3.1.1 不等关系与不等式
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2．了解不等式(组)的实际背景．
3．能用作差法比较大小．
1．不等关系与不等式
(1)不等式中自然语言与符号语言之间的转换
大于
小于
大于等于
小于等于
至多
至少
不小于
不大于
＞
＜
≥
≤
≤
≥
≥
≤
(2)不等式的定义：含有______的式子．
【做一做1】某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h米满足关系为( )．
A．h＜4.5 B．h＞4.5
C．h≤4.5 D．h≥4.5
2．实数大小的比较
(1)数轴上的两点A，B的位置关系与其对应实数a，b的大小关系．
①数轴上的任意两点中，____边点对应的实数比____边点对应的实数大．
②数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B)，如下：
点A，B的位置关系
点A和点B重合
点A在点B右侧
点A在点B左侧
实数a，b的大小关系
a＝b
a＞b
a＜b
(2)比较两个实数的大小．
方法
作差法
依据
a－b＞0?a＞b
a－b＜0?a＜b
a－b＝0?a＝b
结论
对于任意两个实数a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立
【做一做2－1】下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是( )．
A．a－b＞0 B．a－b＜0
C．a－b≥0 D．a－b≤0
【做一做2－2】设a，b∈R＋，P＝＋，Q＝，则P与Q的大小关系是( )．
A．P≥Q B．P≤Q
C．P＞Q D．P＜Q
一、比较大小常用的方法
剖析：证明一个不等式和比较实数的大小一样，根据题目的特点可以有不同的证明方法．
(1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法，但是它们又有自己的适用范围，对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决．
①一般的实数大小的比较都可以采用作差法，但是我们要考虑作差后与0的比较，通常要进行因式分解，配方或者其他变形操作，所以，作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系．
②作商法主要适用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子，具有一定的局限性，作商后要与1进行比较，所以，作商后必须易于变成能与1比较大小的式子，此种方法主要适用于那些含有幂指数的数或式子大小的比较，例如，比较aabb与(ab)的大小就可以使用作商法．
③在解决这些问题的时候，根据实际情况选择其中一种合适的方法．要根据题目的具体结构特点，如是和差的形式一般用作差法，乘除的形式一般用作商法．
(2)要注意不等式与函数的结合，函数的图象和性质是解决不等式问题的重要工具，尤其是函数的单调性．如：a＞b?a3＞b3，可根据幂函数y＝x3在R上单调递增得到．
利用比较法来比较两个代数式或实数的大小时，注意分情况对变量进行讨论，讨论时应做到不重不漏．
二、教材中的“思考与讨论”
已知＝，如果c＞d，那么a＞b是否一定成立？请说明理由．
剖析：不一定成立．如c＝1，d＝－1时，c＞d，此时若a＝－1，b＝1，也满足＝，但不满足a＞b.
题型一 用不等式(组)表示不等关系
【例1】某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
分析：解答本题只需用不等式表示上述不等关系即可．
反思：本题易忽略甲型卡车和乙型卡车的总和不超过驾驶员人数而导致错误．导致错误的原因是没有真正理解题意，因此解决此问题的难点是找出题中显性和隐性的不等关系．
题型二 比较两数的大小
【例2】当x≥1时，比较x3＋1与2x2－2x＋2的大小．
分析：根据a＞b?a－b＞0，a＜b?a－b＜0，只需比较所给两个式子的差值与0的大小即可．
反思：利用作差法比较大小时关键在于变形，变形的方向是将差式化成多因式积的形式，然后确定每个因式的符号，从而确定积的符号．变形中常用平方差、立方差、立方和公式，还可能用到通分、因式分解、分子(或分母)有理化等方法．
题型三 不等关系的实际应用
【例3】商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：
(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；
(2)按总价的92%付款．
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若设购买茶杯数为x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法的y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱．
分析：本题是一次函数问题，通过建立两种优惠办法的一次函数模型，然后利用作差法讨论选哪种优惠办法．
反思：利用作差法比较两个代数式的大小时，如果不能直接得出结果，就需要对某些字母的取值进行分类讨论．
题型四 易错辨析
【例4】设a＋b＞0，n为偶数，比较＋与＋的大小．
错解：＋－－＝.
∵n为偶数，∴(ab)n＞0.
又an－bn与an－1－bn－1同号，
∴＞0，即＋－－＞0.
∴＋＞＋.
错因分析：n为偶数时，an－bn和an－1－bn－1不一定同号，这里忽略了在题设条件a＋b＞0且没有明确字母的具体值的情况下，要考虑分类讨论，即对a＞0，b＞0和a，b有一个负值的情况加以讨论．
1下列不等式一定成立的是( )．
A．－3＜－4 B．0≤0
C．3≥4 D．－5≤－6
2如果loga3＞logb3，且a＋b＝1，那么( )．
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1
C．1＜a＜b D．1＜b＜a
3若x＞1＞y，则下列不等式中不成立的是( )．
A．x－1＞1－y B．x－1＞y－1
C．x－y＞1－y D．1－x＞y－x
4已知a＞b，则a3与b3的大小关系是________．
5用“＞、＜、≥、≤”号填空．
(1)(2a＋1)(a－3)________(a－6)(2a＋7)＋45；
(2)a2＋b2________2(a－b－1)．
答案：
基础知识·梳理
1．(2)不等号
【做一做1】C
2．(1)右 左
【做一做2－1】C
【做一做2－2】C P2＝(＋)2＝a＋b＋2，Q2＝()2＝a＋b.∵a，b∈R＋，∴P2＞Q2.∴P＞Q.
典型例题·领悟
【例1】解：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则
即
【例2】解：x3＋1－(2x2－2x＋2)
＝x3－2x2＋2x－1
＝x3－x2－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)[(x－)2＋]，
∵x≥1，∴x－1≥0，(x－)2＋＞0，
∴(x－1)[(x－)2＋]≥0.
∴x3＋1≥2x2－2x＋2.
【例3】解：由优惠办法(1)得：y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4)，
由优惠办法(2)得：y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4)．
y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4)，
令y1－y2＝0，得x＝34.
当购买34只茶杯时，两种办法付款相同；当4≤x＜34时，y1＜y2，优惠办法(1)省钱；当x＞34时，y1＞y2，优惠办法(2)省钱．
【例4】正解：＋－－＝.
(1)当a＞0，b＞0时，(an－bn)(an－1－bn－1)≥0，(ab)n＞0，所以≥0，故＋≥＋.
(2)当a，b有一个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，且a＋b＞0，所以a＞|b|.又n为偶数，所以(an－bn)(an－1－bn－1)≥0，且(ab)n＞0，
故≥0，
即＋≥＋.
综合(1)(2)可知，＋≥＋.
随堂练习·巩固
1．B 不等式a≥b的含义是指“或者a＞b，或者a＝b”，不等式a≤b的含义是指“或者a＜b，或者a＝b”，根据含义可知只有选项B正确．
2．A ∵a＋b＝1，a，b∈R＋，∴0＜a＜1,0＜b＜1.
∵loga3＞logb3，∴＞.
∴lg a＜lg b．∴0＜a＜b＜1.
3．A ∵x＞1＞y，
∴x＋(－1)＞y＋(－1)，即选项B正确；
x＋(－y)＞1＋(－y)，即选项C正确；
1＋(－x)＞y＋(－x)，即选项D正确．
故选A.
4．a3＞b3 因为a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)
＝(a－b)[(a＋)2＋]＞0，
所以a3＞b3.
5．＜ ≥ (1)(2a＋1)(a－3)－[(a－6)(2a＋7)＋45]＝－6＜0，所以(2a＋1)(a－3)＜(a－6)(2a＋7)＋45；
(2)a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)．
3.1.1 不等关系与不等式
课堂探究
一、比较大小常用的方法
剖析：证明一个不等式和比较实数的大小一样，根据题目的特点可以有不同的证明方法．
(1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法，但是它们又有自己的适用范围，对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决．
①一般实数大小的比较都可以采用作差法，但是我们要考虑作差后与0的比较，通常要进行因式分解，配方或者其他变形操作，所以，作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系的式子．
②作商法主要适用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子，具有一定的局限性，作商后要与1进行比较，所以，作商后必须易于变成能与1比较大小的式子，此种方法主要适用于那些含有幂指数的数或式子的大小的比较，例如，比较aabb与的大小就可以使用作商法．
③在解决这些问题的时候，根据实际情况选择其中一种合适的方法．要根据题目的具体结构特点，如是和差的形式一般用作差法，乘除的形式一般用作商法．
(2)要注意不等式与函数的结合，函数的图象和性质是解决不等式问题的重要工具，尤其是函数的单调性．如：a>ba3>b3，可根据幂函数y＝x3在R上单调递增得到．
名师点拨：利用比较法来比较两个代数式或实数的大小时，注意分情况对变量进行讨论，讨论时应做到不重不漏．
二、教材中的“思考与讨论”
已知＝，如果c＞d，那么a＞b是否一定成立？请说明理由．
剖析：不一定成立．如c＝1，d＝－1时，c＞d，此时若a＝－1，b＝1，也满足＝，但不满足a＞b．
题型一 用不等式(组)表示不等关系
【例1】 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
分析：解答本题只需用不等式表示上述不等关系即可．
解：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则
即
反思：本题易忽略甲型卡车和乙型卡车的总和不超过驾驶员人数而导致错误．导致错误的原因是没有真正理解题意，因此解决此问题的难点是找出题中显性和隐性的不等关系．
题型二比较两数的大小
【例2】 当x≥1时，比较x3＋1与2x2－2x＋2的大小．
分析：根据a>ba－b>0，a解：x3＋1－(2x2－2x＋2)
＝x3－2x2＋2x－1
＝x3－x2－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)，
∵x≥1，∴x－1≥0，2＋>0，
∴(x－1)≥0．
∴x3＋1≥2x2－2x＋2．
反思：利用作差法比较大小时关键在于变形，变形的方向是将差式化成多因式积的形式，然后确定每个因式的符号，从而确定积的符号．变形中常用平方差、立方差、立方和公式，还可能用到通分、因式分解、分子(或分母)有理化等方法．
题型三 不等关系的实际应用
【例3】 商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：
(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；
(2)按总价的92%付款．
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若设购买茶杯数为x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法的y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱．
分析：本题是一次函数问题，通过建立两种优惠办法的一次函数模型，然后利用作差法讨论选哪种优惠办法．
解：由优惠办法(1)得y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4)，
由优惠办法(2)得y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4)．
y1－y2＝0．4x－13.6(x≥4)，
令y1－y2＝0，得x＝34．
当购买34只茶杯时，两种办法付款相同；当4≤x<34时，y134时，y1>y2，优惠办法(2)省钱．
反思：利用作差法比较两个代数式的大小时，如果不能直接得出结果，就需要对某些字母的取值进行分类讨论．
题型四 易错辨析
【例4】 设a＋b＞0，n为偶数，比较＋与＋的大小．
错解：＋－－＝．
∵n为偶数，∴(ab)n＞0．又an－bn与an－1－bn－1同号，
∴＞0，即＋－－＞0．
∴＋＞＋．
错因分析：n为偶数时，an－bn和an－1－bn－1不一定同号，这里忽略了在题设条件a＋b＞0且没有明确字母的具体值的情况下，要考虑分类讨论，即对a＞0，b＞0和a，b有一个负值的情况加以讨论．
正解：＋－－＝．
(1)当a＞0，b＞0时，(an－bn)(an－1－bn－1)≥0，(ab)n＞0，
所以≥0，
故＋≥＋．
(2)当a，b有一个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，且a＋b＞0，所以a＞|b|．又n为偶数，所以(an－bn)·(an－1－bn－1)≥0，且(ab)n＞0，
故≥0，
即＋≥＋．
综合(1)(2)可知，＋≥＋．
3.1.2 不等式的性质
1．掌握不等式的性质．
2．能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较，解不等式(组)和不等式证明．
不等式的性质
(1)对称性：a＞b?______.
(2)传递性：a＞b，b＞c?______.
(3)加法法则：a＞b?________.
推论1 a＋b＞c?a＞______；
推论2 a＞b，c＞d?a＋c＞______.
(4)乘法法则：a＞b，c＞0?______；a＞b，c＜0?______.
推论1 a＞b＞0，c＞d＞0?______；
推论2 a＞b＞0?an＞bn(n∈N＋，n＞1)；
推论3 a＞b＞0?＞(n∈N＋，n＞1)．
在不等式的基本性质中，乘法法则的应用最易出错，即在不等式的两边同乘(除以)一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．
【做一做1】已知a＞b，则下列各式中正确的个数是( )．
①ac＜bc；②ac＞bc；③(a－b)c＞0.
A．0 B．1 C．2 D．3
【做一做2】已知a＞b，c＞d，e＞0，则a＋ce______b＋de(填“＞”或“＜”)．
【做一做3】已知a＞b＞0，c＜0，则________(填“＞”或“＜”)．
一、不等式的性质的应用误区
剖析：使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：
(1)a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d，已知的两个不等式必须是同向不等式；
(2)a＞b＞0，且c＞d＞0?ac＞bd，已知的两个不等式不仅要求同向，而且不等式的两边必须为正值；
(3)a＞b＞0?an＞bn(n∈N＋，n＞1)及a＞b＞0?＞(n∈N＋，n＞1)，成立的条件是已知不等式的两边为正值，并且n∈N＋，n＞1，否则结论就不成立．假设去掉b＞0这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝2，就会出现32＞(－4)2的错误结论；又若去掉了“n∈N＋，n＞1”这个条件，取a＝3，b＝2，n＝－1，又会出现3－1＞2－1，即＞的错误结论．
对于性质4的推论2和推论3，在n取正奇数时，可放宽条件，命题仍成立，即有：a＞b?an＞bn(n＝2k＋1，k∈N)，a＞b?＞(n＝2k＋1，k∈N)．
(1)性质中的a和b可以是实数，也可以是代数式．
(2)性质3是不等式移项法则的基础．
(3)性质3的推论2是同向不等式相加法则的依据．
(4)若a＞b且ab＞0，则＜.若a＞b，且ab＜0，则＞，即“同号取倒数，方向改变，异号取倒数，方向不变”．
(5)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d.
