24.3-4 正正多边形和圆 弧长及扇形的面积培优提高试题

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九上数学培优提高 第二十四章第3-4节 正多边形与圆 弧长与扇形面积　
一.选择题（共11小题）
1.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）
A.cm B.cm C.cm D.1cm
2.正六边形的两条平行边的距离为1，则它的边长为（　　）
A. B. C. D.
3.若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（　　）
A.60° B.90° C.120° D.180°
4.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系是（　　）
A.S3＞S4＞S6 B.S6＞S4＞S3 C.S6＞S3＞S4 D.S4＞S6＞S3
5.如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　）2·1·c·n·j·y
A.π m2 B.π m2 C.π m2 D.π m2
6.一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（　　）21·世纪*教育网
A.5：4 B.5：2 C.：2 D.：
第1题图 第5题图 第6题图
7.如图，水平地面上有一面积为30cm2的扇形AOB，半径OA=6cm，且OA与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则点O移动的距离为（　　）
A.20cm B.24cm C.10cm D.30cm
8.如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（　　）www-2-1-cnjy-com
A. B. C. D.
9.如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧BF长是（　　）
A.π B.2π C.3π D.4π
10.如图，动点P从点A出发，沿半圆AB匀速运动到达终点B，若以时间t为自变量，扇形OAP的面积S为函数图象大致是（　　）21*cnjy*com
A. B. C. D.
11.（人教版）已知：如图，AB=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交OC于点D，AD的延长线交BC于点E，过D作⊙O的切线交BC于点F.下列结论：①CD2=CE CB；②4EF2=ED EA；③∠OCB=∠EAB；④DF=CD.其中正确的有（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
　
第8题图 第9题图 第11题图 第12题图
二.填空题（共9小题）
12.如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是　 　.【出处：21教育名师】
13.已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是　 　cm.
14.要用圆形铁片截出边长为2的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是　 　.
15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=，将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A′B′C的位置，且A、CB′三点在同一条直线上，则点A经过的路线的长度是　 　（结果保留π）.
16.如图，将含60°角的直角三角形ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′.若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是　 　.
17.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠C=120°，以点C为圆心的与AB，AD分别相切于点G，H，与BC，CD分别相交于点E，F.若用扇形CEF作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是　 　.【版权所有：21教育】
第15题图 第16题图 第17题图
18.如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠BAO=60°，弦BC∥OA，则的长为　 　（结果保留π）.21教育名师原创作品
19.将一个正n边形的纸片（如图1）做成一个高相等且底面为正n边形的无盖纸盒，纸盒的各侧面都与底面垂直（如图2），应在正n边形的每个顶点处剪去一个四边形，如图1中的四边形ABCD是其中的一个，则∠BAD=　 　（用含n的代数式表示）.
20.如图，是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为5m的半圆，其边缘AB=CD=20m，小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为　 　m.（π取3）21*cnjy*com
　第18题图 第19题图 第20题图
三.解答题（共6小题）
21.现有边长为a的正方形花布，问怎样剪裁，才能得到一个面积最大的正八边形花布来做一个形状为正八边形的风筝？21cnjy.com
22.小明在如图所示粗糙的平面轨道上滚动一个半径为8cm的圆盘，已知，AB与CD是水平的，BC与水平方向夹角为45°，四边形BCDE是等腰梯形，CD=EF=AB=BC=40cm
（1）请作出小明将圆盘从A点滚动至F点其圆心所经过的路线示意图；
（2）求出（1）中所作路线的长度.
23.如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB如图，AB是
⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE.
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若E是弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积.
24.如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2.过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F.【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；
（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长.
25.如图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分；图2是车棚顶部截面的示意图.21世纪教育网版权所有
（1）用尺规在图2中作出弧AB所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）车棚顶部是用一种帆布覆盖的，由图1中给出数据求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）.www.21-cn-jy.com
26.如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm.
（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积.
（2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？2-1-c-n-j-y
　
参考答案与试题解析
一.选择题（共11小题）
1A.【解答】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD；
∵此多边形为正六边形，∴∠ABC==120°，∴∠ABD==60°，
∴∠BAD=30°，AD=AB cos30°=2×=，∴a=2cm.故选A.
