的比叫作坡度，用字母i表示，即i＝________.其中∠MPN叫作________(即________与________的夹角)，记作________．21cnjy.com
(二)自学反馈
1．山坡的坡度为1∶1，则这个山坡的坡角为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°21·cn·jy·com
2．河堤横断面如图所示，堤高BC＝8米，迎水坡AB的长为16米，则斜坡AB的坡度为( )
A．1∶
B．1∶2
C．1∶
D．1∶1
活动1 小组讨论
例 如图，一山坡的坡度为i＝1∶2，小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240 m到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？(角度精确到0.01°，长度精确到0.1 m)
解：用α表示坡角的大小，由题意可得tanα＝＝0.5，
因此α≈26.57°.
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝26.57°，AC＝240 m，
从而BC＝240×sin26.57°≈107.3(m)．
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m.
活动2 跟踪训练
1．如图，一河坝的横断面为四边形ABCD，∠A＝∠D，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( )www.21-cn-jy.com
A．26米 B．28米 C．30米 D．46米
2．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为________．21世纪教育网版权所有
3．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是________ cm.2·1·c·n·j·y
4．庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i＝1∶，山坡长为240米，南坡的坡角是45°，问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？(将山路AB，AC看成线段，结果保留根号)．
活动3 课堂小结
理解“坡度、坡角”的概念，掌握利用解直角三角形的知识解决实际问题．
【预习导学】
知识探究
h MN l PM 坡角 PM PN α
自学反馈
1．B 2.A
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.1∶2 3.210 4.过点A作AD⊥BC于D.在Rt△ACD中，tanC＝i＝1∶＝，∴∠ACD＝30°.∴AD＝AC＝120米．在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AB＝＝120米．∴庞亮用的时间为240÷24＝10分钟，若李强和庞亮同时到达，则李强的速度为120÷10＝12(米/分)．故李强以12米/分的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A.21教育网
第2课时 与坡度、坡角有关的应用问题
01 基础题
知识点 与坡度、坡角有关的应用问题
1．某堤的横断面如图，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是(C)
A．1∶3 B．1∶2.6
C．1∶2.4 D．1∶2
2．如图，修建抽水站时，沿着坡度为i＝1∶6的斜坡铺设管道，下列等式成立的是(C)
A．sinα＝ B．cosα＝
C．tanα＝ D．以上都不对
3．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶，坝外斜坡的坡度i＝1∶1，则两个坡角的和为75°．21教育网
4．(岳阳中考)如图，一山坡的坡度为i＝1∶，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，小辰上升了100米．21cnjy.com
5．如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面的高度h＝2米，则这个土坡的坡角为30°．www.21-cn-jy.com
6．(天门中考)某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图)．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．
解：在Rt△ADC中，
∵AD∶DC＝1∶2.4，
AC＝13，
由AD2＋DC2＝AC2，得AD2＋(2.4AD)2＝132.
∴AD＝±5(负值不合题意，舍去)．
∴DC＝12.
在Rt△ABD中，∵AD∶BD＝1∶1.8，
∴BD＝5×1.8＝9.
∴BC＝DC－BD＝12－9＝3.
答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米．
7．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改成斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C(如图所示)，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，那么斜坡起点C应离A点多远？(精确到1 cm，sin12°≈0.208，cos12°≈0.978，tan12°≈0.213)
解：过点B作BD⊥AC于点D，
由题意，得BD＝20×3＝60(cm)，AD＝30×2＝60(cm)，∠C＝12°，
在Rt△BCD中，CD＝＝≈282(cm)．
∴AC＝CD－AD＝222(cm)．
答：斜坡起点C应离A点约222 cm.
02 中档题
8．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是3m.2·1·c·n·j·y
9．(济宁中考)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1.为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
解：(1)∵tanα＝＝，
∴α＝30°.
∴新坡面的坡角α为30°.
(2)文化墙PM不需要拆除．理由如下：
作CD⊥AB于点D，则∠CDB＝90°，CD＝6.
∵坡面BC坡度为CD∶BD＝1∶1，
∴BD＝CD＝6.同理可得AD＝CD＝6.
