3.1比例线段
3.1.1比例的基本性质
教学目标
【知识与技能】
1.理解比例的基本性质.
2.能根据比例的基本性质求比值.
3.能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形.
【过程与方法】
通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力.
【情感态度】
建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣.
【教学重点】
比例的基本性质.
【教学难点】
比例的基本性质及运用.
教学过程
一、情景导入，初步认知
1.举例说明生活中存在大量形状相同，但大小不同的图形.
如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的像、不同大小的国旗、两把不同大小但都含有30°角的三角尺等.
2.美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关.你知道0.618这个比值的来历吗？
3.如何求两个数的比值？
【教学说明】说明学习本章节的重要意义.
二、思考探究，获取新知
1.阅读与思考题
(1)什么是两个数的比？2与-3的比；-4与6的比.如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？
(2)比与比例有什么区别？
(3)用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？
【归纳结论】如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例.通常我们把a,b,c.d四个实数成比例表示成a∶b=c∶d或，其中a,d叫作比例外项，b,c叫作比例内项.
2.如果四个数a、b、c、d成比例，即，那么吗？反过来呢？
【教学说明】引导学生利用等式的性质一起证明.由此，你能得到比例的基本性质吗？
【归纳结论】比例的基本性质：如果，那么.
3.已知四个数a、b、c、d成比例，即：，下列各式成立吗？若成立，请说明理由. ；；.
分析：
(1)比较条件和结论的形式得到解题思路；
(2)采用设比值较为简单.
【教学说明】这三个小题反映了在比例式的变形中的两种常用方法：一是利用等式的基本性质；二是设比值.
4.根据下列条件，求a∶b的值.
（1）4a=5b,
(2) .
解：（1）∵4a=5b,∴.
（2）∵，∴8a=7b，
∴.
三、运用新知，深化理解
1.已知：x∶(x+1)=(1—x)∶3，求x.
解：根据比例的基本性质得，
3.已知a∶b∶c=1∶3∶5且a+2b-c=8,求a、b、c.
解：设a=x，则b=3x，c=5x,
∴x+2×3x-5x=8,2x=8,x=4,
∴a=4，b=3×4=12，c=5×4=20.
4.已知x∶y=3∶4，x∶z=2∶3，求x∶y∶z的值.
解：因为x∶y=3∶4=6∶8，
x∶z=2∶3=6∶9，所以x∶y∶z=6∶8∶9.
7.操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3∶2,后来又有6名女同学参加进来，此时男生与女生人数的比为5∶4,求原来有多少名男生和女生？
【教学说明】引导学生用比例的性质解决问题.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业∶教材P67“习题3.1”中第1题.
教学反思
在处理比例的基本性质前先对比例的项的有关概念进行了讲解，对于比例的内项与外项，我是这样处理的，观察a∶b=c∶d，a，d在比例式的外部，所以称为比例外项，b，c在比例式的内部，所以称为比例内项，这样解释形象直观，学生容易理解.概念教学应该注意讲练结合，通过练习达到对概念的理解.
3.1.2 成比例线段
教学目标
【知识与技能】
1.掌握比例线段的概念及其性质.
2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例.
3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
【过程与方法】
能够灵活运用比例线段的性质解决问题.
【情感态度】
感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法.
【教学重点】
能够灵活运用比例线段的性质解决问题.
【教学难点】
掌握黄金分割的概念，并能解决相关的实际问题.
教学过程
一、情景导入，初步认知
1.1、2、4、8这四个数成比例吗？如何确定四个数成比例？
2.比例基本性质是什么？
【教学说明】复习回顾，引入新课.
二、思考探究，获取新知
1.如下图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC与△A′B′C′，它们的顶点都在格点上，试求出线段AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的长度，并计算AB与A′B′,BC与B′C′,AC与A′C′的长度的比值.
【教学说明】注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；
(2)度量线段的长，单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关.
(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD.
2.什么是比例线段？
【归纳结论】在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段.
3.能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与线段AB的比呢？即，使得：.
【教学说明】引导学生用一元二次方程的知识解决问题.
【教学说明】学生通过“计算、证明”等活动，得到并加深对黄金分割的理解.
三、运用新知，深化理解
1.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例.
（1）a=16cm，b=8cm，c=5cm，d=10cm;
（2）a=8cm，b=5cm，c=6cm，d=10cm.
（2）由已知得ab≠cd,ac≠bd,ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例.
2.若ac=bd，则下列各式一定成立的是( )
【答案】 B
3.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为（ ）
【答案】 D
6.已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b－3c=14.
（1）求a,b,c;
（2）求4a－3b+c的值.
解：（1）设a=4k,b=3k,c=2k.
∵a+3b－3c=14,∴4k+9k－6k=14,
∴7k=14,∴k=2,∴a=8,b=6,c=4.
（2）4a－3b+c=32－18+4=18.
7.在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15 cm，AC=10 cm，且BD∶DC=AB∶AC，BD－DC=2 cm，求BC.
