第二章方程与不等式第10节 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案．
■考点1. 增长率问题
增长后的量=增长前的量×（1+增长率），一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．【来源：21·世纪·教育·网】
■考点2.销售问题
销售利润＝销售价－进价
销售利润率=利润总额/营业收入×100% 销售毛利率=（营业收入－营业成本）/营业收入×100% 利润总额=营业收入－营业成本－费用
■考点3.几何问题
这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或者法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。如，几何图形的面积、体积问题，可以按照面积、体积的计算公式列方程。
■考点4.求互相联系的两数
求互相联系的两数：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式.
■考点5.赛制循环问题
单循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 )/2
双循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 )
■考点6.利率问题
利息=本金×年利率（百分数）×存期
存n年的本息和=本金×（1+年利率）n，即本金×（1+a%）n
■考点7.传染问题
公式：(a+x)n =M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
■考点1：增长率问题
◇典例：
（2017校级模拟）定义：一个工厂一年的生产增长率是：，
如果该工厂2004年的产值要达到2002年产值的1.44倍，而且每年的生产增长率都是x，则x等于（ ） A．5% B．10% C．15% D．20%www-2-1-cnjy-com
【分析】关键是设两个未知数，设2002年的产值是a，2004年的产值就是1.44a，生产增长率都是x，根据题意可列方程． 解：设2002年的产量是a． a（1+x）2=1.44a （1+x）2=1.44 x=20%或x=-220%，负值舍去 故答案为D
（2017校级模拟）五羊公司预期四年使年产值翻两番，实际上年产值平均递增5成，
这样经过4年，公司每年实际增产比预期增产率超出????%（答案精确到小数点后一位）．
【分析】先求出每年预期增产率，再与每年实际增产率比较即可． 解：设预期增产率为x%，则 （1+x）4=4， 解得x≈0.414， 0.5-0.414=0.086=8.6%． 故答案为：8.6．
◆变式训练
一种商品经两次涨价，每次上涨率相同，结果单价变为原价的2倍，则每次上涨率为
（ ） A． B． C． D．
【分析】令原价为“单位1”，根据增长率的公式列方程求解． 解：令原价为“单位1”，设每次上涨率为x，依题意，得 （1+x）2=2， 解得：x1=，x2=-（不符合题意舍去） 所以每次上涨率为：． 故选D．
如图是我国人口数量增长图，根据这个统计图回答问题：
（1）1950年到1990年我国人口增长多少亿？ （2）从1990年到2000年这十年间，我国人口平均每五年的增长率是多少？（供参考使用数据：1.0872=1.182）
【分析】（1）由统计图可直接得出1950年到1990年我国人口增长11-5=6（亿）； （2）由已知从1990年到2000年这十年间是两个5年，设平均每五年的增长率是x，则得：11（1+x）2=13，从而求出我国人口平均每五年的增长率． 解：（1）由统计图可得：1950年到1990年我国人口增长为：11-5=6（亿）， 答：1950年到1990年我国人口增长6亿； （2）设平均每五年的增长率是x，根据题意得： 11（1+x）2=13， ∴（1+x）2≈1.182， ∴1+x=±1.087， ∴x1=0.087，x2=-2.087（不合题意舍去）， 所以平均每五年的增长率是8.7%， 答：我国人口平均每五年的增长率是8.7%．
■考点2：销售问题
◇典例
（2016·辽宁丹东·3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100
万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设平均每月的增长率为x，根据4月份的营业额为60万元，6月份的营业额为100万元，分别表示出5，6月的营业额，即可列出方程．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
根据题意可得：60（1+x）2=100．
故答案为：60（1+x）2=100．
(2016随州中考)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价
为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．21cnjy.com
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)
【分析】(1)根据分段函数可以表示出当0解：(1)由题意，得
当0当5∴y＝
(2)当0当5解得x1＝－25(舍去)，x2＝10.
