1.1 集合
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1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性．
2．掌握元素与集合的关系，并能用符号“∈”或“?”来表示．
3．掌握列举法和描述法，会选择不同的方法表示集合，记住常用数集的符号.
一、集合的概念
名师点拨 集合中元素的性质：
(1)确定性：指的是给定一个集合A，任何一个对象a是不是这个集合的元素就确定了，即某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一；
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的；
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，也就是说，集合中的元素没有先后之分．
二、元素与集合的关系
特别提醒符号“∈”和“?”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．
三、集合的表示
自主思考1 什么样的集合可以用列举法来表示？
提示：对于元素个数很少或元素存在明显规律的集合可用列举法表示．
自主思考2 在描述法中，表示这个集合元素的一般符号不同，但竖线后的条件一样，那么这样的集合还相同吗？如A＝{x|y＝}，B＝{(x，y)|y＝}．
提示：一般地，这样两个集合是不相同的，如集合A＝{x|y＝}表示集合{x|x≥1}，而集合B＝{(x，y)|y＝}表示二元方程y＝的解组成的集合或是函数y＝图象上所有点组成的集合．
自主思考3 用列举法与描述法表示集合的区别是什么？
提示：
列举法
描述法
一般形式
{a1，a2，a3，…，an}
{x∈I|p(x)}
适用范围
有限集或规律性较强的无限集
有限集、无限集均可
特点
直观、明了
抽象、概括
1.1 集合
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1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
2．了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系．
3．在具体情境中，了解空集的含义及其性质.
一、Venn图
二、子集
名师点拨 “∈”与“?”表示元素与集合之间的关系，开口仅指向右，对着集合；“?”与“?”表示两个集合间的关系，开口可以向右，也可以向左．子集定义可表示为：任意x∈A，都有x∈B?A?B.
三、集合相等
四、真子集
自然语言
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，称集合A是集合B的真子集
符号语言
AB(或BA)
图形语言
名师点拨 若AB，则A中的元素都是B的元素，且B中元素比A中元素至少多一个．
五、性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么A?C.
(3)对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC.
六、空集
自主思考1能否把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”？
提示：不能．这是因为当A＝?时，A?B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A?B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A?B成立，所以上述理解是错误的．
自主思考2?就是0，或?就是{0}吗？
提示：两种说法均是错误的，?是不含任何元素的集合，概念中强调了两点：“不含任何元素”“集合”．(1)0是一个数，而非集合，故?不是0；(2){0}表示集合，且集合中有且仅有一个元素0，是非空集合，故{0}与?含义不同，所以?不是{0}．
特别提醒在写一个集合的子集与真子集时，不要忘记?；当题目中给出条件“A?B”时，要注意集合A可以是?.
1.2 函数及其表示
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课程目标
学习脉络
1.能够用集合与对应的语言给出函数的定义；知道构成函数的要素，清楚函数的定义中“任意一个数x ”和“唯一确定的数f(x)”的含义；明确符号“f(x)”表示的意义．
2．会判断两个函数是否相等；会求简单函数的函数值和定义域.
一、函数
名师点拨1.“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
2．函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数．
3．符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)相等；当m是常数时，f(m)表示当自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．
4．符号f(x)是函数的记法，是一个整体，它不表示f与x相乘．
自主思考1如何判断从集合A到集合B的一个对应是函数？
提示：首先看集合A，B是否是非空数集，若不是，则不是函数；若是，然后看集合A中的每一个元素在集合B中是否有元素与之对应，若没有，则不是函数；若有，再看集合B中是否只有一个元素与之对应，若有多个与之对应，则不是函数；若只有一个与之对应，则是函数．
自主思考2若两个函数的对应关系相同，值域也相同，那么这两个函数是相等函数吗？
提示：不一定．若它们的定义域相同，则这两个函数为相等函数，否则，不是相等函数．如函数f(x)＝x2(x∈{1,2,3})，与函数g(x)＝x2(x∈{－1，－2，－3})的对应关系与值域相同，但不是相等函数．
二、区间
1．区间的概念：
设a，b是两个实数，且a
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．
2．无穷大：
“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，满足x≥a，x>a，x≤a，x定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
自主思考3数集都能用区间表示吗？
提示：并不是所有的数集都能用区间来表示．例如，数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．
1.2 函数及其表示
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1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，以及各自的优缺点．
2．在实际问题中，能够选择恰当的表示法来表示函数．
3．能利用函数图象求函数的值域，并确定函数值的变化趋势.
