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3.3.2 解一元一次方程(二)——去括号与去分母 第2课时
基础训练
1.全班同学去划船,如果减少一条船,每条船正好坐9个同学,如果增加一条船,每条船正好坐6个同学,问原有多少条船 【出处：21教育名师】
2.将一箱苹果分给一群小朋友,若每个小朋 ( http: / / www.21cnjy.com )友分5个苹果,则还剩12个苹果;若每个小朋友分8个苹果,则最后一个小朋友只分到2个苹果.求这群小朋友的人数.21·cn·jy·com
3.东坡中学组织七年级师生春游.如果单独租用45座客车若干辆,刚好坐满;如果单独租用60座客车,可少租1辆,且余15个座位.【版权所有：21教育】
(1)求参加春游的人数;
(2)已知租用45座客车的日租金为每辆250元,60座客车的日租金为每辆300元,问租用哪种客车更合算 21·世纪*教育网
4.有这样一道题:假如井不知深,先将绳三折入井,绳长四尺;后将绳四折入井,亦长一尺.问井深及绳长各若干 请你解答这个问题.21教育名师原创作品
5.一艘轮船航行在A、B两个码头之间,已知 ( http: / / www.21cnjy.com )该船在静水中每小时航行12 km,轮船顺水航行需用6 h,逆水航行需用10 h,求水流速度和A、B两码头之间的距离.21*cnjy*com
6.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用4小时 ( http: / / www.21cnjy.com ),从乙码头到甲码头逆流行驶用4小时40分钟,已知水流速度为3千米/小时,则船在静水中的平均速度是多少
7.一架战斗机的贮油量最多 ( http: / / www.21cnjy.com )够它在空中飞行4.6 h,飞机出航时顺风飞行,在无风时的速度是575 km/h,风速为25 km/h,这架飞机最远能飞出多少千米就应返回
提升训练
8. A,B两地间的路程为360 km ( http: / / www.21cnjy.com ),甲车从A地出发开往B地,每小时行驶72 km;甲车出发25 min后,乙车从B地出发开往A地,每小时行驶48 km,两车相遇后,各自按原来速度继续行驶,那么相遇以后,两车相距100 km时,甲车从出发开始共行驶了多少小时
9.甲、乙两人在一环形公路上骑自行车,环形公路长为42 km,甲、乙两人的速度分别为21 km/h、14 km/h.21世纪教育网版权所有
(1)如果两人从公路的同一地点同时反向出发,那么经几小时后,两人首次相遇
(2)如果两人从公路的同一地点同时同向出发,那么出发后经几小时两人第二次相遇
10.甲、乙两列火车的长分别为144米和180米,甲车比乙车每秒多行4米.
(1)两列车相向而行,从相遇到完全错开需9秒,问甲、乙两列车的速度各是多少
(2)若同向而行,甲车的车头从乙车的车尾追到甲车完全超过乙车,需要多少秒
11.“健康出行,绿色环保”,星期 ( http: / / www.21cnjy.com )天小李骑自行车从家出发到郊区去游玩,他先在某景区待了2 h,再绕道到某农家特色小吃处品尝风味小吃用去了30分钟,然后愉快地返程.已知去时的速度为6 km/h,返回时的速度为10 km/h,往返共用了4 h,返回时因绕道多走了1 km,求去时的路程.21教育网
12.有甲、乙两艘船,现同时由A地 ( http: / / www.21cnjy.com )顺流而下,乙船到B地时接到通知,须立即逆流而上返回C地执行任务,甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5 km,水流速度为每小时2.5 km,A、C两地间的距离为10 km.如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4 h,问:乙船从B地到达C地时,甲船距离B地有多远 【来源：21cnj*y.co*m】
13.某同学在做作业时,不慎将墨水瓶打翻,使一道作业题只看到如下字样:“甲、乙两地相距40 km,小轿车的速度为45 km/h,运货汽车的速度为35 km/h, ( http: / / www.21cnjy.com / ) ”(涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字,请将这道作业题补充完整,并列方程解答)2-1-c-n-j-y
参考答案
基础训练
1.解:设原有x条船.