　
2C.【解答】解：如图所示，∵此正多边形是正六边形，∴∠ABC=120°，
连接AC，过B作BD⊥AC于点D，∵AC=1，∴AD=，∠ABD=∠ABC=60°，
∴AB===.故选：C.
　
3C.【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=lr=πrR，
∵侧面积是底面积的3倍，∴3πr2=πrR，∴R=3r，
设圆心角为n，有=πR，∴n=120°.故选C.　
4B.【解答】解：设正六边形的边长为a，如图所示，
则正△ABC的边长为2a，正方形ABCD的边长为 .
如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足；∵△ABC是等边三角形，BC=2a，
∴BD=a，由勾股定理得，AD===a，
∴S3=S△ABC=BC AD=×2a×a=a2≈1.73a2.
如图（2），∵四边形ABCD是正方形，∴AB=，∴S4=S□ABCD=AB2=×=a2≈2.25a2.
如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC==60°，
∴∠BOG=30°，OG===a.∴S△BOC=×a×a=a2，
∴S6=6S△BOC=6×a=a2≈2.59a2.∵2.59a2＞2.25a2＞1.73a2.∴S6＞S4＞S3.故选：B.
　
5D.【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，所以面积==m2；
小扇形的圆心角是180°﹣120°=60°，半径是1m，则面积==（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积=+=π（m2）.故选D.
　
6A.【解答】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=1，
由勾股定理得：OD==，∴扇形的面积是=π；
如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=1，∴MC=MB=，
∴⊙M的面积是π×（）2=π，
∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（π）=.故选：A.
7C.【解答】解：由题意可得出：点O移动的距离为扇形的弧长，
∵面积为30cm2的扇形AOB，半径OA=6cm，
∴30=×l×6，∴扇形弧长为：l=10（cm）.故选：C.　
8A.【解答】解：∵第一个的半径是R，△AOC是等腰直角三角形，
∴OC=OA=R，第二个的半径是R，同理，第三个的半径是（）2R，
∴依此类推得到第n个圆，它的半径是.
∵第n个内切圆恰好是第n+1个圆，∴第n个内切圆，它的半径是.故选A.
9B.【解答】解：
由题意得，BE=2m，AC=3m，CD=0.5m，作BG⊥AC于G，则AG=AD﹣GD=AC+CD﹣BE=1.5m，
由于AB=3，所以在Rt△ABG中，∠BAG=60°，根据对称性，知∠BAF=120°，
故秋千所荡过的圆弧长是=2π（米），故选B.　
10C.【解答】解：点P与点A重合时，扇形OAP的面积为O，故可知B错误；
设∠AOP的角度为n，当点P沿半圆AB匀速运动过程中，n随着t的增大而增大，而圆的半径不变，则可知扇形面积OAP是在逐步增大的.21教育网
即S=（0≤n≤180°）
当点P到达终点B点时，∠AOB=180°，此时扇形面积最大.故可知A、D错误.故选：C.
11D.【解答】解：连接BD，可得△CDE∽△CBD，∴CD2=CE CB，
还可得出EF=FB，EB2=ED EA，EB=2EF，∴4EF2=ED EA，
∵△CDF∽△CBO，∴，∴，∴DF=CD.
综上正确的有①、②、④.故选D.
二.填空题（共9小题）
12.　　.
【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴OA=OB==，
∴S扇形OAB===.故答案为：.　
13.　24　cm.
【解答】解：设扇形的半径是r，则=20π解得：R=24.故答案为：24.　
14.　　.
【解答】解：如图，四边形ABCD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，AB=2，
∴AC⊥BD，A0=BO，∴△AOB是等腰直角三角形，
∴⊙O的半径AO=×AB=2=；∴选用的圆形铁片的半径至少是.
故答案是：.
15.　　（结果保留π）.
【解答】解：∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A′B′C′的位置，
∴∠ACB=∠A′CB′；又∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，∴∠ACB=∠A′CB′=60°；
∵A、C、B'三点在同一条直线上，∴∠ACA′=120°.
又∵∠BAC=30°，AB=，∴AC=2，∴点A经过的路线的长度==.
故答案为.　
16.　　.