一、解析法
自主思考1任何一个函数都能用解析法表示吗？
提示：不一定．每天的平均气温与日期之间的关系由于受各种因素的影响就无法用解析法表示．
二、图象法
自主思考2画函数f(x)图象的方法有哪些？
提示：(1)若函数f(x)是正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等常见的基本初等函数，则依据各种函数的图象特点，直接画出f(x)的图象．
(2)若函数f(x)不是基本初等函数，则用描点法画出f(x)的图象，其步骤是：列表、描点、连线．注意连线时，若是曲线，则曲线要光滑；若是孤立的点，则此时不要连接各点．
三、列表法
1.2 函数及其表示
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课程目标
学习脉络
1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．
2．了解映射的概念，会判断给出的对应是否是映射．
3．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题.
一、分段函数
所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．
名师点拨分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．各段的图象合起来就是分段函数的图象．
二、映射
一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
自主思考1如何判断一个对应是映射？
提示：首先，判断两个集合是否为非空集合，若不是非空集合，则不是映射；其次，再判断集合A中的任意一个元素在集合B中是否有元素与之对应，若没有，则不是映射；最后，再判断是否只有一个元素与之对应，若是，则是映射，否则不是映射．
自主思考2函数与映射有怎样的关系？
提示：函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．
1.3 函数的基本性质
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课程目标
学习脉络
1.理解增函数和减函数的定义，明确定义中“任意”两字的重要性，以及图象的特征．
2．知道函数单调性的含义，能够利用定义证明函数的单调性．
3．能够利用定义或图象求函数的单调区间，能够利用函数的单调性解决有关问题.
一、增函数和减函数
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x1)f(x1)>f(x2)
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．区间D称为函数f(x)的单调递增区间
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．区间D称为函数f(x)的单调递减区间
图象特征
函数f(x)在区间D上的图象是上升的
函数f(x)在区间D上的图象是下降的
图示
名师点拨(1) 函数f(x)在区间D上是增函数，x1，x2∈D，且x1≠x2?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?>0.
(2)函数f(x)在区间D上是减函数，x1，x2∈D，且x1≠x2?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?<0.
自主思考1 对于函数f(x)，若区间[a，b]上存在两个数x1，x2，且x1f(x2)成立，则能否说f(x)在[a，b]上是减函数？
提示：不能．
对于自变量的选取一定是任意的，而不能是特殊值，如函数y＝x2，x∈[－1,1]，－1,0∈[－1,1]，显然－1<0，且f(－1)＝1>0＝f(0)，但并不能由此就说函数y＝x2在[－1,1]上是减函数．
自主思考2已知函数f(x)在定义域[a，b]上是增函数，且f(x1)提示：当f(x)是增函数时，x1，x2满足a≤x1当f(x)是减函数时，x1，x2满足a≤x2二、单调性
名师点拨(1) 函数的单调性是函数的一个局部性质，即我们说函数单调性的时候一定要指出是在哪个区间上，而不能笼统地说函数是单调的，有些时候，函数并不一定在整个定义域上单调．
(2)并不是所有的函数都具有单调性，例如，分段函数y＝它的定义域为R，但显然不具有单调性．
(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接或用“，”隔开．如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．
(4)函数的单调区间，在书写时，只要在端点处有定义，用开区间或闭区间都可以，但若在端点处没有定义，必须用开区间．
(5)函数的单调性反映了函数值在某个区间上的变化趋势．例如，函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则说明在区间D上，函数值随自变量的增大而增大(减少)，图象是上升(下降)的．
归纳总结 基本初等函数的单调性如下表所示：
函数
条件
单调递增区间
单调递减区间
正比例函数
(y＝kx，k≠0)
与一次函数
(y＝kx＋b，k≠0)
k>0
R
无
k<0
无
R
反比例函数
k>0
无
(－∞，0)和(0，＋∞)
k<0
无
(－∞，0)和(0，＋∞)
二次函数
(y＝ax2＋bx＋c，a≠0)
a>0
a<0
1.3 函数的基本性质
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课程目标
学习脉络
1.理解函数的最大值和最小值的概念，明确定义中“任意”和“存在”表达的含义．
2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．
3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.