由题意,得9(x-1)=6(x+1),解得x=5.
答:原有5条船.
2.解:设这群小朋友有x个人.
由题意得:5x+12=8(x-1)+2.
解得:x=6.
答:这群小朋友有6个人.
3.解:(1)设租用45座客车x辆.
由题意,得45x=60(x-1)-15.
解得x=5.所以45x=225.
答:参加春游人数为225人.
(2)由(1)可知x=5,则x-1=4.
因为5×250>4×300,
所以租用60座客车更合算.
4.解:设井深x尺.根据题意,得3(x+4)=4(x+1).解得x=8.所以3(x+4)=3×(8+4)=36.
答:井深8尺,绳长36尺.
5.解:设水流速度为x km/h,由题意,得6(12+x)=10(12-x),解得x=3.所以6×(12+3)=90(km).
答:水流速度为3 km/h,A、B两码头之间的距离为90 km.
6.解:设船在静水中的平均速度是x千米/小时,根据题意,得4(x+3)=(x-3),解得x=39.
答:船在静水中的平均速度是39千米/小时.
7.解:(方法一)设这架飞机最远能飞出x km就应返回.依题意,有+=4.6.解得x=1320.21cnjy.com
答:这架飞机最远能飞出1 320 km就应返回.
(方法二)设飞机顺风飞行的时间为t h.依题 ( http: / / www.21cnjy.com )意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t).解得t=2.2.则(575+25)t=600×2.2=1 320.
答:这架飞机最远能飞出1 320 km就应返回.
提升训练
8.解:设甲车共行驶了x h,则乙车行驶h.
依题意,有72x+48=360+100.解得x=4.
答:甲车共行驶了4 h.
点拨:根据题意画出示意图如图,再利用相遇问题的等量关系建立方程.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(第8题)
9.解:(1)设经过x h后,两人首次相遇.依题意,得21x+14x=42.解得x=1.2.
答:经过1.2 h后,两人首次相遇.
(2)设出发后经y h两人第二次相遇.依题意,得21y-14y=42×2.解得y=12.
答:出发后经12 h两人第二次相遇.
10.解:(1)设乙车的速 ( http: / / www.21cnjy.com )度为x米/秒,则甲车的速度为(x+4)米/秒.依题意得,得9x+9(x+4)=180+144.解得x=16,则x+4=20.www.21-cn-jy.com
答:甲、乙两列车的速度分别为20米/秒、16米/秒.
(2)设需要y秒,则有20y-16y=180+144.解得y=81.
答:需要81秒.
11.解:设去时的路程为 ( http: / / www.21cnjy.com )x km,依据题意,得+2++=4,解得x=5.25,答:去时的路程为5.25 km.2·1·c·n·j·y
12.解:设乙船由B地航行到C地用了x h,那么甲、乙两船由A地到B地都用了(4-x)h.
(1)若C地在A、B两地之间,则乙船由 ( http: / / www.21cnjy.com )A地航行到B地的距离是(7.5+2.5)(4-x)km,乙船由B地返回到C地的距离是(7.5-2.5)x km.根据乙船从A地航行到B地的距离-乙船从B地返回到C地的距离=A、C两地间的距离,得(7.5+2.5)(4-x)-(7.5-2.5)x=10.整理,得10(4-x)-5x=10.去括号,得40-10x-5x=10.移项、合并同类项,得-15x=-30.系数化为1,得x=2.所以甲船距离B地有(7.5+2.5)×2=20(km)远.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)若C地不在A、B两地之间,则乙船 ( http: / / www.21cnjy.com )由A地航行到B地的距离是(7.5+2.5)(4-x)km,乙船由B地返回到C地的距离是(7.5-2.5)x km,根据乙船从B地返回到C地的距离-乙船由A地航行到B地的距离=A、C两地间的距离,得(7.5-2.5)x-(7.5+2.5)(4-x)=10.整理,得5x-10(4-x)=10.去括号,得5x-40+10x=10.移项、合并同类项,得15x=50.系数化为1,得x=.所以甲船距离B地有×(7.5+2.5)=(km)远.21*cnjy*com
答:乙船从B地到达C地时,甲船距离B地有20 km或 km远.
