第二章方程与不等式第12节一元一次不等式（组）及其应用
■考点1. 不等式的有关概念和性质
1．用_________连接而成的数学式子叫做不等式．
2．能使不等式成立的未知数的值的全体，叫做___________，简称为不等式的解．
3．求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做_____________．
4.不等式的基本性质
（1）．a＜b，b＜c?a＜c.这个性质也叫做不等式的传递性．
（2）不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向__ __．
即若a＜b，则a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)．
（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，所得的不等式__ __；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须__ __不等号的方向，所得的不等式成立．
a＞b，且c＞0?ac＞bc，＞；
a＞b，且c＜0?ac＜bc，＜.
考点2. 一元一次不等式(组)的概念及解法
1．一元一次不等式
(1)不等号的两边都是整式，而且只含有______未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．www.21-cn-jy.com
(2)解一元一次不等式的基本步骤：去分母，__ __，移项，__ __，系数化为1.
2．一元一次不等式组
(1)由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组．
(2)一元一次不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．【版权所有：21教育】
(3)先分别求出不等式组中各个不等式的解并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．
3. 一元一次不等式组解集的四种情况，如下
两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
?
不等式组
?（其中a?
考点3..不等式（组）的应用
（1）列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最多”、 “超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．
（2）列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审，认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语；②设，设出适当的未知数；③找，找出能够包含未知数的不等量关系；④列，根据题中的不等关系列出不等式（组）；⑤解，求出不等式（组）的解；⑥验，在不等式（组）的解中找出符合题意的值；⑦答，写出答案，
■考点1：不等式的有关概念和性质
◇典例：
（2015乐山）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
解：A．在不等式的两边同时加上c，不等式仍成立，即，故本选项错误；
B．在不等式的两边同时减去c，不等式仍成立，即，故本选项错误；
C．当c=0时，若，则不等式不成立，故本选项正确；
D．在不等式的两边同时除以不为0的，该不等式仍成立，即，故本选项错误．
故选C．
（2016大庆）当0A．<< B． << C． << D．<<
【答案】A
解题点拨：不等式两边同乘以或除以一个负数，不等号方向要改变：有时特殊值法验证也不失为一种简便方法．
◆变式训练
（2015?怀化）下列不等式变形正确的是（ ）
A． 由a＞b得ac＞bc B． 由a＞b得﹣2a＞﹣2b
C． 由a＞b得﹣a＜﹣b D． 由a＞b得a﹣2＜b﹣2
(2013德宏中考)如果a＜0，则下列式子错误的是( )
A．5＋a＞3＋a B．5－a＞3－a C．5a＞3a D.＞
■考点2：一元一次不等式(组)的概念及解法
◇典例
(2017.海南)不等式2x+1＞0的解集是__________
【考点】解一元一次不等式．
【分析】利用不等式的基本性质，将不等式两边同时减去1再除以2，不等号的方向不变；即可得到不等式的解集．【来源：21·世纪·教育·网】
解：原不等式移项得， 2x＞-1， 系数化为1，得， x＞-
故答案为x＞-
（2016·山东滨州）对于不等式组下列说法正确的是（ ）
A．此不等式组无解
B．此不等式组有7个整数解
C．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1
D．此不等式组的解集是﹣＜x≤2
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【分析】分别解两个不等式得到x≤4和x＞﹣2.5，利用大于小的小于大的取中间可确定不等式组的解集，再写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断．
解：，
解①得x≤4，
解②得x＞﹣2.5，
所以不等式组的解集为﹣2.5＜x≤4，
所以不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
故选B．
（2016·福建龙岩）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出
来．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式的解集．
解：由①得x≥4，
由②得x＜1，
∴原不等式组无解，
若关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是 （ ）．
A.6 【答案】D
解题点拨：对于含参不等式，先解出含参数不等式，再利用数形结合将解集表示在数轴上根据条件分析出参数的值或范围． 21教育网
◆变式训练
若关于x的不等式（2﹣m）x＜1的解为x＞，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2
(2014曲靖中考)不等式组的解集为________．
（2016广西南宁）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（2016聊城）不等式组的解集是x>l，则m的取值范围是 （ ）
■考点3..不等式（组）的应用
◇典例：
（2015·湖南株洲）为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？www-2-1-cnjy-com
【分析】由已知可知，乒乓球共买20个，单价为1.5元每个，而球拍为每个22元，总金额不超过200元，即乒乓球的金额＋球拍的金额≤200①【出处：21教育名师】
涉及的公式为：金额＝单价×数量
金额
单价
数量
乒乓球
1.5×20＝30
1.5
20
球拍
22
将相关数据代入①即可解得：
解：设购买球拍个，依题意得：
解之得： 由于取整数故的最大值为7。
孔明应该7个球拍
◆变式训练
(2017昆明中考)某商店用1 000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2 400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．21*cnjy*com
(1)该商店第一次购进水果多少千克？
(2)假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下到20 kg按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？
(注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．)
（2016·山东东营）已知不等式组,其解集在数轴上表示正确的是( )
(2017株洲中考)已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项错误的为( )
A．a＞b B．a＋2＞b＋2 C．－a＜－b D．2a＞3b
将不等式3x－2＜1的解集表示在数轴上，正确的是( )