一、最大值和最小值
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
名师点拨 (1)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．
自主思考1已知函数f(x)＝x2的定义域是(0，＋∞)，函数的最小值是0吗？它的值域又是什么？
提示：函数f(x)的最小值不是0.函数没有最小值，因为0不是该函数的值，它的值域是(0，＋∞)．
自主思考2函数的最值与值域是什么关系？
提示：(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
(2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在．
(3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，即此时函数的最大值是其值域中的最大值，函数的最小值是其值域中的最小值．
1.3 函数的基本性质
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课程目标
学习脉络
1.了解奇函数、偶函数的定义，明确定义中“任意”两字的意义．
2．了解奇函数、偶函数图象的特征．
3．会用定义判断函数的奇偶性.
一、偶函数
二、奇函数
名师点拨 由奇偶函数的定义可得：
(1)函数f(x)是偶函数?对定义域内任意一个x，有f(－x)－f(x)＝0?f(x)的图象关于y轴对称．
(2)函数f(x)是奇函数?对定义域内任意一个x，有f(－x)＋f(x)＝0?f(x)的图象关于原点对称．
(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(4)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)＝f(－x)＝f(－|x|)．
自主思考1 奇、偶函数的定义域有什么特点？
提示：奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数；由于f(－x)与f(x)有意义，则－x与x同时属于定义域，即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．
自主思考2 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？
提示：有，如函数f(x)＝0，x∈D(其中定义域D是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有无数个，只要定义域是关于原点对称的任一个非空数集即可．
3.1 函数与方程
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课程目标
学习脉络
1.理解函数零点的定义，会求函数的零点．
2．掌握函数零点的判定方法．
3．理解函数的零点与方程的根的联系.
方程的根与函数的零点
名师点拨1.函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数的图象与x轴交点的横坐标．
2．对零点存在定理的理解
(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在闭区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0，则可以判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个零点．
(2)当函数y＝f(x)的图象在闭区间[a，b]上不是连续曲线，或不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点．
例如，二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间[3,4]上有f(3)＝0，f(4)＞0，所以f(3)·f(4)＝0，但x＝3是函数f(x)的一个零点．
函数f(x)＝x2，在区间[－1,1]上，f(－1)·f(1)＝1＞0，但是它存在零点0.
函数f(x)＝在区间[－1,1]上，有f(－1)·f(1)＜0，但是由其图象知函数f(x)在区间(－1,1)内无零点．
自主思考1函数的零点是一个点吗？
提示：函数的零点是一个实数而非一个点，是函数图象与x轴交点的横坐标，当自变量取该值时，其函数值等于0.
自主思考2根据函数零点的定义及函数零点与方程根的关系，有哪些方法可以判断函数存在零点？
提示：判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法：
(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．
(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．
(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．
3.1 函数与方程
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课程目标
学习脉络
1.了解二分法是求方程近似解的一种方法，能够借助计算器用二分法求方程的近似解．
2．理解二分法的步骤与思想.
一、二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
名师点拨二分法就是通过不断地将所选区间(a，b)一分为二，逐步地逼近零点的方法，即找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点．
自主思考1能用二分法求图象连续的任何函数的近似零点吗？
提示：不能．能用二分法求零点的函数需具备两个条件：①图象连续；②零点左右两边的函数值异号．所以，若满足条件①而不满足条件②，则仍不能用二分法求零点．
二、用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
2．求区间(a，b)的中点c；
3．计算f(c)：
若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c〔此时零点x0∈(a，c)〕；
若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c〔此时零点x0∈(c，b)〕．
4．判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复2～4.