13.解:(方法一)补充部分:若两车分别从甲、乙两地同时开出,相向而行,经几小时两车相遇
设经x h两车相遇,根据题意,得45x+35x=40.解得x=.
答:经 h两车相遇.
(方法二)补充部分:如果两车同时从甲地出发,同向而行,当小轿车到达乙地时,运货汽车距乙地还有多远
设运货汽车距乙地还有x km远,则 ( http: / / www.21cnjy.com )该车行驶了(40-x) km,此时运货汽车与小轿车所用时间相等,依题意,得=.解得x=.www-2-1-cnjy-com
答:运货汽车距乙地还有 km远.
( http: / / www.21cnjy.com / )
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3.3.2 解一元一次方程(二)
——去括号与去分母 第2课时
人教版 七年级上
导入新知
1
知识点
一般行程问题
1. 行程问题中的基本关系式：
路程＝速度×时间，
时间＝路程÷速度，
速度＝路程÷时间．
知1－讲
导入新知
知1－讲
2. 行程问题中的相等关系：
(1)相遇问题中的相等关系：
①若甲、乙相向而行，甲走的路程＋乙走的路程
＝甲、乙出发点之间的路程；
②若甲、乙同时出发，甲用的时间＝乙用的时间．
(2)追及问题中的相等关系：
①快者走的路程－慢者走的路程＝追及路程；
②若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时
间＝慢者用的时间．
导入新知
知1－讲
例1 甲站和乙站相距1 500 km，一列慢车从甲站
开出，速度为60 km/h，一列快车从乙站开
出，速度为90 km/h.
(1)若两车相向而行，慢车先开30 min，快车
开出几小时后两车相遇？
新知讲解
知1－讲
(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两
车相距1 800 km
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，
多少小时后两车相距1 200 km(此时快车在慢
车的后面)
新知讲解
知1－讲
导引：(1)设快车开出x h后两车相遇．列表：
相等关系：慢车行驶的路程＋快车行驶的
路程＝1 500 km.
路程/km 速度/(km/h) 时间/h
慢车 60
快车 90x 90 x
新知讲解
知1－讲
(2)设y h后两车相距1 800 km.列表：
相等关系：
两车行驶的路程和＋1 500 km＝1 800 km.
路程/km 速度/(km/h) 时间/h
慢车 60y 60 y
快车 90y 90 y
新知讲解
知1－讲
(3)设z h后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的后
面)．列表：
相等关系：慢车行驶的路程＋1 500 km－快车行
驶的路程＝1 200 km.
路程/km 速度/(km/h) 时间/h
慢车 60z 60 z
快车 90z 90 z
新知讲解
知1－讲
解：(1)设快车开出x h后两车相遇．
由题意，得
解得x＝9.8.
答：快车开出9.8 h后两车相遇．
(2)设y h后两车相距1 800 km.
由题意，得60y＋90y＋1 500＝1 800.
解得y＝2.
答：2 h后两车相距1 800 km.
新知讲解
知1－讲
(3)设z h后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的后面)．
由题意，得60z＋1 500－90z＝1 200.
解得z＝10.
答：10 h后两车相距1 200 km(此时快车在慢车
的后面)．
新知讲解
(1)分析行程问题时，可借助图示、列表来分析数量
关系，图示可直观找出路程的相等关系，列表可
将路程、速度、时间的关系清晰地展示出来．
(2)本例是求时间，我们可设时间为未知数，从表中
求路程；如果要求的是路程，那么我们可设路程
为未知数，从表中求时间，其依据是路程、速度
总 结
知1－讲
新知讲解
和时间三者间的关系式．如(1)小题若将“几小时后
两车相遇？”改为“相遇时快车走了多少千米？”
如间接设未知数，则原解析及解不变，将x求出后，
再求出90x的值即可，如直接设未知数，则解析改为：
设相遇时快车走了x km.
