1.1 集合
知识导学
集合是一个原始的、不加定义的概念.我们现在刚开始接触集合的概念,最好还是要通过一些实例了解集合的含义.了解集合的含义时要考虑集合元素的三个性质即确定性、互异性和无序性,这有助于我们对集合概念的理解.【来源：21cnj*y.co*m】
元素、集合的字母表示,以及元素与集合之间的属于或不属于关系,可在具体运用中逐渐熟悉.
集合语言是现代数学的基本语言,也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言.集合语言通常可以分为文字语言、符号语言和图形语言,将集合的三种语言之间进行相互的转化,或将集合语言转化为自然语言、几何语言,有助于弄清楚集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析和解决问题的能力.【版权所有：21教育】
要辩证理解集合和元素这两个概念:(1)集合和元素是两个不同的概念,符号∈和是表示元素和集合之间关系的,不能用来表示集合之间的关系.例如{1}∈{1,2,3}的写法就是错误的,而{1}∈{{1},{2},{3}}的写法才是正确的.(2)一些对象一旦组成了集合,那么这个集合的元素就是这些对象的全体,而非个别现象.例如对于集合{x∈R |x≥0},就是指所有不小于0的实数,而不是指“x可以在不小于0的实数范围内取值”,不是指“x是不小于0的一个实数或某些实数,”也不是指“x是不小于0的任一实数值”……(3)集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符合条件.
在集合的表示方法上,有列举法和描述法,应在正确表示的基础上牢固把握两种方法的模式,深入理解问题的本质,根据具体问题选用合理简洁的表示方法.此外,还要会用Venn图的方法直观形象地表示集合.
在用描述法表示集合时,对元素公共属性准确理解是关键.只有准确抓住代表元素的意义及其公共属性才能简化集合,从而将集合语言转化为文字语言、图形语言.
习惯上借助数轴来表示数的集合,借用平面直角坐标系来表示有序实数对集合,从而实现数与形的结合,有助于我们思路解析和解决数学问题.
子集:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),则称集合A为集合B的子集,记作:AB或BA,读作:“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”,即便有了子集的定义两个集合间也不一定是包含关系.如A={x|x为高一(1)班的男生},B={x|x为高一(1)班的女生},则A与B不具有包含关系,此时可记作:A?B或B?A.
子集的有关性质:
①A=BAB且BA.
②AB,BCAC;AB,BCAC.
③若集合A有n个元素,则A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1个,非空子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.
并集:x∈A∪B,则x∈A或x∈B,这里的“或”是指x∈A;x∈B;x同时属于A与B,这三种情况.
三个集合的交、并运算应遵循“按顺序计算”“有括号先算括号”的原则.
如A∪B∩C,应先算“∪”再算“∩”.
一般说,A∪B∩C≠A∪(B∩C).
另外,(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C).ABAB
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).
(card(A)表示有限集合A元素的个数)
交集:要从x∈A∩B,则x∈A且x∈B理解,要理解这里的“且”;
①A∩B是一个新集合的表达式,是由A与B的所有的公共元素组成的;
②当A与B没有公共元素时,不能说它们没有交集,而是交集为,同时结合集合的一些特征去理解.
补集:由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A的补集.理解补集的概念首先要在全集的基础上理解,没有全集就谈不上补集,另一个要注意的是一个集合与它的补集的交集是.2-1-c-n-j-y
记忆口诀:
集合平时很常用,数学概念有不同.理解集合并不难,三个要素是关键.元素确定和互异,还有无序要牢记.集合不论空不空,总有子集在其中.集合用图很方便,子交并补很明显.
图1-1-4
疑难导析
列举法:①有些无穷集合亦可用列举法表示,如所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,…};②a与{a}不同:a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素.
描述法:①在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分.如:{直角三角形};{大于10上标4的实数};21·cn·jy·com
②错误表示法:把R写成{实数集}或{全体实数};
③在用描述法表示集合时,对元素公共属性准确理解是关键.
当用列举法和描述法表示集合时,应在正确表示的基础上牢固把握两种表示方法的模式,深入理解问题的本质,根据具体问题选用合理简洁的表示方法.此外,还要会用Venn图的方法直观形象地表示集合.习惯上借助数轴来表示数的集合,借用平面直角坐标系来表示有序实数对集合,从而实现数与形的结合，有助于我们分析和解决数学问题.
明确集合中元素的特征及元素和集合的关系.集合元素的确定性,是指集合中的元素是确定的,即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素,两者必具其一,它是判断一组对象是否形成集合的标准;互异性是指给定的一个集合的元素中,任何两个元素都是不同的,因而在同一个集合中,不能重复出现同一元素,这一点常被我们所忽略;元素和集合的关系是∈和,二者有且只有一种成立.【来源：21·世纪·教育·网】
对于集合与集合相等,可与实数中的结论“若a≥b,且b≥a,则a=b”相类比,这种由某类事物已有的性质,通过类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质,是数学逻辑思维的重要思维方法.集合相等可从元素完全相同的角度去理解,若从子集的角度去理解,可提升对集合相等的理解.证明两个集合相等,分清元素的性质及构成情况是关键.
问题导思
教科书中的解释是根据集合论的创始人德国数学家康托尔关于集合的论述而来的.康托尔的一些见解至今仍然是很严谨的,但也有某些观点或解释被后来的数学家们作了修正.现在看来,“对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的”(通常称为集合中元素的确定性)这句话,最好解释为:“对于一个给定的集合,它的元素的意义是明确的”.
列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意,一般无限集,不宜采用列举法,因为不能将无限集中的元素一一列举出来,而没有列举出来的元素往往难以确定.21*cnjy*com
使用描述法时,应注意六点:
①写清集合中元素的代号;
②说明该集合中元素的性质;
③不能出现未被说明的字母;
④多层描述时,应当准确使用“且”“或”;
⑤所有描述的内容都要写在大括号内;
⑥用于描述的语句力求简明、确切.