自主思考2用二分法求函数零点时，如何决定步骤的结束？
提示：看清题目的精确度，当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度ε时，则二分法步骤结束．
3.2 函数模型应用举例
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课程目标
学习脉络
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．
2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，以及其三种函数模型的性质的比较．
3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题.
一、四种函数模型的性质
二、三种增长函数模型的比较
1．指数函数和幂函数
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.
2．对数函数和幂函数
对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.
3．指数函数、对数函数和幂函数
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.
名师点拨直线模型：即一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)．现实生活中，很多事例可以用直线模型表示，例如，匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长与拉力的关系(在弹性限度内)等．直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k＞0)，通过图象可以很直观地认识它．
3.2 函数模型应用举例
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课程目标
学习脉络
1.会利用已知函数模型解决实际问题．
2．能建立函数模型解决实际问题．
3．了解拟合函数模型解决实际问题.
一、函数模型应用的两个方面
1．利用已知函数模型解决问题；
2．建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
二、应用函数模型解决问题的基本过程
名师点拨在应用题中列出函数解析式的三种方法：
解答应用题的实质是要转化题意，寻找所给条件中含有的相等关系，用等式把变量联系起来，然后再整理成函数的解析式的形式．常用的方法有：
(1)待定系数法：若题目给出了函数模型，则可用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，从而得到确定的函数解析式．
(2)归纳法：先让自变量x取一些特殊值，计算出相应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数解析式．
(3)方程法：用x，y表示自变量及其他相关的量，根据问题的实际意义，运用掌握的数学、物理等方面的知识，列出关于x，y的二元方程；把x看成常数，解方程得y(即函数关系式)，此种方法形式上和列方程解应用题类似，故称为方程法．
自主思考解决未知函数模型的实际问题的关键是什么？
提示：关键是选择或建立恰当的数学模型．
2.1 指数函数
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课程目标
学习脉络
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．
2．能利用根式的性质对根式进行化简.
一、n次方根
二、根式
名师点拨1.对()n的理解
()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶性来决定：
(1)当n为大于1的奇数时，a∈R.例如，()3＝27，()5＝－32，()7＝0，则()n＝a.
(2)当n为大于1的偶数时，a≥0.例如，()4＝27，()2＝3，()6＝0，则()n＝a；若a<0，例如，由于x2＝－2，x4＝－54均不成立，则，均无意义，所以()2，()4均无意义，则式子()n无意义．
由此看来，只要()n有意义，其值就恒等于a，即()n＝a.
2．对的理解
是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，an不受n的奇偶性限制，a∈R，但是式子的值受n的奇偶性限制：
(1)当n为大于1的奇数时，例如，＝－2，＝6.1，即＝a.
(2)当n为大于1的偶数时，例如，＝3，＝3，即＝|a|.
自主思考－3是9的平方根，对吗？9的平方根是－3吗？
提示：“－3是9的平方根”是正确的，但“9的平方根是－3”是错误的，因为9的平方根有两个是±3.
2.1 指数函数
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课程目标
学习脉络
1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．
2．掌握指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值.
一、分数指数幂
自主思考1我们知道an(n∈N*)表示n个a相乘，那么(n∈N*，m∈N*)还表示个a相乘吗？
提示：在中，当不是正整数时，它不表示个a相乘，它是根式的另一种写法．
自主思考2 与一定相等吗？
提示：不一定．当a≥0时，＝；
当a<0时，两者不相等，如a＝－4时，＝(－4)＝＝＝2，而＝(－4)＝无意义，此时，两者显然不相等．
二、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
名师点拨 幂指数概念的扩展过程
如下表所示：
幂指数
定义
底数的取值范围
有理数指数
整数指数
正整数指数
(n∈N*)
a∈R
零指数
a0＝1
a≠0且a∈R
负整数指数
a－n＝ (n∈N*)
a≠0且a∈R
分数指数
正分数指数
＝ (m，n∈N*，且m>1)
m为奇数
a∈R
m为偶数
a≥0
负分数指数
＝ (m，n∈N*，且m>1)
m为奇数
a≠0且a∈R
m为偶数
a>0
无理数指数
ap是一个确定的实数(其中p为无理数)
a>0
2.1 指数函数
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课程目标
学习脉络
1.理解指数函数的概念，能画出指数函数图象的草图，会判断指数函数．
2．初步掌握指数函数的性质，并能解决与指数函数有关的定义域、值域、定点问题.