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，
∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2，∴S△ABC=AC BC=.
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′.
∴S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC
==.答案为.　
17.2　.
【解答】解：如图：连接CG，∵∠C=120°，∴∠B=60°，
∵AB与相切，∴CG⊥AB，
在直角△CBG中，CG=BC sin60°=2×=3，即圆锥的母线长是3，
设圆锥底面的半径为r，则：2πr=，∴r=1.
则圆锥的高是：=2.故答案为：2.
　
18.　2π　（结果保留π）.
【解答】解：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴OB⊥AB，
在△AOB中，OA=2，∠BAO=60°，∴∠AOB=30°，即AB=，
根据勾股定理得：OB=3，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=30°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，则的长l==2π，故答案为：2π
　
19.　　（用含n的代数式表示）.
【解答】解：∵一个直n棱柱的侧面是矩形，∵每一个内角都是90°，
又∵正n边形的每个角的度数为（n﹣2）×180°÷n，
∴∠BAD=360°﹣（n﹣2）×180°÷n﹣90°×2═.故答案为：.　
20.　10　m.（π取3）
【解答】解：其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，
∵中间可供滑行的部分的截面是半径为5m的半圆，
∴BC=πR=5π=15m，AB=CD=20m，∴CF=30m，
在Rt△CDF中，DF=m，
故他滑行的最短距离约为10m.故答案为：10.
三.解答题（共6小题）
21.【解答】解：如图，将正方形花布的四个角各截去一个全等的直角三角形
设DF=GC=x，则EF=x
因为EF=FG，所以x=a﹣2x，解得：x=a
因此，应从正方形花布的四个角各截去一个全等的直角边a的等腰直角三角形.　
22.【解答】解：（1）如图：
（2）l=5×40﹣4×8（+×8
=232﹣32+4π.
23.【解答】解：（1）CD与圆O相切，理由如下：∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，则CD与圆O相切；
（2）连接EB，交OC于F，∵E为弧AC的中点，∴=，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA，
∵AC为∠DAB平分线，∴∠EAC=∠CAO，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∴∠EAC=∠OCA，∠ECA=∠CAO，∴AE∥OC，EC∥AO，∴四边形AECO为平行四边形，
∵OA=OC，∴四边形AECO为菱形，∴AE=OA=1，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∴EB∥CD，
∵CD与⊙O相切，C为切点，∴OC⊥CD，∴OC∥AD，∵点O为AB的中点，
∴OF为△ABE的中位线，∴OF=AE=，即CF=DE=，
在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=，
则S阴影=S△DEC=××=.
　
24.【解答】证明：（1）连结OD，如图1，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，
∴=，∴OD⊥BC，∵BC∥EF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；
（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°，OB=BD=2，∴∠BDF=30°，∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，
在Rt△DBP中，PD=BD=，PB=PD=3，
在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，∴PE==2，
∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，易证得△BDE∽△ACE，
∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1：，∴AE=∵BE∥DF，∴△ABE∽△AFD，
∴=，即=，解得DF=12，
在Rt△BDH中，BH=BD=，∴S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）
= 12 ﹣+ （2）2
=9﹣2π；
（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，
∵=，∴CD=BD=2，∵∠F=∠ABC=∠ADC，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，∴△BFD∽△CDA，
∴=，即=，∴xy=4，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，
而∠DFB=∠AFD，∴△FDB∽△FAD，∴=，即=，
整理得16﹣4y=xy，∴16﹣4y=4，解得y=3，即BF的长为3.
　
25.【解答】解：（1）如图所示：
；
（2）如（1）中的图，根据垂径定理，得AD=2.设圆的半径是r.
在直角三角形AOD中，根据勾股定理，得
r2=（r﹣2）2+（2）2，解得r=4.则OD=2.∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，则弧AB的长是=，
则覆盖棚顶的帆布的面积是×60=160π（m2）.　
26.【解答】解：（1）=2π×10，解得n=90.
圆锥侧面展开图的表面积=π×102+π×10×40=500πcm2.
（2）如右图，由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长.21·cn·jy·com
在Rt△ASB中，SA=40，SB=20，∴AB=20（cm）.
∴甲虫走的最短路线的长度是20cm.
　
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