1.1 集合
课堂探究
探究一 判断元素与集合的关系
1．判断一个元素是不是某个集合的元素，对于用描述法给出的集合，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征；对于用列举法给出的集合，只需观察即可．
2．符号“∈”和“?”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合间的关系，这一点要特别注意．
【典型例题1】 用符号“∈”或“?”填空：
(1)2__________{x|x<},3__________{x|－5≤x≤2，x∈Z}；
(2)4__________{x|x＝n2＋1，n∈Z},5__________{x|x＝n2＋1，n∈Z}；
(3)(－1,1)__________{y|y＝x2}，(－1,1)__________{(x，y)|y＝x2}．
解析：(1)因为22<()2，
所以2∈{x|x<}．
因为{x|－5≤x≤2，x∈Z}＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2}，
所以3?{x|－5≤x≤2，x∈Z}．
(2)令4＝n2＋1，则n＝±?Z，
所以4?{x|x＝n2＋1，n∈Z}．
令5＝n2＋1，则n＝±2∈Z，
所以5∈{x|x＝n2＋1，n∈Z}．
(3)集合{y|y＝x2}的代表元素是数，集合{(x，y)|y＝x2}的代表元素是实数对，且1＝(－1)2，
所以(－1,1)?{y|y＝x2}，(－1,1)∈{(x，y)|y＝x2}．
答案：(1)∈ ? (2)? ∈ (3)? ∈
探究二 集合元素特性的应用
利用集合元素的特性解答问题，主要是利用集合元素的确定性与互异性：
(1)确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否能形成集合的标准．
(2)互异性：是指对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．简单地说，一个集合中不能出现相同的元素．
【典型例题2】 (1)下列叙述：
①著名的数学家；
②某校2013年在校的所有高个子同学；
③不超过20的非负数；
④2013年度诺贝尔文学奖获得者．
其中能构成集合的是__________．(填序号)
(2)已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
(1)解析：①②所述的对象都没有明确的标准，故都不能构成集合；③④所述的对象都有确定的标准，即给定一个对象都能确定是否属于该范畴，故③④所述对象能构成集合．
答案：③④
(2)解：∵－3∈A，
∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
规律小结根据已知条件求集合问题中的参数值时，要进行检验，不仅要检验是否满足题目的条件，还要检验集合的元素是否满足互异性．
探究三 集合的表示
表示一个集合通常用列举法或描述法：
(1)列举法：
①对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．
②用列举法时要注意：元素之间用“，”而不是用“、”隔开；元素不能重复；不考虑元素顺序．
(2)描述法：
①对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将元素一一列举出来，可以通过将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．
②使用描述法时，还应注意以下几点：
弄清楚集合的属性，是数集、点集，还是其他类型的集合．一般地，数集中的元素用一个字母表示，而点集中的元素则用一个有序实数对来表示．描述元素的共同特征时，若出现了元素记号以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
【典型例题3】 用适当的方法表示下列集合．
(1)BRICS中的所有字母组成的集合；
(2)方程组的解集；
(3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}；
(4)坐标平面内坐标轴上的点集．
思路分析：先根据题意确定符合条件的元素，再根据元素情况选择适当的表示方法．
解：(1)用列举法表示为{B，R，I，C，S}．
(2)由得
故方程组的解集用列举法表示为{(1,1)}．
(3)因为x∈N，y∈N，x＋y＝3，
所以或或或
所以A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}．
(4)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0，故可表示为{(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}．
探究四 易错辨析
易错点 集合中元素的互异性
【典型例题4】 用列举法写出关于x的方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集．
错解：由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，
所以方程的解为x＝1或x＝a，则解集为{1，a}．
错因分析：错解中没有注意到a是参数，使方程的解集具有不确定性．为了保证集合中元素的互异性，写出解集时要对a进行分类讨论．
正解：由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，
所以方程的解为x＝1或x＝a.
若a＝1，则解集为{1}；
若a≠1，则解集为{1，a}．
反思对于用列举法表示的集合，若其中的元素用字母表示，要注意满足集合中元素的互异性．
1.1 集合
课堂探究
探究一 补集的运算
1．补集符号?UA的三层含义：
(1)?UA表示一个集合；
(2)A是U的子集，即A?U；
(3)?UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
2．求补集的方法：
求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．也常利用Venn图或数轴求解．
【典型例题1】 (1)设全集U＝{n|n是小于10的正整数}，A＝{n|n是3的倍数，n∈U}，求?UA；
(2)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3
解：(1)∵U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
A＝{3,6,9}，
∴?UA＝{1,2,4,5,7,8}．
(2)∵A＝{x|x≥－3}，
∴?UA＝?RA＝{x|x<－3}．
又∵B＝{x|－3∴?UB＝{x|x≤－3，或x>2}．
画数轴如图：
显然，?UA?UB.
方法技巧在利用数轴解答集合的运算问题时，要特别注意端点值能否取得．在数轴上表示集合时，点的实(心)空(心)要分清，这样有利于准确解答问题．
探究二 交集、并集、补集的综合运算
交集、并集、补集的综合运算主要有两种情况：
(1)对于有限集，先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交、并、补集的定义来求解，另外针对此类问题，在解答过程中也常常借助于Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．
(2)对于无限集，常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据交、并、补集的定义求解，这样处理比较形象直观，解答过程中注意边界问题．
【典型例题2】 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB)．
思路分析：由于U，A，B均为无限集，所求问题是集合间的交集、并集、补集运算，故考虑借助数轴求解．
解：将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，
则?UA＝{x|－1≤x≤3}；
?UB＝{x|－5≤x<－1，或1≤x≤3}；
方法一：(?UA)∩(?UB)＝{x|1≤x≤3}．
方法二：∵A∪B＝{x|－5≤x<1}，
∴(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)
＝{x|1≤x≤3}．
探究三 补集思想的应用
有些数学问题，若直接从正面解决，或解题思路不明朗，或需要考虑的因素太多，可用补集思想考虑其对立面，即从结论的反面去思考，探索已知和未知之间的关系，从而化繁为简，化难为易，开拓解题思路．
【典型例题3】 已知集合A＝{x|x>a＋5，或x解：当A∩B＝?时，如图所示，
则
解得－1≤a≤2.
即当A∩B＝?时，实数a的取值集合为M＝{a|－1≤a≤2}．而当A∩B≠?时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集．
故当A∩B≠?时，实数a的取值范围为{a|a<－1，或a>2}．
探究四易错辨析
易错点 忽略检验或考虑不全面
【典型例题4】 设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求实数a的值．
错解：∵?UA＝{5}，
∴5∈U，且5?A，
∴a2＋2a－3＝5，且|2a－1|≠5，
解得a＝2或a＝－4，即实数a的值是2或－4.
正解：∵?UA＝{5}，
∴5∈U，且5?A，且|2a－1|＝3.
解得a＝2，
即a的取值是2.
1.2 函数及其表示
课堂探究
探究一 函数的概念
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“任一个数x”与“有唯一确定的数f(x)”说明函数中变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能“一对多”．
【典型例题1】 下列对应关系是否为A到B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2.
解：(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
【典型例题2】 下列式子能否确定y是x的函数？
(1)x2＋y2＝4；
(2)y＝＋.
解：(1)由x2＋y2＝4，得y＝±.当x＝1时，对应的y值有两个，故y不是x的函数．
(2)因为不等式组的解集是?，即x取值的集合是?，故y不是x的函数．
探究二 求函数的定义域
函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．
求函数的定义域时，常有以下几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集)．
函数的定义域要用集合或区间表示．
【典型例题3】 (1)求函数y＝－的定义域；
(2)已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,1]，求函数y＝f(x－5)的定义域．
思路分析：分析所给函数的表达式→列不等式组→求x的范围，得定义域
解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足解得x≥－1，且x≠1，
即函数的定义域是{x|x≥－1，且x≠1}．
(2)∵y＝f(x)的定义域为[－1,1]，
∴－1≤x－5≤1，即4≤x≤6，
因此y＝f(x－5)的定义域为[4,6]．
方法总结(1)若已知f(x)的定义域(a，b)，求f(g(x))的定义域，可由a探究三 判断函数相等
判断两个函数f(x)和g(x)是否相等的方法是：先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等；如果定义域相同，再化简函数的表达式，如果化简后的函数表达式相同，那么它们相等，否则它们不相等．
【典型例题4】 判断下列各组函数是否是相等函数：
(1)f(x)＝x＋2，g(x)＝；
(2)f(x)＝(x－1)2，g(x)＝x－1；
(3)f(x)＝x2＋x＋1，g(t)＝t2＋t＋1.
