1.1 集合
问题探究
问题1如何判断一组对象的全体是否构成集合?
探究:如果集合中的元素能找到一个明确的标准,来判定整体中的对象是确定的,则这些对象可构成集合;若对象不确定,则不能构成集合.例如:“我们学校高一(3)班的同学”构成一个集合、“中国的四大佛教名山”也可以构成一个集合,因为它们都有一个确定的标准,可以判定某一同学或某一座山是不是该集合的元素.而“善良的人”“美丽的花”等不能构成集合,为什么？因为我们无法找到一个标准来确定什么样的人是“善良的人”,什么样的花才算“美丽的花”.【来源：21·世纪·教育·网】
问题2在表示集合时,什么情况下适合用列举法？什么情况下适合用描述法？
探究:列举法就是把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内的表示集合的方法.例如:方程x2-1=0的所有解组成的集合可表示为{1,-1}.列举法可表示有限集,也可表示无限集.若元素的个数比较少,用列举法表示比较简单;若集合中元素的个数较多或无限多,但呈现出一定的规律性,在不致发生误解的情况下,也可列出几个元素作为代表,其他的元素用省略号表示.例如:不大于200的正偶数构成的集合可表示为{2,4,6,8,…,200};自然数构成的集合可表示为{0,1,2,3,…,n,…}.列举法表示集合时,可不考虑元素间的顺序,如{1,-1}与{-1,1}是同一个集合.21·世纪*教育网
但要注意的是,有些集合有书写习惯的问题,比如{0,1,2,3,…,n,…},一般不写为{1,0,2,3,…,n,…}等.www-2-1-cnjy-com
描述法就是用确定的条件表示某种对象是否属于一个集合的方法.它的表述形式是A={x∈I|p(x)},其中x是A的元素,x∈I且x满足特征性质p(x),即使说法p(x)成立的I中诸元素子集.其中性质p(x)叫集合A的一个特征性质,它同x∈I一起来确定集合A中的元素.描述法有两种形式,一种是文字描述,如“所有四边形组成的集合”记为{x|x是四边形}.在不致混淆的情况下,可以省去“|”及其左边的部分,直接写成{四边形},而不能写成{所有四边形},因为大括号本身有全部的意思.故用文字描述集合时,应去掉含有“整体”“全部”的词;另一种是数学描述,如“所有的非负数组成的集合”记为{x|x≥0,x∈R },也可写成{x|x≥0}.当集合是数集,在没有标明x范围的前提下,我们认为x的值是使式子有意义的所有x的值.又如{y|y=},此时我们认为x∈R且x≠0,由反比例函数的性质可知,该集合可化为{y|y∈R且y≠0}.21*cnjy*com
问题3 Q一定表示无理数集吗？
探究:不一定.这要看全集U是怎样的集合.若U为实数集,则Q为全体无理数的集合,但若全集U为无理数集Q,则Q为空集.因而补集是相对于全集而言的,全集不相同时,同一集合的补集也不相同.【出处：21教育名师】
典题精讲
例1:下列各组对象中不能构成集合的是…( )
A.高一(1)班全体女生卫生 B.高一(1)班全体学生家长
C.高一(1)班开设的所有课程 D.高一(1)班身高较高的男同学
思路解析:
本题判断所给对象能否构成集合的问题,只需根据构成集合的条件,即集合中元素的确定性便可以解决.因为A、B、C中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;而D中所给对象不确定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合.若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”,则能构成集合.【版权所有：21教育】
答案:D
例2:判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正.
(1){}表示空集;
(2)空集是任何集合的真子集;
(3){1,2,3}不是{3,2,1};
(4){0,1}的所有子集是{0},{1},{0,1};
(5)如果AB且A≠B,那么B必是A的真子集;
(6)AB与BA不能同时成立.
思路分析:
对每个说法按照相关的定义进行思路解析,认真与定义中的要素进行对比.即能判断正误.
(1){ }不表示空集,它表示以空集为元素的集合,所以(1)不正确.空集有专用的符号“”,不能写成{},也不能写成{ }.21cnjy.com
(2)分析空集、子集、真子集的区别与联系.
(3)不正确.两个集合是不是相同,要看其中一个集合的每个元素在另一个集合中是不是都有相同的元素与之对应,而不必考虑各元素的顺序.【来源：21cnj*y.co*m】
(4)不正确.注意到是每个集合的子集.所以这个说法不正确.
(5)正确.AB包括两种情形:AB和A=B.
(6)不正确.A=B时,AB与BA能同时成立.
解:(1)不正确.应该改为:{ }表示这个集合的元素是.
(2)不正确.空集是任何非空集合的真子集,也就是说空集不能是它自身的真子集.这是因为空集与空集相等,而两个相等的集合不能说其中一个是另一个的真子集.由此也发现了,如果一个集合是另一个集合的真子集,那么这两个集合必不相等.2-1-c-n-j-y
(3)不正确.{1,2,3}与{3,2,1}表示同一集合.
(4)不正确.{0,1}的所有子集是{0},{1},{0,1},.
(5)正确.
(6)不正确.A=B时,AB与BA能同时成立
例3:用另一种形式表示下列集合:
(1){绝对值不大于3的整数};
(2){所有被3整除的数};
(3){x|x=|x|,x∈Z且x<5};
(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z };
(5){(x,y)}|x+y=6,x>0,y>0,x∈Z,y∈Z }.
思路分析:
用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.