(6)若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞.
二、教材中的“？”
在解一元一次不等式3x－2≤5x＋1的过程中，应用了不等式的哪些性质？
剖析：
不等式的解
运用性质
3x－2≤5x＋1
－2x≤3
移项：性质3的推论1
2x≥－3
同乘－1：性质4
x≥－
同乘：性质4
题型一 判断真假
【例1】下列命题中，一定正确的是( )．
A．若a＞b，且＞，则a＞0，b＜0
B．若a＞b，b≠0，则＞1
C．若a＞b，且a＋c＞b＋d，则c＞d
D．若a＞b，且ac＞bd，则c＞d
反思：运用不等式的性质进行数的大小的判断时，要注意不等式性质成立的条件，不能弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质，解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
题型二 应用不等式的性质证明不等式
【例2】已知a，b为正实数，求证：＋≥＋.
分析：针对题目特点，可考虑两种方法：一种是直接进行作差比较，按步骤进行，变形这一步最为关键，不管用何种方法变形，一定要向有利于判定差的符号的方向进行，另一种是先平方，再根据两式特点变形比较大小．
反思：比较法是证明不等式中最基本、最重要的方法，其步骤为：作差(或n次方作差)——变形——确定符号——得出结论．其中，作差是依据，变形是手段，确定差的符号是目的，证题的思路体现了数学中的转化思想．这里，关键的步骤是对差式的变形．
题型三 不等式性质的实际应用
【例3】建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．
分析：可先设住宅的窗户面积、地板面积分别为a，b，根据题意知a＜b且≥10%，然后设同时增加的面积为m，得到a＋m＜b＋m，用比较法判断与的大小即可．
反思：一般地，设a，b为正实数，且a＜b，m＞0，则＞.利用这个不等式，可以解释很多现象，比如b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0且未达到饱和状态)，则糖水变甜了．再比如芭蕾舞演员跳芭蕾时总是踮起脚尖，这是为什么呢？这是因为踮起脚尖改变了演员下半身与整个身高的比值，使这个比值接近于黄金分割比0.618，从而带给观众更美的享受．
题型四 易错辨析
【例4】已知－＜β＜α＜，求2α－β的取值范围．
错解：∵－＜α＜，∴－π＜2α＜π.
又∵－＜β＜，∴－＜－β＜.
∴－＜2α－β＜.
错因分析：2α－β的取值范围可看做α＋(α－β)的取值范围，因为忽视了不等式自身的隐含条件β＜α?α－β＞0而导致扩大了取值范围．
1a≥b可以推出( )．
A．≥ B．ac2≥bc2
C．＞ D．(ac)2≥(bc)2
2若＜＜0，则下列结论不正确的是( )．
A．a2＜b2 B．ab＜b2
C．＋＞2 D．|a|－|b|＝|a－b|
3已知a＜0，－1＜b＜0，则下列不等式成立的是( )．
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
4已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac的值的符号为________．
5实数a，b，c，d满足三个条件：①d＞c，②a＋b＝c＋d，③a＋d＜b＋c，则将a，b，c，d按照从大到小的次序排列为________．
答案：
基础知识·梳理
(1)b＜a (2)a＞c (3)a＋c＞b＋c c－b b＋d
(4)ac＞bc ac＜bc ac＞bd
【做一做1】A
【做一做2】＞
【做一做3】＞
典型例题·领悟
【例1】A 对选项A，∵＞，∴＞0.
又a＞b，∴b－a＜0，∴ab＜0，∴a＞0，b＜0；
对选项B，当a＞0，b＜0时，有＜1，故B错；
对选项C，当a＝10，b＝2，c＝1，d＝3时，虽然10＋1＞2＋3，但1＜3，故C错；
对选项D，当a＝－1，b＝－2，c＝－1，d＝3时，
有(－1)×(－1)＞(－2)×3，但－1＜3，故D错．
【例2】证明：证法一：(＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝＋＝＝.
因为a，b为正实数，所以＋＞0，＞0，(－)2≥0.
于是有≥0.当且仅当a＝b时，等号成立．
所以＋≥＋，当且仅当a＝b时，等号成立．
证法二：因为(＋)2＝＋＋2，(＋)2＝a＋b＋2，所以(＋)2－(＋)2＝＋＋2－(a＋b＋2)＝＝，因为a，b为正实数，所以≥0，所以(＋)2≥(＋)2.又因为＋＞0，＋＞0，所以＋≥＋，当且仅当a＝b时，等号成立．
【例3】解：变好了．理由：设住宅的窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求可知a＜b且≥10%.
由于－＝＞0，
于是＞.又≥10%，
因此＞≥10%.
所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．
【例4】正解：∵－＜α＜，－＜β＜，
∴－＜－β＜.
∴－π＜α－β＜π.
又∵β＜α，∴α－β＞0，
∴0＜α－β＜π，
∴－＜2α－β＜π.
随堂练习·巩固
1．B ∵c2≥0，a≥b，∴ac2≥bc2.
2．D 可取特殊值，令a＝－1，b＝－2代入验证知选项D不正确．
3．D 本题可以根据不等式的性质来解，由于－1＜b＜0，所以0＜b2＜1.所以a＜ab2＜0，且ab＞0，易得答案D.本题也可以根据a，b的取值范围取特殊值，比如令a＝－1，b＝－，也容易得到正确答案．
4．正 ∵a＋b＋c＝0，
∴b＝－(a＋c)，
∴b2＝a2＋c2＋2ac.
∴b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2.
∵a＞c，∴(a－c)2＞0.
∴b2－4ac＞0，即b2－4ac的符号为正．
5．b＞d＞c＞a 由③可得，d－b＜c－a；由②可得，c－a＝b－d，于是有d－b＜b－d，a－c＜c－a，∴d＜b，a＜c.再由①d＞c可得：b＞d＞c＞a.
3.1.2 不等式的性质
课堂探究
一、不等式的性质的应用误区
剖析：使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：
(1)a＞b，c＞da＋c＞b＋d，已知的两个不等式必须是同向不等式；
(2)a＞b＞0，且c＞d＞0ac＞bd，已知的两个不等式不仅要求同向，而且不等式的两边必须为正值；
(3)a＞b＞0an＞bn(n∈N＋，n＞1)及a＞b＞0＞(n∈N＋，n＞1)，成立的条件是已知不等式的两边为正值，并且n∈N＋，n＞1，否则结论就不成立．假设去掉b＞0这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝2，就会出现32＞(－4)2的错误结论；又若去掉了“n∈N＋，n＞1”这个条件，取a＝3，b＝2，n＝－1，又会出现3－1＞2－1，即＞的错误结论．
对于性质4的推论2和推论3，在n取正奇数时，可放宽条件，命题仍成立，即有：a＞ban＞bn(n＝2k＋1，k∈N)，a＞b＞(n＝2k＋1，k∈N)．
名师点拨：(1)性质中的a和b可以是实数，也可以是代数式．
(2)对于性质2，要正确处理带等号的情况，由a>b，b≥c或a≥b，b>c均可推出a>c；而a≥b，b≥c可推出a≥c．
(3)性质3是不等式移项法则的基础．
(4)性质3的推论2是同向不等式相加法则的依据．
(5)若a＞b且ab＞0，则＜．若a＞b，且ab＜0，则＞，即“同号取倒数，方向改变，异号取倒数，方向不变”．
(6)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d．
(7)若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞．
二、教材中的“？”
在解一元一次不等式3x－2≤5x＋1的过程中，应用了不等式的哪些性质？
剖析：
不等式的解
运用性质
3x－2≤5x＋1
－2x≤3
移项：性质3的推论1
2x≥－3
同乘－1：性质4
x≥－
同乘：性质4
题型一 判断真假
【例1】 下列命题中，一定正确的是( )
A．若a＞b，且＞，则a＞0，b＜0 B．若a＞b，b≠0，则＞1
C．若a＞b，且a＋c＞b＋d，则c＞d D．若a＞b，且ac＞bd，则c＞d
解析：对选项A，∵＞，∴＞0．
又a＞b，∴b－a＜0，∴ab＜0，∴a＞0，b＜0．
对选项B，当a＞0，b＜0时，有＜1，故B错．
对选项C，当a＝10，b＝2，c＝1，d＝3时，虽然10＋1＞2＋3，但1＜3，故C错．
对选项D，当a＝－1，b＝－2，c＝－1，d＝3时，
有(－1)×(－1)＞(－2)×3，但－1＜3，故D错．
答案：A
反思：运用不等式的性质进行数的大小的判断时，要注意不等式性质成立的条件，不能弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质，解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
题型二 应用不等式的性质证明不等式
【例2】 已知a>b>0，c求证： <．
分析：本题是考查不等式性质的应用，首先要看证明不等式需要用到哪几条性质，其次要注意性质成立的条件是否具备．
解：∵c∴－c>－d>0．
∴0<－<－．
a>b>0，∴－>－>0．
∴>，
即－>－，
两边同乘以－1，得<．
反思：(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
【互动探究】 若把条件“cd>0”，结论改为“>”，其他条件不变，应该怎样证明？
证明：∵a>b>0，∴0<<，即>>0．
又c>d>0，∴>>0，
∴>．
题型三 不等式性质的实际应用
【例3】 建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．
分析：可先设住宅的窗户面积、地板面积分别为a，b，根据题意知a＜b且≥10%，然后设同时增加的面积为m，得到a＋m＜b＋m，用比较法判断与的大小即可．
解：变好了．理由：设住宅的窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求可知a＜b且≥10%．
由于－＝＞0，
于是＞．又≥10%，
因此＞≥10%．
所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．
反思：一般地，设a，b为正实数，且a＜b，m＞0，则＞．利用这个不等式，可以解释很多现象，比如b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0且未达到饱和状态)，则糖水变甜了．再比如芭蕾舞演员跳芭蕾时总是踮起脚尖，这是为什么呢？这是因为踮起脚尖改变了演员下半身与整个身高的比值，使这个比值接近于黄金分割比0.618，从而带给观众更美的享受．
题型四 易错辨析
【例4】 已知－＜β＜α＜，求2α－β的取值范围．
错解：∵－＜α＜，∴－π＜2α＜π．
又∵－＜β＜，∴－＜－β＜．
∴－＜2α－β＜．
错因分析：2α－β的取值范围可看做α＋(α－β)的取值范围，因为忽视了不等式自身的隐含条件β＜α?α－β＞0而导致扩大了取值范围．
正解：∵－＜α＜，－＜β＜，
∴－＜－β＜．
∴－π＜α－β＜π．
又∵β＜α，∴α－β＞0，
∴0＜α－β＜π，
∴－＜2α－β＜π．
3.1 不等关系与不等式
知识梳理
1.比较两实数大小的理论依据
a-b＞0a＞b;a-b=0a=b;a-b＜0a＜b.
2.不等式的性质
(1)对称性:a＞bb＜a.
(2)传递性:a＞b,b＞ca＞c.
(3)加法法则:a＞ba+c＞b+c.
推论1:a+b＞ca＞c-b;
推论2:a＞b,c＞da+c＞b+d.
(4)乘法法则:a＞b,c＞0ac＞bc;a＞b,c＜0ac＜bc.
推论1:a＞b＞0,c＞d＞0ac＞bd;
推论2:a＞b,ab＞0;
推论3:a＞b＞0an＞bn(n∈N+,n＞1).
(5)开方法则:a＞b＞0(n∈N+,n＞1).
知识导学
两个实数比较大小和他们的差之间的关系是不等式性质的基础,也是两个实数比较大小的根据.不等式的性质是本章的理论基础,要求准确理解,否则会成为百错之源.通过对性质的证明,认真体会逻辑推理的严谨性.要善于用简洁精确的数学符号语言表达和推证数学结论,理清知识之间的逻辑因果关系.
疑难突破
1.作差法和作商法的适用范围.
剖析:作差法和作商法是比较实数大小或证明不等式的重要方法.
一般的实数大小的比较都可以采用作差法,但是要考虑作差后与0的比较,通常要进行因式分解、配方或者其他变形操作,所以,作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系.
作商法主要使用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子,具有一定的局限性,作商后要与1进行比较,所以,作商后必须易于变成能与1比较大小的式子,此种方法主要使用于那些含有幂指数的数或式子大小的比较.例如,比较aabb与大小就可以使用作商法.
在解决这些问题的时候,要根据题目的具体结构特点,选择其中一种合适的方法.如是和差的形式一般用作差法,乘除的形式一般用作商法.
2.证明或比较实数大小的方法及注意事项.
剖析:证明一个不等式和比较实数的大小一样,根据题目的特点可以有不同的证明方法.
实数比较大小,可采用作差或者作商法说明不等式两边的数或者式子的大小,从而得出结论.这里需要注意的是,使用作商法之前必须判断要证式子两边为正,才能进行下去.