A. B.
C. D.
(2017孝感中考)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D .
(2017百色中考)关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是( )
A．3 B．2 C．1 D.
(2017遵义中考)不等式6－4x≥3x－8的非负整数解为( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
关于x的分式方程＝3的解是正数，则字母m的取值范围是( )
A．m＞3 B．m＜3 C．m＞－3 D．m＜－3
(2017株洲中考)已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是__________．【来源：21cnj*y.co*m】
如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是_________．21教育名师原创作品
(2017呼和浩特中考)已知关于x的不等式＞x－1.
(1)当m＝1时，求该不等式的解集；
(2)m取何值时，该不等式有解？并求出解集．
(2017哈尔滨中考)威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1 100元．
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
(2)由于需求量大，A，B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A，B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4 000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？2·1·c·n·j·y
某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品
牌的足球25个，共花费4 500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元；
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A，B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
一.选择题（共10题 ）
（2017?株洲）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（?? ）
A.?a＞b????B.?a+2＞b+2????C.?﹣a＜﹣b????D.?2a＞3b
（2017?遵义）不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（?? ）
A.?2个?? ?B.?3个????C.?4个???????D.?5个
（2017?毕节市）关于x的一元一次不等式 ≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（?? ）
A.?14?????B.?7??????C.?﹣2??????D.?2 2-1-c-n-j-y
（2017?杭州）若x+5＞0，则（?? ）
A.?x+1＜0??? ?B.?x﹣1＜0?????????
C.?＜﹣1??????????D.?﹣2x＜12
（2017?益阳）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（?? ）
A.?????? B.??????????
C.????????D.?
（2017?鄂州）对于不等式组 ，下列说法正确的是（?? ）
A.?此不等式组的正整数解为1，2，3?????B.?此不等式组的解集为﹣1＜x≤ C.?此不等式组有5个整数解???????? D.?此不等式组无解
（2017?大庆）若实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，则a可取的最小正整数为（?? ）
A.?2???????B.?3???????C.?4????????D.?5
（2017?包头）若关于x的不等式x﹣ ＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程
x2+ax+1=0根的情况是（?? ）
A.?有两个相等的实数根??????????????
B.?有两个不相等的实数根??????????????
C.?无实数根??????????????
D.?无法确定
（2017?通辽）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（?? ） 21cnjy.com
A.???????? B.????????