解:(1){绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x∈Z },也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.21教育网
(2){x|x=3n,n∈Z };(说明:{被3除余1的整数}可表示为{x|x=3n+1,n∈Z }).
(3)∵x=|x|,∴x≥0,
又∵x∈Z且x<5,
∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可以表示为{0,1,2,3,4}.
(4){-2}(注意x∈Z).
(5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
例4:已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中元素至多只有一个,求a的取值范围.
思路分析:
对于方程ax2-3x+2=0,a∈R的解,要看这个方程左边的二次项的系数,a=0和a≠0方程的根的情况是不一样的.则集合A的元素也不相同,所以首先要分类讨论.21世纪教育网版权所有
解:(1)a=0时,原方程为-3x+2=0x=,符合题意;
(2)a≠0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,
Δ=9-8a≤0a≥.
∴当a≥时,方程ax2-3x+2=0无实根或有两个相等实数根,这都符合题意.
综合(1)(2),知a=0或a≥.
例5:已知集合A={1,2},B={1,2,3,4,5},且AMB,写出满足上述条件的集合M.
思路分析:
要解决这个问题,关键是要搞清满足条件AMB的集合M是由哪些元素组成的.∵AM,∴M中一定含有A的全部元素1、2,且至少含有一个不属于A的元素.又∵MB,∴M中的元素除了含有B的元素1、2外,还有元素3、4、5中的1个、2个或3个.故求M的问题转化为研究集合{3,4,5}的非空子集的问题,显然所求集合M有23-1=7个,按元素的多少把它们一一列举出来即可.www.21-cn-jy.com
答案:满足条件的集合M是{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
例6:设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R }.若A∩B=B,求a的值.
思路分析:
首先可以看到集合A中可以用列举法表示出集合中的元素(其元素即是方程x2+4x=0的解),然后根据集合间的关系,可以发现,A的元素和B中元素的关系.也就是说可以明确B的元素(即方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根),进而解出a的值.21·cn·jy·com
解:首先化简集合A,得A={-4,0},
由A∩B=B,则有BA,可知集合B或为或为{0}或为{-4}或为{0,-4},
①若B=时,Δ=4(a+1) 2-4(a2-1)<0,解得a<-1.
②若0∈B,代入得a2-1=0a=1或a=-1.
当a=1时,B={x|x2+4x=0}={0,-4}=A,合题意;
当a=-1时,B={x|x2=0}={0}A,也合题意.
③若-4∈B,代入得a2-8a+7=0a=7或a=1.
当a=1时,已讨论,合题意;
当a=7时,B={x|x2+16x+48=0}={-12,-4},不合题意.
由①②③得,a=1或a≤-1.
例7:已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0,a∈R },B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},若A∩B≠,且A∩C=,求a的值.2·1·c·n·j·y
思路分析:
可以看出B、C是两个确定元素的集合,再由A∩B≠,且A∩C=,便可求A的元素.
解:由题设易知B={2,3},C={2,-4}.由A∩B≠,且A∩C=知3∈A.
把x=3代入方程x2-ax+a2-19=0得9-3a+a2-19=0.解得a=5或a=-2.
当a=5时,得A={x|x2-5x+6=0}={2,3},与A∩C=矛盾.
当a=-2时,得A={x|x2+2x-15=0}={3,-5},满足题设条件.
故所求a=-2.
例8设a、b是两个实数,集合A={(x,y)|y=ax+b,x∈Z },B={(x,y)|y=3x2+15,x∈Z },C={(x,y)|x2+y2≤144},讨论是否存在实数a和b使得A∩B≠,(a,b)∈C同时成立.
思路分析:
把A∩B≠转化为方程组有解的问题.
解法一:由A∩B≠知方程组有解,
即方程3x2-ax+15-b=0有解.
∴Δ=a2-4×3×(15-b)=a2+12b-180≥0.项基本原则 ①
由(a,b)∈C,得144≥a2+b2. ②
由①②得180-12b≤a2≤144-b2. ③
由③得(b-6) 2≤0b=6.
把b=6代入③得108≤a2≤108,
∴a2=108,即a=±6.
把a=±6,b=6代入方程3x2-ax+15-b=0.
解得x=±,这与x∈Z矛盾.
故不存在实数a、b满足条件.
解法二:由A∩B≠知方程组有解,
即方程3x2-ax+15-b=0有解.
由(a,b)∈C,得144≥a2+b2.
由
消去b,得到关于a的二次不等式
(1+x2)a2-2x(3x2+15)a+［(3x2+15) 2-144］≤0.(*)
∵1+x2>0且Δ=-36(x2-3) 2<0(∵x∈Z,∴x2≠3),∴上述不等式(*)没有实数解.
故满足条件的a、b不存在.
1.2 函数及其表示
典题精讲
例1:判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.
(1)y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;
(2)y=与y= ;
(3)y=1+与u=1+;
(4)y=x2与y=x;
(5)y=2|x|与y=
思路分析:
此题的考查目的在于强化函数是三要素构成的整体,且三要素中值域是由定义域和对应法则共同确定的,判断时可以只考虑定义域和对应法则是否相同.21教育网
解:(1)不同,因为它们的定义域不同.前者的定义域是全体实数,后者的定义域是全体自然数.
(2)不同,前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2}.
(3)相同,定义域均为非零实数,对应法则都是自变量取倒数后加1.