思路分析：先求出定义域，根据定义域和表达式(即对应关系)来确定．
解：(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠2}．
由于定义域不同，故函数f(x)与g(x)不相等．
(2)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，即定义域相同．
由于f(x)与g(x)的表达式不相同，
故函数f(x)与g(x)不相等．
(3)两个函数的自变量所用字母不同，但其定义域和对应关系一致，故两个函数相等．
探究四 求函数值
1．已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的所有x即得f(a)的值．
2．求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则．
3．用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．
【典型例题5】 已知f(x)＝，g(x)＝x＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(3))的值；
(3)求g(a＋1)．
思路分析：(1)分别将f(x)与g(x)的表达式中的x换为2，计算得f(2)与g(2)；(2)先求g(3)的值m，再求f(m)的值．
解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x＋2，∴g(2)＝2＋2＝4.
(2)∵g(3)＝3＋2＝5，∴f(g(3))＝f(5)＝＝.
(3)g(a＋1)＝a＋1＋2＝a＋3.
探究五易错辨析
易错点 求函数的定义域时先化简函数的关系式
【典型例题6】 求函数y＝的定义域．
错解：要使函数y＝＝有意义，则x≠－3.
故所求函数的定义域为{x|x≠－3}．
错因分析：约分扩大了自变量的取值范围．由于同时约去了函数中分子、分母的公因式“x－2”，使原函数变形为y＝，从而改变了原函数的自变量x的取值范围，也就是说，函数y＝与函数y＝不相等．
正解：要使函数有意义，必须使(x－2)(x＋3)≠0，
即x－2≠0，且x＋3≠0，解得x≠2，且x≠－3.
故所求函数的定义域为{x|x≠2，且x≠－3}．
1.2 函数及其表示
课堂探究
探究一列表法表示函数
列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的明显优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算．
【典型例题1】 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为______；当g(f(x))＝2时，x＝______.
思路分析：这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可．
解析：由g(x)对应表，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)．
由f(x)对应表，得f(3)＝1，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.
由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2.
又g(f(x))＝2，
∴f(x)＝2.
又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2.
∴x＝1.
答案：1 1
探究二 求函数的解析式
求函数解析式实际上就是寻找函数三要素中的对应关系，也就是在已知自变量和函数值的条件下求对应关系．解答此类问题时，可根据已知条件选择不同的方法求解．
求函数解析式的常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)．
【典型例题2】 (1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知f＝x2＋，求f(x)；
(3)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
思路分析：(1)令x＋1＝t，代入f(x＋1)＝x2－3x＋2可得f(x)；(2)将x2＋变形，使其变为关于x＋的形式，可得f(x)；(3)设出f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，再根据条件列出方程组求出a，b，c的值．
解：(1)令x＋1＝t，则x＝t－1，将x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
(2)f＝x2＋＝2－2，
∴f(x)＝x2－2.
(3)设所求的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，对任意x∈R成立，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
由恒等式性质，得∴
∴所求二次函数为f(x)＝x2－x＋1.
探究三 函数的图象
函数的图象能直观地反映出函数的一些性质，因此，解答函数问题时常常借助于图象．
1．作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，最后列表画出图象．
2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心圆圈．
【典型例题3】 作出下列函数图象并求其值域．
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
解：(1)因为x∈Z，所以图象为一直线上的孤立点(如图(1))，由图象知，y∈Z.
(2)因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))，
由图象知，y∈[－5,3)．
方法总结(1)中函数的图象是一些离散的点，故该函数的值域是各点纵坐标组成的集合．
(2)中函数的图象是一条连续不间断的曲线，故该函数的值域就是图象上所有点纵坐标的取值范围．
探究四 易错辨析
易错点 忽略变量的实际意义
【典型例题4】 如图所示，在矩形ABCD中，BA＝3，CB＝4，点P在AD上移动，CQ⊥BP，Q为垂足．设BP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数表达式，并画出函数的图象．
错解：由题意，得△CQB∽△BAP，
所以＝，
即＝.
所以y＝.
故所求的函数表达式为y＝，其图象如图所示．
错因分析：没有考虑x的实际意义，扩大了x的取值范围，导致出错．
正解：由题意，得△CQB∽△BAP，
所以＝，即＝.所以y＝.
因为BA≤BP≤BD，而BA＝3，CB＝AD＝4，
所以BD＝＝5，
所以3≤x≤5，
故所求的函数表达式为y＝ (3≤x≤5)．
如图所示，曲线MN就是所求的函数图象．
反思从实际问题中得到的函数，求其定义域时，不仅要使函数有意义，而且还要使实际问题有意义．
1.2 函数及其表示
课堂探究
探究一 求分段函数的值
1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．若题目含有多层“f”，应按“由内到外”的顺序层层处理．
2．如果所给变量范围不明确，计算时要采用分类讨论的思想．
3．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
【典型例题1】 已知函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(x)＝2，求x的值．
思路分析：(1)由内到外，先求f，再求f，最后求f；
(2)分别令x＋2＝2，x2＝2，x＝2，分段验证求x.
解：(1)f＝＋2＝，
∴f＝f＝2＝，
∴f＝f＝×＝.
(2)当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0，不符合x<0.
当f(x)＝x2＝2时，x＝±，其中x＝符合0≤x<2.
当f(x)＝x＝2时，x＝4，符合x≥2.
综上，x的值是或4.
探究二 分段函数的图象
1．分段函数的解析式的特点是可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．
2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．
【典型例题2】 画出下列函数的图象，并写出它们的值域：
(1)y＝
(2)y＝|x＋1|＋|x－3|.
思路分析：先化简函数式，再画图象，在画分段函数的图象时，要注意对应关系与自变量范围的对应．
解：(1)函数y＝的图象如图①，观察图象，得函数的值域为(1，＋∞)．
(2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y＝它的图象如图②.观察图象，得函数的值域为[4，＋∞)．
探究三 映射的判断
判断是否为映射的几大要点：
(1)集合A，B的元素是任意的，没有任何限制；(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而且这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和集合B中与其对应的元素的唯一性就构成了映射的核心；(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应；(5)映射是特殊的对应，即“多对一”或“一对一”的对应，而对应不一定是映射，其中“一对多”的对应不是映射．
【典型例题3】 下列对应是A到B的映射的有( )
①A＝R，B＝R，f：x→y＝；
②A＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手}，B＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手的体重}，f：每个火炬手对应自己的体重；
③A＝{非负实数}，B＝R，f：x→y＝±.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：①中，对于A中元素－1，在B中没有与之对应的元素，则①不是映射；②中，由于每个火炬手都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A中元素4，在B中有两个元素2和－2与之对应，则③不是映射．
答案：B
探究四 易错辨析
易错点 错误理解分段函数
【典型例题4】 已知函数f(x)＝若f(x)＝3，求x的值．
错解：由x2－1＝3，得x＝±2；由2x＋1＝3，得x＝1.
故x的值为2，－2或1.
错因分析：本题是一个分段函数问题，在解决此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数．求值时不能忽视x的取值范围，因此错解中x＝－2和x＝1都应舍去．
正解：当x≥0时，由x2－1＝3，得x＝2，或x＝－2(舍去)；
当x<0时，由2x＋1＝3，得x＝1(舍去)．
故x的值为2.