C.?????? ??D.? 21·世纪*教育网
2017?齐齐哈尔）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（?? ）
A.?16个????B.?17个????C.?33个??????D.?34个 21世纪教育网版权所有
二.填空题（共6题）
（2017?贵阳）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为
________．
（2017?上海）不等式组 的解集是________．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
（2017?黑龙江）不等式组 的解集是x＞﹣1，则a的取值范围是________．
（2017·台州）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，
为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克
（2017?荆州）若关于x的分式方程 =2的解为负数，则k的取值范围为________．
三.解答题（共8题）
（2017?淄博）解不等式： ≤ ．
（2017?黄石）已知关于x的不等式组 恰好有两个整数解，求实数
a的取值范围．
（2017?湖州）对于任意实数 ， ，定义关于“ ”的一种运算如下：
．例如： ，
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的取值范围．
（2017?宁波）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．本
届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元． 21·cn·jy·com
(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
（2017?呼和浩特）已知关于x的不等式 ＞ x﹣1．
(1)当m=1时，求该不等式的解集；
(2)m取何值时，该不等式有解，并求出解集．
（2017?达州）设A= ÷（a﹣ ）．
(1)化简A；
(2)当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；… 解关于x的不等式： ﹣ ≤f（3）+f（4）+…+f（11），并将解集在数轴上表示出来． 21*cnjy*com
（2017?东营）为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某
县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．
(1)改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
(2)该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
（2017?邵阳）某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客
车和5辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
(1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
(2)由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．
第二章方程与不等式第12节一元一次不等式（组）及其应用
■考点1. 不等式的有关概念和性质
1．用__不等号__连接而成的数学式子叫做不等式．
2．能使不等式成立的未知数的值的全体，叫做__不等式的解集__，简称为不等式的解．
3．求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做__解不等式__．
4.不等式的基本性质
（1）．a＜b，b＜c?a＜c.这个性质也叫做不等式的传递性．
（2）不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向__不变__．
即若a＜b，则a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)．
（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，所得的不等式__仍成立__；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须__改变__不等号的方向，所得的不等式成立．
a＞b，且c＞0?ac＞bc，＞；
a＞b，且c＜0?ac＜bc，＜.
考点2. 一元一次不等式(组)的概念及解法
1．一元一次不等式
(1)不等号的两边都是整式，而且只含有__一个__未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．www.21-cn-jy.com
(2)解一元一次不等式的基本步骤：去分母，__去括号__，移项，__合并同类项__，系数化为1.
2．一元一次不等式组
(1)由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组．
(2)一元一次不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
(3)先分别求出不等式组中各个不等式的解并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．
3. 一元一次不等式组解集的四种情况，如下
两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
?
不等式组
?（其中a?
考点3..不等式（组）的应用
（1）列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最多”、 “超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．【版权所有：21教育】
（2）列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审，认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语；②设，设出适当的未知数；③找，找出能够包含未知数的不等量关系；④列，根据题中的不等关系列出不等式（组）；⑤解，求出不等式（组）的解；⑥验，在不等式（组）的解中找出符合题意的值；⑦答，写出答案，
■考点1：不等式的有关概念和性质
◇典例：
（2015乐山）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
解：A．在不等式的两边同时加上c，不等式仍成立，即，故本选项错误；
B．在不等式的两边同时减去c，不等式仍成立，即，故本选项错误；
C．当c=0时，若，则不等式不成立，故本选项正确；
D．在不等式的两边同时除以不为0的，该不等式仍成立，即，故本选项错误．
故选C．
（2016大庆）当0A．<< B． << C． << D．<<
【答案】A
解题点拨：不等式两边同乘以或除以一个负数，不等号方向要改变：有时特殊值法验证也不失为一种简便方法．
◆变式训练
（2015?怀化）下列不等式变形正确的是（ ）
A． 由a＞b得ac＞bc B． 由a＞b得﹣2a＞﹣2b
C． 由a＞b得﹣a＜﹣b D． 由a＞b得a﹣2＜b﹣2
【解析】 不等式的性质．A：因为c的正负不确定，所以由a＞b得ac＞bc不正确，据此判断即可．
B：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可．
C：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可．
D：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，据此判断即可．
解：∵a＞b，
∴①c＞0时，ac＞bc；②c=0时，ac=bc；③c＜0时，ac＜bc，∴选项A不正确,
∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，∴选项B不正确；
∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴选项C正确；
∵a＞b，∴a﹣2＞b﹣2，∴选项D不正确．
故选：C．
(2013德宏中考)如果a＜0，则下列式子错误的是( )
A．5＋a＞3＋a B．5－a＞3－a C．5a＞3a D.＞
【解析】不等式的性质为：(1)如果a＞b，那么a±c＞b±c；(2)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc或＞；(3)如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc或＜.21·cn·jy·com
故选C.
