1．2 反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数y＝(k>0)的图象与性质
1．能用“描点法”画反比例函数y＝(k>0)的图象．(重点)
2．通过反比例函数图象的分析，探索并掌握反比例函数y＝(k>0)的性质．(重点)
阅读教材P5～7，完成下列内容：
(一)知识探究
1．类比一次函数的图象画法，画反比例函数的图象的一般步骤：________、________、________.
2．一般地，当k>0时，反比例函数y＝的图象由分别在第________、________象限内的两支________组成，它们与x轴、y轴都________，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而________．
(二)自学反馈
你能画出反比例函数y＝的图象吗？它是什么形状？有什么特点？
活动1 小组讨论
例1 画出反比例函数y＝的图象．
解：列表，如下：
x
…
－6
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
6
…
y＝
…
－1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1.2
1
…
描点、连线，如图所示：
列表时：自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样既可简化计算，又便于对称描点；描点时：尽量多描一些点，这样既可以方便连线，又能较准确地表达函数变化趋势；连线时：一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接，从中体会函数的增减性．
例2 在如图所示的平面直角坐标系内，画出反比例函数y＝的图象．
解：列表，如下：
x
…
－6
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
6
…
y＝
…
－
－
－
－1
－
－3
3
1
…
描点、连线，如图所示．
例3 观察画出的y＝，y＝的图象，思考下列问题：
(1)每个函数的图象分别位于哪些象限？
(2)在每一象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化？
解：(1)两个函数的图象都分别位于第一、三象限．
(2)y随x的增大而减小．
(1)当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，每个象限内y随x的增大而减小．
(2)反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．对称轴有两条：直线y＝x和y＝－x.对称中心是原点．21世纪教育网版权所有
活动2 跟踪训练
1．反比例函数y＝(x＞0)的图象如图所示，随着x值的增大，y值( )
A．减小
B．增大
C．不变
D．先减小，后不变
2．反比例函数y＝的图象位于平面直角坐标系的( )
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
3．已知P1(－2，y1)，P2(－1，y2)，P3(1，y3)是反比例函数y＝的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是( )21教育网
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3
C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
4．反比例函数y＝的图象与两坐标轴________相交(填“会”或“不会”)．
5．已知反比例函数y＝的图象如图所示，则m的取值范围是________．
活动3 课堂小结
反比例函数y＝(k>0)的图象与性质：
k的符号
k>0
图象形状
双曲线
图象位置
一、三象限
性质
每个象限内，y随x的增大而减小
【预习导学】
知识探究
1．列表 描点 连线 2.一 三 曲线 不相交 减小
自学反馈
答案略
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．A 2.A 3.C 4.不会 5.m＜1
1．2 反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数y＝(k＞0)的图象与性质
01 基础题
知识点1 反比例函数y＝(k>0)的图象
1．函数y＝的图象可能是(A)
2．下列各点在反比例函数y＝的图象上的是(C)
A．(1，0.5) B．(2，－1)
C．(－1，－2) D．(－2，1)
3．反比例函数y＝的图象与x轴的交点有(A)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
4．反比例函数y＝的图象如图所示，则k的取值范围是k＞－1．
5．反比例函数y＝的图象的两个分支分别位于第一、三象限．
6．画出反比例函数y＝的图象．
解：列表：
x
…
－8
－4
－3
－2
－1
－
1
2
3
4
8
…
y＝
…
－
－1
－
－2
－4
－8
8
4
2
1
…
描点、连线：
知识点2 反比例函数y＝(k＞0)的性质
7．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是(C)
A．图象经过点(4，－1)
B．图象位于第二、四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
8．已知反比例函数y＝，当1＜x＜3时，y的取值范围是(A)
A．2＜y＜6 B．－2＜y＜－6
C．－1＜y＜0 D．0＜y＜6
9．对于反比例函数y＝的图象的对称性，下列叙述错误的是(D)
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝－x对称
D．关于x轴对称
10．反比例函数y＝的图象上有两个点(2，y1)、(4，y2)，则y1＞y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
11．在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小．
(1)函数经过哪些象限？
(2)求k的取值范围．
解：(1)∵反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
∴函数图象经过第一、三象限．
(2)∵函数图象在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴k－2 017＞0，即k＞2 017.