用描述法表示集合,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应该符合什么条件,从而准确理解集合的意义.21教育名师原创作品
补集具有相对性,它是相对于全集而言的,全集改变了,补集也相应地改变.
典题导考
绿色通道
集合中的元素是确定的,某一元素a要么a∈A,要么aA,两者必居其一,这也是判断一组对象能否构成集合的依据.此题是生活中的实例,说明生活处处皆学问.21*cnjy*com
典题变式 下列对象不能构成集合的是…( )
①方程x2-9=0的实数根
②我国近代著名的数学家
③联合国常任理事国
④空气中密度大的气体
A.①② B.①④ C.①②④ D.②④
答案:D
黑色陷阱
在做关于集合的基本概念的辨析题时应严密,紧扣概念,对每个概念不仅要记住,而且要理解其本质.另外要注意的是:对于错误的说法,举一个反例即可.21·世纪*教育网
典题变式
1.下列说法正确的是( )
①任意集合必有子集
②1,0.5,,组成的集合有四个元素
③若集合A是集合B的子集,集合B是集合C的子集,则集合A是集合C的子集
④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B,则B是A的子集
A.①②③ B.①③④ C.①③ D.①②③④
答案:B
2.下面六种表示法:
①{x=-1,y=2};②{(x,y)|x=-1,y=2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)};⑥{(x,y)|x=-1或y=2}.21教育网
能正确表示方程组的解集的是( )
A.①②③④⑤⑥ B.①②④⑤ C.②⑤ D.②⑤⑥
答案:C
黑色陷阱
在用列举法表示集合时,容易发生的错误:一是列举出来的元素不完整,如将(1)中的答案写成{1,4,9,16};二是列举的元素有重复,如把第(2)小题答案写成{1,1,2};三是不明确集合中的元素,把第(3)小题的答案写成{3,2}等.2·1·c·n·j·y
典题变式 用列举法表示下列集合:
(1){自然数中五个最小的完全平方数};
(2){x|(x-1) 2 (x-2)=0};
(3){(x,y)|}.
答案:(1){0,1,4,9,16};(2){1,2};(3){(3,2)}.
黑色陷阱
对于集合中元素的求法,要看清原来是用什么方法表示出的,有时要分类讨论.如果不注意分类讨论将导致思维的不严密.【出处：21教育名师】
典题变式已知全集I=R,集合A={x|x2+ax+12b=0},B={x|x2-ax+b=0},满足(A)∩B={2},(B)∩A={4},求实数a、b的值.
答案:a=,b=-.
绿色通道
集合是由元素构成的,要确定一个集合,一是把集合中的元素一一找出来,用列举法去表示;二是明确集合中元素的范围及其满足的性质,用描述法去表示.www-2-1-cnjy-com
典题变式
已知集合A={0,2,3,4},B={0,1,2,3},非空集合M满足MA且MB,则满足条件的集合M的个数为( )
A.7 B.8 C.15 D.16
答案:A
绿色通道
此题考查分类讨论思想,以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换,及集合之间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题.这称为数学的化归思想,是数学思想的常用方法,在高考中重点考查.
典题变式设集合A={A|2x2+3px+2=0},B={x|2x2+x+q=0},其中p、q、x∈R,当A∩B={}时,求p的值和A∪B.
答案:p=-,A∪B={-1, ,2}.
黑色陷阱
本题可能会有如下解法:由题设易知B={2,3},C={2,-4}.由A∩B≠,且A∩C=知3∈A.把x=3代入方程x2-ax+a2-19=0,得9-3a+a2-19=0.解得a=5或a=-2.
这里由条件推知3∈A,进而推出a的值,并不能肯定反过来都符合题设条件.
典题变式 已知A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},是否存在a,使A、B满足下列三个条件:①A≠B;②A∪B=B;③(A∩B).若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
答案:不存在实数a,使得满足条件.
黑色陷阱
本题容易出现以下错误:由A∩B≠,知方程组有解,即方程3x2-ax+15-b=0有解.
∴Δ=a2-4×3×(15-b)=a2+12b-180≥0. ①21cnjy.com
由(a,b)∈C,得144≥a2+b2. ②www.21-cn-jy.com
(以上二元二次不等式组难以求解,故可能半途而废,不了了之)
①+②,得a2+12b-36≥a2+b2,
即(b-6) 2≤0b=6.
把b=6代入①,得a2≥108;
把b=6代入②,得a2≤108.
∴a2=108,即a=±6.
故存在实数a、b满足条件.
典题变式 方程x2-ax+b=0的两根为α、β,方程x2-bx+c=0的两根为γ、δ,其中α、β、γ、δ互不相等,设集合M={α,β,γ,δ},且集合S={x|x=u+υ,u∈M,υ∈M,u≠υ},P={x|x=uυ,u∈M,υ∈M,u≠υ},若S={5,7,8,9,10,12},P={6,10,14,15,21,35},求a、b、c.21世纪教育网版权所有
答案:b=10,a=7,c=21.
1.2 函数及其表示
知识导学
函数实质上是从集合A到集合B的一个特殊的映射,其特殊性在于集合A、B都是非空数集.自变量的取值集合叫做函数的定义域,函数值的集合C叫做函数的值域.这里应该注意的是,值域C并不一定等于集合B,而只能说C是B的一个子集.www.21-cn-jy.com
构成函数的三要素:定义域A,对应法则f,值域B.其中核心是对应法则f,它是联系x和y的纽带,是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法和图象法,不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后,值域也就唯一的确定了.因此,要确定一个函数,只要定义域与对应法则确定即可.【来源：21cnj*y.co*m】
函数的定义域是函数研究的重要内容,在给定函数的同时应该给定函数的定义域.