(4)不相同,定义域是相同的,但对应法则不同,值域不同,前者的值域是{y|y≥2},后者的值域是{y|y∈R }.21·cn·jy·com
(5)相同,将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值,结果就是y=2
例2:如果f()=,则f(x)=___________.
思路解析:
函数解析式y=f(x)是自变量x确定y值的关系式,本题实质是求经怎样的变形得到这一结果.
方法一:∵f()==,
∴f(x)=(x∈R且x≠0,x≠±1).
方法二:设t=,则x=,代入f()=,
得f(t)=,
∴f(x)= (x∈R且x≠0,x≠±1).
答案:
例3:作出下列函数的图象:
(1)y=1-x,x∈Z;
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3);
(3)y=|x-1|+|3-x|;
(4)y=|x2-4x+3|.
思路分析:
(1)这个函数的图象是由一些点组成的,这些点都在直线y=1-x上.
∵x∈Z,
∴y∈Z,这些点称为整点.(如图1-2-2)
(2)∵0≤x<3,
∴这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0≤x<3之间的一段弧.(如图1-2-3)
(3)所给函数可写成分段函数f(x)=
其图象是由两条射线与一条线段组成的折线.(如图1-2-4)
(4)所给函数也可写成分段函数f(x)=
其图象是由两条抛物线的两段组成的.(如图1-2-5)
答案:
(1) (2)
图1-2-2 图1-2-3
(3) (4)
图1-2-4 图1-2-5
例4:下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么？
(1)A=R,B={x∈R |x≥0},对应法则是“求平方”;
(2)A=R,B={x∈R |x>0},对应法则是“求平方”;
(3)A={x∈R |x>0},B=R,对应法则是“求平方根”;
(4)A={平面α内的圆},B={平面α内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形”.
思路分析:
只有(1)是映射,因为A中的任何一个元素,在B中都能找到唯一的元素与之对应.
(2)不是从集合A到集合B的映射.因为A中的元素0,在集合B中没有象.
(3)不是从集合A到集合B的映射.因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有两个元素与之对应,象不唯一.21cnjy.com
(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应,象不唯一.21·世纪*教育网
答案:(1)是;(2)不是;(3)不是;(4)不是.
例5:如图1-2-7所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从B点开始沿着折线BC、CD、DA前进至A,若P点运动的路程为x,△PAB的面积为y.www.21-cn-jy.com
图1-2-7
(1)写出y=f(x)的解析式,并求出函数的定义域;
(2)画出函数的图象并求出函数的值域.
思路分析:
首先通过画草图可以发现,P点运动到不同的位置,y的求法是不同的(如图1-2-8的阴影部分所示).
图1-2-8
可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的,它们的面积由其高来定,所以只要由运动里程x来求出各段的高即可.www-2-1-cnjy-com
解:(1)分类讨论:
①当P在BC上运动时,易知∠B=60°,则知
y=×10×x×sin60°=x,0≤x≤4.
②当P点在CD上运动时,
y=×10×2=10,4
③当P在DA上运动时,
y=×10×(14-x)×sin60°=-x+35,10≤x<14.
综上所述,函数的关系式为
y=f(x)=
(2)f(x)的图象如图1-2-11所示.
图1-2-11
由图象可知y的取值范围是0≤y≤10.这表明函数f(x)的值域为[0,10].
例6:纵观历史,中国电信业的发展主要是在20世纪的后20年,尤其是90年代至今真正实现了电信的“起飞”.中国电话网规模从1995年的第4位提升为目前的第2位,进入世界前列.目前,中国的电话用户,特别是移动电话还在加速增长,截止到2001年9月,中国的电话用户达到3.03亿户,其中固定电话1.72亿户,移动电话达到1.31亿户.在2001年前9个月里,移动电话用户平均每个月新增500多万户,中国移动电话用户的总规模已超过美国,排世界第一位.中国每百人电话机普及率在80年代和90年代的年均增长率分别达到9%和30%左右.到2001年9月,全国电话普及率达到24.4%,移动电话普及率达到9.2%.中国电信业的起飞,为中国的经济发展和社会进步奠定了一个良好的基础.21世纪教育网版权所有
中国网通为了配合客户的不同需要,设有A、B两种优惠方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图1-2-13所示(MN∥CD).2·1·c·n·j·y
图1-2-13
(1)若通话时间为2小时,按方案A、B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠？
思路分析:
这是一个生活中的实际问题,分段算出每个方案的话费与通话时间之间的函数关系,然后求出每个函数的函数值即可.【来源：21·世纪·教育·网】
解:设方案A与方案B中应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的函数关系分别为
y=和
由图知
又所以,方案A与方案B中应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的函数关系分别为y=与y=
(1)若x=120分钟,则yA=×120+80=116(元),yB=168(元).
(2)由题意可知方案B从500分钟以后每分钟收费0.3元.
(3)由题意x+80=168,得x=.
所以通话时间在大于分钟的范围内时,方案B才会比方案A优惠.