反思分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数体现了数学的分类讨论思想，“分段求解”是解决分段函数问题的基本原则．
1.3 函数的基本性质
课堂探究
探究一利用图象确定函数的单调区间,函数单调性的几何意义：在单调区间上，若函数的图象“上升”则为增函数，图象“下降”则为减函数．因此借助于函数图象来求其单调区间，是直观且有效的方法．
【典型例题1】 作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
解：f(x)＝的图象如图所示，由图可知，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．
反思(1)对于初等函数y＝kx＋b(k≠0)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，y＝ (k≠0) 常借助函数图象去探求函数的单调区间．
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数，画出其图象，借助图象的变化趋势分析函数的单调性(区间)．
(3)求函数的单调区间应在函数的定义域内进行，即函数的单调区间一定是函数定义域的子集．
探究二 证明函数的单调性
1．关于函数单调性的定义要注意以下几点：
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同区间上可以有不同的单调性．
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即f(x)是增(减)函数且f(x1)x2)．
2．证明或判断函数的单调性，主要是利用定义法，其基本步骤是：
【典型例题2】 求证：函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
思路分析：在(0,1)上任取x1，x2，且x1f(x2)即可．
证明：设x1，x2是(0,1)上的任意两个实数，且x1＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)
＝.
∵0∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
规律总结利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧：
(1)因式分解．当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解．如f(x)＝x2－2x－3.
(2)通分．当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解．如本例．
(3)配方．当所得的差式含有x1，x2的二次三项式时，可以考虑配方，便于判断符号．
(4)分子有理化．当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化．
探究三 函数单调性的应用
1．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．
2．(1)若f(x)在区间D上是增函数，x1，x2是区间D内的任意两个实数，则f(x1)>f(x2)?x1>x2；
f(x1)(2)若f(x)在区间D上是减函数，x1，x2是区间D内的任意两个实数，则f(x1)>f(x2)?x1f(x1)x2.
3．当抽象函数的不等式或函数式很复杂时，要注意考虑函数单调性的应用．
【典型例题3】 已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，试比较f(a2－a＋1)与f的大小．
思路分析：要比较两个函数值的大小，需先比较自变量的大小．
解：∵a2－a＋1＝2＋≥，
∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．
又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，
∴f≥f(a2－a＋1)．
探究四 易错辨析
易错点 对“单调区间是……”和“在区间……上单调……”理解错误
【典型例题4】 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值(或取值范围)是__________．
(2)若函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的值(或取值范围)是__________．
错解：(1)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a.由于函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，因此1－a≥4，即a≤－3.故应填(－∞，－3]．
(2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a.由于函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a＝4，即a＝－3.故应填－3.
错因分析：函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调递减，则指此区间是相应单调递减区间的子集．错解颠倒了这两种说法的含义，从而导致出错．
正解：(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.故应填－3.
(2)因为函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3.故应填(－∞，－3]．
1.3 函数的基本性质
课堂探究
探究一 利用函数的图象求函数的最值
函数的最大值就是函数图象最高点的纵坐标，最小值就是函数图象最低点的纵坐标，因而只要作出函数的图象就可以求出函数的最值，这是求函数最值的常用方法之一．
【典型例题1】 已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)画出f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的最小值．
思路分析：(1)讨论x与±1的大小，化函数f(x)为分段函数形式；
(2)函数图象的最低点的纵坐标是f(x)的最小值．
解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝其图象如图所示．
(2)由图象，得函数f(x)的最小值是2.
方法小结用图象法求函数y＝f(x)的最值的步骤：
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值．
探究二 利用函数的单调性求最值
1．函数的单调性是其定义域的子集上的性质，是“局部”性质，而函数的最值是整个定义域上的性质，是“整体”性质．
2．若函数f(x)在[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
3．若函数f(x)在[a，b]上是增(减)函数，在[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则函数f(x)在[a，b]上一定有最值．
【典型例题2】 已知函数f(x)＝x＋，x∈[1,3]．
(1)判断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性；
(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值．
分析：(1)证明单调性的流程：取值→作差→变形→判断符号→结论；
(2)借助最值与单调性的关系，写出最值．
解：(1)设x1，x2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－
＝(x1－x2)
＝.
∵x1当1≤x1即x1x2－4<0.
∴f(x1)>f(x2)，
即f(x)在[1,2]上是减函数．
当2≤x10.
∴f(x1)(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)，f(2)＝2＋＝4.
又∵f(1)＝5，f(3)＝3＋＝∴f(x)的最大值为5.
方法总结利用函数的单调性求函数最值的步骤：
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)借助最值与单调性的关系写出最值．
探究三 二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值可作如下讨论.
对称轴x＝h与[m，n]的位置关系
f(x)的单调性
最大值
最小值
h[m，n]
f(n)
f(m)
h>n
[m，n]
f(m)
f(n)
m≤h≤n
m≤h<
[m，h]
[h，n]
f(n)
f(h)
h＝
f(m)或f(n)
f(h)
f(m)
f(h)
【典型例题3】 求函数y＝x2－2ax－1在[0,2]上的最值．
解：y＝(x－a)2－1－a2.
当a<0时，[0,2]是函数的递增区间，如图(1)．
故函数在x＝0时，取得最小值－1，
在x＝2时取得最大值3－4a.
当0≤a≤1时，结合函数图象(如图(2))知，
函数在x＝a时取得最小值－a2－1，
在x＝2时取得最大值3－4a.
当1函数在x＝a时取得最小值－a2－1，
在x＝0时取得最大值－1.
当a>2时，[0,2]是函数的递减区间，如图(4)．
函数在x＝0时取得最大值－1，
在x＝2时取得最小值3－4a.
规律总结探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据．
二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：(1)对称轴在定义域区间右侧；(2)对称轴在定义域区间左侧；(3)对称轴在定义域区间内．
探究四 易错辨析
易错点 求函数的最值忽视定义域
【典型例题4】 已知函数f(x)＝－3x＋5，x∈[0,1]，则函数f(x)( )
A．有最大值2，有最小值5 B．有最大值5，有最小值2
C．有最大值1，有最小值0 D．不存在最值
错解：f(x)＝－3x＋5是一次函数，值域是R，不存在最值，故选D.
错因分析：错解中，忽视了f(x)的定义域是[0,1]，不是R.
正解：f(x)＝－3x＋5在[0,1]上是减函数，则函数f(x)的最大值是f(0)＝－3×0＋5＝5，最小值是f(1)＝－3×1＋5＝2.
答案：B
1.3 函数的基本性质
课堂探究
探究一 判断函数的奇偶性
1．函数根据奇偶性分为：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数．
2．用定义判断函数奇偶性的步骤为：
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
(3)结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式；
(4)求f(－x)；
(5)根据f(－x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性．
3．函数的奇偶性也可以用图象法判断，即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．
【典型例题1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x3－2x；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
思路分析：先求出定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．
解：(1)∵函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数．
(2)函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)由得x2＝1，即x＝±1.
∴函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f(1)＝f(－1)＝0，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)函数的定义域关于原点对称．
方法一：当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)．
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
方法二：函数f(x)＝的图象如图．
图象关于原点对称，∴f(x)是奇函数．
方法总结(1)用定义法判断函数的奇偶性时，为了判断f(－x)与f(x)的关系，既可以从f(－x)开始化简，也可以去考虑f(－x)＋f(x)或f(－x)－f(x)是否为0，当f(x)不等于0时也可考虑 ，与1或－1的关系．
(2)在选择题、填空题中，也可以用如下性质判断函数奇偶性：
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
探究二 利用函数的奇偶性求解析式
对于偶函数f(x)有f(－x)＝f(x)，对于奇函数f(x)有f(－x)＝－f(x)，所以已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，可求该函数在与已知区间关于原点对称的区间上的解析式，求解时，先设出所求区间上的自变量，利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
【典型例题2】 已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．
思路分析：若x>0的解析式是已知的，则利用奇函数的定义，即可求得x<0时的解析式．注意不要忽略x＝0时f(x)的解析式．
解：当x<0时，－x>0，则
f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝2x2＋3x－1.
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，则f(0)＝－f(0)，
即f(0)＝0.