答：该月需售出10辆汽车．
◆变式训练
(2017唐山九中一模)唐山市某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，
销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，若商店准备获利2 000元，则应进货多少个？定价为多少元？
解：设每个商品的定价是x元，由题意，得(x－40)[180－10(x－52)]＝2 000，整理，得x2－110x＋3 000＝0，解得x1＝50，x2＝60.当x＝50时，进货180－10×(50－52)＝200(个)，不符合题意，舍去；当x＝60时，进货180－10×(60－52)＝100(个)，符合题意．
答：该商品每个定价为60元，进货100个．
（2015乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反
映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？
【分析】本题的实质是两个量以标准上下变化，得到两个一次式，再将这两个一次式相乘即得到一元二次方程．
解：设降价x元，则售价为（60－x）元，销售量为（300＋20x）件，
根据题意得，（60－x－40）（300＋20x）＝6080，
解得x1＝1，x2＝4，
又顾客得实惠，故取x＝4，即定价为56元，
答：应将销售单价定为56元．
■考点3：几何问题
◇典例：
如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去3cm宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少51cm2，求原正方形的边长． 21·世纪*教育网
【分析】设原正方形的边长为xcm，则小正方形的边长是（x-6）cm．根据么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少51cm2，列方程求解． 解：设原正方形的边长为xcm，据题意，得 x2-（x-6）2=51． 解，得 x=． 所以原正方形的边长为cm．
◆变式训练
在一块长16cm、宽12cm的长方形荒地上，要建造一个花园并使所占面积为荒地面积的一半，小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等，请帮小明计算一下小路的宽是多少米？
【分析】本题的等量关系为：花园面积=大长方形面积的一半．设小路的宽是x米，则花园的长和宽分别是：（16-2x）米和（12-2x）米，根据面积即可列出方程求解． 解：根据题意得：（16-2x）（12-2x）=×16×12． 解得：x=2或12． x=12不合题意，舍去． ∴x=2． 答：小路的宽是2m．
■考点4.求互相联系的两数
◇典例：
积是63的两个连续奇数是????．
【分析】设较小的奇数为未知数，根据连续奇数相差2得到较大的奇数，根据两个数的积是63列出方程求解即可． 解：设较小的奇数为2n-1，则依题意得 （2n-1）（2n+1）=63， 4n2-1=63， n=4或n=-4， 当n=4时 奇数为7，9． 当n=-4时，奇数为-9、-7 故答案为：7、9或-9、-7．
如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9
个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数，最大数与最小数的积为192，求这9个数的和．
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出： x（x+16）=192， 解得：x1=8，x2=-24，（不合题意舍去）， 故最小的三个数为：8，9，10， 下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17， 第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24， 故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．
◆变式训练
已知两个数的和为-4，积为-21，则这两个数为????．
【分析】设其中一个数为x，另一个数为（-4-x），根据积为21可列方程求解． 解：设其中一个数为x，另一个数为（-4-x）， （-4-x）x=-21． x=-7或x=3． 故答案为：-7和3．
一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知
这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
【分析】设该三位数的百位数字是x，则十位数字是（x+3），个位数字是（2x+3）．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程． 解：设该三位数的百位数字是x（x为正整数），则十位数字是（x+3），个位数字是（2x+3）．则 100x+10（x+3）+（2x+3）=5（2x+3）2+12， 整理，得 5x2-13x+6=0， 所以，（x-2）（5x-3）=0． 所以x-2=0或5x-3=0， 解得，x=2，则x+3=5，2x+3=7， 则该三位数是257． ?答：这个数是257．
■考点5.赛制循环问题
◇典例：
在一次同学聚会上，有一位同学建议在场的45位同学均要与其他同学握一次手，则他
们共握了????次手．
【分析】此题利用基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为??x（x-1）解决问题即可． 解：由题意列代数式得：x（x-1）， 当x=45，代入得：×45×（45-1）=990 故答案为：990．
某次围棋比赛采用单循环制（即每个选手必须和其余的选手都比赛一场），共赛了36
场，则选手有????名
【分析】设选手有x名，则共进行的比赛场数为场，根据单循环的比赛场数为36场建立方程求出其解即可． 解：设选手有x名，则共进行的比赛场数为场，由题意，得 =36， 解得：x1=-8（舍去），x2=9， ∴x=9． 故答案为：9．
◆变式训练
春节期间有10名同学互相打电话拜年，每两人打电话一次，一共需打电话（ ）次． A．55 B．40 C．45 D．50