解：略.
8.在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为多少米？
解：设两地之间的实际距离为x，则：,
x=5×2000=10000cm=100m
9.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.65米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.00米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位)
10.已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.
解：作法：
（1）延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD＝AB，
（2）连接AD，在AD上截取DE＝DB，
（3）在AB上截取AC＝AE.如图，点C就是线段AB的黄金分割点.
【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解比例线段的应用和黄金分割的意义.使学生能更好地掌握本节知识.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业∶教材P57“习题3.1”中第2、3、4 题.
教学反思
在学习本节内容之前，学生已理解比例线段的性质，初步掌握了比例线段在几何中的应用.本节课学习的黄金分割是一个新的概念，学生缺少这方面知识的积累，因此教学中在内容选择上，充分利用网络资源，选用大量图文作为背景，通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割，体现数学丰富的文化价值.同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识.这节课的不足之处是教学内容比较多，因为时间关系，有关黄金分割的相关计算和应用学生练习得比较少，部分学生对这种类型的题目掌握不好.另外学生对黄金分割点的证明理解还不到位.
课件21张PPT。3.1 比例线段 ——比例的基本性质复习回顾 在小学，我们已经知道，如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数成比例. 现在我们学习了实数，把这四个数理解为实数，写成式子就是： 如果 a，b，c，d 成比例，
即 ，那么 ad=bc 吗？比例的基本性质: 由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立.由①式得 ad=bc.3.1 比例线段 ——比例的基本性质重、难点重点：线段的比和成比例线段的概念及其有关计算.黄金分割的定义及黄金分割比的探索. 难点：判断四个数或四条线段成比例.黄金分割点的定义及相关计算类问题. 如图3-1， 在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC 和△A′B′C′， 它们的顶点都在格点上. 试求出线段AB，BC，AC， A′B′， B′C′， A′C′的长度， 并计算AB与A′B′， BC与B′C′， AC 与A′C′的长度的比值.一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB， A′B′的长度分别为ｍ，ｎ， 那么把它们的长度的比 叫作这两条线段AB与A′B′的比(ratio)， 记作
，或 AB ∶ A′B′＝ m ∶ n .
如果 的比值为ｋ，那么上述式子也可写成：
或 AB ＝ ｋ·A′B′ .在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段， 简称为比例线段. 已知线段 a，b，c，d 的长度分别为0.8 cm，2 cm，1.2 cm，3 cm，问 a，b，c，d 是比例线段吗？例题探究黄金分割 古希腊数学家、天文学家欧多克塞斯(Eudoxus，约前400—约前347)曾经提出一个问题：
能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比？即，使得 成立？如果这能做到的话，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫作线段AB的黄金分割点，较长线段 AC 与原线段 AB 的比叫作黄金分割比. 如图，设线段AB的长度为1个单位，AC的长度为x个单位，则CB的长度为(1-x)个单位.根据①式，列出方程： 由于x≠0，因此方程②两边同乘以x，得
1–x = x2 ，即 x2+x-1=0. ③所以我们一定可以把一条线段黄金分割，
黄金分割比为 ,它约等于0.618 线段黄金分割的比值引起了人们极大的注意. 许多建筑物的轮廓矩形(例如古希腊时期的巴台农神庙的正面轮廓矩形)的高与宽之比，门窗的宽与高之比都约等于0.618，这样看上去美观.印度泰姬陵正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比. 著名画家达?芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用.通过上面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美.课堂小结线段之间的一种数量关系：四条线段成比例.并且感受到成比例线段围成的图形在形状上也有美妙的关系！认识了一个最特别的数 ，比值是它的线段围成的图形最美丽.3.2 平行线分线段成比例
教学目标
1.使学生掌握基本事实：平行线分线段成比例.
2. 使学生了解“两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等”，“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例”.
重点难点
重点： 掌握平行线分线段成比例的基本事实以及推论的应用.
难点：基本事实的理解以及推论的应用.
教学设计
一、预习导学
预习教材P68—P71的内容，完成下列问题.
1.比例线段的概念： .
2.比例线段的性质： .
3.黄金分割： .
二、探究展示
（一）引入新课
由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线 ，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线 ，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？
（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理）
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．
下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．
（二）新知探究
1.做一做：
1）在横格纸上画直线l1，使得l1与横线垂 直 ，观察l1被各条横线分成的线段是否相等.
2）再画一条直线l2（与l1不平行），那么l2被各条横线分成的线段有何关系？
结 论：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
2.定理证明：已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
求证： DE=EF
证明：过E作GH∥AC，分别交l1.l3于点G.H
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到平行四边形ABEG和
平行四边形BCHE
∴EG =AB ，EH=BC
∵AB=BC ∴EG=EH
又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△DEG≌△FEH ∴DE=EF
定理的符号语言
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
∴ DE=EF
推论: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边.
在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BC，则F是AC的中点，EF是△ABC的中位线.
