14.2-3 乘法公式与因式分解培优提高试题

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八上数学第十四章培优提高 第2-3节 乘法公式与因式分解
一.选择题（共10小题）
1.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　）
A.（x+1）（1+x） B.（a+b）（b﹣a） C.（﹣a+b）（a﹣b） D.（x2﹣y）（x+y2）
2.下列多项式中，a2﹣4a+4，1+4a2，4b2+4b﹣1，a2+ab+b2.完全平方式有（　　）个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A.6a2b=3a 2ab B.（x+4）（x﹣4）=x2﹣16【来源：21·世纪·教育·网】
C.2ax﹣2ay=2a（x﹣y） D.4x2+8x﹣1=4x（x+2）﹣1
4.已知mn=1，m﹣n=2，则m2n﹣mn2的值是（　　）
A.﹣1 B.3 C.2 D.﹣2www-2-1-cnjy-com
5.下列各式成立的是（　　）
A.a﹣（b+c）=a﹣b+c B.a+b﹣c=a+（b﹣c）
C.a+（b+c）=a﹣b+c D.a+b﹣c=a﹣（b+c）
6.将面积为a2的正方形边长增加3，则正方形的面积增加了（　　）
A.9 B.2a+9 C.3a+9 D.6a+92-1-c-n-j-y
7.三个连续奇数，若中间一个为n，则它们的积是（　　）
A.6n3﹣6n B.4n3﹣n C.n3﹣4n D.n3﹣n21*cnjy*com
8.如果x2﹣mx+36是一个完全平方式，则m的值为（　　）
A.6 B.12 C.±6 D.±1221·世纪*教育网
9.如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　）
A.2 cm2 B.2a cm2 C.4a cm2 D.（a2﹣1）cm2
10.如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，可以验证下面一个等式是（　　）
A.（a+b）2=a2+2ab+b2 B.（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C.a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D.a2+b2=[（a+b）2+（a﹣b）2]
二.填空题（共8小题）
11.已知a﹣b=3，c+d=2，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为　 　.
12.已知a+b=10，a﹣b=8，则a2﹣b2=　 　.
13.把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m+n的值为　 　.
14.已知：2x2﹣4xy+4y2+6x+9=0，则x+y=　 　.
15.在实数范围内分解因式：x4﹣9=　 　.
16.分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12=　 　
17.把x2y2+4加上一个单项式，使其成为多项式的完全平方式，请你写出所有符合条件的单项式　 　.【来源：21cnj*y.co*m】
18.完全平方式（a+b）2=a2+2ab+b2中，等式右边各项系数依次是1，2，1，那么，（a+b）3，（a+b）4，…（a+b）n展开后的各项系数有什么规律呢？11世纪中叶，我国数学家贾宪给出了直到（a+b）6的系数表（如图），请观察系数表，请写出（a+b）7展开后从左向右第三项的系数　 　.【出处：21教育名师】
三.解答题（共9小题）
19.计算：
（1）（2x+3y）2﹣（4x﹣9y）（4x+9y）+（3x﹣2y）2.
（2）（a﹣2b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）﹣4a（a﹣b）
20.分解因式：
（1）x4﹣81； （2）3x3﹣12xy2； （3）4（x+y）2﹣1；
（4）（x2+x+1）2﹣1； （5）9（x+y）2﹣4（x﹣y）2.
21.给出三个多项式：x2+x﹣1，x2+3x+1，x2﹣x，请你写出其中两个多项式的加法运算，并把运算结果因式分解.21cnjy.com
22.化简求值
（1）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=1，y=2.
（2）化简求值：（a+b）2﹣2a（b+1）﹣a2b÷b，其中a=﹣2，b=2.
23.基本事实：“若ab=0，则a=0或b=0”.一元二次方程x2﹣x﹣2=0可通过因式分解化为（x﹣2）（x+1）=0，由基本事实得x﹣2=0或x+1=0，即方程的解为x=2或x=﹣1.
（1）试利用上述基本事实，解方程：2x2﹣x=0：
（2）解方程：（x+1）（x+2）+=0.