【分析】每人与另外的9人打电话，共90次，打电话是在两人之间进行的，故一共打电话90÷2=45次． 解：10×（10-1）÷2， =10×9÷2， =45（次）； 故选C．
参加会议的人，每两人都握过一次手．有人统计共握了91次手，那么到会的人数是????．
【分析】握手要做到不重不漏，可类比线段上放点数有多少线段来做．人数类似线段上的点数，握手次数类似线段的总条数．因此可列出方程． 解：设到会的人数是n． =91 n=14或n=-13（舍去） 故答案为14．
■考点6.利率问题
◇典例：
小明的妈妈前年买了某公司的两年期债券5000元，今年到期（不计利息税）共得本息和为5400元，则这种债券的年利率为????21*cnjy*com
【分析】直接假设出这种债券的年利率，从而列出方程，利用两年利率相同，可以求出． 解：假设这种债券的年利率为x，列方程得： 5000+2×5000x=5400， 解得：x=4%． 故填：4%．
◆变式训练
某厂把500万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润，在不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率比第一年的利润率增加了8%，这样第二年净得利润112万元，为求第一年的利润率，可设它为x，则解得第一年的利润率是（ ） A．10% B．11% C．12% D．13%
【分析】本题考查的是方程思想，将所求的未知数设为x，将其代入题给的条件中，列出式子后便可求得x． 解：第一年的利润是500x万元，则第二年的投入资金为（500+500x）万元，第二年的利润率为x+8%，利润为112万元， 所以可得方程：（500+500x）（x+8%）=112， 解方程可得x=12% 故选C．
■考点7.传染问题
◇典例：
有一只鸡患了H7N9流感，经过两轮传染后共有100只鸡患了流感，那么每轮传染中，平均一只鸡传染的只数为????．
【分析】设每轮传染中平均每只鸡传染了x只鸡，第一轮后有（1+x）只鸡患了流感，第二轮后会传染给x（1+x）只鸡，则两轮以后共有1+x+x（1+x）只鸡得病，然后根据共有100只鸡患了流感就可以列出方程求解． 解：设每轮传染中平均每个人传染了x只鸡． 依题意得1+x+x（1+x）=100， ∴x2+2x-99=0， ∴x=9或x=-11（不合题意，舍去）． 所以，每轮传染中平均一只鸡传染给9个只鸡． 故答案为：9．
◆变式训练
截止4月15日全国已通报确诊63例人感染H7N9禽流感病例，H7N9是禽流感的一种亚型，在禽类中传播速度较快，上海等地已开始捕杀活禽．如果一只活禽，经过两轮感染后就会有36只活禽被感染，假设每轮传染中平均每只活禽传染了x只活禽，那么可列方程为????；?n轮感染后，被感染的活禽只数为????只．（用含n的代数式表示）
【分析】可设每轮感染中平均一只活禽会感染x个只，则第一轮后共有1+x只感染，两轮后有1+x+x（1+x）知感染，列出方程求解即可； 解：设每轮感染中平均一只活禽会感染x个只， 则由题意知：1+x+x（1+x）=36 整理得：（x+1）2=36 解得x1=5，x2=-7（舍去） n轮感染后，被感染的活禽只数为（5+1）n=6n 故答案为：（x+1）2=36；6n
（2016?随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统
计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得出方程．
【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8，
故选C．
（2016?台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都
比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45
C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）=45．21世纪教育网版权所有
【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）=45，
（2015宁夏）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建
两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为602．两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列m关于x的方程是 （ ）
A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0 C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0
答案： C
（2016·四川眉山·3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情
大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为 ．
【分析】根据年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，可以列出相应的方程．
解：由题意可得，
100（1+x）2=169，
故答案为：100（1+x）2=169．
把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，此时大圆形场地的面积是小圆形场地的
4倍，设小圆形场地的半径为x米，若要求出未知数x，则应列出方程 （列出方程，不要求解方程）。
π（x+5）2=4πx2。
(2016原创)为了纪念抗日战争及世界反法西斯战争胜利70周年，2015年9月3日，我
国在首都北京举行了声势浩大的“九三阅兵”活动仪式．在仪式上，习主席郑重向全世界承诺：在两个五年计划内共裁军30万．假设第一个五年计划初裁军8万，第一个五年计划末及第二个五年计划末裁军人数按相同的增长率增长，求裁军人数的增长率．(提示：≈1.73)
解：设增长率为x.
则8＋8(1＋x)＋8(1＋x)2＝30，
1＋(1＋x)＋(x＋1)2＝3.75，
(x＋1)2＋(x＋1)＝2.75，
＝3，x＋＝±≈±1.73，
∴x1≈0.23，x2≈－3.23(舍去)．
答：裁军人数的增长率约为23%.