对应练习：
1.若AB∥CD∥EF，AC=CE，则 BD=DF=AC=CE.( )
2.已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG= ，H是 的中点，F是 的中点
3.已知AD∥EF∥BC，且AE=BE，那么DF=
4.已知AB∥CD∥EF，AF交BE于O，且AO=OD=DF，若BE=60厘米，那么
BO= 厘米.
三、知识梳理
以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.
?1.平行线分线段成比例？
定理;如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
2.推论：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边.
四、教学反思
本节课通过创设实验环境，引导学生动手实验.观察.比较.归纳，经历发现数学知识的全过程而获取知识，掌握相应的数学思想方法.
课件18张PPT。3.2 平行线分线段成比例教学目标掌握基本事实：平行线分线段成比例.
了解“两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等”，“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例”.
重点：掌握平行线分线段成比例的基本事实以及推论的应用.
难点：基本事实的理解以及推论的应用.新课引入下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1,BB1,CC1,DD1互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？如图,已知直线a∥b∥c．直线l1，l2被直线 a,b,c截得的线段分别为AB, BC和A1B1，B1C1，且AB=BC在△BAA2和△BCC2中：
∠ABA2=∠CBC2，BA=BC，
∠BAA2=∠BCC2，
因此△BAA2 ≌△BCC2.
从而BA2=BC2,
所以A1B1=B1C1. 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 由此可以得到：证明：假设 ，则把线段AB二等分，分点D.过点 D 作直线d∥a，交 l2于点 D1．如图：把线段 BC 三等分．三等分点为E，F，
分别过点 E，F 作直线
e∥a，f∥a，分别交
l2于点 E1 , F1.由此得到以下基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
我们把以上基本事实简称为平行线分线段成比例.例题探究 如上图，过点 A 作直线 MN，使 MN∥DE ，
∵DE∥BC ，∴MN∥DE∥BC. 同时还可以得到
因此 AB，AC 被一组平行线 MN，DE，BC 所截，则由平行线分线段成比例可知， 由此得到以下结论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例. 如图，已知 AA1∥BB1∥CC1 ，AB=2，BC=3，A1B1=1.5，求 B1C1 的长.解 ：由平行线分线段成
比例可知，课堂练习1．如图，AC，BD相交于点O，直线MN过点O，且BA//MN//CD，已知OA=3,OB=1,OD=2,求OC的长.2.如图,点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AB=3，AD=2，EC=1.8,求AC的长.课堂小结1、两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等；
2、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
3、平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。3.3 相似图形
教学目标
理解相似形的特征，掌握相似形的识别方法.
教学重点
通过测量、计算让学生感受相似形的特征，了解相似形的识别方法.
教学难点
在运用特征解决有关线段或角度的问题时，应注意“对应”.
教学过程
一、情境创设
通过对生活中形状相同的图形的观察和欣赏，初步感受相似：
你能看出上述图片的共同之处吗？（它们的大小不等，形状相同. ）
二、新课探究：
你还记得全等的图形吗？说一说全等的图形和形状相同的图形之间有什么联系与区别！
定义1：形状相同的图形是相似的图形。
想一想： 你能举出生活中所见过的相似图形吗？
定义2：各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F； ，则△ABC与△DEF相似，
记做“△ABC∽△DEF”。其中k叫做它们的相似比。
注意：表示两个三角形相似应把表示对应顶点的
字母写在对应的位置上。
思考：
如果k＝1，这两个三角形有怎样的关系？
定义3：类似地，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似，相似多边形的对应边的比叫做相似比。
三、例题教学
例1：如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，
△DEF与△ABC相似吗？为什么？
例2：如图，△ABC∽△A′B′C′，求∠α、∠β的大小和A′C′的长
课件13张PPT。3.3 相似图形教学目标认识日常生活中相似的图形，了解相似图形的概念，能正确识别相似的图形
让学生亲身经历观察、操作、探究相似图形的过程，进一步理解相似图形的本质特征，感知相似图形在现实生活中的应用
重点：认识相似图形，并学会画简单的相似图形的方法
难点：画已知图形的相似形新课引入分别观察下面两组图，说一说它们有什么相同和不同？ 直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的. 日常生活中我们会碰到很多这样形状相同、大小不一定相同的图形. 我发现这两个三角形相似，且它们的对应角相等，对应边成比例. 反过来， 我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形.
如果△ABC 与△A1B1C1相似，且点A1，B1，C1分别与点 A，B，C 对应，
则记作：△ABC ∽△A1B1C1，
读作：△ ABC 相似于△A1B1C1. 由此得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 相似三角形的对应边的比叫作相似比.
一般地，若△ABC 与△A1B1C1的相似比为k，则△A1B1C1与△ABC 的相似比为 .