一般地,如果不加说明,函数的定义域就是使函数的解析式有意义的实数的集合.据此,就可以“求出”函数的定义域了.【版权所有：21教育】
值域是全体函数值组成的集合,一般地,函数的定义域和对应关系确定,值域就随之确定了.
求函数值域是一个相当复杂的问题,常见的方法有(1)图象法;(2)反解x;(3)配方法;(4)换元法.以后还可用单调性、判别式法等.21*cnjy*com
所谓函数y=f(x)的图象,就是将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x0,f(x0))|x∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.
函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础.函数图象部分应解决好画图、识图、用图这三个基本问题,即对函数的图象有三点要求:(1)会画各种简单函数的图象;(2)能以函数的图象识别相应函数的性质;(3)能用数形结合思想以图辅助解题.
根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式,一是要求出对应法则,二是要求出函数的定义域.【出处：21教育名师】
求函数的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系数法、换元法、配方法、方程或方程组法等.根据实际问题求函数表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,但要注意函数定义域还应由实际意义来确定.21·世纪*教育网
函数是特殊的映射,即当两个集合A、B均为非空数集时,则从A到B的映射就是函数.所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.
疑难导析
1.两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同,例如函数f(x)=|x|,与f(x)=是同一个函数.
2.函数的核心是对应关系.在函数符号y=f(x)中,f是表示函数的对应关系,等式y=f(x)表明,对于定义域中的任意x,在对应关系f的作用下,可得到y,因此,f是使“对应”得以实现的方法和途径.
函数符号y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示,它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式,也可以是图象或数表.符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值,是一个常量;而f(x)是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.21教育网
3.值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下,一旦定义域和对应关系确定,函数的值域也就随之确定.
映射作为函数概念的推广,只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合.所以说一个映射关系必为函数关系,反之不然.
映射要求原象必有象,至于象是不是有原象不需要考虑.
问题导思
关于函数的两个定义实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点,而高中定义却是从集合、对应的观点出发.
初中阶段学习的函数的概念的优点是:直观,生动.
高中阶段学习的函数的概念的优点:更具一般性.比如按初中的定义就很难判断下面的表达式是不是函数:
f(x)=
现在用高中学的函数概念来判断则是没有问题的.
有些表达式中的自变量和函数值所用的字母不同,但也是同一个函数.比如:y=3x+2与s=3t+2就是同一个函数.
由于函数关系的三种表示方法各具特色,优点突出,但大都存在着缺点,不尽人意,所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神,通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用,先确定函数的解析式,即用解析法表示函数;再根据函数解析式,计算自变量与函数的各组对应值,列表;最后是画出函数的图象.21教育名师原创作品
典题导考
绿色通道
判断两个函数或几个函数是不是同一个函数,有时是用定义域和对应关系是否相同来加以判别,但有时判别值域更方便些.比如本题中的第(4)小题.
黑色陷阱
对于函数是不是相同的判别,容易发生只看三要素中的其中之一的思维误区,从而造成解答错误.所以说认识函数对应法则必须认清它的本质,否则容易发生从表面上进行判别的错误.
典题变式 试判断以下各组函数中,是否表示同一函数?
(1)f(x)=,g(x)=;
(2)f(x)=,g(x)=
(3)f(x)=,
g(x)=() 2n-1(n∈N);
(4)f(x)=,
g(x)=.
答案:(1)不是;(2)不是;(3)是;(4)不是.
绿色通道
在求函数的解析式时,有时技巧上的变换对解题起到一定的作用,但通法更重要,因为通法是程式化的东西,解法二就是一种通法,这种变量替换在解数学题中占有重要的地位.
黑色陷阱
在进行变量替换时,易忽略替换变量后函数定义域的变化.所以解此类问题一定要细心缜密,不要慌张.
典题变式
1.求实系数的一次函数y=f(x),使f［f(x)］=4x+3.
答案:f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.
2.已知f(x)满足2f(x)+3f()=4x,求函数f(x)的解析式.
答案:f(x)=-x+.
绿色通道
这里的函数对于所给的解析式,要进行化简才能看出所给的函数都是分段函数,然后再画图象.
黑色陷阱
一是容易将图(1)画成直线,主要原因是没有认清定义域为Z和定义域为R的区别.二是容易只画出图象的某一段,从而造成整个图象的缺失.【来源：21·世纪·教育·网】
典题变式 作出下列函数的图象:
(1)y=|x+1|+|x-2|;
(2)y=
解:(1)y=|x+1|+|x-2|=作出函数的图象如图1-2-1所示:
图1-2-1
(2)作二次函数y=x2的图象取x≥-1的部分,再作y=x+1的图象取x<-1的部分,就得到函数
y=的图象,如图1-2-6所示.
图1-2-6
绿色通道
给定两集合A、B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,其基本方法是利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”,前两种对应是A→B的映射,而后一种不是A→B的映射.21cnjy.com
典题变式 给出下列关于从集合A到集合B的映射的论述,其中正确的有________.
(1)B中任何一个元素在A中必有原象;(2)A中不同元素在B中的象也不同;(3)A中任何一个元素在B中的象是唯一的;(4)A中任何一个元素在B中可以有不同的象;(5)B中某一元素在A中的原象可能不止一个;(6)集合A与B一定是数集;(7)符号f:A→B与f:B→A的含义是一样的.www-2-1-cnjy-com
答案:(1)不对;(2)不对;(3)对;(4)不对;(5)对;(6)不对;(7)不对.