(2016永州中考)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，
并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×(1－x%)2＝324，
解得x＝10，或x＝190(舍去)．
答：该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件，
第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60(元/件)；
第二次降价后的单件利润为：324－300＝24(元/件)．
依题意得：60m＋24×(100－m)＝36m＋2 400≥3 210，
解得m≥22.5.∴m≥23.
答：为使两次降价销售的总利润不少于3 210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．
（2016·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，
横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为xcm，根据：三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式；
（2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可得．
解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，
∴y=20×x+2×12?x﹣2×x?x=﹣3x2+54x，
即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x；
（2）根据题意，得：﹣3x2+54x=×20×12，
整理，得：x2﹣18x+32=0，
解得：x1=2，x2=16（舍），
∴x=3，
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
（2016·青海西宁）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行
车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案； www.21-cn-jy.com
（2）利用2016年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案． 2·1·c·n·j·y
解：（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：
解得：
答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．
（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．
根据题意可得：720（1+a）2=2205
解此方程：（1+a）2=，
即：，（不符合题意，舍去）
答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．
某校语文备课组为了增强学生写作兴趣创办刊物《萌芽》，得到了全校师生的欢迎．他
们将刊物以适当的价格销售后所得利润资助贫困学生，已知印制100本《萌芽》的成本比印制40本的2倍还多440元．【出处：21教育名师】
（1）求每本《萌芽》的成本是多少元？
（2）经销售调查发现：每本《萌芽》售价定为33元，可售出 120本，若每本降价1元，可多售出 20本，为尽量增加销量让更多的人读到这本刊物，当每本降价多少元时，可获得1400元的利润资助贫困学生？【版权所有：21教育】
解：（1）设每本《萌芽》的成本是x元，
100x＝2×40x＋440
解得：x＝ 22
答：每本《萌芽》的成本是22元．
（2）设每本降价y元时，可获1400元利润；
（33－y－22）（120＋20y）＝1400
解得：y1＝1（舍去），y2＝4
答：每本降价4元时，可获1400元利润．
（2012?泰州）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平
均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（?? ）
A.?36（1﹣x）2=36﹣25???B.?36（1﹣2x）=25??
C.?36（1﹣x）2=25??? D.?36（1﹣x2）=25
【考点】一元二次方程的应用
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=25，把相应数值代入即可求解． 解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x， 为36×（1﹣x）×（1﹣x）， 则列出的方程是36×（1﹣x）2=25． 故选：C． 21*cnjy*com
（2017?白银）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同
样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2 ． 若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（?? ） 21教育名师原创作品
A.?（32﹣2x）（20﹣x）=570???????B.?32x+2×20x=32×20﹣570 C.?（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570????D.?32x+2×20x﹣2x2=570 【考点】一元二次方程的应用
【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2 ， 即可列出方程． 解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）=570， 故选：A．
（2017?杭州）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年
为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（?? ）
A.?10.8（1+x）=16.8??? B.?16.8（1﹣x）=10.8 C.?10.8（1+x）2=16.8???????D.?10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8 【考点】一元二次方程的应用
【分析】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1+增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可． 解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得： 10.8（1+x）2=16.8， 故选：C．
（2017?宜宾）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药
品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是________． 【考点】一元二次方程的应用
【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可． 解：由题意可得， 50（1﹣x）2=32， 故答案为：50（1﹣x）2=32．
（2017?上海）某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%，
如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是________微克/立方米．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】根据增长率问题的关系式得到算式50×（1﹣10%）2 ， 再根据有理数的混合运算的顺序和计算法则计算即可求解． 解：依题意有 50×（1﹣10%）2 =50×0.92 =50×0.81 =40.5（微克/立方米）． 答：今年PM2.5的年均浓度将是40.5微克/立方米． 故答案为：40.5．21教育网
（2017?黑龙江）原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百
分率相同，则降低的百分率为________．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】先设平均每次降价的百分率为x，得出第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）2 ， 再根据题意列出方程解答即可． 解：设这两次的百分率是x，根据题意列方程得 100×（1﹣x）2=81， 解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）． 答：这两次的百分率是10%． 故答案为：10%．
（2017?巴中）巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关
于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．
【考点】一元二次方程的应用 【分析】设平均每次下调的百分率为x，根据调价前后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取小于1的正值即可得出答案.