在证明不等式时还可以利用已经证明的结论,或者利用不等式的性质对不等式进行变形,使不等式变成简单易于比较大小的形式,再比较大小得出结论.需要注意的是,有些结论的递推是双向的,而有些是单向的,例如,不等式性质中的对称性就是双向的,而传递性就是单向的.在不等式两边同乘一个数或式子的时候,必须先判断要乘的数或式子的符号,决定相乘后是否改变符号.
有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反证法进行证明,它可以把难以从正面说明的问题转化为其反面进行说明.
要注意不等式与函数的结合,函数的图象和性质是解决不等式问题的重要工具,尤其是函数的单调性.如:a＞ba3＞b3,可根据幂函数y=x3在R上是单调递增得到.
3.2 均值不等式
知识梳理
1.几个重要不等式
（1）a2+b2≥2ab(a,b∈R);
（2）≥(a,b＞0);
（3）+≥2(ab＞0);
（4）ab≤()2(a,b∈R).
2.利用算术平均数与几何平均数之间的关系求最大值、最小值
（1）若a,b＞0，且a+b=P（P为常数），则ab存在最大值为.若a,b＞0，且ab=S（S为常数），则a+b存在最小值为.
（2）应用均值不等式求最值应满足的条件是一正、二定、三相等.
知识导学
本节的主要问题是均值不等式的应用，要理解并且牢记公式及其变形.它的应用范围是非常广泛的，如：求最值、证明不等式、解决实际问题、比较大小、求取值范围等.其中应用最重要的是积大和小定理：两个正数当和是定值时积有最大值，当积是定值时和有最小值.应用该定理要注意三个限制条件——一正、二定、三相等.当等号成立的条件不成立时，要从函数的性质（单调性）入手思考.
疑难突破
1.利用均值不等式求最值时应满足什么条件?
剖析：利用均值不等式求最值必须满足三个条件才可以进行,即“一正、二定、三相等”.
“一正”,所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案.例如,很容易根据均值不等式得出y=x+≥2的错误结论.
“二定”,含变量的各项的和或者积必须是常数，例如要求a+b的最小值，ab必须是定值.求ab的最大值,a+b必须是定值.
“三相等”,具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大值或者最小值.例如，y= +，满足“正”和“定值”的条件，但要取等号必须=，即x2+2=1，这是不可能的，所以其最小值不是2.在利用均值不等式求最值时,必须同时考虑以上三个条件,如果其中一个不成立就可能得出错误的答案.
2.利用均值不等式求函数最值时,凑定值有哪些技巧?
剖析：利用均值不等式求最值常常需要对函数进行适当的变形.在变形过程中常要用到某些特定的技巧，主要有下面几点:
(1)将所得出的恒为正的函数式平方，然后再使用均值不等式求解.有时候直接带有根号的定值不容易看出来,可以先平方再找最值,得出结果开方即可.但是要注意平方前后的正负问题;
(2)有些和（积）不为常数的函数求最值时，可通过引入参数，再使用均值不等式求解.主要是一些比较复杂的式子,使用一个参数作一个整体代换可以使整个式子更加简洁,也更容易得出定值;
(3)有些函数在求最值时，需要几次使用均值不等式进行放缩才能达到目的.放缩时要保证几个等号能同时成立;
(4)有时候使用均值不等式的变形,要根据题目的特点，选用合适的公式.例如ab≤()2、≥()2等.
3.2 均值不等式
1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．
2．会用均值不等式解决简单的问题．
3．掌握运用均值不等式≥求最值的常用方法及需注意的问题．
1．重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋b2____2ab，当且仅当______时，等号成立．
(1)重要不等式成立的条件是a，b∈R.它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；
(2)等号成立的条件是当且仅当a＝b，即当a＝b时，等号成立；反之，等号成立时有a＝b.
【做一做1】不等式a＋1≥2(a＞0)中等号成立的条件是( )．
A．a＝2 B．a＝1
C．a＝ D．a＝0
2．(1)均值不等式：如果a，b∈R＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式．
(2)对任意两个正实数a，b，数叫做a，b的______，数叫做a，b的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．
公式变形：(1)a＋b≥2，ab≤()2(a，b∈R＋)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)a＋≥2(a∈R＋)，当且仅当a＝1时，等号成立．
(3)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时，等号成立．
【做一做2－1】若x＞0，则x＋的最小值为________．
【做一做2－2】已知0＜x＜，则函数y＝x(1－3x)的最大值是__________．
3．已知x，y都为正数，则
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当______时，积xy取得最大值________．
(2)若xy＝P(积为定值)，则当______时，和x＋y取得最小值________．
(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．
(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用．
【做一做3】已知x，y都是正数，
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
一、使用均值不等式求最值的注意事项
剖析：(1)a，b都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x＜0时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的最小值是2.由于f(－2)＝－2＋＝－＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x＜0时，不能直接用均值不等式求f(x)＝x＋的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－x＋≥2＝2，此时有f(x)≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．
(2)ab与a＋b有一个是定值，即当ab是定值时，可以求a＋b的最值；当a＋b是定值时，可以求ab的最值．如果ab和a＋b都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x＞1时，函数f(x)＝x＋≥2，所以函数f(x)的最小值是2.由于2是一个与x有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab与a＋b有一个是定值．其实，当x＞1时，有x－1＞0，则函数f(x)＝x＋＝[(x－1)＋]＋1≥2＋1＝3.因此，当ab与a＋b没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．
(3)等号能够成立，即存在正数a，b使均值不等式两边相等，也就是存在正数a，b使得＝.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x≥2时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的最小值是2.很明显x＋中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x＝，即x＝1，而函数的定义域是x≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x≥2时，函数f(x)＝x＋是增函数，函数f(x)的最小值是f(2)＝2＋＝.
因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．
二、教材中的“思考与讨论”
均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的关系如何？请对此进行讨论．
剖析：(1)在a2＋b2≥2ab中，a，b∈R；在a＋b≥2中，a，b∈R＋.
(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)．
(3)证明的方法都是作差比较法．
(4)都可以用来求最值．
题型一 利用均值不等式比较大小
【例1】已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，试比较a2＋b2＋c2，ab＋bc＋ca，的大小．
分析：变形利用不等式找出a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小，结合条件a＋b＋c＝1再找两代数式与的关系，从而确定它们的大小．
反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．
题型二 利用均值不等式求最值
【例2】已知x，y∈(0，＋∞)，且2x＋y＝1，求＋的最小值．
分析：→→→
反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．
题型三 利用均值不等式证明不等式
【例3】已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
分析：注意到a＋b＋c＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．
反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．
题型四 利用均值不等式解恒成立问题
【例4】已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值．
分析：
反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．
题型五 易错辨析
【例5】已知0＜x＜1，求f(x)＝2＋log5x＋的最值．
错解：f(x)＝2＋log5x＋≥2＋2＝2＋2，∴f(x)的最小值为2＋2.
错因分析：a＋b≥2的前提条件是a，b∈R＋，∵0＜x＜1，∴log5x＜0.∴＜0.∴不能直接使用均值不等式．
【例6】求f(x)＝＋1的最小值．
错解：因为f(x)＝＋1＝＋1＝＋＋1≥2＋1＝3，所以f(x)＝＋1的最小值为3.
错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程＝无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．
1对于任意实数a，b，下列不等式一定成立的是( )．
A．a＋b≥2 B．≥
C．a2＋b2≥2ab D．＋≥2
2已知a，b∈R，且a2＋b2＝4，那么ab( )．
A．有最大值2，有最小值－2
B．有最大值2，但无最小值
C．有最小值2，但无最大值
D．有最大值2，有最小值0
3设x，y为正数，则(x＋y)(＋)的最小值为( )．
A．6 B．9 C．12 D．15
4若x＞3，那么当x＝________时，y＝x＋取最小值________．
5已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
答案：
基础知识·梳理
1．≥ a＝b
【做一做1】B
2．(1)≥ a＝b (2)算术平均值 几何平均值 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值
【做一做2－1】2 x＞0?x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝时，等号成立．
【做一做2－2】 ∵0＜x＜，∴1－3x＞0.
∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤[]2＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴x＝时，函数取得最大值.
3．(1)x＝y S2 (2)x＝y 2
【做一做3】(1)2 (2) (1)当xy＝15时，x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝时，等号成立．所以x＋y的最小值为2；
(2)当x＋y＝15时，≤＝，所以xy≤，当且仅当x＝y＝时，等号成立．所以xy的最大值为.
典型例题·领悟
【例1】解：∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc.①
∴a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc.②
①式两边分别加上a2＋b2＋c2，得
3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，
∴a2＋b2＋c2≥.
由②式，得3(ab＋bc＋ca)≤a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2＝1，
∴ab＋bc＋ca≤.
综上，知a2＋b2＋c2≥≥ab＋bc＋ca.
【例2】解：＋＝(＋)(2x＋y)＝2＋＋＋1＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，即?时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
【例3】证明：∵a＋b＋c＝1，
∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)．
又∵a，b，c都是正实数，
∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.
∴≥abc.
∴(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
【例4】解：∵(x＋y)(＋)＝1＋a＋＋，
又x＞0，y＞0，a＞0，
∴＋≥2＝2，
∴1＋a＋＋≥1＋a＋2，
∴要使(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需1＋a＋2≥9恒成立即可．
∴(＋1)2≥9，即＋1≥3，∴a≥4，
∴正实数a的最小值为4.
【例5】正解：∵0＜x＜1，∴log5x＜0.
∴(－log5x)＋(－)≥2＝2.
∴log5x＋≤－2.
∴f(x)≤2－2.
当且仅当log5x＝，
即x＝5－时，等号成立，此时f(x)有最大值2－2.
【例6】正解：f(x)＝＋1＝＋1＝＋＋1.
令t＝(t≥)，
则原函数变为f(x)＝t＋＋1，在区间[，＋∞)上是增函数．
所以当t＝时，f(x)＝t＋＋1取得最小值＋1.
所以当t＝，即x＝0时，f(x)＝＋1取得最小值＋1.
随堂练习·巩固
1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a，b不能保证是正值，则选项A，B，D都不一定成立，只有选项C对任意实数恒成立．
2．A 这里没有限制a，b的正负，则由a2＋b2＝4，a2＋b2≥2|ab|，得|ab|≤2，所以－2≤ab≤2，可知ab的最大值为2，最小值为－2.
3．B 因为x，y为正数，所以(x＋y)(＋)＝1＋4＋＋≥9，当且仅当y＝2x时，等号成立，故选B.
4．4 5 y＝x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当x－3＝，即x＝4时，y取最小值5.
5． 因为x，y∈R＋，且x＋4y＝1，
所以xy＝x·4y≤()2＝，
当且仅当x＝4y＝，即x＝，y＝时，等号成立．
所以xy的最大值为.
3.2 均值不等式
课堂探究
一、使用均值不等式求最值的注意事项
剖析：(1)a，b都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x<0时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的最小值是2．由于f(－2)＝－2＋＝－＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x<0时，不能直接用均值不等式求f(x)＝x＋的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＋≥2＝2，此时有f(x)≤－2．因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．
(2)ab与a＋b有一个是定值，即当ab是定值时，可以求a＋b的最值；当a＋b是定值时，可以求ab的最值．如果ab和a＋b都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x>1时，函数f(x)＝x＋≥2，所以函数f(x)的最小值是2．由于2是一个与x有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab与a＋b有一个是定值．其实，当x>1时，有x－1>0，则函数f(x)＝x＋＝＋1≥2＋1＝3．因此，当ab与a＋b没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．
(3)等号能够成立，即存在正数a，b使均值不等式两边相等，也就是存在正数a，b使得＝．如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x≥2时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的最小值是2．很明显x＋中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x＝，即x＝1，而函数的定义域是x≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x≥2时，函数f(x)＝x＋是增函数，函数f(x)的最小值是f(2)＝2＋＝．
因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．
二、教材中的“思考与讨论”
均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的关系如何？请对此进行讨论．
剖析：(1)在a2＋b2≥2ab中，a，b∈R；在a＋b≥2中，a，b＞0．
(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)．
(3)证明的方法都是作差比较法．
(4)都可以用来求最值．
题型一 利用均值不等式求最值
【例1】 (1)已知x，y∈(0，＋∞)，且2x＋y＝1，求＋的最小值；
(2)已知x<2，求函数f(x)＝x＋的最大值．
分析：(1)利用“1”的代换，即将＋等价转化为×1或＋即可；(2)将x＋等价转化为－＋2即可．
解：(1)＋＝(2x＋y)＝2＋＋＋1＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，即?时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2．
(2)∵x<2，∴2－x>0，
∴f(x)＝x＋＝－＋2
≤－2＋2＝－2，
当且仅当2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去)，即x＝0时，等号成立．
∴x＋取得最大值－2．
反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．
题型二 利用均值不等式比较大小
【例2】 若a≥b≥0，试比较a，，，，，b的大小．
分析：这是一个有趣的不等式链，取特殊值可判断其大小关系．借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法．
解：∵a≥b≥0，∴≤＝a．
∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
∴≥2．
又a>0，b>0，则≥＝．
∵≥，∴≥．
∵－b＝≥0，∴≥b．
∴a≥≥≥≥≥b．
反思：均值不等式a＋b≥2(a，b∈R＋)是综合证明不等式和利用重要不等式求最值的工具，要注意不等式成立的条件，它与两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数是等价命题．有趣的不等式链≥≥≥(a，b∈R＋)，揭示了两正数倒数和、积、和平方、平方和之间的不等关系，当某一部分为定值时，其余三部分都能取到最值，且都在两数相等时取等号，利用这个不等式链往往使复杂问题简单化，要在理解的基础上记忆和应用．
题型三 利用均值不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．
分析：注意到a＋b＋c＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．
证明：∵a＋b＋c＝1，∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)．
又∵a，b，c都是正实数，
∴≥>0，≥>0，≥>0．
∴≥abc．
∴(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．
题型四 利用均值不等式解恒成立问题
【例4】 已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值．
分析：→→
解：∵(x＋y)＝1＋a＋＋，又x＞0，y＞0，a＞0，∴＋≥2＝2，
∴1＋a＋＋≥1＋a＋2，
∴要使(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需1＋a＋2≥9恒成立即可．
∴(＋1)2≥9，即＋1≥3，∴a≥4，∴正实数a的最小值为4．
反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．
题型五 易错辨析
【例5】 已知0＜x＜1，求f(x)＝2＋log5x＋的最值．
错解：f(x)＝2＋log5x＋≥2＋2＝2＋2，∴f(x)的最小值为2＋2．
错因分析：a＋b≥2的前提条件是a，b＞0，∵0＜x＜1，∴log5x＜0．∴＜0．∴不能直接使用均值不等式．
正解：∵0＜x＜1，∴log5x＜0．∴(－log5x)＋≥2＝2．
∴log5x＋≤－2．
∴f(x)≤2－2．
当且仅当log5x＝，即x＝5－时，等号成立，此时f(x)有最大值2－2．
【例6】 求f(x)＝＋1的最小值．
错解：因为f(x)＝＋1＝＋1＝＋＋1≥2＋1＝3，所以f(x)＝＋1的最小值为3．
错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程＝无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．
正解：f(x)＝＋1＝＋1＝＋＋1．
令t＝(t≥)，
则原函数变为f(x)＝t＋＋1，在区间[，＋∞)上是增函数．
所以当t＝时，f(x)＝t＋＋1取得最小值＋1．
所以当t＝，即x＝0时，f(x)＝＋1取得最小值＋1．
3.3 一元二次不等式及其解法
知识梳理
1.一元一次不等式ax＞b的解集
(1)若a＞0,解集为｛x｜x＞｝;
（2）若a＜0,解集为｛x｜x＜｝;
(3)若a=0,b＞0时，解集为，a=0,b＜0时，解集为R.