绿色通道
本题考查的是分段函数,这是一个实际问题,解题时要用到分类讨论思想及数形结合思想,这是多年的高考热点,也是今后高考命题的方向.2-1-c-n-j-y
(1)画出草图帮助分析时,要明确哪些是关键量,以及这些量的特点(变与不变);
(2)对分段函数要选准线段的各端点.
(3)可以通过画图判断函数的值域,这也是一种数形结合的解题思想.
黑色陷阱
在分段函数的转折点上易发生取舍不当的问题.比如本题如把区间分成0≤x≤4,4≤x≤10,10≤x≤14,则是不对的.2·1·c·n·j·y
典题变式如图1-2-9,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽2 m,渠深1.8 m,边坡的倾角是45°.21*cnjy*com
图1-2-9
(1)试用解析表达式将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数;
(2)确定函数的定义域和值域;
(3)画出函数的图象.
答案:
(1)A= =h2+2h.
(2)定义域为{h|0
值域为{A|0(3)函数图象如图1-2-10.
图1-2-10
黑色陷阱
对这类建模方面的问题,一是要经常留心生活中的人和事,不至于遇到类似的情景感到无从下手;二是遇到这类问题不要着急,要理清脉络,找到所对应的数学模型是解题的关键.
典题变式
1.如图1-2-12,有一块边长为a的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积V以x为自变量的函数式是________,这个函数的定义域为________.21世纪教育网版权所有
图1-2-12
答案:V=x(a-2x) 2 {x|02.某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示:
月 份
用气量
煤气费
一月份
4米3
4元
二月份
25米3
14元
三月份35
米3
19元
该市煤气收费的方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费.
若每月用量不超过最低限度A米3,只付基本费3元和每户每月的定额保险C元,若用气量超过A米3,超过部分每米3付B元,又知保险费C超不过5元,根据上面的表格求A、B、C.
答案:A=5,B=0.5,C=1.
3.如图1-2-14,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经C、D、A绕周界运动,用x表示点P的行程,y表示△APB的面积,求函数y=f(x)的解析式.21·cn·jy·com
图1-2-14
答案:y=
1.3 函数的基本性质
知识导学
函数的单调性是对区间而言的,它是“局部”性质,不同于函数的奇偶性,函数的奇偶性是对整个定义域而言的,即是“整体”性质.对某一函数y=f(x),它在某区间上可能有单调性,也可能没有单调性;即使是同一个函数它在某区间上可能单调递增,而在另外一区间上可能单调递减;对某一函数y=f(x),它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增(减)函数,不能说y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是单调增(减)函数,即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的.例如函数y=在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数,因为当取x1=-1,x2=1时,对应的函数值为f(x1)=-1,f(x2)=1,显然有x1 函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数,它的图象是沿x轴正方向逐渐上升的;在单调区间上的减函数,它的图象是沿x轴正方向逐渐下降的.
关于函数的奇偶性的判断,应该注意以下几点:(1)定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数;(2)定义域关于原点对称的函数也不一定是奇偶函数;(3)定义域关于原点对称,且满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的函数才是偶函数或奇函数.www-2-1-cnjy-com
函数奇偶性的应用:(1)利用奇偶性求有关函数值;(2)利用奇偶性求有关函数的解析式;(3)利用奇偶性研究函数的其他性质.【版权所有：21教育】
另外,由奇(偶)函数图象的特征并结合函数单调性的定义不难得到:(1)奇(偶)函数在关于原点对称的区间上,具有相同(反)的单调性;(2)若奇函数f(x)在区间[a,b](0疑难导析
也存在一些函数,根本就没有单调区间,如函数:f(x)=5x,x∈{1,2,3}.
再者,因为一个固定点的函数值不会发生变化,所以函数的单调性不在某一个点去讨论,即使在定义域内,也不可以随便把单调区间写成闭区间(比如一些函数的区间端点正好是不连续的点).
(1)在这个区间上的x1、x2必须是任意的.
(2)增函数自变量和函数值的关系是“大对大,小对小”,可以用“荣辱与共”这个词形容.
(3)说增函数必须谈及区间,脱离区间谈增函数是没有意义的.
(4)定义的内涵与外延:
内涵是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况;
外延:①一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增,自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.2-1-c-n-j-y
②几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降则为减函数.
若f(x)、g(x)都为增函数(减函数),则f(x)+g(x)为增函数(减函数).
若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)-g(x)为增函数;若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数.【出处：21教育名师】
奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反.
奇函数和偶函数还具有以下性质:
(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数,两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数,奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.21世纪教育网版权所有
(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同,偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.
(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和,即f(x)=.21cnjy.com
(5)若f(x)是(-a,a)(a>0)上的奇函数,则f(0)=0.
问题导思
函数的单调性是针对定义域内某个区间而言的,是函数的“局部”性质.
在几个不同区间的单调性并不意味着在这几个区间并集上也具有同样的单调性,必须严格按照函数单调性的定义加以证明才可以得出结论.www.21-cn-jy.com
一个函数具有奇偶性的前提条件是它的定义域关于原点对称,即定义域关于原点对称是函数为偶(或奇)函数的必要条件,这是奇、偶函数的本质属性之一.21·世纪*教育网
奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同,偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.
关于奇偶性的几个命题:
命题1 函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件.
如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这一点可以由奇偶性定义直接得出.21教育网
命题2 函数f(x)+f(-x)是偶函数,函数f(x)-f(-x)是奇函数.
由函数奇偶性易证.
命题3 已知函数f(x)是奇函数,且f(0)有定义,则f(0)=0.
由奇函数的定义易证.
命题4 已知f(x)是奇函数或偶函数,方程f(x)=0有实根,那么方程f(x)=0的所有实根之和为零;若f(x)是定义在实数集上的奇函数,则方程f(x)=0有奇数个实根.
方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标,由奇偶性的定义可知:若f(x0)=0,则f(-x0)=0.对于定义在实数集上的奇函数来说,必有f(0)=0.故原命题成立.