1.3 函数的基本性质
问题探究
问题1如果一个函数在两个区间上同增减,那么在这两个区间的并集上是不是还符合原来的增减性？
探究:对某一函数y=f(x),它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增(减)函数,不能说y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是单调增(减)函数.比如说,函数y=在(-∞,0)、(0,+∞)内都是减函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上不能说是减函数,这是因为取个特例x1=1,x2=-1,可见y1=1,y2=-1,这时变成x1>x2时,却有y1>y2,不再符合减函数的定义.21·cn·jy·com
问题2你认为函数奇偶性定义中的哪些词语最为关键？一个函数是奇函数或偶函数,你能说出它们的定义域有什么共同的特征吗？【来源：21·世纪·教育·网】
探究:定义中“定义域内的任意一个x”即x是定义域内任意的,不可只对部分特殊值满足条件.如f(x)=x2,x∈(-2,2),f(-1)=f(1),f(-)=f(),f(2)虽然存在,但f(-2)无定义,故f(-2)=f(2)不成立,所以f(x)是无奇偶性的.21·世纪*教育网
定义中“都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”即遍布定义域内的所有x都满足f(-x)是否等于±f(x).www-2-1-cnjy-com
问题3函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要性质,你能说说这两条性质的区别吗？函数的奇偶性反映在函数图象上表现为图象的对称性,你能说出奇偶性与对称性之间的对应关系吗？用定义来判断函数的奇偶性的一般步骤是什么？请你总结一下函数的奇偶性的性质.2-1-c-n-j-y
探究:根据函数单调性和奇偶性的定义我们知道:函数的单调性反映函数值的变化趋势,反映在图象上,是曲线的上升或下降.它通过定义区间(或子区间)内的任意两点x1、x2所对应的函数值大小的比较,推断定义区间(或其子区间)内无限多个函数值间的大小关系;函数的奇偶性反映函数的整体形态,即函数的奇偶性是函数图象对称性的代数描述.
奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于y轴成轴对称图形;反之也成立.所以可用函数图象的对称性来判断函数的奇偶性.21*cnjy*com
判断函数奇偶性的一般方法是利用定义,通常是先求函数的定义域,观察定义域是否关于原点对称,然后验证f(-x)是否等于±f(x);有时也可利用定义的变形形式,如验证f(-x)±f(x)=0,或=±1〔f(x)≠0〕是否成立.【来源：21cnj*y.co*m】
函数奇偶性的几个性质:
(1)对称性:奇偶函数的定义域关于原点对称;
(2)整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x都必须成立;
(3)可逆性:f(-x)=f(x) f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x) f(x)是奇函数;
(4)等价性:f(-x)=f(x) f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x) f(x)+f(-x)=0;
(5)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;
(6)可分性:根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数.
典题精讲
例1:证明函数y=x+在(1,+∞)上为增函数.
思路分析:
证明函数的增减性,先在定义域上取x1证明:设x1、x2是(1,+∞)上的任意两个实数,且x1x1-x2+(-)=x1-x2-=(x1-x2)().
∵x1-x2<0,x1x2-1>0,x1x2>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数y=x+在(1,+∞)上为增函数.
例2:已知函数f(x)=,x∈[1,+∞.
(1)当a=时,求函数的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞,f(x)>0恒成立,试求实数a的值范围.
思路分析:
先来解决第(1)问,当a的值给定时,函数变为f(x)=x++2,它类似于函数f(x)=x+,所以可以利用函数的单调性来判断最值.21教育网
解:(1)当a=时,f(x)=x++2.
f(x)在[1,+∞上为增函数,所以在f(x)在[1,+∞上的最小值为f(1)=.
(2)f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞.
当a≥0时,函数f(x)的值恒为正.
当a<0时,函数f(x)在[1,+∞上为增函数,故当x=1时,f(x)有最小值3+a,于是当3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故0>a>-3.21cnjy.com
综上可知,当a>-3时,f(x)>0恒成立.
例3:判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=x3-2x;
(3)f(x)=a(x∈R);
(4)f(x)=
思路分析:
按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可.
解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(3)函数的定义域为R,关于原点对称,
当a=0时,f(x)既是奇函数又是偶函数;
当a≠0时,f(-x)=a=f(x),即f(x)是偶函数.
(4)函数的定义域为R,关于原点对称,
当x>0时,-x<0,此时f(-x)=-x[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-x[1+(-x)]=-x(1-x)= -f(x);
当x=0时,-x<0,此时f(-x)=0,f(x)=0,即f(-x)=-f(x);
综上,f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
例4:已知f(x)是奇函数,在(-1,1)上是减函数,且满足f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的范围.
思路分析:
要求a的取值范围,先要列出关于a的不等式,这需要根据原条件,然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系.21世纪教育网版权所有
解:由f(1-a)+f(1-a2)<0,得f(1-a)<-f(1-a2).
∵f(x)是奇函数,∴-f(1-a2)=f(a2-1).
于是f(1-a)又由于f(x)在(-1,1)上是减函数,
因此,解得0例5:设函数f(x)在定义域R+上是单调递减函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f()=1.求f(1)及f().www.21-cn-jy.com
思路分析:
这里的函数f(x)没有给出具体的解析式,要求f(1)的值,就需要对已知条件f(xy)=f(x)+f(y)中的x、y进行恰当的赋值,于是令x=,y=1,得f(1)=0.2·1·c·n·j·y
解:令x=,y=1,得f(1)=0.
∵f()=1,∴f()=2.
3.1 函数与方程
问题探究
问题 什么是函数与方程思想？
探究：(1)函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题和转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和处理问题.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程观点观察、处理问题.21·世纪*教育网
典题精讲
例1：利用函数的图象，指出函数f(x)=2x·ln(x-2)-3零点所在的大致区间.
思路分析：
首先对x取值来寻找y值的符号，然后判断零点所在的大致区间.
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(如下表).
x
2.5
3
3.4
4
4.5
5
f(x)
-6.465 7
-3
-0.161 7
2.545 2
5.246 6
7.986 1
图3-1-2
由上表和图3-1-2可知，该函数零点的大致区间为［3，4］.