2.一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a≠0)的解集，其中Δ=b2-4ac，x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，且x1＞x2.
（1）当a＞0时，若Δ＞0,解集为｛x｜x＞x1或x＜x2｝;
若Δ=0,解集为｛x｜x≠x1,x∈R｝;
若Δ＜0,解集为R.
(2)当a＜0时，若Δ＞0,解集为｛x｜x2＜x＜x1｝;若Δ=0,解集为;若Δ＜0,解集为.
3.一元二次不等式ax2+bx+c＞0恒成立的充要条件是a＞0,Δ＜0.一元二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立的充要条件是a＜0,Δ＜0.
知识导学
一元二次不等式的解集与二次函数的图象、一元二次方程的根密切相联系，解一元二次不等式要从函数、方程、不等式的综合角度来认识，利用数形结合的方法，画出二次函数的图象，写出不等式的解集.含有参数的不等式要注意分类讨论.分式不等式、高次不等式要注意同解变形，向一次、二次不等式转化.
疑难突破
1.怎样解决含参数的一元二次不等式恒成立问题.
剖析：含参数的不等式恒成立问题中,求参数的取值范围的实质是已知不等式的解集求参数的取值范围.一般遇到这类问题时，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍解决这类问题的策略和方法：
（1）分离变量法
如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数值域的方法将问题化归为解关于参数不等式的问题.
一般地分离变量后有下列几种情形：
①f（x）≥g（k）［f（x）］min≥g（k）;
②f（x）＞g（k）［f（x）］min＞g(k);
③f（x）≤g（k）［f（x）］max≤g（k）;
④f（x）＜g（k）［f（x）］max＜g（k）.
（2）数形结合
对于含参数的不等式恒成立问题，当不等式两边的函数图象形状明显时，可以作出它们的图象，利用图象运动变化的特点进行转化，化归为某一极端情形如端点、相切等，从而得到关于参数k的不等式.
（3）分类讨论法
当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件.
（4）利用判别式
可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，利用判别式来求解.
以上介绍了不等式恒成立求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种方式或两种以上的方法，应灵活处理.
2.怎样解已知含有参数的二次不等式或者方程的解,求另一与此有关的方程或者不等式问题.
剖析：在解决与已知变量相关的二次不等式(或方程)问题时可以从以下几个方面考虑:
（1）利用二次方程根与系数的关系(韦达定理):它在解决二次方程相关系数问题时可以起到桥梁的作用,可以沟通已知和待求问题之间的联系.所以,在利用代数方法求解此类问题时首先可以考虑此法.
（2）利用二次函数的图象(数形结合):有些方程或不等式问题用纯代数式运算比较麻烦或者计算量较大,可以考虑该问题与二次函数的关系,根据条件设出对应的二次函数,画出二次函数的图形,由图形(主要是二次函数与x轴的交点)情况判断待求问题的解,也可以根据图形直接解不等式(尤其是含有参数或者绝对值的不等式).
（3）分解因式法:有些虽然不是二次方程或者不等式,或变量的系数含有字母,但是却能进行因式分解,这样可以先考虑因式分解,把已知或者待求式子先进行因式分解找出作为方程的解,再对解的情况进行讨论即可.
3.3 一元二次不等式及其解法
1．理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系，能借助二次函数的图象解一元二次不等式．
2．能利用一元二次不等式解决相关的实际问题，并会设计求解一元二次不等式的程序框图．
3．了解简单的分式不等式、含参数的不等式和简单高次不等式的解法．
1．一元二次不等式的概念
形如____________或____________(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．用文字表述为：一般地，含有______未知数且未知数的________为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．
【做一做1】已知不等式：①x2＞0；②－x2－2x≤15；③x3－5x＋6＞0；④x2－y＜0.其中一元二次不等式的个数为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系如下表所示：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝f(x)的图象
f(x)＝0的根
有两个不等的实根x1，x2，且x1＜x2
有两个相等的实根x1，x2，且x1＝x2
没有实数根
f(x)＞0的解集
____________
__________
______
f(x)＜0的解集
________
____
____
对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，常用口诀是：大于取两边，小于取中间．即：你只要记住一个前提：a＞0和四句话：根上等于零，根间小于零，根外大于零，无根大于零．
对于二次项系数是负数(即a＜0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．我们把二次项系数为正的一元二次不等式称之为标准一元二次不等式．
【做一做2－1】不等式x2－2x＋1＞0的解集是( )．
A．R B．{x|x∈R，且x≠1}
C．{x|x＞1} D．{x|x＜1}
【做一做2－2】不等式－6x2－x＋2≤0的解集是__________．
3．用程序框图描述求解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的算法过程：
【做一做3】函数y＝f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＞0的解集是________．
一、借助函数图象解不等式的原理分析
剖析：我们知道以自变量的取值为横坐标，对应的函数值作为纵坐标在平面直角坐标系中描出所有的点，这些点就构成了函数的图象．因此函数图象上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值，纵坐标是对应的函数值．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象上的点的坐标的意义也是一样．由于位于x轴上方的点的纵坐标大于0，位于x轴上的点的纵坐标等于0，位于x轴下方的点的纵坐标小于0，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象上位于x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c＞0的解集，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c＜0的解集．所以可以用二次函数的图象解一元二次不等式．当然，对于任意函数y＝f(x)，只要能画出它的图象，那么就可以解不等式f(x)＞0或f(x)＜0.
(1)如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是R，则有如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是R，则有
(2)如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是?，则有如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是?，则有
二、简单的一元高次不等式的解法
剖析：解法有两种：(1)等价转化，把高次不等式转化为低次不等式组．
(2)穿根法：先化成最高次项系数为正的形式，再把高次不等式中的多项式分解为多个一次或二次因式的积的形式，求出对应方程的根，依次在数轴上把根标出，然后用一条曲线从最大的根的右上方穿起，穿过所有根，曲线与数轴围成的上方区域为“＞”型不等式的解集，下方区域为“＜”型不等式的解集．当有重根时，偶次重根“穿而不过”，奇次重根按一次根对待．
三、分式不等式的解法
剖析：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于未知数的多项式的不等式称为分式不等式，解法有两种：
(1)穿根法，其解题过程为：
先化成标准式(右端为0，左端的分子、分母均为一次因式或二次不可约因式的积)，要求各一次因式中的x的系数及二次因式中的x2的系数必须为正数．以下过程同一元高次不等式的解法．
(2)等价转化法，如下表所示.
分式不等式
同解变形1
同解变形2
＞0
＞0?
或
＞0?
f(x)g(x)＞0
＜0
＜0?
或
＜0?
f(x)g(x)＜0
≥0
或
≥0?
≤0
或
≤0?
四、教材中的“？”
1．由(1)和(2)的解法，你能否解不等式
≥0，≤0?
剖析：(1)≥0相当于或即或得x＞3或x≤－2.
(2)≤0相当于或即或得－2≤x＜3.
2．不等式x2＋4x＋4≥0的解集是什么？x2＋4x＋4≤0的解集是什么？
剖析：x2＋4x＋4≥0相当于(x＋2)2≥0，∴不等式的解集为R.
x2＋4x＋4≤0相当于(x＋2)2≤0，∴不等式的解集为{x|x＝－2}．
题型一 一元二次不等式的概念
【例1】①x2＋x＋1＜0，②－x2－4x＋5≤0，③x＋y2＋1＞0，④mx2－5x＋1＞0，⑤－x3＋5x≥0，⑥(a2＋1)x2＋bx＋c＞0(m，a∈R)．其中关于x的不等式是一元二次不等式的是__________．(请把正确的序号都填上)
反思：当所给不等式的二次项系数含字母时，要注意二次项系数是否为零，这一点决定了这个不等式是否为一元二次不等式．
题型二 一元二次不等式的解法
【例2】解不等式：x2－2x－3＞0.
分析：可对不等式左边进行因式分解，再利用积的符号法则把它转化为不等式组求解；也可以利用二次函数图象求解．
反思：解法一的具体步骤是：(1)因式分解；(2)转化为不等式组；(3)写解集．解法二的具体步骤是：(1)构造函数；(2)画图象；(3)写解集．
【例3】解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)．
分析：这是一个含有参数的一元二次不等式，首先考虑因式分解，分解之后可知方程的根是a，a2，需要对两根进行大小比较，所以要进行讨论．
反思：熟练掌握一元一次和一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对含字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要注意不重、不漏．
题型三 已知一元二次不等式的解集求参数问题
【例4】若不等式px2＋qx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，求p＋q.
分析：本题需要通过不等式的解集来确定不等式的系数，它类似于在初中所碰到的由方程的根确定方程的系数．于是我们很自然地想到能否将不等式问题转化为方程问题．
反思：在本题中，已知不等式的解集，要求确定其系数，这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题．这类问题也可以用下面的方法来解：(1)先作出一个解集符合要求的不等式；(2)根据不等式同解的要求，确定其系数的数值．利用此法确定不等式系数时，必须注意：①将两不等式化为同向不等式；②同向二次不等式的二次项系数同号，否则就会产生错误．
题型四 分式不等式的解法
【例5】解下列不等式：
(1)≤0；(2)＞0；(3)＜0.
反思：在分式转化为整式的过程中注意分母不为零，对于“≥”“≤”型的分式不等式，转化后应变为不等式组．
1已知集合M＝{x||x|＜3}，N＝{x|x2－x－6＞0}，则M∩N为( )．
A．R
B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－3＜x＜－2或x＞3}
D．{x|－3＜x＜－2}
2函数y＝的定义域是( )．
A．{x|x＜－4或x＞3} B．{x|－4＜x＜3}
C．{x|x≤－4或x≥3} D．{x|－4≤x≤3}
3不等式2x2＋mx＋n＞0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是( )．
A．y＝2x2＋2x＋12 B．y＝2x2－2x＋12
C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12
4不等式x2－x－2＜0的解集是________．
5二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．
答案：
基础知识·梳理
1．ax2＋bx＋c＞0 ax2＋bx＋c＜0 一个 最高次数
【做一做1】B
2．{x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠－} R {x|x1＜x＜x2} ? ?
【做一做2－1】B
【做一做2－2】{x|x≤－或x≥} 原不等式等价于6x2＋x－2≥0，6x2＋x－2＝0的两根为x1＝－，x2＝，∴6x2＋x－2≥0的解集为{x|x≥或x≤－}．
3． (－∞，－)∪(－，＋∞)
(－∞，x1)∪(x2，＋∞) (－∞，＋∞)
【做一做3】?
典型例题·领悟
【例1】①②⑥ ①②是；③不是；④不一定是，因为当m＝0时，它是一元一次不等式；⑤不是，因为未知数的最高次数是3；⑥是，尽管x2的系数含有字母，但a2＋1≠0，所以⑥与④不同，故答案为①②⑥.
【例2】解：解法一：原不等式化为(x＋1)(x－3)＞0，即或
解得x＞3或x＜－1.
故原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞3}．
解法二：作函数y＝x2－2x－3的图象，如图所示，由图可知，y＝x2－2x－3的图象在x轴上方(即函数值大于零)的点的横坐标的取值范围是x＜－1或x＞3.故原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞3}．
【例3】解：将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)(x－a2)＞0.
当a＜0或a＞1时，有a＜a2，解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当0＜a＜1时，有a＞a2，解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝0时，解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，解集为{x|x≠1}．
【例4】解：∵不等式px2＋qx＋2＞0的解集为(－1,2)，
∴方程px2＋qx＋2＝0的两根是x1＝－1，x2＝2，且p＜0.
由韦达定理，可知??p＋q＝0.