典题导考
绿色通道
应该严格按照求差法的步骤,一步步地走,这个步骤也是个程式化的东西,不能为了省事而对其中的步骤加以简化.这个函数的图象(如图1-3-2所示):21教育名师原创作品
图1-3-2
典题变式判断f(x)=在x∈(1,+∞)上的单调性.
答案:减函数.
绿色通道
如果一个函数在某个区间内单调,那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值,并结合函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值.【来源：21·世纪·教育·网】
黑色陷阱
容易对a的分类不全面,造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值,也会造成解题错误.
典题变式
1.函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在［2,3］上有最大值5和最小值2,求a、b的值.
答案:
2.已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)确定f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数?在区间(0,+∞)上呢?证明你的结论.
答案:(1)f(x)为偶函数.
(2)f(x)在(-∞,0)上是增函数,由于f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数.
绿色通道
根据奇函数以及偶函数的定义,判断是不是有关系f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),前者是偶函数,后者是奇函数;如果这两个都不成立,则是非奇非偶函数.21·cn·jy·com
对于一个命题若是假命题,只要举一反例来说明即可.比如,说一个函数是非奇非偶函数,只要说明它的定义域不合要求即可,而不必套用作差法进行检验.2·1·c·n·j·y
有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一.
黑色陷阱
要注意的是,有的函数既不是奇函数又不是偶函数,解题中容易忽视这一点.
典题变式判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
(2)f(x)=(x-1).
答案:(1)奇函数.
(2)偶函数.
典题变式
1.若f(x)是偶函数,当x∈［0,+∞时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是_________.
答案:{x|02.设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减,若f(1,m)答案:-1≤m<.
绿色通道
函数的单调性反映的是函数值y随自变量x的变化而变化的一种规律.本题给出的是个抽象函数问题,尽管它没有给出具体的解析式,但我们仍可以通过赋值去把握它,具体赋值时可结合式子不断赋于特殊值,如0、1等.【来源：21cnj*y.co*m】
典题变式对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.
(1)求证:f(x)是偶函数;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式f(2x2-1)<2.
答案:(1)(2)略;
(3)(-,).
3.1 函数与方程
知识导学
函数的零点不是点，而是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一实数，当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.函数f(x)的零点实际上就是方程f(x)=0的实根，方程f(x)=0有几个实根，函数f(x)就有几个零点；方程f(x)=0有两个相等的实根，则称函数有一个二重零点或者说有一个二阶零点.一般地，函数f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(ai∈R,i=0,1,2,3,…,n)至多有n个零点.2·1·c·n·j·y
解方程是我们在数学学习过程中经常遇到的问题.但平时我们所解的方程都是代数方程，即整式方程、分式方程和无理方程，而对于含有指数和对数的方程，我们也只解一些极为特殊的.对于大部分含有指数和对数的方程是很难用代数方法来解的，例如，对于方程lgx=3-x，我们要求出它的解比较困难，但我们可以用二分法求出它的近似解.用二分法求出的零点一般是零点的近似值.并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间［a,b］上连续不断，且f(a)·f(b)<0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值.
用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包含零点)，又要使其长度尽量小；二是随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.
记忆口诀：
函数连续值两端，相乘为负有零点，
区间之内有一数，方程成立很显然.
要求方程近似解，先看零点的区间，
每次区间分为二，分后两端近零点.
疑难导析
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为0时自变量x的值.从函数的图象上看，就是抛物线与x轴交点的横坐标.因此，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.利用函数的知识可以得到方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象之间的关系.二次函数与一元二次方程的这种关系，又给我们提供了另外一种解方程的方法：利用函数的图象解方程或研究方程解的情况.21·cn·jy·com
问题导思
函数思想与方程思想是密切相关的.对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0.函数问题(如求反函数、求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点.
函数思想、方程思想体现了一种解决问题的理念，即建“模”意识.所谓“模”就是一个问题载体，是联系已知、未知的桥梁，建“模”后的第二步就是解析“模”，从而真正将实际问题转化为数学问题，数学也因此成为解析大自然奥秘的工具.21·世纪*教育网
典题导考
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如果在计算机上应用某些软件，比如《几何画板》直接绘出函数的图象(这个软件不用进行步长的设置)，也可较快地判断函数的零点的大致区间.如图3-1-3所示.
图3-1-3
典题变式 函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2) B.(2,3)2-1-c-n-j-y
C.(,1)和(3,4) D.(e,+∞)【来源：21cnj*y.co*m】
答案：B
绿色通道
判断二次函数f(x)的零点的个数，就是判断一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的个数，一般地由判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0完成.对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点，则要结合二次函数的图象进行.www.21-cn-jy.com
典题变式 求函数f(x)=2x3-3x+1零点的个数.
答案：有3个零点.
绿色通道
本题表中数据同学们可自己计算验证，这里只给出符号，更清楚地看到区间的取法.
典题变式
1.借助计算器或计算机，用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x在区间(1，2)内的近似解(精确到0.1).21世纪教育网版权所有
思路解析：用二分法解这个方程可以先构造函数f(x)=ln(2x+6)-3x+2，然后寻找这个函数的零点即可.21教育网
答案：精确到0.1的近似值为1.3.
2.求方程x3-3x＋1＝0的近似解(精确到0.1).
答案：近似解分别为x1≈-1.8，x2≈0.4，x3≈1.5.
3.已知二次函数f(x)＝ax2＋4x＋b(a＜0)，设关于x的方程f(x)＝0的两根为x1、x2，f(x)＝x的两实根为α、β.www-2-1-cnjy-com
(1)若|α-β|＝1，求a、b的关系式；
(2)若a、b均为负整数，且|α-β|＝1，求f(x)的解析式.