特别地，如果相似比k=1，则△ABC≌△A1B1C1.因此，三角形全等是三角形相似的特例. 例题探究 如图，已知△ABC ∽△A1B1C1，且∠A=48°，AB=8，A1B1=4，AC=6，求∠A1的大小和A1C1的长.解：∵△ABC ∽△A1B1C1，
∴∠A=∠A1，又∵∠A=48°，AB=8，A1B1=4，AC=6，
类似地，对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比.
对于相似多边形，有：相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 课堂练习已知△ADE∽△ABC，点A、D、E分别与点
A、 B、 C 对应，且相似比为 . 若DE= 4cm，
求BC的长.1.课堂小结多边形相似的定义：
如果两个边数相同的多边形满足对应角相等，
对应边的比相等，那么这两个多边形相似.
多边形相似特征：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似比：相似多边形的对应边的比叫作相似比.
3.4 相似三角形的判定与性质
教学目标
1.掌握相似三角形的判定方法,掌握相似三角形的性质及简单的应用;
2.理解相似三角形、相似比的概念，理解全等三角形是相似三角形的特例.
教学重点与难点
本节课的重点是理解相似三角形的有关的概念，相似三角形的判定方法
教学过程
问题情境
本节研究的问题是——相似三角形的判定方法、相似三角形的性质及简单的应用。 ——什么样的三角形是相似三角形 ——满足什么条件的两个三角形相似
——相似三角形除对应角相等、对应边成比例外还有哪能些性质
——怎样运用相似三角形的性质来解决一些简单的问题
本节课研究的问题是：
——相似三角形的概念、相似比的概念
一一相似三角形的判定方法1（如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。）
——相似三角形的判定方法2（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等似三角，那么这两个三角形相似）
——相形的判定方法3（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．）
学生活动、建构数学
知识回顾
什么样的图形叫做相似图形？一一形状相同，大小不一定相同的图形
什么是成比例线段
引入新知
1. 什么样的三角形为相似三角形？一一形状相同，大小不一定相同的三角形
2. 相似三角形用什么符号表示？一一如果△ABC 与△A’B’C’相似，
则表示为△ABC∽△A’B’C’.
3. 什么是相似比，一般用什么符号来表示？一一如果△ABC 与△A’B’C’相似
则，这个比值就表示△ABC 和△A’B’C’的相似比.
想一想 练一练
如果△ABC与△A’B’C’的相似比为2，则△A’B’C’与△ABC的相似比为 ；
如图，已知：△ABF∽△ECF，则= .
如图，正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形．
如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？
数学理论、数学运用
1、相似三角形的判定方法1
问题：如果两个三角形两边对应成比例，增加三边对应成比例，这两个三个形相似吗？
做一做
在图的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？
结论：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
问题：这个结论的几何语言表述
在△ABC与△DEF中
∵
∴△ABC∽△DEF（如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．）
2. 三角形相似的判定方法2
问题：我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应边是否成比例，那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？
做一做
教师画一个三角形，这个三角形的三个角分别为45°、60°、75°，请学生在自已的草槁本上画一个三角形，使这个三角形的三个角也为45°、60°、75°，并量出这个三角形的三边长.
计算你所画三角形的三边和老师所给三角形三边的比值，你能得到什么结论？
一一它们的对应边成比例。
结论： 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__________．
思考：能否将这个结论的条件更简化一些？为什么？一一而根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一定对应相等．
结论：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
问题：这个结论的几何语言表述
在△ABC与△DEF中
∵∠B=∠E ∠C=∠F
∴△ABC∽△DEF（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．）
问题：如果两个三角形仅有一个角相等，那么它们是否一定相似？一一不一定相似。
3、三角形相似的判定方法3
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
问题：这个结论的几何语言表述
在△ABC与△DEF中
∵ ∠B=∠E
∴△ABC∽△DEF（如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．）
课堂练习
1．找出图中所有的相似三角形．
课堂小结
相似三角形概念、相似比的概念．
一一注意：相似比有前后之分
相似三角形的判定方法1——如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.
相似三角形的判定2——如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
相似三角形的判定3——如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
课件29张PPT。 3.4 相似三角形的判定与性质教学目标了解相似三角形的判定方法会用平行法判定两个三角形相似
重点： 用平行法判定两个三角形相似
难点：平行法判定三角形相似定理的推导例题探究例1：在△ABC中，已知点D,E分别是AB,AC 边的中点.
求证： △ ADE∽△ ABC. 例2：点D为△ABC的边AB的中点，过点D作 DE BC交AB于点E.延长DE至点F，使DE=EF.