知1－讲
新知讲解
知1－讲
路程/km 速度/(km/h) 时间/h
慢车 1 500－x 60
快车 x 90
列表：
新知讲解
相等关系：
方程为
(3)一般规律：在路程、速度、时间这三个量中，甲
量已知，从乙量设元，则从丙量中找相等关系列
方程；在所有行程问题中，一般都已知一个量，
另两个量相互之间都存在相等关系．
知1－讲
新知讲解
知1－讲
例2 小明和他的哥哥早晨起来沿长为400 m的环形
跑道练习跑步，小明跑2圈用的时间和他的哥
哥跑3圈用的时间相等，两人同时同地同向出
发，结果经过2 min 40 s他们第一次相遇，若
他们两人同时同地反向出发，则经过几秒他
们第一次相遇？
新知讲解
知1－讲
导引：(1)设小明的速度为x m/s.列表：
相等关系：
小明走的路程＝哥哥走的路程－400 m.
路程/m 速度/(m/s) 时间/s
小明 160x x 160
哥哥 160
新知讲解
知1－讲
解：设小明的速度为x m/s，
则他的哥哥的速度为
由题意得
则小明的哥哥的速度为
设经过y s他们第一次相遇．
由题意，得(5＋7.5)y＝400.解得y＝32.
答：经过32 s他们第一次相遇．
解得x＝5.
新知讲解
(1)本例在求小明及哥哥的速度时，也可设他们两人
的速度分别为2x m/s和3x m/s.
(2)环形运动问题中的相等关系(同 时同地出发)：
①同向相遇：第一次相遇快者的路程－第一次相
遇慢者的路程＝跑道一圈的长度；
②反向相遇：第一次相遇快者的路程＋第一次相
遇慢者的路程＝跑道一圈的长度．
总 结
知1－讲
巩固提升
1 汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静
的山谷，驾驶员摁一下喇叭，4秒后听到回声，这
时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约
为340米/秒，设听到回声时，汽车离山谷x米，根
据题意，列出方程为( )
A．2x＋4×20＝4×340 B．2x－4×72＝4×340
C．2x＋4×72＝4×340 D．2x－4×20＝4×340
知1－练
A
巩固提升
2 张昆早晨去学校共用时15分钟，他跑了一段，走了
一段，他跑步的平均速度是250米/分，步行的平均
速度是80米/分，他家与学校的距离是2 900米，若
他跑步的时间为x分钟，则列出的方程是( )
A．
B．80x＋250(15－x)＝2 900
C．
D．250x＋80(15－x)＝2 900
知1－练
D
新知讲解
2
知识点
顺流(风)、逆流(风)问题
知2－讲
航行问题中的基本关系式：
顺水(风)速度＝静水(风)速度＋水(风)速度．
逆水(风)速度＝静水(风)速度－水(风)速度．
新知讲解
例3 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了 2 h;
从乙码头返回甲码头逆流而行，用了 2.5 h．
已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的平
均速度．
分析：一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，
由此填空：
顺流速度________顺流时间________逆流速度
________逆流时间.
知2－讲
×
＝
×
新知讲解
解：设船在静水中的平均速度为x km/h，则顺流速
度为(x＋3)km/h，逆流 速度为(x－3)km/k.
根据往返路程相等，列得 2(x＋3) ＝2. 5(x－3).
去括号，得2x＋6＝2.5x－7. 5.
移项及合并同类项，得0. 5x=13. 5.
系数化为1，得x=27.
答：船在静水中的平均速度为27 km/h.
知2－讲
新知讲解
例4 一架飞机飞行在两个城市之间,风速为24 km/h，
顺风飞行需要2 h 50 min,逆风飞行需要3 h,求飞
机在无风时的平均速度及两城市之间的距离．
方法一：设速度为未知数．
导引：设飞机在无风时的平均速度为x km/h，
2 h 50 min＝
知2－讲
新知讲解
知2－讲
相等关系：顺风行驶路程＝逆风行驶路程．
路程/km 平均速度/(km/h) 时间/h
顺风飞行 x＋24
逆风飞行 3(x－24) x－24 3
列表：
新知讲解
解：2 h 50 min＝
设飞机在无风时的平均速度为x km/h，
则顺风速度为(x＋24) km/h，
逆风速度为(x－24) km/h.