答案：(1)a2＋4ab＝9.
(2)f(x)=-x2+4x-2.
绿色通道
本题是一道有关降低税率的应用题，涉及到农产品价格、征税标准、降低税率、预计收购量等多个量.通过审题，建立了【出处：21教育名师】
税收f(x)(万元)和降低税率x的二次函数关系式，再运用二次函数的有关知识使问题得以解决.在题后又给出设问，目的是要用本节知识来解决问题.【版权所有：21教育】
典题变式 某电器公司生产A种型号的家庭电器.1996年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.求21*cnjy*com
(1)2000年每台电脑的生产成本；
(2)以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01).21教育名师原创作品
答案：(1)2000年每台电脑的生产成本为3 200元；
(2)1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.
∴所求二次函数为y=-(x+1)2+4，即为y=-x2-2x+3.
绿色通道
从以上解法可以总结出二次函数解析式常用的三种形式：
(1)一般式：
y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：
y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0)；
(3)两根式：
y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数，a≠0).
典题变式
1.已知函数y=2x2+bx+c在(-∞,-)上是减函数，在(-,+∞)上是增函数，且两个零点是x1、x2，满足|x1-x2|=2，求这个二次函数的解析式.21cnjy.com
答案：y=2x2+6x+.
2.已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,m∈R的图象与x轴的两交点为A(x1,0)、B(x2,0)，且x1、x2的倒数和为，求这个二次函数的解析式.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：y=x2+2x-3或y=x2-8x+12.
3.2 函数模型应用举例
知识导学
通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学模型方法，简称建模.
解决函数应用题的基本步骤:
第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成数学问题，即实际问题数学化；【版权所有：21教育】
第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；
第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答.
解决函数应用题的关键有两点：一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图，引入变量，建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言；二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解，要注重数学能力的培养.
要熟悉一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质，有助于我们开拓思路提高运算速度.
用待定系数法求出函数解析式，待定系数法是一种非常重要的数学方法，常常首先根据题意，设出函数解析式，取特殊值代入函数解析式得到方程组，由方程组求出待定系数.
记忆口诀：
(1)收集数据，画图提出假设；
(2)依托图表，理顺数量关系；
(3)抓住关键，建立函数模型；
(4)精确计算，求解数学问题；
(5)回到实际，检验问题结果.
疑难导析
解决函数应用题关键在于理解题意，提高学生的阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化.另一方面，要不断拓宽学生的知识面，提高其间接的生活阅历，如经常介绍一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也可以涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，逐步渗透、细水长流，培养学生实际问题数学化的意识和能力.21教育网
问题导思
要解好数学应用题，首先应当加强提高阅读理解能力，然后将普通语言转化为数学语言和数学符号，实际问题转化为数学问题，再利用数学方法、数学思想去解决问题，这个过程的每一个环节都必须注意.21·cn·jy·com
解答应用题的实质是要转化题意，把实际问题转化为数学问题，然后灵活选择适当的方法列出函数关系式，从而求解.www.21-cn-jy.com
典题导考
绿色通道
从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增大的含义.2-1-c-n-j-y
典题变式
1.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=a·bx+c(其中，a、b、c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.21cnjy.com
答案：选择y＝-0.8×0.5x＋1.4更合适.
2.一家人(父亲、母亲、孩子)去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策.甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价；乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的计算.这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的以孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠.21·世纪*教育网
答案：当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社.
3.某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2 km者均按此价收费，行程超过2 km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1 km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于…( )21*cnjy*com
A.5~7 km B.9~11 km C.7~9 km D.3~5 km
答案：A
绿色通道
在求y=的最小值时可以移项、平方去根号，然后用判别式法求得.
典题变式
1.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月内(以30天计算)有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？
答案：每天从报社买进400份时，每月所获利润最大，最大利润为870元.
2.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为( )(参考数据lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)21世纪教育网版权所有
A.5 B.10 C.14 D.15
答案：C
黑色陷阱
不明白题意，一味地想分别解出M和m的值，将会步入思维陷阱.
典题变式 容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，这样进行了10次后溶液的浓度为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.()10·m% B.(1-)10·m% C.( )9·m% D.(1-)9·m%
答案：B
绿色通道
这是一个分段函数类型的应用问题，注意判断自变量在分段
函数的哪一段取值范围内是这个题的解题关键.
典题变式
1.某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税.已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少 t万件.2·1·c·n·j·y
(1)将税金收入表示为征收附加税率的函数；
(2)若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？
答案：(1)所求的函数关系式为y＝250(40-t)t％.
(2)税率应控制在10％～15％之间为宜.
2.在国内投寄平信，每封不超过20克重应付邮资80分，超过20克不超过40克重付邮资160分，将每封信应付邮资(分)表示为信重(0＜x≤40＝克的函数，其表达式f(x)为________.www-2-1-cnjy-com
答案：
绿色通道
一般来说，若题中已给出数学模型，只要解模即可，较常用的方法是用待定系数法解模.
典题变式
某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每千米价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每千米价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的.则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适?【来源：21·世纪·教育·网】
答案：当A、B距离在起步价以内时，选择第二种方案；当A、B距离在(a，a＋10)时，选择第二种方案；当A、B距离恰好为a＋10时，选择两种方案均可以；当A、B距离大于a＋10时，选择第一种方案.(其中a为起步价内汽车行驶的里程)【出处：21教育名师】
2.1 指数函数
知识导学
在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x3=a,那么x就叫a的立方根.如此类推,我们便得出了n次实数方根的定义.21cnjy.com
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.21·世纪*教育网
比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,直接比较指数即可;当底数和指数不同时,要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.www-2-1-cnjy-com
指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析,因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.关于函数的图象和性质,需注意的几个问题:
(1)单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x轴是函数图象的渐近线.
