高中选修2-2 导数的应用基础题

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
f′(x0)＝ ＝ .
(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点
处的 ．相应地，切线方程为 ．
2．函数y＝f(x)的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝
f(x)＝sin x
f′(x)＝
f(x)＝cos x
f′(x)＝
f(x)＝ex
f′(x)＝
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝logax (a>0，a≠1)
f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝ ；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ ；
(3)′＝ (g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝
，即y对x的导数等于 的 与 的导数的乘积．
1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于(　　)
A．2　　　　　　　 B．0
C．－2 D．－4
2．(2017·临沂模拟)已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是___________．
导数的运算
1．(1)已知y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则y′＝(　　)
A．3x2－12x＋6　　 B．x2＋12x－11
C．x2＋12x＋6 D．3x2＋12x＋11
导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度有：
(1)求切线方程问题．
(2)确定切点坐标问题．
(3)已知切线问题求参数．
(4)切线的综合应用．
2．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是____________．
命题点2　确定切点坐标
3．(2017·东营模拟)函数f(x)＝xln x在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为________．
命题点4　切线的综合应用
4．(2016·高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．
(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．
解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，
f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0.
曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.
(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于ln x－>0.
设g(x)＝ln x－，则
(ⅰ)当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)>0；
(ⅱ)当a>2时，令g′(x)＝0得
x1＝a－1－，x2＝a－1＋.
由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，此时g(x)＜g(1)＝0.
综上，a的取值范围是(－∞，2]．
．规律方法
导数的几何意义应用时主要体现在3个方面
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解．
2．易错纠偏　易混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误．
导数的概念及运算主要考查导数的几何意义．在选择、填空、解答题中均有考查，难度中档偏上．
1．(2014·高考新课标全国Ⅱ卷)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)
A．0　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
3．(2015·高考全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
2．(2015·高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.