2017-2018学年湖南省邵阳市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题

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2017-2018学年湖南省邵阳市第二中学高二上学期期中考试
数学试卷（理科）
满分：100分； 考试时间：100分钟；
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择（本题满分40分，每小题4分）
1、命题“”的否命题是 （ ）
A. B.
C. D.
2、双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3、已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
4、椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5、抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6、“m>0”是“方程+=1表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7、已知命题: ,使得.若是假命题，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
8、设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则( )
A. 2 B. -4 C. -2 D. 4
9、设、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（ ）
A. 1 B. 3 C. 3或7 D. 1或9
10、在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆上的一个动点，点A（1，1），B（0，﹣1），则|PA|+|PB|的最大值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
评卷人
得分
二、填空题（本题满分20分，每小题4分）
11、若椭圆的焦点在x轴上，则k的取值范围为__________.
12、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．
13、已知向量，，且与互相垂直，则的值是_______．
14、如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．
为抛物线的焦点，点在抛物线上， 是圆上的点，则最小值是__________．
评卷人
得分
三、解答题（本题满分40分，每小题10分）
16、(本小题满分10分)
已知命题p：x∈[1,2]，x2－a≥0.命题q：x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0.若
为真，为假，求实数a的取值范围．
17、(本小题满分10分)
为调查学生每周平均体育运动时间的情况，某校收集到高三（1）班20位学生的样本数据（单位:小时），将他们的每周平均体育运动时间分为6组：[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，求出该班学生的每周
平均体育运动时间的平均数的估计值；
（2）若在该班每周平均体育运动时间低于4小时
的学生中任意抽取2人，求抽取到运动时间
低于2小时的学生的概率。
18、 (本小题满分10分)
如图，在四棱锥中，，,,.点为棱的中点.
（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19、(本小题满分10分)
已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围.
参考答案
一、单项选择
1-5 C A D D B 6-10 B B D C A
二、填空题
11、 12、　13、 14、 15、2
三、解答题
16、【答案】∵x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，∴a≤1.即p：a≤1，
∴p：a>1.
又x0∈R，使得＋(a－1)x0＋1<0.
∴Δ＝(a－1)2－4>0，∴a>3或a<－1，
即q：a>3或a<－1，
∴ q：－1≤a≤3. ………（5分）
又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真．
当p真q假时，{a|a≤1}∩{a|－1≤a≤3}＝{a|－1≤a≤1}．
当p假q真时，{a|a>1}∩{a|a<－1或a>3}＝{a|a>3}．
综上所述，的取值范围为{|－1≤≤1或}．………（10分）
17、【答案】（1）解：根据频率分布直方图，
各组的频率分别为：0.05，0.2，0.3，0.25，0.15，0.05
各组的中点分别为：1，3，5，7，9，11
该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值为
………（5分）
（2）依题意可知，
平均运动时间低于4小时的学生中，在[0,2)的人数有，记为A，
在[2,4)的人数有，记为
从这5人中随机抽取2人的可能情况有10种，分别为：
；
其中，抽取到运动时间低于2小时的学生的可能情况有4种，分别为：
；
故所求概率 ………(10分）
18、【答案】证明：（1）取中点，连，在中，分别为中点，……2分
由题意，,，。
又，.……（5分）
方法：可以建空间坐标系，分别以AB,AD,AP,为x,y,z轴
B（1,0, 0），P(0，0，2),D(0，2，0),C(2，2，0),E(1，1，1)
设平面PDB的法向量
则求得，,sin=
所以直线与平面所成角的正弦值为 ………（10分）
19、【答案】解：（1）设焦距为2c，由已知，2b=2，∴b=1，
又a2=1+c2，解得a=2，
∴椭圆C的标准方程为；………（4分）
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
依题意，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，化简得m2＜4k2+1，①
，………（6分）
，
若，则，即4y1y2=5x1x2，
∴，
∴，
即（4k2﹣5）（m2﹣1）﹣8k2m2+m2（4k2+1）=0，化简得，②………（8分）
由①②得，
∵原点O到直线l的距离，
∴，
又∵，
∴，
∴原点O到直线l的距离的取值范围是．………（10分）