当01时,x→-∞,y→0.
当a>1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快;当0 (2)熟悉指数函数y=10x,y=2x,y=()x,y=()x在同一直角坐标系中的图象的相对位置,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.【来源：21cnj*y.co*m】
记忆口诀:
(1)方根口诀
正数开方要分清,根指奇偶大不同,
根指为奇根一个,根指为偶双胞生.
负数只有奇次根,算术方根零或正,
正数若求偶次根,符号相反值相同.
负数开方要慎重,根指为奇才可行,
根指为偶无意义,零取方根仍为零.
(2)指数函数性质口诀
指数增减要看清,抓住底数不放松,
反正底数大于0,不等于1已表明;
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减.
无论函数增和减,图象都过(0,1)点.
疑难导析
用语言叙述这三个公式:
(1)非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.
(2)n为奇数时,实数a的n次幂的n次方根是a本身;n为偶数时,实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.21世纪教育网版权所有
(3)若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变.21·cn·jy·com
在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a>0,且a≠1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.21*cnjy*com
判断一个函数是否是指数函数,关键是看它是否能写成y=ax(a>0,a≠1)的形式.
问题导思
指数函数是同学们完全陌生的一类函数,也是一类非常重要的函数,对指数函数的性质的理解和掌握是学习的关键,找出函数的共同特征,把共同的特点和性质归纳和总结出来.
另外,底数a对图象特征的影响也可这样来叙述:当a>1时,底数越大,函数图象就越靠近y轴;当0典题导考
绿色通道
根据第(1)题的思考,在这里把计算中的不同运算形式统一成分数指数幂更方便些.
第(1)题能把式中的数化成3的指数幂的形式来做吗？
黑色陷阱
做这类带有指数幂和根式的混合运算,容易发生解答过程中的形式混乱,从而影响解题.
典题变式
1.计算下列各式(式中字母都是正数):
(1)(2)(-6)÷(-3);
(2)()8.
答案:(1)4a;(2).
2.已知+=3,求a2+a-2的值.
答案:47.
3.已知函数f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1),f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值为_________.
答案:12
绿色通道
比较而言,还是第二种方法更简便些.但对学生的思维要求较高,不仅要求迅速画出略图,而且能对m、n的定位进行判断.21教育网
黑色陷阱
如果不注意原题中的条件:1>n>m>0,而取m=2,n=3,将会出现误选B的情形.
典题变式 如图2-1-5,曲线C1、C2、C3、C4分别是指数函数y=ax、y=bx、y=cx和y=dx的图象,则a、b、c、d与1的大小关系是( )2·1·c·n·j·y
图2-1-5
A.a答案:D
绿色通道
1.对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性.
首先,必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值;
其次,必须要明确所给指数函数的底与1的大小关系;再根据指数函数图象的性质来判断.
2.对不同底数幂的大小的比较可以与中间值1进行比较.
典题变式
1.设y1=40.9,y2=80.44,y3=()-1.5,则( )
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
答案:D
2.当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则实数a的取值范围是( )
A.1<|a|<2 B.|a|<1 C.|a|>1 D.|a|>2
答案:D
绿色通道
本题实际上是一个平均增长率的问题,求解非常简单,但是该题从科学家富兰克林的介绍入手设置了一个情景.这是一个比较典型的模型,背景也可以更换为增长率问题.
典题变式
1.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是( )www.21-cn-jy.com
A.增加7.84% B.减少7.84%
C.减少9.5% D.不增不减
答案:B
2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).【来源：21·世纪·教育·网】
答案:约经过4年,剩留量是原来的一半.
黑色陷阱
解这类题容易出现的问题是,对于个体问题生搬硬套公式,从而导致解题失误.
典题变式 家用电器(如冰箱)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量,t的单位是年.
(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加了还是减少了？
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？
答案:(1)减少;(2)用计算器完成,大约277年.
2.2 对数函数
知识导学
一般地,对于一个数a(a>0且a≠1),如果a的b次幂等于N,即ab=N,那么就称b是以a为底的N的对数,记作logaN=b,其中,a叫做对数的底数,N叫做真数.【来源：21·世纪·教育·网】
在实际应用中,一定要注意指数式与对数式的等价性,即logaN=bab=N.
对数的运算性质就是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算.
一般地,我们称logaN=为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时,一方面要证明它和它的几个推论;另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底,不要盲目地换底,以简化我们的解题过程.
有了对数的概念后,要求log0.840.5的值,我们需要引入两个常用的对数:常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数;自然对数是指以e(e=2.718 28…,是一个无理数)为底的对数.21教育网
有了常用对数和自然对数,再利用对数的运算性质,我们就可以求log0.840.5的值了.
对数恒等式:=N的证明也很简单,只要紧扣对数式的定义即可证明.
∵ab=N,∴b=logaN.
∴ab==N,
即=N.
如=5, =6等.要熟记对数恒等式的形式,会使用这一公式化简对数式.
作对数函数的图象一般有两种方法:一是描点法,即通过列表、描点、连线的方法作出对数函数的图象;二是通过观察它和指数函数图象之间的关系,并利用它们之间的关系作图.
比较大小是对数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,可利用对数函数的性质比较;当底数和指数不同时,要借助于中间量进行比较.比较两个对数式的大小,底相同时,可利用对数性质进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.
对数函数y=logax(a>0且a≠1)与指数函数y=ax(a>0且a≠1)互为反函数,这两个函数的图象关于直线y=x对称.21·世纪*教育网
因此,我们只要画出和y=ax的图象关于直线y=x对称的曲线,就可以得到y=logax的图象,然后根据图象特征得出对数函数的性质.www-2-1-cnjy-com
疑难导析
通过将对数函数与指数函数的图象进行对比,可以发现:当a>1或0 对数函数的反函数是指数函数,所以要利用指数函数的性质来研究对数函数.应该注意到:这两种函数都要求底数a>0,且a≠1;对数函数的定义域为(0,+∞),结合图象看,对数函数在y轴左侧没有图象,即负数与0没有对数,也就是真数必须大于0.这些知识可以用来求含有对数函数的定义域.2-1-c-n-j-y
性质靠图象体现,图象靠性质总结.