■考点2：一元一次不等式(组)的概念及解法
◇典例
(2017.海南)不等式2x+1＞0的解集是__________
【考点】解一元一次不等式．
【分析】利用不等式的基本性质，将不等式两边同时减去1再除以2，不等号的方向不变；即可得到不等式的解集．www-2-1-cnjy-com
解：原不等式移项得， 2x＞-1， 系数化为1，得， x＞-
故答案为x＞-
（2016·山东滨州）对于不等式组下列说法正确的是（ ）
A．此不等式组无解
B．此不等式组有7个整数解
C．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1
D．此不等式组的解集是﹣＜x≤2
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【分析】分别解两个不等式得到x≤4和x＞﹣2.5，利用大于小的小于大的取中间可确定不等式组的解集，再写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断．
解：，
解①得x≤4，
解②得x＞﹣2.5，
所以不等式组的解集为﹣2.5＜x≤4，
所以不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
故选B．
（2016·福建龙岩）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出
来．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式的解集．
解：由①得x≥4，
由②得x＜1，
∴原不等式组无解，
若关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是 （ ）．
A.6 【答案】D
解题点拨：对于含参不等式，先解出含参数不等式，再利用数形结合将解集表示在数轴上根据条件分析出参数的值或范围．2·1·c·n·j·y21*cnjy*com
◆变式训练
若关于x的不等式（2﹣m）x＜1的解为x＞，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2
解：∵关于x的不等式（2﹣m）x＜1的解为x＞
∴2-m＜0解得：m＞2
故选C.
(2014曲靖中考)不等式组的解集为________．
【解析】由①得：－3x＜－9，所以x＞3；由②得：2x＋1＞21－3x，5x＞20，所以x＞4；所以不等式组的解集为x＞4.
【答案】x＞4
故选B
（2016广西南宁）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
解：，
解①得x≤1，
解②得x＞﹣3，
，
不等式组的解集是：﹣3＜x≤1．
（2016聊城）不等式组的解集是x>l，则m的取值范围是 （ ）
A．m≥l B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0
【答案】D
■考点3..不等式（组）的应用
◇典例：
（2015·湖南株洲）为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？
【分析】由已知可知，乒乓球共买20个，单价为1.5元每个，而球拍为每个22元，总金额不超过200元，即乒乓球的金额＋球拍的金额≤200①
涉及的公式为：金额＝单价×数量
金额
单价
数量
乒乓球
1.5×20＝30
1.5
20
球拍
22
将相关数据代入①即可解得：
解：设购买球拍个，依题意得：
解之得： 由于取整数故的最大值为7。
孔明应该7个球拍
◆变式训练
(2017昆明中考)某商店用1 000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2 400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)该商店第一次购进水果多少千克？
(2)假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下到20 kg按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？
(注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．)
【分析】(1)首先根据题意，设该商店第一次购进水果x kg，第二次购进水果2x kg，然后根据题意列出分式方程即可求出该商店第一次购进水果多少千克；(2)首先根据题意，设每千克水果的标价是y元，然后根据题意列出不等式，即可求出每千克水果的标价是多少．
解：(1)设商店第一次购进水果x kg，因为第二次所购数量是第一次购进数量的2倍，所以第二次购进水果2x kg，根据总价、单价和数量的关系，又因为第二次每千克的价格比第一次购进的贵了2元，所以可列方程＋2＝，解得x＝100，经检验x＝100是方程的解，答：该商店第一次购进水果100 kg；
(2)因为两次购进水果全部售完，利润不低于950元，设每千克水果的标价是y元，则(300－20)y＋20×0.5y－1 000－2 400≥950，解得y≥15.答：每千克水果的标价至少是15元．
（2016·山东东营）已知不等式组,其解集在数轴上表示正确的是( )
【知识点】一元一次不等式组——不等式(组)的解集的表示方法
【答案】C.
【解析】由x－3＞0,得x＞3;由x＋1≥0,得x≥―1;故选择C.
【点拨】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集的方法，解答此题的关键是要注意“两定”：一是定界点，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
(2017株洲中考)已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项错误的为( D )
A．a＞b B．a＋2＞b＋2 C．－a＜－b D．2a＞3b
【方法总结】应用不等式的性质要注意乘除时考虑数的正负性及不等号的方向．
将不等式3x－2＜1的解集表示在数轴上，正确的是( D )
A. B.
C. D.
(2017孝感中考)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( D )
A. B.
C. D .
【方法总结】确定不等式组的解集要分别求出各个不等式的解集，再确定它们的公共部分即可．在数轴上表示解集的关键是要注意“两定”：一是定界点，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
(2017百色中考)关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的
最小值是( B )
A．3 B．2 C．1 D.