求证：△BFE∽△ ACB.证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A'B'，AE=A'C' ，连结DE.∵ AD=A'B ,∠A=∠A'，AE=A'C'∴ ΔA DE≌Δ A'B'C' ，∴ ∠ADE=∠B'，又∵ ∠B'=∠B，∴ ∠ADE=∠B，∴ DE//BC，∴ ΔADE∽ΔABC.∴ ΔA'B'C'∽ΔABC.由此得到相似三角形的判定定理1
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
即：两角分别相等的两个三角形相似.若∠A=∠A'，∠B=∠B'则ΔABC ∽ ΔA'B'C'已知:在△ABC 和△ A'B'C' 中∠A=∠A' , 求证:ΔABC∽ △ A'B'C' 证明:在△ABC的边AB(或延长线)上
截取AD=A′B′, 过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC， ∵由此得到相似三角形的判定定理2
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．
即：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.∠A=∠A'，则 ΔABC ∽ ΔA'B'C' A'B'C' A'B'C' ∵∠A=∠A'，相似三角形的判定定理3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
即：三边成比例的两个三角形相似.课堂练习1.如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥ BC，OF∥CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.2.已知：在△ABC与△DEF中，∠A=48°，∠B=82°，∠D=48°，∠F=50°.
求证：△ABC∽△DEF.3.如图,O为△ABC内一点，D、E、F 分别是OA、OB、OC中点. 求证：△ABC∽△DEF.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC为直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是
否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，使它的
三个顶点为P1，P2，P3，P4，
P5中的3个格点并且与△ABC相似．
(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明)能力提升课堂小结两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS）相似三角形的判定方法三边对应成比例,两三角形相似.（SSS）两角分别相等的两个三角形相似（AA）一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。(HL）3.4.2 相似三角形的性质教学目标掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系.
重点难点：相似三角形性质的应用.新课引入C∴ ∠B′= ∠B．由此得出定理：
相似三角形的对应高的比等于相似比.类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比 2、如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'；E、E'分别为BC、B'C'的中点。试探究AD与 A'D'的比值关系，AE与A'E'呢？ 由此得出定理：
相似三角形对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比.3.如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？如果△ABC∽△ A'B'C'，相似比为k，那么因此AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'从而C'由此得出定理：
相似三角形周长的比等于相似比
相似多边形周长的比等于相似比 4.如图ΔABC∽Δ A'B'C'，相似比为 k，它们的面积比是多少？由此得出定理：
相似三角形的面积比等于相似比的平方例题探究例1 CD是Rt△ABC斜边AB上的高， DE⊥AC，垂足为点E.已知CD=2，AB=6，AC=4,求DE的长.例2 已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长.解：∵ △ABC∽△DEF， 解得 EH＝3.2(cm).（相似三角形对应角平
线的比等于相似比），课堂练习
3．如图，射线AM∥BN，∠A＝∠B＝90°，点D，C分别在AM，BN上运动(点D不与A重合、点C不与B重合)，E是AB边上的动点(点E不与A，B重合)，在运动过程中始终保持DE⊥EC且AD＋DE＝AB＝a.
(1)求证：△ADE∽△BEC；
(2)设AE＝m，请探究：△BEC的周长是否与m的值有关？若有关，请用含有m的代数式表示△BEC的周长；若无关，请说明理由．课堂小结相似三角形的性质对应角相等对应边成比例对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.相似比等于对应边的比周长的比等于相似比面积的比等于相似比的平方3.5 相似三角形的应用
教学目标
【知识与技能】
能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.
【过程与方法】
通过例题的教学，让学生掌握解决实际问题的方法.
【情感态度】
进一步检验数学的应用价值.
【教学重点】
运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.
【教学难点】
运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.
教学过程
一、情景导入，初步认知
我们已经学习的相似三角形的性质有哪些？
1.相似三角形对应角相等.
2.相似三角形对应边成比例.
3.相似三角形的周长之比等于相似比.
4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
5.相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.
思考：你能够将上面的数学问题转化为生活中的问题吗？
【教学说明】复习相似三角形的性质，为本节课的教学作铺垫.
二、思考探究，获取新知
1.思考：如图，A,B两点分别位于一个池塘的两端.小张想测量出A,B间的距离.但由于受条件限制无法直接测量.你能帮他想出一个可以的测量办法吗？
【教学说明】由于我们学过三角形的全等，可能有一部分学生会用全等的知识来解决，应当鼓励.并引导学生思考能否用相似的知识来解决这个问题呢.
我们可以这样做：
如图，在池塘外取一点C,使它可以直接看到A,B两点，连接并延长AC,BC,在AC的延长线上取一点D,在BC的延长线上取一点E,使=k(k为整数）测量出DE的长度后，就可以用相似三角形的有关知识求出A,B两点间的距离了.
2.根据上面的分析，写出当k=2,DE=50米时，AB的长，并写出解题过程.
3.在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛O，准星A，靶心B在同一条直线上，在射击时，李明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′.如图所示，已知OA=0.2米，OB=50米，AA′=0.0005米，求李明射击到的点B′偏离靶心B的长度BB′.（AA′∥BB′）
解：∵AA′∥BB′,
∴△OAA′∽△OBB′,
∵OA=0.2米，OB=50米，AA′=0.0005米
∴BB′=0.125米.
【教学说明】鼓励学生大胆的发言，积极讨论，教师作适当的引导、点评.
三、运用新知，深化理解
1.（1）某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高___米.