24.已知将边长分别为a和2b（a＞b）的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图1，再用这四个三角形拼成如图2所示的正方形，中间形成一个正方形的空洞.经测量得长方形的面积为24，正方形的边长为5.试通过你获取的信息，求a2+b2和a2﹣b2的值.
25.已知△ABC三边长a，b，c满足a2+b2+c2﹣12a﹣16b﹣20c+200=0，请判断△ABC的形状并说明理由.21世纪教育网版权所有
26.如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，则说明4，12，20都是神秘数.21·cn·jy·com
（1）28和2012是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k和2k+2（k为非负整数），由这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数吗？
（3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是神秘数吗？为什么？
　
27.如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）.2·1·c·n·j·y
（1）图2中的阴影部分的面积为　 　；
（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　 　；
（3）根据（2）中的结论，若x+y=7，xy=，则x﹣y=　 　；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.根据图3，写出一个因式分解的等式　 　.
八上数学第十四章培优提高 第2-3节 乘法公式与因式分解
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题）
1B.【解答】解：A、不存在互为相反数的项，故本选项错误；
B、b是相同的项，互为相反项是a与﹣a，正确；
C、（﹣a+b）（a﹣b）=﹣（a﹣b）（a﹣b），不符合平方差公式的特点；
D、不存在相同的项，故本选项错误.故选B.
2A.【解答】解：a2﹣4a+4=（a﹣2）2，而1+4a2，4b2+4b﹣1，a2+ab+b2都不是完全平方式，
则完全平方式有1个.故选A.　
3C.【解答】解：A、6a2b=3a 2ab，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
B、（x+4）（x﹣4）=x2﹣16，是整式的乘法运算，故此选项错误；
C、2ax﹣2ay=2a（x﹣y），是因式分解，故此选项正确；
D、4x2+8x﹣1=4x（x+2）﹣1，不符合因式分解的定义，故此选项错误；故选：C.
4C.【解答】解：m2n﹣mn2=mn（m﹣n），∵mn=1，m﹣n=2，∴原式=1×2=2，故选C.　
5B.【解答】解：A、a﹣（b+c）=a﹣b﹣c，故本选项错误；
B、a+b﹣c=a+（b﹣c），故本选项正确；
C、a+（b+c）=a+b+c，故本选项错误；
D、a+b﹣c=a﹣（﹣b+c），故本选项错误；故选B.
6D.【解答】解：∵面积为a2的正方形，∴其边长为：a，
∵正方形边长增加3，∴正方形的面积增加了：（a+3）2﹣a2=6a+9.故选：D.　
7C.【解答】解：设中间的数为n，那么最小的奇数是n﹣2，最大的奇数是n+2，那么有：
（n﹣2）×n（n+2）=n3﹣4n.故选C.　
8D.【解答】解：∵x2﹣mx+36是一个完全平方式，∴m=±12.故选D
9C.【解答】解：矩形的面积是：（a+1）2﹣（a﹣1）2=4a（cm2）.故选：C.
10C.【解答】解：∵左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是
（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）.故选C.
　
二.填空题（共8小题）
11.　﹣1　.
【解答】解：原式=b+c﹣a+d=c+d﹣a+b=（c+d）﹣（a﹣b）=2﹣3=﹣1.
12.　80　.
【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，∴a2﹣b2=10×8=80，故答案为：80
13. 　　.
【解答】解：由x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n），得
x2+4mx+5=（x+5）（x+n），（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，
x2+4mx+5=x2+（n+5）x+5n.4m=n+5，5n=5.解得n=1，m=
m+n=1+=，故答案为：.　
14.　　.
【解答】解：由已知等式，得（x﹣2y）2+（x+3）2=0，
根据非负数的性质，得x﹣2y=0，x+3=0，解得x=﹣3，y=﹣，
∴x+y=﹣3﹣=﹣.故答案为：﹣.
15.　（x﹣）（x+）（x2+3）　.
【解答】解：x4﹣9=（x2）2﹣32=（x2﹣3）（x2+3）=（x﹣）（x+）（x2+3）.
故答案为：（x﹣）（x+）（x2+3）.　
16.　（x2+x+5）（x+2）（x﹣1）　.
【解答】解：原式=（x2+x）2+3（x2+x）﹣10=（x2+x+5）（x2+x﹣2）=（x2+x+5）（x+2）（x﹣1）.