解：设平均每次下调的百分率为x， 根据题意得：5000（1﹣x）2=4050， 解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）． 答：平均每次下调的百分率为10%
（2017?深圳）一个矩形周长为56厘米.
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用 【分析】（1）设长为x厘米，则宽为28-x厘米；依题可列方程得：x（28-x）=180.求解即可得出答案. （2）设长为y厘米，宽为28-y厘米，依题可列方程得：y（28-y）=200.由根的判别式可知此方程无解；故不能围成面积为200平方厘米的矩形
（1）解：设长为x厘米，则宽为28-x厘米；依题可列方程得： x（28-x）=180. 化简得：x2-28x+180=0. 解得：x1=10（舍去）,x2=18. 答：长为18厘米，宽为10厘米. （2）解：设长为y厘米，宽为28-y厘米，依题可列方程得： y（28-y）=200. 化简得：y2-28y+200=0. ∵△=b2-4ac=282-4×200=-16＜0. ∴原方程无解. ∴不能围成面积为200平方厘米的矩形. 【来源：21cnj*y.co*m】
（2017?菏泽）列方程解应用题： 某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促
销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
【考点】一元二次方程的应用 【分析】根据单件利润×销售量=总利润，列方程求解即可．
解：设销售单价为x元， 由题意，得：（x﹣360）[160+2（480﹣x）]=20000， 整理，得：x2﹣920x+211600=0， 解得：x1=x2=460， 答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000
（2017?绍兴）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），
已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为为50m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2).
(1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大。小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了.” 21·cn·jy·com
【考点】一元二次方程的应用 【分析】（1）根据矩形的面积=长×高，已知长为x，则宽为 ，代入求出y关于x的函数解析式，配成二次函数的顶点式，即可求出x的值时，y有最大值；（2）长虽然不变，但长用料用了（x-2）m，所以宽变成了 ，由（1）同理，代入求出y关于x的函数解析式，配成二次函数的顶点式，即可求出x的值时，y有最大值.
（1）解：因为 ， 所以当x=25时，占地面积y最大, 即当饲养室长为25m时，占地面积最大. （2）解：因为 ， 所以当x=26时，占地面积y最大， 即饲养室长为26m时，占地面积最大. 因为26-25=1≠2， 所以小敏的说法不正确.
（2017·衢州）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数
据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示。 请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）；
(2)2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几（精确到1%）？
(3)若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值平均年增长率（精确到1%）。
【考点】一元二次方程的应用，扇形统计图，条形统计图 【分析】（1）由条形统计图和扇形统计图可以得出数据从而求出答案。 （2）由条形统计图得出数据从而得出答案。 （3）设2016年至2018年我市生产总值的平均年增长率为x,列出方程1300（1+x）2=1573，求出x。
（1）解：1300×7.1％≈92（亿元） 答2016年第一产业总值为92亿元。 （2）解：（1300-1204）÷1204×100％≈8％ 答2016年比2015年的国民生产总值增加了8％。 （3）解：设2016年至2018年我市生产总值的平均年增长率为x, 则有1300（1+x）2=1573. 解得x1=0.1=10％,x2=-2.1（不合题意，舍去） 答2016年至2018年我市国民生产总值平均年增长率为10％。
（2016?新疆）周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一
场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
【考点】一元二次方程的应用 【分析】设要邀请x支球队参加比赛，则比赛的总场数为 x（x﹣1）场，与总场数为28场建立方程求出其解即可．本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时单循环形式比赛规则的总场数为等量关系建立方程是关键．
解：设要邀请x支球队参加比赛，由题意，得 x（x﹣1）=28， 解得：x1=8，x2=﹣7（舍去）． 答：应邀请8支球队参加比赛
（2016?巴中）随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家
卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．
【考点】一元二次方程的应用 【分析】设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200（1﹣x）2 ， 据此列出方程求解即可．此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
解：设该种药品平均每场降价的百分率是x， 由题意得：200（1﹣x）2=98 解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%． 答：该种药品平均每场降价的百分率是30%
（2014?大连）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121
万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． （1）求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； （2）2014年这种产品的产量应达到多少万件？
【考点】一元二次方程的应用 【分析】（1）根据提高后的产量=提高前的产量（1+增长率），设年平均增长率为x，则第一年的常量是100（1+x），第二年的产量是100（1+x）2 ， 即可列方程求得增长率，然后再求第4年该工厂的年产量． （2）2014年的产量是100（1+x）．
解：（1）2013年到2015年这种产品产量的年增长率x，则 100（1+x）2=121， 解得 x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）， 答：2013年到2015年这种产品产量的年增长率10%． （2）2014年这种产品的产量为：100（1+0.1）=110（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件．
（2015?襄阳）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，