（2）铁道的栏杆的短臂为OA=1米，长臂OB=10米，短臂端下降AC=0.6米，则长臂端上升BD=___米.
【答案】 （1）4（2）6
2.如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA∶OC=OB∶OD=n，且量得CD=b，求厚度x.
分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB.而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出AB的长度.
解：∵ OA∶OC＝OB∶OD＝n 且∠AOB＝∠COD;
∴△AOB∽△COD.
∴ OA∶OC＝AB∶CD＝n 又∵CD＝b,
∴AB=CD·n ＝nb,
3.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的，△ABC的高AD与PN相交于点E.
设正方形PQMN的边长为x毫米.
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以
因此得x=48（毫米）.
答：这个正方形零件的边长是48毫米.
4.如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF是多少？
分析：设眼睛到目标的距离为xcm，由于OE=80cm，AB=0.2cm，CD=50cm，又由于AB∥CD，所以利用相似三角形的性质即可求解．
解：设眼睛到目标的距离为xcm，
∵OE=80cm，AB=0.2cm，CD=50cm，
∴BE=AB=0.1cm，DF=CD=25cm，
∵AB∥CD，
∴△OBE∽△ODF，
解得x=20000．
因为20000cm=200m,
所以眼睛到目标的距离OF是200m.
【教学说明】通过练习，使学生掌握利用相似三角形解决实际问题的方法.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业：教材P93“习题3.5”中第2、3、5 题.
教学反思
本节课学生在富有故事性和现实性的数学情景问题中学会运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力.在教学中突出了“审题，画示意图 ，明确数量关系解决问题”的数学建模过程，培养了学生把生活中的实际问题转化为数学问题的能力，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）.测量某些不能直接度量的物体的高度，是综合运用相似知识的良好机会，通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对于相似三角形的理解和认识.一节课下来基本达到了预期目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题.
课件11张PPT。 3.5 相似三角形的应用教学目标1.会应用相似三角形的性质和判定解决实际问题．
2.利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体的长度的问题，让学生体会数学转化的思想。
重点：运用相似三角形解决实际问题。
难点：在实际问题中建立数学模型。新课引入 如图3-32，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B 间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？测量办法：在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B两点，连接并延长AC，BC，在AC的延长线上取一点D， 在BC的延长线上取一点E，使
（k为正整数）测量出 DE的长度.然后根据相似三角形的有关知识求出A，B两点间的距离.如果 ，且测得DE的长为50m，则A，B两点间的距离为多少？∵ ，∠ACB =∠DCE，
∴ △ABC∽△DEC．
∴ ．
∵ DE = 50 m ，
∴ AB = 2DE = 100 m.例题探究 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（O）、准星（A）、靶心点（B）在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，如图所示.已知OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.0005m，求李明射击到的点B′偏离靶心点B的长度BB′（近似地认为AA′∥BB′）.解：∵ AA′∥BB′，∴ △OAA′∽△OBB′．∴ ．∵ OA=0.2m，OB=50m，
AA′=0.000 5m，∴ BB′=0.125m.答：李明射击到的点 B′ 偏离靶心点 B 的长度BB′为 0.125m.课堂练习1. 如图，某路口栏杆的短臂长为1m，长臂长为6m. 当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高多少米？2.如图，小红同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE= 80cm， EF=40cm，测得AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．能力提升1．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)．课堂小结相似三角形的应用主要有两个方面： 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.1. 测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）2.测距（不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.3.6 位似