例2：二次函数y=ax2+bx+c中，a·c<0，则函数的零点个数是( )
A.1 B.2 C.0 D.无法确定
思路分析： 分析条件a·c<0，a是二次项系数，确定抛物线的开口方向；c=f(0).
所以a·c=af(0)<0，由此得解.
解：∵c=f(0),
∴ac=af(0)<0，即a与f(0)异号.
即
∴函数必有两个零点.
答案：B
例3：求方程lnx+x-3=0在(2，3)内的根(精确到0.1).
思路分析： 用二分法求解.
解：令f(x)=lnx+x-3，即求函数f(x)=0在(2，3)内的零点.
∵f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3>0.
∴可取(2，3)作为初始区间，用二分法列表如下：
中点
端点或中点函数值
取区间
f(2)<0,f(3)>0
(2，3)
2.5
f(2.5)>0
(2，2.5)
2.25
f(2.25)>0
(2,2.25)
2.125
f(2.125)<0
(2.125,2.25)
2.187 5
f(2.187 5)<0
(2.187 5,2.25)
2.218 75
f(2.218 75)>0
(2.187 5,2.218 75)
∵2.187 5≈2.2,2.218 75≈2.2,
∴所求方程的根为2.2(精确到0.1).
例4：国家购买某种农产品的价格为120元/担，其中征税标准为100元征8元(叫做税率为8个百分点，即8%)，计划可收购m万担.为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点.21世纪教育网版权所有
(1)写出税收f(x)(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后达到计划的78%，试求此时x的值.
思路分析：第(1)问这样考虑：调节税率后税率为(8-x)%，预计可收购m(1+2x%)万担，总金额为120m(1+2x%)万元，从而列出函数表达式.21教育网
解：(1)由题设，调节税率后税率为(8-x)%，预计可收购m(1+2x%)万担，总金额为120m(1+2x%)万元.f(x)=120m(1+2x%)(8-x)%，21cnjy.com
即f(x)=-(x2+42x-400)(0＜x≤8).
(2)计划税收为120m·8%万元，
由题设，有f(x)=120m·8%·78%，
即x2+42x-88=0(0＜x≤8，解得x=2.
试用函数的图象指出方程x2+42x-88=0(0＜x≤8的根，即函数g(x)=x2+42x-88=0(0＜x≤8的零点所在的大致区间.21·cn·jy·com
例5：如图3-1-4是一个二次函数y=f(x)的图象，试求这个函数的解析式.
图3-1-4
思路分析：
要确定二次函数的解析式，就是确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数解析式，需要已知三个独立的条件.
当已知抛物线上任意三点时，通常设函数的解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后列三元一次方程组求解；www.21-cn-jy.com
当已知抛物线的顶点坐标为(h,k)和抛物线上另一点时，通常设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解；2·1·c·n·j·y
当已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)时，通常设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2).
解法一：设y=ax2+bx+c，然后把(-3,0),(1,0),(-1,4)代入解析式得
解得a=-1,b=-2,c=3.
∴所求二次函数为y=-x2-2x+3.
解法二：∵二次函数与x轴有两个交点(-3,0)、(1,0)，
∴可设y=a(x+3)(x-1)，再把(-1，4)代入，得2×(-2)×a=4.∴a=-1.
∴所求二次函数为y=-(x+3)(x-1)，即为y=-x2-2x+3.
解法三：∵抛物线的顶点为(-1,4)，
∴可设y=a(x+1)2+4，再把(1,0)代入,得4a+4=0,a=-1.
3.2 函数模型及其应用举例
问题探究
问题1如何解有关函数的应用题？
探究：解决函数应用题的关键有两点：一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图，引入变量，建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言；二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解，要注重数学能力的培养.www.21-cn-jy.com
问题2应用题中列出函数关系式有哪些方法？
探究：(1)待定系数法：已知条件中已给出了含参数的函数关系式，或可确定函数类别，此种情形下应用待定系数法求出函数表达式中的相关参数(未知系数)的值，就可以得到确定的函数式.21cnjy.com
(2)归纳法：先让自变量x取一些特殊值，计算出相应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数表达式.【版权所有：21教育】
(3)方程法：用x表示自变量及其他相关的量，根据问题的实际意义，运用掌握的数学、物理等方面的知识，列出函数关系式，此种方法形式上和列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数关系式就是含x、y的二元方程.21教育名师原创作品
典题精讲
例1：某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x，其中哪个模型能符合公司要求？21*cnjy*com
思路分析：
某个奖励模型符合公司要求，即当x∈［10,1 000］时，能够满足y≤5，且≤25%，可以先从函数图象得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.
解：借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象,如图3-2-1所示.
图3-2-1
观察图象发现，在区间［10,1 000］上模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在y=5的上方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断.21·世纪*教育网
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型y=0.25x，它在区间［10,1 000］上是单调递增的，当x∈(20,1 000)时，y>5，因此该模型不符合要求.
对于模型y=1.002x，利用计算器可知，1.002806≈5.005，
由于y=1.002x是增函数，故当x∈(806,1 000］时，y>5，因此，也不符合题意.
对于模型y=log7x+1，它在区间［10,1 000］上单调递增，且当x=1 000时，y=log71 000+1≈4.55<5，21世纪教育网版权所有
所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否超过利润x的25%，
即当x∈［10,1 000］时，利用计算器或计算机作f(x)=log7x+1-0.25x的图象，
由图象可知f(x)是减函数，因此f(x)所以当x∈［10,1 000］时，y<0.25x.这说明，按模型y=log7x+1奖励时奖金不超过利润的25%.