指数函数
名师点拨 对指数函数中底数取值范围的理解
(1)若a<0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如，(－2)x，当x＝时无意义．
(2)若a＝0，则当x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义．
(3)若a＝1，则对于任何x∈R，ax是一个常量1，没有研究的必要性．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1，这样对于任何x∈R，ax都有意义．
自主思考函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象有怎样的对称关系？
提示：观察课本第56页图2.1-4知，两函数的图象关于y轴对称．事实上，函数y＝ax图象上任一点P(x，y)关于y轴的对称点P1(－x，y)都在函数y＝x的图象上，所以这两个函数的图象关于y轴对称．
2.1 指数函数
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课程目标
学习脉络
1.能利用指数函数的单调性解不等式、比较大小、求最值．
2．掌握指数函数在实际生活中的简单应用.
指数函数的图象和性质
y＝ax(0y＝ax(a>1)
图 象
性 质
定义域：R
值域：(0，＋∞)
过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1
当x>0时，01
当x>0时，y>1；当x<0时，0在R上是减函数
在R上是增函数
自主思考 底数对指数函数的影响？
提示：(1)对指数函数变化趋势的影响．
①当底数a>1时，指数函数y＝ax是R上的增函数，且当x>0时，底数a的值越大，函数图象越“陡”，说明其函数值增长得越快，如图(1)所示．
②当底数0(2)对函数值大小的影响．
①若a>b>1，当x<0时，总有00时，总有ax>bx>1.
②若0ax>1；当x＝0时，总有ax＝bx＝1；当x>0时，总有0综上所得，当x>0，a>b>0时，ax>bx；当x<0，a>b>0时，ax2.2 对数函数
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课程目标
学习脉络
1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质化简、求值．
2．了解对数的换底公式及其应用．
3．初步掌握对数在生活中的应用.
一、对数的运算性质
条件
a>0，且a≠1，M>0，N>0
性质
loga(MN)＝logaM＋logaN
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
名师点拨 对对数的运算性质的理解：
(1)利用对数的运算性质可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反之亦然．
(2)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
(3)能用语言准确叙述对数的运算性质
loga(M·N)＝logaM＋logaN―→积的对数等于对数的和．
loga＝logaM－logaN―→商的对数等于对数的差．
logaMn＝nlogaM(n∈R)―→真数的n次幂的对数等于对数的n倍．
自主思考 若M，N同号，则式子loga(M·N)＝logaM＋logaN成立吗？
提示：不一定成立．如log2[(－2)×(－7)]是存在的，但log2(－2)与log2(－7)是不存在的，故log2[(－2)×(－7)]≠log2(－2)＋log2(－7)．
二、换底公式
logab＝ (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
名师点拨1.用换底公式推得的两个常用结论：
(1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)；
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m≠0)．
2．换底公式的作用是把不同底的对数化为同底的对数．
2.2 对数函数
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课程目标
学习脉络
1.掌握对数函数的概念，会判断对数函数．
2．初步掌握对数函数的图象和性质．
3．能利用对数函数的性质解决与对数函数有关的定义域、定点问题.
一、对数函数
名师点拨 1.对对数函数定义的理解：
(1)由于指数函数y＝ax中的底数a满足a>0，且a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a>0，且a≠1.
(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
2．对数函数的图象：
对数函数的图象，当x趋近于0时，无限接近于y轴，但不相交．
作直线y＝1与函数y＝logax的图象相交，则交点横坐标为a.