3.6.1 位似（一）
教学目的
经历位似变换、位似的图形抽象得到定义的过程
掌握位似变换和位似图形的性质
教学重点
位似变换的定义和位似图形的性质
教学难点
位似变换的理解及作图
教学过程
一、观察投影，抽象得出位似变换、位似的图形的定义
1、复习：我们目前为止，学过哪几种图形的变换？经过这几种变换后的图形与原图形之间的关系如何？
2、抽象：定义：取定一点O，把图形上任意一点P对应到射线OP（或它的反向延长线）上一点P′，使得线段OP′与OP的比等于常数k (k>0) ,点O对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O叫作位似中心，常数k叫作位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形。
从位似变换和位似的图形的定义可以得出：
两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
思考：两个位似的图形的关系是怎样的呢？两个位似的图形是相似的。
二、位似图形定义的理解
1．位似图形首先是相似图形．
2．位似图形都有一个位似中心，它是所有对应点的连线都经过的那个点．两个图形必须同时具备了这两点才是位似图形，缺一不可．
3．位似中心的位置由两个位似图形的位置决定，可以在图形的中心、可以在两个图形中间、也可以在两个图形的同一侧，还可以在图形上．如图1所示，图形（1）的位似中心是两个图形的中心，图（2）的位似中心在两个图形之间，图（3）的位似中心在两个图形左侧．
位似比：当位似比k>1时，一个图形被放大成原图形的倍；当位似比k〈1时，一个图形被缩小成原图形的k倍。
同时，两个位似图形的周长的比等于位似比，面积的比等于位似比的平方．（为什么）
三、位似图形的解题方法
1．位似图形的辨析
例1 如图2，指出下列图形中的两个图形是否是位似图形？如果是，指出位似中心．
解：（1）是位似图形，位似中心是A；（2）是位似图形，位似中心是P；（3）不是位似图形；（4）是位似图形，位似中心是O．
方法说明：因为位似图形是特殊的相似图形，因而判断是不是位似图形，首先看图中的两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过同一个点．
2．位似图形的作图
例2 如图3，已知五边形ABCDE，以点P为位似中心，求作这个五边形的位似图形，使新图形与原图形的位似比为2∶1．
解：（1）分别过五边形ABCDE的五个顶点作射线AP、BP、CP、DP、EP；
（2）在这些射线上依次截取PA1＝2PA，PB1＝2PB；PC1＝2PC，PD1＝2PD，PE1＝2PE；
（3）顺次连结A1，B1，C1，D1，E1，所得图形就是符合要求的图形．
3．位似图形的应用
例3 一般在室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映屏幕的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm，问屏幕应在离光源多远的地方，放映的图像刚好布满整个屏幕？
分析：胶片上的图形和银屏上的图形是位似图形，光源是位似中心，则可运用位似图形的知识来解答．
解：如图4所示，根据已知数据可知，
位似比．设屏幕距离光源xcm，
根据位似图形的性质，
可得，所以．
答：屏幕应在离光源的地方，放映的图像刚好布满整个屏幕．
方法说明：在利用位似图形解决实际问题时，首先要将其抽象为位似模型，并在问题中找出位似中心，位似比等，再通过相应的计算进行解答．
四、小结
1、取定一点O，把图形上任意一点P对应到射线OP（或它的反向延长线）上一点P′，使得线段OP′与OP的比等于常数k (k>0) ,点O对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O叫作位似中心，常数k叫作位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形。
2、两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
3、当位似比k>1时，一个图形被放大成原图形的倍；当位似比k〈1时，一个图形被缩小成原图形的k倍。
4、两个位似的图形是相似的。两个位似图形的周长的比等于位似比，面积的比等于位似比的平方．
五、课外作业
3.6 位似（二）
教学目的
经历位似变换的作用过程，理解位似变换可以把一个图形放大或缩小。
了解位似变换与平移、反射、旋转等一样，研究的都是像与原图形之间的一种关系。
教学重点
会将一个图形放大或缩小。
教学难点
利用位似变换解决实际问题
教学过程
1、复习：什么是位似变换？位似图形？它们有什么性质？
2、例题解析：
例1.已知如图1，在和树AB相距18米的地面上平放一面镜子E，人退后到距镜子上2.1米的D处，在镜子里恰好看见树顶，若人眼C距地1.4米．
（1）求树高；
（2）△ABE和△CDE是位似图形吗？若是，
请指出位似中心，若不是，请说明理由．
分析：这是一道与物理有关的综合题，要注意运用数学知识解决问题．
答案：（1）由光的反射规律知入射角等于反射角，
可得出∠AEB＝∠CED，
又知∠ABE＝∠CDE＝90°，所以△ABE∽△CDE
所以米， 即树高12米．
（2）△ABE与△CDE不是位似图形，因为位似图形的对应顶点的连线相交于一点，而点A与点C的连线没有交于点E，所以它们不是位似图形．
方法提炼：正确理解光的反射规律，把实际问题转化为数学问题，使问题得到解决．
例2.画一个三角形，使它与已知三角形相似，且原三角形与所画三角形的相似比为2：1．
分析：依题意，因为没有指明画法，所以有多种方法．
答案：解法一：平行线截取法．
（1）取AB的中点D；
（2）过点D作DE∥BC交AC于E，则△ADE就是所求作的三角形，如图2所示．
解法二：在△ABC的外面作平行线法．
（1）作线段B'C'，使B'C'∥BC且B/C/=BC；
（2）过点B'作BA的平行线B'A'；
（3）过点C'作CA的平行线与B'A'交于点A'．