∴AB＝AD－BD＝6－6.又∵PB＝8，
∴PB－AB＝8－(6－6)＝(14－6)＝－＞0.
∴文化墙PM不需要拆除．
10．(荆门中考)如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋)米，小军和小明同学分别从A处和B处向山顶匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？21·cn·jy·com
解：过点C作CD⊥AB于D，设CD＝x米，
则AC＝＝x，BC＝＝2x，AD＝x，BD＝x.
∵A处与东端B处相距800(1＋)米，
∴AD＋BD＝x＋x＝(＋1)x＝800(1＋)，
解得x＝800，AC＝x＝800，BC＝2x＝1 600.
小军从点A到点C用的时间是800÷＝1 600(秒)．
小明从点B到点C的速度是1 600÷1 600＝1(米/秒)．
答：小明的行走速度是1米/秒．
03 综合题
11．(天水中考)如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA＝200米，山坡坡度为(即tan∠PAB＝)，且O、A、B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的垂直高度．(测倾器的高度忽略不计，结果保留根号)21世纪教育网版权所有
解：过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，OA＝200，∠CAO＝60°，
∴OC＝OA·tan∠CAO＝200×tan60°＝200(米)．
设PE＝x米，
∵tan∠PAB＝＝，
∴AE＝3x米．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝(200－x)米，PF＝OA＋AE＝(200＋3x)米．
∵tan∠CPF＝，
∴＝tan45°＝1，则PF＝CF.
∴200＋3x＝200－x，解得x＝50－50.
∴PE＝(50－50)米．
答：电视塔OC的高度为200米，此人所在位置点P的垂直高度为(50－50)米．
第3课时 与方位角有关的应用问题
1．了解方位角的概念，学会解决相关问题．(重点)
2．经历用解直角三角形解决实际问题的过程，体验用数学知识解决实际问题．
阅读教材P128～129，完成下面的内容：
自学反馈
1．试一试：如图，你能准确描述下列方向吗？
OA：________；OB：________；OC：________；OD：________.
2．如图，一艘轮船航行到B处时，灯塔A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处向正东方向行驶2 400 m到达C处，此时灯塔A在船的正北方向．求C处与灯塔A的距离．21世纪教育网版权所有
活动1 小组讨论
例 如图，一艘船以40 km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1 h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30 km以内有暗礁 ，问这艘船继续向东航行是否安全？21教育网
分析：这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于30 km，如果大于30 km，则安全，否则不安全．21·cn·jy·com
解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D，设CD＝x km.
在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，
∴AD＝＝.
同理，在Rt△BCD中，BD＝＝.
∵AB＝AD－BD，
∴－＝40.解得x＝20.
又20≈34.64>30，
因此，该船能继续安全地向东航行．
过C作CD垂直于AB，构造直角三角形是解决此题的关键．
活动2 跟踪训练
1．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为( )
A．40海里 B．60海里
C．70海里 D．80海里
2．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM＝100海里．那么该船继续航行________海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
3．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC等于多少米？
活动3 课堂小结
理解方位角的概念，掌握利用解直角三角形的知识解决实际问题．
【预习导学】
自学反馈
1．南偏西65° 南偏东60° 北偏东45° 北偏西40° 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2 400 m．∵tan∠ABC＝，∴AC＝BC·tan∠ABC＝2 400×tan30°＝2 400×＝800(m)．答：C处与灯塔A的距离为800 m.21cnjy.com
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.50 3.由已知，得在Rt△PBC中，∠PBC＝60°，PC＝BC·tan60°＝BC.在Rt△APC中，∠PAC＝30°，AC＝PC＝3BC＝500＋BC.解得BC＝250.∴PC＝250米．答：灯塔P到环海路的距离PC等于250米．www.21-cn-jy.com
第3课时 与方位角有关的应用问题
01 基础题
知识点 有方位角有关的应用问题
1．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距离北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是(A)21教育网
A．250米
B．250米
C.米
D．500米
2．如图，某人从O点沿北偏东30°的方向走了20米到达A点，B在O点的正东方，且在A的正南方，则此时AB间的距离是10米．(结果保留根号)www.21-cn-jy.com
3．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为11海里．(结果取整数)(参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)21·世纪*教育网
4．(长春中考)如图，海面上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°.求A、B两岛之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)
解：由题意，得AC＝18×2＝36(海里)，∠ACB＝43°.