自主思考1函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与函数y＝logx(a>0，且a≠1)的图象有怎样的关系？
提示：观察课本第70页图2.2-3知，两函数的图象关于x轴对称．事实上，函数y＝logax图象上任一点P(x，y)关于x轴的对称点P′(x，－y)都在函数y＝logx的图象上，所以这两个函数的图象关于x轴对称．
自主思考2a，b在什么情况下，logab>0？什么情况下，logab<0?
提示：观察对数函数图象知，
当a，b∈(1，＋∞)或a，b∈(0,1)时，logab>0.
当a∈(0,1)，b>1或a>1，b∈(0,1)时，logab<0.
二、反函数
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．它们的图象关于直线y＝x对称．
名师点拨 对数函数和指数函数的区别与联系
将对数函数和指数函数的性质对比列表如下：
名称
指数函数
对数函数
解析式
y＝ax(a>0，且a≠1)
y＝logax(a>0，
且a≠1)
定义域
(－∞，＋∞)
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
(－∞，＋∞)
单调性
当a>1时为增函数，当0函数值的变化情况
当a>1时：
若x>0，则y>1；
若x＝0，则y＝1；
若x<0，则0当a>1时：
若x>1，则y>0；
若x＝1，则y＝0；
若0当0若x>0，则0若x＝0，则y＝1；
若x<0，则y>1
当0若x>1，则y<0；
若x＝1，则y＝0；
若0图象
y＝ax的图象与y＝logax的图象关于直线y＝x对称
2.2 对数函数
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课程目标
学习脉络
1.理解对数函数的单调性，并能利用单调性比较大小．
2．能利用对数函数的单调性解简单的对数不等式．
3．能解答简单的对数综合问题.
一、对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：
底数
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞)
当x＝1时，y＝0，即图象恒过定点(1,0)
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
二、对数函数的反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的反函数是y＝ax(a＞0，且a≠1)．
自主思考1函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象有什么关系？
提示：函数y＝log2x与y＝logx的图象，函数y＝log3x与y＝logx的图象如图所示，结合图象可知函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称．
其实y＝logx＝＝＝－logax，因为y＝logax与y＝－logax的图象关于x轴对称，所以函数y＝logax与y＝logx的图象也关于x轴对称．
自主思考2底数对对数函数图象的影响？
提示：在同一坐标系中画出以下各组函数的图象，观察并写出你的发现．
(1)y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x，y＝lg x，如图①所示．
(2)y＝logx，y＝logx，y＝logx，y＝logx，如图②所示．
①
②
观察结果：对于第一组：y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x，y＝lg x，其图象的共同特征是上升的；对于第二组，其图象的共同特征是下降的．
结论：①当a>1时，图象上升，自变量x越大，函数值y就越大；当x∈(0,1)时，y<0，当x∈(1，＋∞)时，y>0；自变量取同一值时，底数a越大，图象就越接近x轴，即当k>1时，有log2k>log3k>log4k>lg k，当0②当00，当x∈(1，＋∞)时，y<0；自变量取同一值时，底数a越小，图象越接近x轴，即当k>1时，logklogk>logk>logk.
2.3 幂函数
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课程目标
学习脉络
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．
2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，的图象，掌握它们的性质．
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.
幂函数
名师点拨 幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边．
自主思考1幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)一样吗？
提示：不一样．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，在指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．
自主思考2(1)在幂函数y＝xα中，如果α是正偶数(α＝2n，n为非零自然数)，如α＝2,4,6，…，这一类函数具有哪些重要性质？
(2)在幂函数y＝xα中，如果α是正奇数(α＝2n－1，n为非零自然数)，如α＝1,3,5，…，这一类函数具有哪些重要性质？
(3)幂函数y＝xα，x∈[0，＋∞)，α>1与0<α<1的图象有何不同？
提示：(1)重要性质：①定义域为R，图象都经过(－1,1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于y轴对称，即函数为偶函数；③函数在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数．
(2)重要性质：①定义域、值域为R，图象都过(－1，－1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数；③函数在R上单调递增．
(3)两者图象的区别和联系：无论α>1还是0<α<1，函数y＝xα在[0，＋∞)上的图象都是单调递增的，但在[0,1]上前者比后者增得慢，在(1，＋∞)上前者比后者增得快．