综上所述，模型y=log7x+1确实符合公司要求.
例2：距湛江(点A)东偏南30°方向千公里C处海面发现一大气田，湛江至江门的海岸线可近似地看作一条东偏北15°的直线，现想修一条供气管道供应湛江用气.已知海上建造输气管道的造价是陆地造价的2倍，问：在湛江至江门的海岸线之间何处接驳海上管道通往湛江造价最低？(如图3-2-2所示，取=1.38)【来源：21·世纪·教育·网】
图3-2-2
思路分析：
本题的计算过程中用有关平面几何知识列出造价与距离的关系，然后解之即可.
解：如图所示，设在湛江至江门的海岸线之间的B处接驳海上管道通往湛江造价最低，作CD⊥AD，垂足为D，连结BD，BD=x(千公里).21*cnjy*com
又设陆地每千公里输气管道的造价为1个单位，则海上是2个单位，总造价为y.
由∠DAC=15°+30°=45°，∠ADC=90°，AC=，易求得CD=AD=0.4.于是y=.利用判别式法，并注意到y＞0，求得y≥，当y=时，x=0.23.
所以AB=0.4-0.23=0.17.
故在湛江至江门的海岸线之间距湛江0.17千公里的B处接驳海上的输气管道造价最省.
例3：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v( m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的关系是v＝2 000 ln(1＋).当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s？21教育网
思路分析：
把速度值代入已知方程，转换为指数式后，解出即可.
解：由12 000＝2 000 ln(1＋)，即6＝ln(1＋)，1＋＝e6，利用计算器得≈402.21·cn·jy·com
例4：WAP手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)按30元记费；超过500分钟按0.15元/分钟记费.假如上网时间过短，在1分钟以下不记费，1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟记费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.2·1·c·n·j·y
问：(1)小周12月份用WAP手机上网20小时，要付多少上网费？
(2)小周10月份付了90元的上网费，那么他这个月用手机上网多少小时？
(3)你会选择WAP手机上网吗？你是用哪一种方式上网的？
思路分析：
这是一个分段函数问题，列出函数的解析式后分段求解即可.
解：设使用WAP手机上网的时间为x分钟，由已知条件可知，当上网时间不超过60分钟时，以每分钟0.5元递增计费；当上网时间超过60分钟但不超过500分钟时，一律按30元收费；超过500分钟时，在30元基础上，再增加0.15元/分钟.故所付上网费
y=
(1)当x=20×60=1 200(分钟)时，应将1 200代入第三段解析式，得y=135，小周要付135元上网费.www-2-1-cnjy-com
(2)90元已经超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得x=900，小周这个月用手机上网900分钟.2-1-c-n-j-y
（3）现在直接用电脑上网一般每月60元，从图形可以看出，上网时间较短时，用手机上网较合算，上网时间较长时，用电脑上网更合算.【出处：21教育名师】
图3-2-3
例5：灌满开水的热水瓶上瓶盖放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1度，室内气温是θ0度，t分钟后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1-θ0)e-kt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100℃，过1小时后又测得瓶内水温变为98℃.已知某种奶粉必须用不低于85℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100℃的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？(假定该地白天室温为20℃)【来源：21cnj*y.co*m】
思路分析：
先用待定系数法来确定k的值.然后根据给出的时间列出方程解出水的温度与85℃相比即可.大于这个度数可以用，否则不可以用.
解：根据题意，有98=20+（100-20）e-60k，整理得e-60k=，利用计算器解得k=0.000 422 2.故θ=20+80e-0.000 422 2t.
从早上六点至中午十二点共过去六小时，即360分钟.
t=360时，θ=20+80e-0.000 422 2×360=20+80e-0.152，由计算器算得θ≈88℃＞85℃.
答：能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉.
2.1 指数函数
问题探究
问题1指数函数的走势是由什么来决定的？
探究:指数函数的性质:要看底数和指数对图象的影响,表现在哪个方面,要认真总结.
应该明确是底数来决定指数函数的走势:
(1)当a>1时,函数图象在第一象限的值随a值的增大而增大,图象越靠近y轴.如图2-1-1所示.
(2)当0
图2-1-1 图2-1-2
问题2对于指数函数y=ax(a>0且a≠1),有人总结出其底数a越接近1,其图象就越接近直线y=1,你认为该结论成立吗？21教育网
探究:要说明该结论的正确性,我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分别作出函数y=2x、y=3x和y=5x的图象,根据图象能看出该结论是正确的.【来源：21·世纪·教育·网】
典题精讲
例1:计算下列各式:
(1);
(2)(2)0+2-2·(2-(0.01)0.5.
思路分析:
第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小题将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数.21·cn·jy·com
(1)解法一:==
解法二: =
(2)解:(2)0+2-2·(2-(0.01)0.5
=1+×(-(
=1+×-.
例2:指数函数①f(x)=mx;②g(x)=nx满足不等式1>n>m>0,则它们的图象是( )
图2-1-3
思路解析:
此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.
解法一:由0图2-1-4
解法二:只要按照题目条件的要求来取m和n,画出草图后,看它的图形走势和哪个相近即是正确的选项.