02 中档题
12．如图，反比例函数y＝的图象的一个分支为(D)
A．①
B．②
C．③
D．④
13．姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是(C)21世纪教育网版权所有
A．y＝2x B．y＝－2x
C．y＝ D．y＝－
14．已知三点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在函数y＝的图象上，当x1＞x2＞0＞x3时，下列结论正确的是(A)21教育网
A．y2＞y1＞y3 B．y1＞y2＞y3
C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
15．已知反比例函数y＝的图象经过点(3，4)．
(1)求k的值，并在坐标系中画出此函数的图象；
(2)x取何值时y小于0?
解：(1)将(3，4)代入y＝中，得k＝12，图象如图所示．
(2)x＜0时，y小于0.
16．如图是反比例函数y＝的一支，根据图象回答下列问题：
(1)图象的另一支在哪个象限？常数k的取值范围是什么？
(2)取一个你认为符合条件的k值，写出反比例函数的表达式，并求出当x＝－6时反比例函数y的值．
解：(1)另一支位于第三象限.2k＋4＞0，解得k＞－2.
(2)答案不唯一，如：k＝－1，函数表达式为y＝.
当x＝－6时，y＝－.
03 综合题
17．设p，q都是实数，且p＜q.我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫作闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．21cnjy.com
(1)反比例函数y＝是闭区间[1，2 017]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
(2)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此一次函数的表达式．
解：(1)是．理由：由函数y＝的图象可知，
当1≤x≤2 017时，函数值y随着自变量x的增大而减小；
而当x＝1时，y＝2 017；x＝2 017时，y＝1，
故也有1≤y≤2 017，
∴函数y＝是闭区间[1，2 017]上的“闭函数”．
(2)∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)是闭区间[m，n]上的“闭函数”，
∴根据一次函数的图象与性质，有：
①当k＞0时，解得
∴一次函数的表达式为y＝x；
②当k＜0时，解得
∴一次函数的表达式为y＝－x＋m＋n.
综上所述，一次函数的表达式为y＝x或y＝－x＋m＋n.
第2课时 反比例函数y＝(k<0)的图象与性质
1．会画反比例函数y＝(k<0)的图象．(重点)
2．探索并掌握y＝(k<0)的性质．(重点)
阅读教材P7～9，完成下列内容：
(一)知识探究
当k<0时，反比例函数y＝的图象由分别在第________、________象限内的两支________组成，它们与x轴、y轴________，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而________．
(二)自学反馈
下列函数：①y＝；②y＝；③y＝；④y＝.
(1)图象位于第二、四象限的有________；
(2)在每一象限内，y随x的增大而增大的有________；
(3)在每一象限内，y随x的增大而减小的有________．
活动1 小组讨论
例 画反比例函数y1＝和y2＝－的图象．
解：列表→描点→连线，如图所示．
反比例函数y＝的图象与y＝－的图象关于x轴、y轴对称．当k<0时，反比例函数y＝的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．21教育网
活动2 跟踪训练
1．反比例函数y＝－(x＞0)的图象如图所示，随着x值的增大，y值( )
A．增大
B．减小
C．不变
D．先增大后减小
2．反比例函数y＝(a是常数)的图象分布在( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．点(1，y1)、(2，y2)在函数y＝－的图象上，则y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)．
4．已知反比例函数y＝，分别根据下列条件求出字母k的取值范围：
(1)函数图象位于第一、三象限；
(2)在每一象限内，y随x的增大而增大．
牢记函数图象的性质，严格按照函数图象性质判断比例系数的符号．
活动3 课堂小结
学生试述：今天学到了什么？
【预习导学】
知识探究
二 四 曲线 不相交 增大
自学反馈
(1)②④ (2)②④ (3)①③