在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，
∴AB＝AC·tan∠ACB＝36×0.93≈33.5(海里)，
故A、B两岛之间的距离约为33.5海里．
5．(湘西中考)钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．21cnjy.com
(1)请在图中作出该船在点B处的位置；
(2)求钓鱼岛C到B处的距离．(结果保留根号)
解：(1)如图所示．
(2)AB＝30×0.5＝15(海里)，
由题意知CB⊥AB，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
tan∠BAC＝，
∴BC＝AB·tan∠BAC＝AB·tan30°＝15×＝5(海里)．
答：钓鱼岛C到B处的距离为5海里．
6．(临沂中考)一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处？(参考数据：≈1.732，结果精确到0.1)
解：作PC⊥AB，交AB的延长线于点C.
在Rt△APC中，∵AP＝20海里，∠APC＝60°，
∴PC＝AP·cos60°＝20×＝10(海里)，
AC＝AP·sin60°＝20×＝10＝10×1.732≈17.3(海里)．
在Rt△BPC中，∵∠BPC＝45°，
∴BC＝PC＝10海里．
∴AB＝AC－BC＝17.3－10＝7.3(海里)．
答：它向东航行7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处．
02 中档题
7．某人从A处出发沿北偏东30°方向走了100米到达B处，再沿北偏西60°方向走了100米到达C处，则他从C处回到A处至少要走100米．21世纪教育网版权所有
8．(常德中考)南海是我国的南大门．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有—艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只．问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？(最后结果保留整数，参考数据：cos75°≈0.258 8，sin75°≈0.965 9，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414)
解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，由题意知∠BAD＝45°.
在△ABD中，AD＝cos45°AB＝×20＝10(海里)，
∴BD＝AD＝10海里．
在△BCD中，DC＝BD·tan75°≈53(海里)．
∴AC＝AD＋CD＝67海里．
答：海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了约67海里．
9．如图，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57)21·cn·jy·com
(1)求船P到海岸线MN的距离；(精确到0.1海里)
(2)若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．【来源：21·世纪·教育·网】
解：(1)过点P作PD⊥AB于点D.
由题意，得∠PAB＝90°－58°＝32°，∠PBD＝90°－35°＝55°，AP＝30，
在Rt△ADP中，sin∠PAD＝，得
PD＝AP·sin∠PAD＝30×sin32°≈15.9.
答：船P到海岸线MN的距离约为15.9海里．
(2)在Rt△BDP中，sin∠PBD＝，
∴BP＝＝≈19.4，
A船需要的时间为＝1.5(小时)，
B船需要的时间为≈1.3(小时)．
∵1.5＞1.3，∴B船先到达P处．
答：B船先到达P处．
03 综合题
10．(达州中考)如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5 km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20 km.一轮船以36 km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12 km.2·1·c·n·j·y
(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线l?
(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．(参考数据：≈1.4，≈1.7)
解：(1)延长AB交直线l于点F，过A，B分别作AD⊥l，BE⊥l.
∵∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°.
∵∠DAC＝30°，∴∠DCA＝60°.
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，BC＝12 km，
AB＝36×＝24(km)，
∴AB＝2BC.∴∠BAC＝30°.
AC＝＝12(km)．
在Rt△ACD中，AD＝AC·cos30°＝12×＝18(km)．
在Rt△ADF中，AF＝2AD＝36 km.
36÷36＝1小时．
答：轮船在11：00到达海岸线l.
(2)能，理由：
在Rt△ADF中，DF＝AF·sin60°＝36×＝18.
在Rt△ADC中，DC＝AC＝6，
∴CF＝12.
∵CN＝20，CM＝21.5，12≈20.4，
∴20＜20.4＜21.5.∴轮船能够停靠在码头．