则△A'B'C'就是所求的三角形，如图3所示．
解法三：位似图形法．
（1）在图形内取位似中心O．
①作射线AO、BO、CO；
②在射线AO、BO、CO上分别截取点A'、B'、C'，使OA：OA'＝OB：OB'＝OC：OC'＝2：1；
③连接A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C'就是所求的三角形．．
（2）在图形边上取位似中心O．
①连接AO；
②在AO、BO、CO上分别取A'、B'、C'，
使OA：OA'＝OB：OB'＝OC：OC'＝2：1；
③连接A'B'、A'C'、B'C'，则△A'B'C'就是所求的三角形．
（3）在图形外部取位似中心O．
①以点O为端点作射线AO、BO、CO；
②分别在射线AO、BO、CO上截取A'、B'、C'，
使OA：OA'＝OB：OB'＝OC：OC'＝2：1；
③连接A'B'、B'C'、A'C'，则△A'B'C'就是所求的三角形，
方法提炼：上面的几种方法要根据题目要求进行选择，
在题目要求不高的情况下，能简则简，力求避免不必要的繁琐．
例3.已知：锐角△ABC
求作：内接矩形DEFG，使DE在BC边上，
点G、F分别在AB、AC边上，且DE：GD＝2：1．
分析：求作的矩形要满足四个条件：（1）DE在BC边上；（2）G在AB边上；（3）F在AC边上；（4）DE：DG＝2：1．要同时满足这么多条件比较困难，不妨先放弃一个条件，比如放弃“F在AC边上”这个条件，那样的矩形就比较好作．如图中的G'D'E'F'，然后再选择适当的位似中心进行位似变换，从而把F定在AC上．
答案：作法：
（1）作矩形G'D'E'F'，使D'E'在BC上，G'在AB边上，且D'E'：D'G'＝2：1；
（2）连BF'，并延长交AC于F；
（3）过F作FE⊥BC于E，作FG∥BC交AB于G；
（4）过G作GD⊥BC于D；
则四边形DEFG就是所求的矩形．
拓展延伸：定位作图的要求较高，要更灵活地运用相似的有关知识．
3、学生练习：
4、小结
如何把一个图形放大或缩小？有几种画图的方法？
5、课外作业
课件19张PPT。 3.6 位似教学目标1.理解位似图形在坐标系中的作图方法及坐标规律
2.能按要求作出简单的平面图形运动后的图形以及对应的坐标变化
重点： 位似图形在坐标系中的坐标规律
难点： 位似图形的准确作图，动手实践能力的落实新课引入下图是运用幻灯机（点Ｏ表示光源）把幻灯片上的一只小狗放映到屏幕上的示意图，这两个图形之间有什么关系？这两个图形的形状相同，但大小不同， 它们是 相似图形. 分别在左、右两个小狗的头顶上取一点A,A′;再分别在狗尾巴尖上取一点B,B′.发现点 A,A′与点O在一条直线上.点B,B′与点O在一条直线上.分别量出线段OA，OA′, OB，OB′的长度，计算(精确到0.1)： 继续在左、右两只小狗上找出一些对应点，考察每一对对应点是否都与点Ｏ在一条直线上； 计算每一对对应点与点O所连的线段比，看它们是否与上述 ， 相等. 一般地，取定一个点O，如果一个图形G上每一个点P对应
于另一个图形G′上的点P′，且满足：
（1）直线PP′经过同一点O，
（2） ，其中k 是非零常数，当k>0 时，点P′在射线 OP 上，当k<0时，点P′在射线OP的反向延长线上. 那么称图形G与图形G′是位似图形．这个点Ｏ叫作位似中心，常数ｋ叫作位似比.如图连接AB，A′B′，可以得到下图，则AB∥A′B′吗？如何证明利用位似可以把一个图形进行放大或缩小. 两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上）.例1 利用位似把△ABC缩小为原来的一半.1、在三角形外选一点O；2、过点O分别作射线
OA、OB、OC；3、在OA、OB、OC上分别选取A′、B′、C′，使 OA′/OA=1/2、OB′/OB=1/2、OC′/OC=1/2；步骤：4、顺次连结A′、B′、C′，所得图形就是所求作图形.ABC利用位似把△ABC 缩小为原来的一半.如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶点坐标分别为A（2，4）， O（0，0）， B（6，0）.将各个顶点坐标分别缩小为原来的1/2，所得到的图形与原图形是位似图形吗？将各顶点的坐标都乘1/2，依次得点
A′（1，2），O（0，0），B′（3，0），依次连接点A′，O，B′，得△A′OB′，如图所示.A′B′将各个顶点坐标分别扩大为原来的2倍，所得到的图形与原图形是位似图形吗？将各顶点的坐标都乘2，依次得点A″
（4， 8），O（0， 0），B″（12， 0），
依次连接点A″，O，B″，得到
△A″OB″， 如图所示. 数学上可以证明，一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形.
在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k.xyo例2 在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 )A′B′C′D′课堂练习ODABCA'B'C'D'ODABC1.把四边形 ABCD 缩小到原来的 1/22.如图,已知正方形OABC 的顶点坐标依次为 O（0，0），A（3，0），B（3，3），C（0，3）.（1）在平面直角坐标系中，以坐标原点Ｏ为位似中心，将正方形OABC放大为原图形的2倍；
（2）在平面直角坐标系中，以坐标原点Ｏ为位似中心， 将正方形OABC缩小为原图形的1/2.解：(1)图略，C1点坐标为：(3，2)；
(2)图略，C2点坐标为：(－6，4)；
(3)如果点D(a，b)在线段AB上，经过(2)的变化后D的对应点D2的坐标为：(2a，2b)．课堂小结位似图形的概念：
如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.
位似图形的性质：
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