取m=,n=的草图(如图2-1-4所示),则见m在左上方,n对应的图象在右下方,对应的选项是C.www.21-cn-jy.com
答案:C
例3:比较下列各题中两个值的大小:
(1)1.72.5,1.73; (2)0.8-0.1,0.8-0.2.
思路分析:
此题考查指数函数的单调性.对y=ax,当01时,函数为增函数.结合相应图象可顺利解题.2·1·c·n·j·y
解:(1)1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,图象如图2-1-6,当x=2.5和3时的函数值.因为1.7>1,所以函数y=1.7x在R上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73.
图2-1-6 图2-1-7
(2)0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x,图象如图2-1-7,当x=-0.1和-0.2时的函数值.因为0<0.8<1,所以函数y=0.8x在R上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.21·世纪*教育网
例4:富兰克林(Benjamin Franklin,1706～1790)是美国著名的科学家、社会活动家,他的业绩遍及十九个科技领域.“你热爱生命吗？那么别浪费时间,因为时间是组成生命的材料.”就是这位科学家留下的名言.这位科学家死后只留下了一千英磅的遗产,然而他却留下了几十万英磅的遗嘱,这份有趣的遗嘱内容是这样的:www-2-1-cnjy-com
“……一千英磅赠给波士顿的居民,如果他们接受了这一千英磅,那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民,他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息.这些钱过了100年增加到131 000英磅.我希望那时候用100 000英磅来建立一所公共建筑物,剩下的31 000英磅拿去继续生息100年……”2-1-c-n-j-y
请你计算一下富兰克林的遗嘱能实现吗？
思路分析:
要想判断富兰克林的遗嘱能否实现,需计算100年后他留下的1 000英磅的本息和.这是一个指数函数问题.21*cnjy*com
解:设经过x年后这1 000英磅的本息和为y,则有y=1 000(1+5%)x,
当x=100时,计算得y=131 501.26.
因此,富兰克林的遗嘱能实现.
例5:某债务市场发行三种债务券,P种面值为100元,一年到期本息和为103元;Q种面值为50元,半年到期本息和为51.4元;R种面值为97元,一年到期本息和为100元,作为购买者,分析三种债券的收益,从小到大的排列为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.Q,P,R B.P,R,Q C.P,Q,R D.R,P,Q
思路解析:
设这三种面值的半年利率分别为x、y、z,则按前面说的模型可知
100(1+x)2=103,50(1+y)=51.4,97(1+z)2=100.
经计算比较可知y>z>x.
答案:B
2.2 对数函数
问题探究
问题1如何将给出的对数式换成指定底数的对数？
探究:《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.
对数换底公式:logbN= (a>0且a≠1,b>0且b≠1,N>0).
推论:logab=,logambn=logab.
更特别地有logaan=n.
问题2对数函数的运算性质有几条？
探究:对数函数有三条运算性质,它们分别是:
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,则有
(1)loga(M·N)=logaM+logaN;
(2)loga()=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
问题3对对数函数的图象和性质的研究,教材是根据互为反函数的图象特征,由指数函数的图象再作出其关于直线y=x的图象,即得对数函数的图象,在数形结合的数学思想指导下,推得对数函数的性质.请归纳对数函数y=logax(a>0且a≠1)的性质.
探究:我们研究函数的性质一般是通过研究函数的图象特征来进行的.通过研究对数函数的图象我们不难总结出对数函数有三条通性,即与a的取值无关的三条性质:(1)定义域都是(0,+∞);(2)值域都为R;(3)图象恒过点(1,0).与a的取值有关的两个特性:(1)a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数;01:0 问题4比较两个对数型的数的大小,一般可采用哪些方法？
探究:两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有:2·1·c·n·j·y
(1)直接法:由函数的单调性直接作答;
(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;
(3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1来确定;
(4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较;
(5)媒介法:选取适当的“媒介”数,分别与要比较的两数比较大小,从而间接地求得两数的大小.
典题精讲
例1:比较下列各组中两个值的大小.
(1)log31.9,log32; (2)log0.90.1,log0.92;【来源：21·世纪·教育·网】
(3)log35,log53; (4)log23,log0.32;
(5)logaπ,loga3.141.
思路分析:
比较两个对数值的大小:同底可利用对数函数的单调性,如(1)(2);若底数、真数都不同可以借助常数(常用的-1,0,1)为媒介间接比较大小,如(3)(4);若真数相同,底数不同可以借助对数函数图象来比较大小;若底数与1的大小关系不确定,要分情况讨论.
解:(1)因为y=log3x在(0,+∞)上是增函数,所以log31.9(2)因为y=log0.9x在(0,+∞)上是减函数,所以log0.90.1>log0.92.
(3)因为log35>log33=1=log55>log53,所以log35>log53.
(4)因为log23>log22=1,log0.32<0,所以log23>log0.32.
(5)当a>1时,logaπ>loga3.141;
当0例2:已知a=lg(1+),b=lg(1+),试用a、b的式子表示lg1.4.
思路分析:
求以a、b表示的lg1.4的式子,实际上是寻找lg、lg和lg1.4之间的关系,所
以应将三个对数的真数尽量化整并化小(一般把底化成常用对数),便于寻找关系.
解:a=lg(1+)=lg=3lg2-lg7①.b=lg(1+)=lg=lg-lg72=2-lg2-2lg7②.
由①②得lg2= (2a-b+2),lg7= (-a-3b+6),
∴lg1.4=lg=lg2+lg7-1= (a-4b+1).
例3:已知函数y=lg(-x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性.