所以f(x)的解析式为f(x)＝
规律总结(1)这类问题常见的情形是：
已知当x∈(a，b)时，f(x)＝φ(x)，求当x∈(－b，－a)时f(x)的解析式．
若f(x)为奇函数，则当x∈(－b，－a)时，
f(x)＝－f(－x)＝－φ(－x)．
若f(x)为偶函数，则当x∈(－b，－a)时，
f(x)＝f(－x)＝φ(－x)．
(2)若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，不能漏掉．
探究三 函数单调性与奇偶性的综合应用
利用函数的单调性与奇偶性可以解一类抽象不等式问题．
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)【典型例题3】 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
思路分析：f(m)＋f(m－1)>0→f(1－m)解：由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数．
∴即
解得－1≤m< .
温馨提示当遇到抽象不等式或函数式很复杂时，一般要利用函数的单调性去掉“f”再求解．
探究四 易错辨析
易错点 忽视定义域，错判函数的奇偶性
【典型例题4】 判断函数f(x)＝(x－1) 的奇偶性．
错解：f(x)＝－＝－＝－，
∴f(－x)＝－＝－＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
错因分析：错解中，忽视函数f(x)的定义域，盲目化简变形，误认为定义域为[－1,1]，扩大x的取值范围．
正解：函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数．
3.1 函数与方程
课堂探究
探究一求函数的零点
因为函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以，求函数的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，通过解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
【典型例题1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝1＋log3x；
(3)f(x)＝4x－16；
(4)f(x)＝.
思路分析：可通过解方程f(x)＝0求得函数的零点．
解：(1)令－8x2＋7x＋1＝0，
解得x＝－或x＝1.
所以函数的零点为x＝－和x＝1.
(2)令1＋log3x＝0，则log3x＝－1，解得x＝.
所以函数的零点为x＝.
(3)令4x－16＝0，则4x＝42，解得x＝2.
所以函数的零点为x＝2.
(4)因为f(x)＝＝，
令＝0，
解得x＝－6.
所以函数的零点为x＝－6.
探究二 判断函数零点的个数
判断函数y＝f(x)零点的个数的方法主要有：
(1)解方程f(x)＝0，方程实根的个数就是函数零点个数；
(2)当方程f(x)＝0不能解时，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；
(3)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两图象交点的个数就是函数y＝f(x)零点的个数．
【典型例题2】 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
解：方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，
f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在实根，
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，
故f(x)有且只有一个零点．
方法二：在同一平面直角坐标系下作出图象如下：
h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的叠合图．
由图象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
方法总结用零点存在定理判断函数y＝f(x)在(a，b)内零点唯一，可按以下步骤进行：
(1)判断f(a)f(b)＜0；
(2)判断函数y＝f(x)在(a，b)上单调．
探究三判断函数的零点所在的大致区间
如果函数通过零点时函数值的符号发生改变，称这样的零点为变号零点；否则，若函数通过零点时不变号，称之为不变号零点．如函数y＝x2的零点就是不变号零点．
函数零点存在定理可判断变号零点所在区间．
【典型例题3】 方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )
A．(0,2) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析：构造函数，转化为确定函数的零点所在的区间．
令f(x)＝log3x＋x－3，
则f(1)＝log31＋1－3＝－2＜0，f(2)＝log32＋2－3＝log3＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，f(4)＝log34＋4－3＝log312＞0，那么方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．
答案：C
探究四 易错辨析
易错点 忽视零点存在性定理的使用条件致误
【典型例题4】 函数f(x)＝x＋的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
错解：因为f(－1)＝－2＜0，f(1)＝2＞0，
所以函数f(x)有1个零点，故选B.
错因分析：函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域．通过作图(图略)，可知函数f(x)＝x＋的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间内使用．
正解：函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)＝0无实根．
当x＜0时，f(x)＜0，∴f(x)＝0无实根．
综上，函数f(x)没有零点．
答案：A
3.1 函数与方程
课堂探究
探究一二分法的概念
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
【典型例题1】 用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
思路分析：逐一分析每个零点附近左、右两侧函数值的符号，看是否存在区间[a，b]满足f(a)·f(b)＜0.
解析：由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间[a，b]，使得f(a)·f(b)＜0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈[a，b]时均有f(a)·f(b)≥0，故不可以用二分法求该零点．
答案：C
探究二 求方程的近似解
函数的零点就是对应方程的解，所以，二分法不仅可以求函数的零点，也可以求方程的近似解．
用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到要求(达到给定的精确度)，以决定是停止计算还是继续计算．
【典型例题2】 求方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)．
思路分析：在同一平面直角坐标系中，画出y＝lg x和y＝2－x的图象，确定方程的解所在的大致区间，再用二分法求解．
解：在同一平面直角坐标系中，作出y=lg x，y=2-x的图象如图所示，可以发现方程lg x=2-x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．
设f(x)=lg x+x-2，
则f(x)的零点为x0.
用计算器计算，得f(1)＜0，f(2)＞0?x0∈(1,2)；
f(1.5)＜0，f(2)＞0?x0∈(1.5,2)；
f(1.75)＜0，f(2)＞0?x0∈(1.75,2)；
f(1.75)＜0，f(1.875)＞0?x0∈(1.75,1.875)；
f(1.75)＜0，f(1.812 5)＞0?x0∈(1.75,1.812 5)．
∵|1.812 5－1.75|＝0.062 5＜0.1，
∴方程的近似解可取为1.812 5.
方法总结利用二分法求方程的近似解的步骤：(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
探究三 二分法的实际应用
二分法的思想在实际生活中应用十分广泛．二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查等，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等．
【典型例题3】 某市A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
思路分析：对每一段线路一一检查很麻烦，当然也是不必要的，可以利用二分法的思想设计方案．
解：如图，可首先从中点C开始查起，用随身携带的工具检查，若发现AC段正常，则断定故障在BC段；
再到BC段的中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；
再到BD段的中点E检查，如此，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m之间，即可迅速找到故障所在．
探究四 易错辨析
易错点 因“二分法”精确度的理解不清致错
【典型例题4】 用二分法求方程x2－5＝0的一个非负近似解(精确度为0.1)．
错解：令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16＜0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝2.32－5＝0.29＞0，
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5＞0，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)，
同理可得x0∈(2.225,2.25)，(2.225,2.237 5)，
又f(2.225)≈－0.049 4，f(2.237 5)≈0.006 4，
且|0.006 4－(－0.049 4)|＝0.055 8＜0.1，
所以原方程的非负近似解可取为2.225.
错因分析：本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|＜ε，而本题误认为是|f(a)－f(b)|＜ε.
正解：由于f(2)＝－1＜0，f(3)＝4＞0，故取区间[2,3]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
[2,3]
2.5
1.25
[2,2.5]
2.25
0.062 5
[2,2.25]
2.125
－0.484 4
[2.125,2.25]
2.187 5
－0.214 8
[2.187 5,2.25]
2.218 75
－0.077 1
根据上表计算知，区间[2.187 5,2.25]的长度是0.062 5＜0.1，所以这个区间的两个端点值就可作为其近似值，所以其近似值可以为2.187 5.
反思总结本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|＜ε，而错解误认为是|f(a)－f(b)|＜ε.因此，对精确度的正确理解是正确解答本题的关键，当区间长度小于精确度时，零点可选区间内的任一值．
3.2 函数模型应用举例
课堂探究
探究一一次或二次函数模型的应用
应用一次函数与二次函数的有关知识，可解决生产、生活实际中的最大(小)值的问题．解答时需遵循的基本步骤是：(1)反复阅读理解，认真审清题意；(2)依据数量关系，建立数学模型；(3)利用数学方法，求解数学问题；(4)检验所得结果，译成实际答案．
【典型例题1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将月利润表示为月产量的函数f(x)．
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
思路分析：由题目可获取以下主要信息：①总成本＝固定成本＋100x；②收益函数为一分段函数．
解答本题可由已知总收益＝总成本＋利润，知利润＝总收益－总成本．由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题．
解：(1)设每月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
∴当x＝300时，有最大值25 000；
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数．
f(x)＜60 000－100×400＜25 000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.
∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．
探究二 指数函数模型的应用
递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一，这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义：递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较．具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题，然后，求解此数学问题．
【典型例题2】 截止到2013年底，我国人口约为13.71亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y亿．
(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．
思路分析：解答本题先根据增长率的意义，列出y与x的函数关系式，然后再求解相应问题．
解：(1)2013年底人口数：13.71亿．
经过1年，2014年底人口数：
13．71＋13.71×1%＝13.71×(1＋1%)(亿)．
经过2年，2015年底人口数：
13．71×(1＋1%)＋13.71×(1＋1%)×1%
＝13.71×(1＋1%)2(亿)．
经过3年，2016年底人口数：
13．71×(1＋1%)2＋13.71×(1＋1%)2×1%
＝13.71×(1＋1%)3(亿)．
…
∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．
∴经过x年后人口数为13.71×(1＋1%)x(亿)．
∴y＝f(x)＝13.71×(1＋1%)x.
(2)理论上指数函数定义域为R.
∵此问题以年作为时间单位，
∴{x|x∈N*}是此函数的定义域．
(3)y＝f(x)＝13.71×(1＋1%)x.
∵1＋1%＞1,13.71＞0，
∴y＝f(x)＝13.71×(1＋1%)x是增函数，
即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．
规律总结1.本题涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
2．在实际中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型．
探究三对数函数模型的应用
直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．
【典型例题3】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
思路分析：由题意可知飞行速度是耗氧量的函数，由函数表达式分别给变量赋值，求出另外的量即可．
解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log2，
解得Q＝10，
即燕子静止时的耗氧量为10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入公式得v＝5log2＝5log28＝15(m/s)，即当一只燕子耗氧量为80个单位时，速度为15 m/s.
探究四 易错分析
易错点 因对图形信息理解不准确导致解答错误
【典型例题4】 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向做匀速直线运动，其位移y(km)和运动时间x(h)(0≤x≤5)的关系如图所示，给出以下说法：
①甲、乙运动的速度相同，都是5 km/h；
②甲、乙运动的时间相同，开始移动后相等时间内甲的位移比乙大；
③甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4 km/h；
④当甲、乙运动了3 h后，甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处．
其中正确的说法是( )
A．③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
错解：①和③一定是一对一错，经分析，③是对的；对于②，因为乙的图象在甲的上方，所以应是甲的位移比乙小，故②错误；对于④，当甲、乙运动了3 h，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为5＋3×4＝17(km)，故④错误．故选A.
错因分析：本题的图象给我们的信息是，甲、乙的运动时间以及运动位移，通过图象可知甲、乙的出发点不同、速度不同，一是由于忽视甲、乙的出发点不同而导致错解；二是忽略了位移是跟速度与时间相关的，在相同的时间内，同一方向上速度快的位移大．
正解：①和③一定是一对一错，经分析③是对的；对于②，甲、乙运动的时间显然都是5 h，因为甲的速度为5 km/h，乙的速度为4 km/h，所以开始移动后相等时间内甲的位移比乙大，故②正确；对于④，当甲、乙运动了3 h，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为3×4＝12(km)，又因为乙是从甲前方5 km处开始运动的，所以甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处，所以④正确，故选D.
答案：D
3.2 函数模型应用举例
课堂探究
探究一 已知函数模型的应用题
已知函数模型的应用题主要有两种情况：一是已知某量满足某函数式，据此列出所求量的函数式，然后利用函数知识解答相关问题；二是已知所求量满足的函数式，但式中含有参数，像这样的问题，应先根据已知条件求出函数式中的参数，然后再据此函数解答相关问题．
【典型例题1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？
解：先设定半衰期h，由题意知
40－24＝(88－24)×，即＝，
解之，得h＝10，
故原式可化简为T－24＝(88－24)×，
当T＝35时，代入上式，得，35－24＝(88－24)×，即＝，
两边取对数，用计算器求得t≈25.
因此，约需要25 min，可降温到35 ℃.
探究二 建立函数模型的应用题
当实际应用题中没有给出函数模型时，其解题步骤是：
第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，找出题意中所蕴含的函数关系；
第二步：恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；
第三步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；
第四步：将所得函数问题的解还原成实际问题的结论，要注意检验所得的结论是否符合实际问题的意义．
【典型例题2】 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式：M＝，N＝t.今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)求总利润y的最大值．
思路分析：(1)总利润＝投资甲项目利润＋投资乙项目利润＝M＋N；(2)转化为求(1)中函数的最大值．
解：(1)当甲项目投资x亿元时，获得利润为M＝(亿元)，此时乙项目投资(3－x)亿元，获得利润为N＝(3－x)(亿元)，
则有y＝＋(3－x)，x∈[0,3]．
(2)令＝t，t∈[0，]，则x＝t2，
此时y＝t＋(3－t2)＝－(t－1)2＋.
∵t∈[0，]，
∴当t＝1，即x＝1时，y有最大值，为，
即总利润y的最大值是亿元．
探究三 拟合函数模型的应用题
对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的．因此，使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
【典型例题3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示．
年序
最大积雪深度x/cm
灌溉面积y/hm2
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉的土地面积是多少？
思路分析：首先根据表中数据作出散点图，然后通过观察图象来判断问题所适用的函数模型．
解：(1)描点作图如图甲：
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y(hm2)和最大积雪深度x(cm)满足线性函数模型y＝a＋bx(a，b为常数，b≠0)．
取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，
代入y＝a＋bx，得
用计算器可算得a≈2.4，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型y＝2.4＋1.8x.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由(2)，得当x＝25时，y＝2.4＋1.8×25＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.
探究四 易错辨析
易错点 求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制
【典型例题4】 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(b＜a)，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x.
问：当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积．
错解：设四边形EFGH的面积为S，
则S＝ab－2
＝－2x2＋(a＋b)x
＝－22＋.
根据二次函数的性质可知，
当x＝时，S有最大值.
错因分析：错解中没有考虑所得二次函数的定义域，就直接利用二次函数的性质求解，从而导致出错．
正解：设四边形EFGH的面积为S，则
S＝ab－2
＝－2x2＋(a＋b)x
＝－22＋，x∈(0，b]．
因为0＜b＜a，
所以0＜b＜.
当≤b，即a≤3b时，
当x＝时，S有最大值；
当＞b，即a＞3b时，
易知S(x)在(0，b]上是增函数，
所以当x＝b时，S有最大值ab－b2.
综上可得，当a≤3b，x＝时，S有最大值；当a＞3b，x＝b时，S有最大值ab－b2.
反思利用函数解决实际问题时，要遵循定义域优先的原则，即必须考虑到自变量的实际意义，否则会出现错解．
2.1 指数函数
课堂探究
探究一 利用根式的性质化简、求值
利用根式的性质化简求值，就是利用与()n的结果进行去根号化简，所以在运算时要特别注意：
(1)n为奇数时，对任意a∈R都有意义，并且表示a在实数范围内的唯一的一个n次方根．即()n＝a.
(2)n为偶数时，只有当a≥0时才有意义， (a>0)表示a在实数范围内的一个正的n次方根，也叫n次算术根，但a还有另一个负的n次方根是－，即(±)n＝a.
(3)( )n与的意义不同. 对任意a∈R都有意义；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
【典型例题1】 求下列各式的值：
(1) ＋；
(2)( )5＋()6(b>a)．
思路分析：先利用根式的性质化简各个根式，再进行运算．
解：(1)原式＝－8＋|3－π|＝－8＋π－3＝π－11.
(2)原式＝(a－b)＋(b－a)＝a－b＋b－a＝0.
方法总结化简时，首先明确根指数n是奇数还是偶数，然后再依据根式的性质进行化简；化简()n时，关键是明确是否有意义，只要有意义，则()n＝a.
探究二条件根式的化简
在对根式进行化简时，若被开方数中含有分母，则要注意分母的取值范围，即确定中a的正负，再结合n的奇偶性给出正确结果．
若根式的根指数是偶数，可由被开方数不小于0确定出字母的取值范围，再进行化简．
【典型例题2】 化简：
(1)设－3(2)( )2＋＋＝__________；
(3) ＝__________.
思路分析：(1)去根号，化为含绝对值的形式，然后讨论x的范围去绝对值；(2)(3)由根式得出a的范围，再去根号化简．
解：(1)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
(2)由知a－1≥0，
∴原式＝a－1＋＋1－a＝a－1.
(3)由原式知即a＝－1.