根据题意，得
解得x＝840. 3(x－24)＝2 448 .
答：飞机在无风时的平均速度为840 km/h，
两城市之间的距离为2 448 km.
知2－讲
新知讲解
方法二：设路程为未知数．
导引：设两城市之间的距离为x km.列表：
知2－讲
路程/km 平均速度/(km/h) 时间/h
顺风飞行 x
逆风飞行 x 3
相等关系：顺风行驶平均速度－风速＝逆风行
驶平均速度＋风速，即无风时平均速度相等．
新知讲解
解：设两城市之间的距离为x km，则顺风行驶的速
度为
根据题意，得
所以
答：飞机在无风时的平均速度为840 km/h，两
城市之间的距离为2 448 km.
知2－讲
解得x＝2 448.
新知讲解
(1)行程问题：虽然不同的问题有不同的关系式，但
列表格分析的方式是一致的，在路程、速度、时
间这三个量中，已知量相同，设的未知量不同，
所列方程也不同．
(2)解有关行程问题时，我们始终要记住一句话：在
行程问题三个基本量(路程、速度、时间)中：
总 结
知2－讲
新知讲解
①如果速度已知，若从时间设元，则从路程找相等
关系列方程；若从路程设元，则从时间找相等关系
列方程；②如果时间已知，若从速度设元，则从路
程找相等关系列方程；若从路程设元，则从速度找
相等关系列方程；③如果路程已知，若从时间设元，
则从速度找相等关系列方程；若从速度设元，则从
时间找相等关系列方程．
知2－讲
巩固提升
一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6 h，飞
机出航时顺风飞行，在无风时的速度是575 km/h，
风速为25 km/h，这架飞机最远能飞出多少千米就应
返回？
知2－练
1
解：设飞机顺风飞行的时间为t h.
依题意，有(575＋25)t＝(575－25)(4.6－t)．
解得t＝2.2. 则(575＋25)t＝600×2.2＝1 320.
答：这架飞机最远能飞出1 320 km就应返回．
新知讲解
3
知识点
上坡、下坡问题
知3－讲
例5 从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路.
如果骑自行车保持平路每小时行15 km，上坡
路每小时行10 km，下坡路每小时行18 km，
那么从甲地到乙地需29 min，从乙地到甲地需
25 min.从甲地到乙地的路程是多少？
新知讲解
解：设在平路段所用的时间为x小时，
则依题意得：
解得 ：
则从甲地到乙地的路程是
答：从甲地到乙地的路程是6.5 km.
知3－讲
巩固提升
(中考·株洲)家住山脚下的孔明同学想从家出发登山
游玩，据以往的经验，他获得如下信息：
(1)他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米；
(2)他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米；
(3)抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米；
(4)下山用1小时．
知3－练
1
巩固提升
根据上面信息，他做出如下计划：
(1)在山顶游览1小时；
(2)中午12：00回到家吃中餐．
若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学
应该在什么时间从家出发？
知3－练
巩固提升
知3－练
解：设上山的速度为v千米/小时，则下山的速度为(v＋1)千米/小时，则2v＋1＝v＋1＋2，解得v＝2.
即上山的速度是2千米/小时．
则下山的速度是3千米/小时，山高为5千米．
故计划上山的时间为5÷2＝2.5(小时)，
计划下山的时间为1小时，
则共用时间为2.5＋1＋1＝4.5(小时)，
所以出发时间为12：00－4小时30分钟＝7：30.
答：孔明同学应该在7点30分从家出发．
课堂小结
行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流
问题，上坡、下坡问题等．在运动形式上分直线运
动及曲线运动(如环形跑道)．相遇问题是相向而行，
相遇时的总路程为两运动物体的路程和．追及问题
是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干时
间，快的再追．顺流、逆流、顺风、逆风、上下坡
应注意运动方向．
谢谢
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