【例5】解：(1)≤0??
?{x|x≥4或x＜－}．
(2)＞0?(2x－1)(3x＋1)＞0
?{x|x＞或x＜－}．
(3)＜0?ax(x＋1)＜0，
当a＞0时，ax(x＋1)＜0?x(x＋1)＜0?{x|－1＜x＜0}；
当a＝0时，原不等式的解集为?；
当a＜0时，ax(x＋1)＜0?x(x＋1)＞0?{x|x＞0或x＜－1}．
随堂练习·巩固
1．D
2．C 要使函数有意义，只需x2＋x－12≥0.
方程x2＋x－12＝0的解为x1＝－4，x2＝3.函数y＝x2＋x－12的开口向上且与x轴有两个交点(－4,0)，(3,0)．
∴原不等式的解集为{x|x≤－4或x≥3}．
3．D 依题意知x＝3和x＝－2是方程2x2＋mx＋n＝0的两个根，
所以
解得m＝－2，n＝－12.
故二次函数的表达式为y＝2x2－2x－12.
4．{x|－1＜x＜2} 原不等式可以变化为(x＋1)(x－2)＜0，可知方程x2－x－2＝0的解为－1和2，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜2}．
5．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 根据所给数表中函数的单调性可以看出a＞0，且方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为－2和3.
3.3 一元二次不等式及其解法
课堂探究
一、借助函数图象解不等式的原理分析
剖析：我们知道以自变量的取值为横坐标，对应的函数值作为纵坐标在平面直角坐标系中描出所有的点，这些点就构成了函数的图象．因此函数图象上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值，纵坐标是对应的函数值．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象上的点的坐标的意义也是一样．由于位于x轴上方的点的纵坐标大于0，位于x轴上的点的纵坐标等于0，位于x轴下方的点的纵坐标小于0，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象上位于x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c>0的解集，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c<0的解集．所以可以用二次函数的图象解一元二次不等式．当然，对于任意函数y＝f(x)，只要能画出它的图象，那么就可以解不等式f(x)>0或f(x)<0．
知识拓展：(1)如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是R，则有如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是R，则有
(2)如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，则有如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是，则有
二、简单的一元高次不等式的解法
剖析：解法有两种：(1)等价转化，把高次不等式转化为低次不等式组．
(2)穿根法：先化成最高次项系数为正的形式，再把高次不等式中的多项式分解为多个一次或二次因式的积的形式，求出对应方程的根，依次在数轴上把根标出，然后用一条曲线从最大的根的右上方穿起，穿过所有根，曲线与数轴围成的上方区域为“>”型不等式的解集，下方区域为“<”型不等式的解集．当有重根时，偶次重根“穿而不过”，奇次重根按一次根对待．
三、分式不等式的解法
剖析：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于未知数的多项式的不等式称为分式不等式，解法有两种：
(1)穿根法，其解题过程为：
先化成标准式(右端为0，左端的分子、分母均为一次因式或二次不可约因式的积)，要求各一次因式中的x的系数及二次因式中的x2的系数必须为正数．以下过程同一元高次不等式的解法．
(2)等价转化法，如下表所示．
分式不等式
同解变形1
同解变形2
>0
>0或
>0f(x)g(x)>0
<0
<0或
<0f(x)g(x)<0
≥0
或
≥0
≤0
或
≤0
四、教材中的“？”
1．由(1)和(2)的解法，你能否解不等式
≥0，≤0?
剖析：(1)≥0相当于或即或得x＞3或x≤－2．
(2)≤0相当于或即或得－2≤x＜3．
2．不等式x2＋4x＋4≥0的解集是什么？x2＋4x＋4≤0的解集是什么？
剖析：x2＋4x＋4≥0相当于(x＋2)2≥0，∴不等式的解集为R．
x2＋4x＋4≤0相当于(x＋2)2≤0，∴不等式的解集为{x|x＝－2}．
题型一 一元二次不等式的概念
【例1】 ①x2＋x＋1<0，②－x2－4x＋5≤0，③x＋y2＋1>0，④mx2－5x＋1>0，⑤－x3＋5x≥0，⑥(a2＋1)x2＋bx＋c>0(m，a∈R)．其中关于x的不等式是一元二次不等式的是__________．(请把正确的序号都填上)
解析：①②是；③不是；④不一定是，因为当m＝0时，它是一元一次不等式；⑤不是，因为未知数的最高次数是3；⑥是，尽管x2的系数含有字母，但a2＋1≠0，所以⑥与④不同，故答案为①②⑥．
答案：①②⑥
反思：当所给不等式的二次项系数含字母时，要注意二次项系数是否为零，这一点决定了这个不等式是否为一元二次不等式．
题型二 一元二次不等式的解法
【例2】 (2013广东高考，理9)不等式x2＋x－2<0的解集为__________．
解析：x2＋x－2<0即(x＋2)(x－1)<0，
解得－2答案：{x|－2【例3】 解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)．
分析：这是一个含有参数的一元二次不等式，首先考虑因式分解，分解之后可知方程的根是a，a2，需要对两根进行大小比较，所以要进行讨论．
解：将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)·(x－a2)＞0．
当a＜0或a>1时，有a＜a2，解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当0＜a＜1时，有a＞a2，解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝0时，解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，解集为{x|x≠1}．
反思：熟练掌握一元一次和一元二次不等式的解集形式是解不等式的基础，对含字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要注意不重、不漏．
题型三 已知一元二次不等式的解集求参数问题
【例4】 若不等式px2＋qx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，求p＋q．
分析：本题需要通过不等式的解集来确定不等式的系数，它类似于在初中所碰到的由方程的根确定方程的系数．于是我们很自然地想到能否将不等式问题转化为方程问题．
解：∵不等式px2＋qx＋2＞0的解集为(－1，2)，
∴方程px2＋qx＋2＝0的两根是x1＝－1，x2＝2，且p<0．
由韦达定理，可知p＋q＝0．
反思：在本题中，已知不等式的解集，要求确定其系数，这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题．这类问题也可以用下面的方法来解：(1)先作出一个解集符合要求的不等式；(2)根据不等式同解的要求，确定其系数的数值．利用此法确定不等式系数时，必须注意：①将两不等式化为同向不等式；②同向二次不等式的二次项系数同号，否则就会产生错误．
【互动探究】 已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两个实根都大于2，求实数m的取值范围．
解：设方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根为x1，x2．
由题意知即
解得
所以－题型四 分式不等式的解法
【例5】 解下列不等式：
(1)≤0；(2)>0；(3)<0．
解：(1)≤0．
(2)>0 (2x－1)(3x＋1)>0．
(3)<0ax(x＋1)<0，
当a>0时，ax(x＋1)<0x(x＋1)<0{x|－1当a＝0时，原不等式的解集为?；
当a<0时，ax(x＋1)<0x(x＋1)>0{x|x>0或x<－1}．
反思：在分式转化为整式的过程中注意分母不为零，对于“≥”“≤”型的分式不等式，转化后应变为不等式组．
3.4 不等式的实际应用
知识梳理
数学应用性问题,就是指用数学的方法将一个表面上非数学问题或者非完全的数学问题转化成完全形式化的数学问题.利用不等式解实际应用问题一般分以下几个步骤:
1.阅读理解材料:应用题所用语言多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，而且不少应用题文字叙述篇幅较长，阅读理解要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向.
2.建立数学模型:根据前面的分析,把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所求和已知的对应关系，以便确立下一步的努力方向.
3.讨论不等关系:根据以上建立的数学模型和题目要求,应用与不等式有关的知识，讨论与结论有关的不等关系,得到有关理论参数的值.
4.作出问题结论:根据以上步骤得到的理论参数值,结合题目要求作出问题的结论.
知识导学
本节课的主要内容是利用所学的不等式的有关知识解决实际问题，关键在于正确理解题意，寻找相等与不等关系，把实际问题转化成数学模型，因此必须具备较强的阅读理解能力.不等式应用题要注意与函数等有关内容的结合.
疑难突破
1.应用题大多用文字、图表等进行叙述，要解决题设问题首先要理解题中所叙述内容的含义，也就是说，阅读题意就是最关键的一个环节.那么,使用什么样的步骤进行阅读可以加深对题意的理解?
剖析：数学问题就是数学语言的理解问题,数学语言具有简洁、准确的特点,但同时也具有丰富的内涵,而数学应用题多使用汉语语言进行叙述.要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手:
（1）略读识大意.应用题实际上是一篇说明文,一般文字比较多,信息量比较大.这就需要快速浏览一遍,理解题目的大意:题目叙述的是什么事,是什么问题(比如不等式问题,是求最值还是要解不等式得出结论等),条件是什么，求解的是什么.涉及哪些基本概念.可以一边阅读一边写下主要内容.或者列表显示主要条件和要求的结论.
（2）细读抓关键.题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在,将其辨析出来,是实现综合认知的出发点.因此,在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读,弄清具体含义及各量之间的关系.
（3）精读巧转换.领会题意的关键是“内部转化”，即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之，要有灵活的转化思维.
2.与不等式有关的应用题中,求最值是最常见的一种,那么求最值问题都有哪些类型和方法?
剖析：许多应用题都可以转化为求最值问题,有的可以直接采用均值不等式进行求解,但是有些问题由于条件的限制使某些式子不满足等号成立的条件,但是其最值又确实存在,这时,通常考虑函数y=ax+ (a＞0,b＞0)的单调性,利用函数单调性的定义很容易证明该函数在区间（0, ］上单调递减,在区间［,+∞）上单调递增.特殊地,有函数y=x+在区间（0,1］上单调递减,在区间［1,+∞）上单调递增.
利用上述函数的性质也可以求解某些函数的最值,尤其是那些看似均值不等式求最值而等号却不能取到的情况.
还有些问题可以根据条件转化为一元二次函数求最值,主要根据二次项的正负和对称轴的大小求最值:当二次项系数大于0时,在对称轴处取最小值;当二次项系数小于0时,在对称轴处取最小值.如果其中的变量有范围限制还要根据二次函数的单调性综合考虑求出最大或者最小值.事实上,一元二次函数在闭区间［a,b］上一定有最大值和最小值,主要考虑对称轴和区间端点a,b三处的函数值进行比较.也可以考虑两个端点a,b与对称轴的距离.
3.4 不等式的实际应用
1．能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题，能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题(如比较大小，确定范围，求最值等)．
2．了解如何建立数学模型，体会数学知识和客观实践之间的相互关系，培养良好的数学意识和情感态度．
1．例题中的结论
若b＞a＞0，m＞0，则____.
另外，若a＞b＞0，m＞0时，则有＜______成立．
【做一做】已知a，b是正数，试比较与的大小．
2．不等式解决实际问题的步骤
(1)________：用字母表示题中的未知数．
(2)__________：找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．
(3)______________：运用不等式知识求解不等式，同时要注意______________________________．
(4)答：规范地写出答案．
在解决实际应用问题时，首先要学会正确地梳理数据，从而为寻找数据之间的关系奠定良好的基础，进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构，构建数学模型，再利用不等式求解，即解实际应用题的思路为：
一、解应用题的流程
剖析：数学问题就是数学语言的理解问题，数学语言具有简洁、准确的特点，但同时也具有丰富的内涵，而数学应用题多使用自然语言进行叙述，所以，对文字的理解就显得非常重要，要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手：
(1)略读识大意．应用题实际上是一篇说明文，一般文字比较多，信息量比较大．这就需要快速浏览一遍，理解题目的大意：题目叙述的是什么事，是什么问题(比如不等式问题，是求最值还是要解不等式得出结论等)．条件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念，可以一边阅读一边写下主要内容，或者列表显示主要条件和要求的结论．
(2)细读抓关键．题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在，将其辨析出来是实现综合认知的出发点．因此，在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读，弄清具体含义及各量之间的关系．
(3)精读巧转换．领会题意的关键是“内部转化”，即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之，大脑要有灵活的转化思维．
二、常见的不等式实际应用类型
剖析：常见的不等式实际应用问题有以下几种：
(1)作差法解决实际问题
作差法的依据是a－b＞0?a＞b，其基本步骤是：
①理解题意，准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来．
②作差，分析差的符号．
③将作差后的结论转化为实际问题的结论．
(2)应用均值不等式解决实际问题
①均值不等式：a，b∈R＋，≥(当且仅当a＝b时，等号成立)．
当ab＝P(定值)，那么当a＝b时，a＋b有最小值2；
当a＋b＝S(定值)，那么当a＝b时，ab有最大值S2.
②注意利用均值不等式必须有前提条件：“一正、二定、三相等”．为了创造利用均值不等式的条件，常用技巧有配凑因子、拆项或平方．
(3)应用一元二次不等式解决实际问题
用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为：
①理解题意，搞清量与量之间的关系；
②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
③解所列的一元二次不等式得到实际问题的解．
在建立不等关系时，一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围，不可盲目使用．
题型一 一元二次不等式的实际应用
【例1】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到0.01 km/h)?
分析：由刹车距离直接代入关系式就会得到一个关于x的一元二次不等式，解此不等式即可求出x的范围，即汽车刹车前的车速范围．
反思：解答不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理的不等式模型．防止在解答此题时不考虑实际意义而忘记舍去x＜－88.94这一情况．
题型二 利用均值不等式解应用题
【例2】某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
分析：每年的保险费、养路费等是一个定数，关键是每年的维修费逐年递增，构成一个等差数列，只需求出x年的总费用(包括购车费)除以x年，即为平均费用y.列出函数关系式，再求解．
反思：应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是：(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)写出正确答案．
题型三 易错辨析
【例3】甲、乙两地水路相距s km，一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地，水流速度为常量p km/h，船在静水中的最大速度为q km/h(q＞p)．已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中的速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为k.