∴原式＝＝－.
温馨提醒当n为偶数，化简时，先写成绝对值形式，再去绝对值．
探究三易错辨析
易错点 忽略n的范围导致式子化简出错
【典型例题3】 计算：＋.
错解：＋
＝(1＋)＋(1－)＝2.
错因分析：≠1－，而是＝|1－|＝－1.其出错原因是忽略了＝a成立的条件是n为正奇数，如果n为正偶数，那么＝|a|.
正解：＋
＝(1＋)＋|1－|＝1＋＋－1＝2.
2.1 指数函数
课堂探究
探究一 根式与分数指数幂的互化
根式与分数指数幂是同一个问题的两种不同表示形式，但用分数指数幂表示运算时更方便．因此，在很多情况下，需要对根式与分数指数幂进行互化．
(1)分数指数幂与根式可以相互转化，其化简的依据是公式：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．
(3)化简过程中要明确字母的范围，以免出错．
【典型例题1】 将下列根式化为分数指数幂的形式．
(1) (a>0)；
(2) ；
(3)( ) (b>0)．
解：(1)原式＝＝＝＝
(2)原式＝＝＝
＝＝＝.
(3)原式＝＝＝.
探究二 分数指数幂的运算
当一个式子中既含有根式又含有分数指数幂时，通常，我们需要对其化简，这时一般先统一化为分数指数幂，运用幂的运算性质进行运算．对分数指数幂进行化简时，常将负指数幂化为正指数幂，带分数化为假分数．
【典型例题2】 (1)计算：－＋＋16－0.75＋；
(2)化简：÷ (a>0)．
解：(1)原式＝－1＋(－2)－4＋＋＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝[·]÷[·]＝＝a0＝1.
温馨提示 此类题目的运算结果，可以是根式也可以是分数指数幂，但不能两者混合，也不能既含有分母又含有负指数．
探究三 条件求值
已知某些代数式的值，求另外代数式的值是代数式求值中的常见题型．解答这类题目，可先分析条件式与所求式的区别与联系，有时通过化简变形把已知条件整体代入，有时需根据已知条件求出某字母的值再代入．
【典型例题3】 已知＋＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3)a2－a－2.
思路分析：解答本题可从整体上寻求各式与条件＋＝的联系，进而整体代入求值．
解：(1)将＋＝的两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)由a＋a－1＝3，两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
∴a2＋a－2＝7.
(3)设y＝a2－a－2，两边平方，得
y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45.
∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.
方法总结整体代换是解答这类问题的重要方法，另外还要注意隐含条件的挖掘与应用．
探究四 易错辨析
易错点 忽略有意义的条件导致计算出错
【典型例题4】 化简：
错解：
＝
＝(1－a)(a－1)－1＝
错因分析：错解中忽略了题中有意义的条件，若有意义，则－a≥0，故a≤0，这样＝(1－a)－1.
正解：由有意义，可知－a≥0，故a≤0，
所以
＝
＝(1－a)(1－a)－1＝.
2.1 指数函数
课堂探究
探究一 指数函数的概念
判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构形式．指数函数具有以下特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；
(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1；
(3)ax的系数是1.
【典型例题1】 (1)下列函数中，哪些是指数函数？
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；
③y＝(2a－1)x；④y＝2·3x.
(2)函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．
思路分析：依据指数函数解析式满足的三个特征来判断．
解：(1)①中，底数－8<0，故不是指数函数．
②中，指数不是自变量x，故不是指数函数．
③中，∵a>，且a≠1，∴2a－1>0，且2a－1≠1.
∴y＝(2a－1)x是指数函数．
④中，3x前的系数是2，而不是1，故不是指数函数．
综上所述，仅有③是指数函数．
(2)由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，可得?a2－3a＋3＝1，,a>0，且a≠1，
解得∴a＝2.
探究二 指数函数的图象问题
1．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；
即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
实际上，无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，因此，作出直线x＝1，则该直线与各图象交点的纵坐标即为底数，由此可得底数的大小．
2．因为函数y＝ax的图象恒过点(0,1)，所以对于函数f(x)＝kag(x)＋b(k，a，b均为常数，且k≠0，a>0，且a≠1)，若g(m)＝0，则f(x)的图象过定点(m，k＋b)．
3．指数函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
4．处理函数图象问题的常用方法：一是抓住图象上的特殊点；二是利用图象的变换；三是利用函数的奇偶性与单调性．
【典型例题2】 函数y＝|x|的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？
思路分析：先讨论x，将函数写为分段函数，然后画出函数的图象，最后根据图象写出函数的值域和单调区间．
解：∵y＝|x|＝
∴其图象由y＝x(x≥0)和y＝2x(x<0)的图象合并而成．
而y＝x(x>0)和y＝2x(x<0)的图象关于y轴对称，所以原函数图象关于y轴对称．由图象可知值域是(0,1]，单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．
探究三 求函数的定义域、值域
对于y＝af(x)(a>0，且a≠1)这类函数：
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．
【典型例题3】 求下列函数的定义域与值域．
(1) ； (2)y＝－|x|.
思路分析：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，在定义域内可利用指数函数的单调性来求值域．
解：(1)∵由x－4≠0，得x≠4，
∴定义域为{x|x∈R，且x≠4}．
∵≠0，∴≠1.
∴的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)定义域为R.
∵|x|≥0，
∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1.
故y＝－|x|的值域为{y|y≥1}．
方法总结 求指数型函数y＝af(x)的值域主要是利用指数函数的单调性求解，因而求函数y＝f(x)的值域就成为求函数y＝af(x)值域的关键．
探究四 易错辨析
易错点 利用换元法时，忽视中间变量的取值范围
【典型例题4】 求函数y＝x＋x＋1的值域．
错解：令t＝x，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋≥，故当t＝－时，ymin＝，故原函数的值域是.
错因分析：原函数的自变量x的取值范围是R，换元后t＝x>0，而不是t∈R，错解中，t的取值范围扩大了．
正解：令t＝x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋.因为函数y＝2＋在(0，＋∞)上是增函数，所以y>1，故原函数的值域是(1，＋∞)．
方法总结求形如f(ax)的函数的值域时，常利用换元法，设ax＝t，根据f(ax)的定义域求得t的取值范围，再转化为求f(t)的值域．
2.1 指数函数
课堂探究
探究一 比较两个幂的大小
对于两个幂的大小比较，可从以下两个方面来考虑：
(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较．
【典型例题1】 比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)1.5－7，；
(3)2.3－0.28,0.67－3.1.
思路分析：(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)化为同底，再比较；(3)利用中间值1比较大小．
解：(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7，
故构造函数y＝1.7x，而函数y＝1.7x在R上是增函数．
又2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)(化同底)1.5－7＝＝，＝＝，
考察函数y＝.
∵0<<1，∴y＝在R上是减函数．
又7<12，∴>，
即1.5－7>.
(3)(中间量法)由指数函数的性质，知2.3－0.28<2.30＝1，0.67－3.1>0.670＝1，则2.3－0.28＜0.67－3.1.
探究二 解指数不等式
解指数不等式问题，需注意三点：
(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax>bx的形式利用图象求解．
【典型例题2】 解下列关于x的不等式：
(1) ≤16；
(2)a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．
思路分析：(1)将16写为，再利用指数函数的单调性求解；(2)讨论a的取值范围，利用指数函数的单调性求解．
解：(1)∵≤16，∴≤.
∵0<<1，∴x＋5≥－4，即x≥－9.
故原不等式的解集为{x|x≥－9}．
(2)当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，
当0当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
探究三指数型函数的单调性
对于形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数，有以下结论：
(1)函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与f(x)定义域相同；
(2)若求值域，则先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定y＝af(x)的值域；
(3)当a>1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0【典型例题3】 已知函数y＝，
(1)求函数的定义域及值域；
(2)确定函数的单调区间．
思路分析：将函数y＝分解为y＝与u＝x2－6x＋17，再根据u＝x2－6x＋17的定义域、值域、单调性确定原函数的定义域、值域、单调性．
解：(1)设u＝x2－6x＋17，由于函数y＝及u＝x2－6x＋17的定义域为(－∞，＋∞)，故函数y＝的定义域为R.