(2017遵义中考)不等式6－4x≥3x－8的非负整数解为( B )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
关于x的分式方程＝3的解是正数，则字母m的取值范围是( D )
A．m＞3 B．m＜3 C．m＞－3 D．m＜－3
(2017株洲中考)已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是__＜x≤6__．
如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是__x＞3__．
【方法总结】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝x＋b的值大于y＝kx＋6的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝x＋b在直线y＝kx＋6上方的部分所有点的横坐标所构成的集合．
(2017呼和浩特中考)已知关于x的不等式＞x－1.
(1)当m＝1时，求该不等式的解集；
(2)m取何值时，该不等式有解？并求出解集．
解：(1)当m＝1时，不等式为＞－1，
去分母得：2－x＞x－2，
解得：x＜2；
(2)不等式去分母得：2m－mx＞x－2，
移项合并得：(m＋1)x＜2(m＋1)，
当m≠－1时，不等式有解，
当m＞－1时，不等式的解集为x＜2；
当m＜－1时，不等式的解集为x＞2.
(2017哈尔滨中考)威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1 100元．
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
(2)由于需求量大，A，B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A，B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4 000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？
解：(1)设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由题意，
得解得
答：A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元；
(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(34－a)件．由题意，得
200a＋100(34－a)≥4 000，
解得a≥6.
答：威丽商场至少需购进6件A种商品．
某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品
牌的足球25个，共花费4 500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元；
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A，B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？2·1·c·n·j·y
(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
解：(1)设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元．
依题意得解得
答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元；
(2)设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球(50－m)个．
依题意得：
解得25≤m≤27.
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；
方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；
方案三：购买A种足球27个，B种足球23个；
(3)∵第二次购买足球时，A种足球单价为50＋4＝54(元)，
B种足球单价为80×0.9＝72(元)，
∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多．
∴25×54＋25×72＝3 150(元)．
答：学校在第二次购买活动中最多需要3 150元资金．
一.选择题（共10题 ）
（2017?株洲）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（?? ）
A.?a＞b????B.?a+2＞b+2???C.?﹣a＜﹣b?????D.?2a＞3b
【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b． 【考点】不等式的性质
解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b． 故选D．
（2017?遵义）不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（?? ）
A.?2个?? ?B.?3个??? ?C.?4个????????D.?5个 【考点】一元一次不等式的整数解 21教育名师原创作品
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 解：移项得，﹣4x﹣3x≥﹣8﹣6， 合并同类项得，﹣7x≥﹣14， 系数化为1得，x≤2． 故其非负整数解为：0，1，2，共3个． 故选B．
（2017?毕节市）关于x的一元一次不等式 ≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（?? ）
A.?14???????B.?7???????C.?﹣2?????????D.?2 【考点】不等式的解集
【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据x≥4，求得m的值． 解： ≤﹣2， m﹣2x≤﹣6， ﹣2x≤﹣m﹣6， x≥ m+3， ∵关于x的一元一次不等式 ≤﹣2的解集为x≥4， ∴ m+3=4， 解得m=2． 故选：D．
（2017?杭州）若x+5＞0，则（?? ）
A.?x+1＜0???? B.?x﹣1＜0?????????
C.?＜﹣1??????????D.?﹣2x＜12 【考点】不等式的性质
【分析】求出已知不等式的解集，再求出每个选项中不等式的解集，即得出选项． 解：∵x+5＞0， ∴x＞﹣5， A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意； B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意； C、根据 ＜﹣1得出x＜5，故本选项不符合题意； D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项符合题意； 故选D．
（2017?益阳）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（?? ）
A.??????B.??????C.?????D.? 【考点】在数轴上表示不等式的解集2-1-c-n-j-y
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法即可得出答案． 解：∵﹣3处是空心圆点，且折线向右，2处是实心圆点，且折线向左， ∴这个不等式组的解集是﹣3＜x≤2． 故选D．
（2017?鄂州）对于不等式组 ，下列说法正确的是（?? ）
A.?此不等式组的正整数解为1，2，3?????B.?此不等式组的解集为﹣1＜x≤ C.?此不等式组有5个整数解?????????D.?此不等式组无解 【考点】解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解
【分析】解不等式组基本步骤是去分母、移项、合并同类项，分别解出不等式，按照“大小小大”口诀求出解集，找出正整数解. 解： ， 解①得x≤ ， 解②得x＞﹣1， 所以不等式组的解集为﹣1＜x≤ ， 所以不等式组的正整数解为1，2，3 故答案为：A．
（2017?大庆）若实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，则a可取的最小正整数为（?? ）
A.?2???????B.?3????????C.?4???????D.?5 【考点】一元一次不等式的整数解
【分析】因为x=3是不等式的一个解，所以将x=3代入不等式，求出a的取值范围为a＞4，则可取的最小正整数就为5，该题可解。 解：根据题意，x=3是不等式的一个解， ∴将x=3代入不等式，得：6﹣a﹣2＜0， 解得：a＞4， 则a可取的最小正整数为5， 故答案为：D．
（2017?包头）若关于x的不等式x﹣ ＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程
x2+ax+1=0根的情况是（?? ）
A.?有两个相等的实数根??????????????