(1)把全程燃料费用y(元)表示为船在静水中的速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应是多少？
错解：(1)依题意，船由甲地到乙地所用的时间为h，
则y＝k·v2·＝.
故所求函数为y＝，其定义域为v∈(p，q]．
(2)依题意，k，s，v，p，q均为正数，且v－p＞0，
故有＝ks·
＝ks(v－p＋＋2p)≥ks(2p＋2p)＝4ksp，
当且仅当v－p＝，即v＝2p时等号成立．
所以当船的实际前进速度为p km/h时，全程燃料费用最少．
错因分析：错解中船在静水中的速度v＝2p km/h应不超过q km/h，事实上2p与q的大小关系并不明确，因此需分2p≤q和2p＞q两种情况进行讨论．
1某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费不多于按第(1)种方案缴纳的供暖费，那么他家的建筑面积最多不超过( )．
A．70平方米 B．80平方米
C．90平方米 D．100平方米
2一元二次不等式ax2＋2x－1有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )．
A．{a|a＞1} B．{a|a＜1且a≠0}
C．{a|a＜－1} D．{a|a＞－1且a≠0}
3某企业生产一种产品x(百件)的成本为(3x－3)万元，销售总收入为(2x2－5)万元，如果要保证该企业不亏本，那么至少生产该产品为______(百件)．
4用两种金属材料做一个矩形框架，按要求长(较长的边)和宽应选用的金属材料价格每1 m分别为3元和5元，且长和宽必须是整数，现预算花费不超过100元，则做成矩形框架围成的最大面积是______．
5某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x台(x∈N＋)，且每批均需运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管费用总计43 600元，现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用．请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？求出结论，并说明理由．
答案：
基础知识·梳理
1．＞
【做一做】解：∵a＞0，b＞0，
∴＋≥2＞0.
∴≤＝.
即≤(当且仅当a＝b时，等号成立)．
2．(1)设未知数 (2)列不等式(组) (3)解不等式(组) 未知数在实际问题中的取值范围
典型例题·领悟
【例1】解：设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h.
根据题意，有x＋x2＞39.5.
移项整理，得x2＋9x－7 110＞0.
显然Δ＞0，方程x2＋9x－7 110＝0有两个实数根，
即x1≈－88.94，x2≈79.94.
然后，画出二次函数y＝x2＋9x－7 110的图象．
由图象得不等式的解集为
{x|x＜－88.94或x＞79.94}．
在这个实际问题中，x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.
【例2】解：设汽车使用的年数为x.
由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．
因此，汽车使用x年总的维修费用为x万元．
设汽车的年平均费用为y万元，则有
y＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3.
当且仅当＝，即x＝10时，等号成立，即y取最小值．
答：汽车使用10年时年平均费用最少．
【例3】正解：(1)同错解(1)．
(2)解题过程同错解(2)．
若2p≤q，则当v＝2p时，y取最小值，这时船的实际前进速度为p km/h.
若2p＞q，当v∈(p，q]时，
－＝ks·.
∵v－p＞0，q－p＞0，q－v≥0，pq＋pv－qv≥pv＋pv－qv＝(2p－q)v＞0，
∴≥.
当且仅当v＝q时等号成立，即当v＝q时，y取得最小值．此时船的实际前进速度为(q－p) km/h.
随堂练习·巩固
1．B 根据使用面积应该缴纳的费用为60×4＝240元，设建筑面积为x平方米，则根据他所选择的方案，知3x－240≤0，所以x≤80，即建筑面积不超过80平方米．
2．D 一元二次不等式有两个不相等的实数根，其判别式Δ＝4＋4a＞0，即a＞－1，且二次项系数不能为0，即a≠0.所以a的取值范围是{a|a＞－1且a≠0}．
3．2 要不亏本只需收入不小于成本，即2x2－5－(3x－3)≥0，即2x2－3x－2≥0，解得x≤－或x≥2，而产品件数不能是负数，所以x的最小值为2.
4．40 m2 设长为x m，宽为y m，则根据条件知6x＋10y≤100，即3x＋5y≤50，且x≥y，再根据x，y都是整数的条件求xy的最大值，而xy＝·3x·5y≤()2，并且检验，知当x＝8，y＝5时，面积xy最大为40 m2.
5．解：设总费用为y元，保管费用与每批电视机总价值的比例系数为k(k＞0)，每批购入x台，则y＝×400＋k·(2 000·x)．
当x＝400时，y＝43 600，解得k＝5%.
∴y＝＋100x
≥2＝24 000(元)．
当且仅当＝100x，即x＝120时，等号成立，因此只需每批购入120台，便可使资金够用．
3.4 不等式的实际应用
课堂探究
一、解应用题的流程
剖析：数学问题就是数学语言的理解问题，数学语言具有简洁、准确的特点，但同时也具有丰富的内涵，而数学应用题多使用自然语言进行叙述，所以，对文字的理解就显得非常重要，要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手：
(1)略读识大意．应用题实际上是一篇说明文，一般文字比较多，信息量比较大．这就需要快速浏览一遍，理解题目的大意：题目叙述的是什么事，是什么问题(比如不等式问题，是求最值还是要解不等式得出结论等)．条件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念，可以一边阅读一边写下主要内容，或者列表显示主要条件和要求的结论．
(2)细读抓关键．题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在，将其辨析出来是实现综合认知的出发点．因此，在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读，弄清具体含义及各量之间的关系．
(3)精读巧转换．领会题意的关键是“内部转化”，即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之，大脑要有灵活的转化思维．
二、常见的不等式实际应用类型
剖析：常见的不等式实际应用问题有以下几种：
(1)作差法解决实际问题
作差法的依据是a－b＞0?a＞b，其基本步骤是：
①理解题意，准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来．
②作差，分析差的符号．
③将作差后的结论转化为实际问题的结论．
(2)应用均值不等式解决实际问题
①均值不等式：a，b＞0，≥(当且仅当a＝b时，等号成立)．
当ab＝P(定值)，那么当a＝b时，a＋b有最小值2；
当a＋b＝S(定值)，那么当a＝b时，ab有最大值S2．
②注意利用均值不等式必须有前提条件：“一正、二定、三相等”．为了创造利用均值不等式的条件，常用技巧有配凑因子、拆项或平方．
(3)应用一元二次不等式解决实际问题
用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为：
①理解题意，搞清量与量之间的关系；
②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
③解所列的一元二次不等式得到实际问题的解．
名师点拨：在建立不等关系时，一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围，不可盲目使用．
题型一 一元二次不等式的实际应用
【例1】 某企业生产一种产品x(百件)的成本为(3x－3)万元，销售总收入为(2x2－5)万元，如果要保证该企业不亏本，那么至少生产该产品为______(百件)．
解析：要不亏本只需收入不小于成本，即2x2－5－(3x－3)≥0，即2x2－3x－2≥0，解得x≤－或x≥2，而产品件数不能是负数，所以x的最小值为2．
答案：2
题型二 利用均值不等式解应用题
【例2】 某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0．9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
分析：每年的保险费、养路费等是一个定数，关键是每年的维修费逐年递增，构成一个等差数列，只需求出x年的总费用(包括购车费)除以x年，即为平均费用y．列出函数关系式，再求解．
解：设汽车使用的年数为x．
由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．
因此，汽车使用x年总的维修费用为x万元．
设汽车的年平均费用为y万元，则有
y＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3．
当且仅当＝，即x＝10时，等号成立，即y取最小值．
答：汽车使用10年时年平均费用最少．
反思：应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是：(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)写出正确答案．
题型三 易错辨析
【例3】 甲、乙两地水路相距s km，一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地，水流速度为常量p km/h，船在静水中的最大速度为q km/h(q>p)．已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中的速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为k．
(1)把全程燃料费用y(元)表示为船在静水中的速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应是多少？
错解：(1)依题意，船由甲地到乙地所用的时间为 h，则y＝k·v2·＝．
故所求函数为y＝，其定义域为v∈(p，q]．
(2)依题意，k，s，v，p，q均为正数，且v－p>0，
故有＝ks·＝ks≥ks(2p＋2p)＝4ksp，
当且仅当v－p＝，即v＝2p时等号成立．
所以当船的实际前进速度为p km/h时，全程燃料费用最少．
错因分析：错解中船在静水中的速度v＝2p km/h应不超过q km/h，事实上2p与q的大小关系并不明确，因此需分2p≤q和2p>q两种情况进行讨论．
正解：(1)同错解(1)．
(2)解题过程同错解(2)．
若2p≤q，则当v＝2p时，y取最小值，这时船的实际前进速度为p km/h．
若2p>q，当v∈(p，q]时，－＝ks·．
∵v－p>0，q－p>0，q－v≥0，pq＋pv－qv≥pv＋pv－qv＝(2p－q)v>0，∴≥．
当且仅当v＝q时等号成立，即当v＝q时，y取得最小值．此时船的实际前进速度为(q－p) km/h．
3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
1．了解二元一次不等式(组)的概念．
2．理解二元一次不等式(组)解集的几何意义．
3．会画二元一次不等式(组)所表示的平面区域．
1．二元一次不等式(组)的概念
(1)二元一次不等式是指含有____个未知数，且未知数的______次数是____的整式不等式．二元一次不等式组是指由几个含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式不等式组成的不等式组．
(2)二元一次不等式(组)的解集是指满足这个不等式(组)的实数x和y构成的有序数对(x，y)构成的集合．
(3)二元一次不等式的一般形式为________________或__________________．
【做一做1－1】若点P(1，－2)不在直线Ax＋By＋C＝0上，则( )．
A．A－2B＋C＝0 B．A－2B＋C≠0
C．A＋2B＋C＞0 D．A－2B＋C＜0
【做一做1－2】完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则x，y满足的约束条件是________．
2．二元一次不等式表示的平面区域
(1)直线l：Ax＋By＋C＝0，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做__________．开半平面与l的并集叫做__________．以不等式解(x，y)为坐标的所有点构成的集合，也叫做________________或____________．
(2)坐标平面内的任一条直线都有如下性质：
直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有______的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号______，一侧都大于0，另一侧都小于0.
在判断不等式Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的平面区域时，“代点法”无疑是快捷且准确的方法．即基本方法是“直线定界，特值定域”．其步骤：(1)画直线Ax＋By＋C＝0；(2)在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，可取较特殊的点，易计算；(3)将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值；(4)若Ax0＋By0＋C＞0，则此点所在的半平面为不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区
域；反之此点所在的半平面不是不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域．
【做一做2－1】图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( )．
A．x＋y－1＜0 B．x＋y－1＞0
C．x－y－1＜0 D．x－y－1＞0
【做一做2－2】以下各点在3x＋2y＜6表示的平面区域内的是______．
①(0,0)；②(1,1)；③(0,2)；④(2,0)．
3．二元一次不等式组表示的平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式组表示的平面区域就是这个不等式组中每个二元一次不等式表示的平面区域的__________．
【做一做3】在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为________．
二元一次不等式表示的平面区域的判定方法
剖析：方法一：第一步，直线定边界，画出直线Ax＋By＋C＝0，当不等式中含有等号时，直线画成实线，否则画成虚线．
第二步，特殊点定平面区域，在坐标平面内取一个特殊点，当C≠0时，常取原点(0,0)．若原点满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域．当C＝0时，可考虑把点(1,0)或(0,1)作为测试点．
口诀如下：直线定界，特殊点定域．
方法二：Ax＋By＋C＞0，当B＞0时表示区域为直线上方区域；B＜0时为直线下方区域．
Ax＋By＋C＜0，当B＞0时表示区域为直线下方区域，当B＜0时为直线上方区域．概括为“B”与“不等号”同向在“上方”，“B”与“不等号”反向在“下方”．
平面内任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧、异侧的充要条件：
由于直线同一侧的点的坐标(x，y)使Ax＋By＋C具有相同的符号，且一侧为正，另一侧必为负，因而直线同一侧的点使Ax＋By＋C的值的符号相同，直线不同侧的点使Ax＋By＋C的值的符号相反，因而我们有以下的结论：
P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧?(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0；
P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0异侧?(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0.
题型一 二元一次不等式表示平面区域
【例1】在平面直角坐标系中画出下列二元一次不等式表示的平面区域．
(1)x－y＋1＞0；
(2)x＋2y－4≤0.