∵u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，
∴≤.
又>0，∴函数的值域为.
(2)函数u＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意x1，x2∈[3，＋∞)，且x1，即y1>y2，∴函数y＝在[3，＋∞)上是减函数．
同理可知y＝在(－∞，3]上是增函数．
规律总结函数y＝af(x)可看作是函数y＝au与u＝f(x)复合而成的，其中函数u＝f(x)称为内函数，函数y＝au为外函数．函数y＝af(x)的单调性遵循“同增异减”的原则，即内外函数单调性一致时，函数y＝af(x)为增函数，内外函数单调性相反时，函数y＝af(x)是减函数．
探究四 易错辨析
易错点 因忽略换元后新变量的取值范围而导致错误
【典型例题4】 设a>0，且a≠1，如果函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．
错解：∵y＝(ax＋1)2－2，
又∵y在[－1,1]上单调递增，∴x＝1时，y取得最大值．
∴a2＋2a－1＝14，即a2＋2a－15＝0，
∴a＝3，或a＝－5(舍去)．
∴a＝3.
错因分析：当a>1时，在x∈[－1,1]内，ax∈；
当0而y＝(t＋1)2－2在(－1，＋∞)上是单调递增的，
故当t取最大值时，y取最大值．
综上，应分两种情况求解才是正确的．
正解：设t＝ax，若a>1，则t∈，
若0∵y＝(t＋1)2－1，它关于t在(－1，＋∞)上单调递增．
∴当a>1时，y在t＝a处取得最大值，
∴a2＋2a－1＝14，∴a＝3.
当0∴＋－1＝14，∴a＝.
∴a＝3或a＝.
反思 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)，在利用换元法解题时，若假设t＝ax，则t>0，一定要注意换元后新变量的范围．
2.2 对数函数
课堂探究
探究一 对数式与指数式的互化
1．logaN＝b与ab＝N(a>0，且a≠1)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系．可以利用其中两个量表示第三个量．
2．已知底数与指数或已知指数与幂时，通常用指数式求幂或底数；若已知底数与幂求指数，需用对数式，所以指数式与对数式的互化在幂的运算中经常用到．
【典型例题1】 将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4； (2) ＝－3；
(3)ln 10＝2.303； (4)43＝64；
(5)3－2＝； (6)10－3＝0.001.
思路分析：利用当a＞0，且a≠1时，logaN＝b?ab＝N进行互化．
解：(1)24＝16.
(2) －3＝27.
(3)e2.303＝10.
(4)log464＝3.
(5)log3＝－2.
(6)lg 0.001＝－3.
探究二 利用对数式与指数式的关系求值
指数式ax＝N与对数式x＝logaN(a>0，且a≠1)表示了三个量a，x，N之间的关系，因而已知其中两个可求第三个：已知底数与指数，用指数式求幂；已知指数与幂，用指数式求底数；已知底数与幂，利用对数式表示指数．
【典型例题2】 求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；
(2)log7(x＋2)＝2；
(3)log＝x；
(4)logx27＝；
(5)lg 0.01＝x.
思路分析：利用指数式与对数式的关系求解．
解：(1)∵4x＝5·3x，
∴＝5，∴x＝5，
∴x＝.
(2)∵log7(x＋2)＝2，
∴x＋2＝72＝49，∴x＝47.
(3)∵－2＝，
∴log＝－2，∴x＝－2.
(4)∵logx27＝，∴＝27，
∴x＝＝32＝9.
(5)∵lg 0.01＝x，
∴10x＝0.01＝10－2，∴x＝－2.
探究三 对数性质的应用
1．对数的性质：
(1)在指数式中N>0，故零和负数没有对数．
(2)设a>0，a≠1，则有a0＝1.
∴loga1＝0，即1的对数等于0.
(3)设a>0，a≠1，则有a1＝a，
∴logaa＝1，即底数的对数为1.
2．对数恒等式：
alogaN＝N，该式叫做对数恒等式．
3．在对数的运算中，常用对数的性质和对数恒等式进行对数的化简与求值．
【典型例题3】 求下列各式中x的值：
(1)log3(log2x)＝0； (2)log2(lg x)＝1；
(3)log－1＝x； (4)52－log53＝x.
思路分析：利用logaa＝1，loga1＝0，alogaN＝N(a>0，且a≠1)及指数式与对数式的关系解题．
解：(1)∵log3(log2x)＝0，
∴log2x＝1，∴x＝21＝2.
(2)∵log2(lg x)＝1，
∴lg x＝2，∴x＝102＝100.
(3)∵log－1＝x，
∴(－1)x＝＝＝＝－1，∴x＝1.
(4)x＝52－log53＝＝.
2.2 对数函数
课堂探究
探究一 对数运算性质的应用
1．在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．
2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
【典型例题1】 计算下列各式的值：
(1)log2＋log212－log242；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
思路分析：利用对数的运算性质进行计算．
解：(1)方法一：原式＝log2＝log2＝－.
方法二：原式＝log2＋log2(22×3)－log2(2×3×7)＝log27－log2(24×3)＋2＋log23－－log23－log27＝－×4－log23＋＋log23＝－2＋＝－.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
方法总结像这类对数的运算，主要有两种解答途径：一是将积(商或幂)的对数化为对数的和(差或系数)，且真数最简；二是将对数的和差逆用运算性质化为积商的对数，但需各对数的系数相同．
探究二 换底公式的应用
对数的运算性质中等式的左边都是同底的对数，也就是逆用公式时，必须使对数同底，当对数的底数不相同时，这就要用换底公式把它们化为同底的．如果原式是几个对数的和，换底后，看能不能逆用性质；如果原式是几个对数的积，换底后，看能不能约分，进而化简对数式．
若题目中既有指数式又有对数式，通常将它们化为同一种形式．
【典型例题2】 计算下列各式的值：
(1)log89·log2732； (2)(log43＋log83) .
思路分析：用换底公式将对数换为同底的对数后再化简求值．
解：(1)原式＝·＝·＝.
(2)原式＝＝·＝·＋·＝＋＝.
【典型例题3】 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
思路分析：先利用指数式和对数式的互化公式，将18b＝5化成log185＝b，再利用换底公式，将log3645化成以18为底的对数，最后进行对数运算．
解：∵18b＝5，∴b＝log185.
∴log3645＝＝＝
＝＝＝＝.
探究三 对数的综合应用
对数的概念实质是给出了指数式与对数式间的关系，因此如果条件涉及指数幂的连等式时，常引入辅助变量，利用指数与对数间的关系，简化求解过程．
【典型例题4】 (1)设3x＝4y＝36，求＋的值；
(2)若26a＝33b＝62c≠1，求证：＋＝.
思路分析：用对数式表示出x，y，a，b，c再代入所求(证)式．
(1)解：∵3x＝4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
∴＝＝＝2log363＝log369，
＝＝＝log364.
∴＋＝log369＋log364＝log3636＝1.
(2)证明：设26a＝33b＝62c＝k(k>0，且k≠1)．
则6a＝log2k≠0,3b＝log3k≠0,2c＝log6k≠0.
∴＝＝6logk2，＝＝3logk3，
＝＝2logk6，
∴＋＝6logk2＋2×3logk3＝logk26＋logk36
＝logk66＝6logk6＝.
∴＋＝.
探究四 易错辨析
易错点 忽略对数的真数为正致错
【典型例题5】 解方程lg(x＋1)＋lg x＝lg 6.
错解：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg[x(x＋1)]＝lg(x2＋x)，
∴lg(x2＋x)＝lg 6，
∴x2＋x＝6，解得x＝2，或x＝－3.
错因分析：错解中，去掉对数符号后方程x2＋x＝6与原方程不等价，产生了增根，其原因是x2＋x＝6中，x∈R，而原方程中，应有再验根即可．
正解：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg[x(x＋1)]＝lg 6，
∴x(x＋1)＝6，解得x＝2，或x＝－3，经检验x＝－3不符合题意，∴x＝2.