故答案为：（x2+x+5）（x+2）（x﹣1）.　
17.　±4xy、　.
【解答】解：∵x2y2+4±4xy=（xy±2）2；
x2y2+4+=（+2）2；∴加上的单项式可以是±4xy、中任意一个.
故答案为：±4xy、.
18.　21　.
【解答】解：由图中的规律可知：上面两个数之和就是下面的一行的数；
∴第7行的数是：1 7 21 35 35 21 7 1
故（a+b）7展开后从左向右第三项的系数是21故答案为：21
三.解答题（共9小题）
19.【解答】解：（1）原式=4x2+9y2+12xy﹣16x2+81y2+9x2+4y2﹣12xy=﹣3x2+94y2；
（2）原式=a2﹣4ab+4b2﹣b2+4a2﹣4a2+4ab=a2+3b2.
20.【解答】解：（1）原式=（x2+9）（x2﹣9）=（x2+9）（x+3）（x﹣3）；
（2）原式=3x（x2﹣4y2）=3x（x+2y）（x﹣2y）；
（3）原式=（2x+2y+1）（2x+2y﹣1）；
（4）原式=（x2+x+1+1）（x2+x+1﹣1）=（x2+x+2）（x2+x）；
（5）原式=[3（x+y）+2（x﹣y）][3（x+y）﹣2（x﹣y）]=（5x+y）（x+5y）.　
21.【解答】解：分三种情况：
①（x2+x﹣1）+（x2+3x+1）=x2+x﹣1+x2+3x+1=x2+4x=x（x+4）；
②（x2+x﹣1）+（x2﹣x）=x2+x﹣1+x2﹣x=x2﹣1=（x+1）（x﹣1）；
③（x2+3x+1）+（x2﹣x）=x2+3x+1+x2﹣x=x2+2x+1=（x+1）2.　
22.【解答】解：（1）原式=x2﹣y2﹣x2﹣xy+2xy=﹣y2+xy
将x=1，y=2代入得：原式=﹣2；
（2）原式=a2+2ab+b2﹣2ab﹣2a﹣a2=b2﹣2a，
将a=﹣2，b=2代入得：原式=8.　
23.【解答】解：（1）方程左边因式分解可得：x（2x﹣1）=0，∴x=0或2x﹣1=0，
解得：x=0或x=；
（2）原方程整理可得：x2+3x+=0，
左边因式分解可得：（x+）2=0，∴x+=0，解得：x=﹣.　
24.【解答】解：根据题意得a2+b2=52=25，a 2b=24，∴a2+b2+2ab49，
∴a+b=7，∵a＞b，∴a=4，b=3，∴a2+b2=25，a2﹣b2=7.　
25.【解答】解：△ABC为直角三角形
理由：∵a2+b2+c2﹣12a﹣16b﹣20c+200
=a2﹣12a+36+b2﹣16b+64+c2﹣20c+100
=（a﹣6）2+（b﹣8）2+（c﹣10）2=0，
∴a﹣6=0，b﹣8=0，c﹣10=0，∴a=6，b=8，c=10，
∴a2+b2=36+64=100=c2∴△ABC为直角三角形.　
26.【解答】解：（1）∵28=82﹣62，2012=5042﹣5022，
∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”；
（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数.理由如下：
（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，
∵2k+1是奇数，∴它是4的倍数，不是8的倍数；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k，
此数是8的倍数，而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数.
27.【解答】解：（1）阴影部分为边长为（b﹣a）的正方形，所以阴影部分的面积（b﹣a）2，
故答案为：（b﹣a）2；
（2）图2中，用边长为a+b的正方形的面积减去边长为b﹣a的正方形等于4个长宽分别a、b的矩形面积，所以（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，21教育网
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；
（3）∵（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，而x+y=7，x y=，
∴72﹣（x﹣y）2=4×，∴（x﹣y）2=4，∴x﹣y=±2，
故答案为：±2；
（4）边长为（a+b）与（3a+b）的矩形面积为（a+b）（3a+b），它由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，www.21-cn-jy.com
∴3a2+4ab+b2=（a+b） （3a+b），
故答案为：3a2+4ab+b2=（a+b） （3a+b）.
　
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