分析：本题考查二元一次不等式表示的平面区域问题，先画出直线，再用特殊点确定不等式表示的平面区域．
反思：由于二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)表示的平面区域一定是直线Ax＋By＋C＝0的某一侧．要断定究竟是哪一侧，可以取直线Ax＋By＋C＝0某侧的一点，将它的坐标代入不等式，如果不等式成立，那么这一侧就是该不等式表示的平面区域；如果不等式不成立，那么直线的另一侧就是该不等式表示的平面区域．如果直线不通过原点，一般取原点(0,0)来进行判断．
题型二 二元一次不等式组表示平面区域
【例2】画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0表示的平面区域．
分析：此不等式为二元二次不等式，看似无从下手，注意到不等号右边为0，左边为两因式乘积，易联想到利用“两数相乘，异号得负”的法则，将其转化为两个二元一次不等式组．
反思：(1)画平面区域时作图要尽量准确，特别是画边界；(2)非二元一次不等式表示的平面区域问题往往等价转化为二元一次不等式(组)表示的平面区域问题．
题型三 求平面区域内的整点坐标
【例3】不等式组表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有________个．
反思：求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标常有两种方法：①先确定区域内横坐标的范围，确定x的所有整数值，通过x的值再确定y相应的整数值；②网格法求整点，此法关键是作图要准确．
题型四 二元一次不等式组表示的平面区域的面积问题
【例4】在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域的面积等于2，求a的值．
分析：→→→→→
题型 五易错辨析
【例5】画出不等式组表示的平面区域．
错解：如图所示的阴影部分．
错因分析：不等式2x＋y－6≥0表示的平面区域是直线2x＋y－6＝0及其右上方的部分，将(0,0)代入2x＋y－6，得－6＜0，所以原点不在不等式表示的平面区域内．
1已知一直线l的方程为ax＋by＝0(a，b不同时为零)，点P1(x0，y0)，P2(2x0,2y0)，则( )．
A．点P1，P2分别在l的两侧或在l上
B．点P1，P2均在l的同侧或在l上
C．点P1，P2分别在l的两侧，不可能在l上
D．点P1，P2均在l上
2不等式组表示的平面区域是一个( )．
A．三角形 B．直角梯形
C．梯形 D．矩形
3(x－2y＋1)(x＋y－3)＜0表示的平面区域为( )．
4点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是______．
5若不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是______．
答案：
基础知识·梳理
1．(1)两 最高 1
(3)Ax＋By＋C＞0 Ax＋By＋C＜0
【做一做1－1】B
【做一做1－2】
2．(1)开半平面 闭半平面 不等式表示的区域 不等式的图象
(2)相同 相反
【做一做2－1】B
【做一做2－1】①②③
3．公共部分
【做一做3】1 画出不等式组表示的平面区域如图，由题意，△ABC的面积为9，则|BC|＝(a＋4)－(－a)＝2a＋4，A到直线BC的距离为a－(－2)＝a＋2，∴(a＋2)(2a＋4)＝9，解得a＝1或－5(舍去)．
典型例题·领悟
【例1】解：(1)画出直线l1：x－y＋1＝0(虚线)，
取原点O(0,0)代入x－y＋1，得1＞0，不等式成立．
所以O(0,0)在x－y＋1＞0表示的平面区域内，
故x－y＋1＞0表示的平面区域就是直线l1右下方的区域．
画出区域如图(1)所示的阴影部分(不包括直线l1上的点)．
(2)画出直线l2：x＋2y－4＝0(实线)．
取原点O(0,0)代入x＋2y－4，得－4＜0，不等式成立．
所以x＋2y－4≤0表示的平面区域是直线l2及其左下方的区域．
画出区域如图(2)所示的阴影部分(包括直线l2上的点)．
【例2】解：此不等式可转化为
或
分别画出这两个不等式组所表示的平面区域，这两个平面区域的并集即为所求的平面区域，如图所示(阴影部分)．
【例3】3 画出不等式组表示的平面区域，如图所示(阴影部分，不含x轴和y轴)．
从图形可以看出区域内点的横坐标在区间(0,3)内，取x＝1，2，当x＝1时，区域内的整点有(1,1)，(1,2)．当x＝2时，区域内的整点有(2,1)．共3个．
【例4】解：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域．
而直线ax－y＋1＝0恒过定点A(0,1)，斜率为a.
因为不等式组所表示的平面区域的面积等于2，所以此平面区域为“封闭”图形．
所以可判断直线ax－y＋1＝0与直线x－1＝0的交点C在点B(1,0)上方，
所以不等式组所表示的平面区域为△ABC.
由得C(1，a＋1)．
又点C在点B上方，
∴a＞－1，所以|BC|＝a＋1－0＝a＋1，
∴S＝×|BC|×1＝＝2，解得a＝3.
【例5】正解：如图所示的阴影部分．
随堂练习·巩固
1．B 若ax0＋by0＝0，则2ax0＋2by0＝0，此时P1和P2都在直线l上，否则，一定有ax0＋by0与2ax0＋2by0同号，故选B.
2．C (x－y＋5)(x＋y)≥0
?或
据题意作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示．故选C.
3．C 原不等式等价于不等式组或分别画出各不等式组所表示的平面区域，观察其图象，知选C.
4．(，＋∞) 据题意得不等式2×(－2)－3t＋6＜0，解得t＞.故t的取值范围是(，＋∞)．
5．(0,1]∪[，＋∞)
3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
课堂探究
二元一次不等式表示的平面区域的判定方法
剖析：方法一：第一步，直线定边界，画出直线Ax＋By＋C＝0，当不等式中含有等号时，直线画成实线，否则画成虚线．
第二步，特殊点定平面区域，在坐标平面内取一个特殊点，当C≠0时，常取原点(0，0)．若原点满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域．当C＝0时，可考虑把点(1，0)或(0，1)作为测试点．
口诀如下：直线定界，特殊点定域．
方法二：Ax＋By＋C>0，当B>0时表示区域为直线上方区域；B<0时为直线下方区域．
Ax＋By＋C<0，当B>0时表示区域为直线下方区域，当B<0时为直线上方区域．概括为“B”与“不等号”同向在“上方”，“B”与“不等号”反向在“下方”．
平面内任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧、异侧的充要条件：
由于直线同一侧的点的坐标(x，y)使Ax＋By＋C具有相同的符号，且一侧为正，另一侧必为负，因而直线同一侧的点使Ax＋By＋C的值的符号相同，直线不同侧的点使Ax＋By＋C的值的符号相反，因而我们有以下的结论：
P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧?(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0；
P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0异侧?(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0．
题型一 二元一次不等式表示平面区域
【例1】 在平面直角坐标系中画出下列二元一次不等式表示的平面区域．
(1)x－y＋1>0；
(2)x＋2y－4≤0．
分析：本题考查二元一次不等式表示的平面区域问题，先画出直线，再用特殊点确定不等式表示的平面区域．
解：(1)画出直线l1：x－y＋1＝0(虚线)，
取原点O(0，0)代入x－y＋1，得1>0，不等式成立．
所以O(0，0)在x－y＋1>0表示的平面区域内，故x－y＋1>0表示的平面区域就是直线l1右下方的区域．
画出区域如图(1)所示的阴影部分(不包括直线l1上的点)．
(2)画出直线l2：x＋2y－4＝0(实线)．
取原点O(0，0)代入x＋2y－4，得－4<0，不等式成立．
所以x＋2y－4≤0表示的平面区域是直线l2及其左下方的区域．
画出区域如图(2)所示的阴影部分(包括直线l2上的点)．
反思 由于二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)表示的平面区域一定是直线Ax＋By＋C＝0的某一侧．要断定究竟是哪一侧，可以取直线Ax＋By＋C＝0某侧的一点，将它的坐标代入不等式，如果不等式成立，那么这一侧就是该不等式表示的平面区域；如果不等式不成立，那么直线的另一侧就是该不等式表示的平面区域．如果直线不通过原点，一般取原点(0，0)来进行判断．
题型二 二元一次不等式组表示平面区域
【例2】 画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0表示的平面区域．
分析：此不等式为二元二次不等式，看似无从下手，注意到不等号右边为0，左边为两因式乘积，易联想到利用“两数相乘，异号得负”的法则，将其转化为两个二元一次不等式组．
解：此不等式可转化为或
分别画出这两个不等式组所表示的平面区域，这两个平面区域的并集即为所求的平面区域，如图所示(阴影部分)．
反思 (1)画平面区域时作图要尽量准确，特别是画边界；(2)非二元一次不等式表示的平面区域问题往往等价转化为二元一次不等式(组)表示的平面区域问题．
题型三 根据平面区域写出不等式(组)
【例3】 将下面图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来．
分析：观察图形，先写出边界直线，并确定虚实，然后写出不等式．
解：(1)易知直线方程为x＝－1，图中阴影部分的点的横坐标都小于－1，故不等式为x≤－1．
(2)由截距式得直线方程为＋＝1，即y＝－x＋1．
因为0<－×0＋1，且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式y<－x＋1，即x＋2y－2<0表示．
(3)易知直线斜率为1，过点(1，0)，其方程为y＝x－1．
因为0>0－1且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式y>x－1，即x－y－1<0表示．
反思 根据平面区域写二元一次不等式的方法与步骤．
第一步：确定直线方程，根据平面区域(阴影部分)的边界与两坐标轴的交点确定直线方程；
第二步：在阴影部分中取特殊点确定不等号的方向，写出对应平面区域的二元一次不等式．
题型四 求平面区域内的整点坐标
【例4】 不等式组表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有________个．
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图所示(阴影部分，不含x轴和y轴)．
从图形可以看出区域内点的横坐标在区间(0，3)内，取x=1，2，当x=1时，区域内的整点有(1，1)，(1，2)．当x=2时，区域内的整点有(2，1)．共3个．
答案：3
反思 求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标常有两种方法：①先确定区域内横坐标的范围，确定x的所有整数值，通过x的值再确定y相应的整数值；②网格法求整点，此法关键是作图要准确．
题型五 易错辨析
【例5】 画出不等式组表示的平面区域．
错解：如图所示的阴影部分．
错因分析：不等式2x＋y－6≥0表示的平面区域是直线2x＋y－6＝0及其右上方的部分，将(0，0)代入2x＋y－6，得－6<0，所以原点不在不等式表示的平面区域内．
正解：如图所示的阴影部分．
3.5.2 简单线性规划
1．体会线性规划的基本思想在求解实际问题中的作用，会求解简单的线性规划问题．
2．经历在线性约束条件下求实际问题中的线性目标函数的最值问题的求解过程，提高用线性规划解决实际问题的能力．
线性规划中的基本概念
名称
定义
目标函数
要求__________________的函数，叫做目标函数
约束条件
目标函数中的变量所要满足的__________
线性目
标函数
如果目标函数是________________，则称为线性目标函数
线性约
束条件
如果约束条件是____________________________，则称为线性约束条件
线性规
划问题
在线性约束条件下，求线性目标函数的________________问题，称为线性规划问题
最优解
使目标函数达到__________________的点的______，称为问题的最优解
可行解
满足线性约束条件的____，叫做可行解
可行域
由所有________组成的集合叫做可行域
简单线性规划应用问题的求解步骤：(1)设：设出变量x，y，写出约束条件及目标函数．(2)作：作出可行域．(3)移：作一组平行直线l，平移l，找最优解．(4)解：联立方程组求最优解，并代入目标函数，求出最值．(5)答：写出答案．总之：求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组，求最值．
【做一做1】如果实数x，y满足条件那么2x－y的最大值为( )．
A．2 B．1 C．－2 D．－3
【做一做2】配制A，B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：千克)：
药剂A，B至少各配一剂，且药剂A，B每剂售价分别为100元、200元．现有原料甲20千克，原料乙25千克，那么可获得的最大销售额为______百元．
一、图解法求最值的实质
剖析：设目标函数为z＝Ax＋By＋C(AB≠0)，由z＝Ax＋By＋C得y＝－x＋.这样，二元一次函数就可以视为斜率为－，在y轴上截距为，且随z变化的一组平行线．于是，把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题．当B＞0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B＜0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小．
(1)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．
(2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误．
二、常见的线性规划问题类型
剖析：(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．
(2)线性规划问题的常见类型有：
①物资调运问题
例如已知A1，A2两煤矿每年的产量，煤需经B1，B2两个车站运往外地，B1，B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1，A2两煤矿运往B1，B2两车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
②产品安排问题
例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A，B，C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？
③下料问题
例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？
题型一 求线性目标函数的最值问题
【例1】设z＝2y－2x＋4，式子中x，y满足条件试求z的最大值和最小值．
分析：作出线性约束条件下的可行域，然后作出与直线2y－2x＝0平行的直线，通过平移直线，在可行域内求出最大值和最小值．
反思：求目标函数z＝ax＋by＋c(ab≠0，c≠0)的最值，与求目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法是一样的，因为在z＝ax＋by＋c中，c为非零常数，故仍可设t＝ax＋by，只要求出t＝ax＋by的最值，则z＝ax＋by＋c的最值即可求得，在本题中，通过平移直线，得到y轴上的截距的最值，也就得到了t的最值．
题型二 求非线性目标函数的最值问题
【例2】已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的取值范围．
分析：(1)中z＝x2＋y2－10y＋25＝(x－0)2＋(y－5)2的几何意义为平面区域内的点(x，y)到(0,5)的距离的平方；(2)z＝＝2·的几何意义为平面区域内的点(x，y)与(－1，－)连线斜率的2倍．关键是将目标函数进行变形找到几何意义，再利用数形结合知识求解．
反思：(1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的平方的最值问题．
(2)对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问题转化为求可行域内的点(x，y)与(－，－)连线斜率的倍的范围、最值等，注意斜率不存在的情况．
题型三 简单的线性规划问题
【例3】某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？
分析：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，再用图解法解之．先作可行域，再作出初始直线l0，通过向上或向下平移直线l0至可行域的边界点，便得最优解，再进一步求最值．
题型四 最优整数解的问题
【例4】电视台为某个广告公司特约播放两套片集．其中片集甲每集播放时间为21分钟，其中广告时间为1分钟，收视观众为60万；片集乙每集播放时间为11分钟，其中广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(包含广告时间)．电视台每周应播放两套片集各多少集，才能获得最高的收视率？
分析：设每周片集甲播放x集，片集乙播放y集，它们每集的广告时间都是1分钟，则x＋y不少于6分钟．我们还应注意到片集一共的播放时间里要包括广告时间，不超过86分钟．
反思：如果遇到问题是求最优整数解，可先求出线性规划的最优解，若它是整数解，则问题解决；若不是，要在该非整数解周围可行域内寻求与之最近的整数解，可通过精确作图，打好网格的办法求得．
题型 五易错辨析
【例5】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的范围是( )．
A．[3,12] B．(3,12)
C．(5,10) D．[5,10]
错解：由于f(－2)＝4a－2b，要求f(－2)的范围，可先求a与b的范围．由f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，得
两式相加得≤a≤3，又－2≤b－a≤－1.③
②式与③式相加得0≤b≤.