反思解对数方程时，要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数．
2.2 对数函数
课堂探究
探究一 对数函数的概念
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
【典型例题1】 下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝logax2(a>0，且a≠1)；
(2)y＝log2x－1；
(3)y＝2log8x；
(4)y＝logxa(x>0，且x≠1)；
(5)y＝log5x.
思路分析：根据对数函数的定义进行判断．
解：只有(5)为对数函数．
(1)中真数不是自变量x，故不是对数函数；
(2)中对数式后减1，故不是对数函数；
(3)中log8x前的系数是2，而不是1，
故不是对数函数；
(4)中底数是自变量x，而非常数a，故不是对数函数．
探究二 对数函数的图象问题
1．画对数函数y＝logax的图象时，应牢牢抓住三个关键点(a,1)，(1,0)，.
2．对数函数图象与直线y＝1的交点横坐标越大，则对应的对数函数的底数越大．
3．函数y＝logax(a>0，且a≠1)的底数变化对图象位置的影响
观察图象，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，当a>1时，a越大，图象越靠近x轴，当0(2)左右比较：(比较图象与y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
【典型例题2】 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域与值域以及单调区间：
(1)y＝log3(x－2)；(2)y＝|logx|.
解：(1)函数y＝log3(x－2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增函数．
图①
(2)y＝|logx|＝其图象如图②.
图②
其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
规律总结 1.函数y＝loga(x＋m)(a>0，且a≠1)的图象可由函数y＝logax的图象向左(m>0)或向右(m<0)平移|m|个单位而得到．
2．含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换．一般地，y＝|f(x)|的图象是保留y＝f(x)的图象在x轴上方的部分，并把x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的．
探究三 与对数函数有关的定义域问题
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数．
【典型例题3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝； (2)y＝；
(3)y＝.
解：(1)要使函数式有意义，则lg(2－x)≥0，
∴∴x≤1.
故函数的定义域为(－∞，1]．
(2)要使函数式有意义，则log3(3x－2)≠0，
∴
∴x>，且x≠1.
故函数的定义域为∪(1，＋∞)．
(3)要使函数有意义，则有解得x<4，且x≠3，
故函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
探究四 易错辨析
易错点 求函数的定义域时先对解析式变形
【典型例题4】 已知函数f(x)＝log5(x－1)2，求f(x)的定义域．
错解：f(x)＝2log5(x－1)，要使f(x)有意义，则x－1>0，解得x>1，则f(x)的定义域是(1，＋∞)．
错因分析：错解中，由于对f(x)的解析式变形后再求定义域，导致出错．
正解：要使f(x)有意义，则(x－1)2>0，解得x≠1，则f(x)的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
反思求函数f(x)的定义域时，不能对f(x)的解析式变形，否则会导致求出的定义域“变大”或“缩小”．
2.2 对数函数
课堂探究
探究一利用对数函数的单调性比较大小
对数值比较大小的常用方法：
(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论；
(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间量；
①如果不同底但同真数，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较；
②若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．
【典型例题1】 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.141(a>0，且a≠1)．
思路分析：(1)构造函数f(x)＝log3x，利用其单调性比较大小；
(2)分别比较两对数与0的大小；
(3)分类讨论底数a的取值范围．
解：(1)(单调性法)因为f(x)＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.9＜2，则f(1.9)＜f(2)，
所以log31.9＜log32.
(2)(中间量法)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，
所以log23＞log0.32.
(3)(分类讨论法)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ综上所述，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141.
探究二 解对数不等式
解对数不等式，就是利用对数函数的单调性，将对数符号去掉，转化为一般不等式(组)求解．常见不等式可分为以下三类：
(1)形如logaf(x)>logag(x)，当a>1时，该不等式等价于当0(2)形如logaf(x)>b，当a>1时，不等式等价于f(x)>ab；当0(3)形如logaf(x)＋logag(x)>logah(x)．
当a>1时，不等式等价于
当0当不等式中对数的底数有字母时，要分类讨论．
【典型例题2】 解下列关于x的不等式：
(1)log (x－2)>－2；
(2)loga(x－2)>loga(2x－8)．
思路分析：利用对数函数的单调性转化为一般不等式(组)求解．
解：(1)由log (x－2)>－2，得log (x－2)>log4，
∴∴2故原不等式的解集为{x|2(2)当a>1时，不等式等价于即4当06.
综上所述，当a>1时，不等式的解集为{x|4当06}．
探究三 对数函数性质的综合应用
1．判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．
2．对于类似于f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便．
3．求函数的单调区间有两种思路：
(1)易得到单调区间的，可用定义法来求证；
(2)利用复合函数的单调性求得单调区间．
4．复合函数的单调性按照“同增异减”的原则来判断，对数型复合函数的单调性可用以下方法判断：
设y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)，
首先求满足f(x)>0的x的范围，即函数的定义域．假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增，在子区间I2上单调递减，则
(1)当a>1时，原函数与内层函数f(x)的单调区间相同，即在I1上单调递增，在I2上单调递减；
(2)当0【典型例题3】 已知函数f(x)＝loga (a>0，且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性．
思路分析：此函数是由y＝logau，u＝复合而成，求函数的性质应先求出定义域，再利用有关定义，去讨论其他性质．
解：(1)要使此函数有意义，则有或解得x>1或x<－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
(2)f(－x)＝loga＝loga
＝－loga＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．
∴当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；
当0探究四 易错辨析
易错点 忽略对底数的讨论致错
【典型例题4】 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值．
错解：因为函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值是loga4，最小值是loga2，
所以loga4－loga2＝1，
即loga＝1，所以a＝2.
错因分析：错解中误以为函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上是增函数．
正解：(1)当a＞1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，所以a＝2.
(2)当0＜a＜1时，函数y＝logax在[2,4]上是减函数，所以loga2－loga4＝1，即loga＝1，所以a＝.
由(1)(2)，知a＝2或a＝.
反思在解决底数中包含字母的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般考虑a＞1与0＜a＜1两种情况．
2.3 幂函数
课堂探究
探究一幂函数的概念
形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：
(1)系数为1；(2)指数为常数；(3)后面不加任何项．
例如y＝3x，y＝xx＋1，y＝x2＋1等均不是幂函数，另外还要注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．
【典型例题1】 函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．
思路分析：由已知f(x)＝(m2－m－5)·xm－1是幂函数，且当x>0时是增函数，可先利用幂函数的定义求m的值，再利用单调性确定m的值．
解：根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1，
解得m＝3或m＝－2，
当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3.
探究二幂函数性质的应用
比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象来比较．
【典型例题2】 比较下列各组数中两个数的大小：
(1) 与； (2) 与；
(3) 与.
思路分析：(1)利用的单调性比较大小；(2)利用y＝x－1的单调性比较大小；(3)利用中间量比较大小．
解：(1)∵幂函数在[0，＋∞)上是增函数，
又>，∴>.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
又－<－，∴>.
(3)∵函数为减函数，且>，
∴>.
又∵函数在[0，＋∞)上是增函数，且>，
∴>.∴>.
探究三 根据幂函数的性质求解析式
【典型例题3】 已知幂函数f(x)＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求f(x)．
思路分析：由f(x)在(0，＋∞)上单调递减求出m的范围，再根据m∈N*且图象关于y轴对称，确定m的值，进而写出f(x)．
解：∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴3m－9<0，解得m<3.
又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数，故m＝1，∴f(x)＝x3×1－9＝x－6.
探究四 易错辨析
易错点 因对幂函数的单调性理解不全面而造成错解
【典型例题4】 若(a＋1)－1<(3－2a)－1，求实数a的取值范围．
错解：考察幂函数f(x)＝x－1.因为该函数为减函数，
所以由(a＋1)－1<(3－2a)－1，得a＋1>3－2a，解得a>.
故实数a的取值范围是.
正解：考察幂函数f(x)＝x－1，由于该函数在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为减函数，且在(－∞，0)上有f(x)<0；在(0，＋∞)上有f(x)>0，
所以由(a＋1)－1<(3－2a)－1，得或a＋1>3－2a>0，或3－2a故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪.
反思函数f(x)＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从而导致错误，此类问题的求解必须在各单调区间内分别进行，也可以结合函数的图象来考虑．