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．A 2.C 3.＜ 4.(1)∵函数图象位于第一、三象限，∴3－k＞0.解得k＜3. (2)∵在每一象限内，y随x的增大而增大，∴3－k＜0.解得k＞3.21世纪教育网版权所有
第2课时 反比例函数y＝(k<0)的图象与性质
01 基础题
知识点1 反比例函数y＝(k<0)的图象
1．反比例函数y＝－的图象大致是(D)
A B C D
2．下列各点在反比例函数y＝的图象上的是(D)
A．(2，2) B．(－2，－2)
C．(－，－8) D．(，－8)
3．已知反比例函数y＝的图象经过点P(－1，2)，则这个函数的图象位于(D)
A．第二、三象限 B．第一、三象限
C．第三、四象限 D．第二、四象限
4．(邵阳中考)已知反比例函数y＝(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是－2(答案不唯一)(写一个即可)．www.21-cn-jy.com
5．用描点法画反比例函数y＝－的图象．
解：列表：
x
－6
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
6
y＝－
1
2
3
6
－6
－3
－2
－
－
－1
描点、连线，如图所示．
知识点2 反比例函数y＝(k<0)的性质
6．反比例函数y＝－(x＞0)的图象如图所示，随着x值的增大，y值(A)
A．增大
B．减小
C．不变
D．先增大后减小
7．(衢州中考)若函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是(A)21世纪教育网版权所有
A．m<－2 B．m<0
C．m>－2 D．m>0
8．对于函数y＝－，下列说法错误的是(D)
A．它的图象分布在第二、四象限
B．它的图象与直线y＝x无交点
C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大
D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小
9．(苏州中考)已知点A(2，y1)、B(4，y2)都在反比例函数y＝(k<0)的图象上，则y1、y2的大小关系为(B)21cnjy.com
A．y1>y2 B．y1 C．y1＝y2 D．无法确定
10．已知反比例函数y＝的图象如图所示：
(1)k的值是－2；
(2)你认为点B(－2，4)在这个函数的图象上吗？答：不在；
(3)在第二象限内，y随x的增大而增大(填“增大”或“减少”)．
02 中档题
11．已知函数y＝(m＋1)xm2－5是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是(B)
A．2 B．－2
C．±2 D．－
12．已知反比例函数y＝(x＞0)的图象如图，则它关于y轴对称的图象的函数表达式为(D)
A．y＝(x＞0) B．y＝(x＜0)
C．y＝－(x＞0) D．y＝－(x＜0)
13．如图是三个反比例函数y1＝，y2＝，y3＝在x轴上方的图象，由此得到(C)
A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3
C．k3＞k2＞k1 D．k3＞k1＞k2
14．若y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x
－3
－2
－1
－
1
2
3
y
1
2
4
－4
－2
－1
－
(1)写出这个函数的表达式；
(2)根据函数表达式完成上表；
(3)依上表在平面直角坐标系内描点，并作出函数的图象．
解：(1)y＝－.
(3)略．
15．如图是反比例函数y＝的图象的一支．根据给出的图象回答下列问题：
(1)该函数的图象位于哪几个象限？请确定a的取值范围；
(2)在这个函数图象的某一支上取点A(x1，y1)、B(x2，y2)．如果y1＜y2，那么x1与x2有怎样的大小关系？21教育网
解：(1)∵反比例函数图象关于原点对称，图中反比例函数图象位于第四象限，
∴函数图象位于第二、四象限，则3a－6＜0，
解得a＜2.
∴a的取值范围是a＜2.
(2)由(1)知，函数图象位于第二、四象限，
∴在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
①当y1＜y2＜0时，x1＜x2；
②当0＜y1＜y2，x1＜x2；
③当y1＜0＜y2时，x2＜x1.
03 综合题
16．已知A(1，1)，B(－，2)，C(3，－)三个点中的两个点在反比例函数图象上．
(1)求出这个反比例函数的表达式，并找出不在图象上的点；
(2)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是这个反比例函数图象上任意不重合的两点，M＝＋，N＝＋，试判断M，N的大小，并说明理由．21·cn·jy·com
解：(1)∵A(1，1)，B(－，2)，C(3，－)，
∴1×1＝1，(－)×2＝－1，3×(－)＝－1.