另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【考点】一元二次方程的应用 【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得 x（25﹣2x+1）=80， 化简，得x2﹣13x+40=0， 解得：x1=5，x2=8， 当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
（2014?朝阳）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为
30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台． （1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式； （2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价） 2-1-c-n-j-y
【考点】一元二次方程的应用，分段函数 【分析】（1）根据分段函数可以表示出当0＜x≤5，5＜x≤30时由销售数量与进价的关系就可以得出结论； （2）由销售利润=销售价﹣进价，由（1）的解析式建立方程就可以求出结论．
解：（1）由题意，得 当0＜x≤5时 y=30． 当5＜x≤30时， y=30﹣0.1（x﹣5）=﹣0.1x+30.5． ∴y=?； （2）当0＜x≤5时， （32﹣30）×5=10＜25，不符合题意， 当5＜x≤30时， [32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25， 解得：x1=﹣25（舍去），x2=10． 答：该月需售出10辆汽车．
（2014?丹东）在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元
的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套． （1）求出y与x的函数关系式． （2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元； （3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ [参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是(,)]．
【考点】一元二次方程的应用，二次函数的应用 【分析】（1）根据销售量=240﹣（销售单价每提高5元，销售量相应减少20套）列函数关系即可； （2）根据月销售额=月销售量×销售单价=14000，列方程即可求出销售单价； （3）设一个月内获得的利润为w元，根据利润=1套球服所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．
解：（1）， ∴y=﹣4x+480（x≥60）； （2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000， 解得，x1=70，x2=50（不合题意舍去）， ∴当销售价为70元时，月销售额为14000元． （3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得 w=（x﹣40）（﹣4x+480）， =﹣4x2+640x﹣19200， =﹣4（x﹣80）2+6400， 当x=80时，w的最大值为6400 ∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．
第二章方程与不等式第10节 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案．
■考点1. 增长率问题
增长后的量=增长前的量×（1+增长率），一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．【出处：21教育名师】
■考点2.销售问题
销售利润＝
销售利润率= 销售毛利率= 利润总额=
■考点3.几何问题
这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或者法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。如，几何图形的面积、体积问题，可以按照面积、体积的计算公式列方程。
■考点4.求互相联系的两数
求互相联系的两数：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式.
■考点5.赛制循环问题
单循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 )/2
双循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 )
■考点6.利率问题
利息=本金×年利率（百分数）×存期
存n年的本息和=本金×（1+年利率）n，即本金×（1+a%）n
■考点7.传染问题
公式：(a+x)n =M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
■考点1：增长率问题
◇典例：
（2017校级模拟）定义：一个工厂一年的生产增长率是：，
如果该工厂2004年的产值要达到2002年产值的1.44倍，而且每年的生产增长率都是x，则x等于（ ） A．5% B．10% C．15% D．20%2·1·c·n·j·y
【分析】关键是设两个未知数，设2002年的产值是a，2004年的产值就是1.44a，生产增长率都是x，根据题意可列方程． 解：设2002年的产量是a． a（1+x）2=1.44a （1+x）2=1.44 x=20%或x=-220%，负值舍去 故答案为D2-1-c-n-j-y
（2017校级模拟）五羊公司预期四年使年产值翻两番，实际上年产值平均递增5成，
这样经过4年，公司每年实际增产比预期增产率超出????%（答案精确到小数点后一位）．
【分析】先求出每年预期增产率，再与每年实际增产率比较即可． 解：设预期增产率为x%，则 （1+x）4=4， 解得x≈0.414， 0.5-0.414=0.086=8.6%． 故答案为：8.6． 【版权所有：21教育】
◆变式训练
一种商品经两次涨价，每次上涨率相同，结果单价变为原价的2倍，则每次上涨率为
（ ）
如图是我国人口数量增长图，根据这个统计图回答问题：
（1）1950年到1990年我国人口增长多少亿？ （2）从1990年到2000年这十年间，我国人口平均每五年的增长率是多少？（供参考使用数据：1.0872=1.182） 21教育名师原创作品
■考点2：销售问题
◇典例
（2016·辽宁丹东·3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100
万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设平均每月的增长率为x，根据4月份的营业额为60万元，6月份的营业额为100万元，分别表示出5，6月的营业额，即可列出方程．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
根据题意可得：60（1+x）2=100．
故答案为：60（1+x）2=100．
(2016随州中考)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价
为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．21cnjy.com
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)
【分析】(1)根据分段函数可以表示出当0解：(1)由题意，得
当0当5∴y＝
(2)当0当5解得x1＝－25(舍去)，x2＝10.