思路分析:
这是一个常用对数,只要考虑真数大于0即可.但由于真数中含有根式,所以还要判断根式内的式子大于0时自变量的取值.21世纪教育网版权所有
解:由题意知-x>0,解得x∈R,即定义域为R;
又f(-x)=lg[-(-x)]=lg(+x)=lg=lg(-x)-1=-lg(-x)
=-f(x).
∴y=lg(-x)是奇函数.
∵奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,
∴我们只需研究R+上的单调性.
任取x1、x2∈R+且x1则<+x1<+x2
>,
即有-x1>-x2>0.
∴lg(-x1)>lg(-x2),即f(x1)>f(x2)成立.
又f(x)是定义在R上的奇函数,故f(x)在R-上也为减函数.
例4:(1)函数y=lg的图象大致是( )
图2-2-1
(2)作出函数y=|log4x|-1的图象.
思路解析:
(1)本题通法有两种:①图象是由点构成的,点点构成函数的图象,所以可取特殊点(2,0),(,1).②利用函数解析式判断函数的性质,函数的定义域为(1,+∞),在定义域上函数为减函数.21教育网
(2)y=|log4x|-1的图象可以看成由y=log4x的图象经过变换而得到:将函数y=log4x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去,得到y=|log4x|的图象,再将y=|log4x|的图象向下平移1个单位,横坐标不变,就得到了y=|log4x|-1的图象.21cnjy.com
答案:(1)A
(2)如图2-2-2所示.
图2-2-2
例5:(1)已知函数y=log3(x2-4mx+4m2+m+)的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)已知函数y=loga［x2+(k+1)x-k+］(a>0,且a≠1)的值域为R,求实数k的取值范围.
思路分析:
题(1)中,对任意实数x,x2-4mx+4m2+m+>0恒成立;题(2)中,x2+(k+1)x-k+取尽一切正实数.www.21-cn-jy.com
解:(1)∵x2-4mx+4m2+m+>0对一切实数x恒成立,
∴Δ=16m2-4(4m2+m+)=-4(m+)<0.
∴ >0.
又∵m2-m+1>0,∴m-1>0.∴m>1.
(2)∵y∈R,
∴x2+(k+1)x-k+可取尽一切正实数.
∴Δ=(k+1)2-4(-k+)≥0.
∴k2+6k≥0.∴k≥0或k≤-6.
2.3 幂函数
问题探究
问题 如何理解分数指数幂的意义?
探究:分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种新的写法.规定= (a>0,m、n都是正整数,n>1), = (a>0,m、n都是正整数,n>1),在这样的规定下,根式与分数指数幂表示相同意义的量,它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义,负数的分数指数幂是否有意义,应视m、n的具体数而定.21世纪教育网版权所有
典题精讲
例1:若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是___________.
思路解析:
因为函数y=在[0,+∞上单调，所以y=在[0,+∞上单调减，所以
解得答案:( ,)
例2:已知0思路分析:
利用幂函数和指数函数的性质求解.
解:为比较aa与(aa)a的大小,将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f(x)=xa(0由于指数函数y=az(0比较aa与(aa)a的大小,也可将它们看成底数相同(都是aa)的两个幂,于是可以利用指数函数y=bx(b=aa,0由于a(aa).综上,得< aa<(aa)a.
例3:图2-3-2中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象,已知α取±2,±四个值,则对应于曲线C1,C2,C3,C4的指数α依次为( )2·1·c·n·j·y
图2-3-2
A.-2,- ,,2 B.2, ,-,-2
C.- ,-2,2, D.2, ,-2,-
思路解析:
要确定一个幂函数y=xα在坐标系内的分布特征,就要弄清幂函数y=xα随着α值的改变图象的变化规律.随着α的变大,幂函数y=xα的图象在直线x=1的右侧从低向高分布.从图中可以看出,直线x=1右侧的图象,由低向高依次为C1,C2,C3,C4,所以α依次为2, ,-,-2,故选择答案B.【来源：21·世纪·教育·网】
答案:B
例4:画函数y=1+的草图,并求出其单调区间.
思路分析:
此函数的作图有两个途径,一是根据描点的方法作图,二是利用坐标系的平移来作图.一般说来,作草图时,利用坐标平移较为方便.21cnjy.com
解:由y=1+,得y-1=,∴y=+1.
此函数的图象可由下列变换而得到:
先作函数y=的图象,作其关于y轴的对称图象,即y=的图象,将所得图象向右平移3个单位,向上平移1个单位,即为y=1+的图象(如图2-3-3所示).
图2-3-3
例5:若幂函数f(x)=(m∈Z)的图象与坐标轴没有公共点,且关于y轴对称,求f(x)的表达式.
思路分析:
要求幂函数y= (m∈Z)的解析式,也就是求整数m,考虑到该幂函数的图象特征:1°与坐标轴无公共点,2°关于y轴对称,可www.21-cn-jy.com
知指数m2-2m-3≤0且m2-2m-3为偶数(m∈Z),容易解得m的值,进而得到f(x).
解:由题意知,幂函数f(x)= (m∈Z)在第一象限内递减(或无增减性),且为偶函数,
∴m2-2m-3≤0,且m2-2m-3为偶数,m∈Z.
由得m=0,1,2,-1,3.
又m2-2m-3=0为偶数,
∴m=-1或1或3.
当m=-1或3时,f(x)=x0(x≠0);
当m=1时,f(x)=x-4(x≠0).