∴点A不在这个反比例函数的图象上，反比例函数的表达式为y＝－.
(2)M∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝－图象上的任意不重合的两点，
∴y1＝－，y2＝－，y1≠y2.
∵M＝＋，N＝＋，
∴M－N＝(＋)－(＋)＝＋＝(y1－y2)(－)＝－(y1－y2)2<0，
∴M第3课时 反比例函数的图象与性质的综合应用
1．能根据已知点坐标确定反比例函数的表达式．
2．能借助一次函数与反比例函数的图象解决简单的实际问题．
阅读教材P10～11，完成下列内容：
自学反馈
已知反比例函数的图象经过点A(2，6)．
(1)这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？
(2)点B(3，4)、C(－2，－4)和D(2，5)是否在这个函数的图象上？
活动1 小组讨论
例1 如图是反比例函数y＝的图象．根据图象，回答下列问题：
(1)k的取值范围是k>0，还是k<0？说明理由；
(2)如果点A(－3，y1)，B(－2，y2)是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小．
解：(1)由图可知，反比例函数y＝的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，因此，k>0.21世纪教育网版权所有
(2)因为点A(－3，y1)，B(－2，y2)是该图象上的两点，所以点A，B都位于第三象限．又因为－3<－2，由反比例函数图象的性质可知：y1>y2.21教育网
例2 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－3，4)．试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象．2·1·c·n·j·y
解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为y＝k1x，y＝，其中k1，k2为常数，且均不为零．
由于这两个函数的图象交于点P(－3，4)，则点P(－3，4)是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式．【来源：21·世纪·教育·网】
因此4＝k1×(－3)，4＝.
解得k1＝－，k2＝－12.
因此这两个函数的表达式分别为y＝－x和y＝－.
它们的图象如图所示：
活动2 跟踪训练
1．已知反比例函数y＝的图象经过点(2，－2)，则k的值为( )
A．4 B．－ C．－4 D．－2
2．如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为(3，4)，则它们的另一个交点坐标是( )
A．(－3，4) B．(－4，－3)
C．(－3，－4) D．(4，3)
3．设反比例函数y＝，(x1，y1)、(x2，y2)为其图象上的两点，若x1<0y2，则k的取值范围是________．21·cn·jy·com
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝(m≠0)的图象相交于A、B两点．求：www.21-cn-jy.com
(1)根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值．
活动3 课堂小结
本课时学会解决的问题：
1．根据点的坐标确定反比例函数表达式．
2．根据反比例函数的图象比较已知两点坐标值的大小．
3．综合利用图象及性质解决一次函数与反比例函数的交点问题．
【预习导学】
自学反馈
(1)设这个反比例函数为y＝，∵图象过点A(2，6)，∴6＝.解得k＝12.∴这个反比例函数的表达式为y＝.∵k>0，∴这个函数的图象在第一、三象限．在每个象限内，y随x的增大而减小．(2)把点B、C、D的坐标代入y＝，可知点B、C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，∴点B、C在函数y＝的图象上，点D不在这个函数的图象上．21cnjy.com
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.C 3.k<－1 4.(1)由图象可知：点A的坐标为(2，)，点B的坐标为(－1，－1)．∵反比例函数y＝(m≠0)的图象经过点A(2，)，∴m＝1.∴反比例函数的表达式为y＝.∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(2，)，点B(－1，－1)，∴解得∴一次函数的表达式为y＝x－.(2)由图象可知：当x＞2或－1＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值.
第3课时 反比例函数的图象与性质的综合应用
01 基础题
知识点1 用待定系数法求反比例函数的表达式
1．(湘潭中考)如图，点P(－3，2)是反比例函数y＝(k≠0)的图象上一点，则反比例函数的表达式是(D)21世纪教育网版权所有
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－
2．(株洲中考)已知反比例函数y＝的图象经过点(2，3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是(B)21教育网
A．(－6，1 ) B．(1，6)
C．(2，－3) D．(3，－2)
3．如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则反比例函数的表达式是(B)21cnjy.com
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
4．已知变量x、y满足下面的关系，则x、y之间的关系可表示为(B)
x
…
－3
－2
1
2
3
…
y
…
1
1.5
－3
－1.5
－1
…
A.y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
知识点2 反比例函数的图象与性质的综合
5．已知反比例函数y＝，当m为何值时：
(1)函数的图象在第二、四象限内；
(2)在每个象限内，y随x的减小而增大．
解：(1)∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限内，
∴6－m＜0，解得m＞6.