答：该月需售出10辆汽车．
◆变式训练
(2017唐山九中一模)唐山市某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，
销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，若商店准备获利2 000元，则应进货多少个？定价为多少元？
（2015乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反
映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？
■考点3：几何问题
◇典例：
如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去3cm宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少51cm2，求原正方形的边长． www-2-1-cnjy-com
【分析】设原正方形的边长为xcm，则小正方形的边长是（x-6）cm．根据么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少51cm2，列方程求解． 解：设原正方形的边长为xcm，据题意，得 x2-（x-6）2=51． 解，得 x=． 所以原正方形的边长为cm．
◆变式训练
在一块长16cm、宽12cm的长方形荒地上，要建造一个花园并使所占面积为荒地面积的一半，小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等，请帮小明计算一下小路的宽是多少米？
■考点4.求互相联系的两数
◇典例：
积是63的两个连续奇数是????．
【分析】设较小的奇数为未知数，根据连续奇数相差2得到较大的奇数，根据两个数的积是63列出方程求解即可． 解：设较小的奇数为2n-1，则依题意得 （2n-1）（2n+1）=63， 4n2-1=63， n=4或n=-4， 当n=4时 奇数为7，9． 当n=-4时，奇数为-9、-7 故答案为：7、9或-9、-7．
如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9
个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数，最大数与最小数的积为192，求这9个数的和． www.21-cn-jy.com
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出： x（x+16）=192， 解得：x1=8，x2=-24，（不合题意舍去）， 故最小的三个数为：8，9，10， 下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17， 第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24， 故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．
◆变式训练
已知两个数的和为-4，积为-21，则这两个数为????．
一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知
这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
■考点5.赛制循环问题
◇典例：
在一次同学聚会上，有一位同学建议在场的45位同学均要与其他同学握一次手，则他
们共握了????次手．
【分析】此题利用基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为x（x-1）解决问题即可． 解：由题意列代数式得：x（x-1）， 当x=45，代入得：×45×（45-1）=990 故答案为：990．
某次围棋比赛采用单循环制（即每个选手必须和其余的选手都比赛一场），共赛了36
场，则选手有????名
【分析】设选手有x名，则共进行的比赛场数为场，根据单循环的比赛场数为36场建立方程求出其解即可． 解：设选手有x名，则共进行的比赛场数为场，由题意，得 =36， 解得：x1=-8（舍去），x2=9， ∴x=9． 故答案为：9．
◆变式训练
春节期间有10名同学互相打电话拜年，每两人打电话一次，一共需打电话（ ）次． A．55 B．40 C．45 D．50
参加会议的人，每两人都握过一次手．有人统计共握了91次手，那么到会的人数是????．
■考点6.利率问题
◇典例：
小明的妈妈前年买了某公司的两年期债券5000元，今年到期（不计利息税）共得本息和为5400元，则这种债券的年利率为????