B.?有两个不相等的实数根??????????????
C.?无实数根??????????????
D.?无法确定 【考点】根的判别式，不等式的解集
【分析】先解不等式，再利用不等式的解集得到1+ =1，则a=0，然后计算判别式的值，最后根据判别式的意义判断方程根的情况． 解：解不等式x﹣ ＜1得x＜1+ ， 而不等式x﹣ ＜1的解集为x＜1， 所以1+ =1，解得a=0， 又因为△=a2﹣4=﹣4， 所以关于x的一元二次方程x2+ax+1=0没有实数根． 故选C． 【来源：21·世纪·教育·网】
（2017?通辽）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（?? ） 21*cnjy*com
A.???????? B.????????
C.??????? D.? 【考点】根的判别式，在数轴上表示不等式的解集
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，将其表示在数轴上即可得出结论． 解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根， ∴ ， 解得：k＞﹣1． 故选A．21·世纪*教育网
2017?齐齐哈尔）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（?? ）
A.?16个??????B.?17个????C.?33个??????D.?34个 【考点】一元一次不等式的应用
【分析】设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过3000元建立不等式求出其解即可． 解：设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据题意得： 80m+50（50﹣m）≤3000， 解得：m≤16 ， ∵m为整数， ∴m最大取16， ∴最多可以买16个篮球． 故选：A．
二.填空题（共6题）
（2017?贵阳）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为
________． 【考点】在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题主要考查了数轴上表示不等式的解集。根据数轴上表示不等式的解集表示方法进行判别即可得到结论. 解：观察数轴可得该不等式的解集为x≤2． 故答案为：x≤2．
（2017?上海）不等式组 的解集是________．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 解：解不等式2x＞6，得：x＞3， 解不等式x﹣2＞0，得：x＞2， 则不等式组的解集为x＞3， 故答案为：x＞3．
（2017?黑龙江）不等式组 的解集是x＞﹣1，则a的取值范围是________．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，结合不等式组的解集即可确定a的范围． 解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1， 解不等式a﹣ x＜0，得：x＞3a， ∵不等式组的解集为x＞﹣1， 则3a≤﹣1， ∴a≤﹣ ， 故答案为：a≤﹣ ．
（2017·台州）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，
为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克 【考点】一元一次不等式的应用
【分析】设售价至少应定为x元/千克，依题可得方程x（1-5%）×80≥760，从而得出答案. 解：售价至少应定为x元/千克，则依题可得： x（1-5%）×80≥760， ∴76x≥760, ∴x≥10, 故答案为10.
（2017?荆州）若关于x的分式方程 =2的解为负数，则k的取值范围为________．
【考点】分式方程的解，解一元一次不等式
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可． 解：去分母得：k﹣1=2x+2， 解得：x= ， 由分式方程的解为负数，得到 ＜0，且x+1≠0，即 ≠﹣1， 解得：k＜3且k≠1， 故答案为：k＜3且k≠1
三.解答题（共8题）
（2017?淄博）解不等式： ≤ ．
【考点】解一元一次不等式 【分析】根据解一元一次不等式的步骤去分母、去括号、移项合并、系数化1解答即可，计算时不要出错，注意符号的变化.