(2)∵在每个象限内，y随x的减小而增大，
∴6－m＞0，解得m＜6.
知识点3 反比例函数与一次函数的综合
6．(益阳中考)正比例函数y＝6x的图象与反比例函数y＝的图象的交点位于(D)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第一、三象限
7．(三明中考)如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为(3，4)，则它们的另一个交点坐标是(C)www.21-cn-jy.com
A．(－3，4) B．(－4，－3)
C．(－3，－4) D．(4，3)
8．(六盘水中考)如图，一次函数y1＝k1x＋b(k1≠0)的图象与反比例函数y2＝(k2≠0)的图象交于A，B两点，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是－1＜x＜0或x＞2．2·1·c·n·j·y
知识点4 反比例函数表达式中k的几何意义
9．如图，点A为反比例函数y＝图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为(A)【来源：21·世纪·教育·网】
A．2 B．3 C．4 D．521·世纪*教育网
10．(张家界中考)如图，点P是反比例函数y＝图象上的一点，PA⊥y轴，垂足为点A，PB⊥x轴，垂足为点B，若矩形PBOA的面积为6，则k的值是－6．www-2-1-cnjy-com
02 中档题
11．若经过原点的两条不同直线与双曲线y＝有四个不同交点A、B、C、D，则点A、B、C、D构成的图形一定是(A)2-1-c-n-j-y
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
12．(大庆中考)已知反比例函数y＝－的图象上有两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，若y1＞y2，则x1－x2的值是(D)【出处：21教育名师】
A．正数 B．负数
C．非正数 D．不能确定
13．(怀化中考)已知一次函数y＝kx＋b的图象如图，那么正比例函数y＝kx和反比例函数y＝在同一坐标系中的图象大致是(C)21*cnjy*com
14．(湘潭中考)如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1＋S2＝(D)【版权所有：21教育】
A．3
B．4
C．5
D．6
15．(岳阳中考)如图，直线y＝x＋b与双曲线y＝都经过点A(2，3)，直线y＝x＋b分别与x轴、y轴交于B、C两点．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求直线和双曲线的函数表达式；
(2)求△AOB的面积．
解：(1)∵点A(2，3)在直线y＝x＋b上，
∴2＋b＝3，解得b＝1.
∴直线的表达式为y＝x＋1.
∵点A(2，3)在双曲线y＝上，
∴3＝，解得m＝6.
∴双曲线的表达式为y＝.
(2)过点A作AE⊥x轴于点E.
对于直线y＝x＋1，令y＝0，得x＝－1，
∴点B的坐标为(－1，0)．∴OB＝1.
∵A(2，3)，∴AE＝3.
∴S△AOB＝BO·AE＝×1×3＝.
03 综合题
16．(威海中考改编)已知反比例函数y＝(m为常数)的图象在第一、三象限．
(1)如图，若该反比例函数的图象经过?ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)，求出此函数的表达式；21·cn·jy·com
(2)若E(x1，y1)，F(x2，y2)都在该反比例函数的图象上，且x1>x2>0，则y1和y2有怎样的大小关系？
解：(1)∵B点坐标为(－2，0)，
∴OB＝2.
∵四边形ABOD为平行四边形，
∴AD∥OB，AD＝OB＝2.
又∵A点坐标为(0，3)，
∴D点坐标为(2，3)．
∵点D在该反比例函数的图象上，
∴1－2m＝2×3＝6.
∴反比例函数表达式为y＝.
(2)∵x1>x2>0，
∴E，F两点都在第一象限．
∴y随x的增大而减小．
∴y1＜y2.