∴6≤4a≤12，－3≤－2b≤0.∴3≤4a－2b≤12.
即3≤f(－2)≤12.故选A.
错因分析：这种解法看似正确，实则使f(－2)的范围扩大了．事实上，这里f(－2)最小值不可能取到3，最大值也不可能是12.由上述解题过程可知，当a＝且b＝时才能使4a－2b＝3，而此时a－b＝0，不满足①式．同理可验证4a－2b也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形．以上解法为了求a，b的范围，多次应用了这一性质，使所求范围扩大了．
1目标函数z＝3x－y，将其看成直线方程时，z的意义是( )．
A．该直线的截距 B．该直线的纵截距
C．该直线纵截距的相反数 D．该直线的横截距
2设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋y的最小值为( )．
A．2 B．3
C．4 D．9
3设E为平面上以三点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界)，则z＝4x－3y，(x，y)∈E的最大值与最小值分别为( )．
A．14，－18 B．－14，－18
C．18,14 D．18，－14
4已知变量x，y满足则z＝3x＋y的最大值是________．
5已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为______．
答案：
基础知识·梳理
最大值或最小值 不等式组 关于变量的一次函数 关于变量的一次不等式(或等式) 最大值或最小值 最大值或最小值 坐标 解 可行解
【做一做1】B 作出可行域，可知当直线z＝2x－y过点(0，－1)时，z最大．
【做一做2】8 设药剂A，B分别配x剂、y剂，则
作出可行域如图阴影部分所示．
令z＝0得直线x＋2y＝0，
平移此直线过点M时z最大，
由
得M(，)，调整得最优解(2,3)，
∴zmax＝2＋2×3＝8(百元)．
典型例题·领悟
【例1】解：作出二元一次不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分所示)，即可行域．
将z＝2y－2x＋4变形为y＝x＋z－2，这是斜率为1，随z变化的一组平行直线(如图所示)．
(z－2)是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最大．当然，直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z＝2y－2x＋4取得最大值；当直线截距最小时，z的值最小，即在满足约束条件时目标函数z＝2y－2x＋4取得最小值．
由图可知，当直线z＝2y－2x＋4经过可行域上的点A时，截距最大，即z最大．
解方程组得A点的坐标为(0,2)．
所以zmax＝2y－2x＋4＝2×2－2×0＋4＝8.
当直线z＝2y－2x＋4经过可行域上的点B时，截距最小，即z最小．
解方程组得B点的坐标为(1,1)．
所以zmin＝2y－2x＋4＝2×1－2×1＋4＝4.
【例2】解：作出可行域，如图阴影部分所示．
可求得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，过M作MN⊥AC于N，则|MN|＝＝＝.
所以|MN|2＝，
所以z＝x2＋y2－10y＋25的最小值为.
(2)z＝2·表示可行域内点(x，y)与定点Q(－1，－)连线斜率的2倍．
∵kQA＝，kQB＝，
故z的取值范围是[，]．
【例3】解：设每盒盒饭需要面食x(百克)，米食y(百克)，
所需费用为z＝0.5x＋0.4y，且x，y满足
作出可行域，如下图阴影部分所示．
令z＝0，作直线l0：0.5x＋0.4y＝0，即直线5x＋4y＝0.
由图形可知，把直线l0平移至过点A时，z取最小值．
由得A(，)．
答：每盒盒饭为面食百克，米食百克时既科学又费用最少．
【例4】解：设每周片集甲播放x集，片集乙播放y集，则有
要使收视率最高，则只要z＝60x＋20y最大即可，由图可知，当直线60x＋20y＝0经过点A时，z取得最大值．由得所以当x＝2，y＝4时，z＝60x＋20y取得最大值200万．
故电视台每周片集甲和片集乙分别播放2集和4集，其收视率最高．
【例5】正解：解法一：∵
∴
∴f(－2)＝4a－2b
＝2[f(1)＋f(－1)]－[f(1)－f(－1)]
＝3f(－1)＋f(1)．
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10，故选D.
解法二：数形结合法
在坐标平面aOb上，
作出直线a＋b＝2，a＋b＝4，a－b＝1，a－b＝2，
则表示平面上的阴影部分(包括边界)，如下图阴影部分所示．
令m＝4a－2b，则b＝2a－.
显然m为直线系4a－2b＝m在b轴上截距2倍的相反数．
当直线b＝2a－过阴影部分中点A(，)时，m取最小值5；
过点C(3,1)时，m取最大值10.
∴f(－2)∈[5,10]，故选D.
随堂练习·巩固
1．C 由目标函数z＝3x－y，得y＝3x－z.令x＝0，得y＝－z.也就是说，z表示该直线纵截距的相反数，故选C.
2．B 作出平面区域如下图阴影部分所示，z表示直线z＝2x＋y在y轴的截距，∴z的最小值为过点A(1,1)的直线，此时z＝2×1＋1＝3.
3．A 当动直线z＝4x－3y通过点B时，z取最大值，通过点C时，z取最小值，即zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14，zmin＝4×(－3)－3×2＝－18.
4．16
5．(1，＋∞) 变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.在直角坐标系中画出可行域如图阴影部分所示，得四边形ABCD，其中A(3,1)，kAD＝1，kAB＝－1，目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)中的z表示斜率为－a的直线截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大值，则斜率应小于kAB＝－1，即－a＜－1，即a＞1，所以a的取值范围为(1，＋∞)．
3.5.2 简单线性规划
课堂探究
一、图解法求最值的实质
剖析：设目标函数为z＝Ax＋By＋C(AB≠0)，由z＝Ax＋By＋C得y＝－x＋．这样，二元一次函数就可以视为斜率为－，在y轴上截距为，且随z变化的一组平行线．于是，把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题．当B>0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小．
名师点拔 (1)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．
(2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误．
二、常见的线性规划问题类型
剖析：(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．
(2)线性规划问题的常见类型有：
①物资调运问题
例如已知A1，A2两煤矿每年的产量，煤需经B1，B2两个车站运往外地，B1，B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1，A2两煤矿运往B1，B2两车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
②产品安排问题
例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A，B，C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？
③下料问题
例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？
题型一 线性目标函数的最值问题
【例1】 (1)(2013·四川高考，文8)若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A．48 B．30 C．24 D．16
解析：画出可行域，如图．
联立解得即A点坐标为(4，4)，
由线性规划可知，zmax＝5×4－4＝16，zmin＝0－8＝－8，即a＝16，b＝－8，
∴a－b＝24．故选C．
答案：C
(2)(2013·课标全国Ⅱ高考，理9)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A． B． C．1 D．2
解析：由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，
作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得a＝，所以a＝．
答案：B
反思 解决线性目标函数的最值问题一般用图解法，但应注意作图要规范，且要弄清函数值与截距的内在联系；对于第(2)小题属逆向问题，在解决时也要正向解答．
题型二 非线性目标函数的最值问题
【例2】 已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的取值范围．
分析：(1)中z＝x2＋y2－10y＋25＝(x－0)2＋(y－5)2的几何意义为平面区域内的点(x，y)到(0，5)的距离的平方；(2)z＝＝2·的几何意义为平面区域内的点(x，y)与连线斜率的2倍．关键是将目标函数进行变形找到几何意义，再利用数形结合知识求解．
解：作出可行域，如图阴影部分所示．
可求得A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)．
(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0，5)的距离的平方，过M作MN⊥AC于N，则|MN|＝＝＝．
所以|MN|2＝，所以z＝x2＋y2－10y＋25的最小值为．
(2)z＝2·表示可行域内点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍．
∵kQA＝，kQB＝，故z的取值范围是．
反思 (1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的平方的最值问题．
(2)对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问题转化为求可行域内的点(x，y)与连线斜率的倍的范围、最值等，注意斜率不存在的情况．
(3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍．
题型三 简单的线性规划问题
【例3】 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0．5元，米饭每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0．4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？
分析：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，再用图解法解之．先作可行域，再作出初始直线l0，通过向上或向下平移直线l0至可行域的边界点，便得最优解，再进一步求最值．
解：设每盒盒饭需要面食x(百克)，米饭y(百克)，
所需费用为z＝0．5x＋0．4y，且x，y满足
作出可行域，如下图阴影部分所示．
令z＝0，作直线l0：0．5x＋0．4y＝0，即直线5x＋4y＝0．
由图形可知，把直线l0平移至过点A时，z取最小值．
由得A．
答：每盒盒饭为面食百克，米饭百克时既科学又费用最少．
反思 (1)在线性规划应用问题中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；
(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；
(3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等；
(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；
(5)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能的准确，图上操作尽可能规范．但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解．
题型四 最优整数解的问题
【例4】 (2013·湖北高考，文9)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 B．36 000元 C．36 800元 D．38 400元
解析：设需A，B型车分别为x，y辆(x，y∈N)，则x，y需满足设租金为z，则z＝1 600x＋2 400y，画出可行域如图，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x＝5，y＝12，此时z最小等于36 800，故选C．
答案：C
反思 如果遇到问题是求最优整数解，可先求出线性规划的最优解，若它是整数解，则问题解决；若不是，要在该非整数解周围可行域内寻求与之最近的整数解，可通过精确作图，打好网格的办法求得．
题型五 易错辨析
【例5】 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的范围是( )
A．[3，12] B．(3，12) C．(5，10) D．[5，10]
错解：由于f(－2)＝4a－2b，要求f(－2)的范围，可先求a与b的范围．由f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，得
两式相加得≤a≤3．
又－2≤b－a≤－1，③
②式与③式相加得0≤b≤．
∴6≤4a≤12，－3≤－2b≤0．
∴3≤4a－2b≤12．
即3≤f(－2)≤12．
故选A．
错因分析：这种解法看似正确，实则使f(－2)的范围扩大了．事实上，这里f(－2)最小值不可能取到3，最大值也不可能是12．由上述解题过程可知，当a＝且b＝时才能使4a－2b＝3，而此时a－b＝0，不满足①式．同理可验证4a－2b也不能等于12．出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形．以上解法为了求a，b的范围，多次应用了这一性质，使所求范围扩大了．
正解：解法一：∵∴
∴f(－2)＝4a－2b＝2[f(1)＋f(－1)]－[f(1)－f(－1)]＝3f(－1)＋f(1)．
∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10，故选D．
解法二：数形结合法在坐标平面aOb上，
作出直线a＋b＝2，a＋b＝4，a－b＝1，a－b＝2，
则表示平面上的阴影部分(包括边界)，如下图阴影部分所示．
令m＝4a－2b，则b＝2a－．
显然m为直线系4a－2b＝m在b轴上截距2倍的相反数．
当直线b＝2a－过阴影部分中点A时，m取最小值5；
过点C(3，1)时，m取最大值10．
∴f(－2)∈[5，10]，故选D．
3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
知识梳理
1.平面区域的表示方法
（1）当B＞0时,Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域;Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.
当B＜0时,Ax+By+C＞0-Ax-By-C＜0,表示直线下方的区域;Ax+By+C＜0-Ax-By-C＞0,表示直线上方的区域.
(2)已知M(x1,y1),N(x2,y2)，直线l:Ax+By+C=0，
①若(Ax1+By1+C)×(Ax2+By2+C)＞0，则点Ｍ、Ｎ在直线l的同侧；
②若(Ax1+By1+C)×(Ax2+By2+C)＜0，则点Ｍ、Ｎ在直线l的异侧；
2.线性规划
（1）对于变量x，y的约束条件，都是关于x，y的一次不等式，称其为线性约束条件；z=f(x，y)是欲达到最值所涉及的变量x，y的解析式，叫目标函数.当f(x，y)是关于x，y的一次函数解析式时，z=f(x，y)叫做线性目标函数.
（2）求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题，统称为线性规划.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使目标函数取得最大值或最小值的解叫做最优解.
知识导学
能正确地画出给定的二元一次不等式（组）表示的平面区域是学习简单线性规划问题图解法的重要基础；理解线性规划及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念是解决实际生活中简单的最优化问题的有效办法，在本节的学习过程中，要注意体会数形结合与化归转化的数学思想.
疑难突破
1.二元一次不等式表示的平面区域.
剖析：在平面直角坐标系中，已知直线l:Ax+By+C=0，坐标平面内的点P(x0,y0).若有Ax0+By0+C=0,则点P在直线l上;若有Ax0+By0+C＞0或者Ax0+By0+C＜0,则点P在直线l的某一侧.即二元一次不等式Ax+By+C＞0和Ax+By+C＜0分别表示直线l两侧的平面区域.
通常把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线,若画不等式Ax+By+C≥0或Ax+By+C≤0表示的平面区域时,此区域包括边界直线,则把边界直线画成实线.
2.利用线性规划解决实际问题的问题类型及步骤.
剖析：利用线性规划来进行优化设计,解决生活中的实际问题通常有以下几种类型:
第一类:给定一定数量的人力、物力资源,分析怎样合理利用这些资源,才能使收到的效益最大;
第二类:给定一项任务,分析怎样安排,能使完成这项任务的人力、物力资源最小,还要根据条件求最优解,有时候还要分析整数解.
解线性规划应用题的步骤如下:
第一步:列表,转化为线性规划问题;
第二步:设出相关变元,列出线性约束条件对应的不等式(组),写出目标函数;
第三步:正确画出可行域,根据条件求出目标函数的最大值或最小值及对应的变元;
第四步:写出实际问题的答案.