解：去分母得：3（x﹣2）≤2（7﹣x）， 去括号得：3x﹣6≤14﹣2x， 移项合并得：5x≤20， 解得：x≤4．
（2017?黄石）已知关于x的不等式组 恰好有两个整数解，求实数
a的取值范围．
【考点】一元一次不等式组的整数解 【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围． 【出处：21教育名师】
解：解5x+1＞3（x﹣1）得：x＞﹣2， 解 x≤8﹣ x+2a得：x≤4+a． 则不等式组的解集是：﹣2＜x≤4+a． 不等式组只有两个整数解，是﹣1和0． 根据题意得：0≤4+a＜1． 解得：﹣4≤a＜﹣3
（2017?湖州）对于任意实数 ， ，定义关于“ ”的一种运算如下：
．例如： ，
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的取值范围．
【考点】解一元一次方程，解一元一次不等式 【分析】（1）根据题意列方程2×3-x=-2011求解即可. （2）根据题意列不等式2x-3＜5求解即可.
（1）解：依题可得：3x=2×3-x=-2011. ????? ∴x=2017. （2）解：依题可得：x3=2x-3＜5. ????? ∴x＜4. 即x的取值范围为x＜4.
（2017?宁波）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．本
届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用 【分析】（1）设甲种商品的销售单价是χ元，乙种商品的销售单击是y元；根据题意可列出二元一次方程组，解之即可. （2）设销售甲产品a万件，则销售乙产品（8-a）万件； 根据题意列出一元一次不等式方程，解之即可.
（1）解：设甲种商品的销售单价是χ元，乙种商品的销售单击是y元. ?????? 根据题意，得 ?????? 解得： ?????? 答：甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的销售单价是600元. （2）解：设销售甲产品a万件，则销售乙产品（8-a）万件. ?????? 根据题意，得900a+600(8-a)≥5400， ?????? 解得：a≥2. ?????? 答：至少销售甲产品2万件
（2017?呼和浩特）已知关于x的不等式 ＞ x﹣1．
(1)当m=1时，求该不等式的解集；
(2)m取何值时，该不等式有解，并求出解集．
【考点】不等式的解集 【分析】（1）把m=1代入不等式，求出解集即可；（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．
解：（1）当m=1时，不等式为 ＞ ﹣1， 去分母得：2﹣x＞x﹣2， 解得：x＜2 （2）不等式去分母得：2m﹣mx＞x﹣2， 移项合并得：（m+1）x＜2（m+1）， 当m≠﹣1时，不等式有解， 当m＞﹣1时，不等式解集为x＜2； 当x＜﹣1时，不等式的解集为x＞2
（2017?达州）设A= ÷（a﹣ ）．
(1)化简A；
(2)当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；… 解关于x的不等式： ﹣ ≤f（3）+f（4）+…+f（11），并将解集在数轴上表示出来． 21cnjy.com
【考点】分式的混合运算，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式 【分析】（1）根据分式的除法和减法可以解答本题；（2）根据（1）中的结果可以解答题目中的不等式并在数轴上表示出不等式的解集．
（1）解：A= ÷（a﹣ ） = = = = = （2）解：∵a=3时，f（3）= ， a=4时，f（4）= ， a=5时，f（5）= ， … ∴ ﹣ ≤f（3）+f（4）+…+f（11）， 即 ﹣ ≤ + +…+ ∴ ﹣ ≤ +…+ ， ∴ ﹣ ≤ ， ∴ ﹣ ≤ ， 解得，x≤4， ∴原不等式的解集是x≤4，在数轴上表示如下所示，
（2017?东营）为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某
县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．
(1)改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
(2)该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
【分析】（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案；（2）要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．
（1）解：设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元 由题意得 ，解得 ， 答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元． （2）解：设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所， 由题意得： ，解得 ， ∴3≤a≤5， ∵x取整数， ∴x=3，4，5． 即共有3种方案： 方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所； 方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所； 方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所． 【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用 21教育网
（2017?邵阳）某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客
车和5辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
(1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
(2)由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用 【分析】（1）根据题意结合每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个以及师生共300人参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案；（2）根据（1）中所求，进而利用总人数为300+30，进而得出不等式求出答案．21世纪教育网版权所有
（1）解：设每辆小客车的乘客座位数是x个，大客车的乘客座位数是y个， 根据题意可得： ，解得： ， 答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个 （2）解：设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则 18a+35（11﹣a）≥300+30， 解得：a≤3 ， 符合条件的a最大整数为3， 答：租用小客车数量的最大值为3