【分析】直接假设出这种债券的年利率，从而列出方程，利用两年利率相同，可以求出． 解：假设这种债券的年利率为x，列方程得： 5000+2×5000x=5400， 解得：x=4%． 故填：4%．
◆变式训练
某厂把500万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润，在不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率比第一年的利润率增加了8%，这样第二年净得利润112万元，为求第一年的利润率，可设它为x，则解得第一年的利润率是（ ） A．10% B．11% C．12% D．13%
■考点7.传染问题
◇典例：
有一只鸡患了H7N9流感，经过两轮传染后共有100只鸡患了流感，那么每轮传染中，平均一只鸡传染的只数为????．21·cn·jy·com
【分析】设每轮传染中平均每只鸡传染了x只鸡，第一轮后有（1+x）只鸡患了流感，第二轮后会传染给x（1+x）只鸡，则两轮以后共有1+x+x（1+x）只鸡得病，然后根据共有100只鸡患了流感就可以列出方程求解． 解：设每轮传染中平均每个人传染了x只鸡． 依题意得1+x+x（1+x）=100， ∴x2+2x-99=0， ∴x=9或x=-11（不合题意，舍去）． 所以，每轮传染中平均一只鸡传染给9个只鸡． 故答案为：9．
◆变式训练
截止4月15日全国已通报确诊63例人感染H7N9禽流感病例，H7N9是禽流感的一种亚型，在禽类中传播速度较快，上海等地已开始捕杀活禽．如果一只活禽，经过两轮感染后就会有36只活禽被感染，假设每轮传染中平均每只活禽传染了x只活禽，那么可列方程为????；?n轮感染后，被感染的活禽只数为????只．（用含n的代数式表示）
（2016?随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统
计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
（2016?台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都
比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45
C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
（2015宁夏）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建
两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为602．两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列m关于x的方程是 （ ）
A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0 C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0
（2016·四川眉山·3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情
大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为 ．
把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，此时大圆形场地的面积是小圆形场地的
4倍，设小圆形场地的半径为x米，若要求出未知数x，则应列出方程 （列出方程，不要求解方程）。21世纪教育网版权所有
(2016原创)为了纪念抗日战争及世界反法西斯战争胜利70周年，2015年9月3日，我
国在首都北京举行了声势浩大的“九三阅兵”活动仪式．在仪式上，习主席郑重向全世界承诺：在两个五年计划内共裁军30万．假设第一个五年计划初裁军8万，第一个五年计划末及第二个五年计划末裁军人数按相同的增长率增长，求裁军人数的增长率．(提示：≈1.73)21教育网
(2016永州中考)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，
并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
（2016·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，
横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
（2016·青海西宁）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行
车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
某校语文备课组为了增强学生写作兴趣创办刊物《萌芽》，得到了全校师生的欢迎．他
们将刊物以适当的价格销售后所得利润资助贫困学生，已知印制100本《萌芽》的成本比印制40本的2倍还多440元．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求每本《萌芽》的成本是多少元？
（2）经销售调查发现：每本《萌芽》售价定为33元，可售出 120本，若每本降价1元，可多售出 20本，为尽量增加销量让更多的人读到这本刊物，当每本降价多少元时，可获得1400元的利润资助贫困学生？21·世纪*教育网
（2012?泰州）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平
均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（?? ）
A.?36（1﹣x）2=36﹣25???B.?36（1﹣2x）=25??C.?36（1﹣x）2=25???D.?36（1﹣x2）=25
（2017?白银）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同
样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2 ． 若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（?? ） 21*cnjy*com
A.?（32﹣2x）（20﹣x）=570?????????B.?32x+2×20x=32×20﹣570 C.?（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570??????D.?32x+2×20x﹣2x2=570
（2017?杭州）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年
为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（?? ）
A.?10.8（1+x）=16.8??? B.?16.8（1﹣x）=10.8 C.?10.8（1+x）2=16.8?????????D.?10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8
（2017?宜宾）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药
品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是________．
（2017?上海）某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%，
如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是________微克/立方米．
（2017?黑龙江）原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百
分率相同，则降低的百分率为________．
（2017?巴中）巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关
于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．
（2017?深圳）一个矩形周长为56厘米.
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
（2017?菏泽）列方程解应用题： 某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促
销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
（2017?绍兴）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），
已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为为50m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2).
(1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大。小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了.”
（2017·衢州）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数
据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示。 请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）；
(2)2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几（精确到1%）？
(3)若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值平均年增长率（精确到1%）。
（2016?新疆）周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一
场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
【考点】一元二次方程的应用
（2016?巴中）随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家
卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．
（2014?大连）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121
万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． （1）求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； （2）2014年这种产品的产量应达到多少万件？21*cnjy*com
（2015?襄阳）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，
另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
（2014?朝阳）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为
30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台． （1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式； （2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）
（2014?丹东）在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元
的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套． （1）求出y与x的函数关系式． （2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元； （3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ [参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是(,)]．