数形结合不仅是我们研究函数的一个重要工具,同时也是我们在解题时的常用方法.借助图形的形象直观,可以迅速准确地得到相关问题的答案,尤其是选择题,能结合图象来思考,会事半功倍.【出处：21教育名师】
问题导思
对数换底公式口诀:
换底公式真神奇,换成新底可任意,
原底加底变分母,真数加底变分子.
对数函数的运算性质的助记口诀:
积的对数变加法,商的对数变为减,
幂的乘方取对数,要把指数提到前.
对数函数y=logax(a>0且a≠1)的性质的助记口诀:
对数增减有思路,函数图象看底数,
底数只能大于0,等于1来也不行,
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减.
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.
比较两个对数型的数的大小是一种常见的题型,好好把握.
两个同底数的对数比较大小的一般步骤:
①确定所要考查的对数函数;
②根据对数底数判断对数函数增减性;
③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.
对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明,因此需要对底数a进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.21cnjy.com
典题导考
绿色通道
利用数形结合的方法可以快速地比较两个对数的大小,有时也可以画出函数的略图.由此可见,学会一种思考方法比解决一道题目更重要.21教育名师原创作品
典题变式 比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log23.4,log28.5;
(2)log0.31.8,log0.32.7;
(3)loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1).
答案:(1)log23.4(2)log0.31.8>log0.32.7;
(3)当a>1时,loga5.1当0loga5.9.
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本题的求解中,分解化简和方程思想的运用在处理很多问题中具有一般性.
典题变式
1.已知3a=2,用a表示log34-log36.
答案:a-1.
2.已知log32=a,3b=5,用a、b表示log3.
答案: (a+b+1).
绿色通道
研究函数的性质一定得先考虑定义域,在研究函数单调性时,注意奇偶性对函数单调性的影响,即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.21世纪教育网版权所有
典题变式
1.已知函数f(x)=lg(x2-3x+2)的定义域为F,函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为G,那么( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.GF B.G=F C.FG D.F∩G=
答案:A
2.求函数y=(-x2+4x+5)的定义域和值域.
答案:函数的定义域为{x|-13.已知f(x)=loga (a>0且a≠1).
(1)求函数的定义域;
(2)讨论函数的单调性;
(3)求使f(x)>0的x的取值范围.
解答:(1)定义域为(-1,1).
(2)当a>1时,f(x)为(-1,1)上的增函数;
当0(3)当a>1时,f(x)>0的解为(0,1);
当00的解为(-1,0).
绿色通道
画函数图象是研究函数变化规律的重要手段,画函数图象通常有两种方法:列表法和变换法.变换法有如下几种:www.21-cn-jy.com
平移变换:y=f(x+a),将y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位而得到;y=f(x)+a,将y=f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位而得到.
翻折变换:y=|f(x)|,将y=f(x)的图象在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴的上方,其他部分不变;y=f(|x|),它是一个偶函数,x≥0时,图象与y=f(x)的图象完全一样,当x≤0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.21*cnjy*com
对称变换:y=-f(x),它的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;y=f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称;y=-f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于原点成中心对称.
伸缩变换:y=f(ax)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a>1)或伸长(00),将y=f(x)图象上各点的横坐标不变,纵坐标压缩(01)到原来的a倍.【版权所有：21教育】
典题变式若loga2A.1答案:D
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本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.(1)中函数的定义域为R,由判别式小于零确保;(2)中函数的值域为R,由判别式不小于零确定.2·1·c·n·j·y
典题变式设a≠0,对于函数f(x)=log3(ax2-x+a),
(1)若x∈R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x) ∈R,求实数a的取值范围.
答案:(1)a>;
(2)02.3 幂函数
知识导学
我们只讨论幂指数为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x2+1都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,是由幂函数与常数经过算术运算得到的.对于幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同.
研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x2、y=x3及y=的图象研究归纳y=xn(n>0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数y=x-2、y=x-3及y=的图象研究归纳y=xn(n<0)的图象特征和函数性质.需要注意的有:21cnjy.com
(1)研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.21·cn·jy·com
(2)对于幂函数y=xn(n>0),首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即n<0,01三种情况下曲线的基本形状,还要注意n=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲,大竖直小横铺”,即n>0(n≠1)时图象是抛物线型;n<0时图象是双曲线型;n>1时图象是竖直抛物线型;0图2-3-1
记忆口诀:
如何分析幂函数,记住图象是关键,
虽然指数各不同,分类之后变简单,
大于0时抛物线,小于0时双曲线,
还有0到1之间,抛物开口方向变,
不仅开口向右方,原来图象取一半.
函数奇偶看指数,奇母奇子奇函数,
奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数.
疑难导析
对于五种常见的幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1,要熟悉其图象、性质,做题时要明确题目给出的是哪种类型的幂函数,以便应用图象及性质解题.【来源：21cnj*y.co*m】
当n取不同的有理数时,幂函数y=xn的定义域:
当n∈N*时,定义域为R;
当n=0时,定义域为{x|x≠0};
当n为负整数时,定义域为{x|x≠0};
当n= (p、q∈N*,q>1,且p、q互质)时,
①若q为偶数,则定义域为［0,+∞);
②若q为奇数,则定义域为R;
当n=- (p、q∈N*,q>1,且p、q互质)时,
①若q为偶数,则定义域为(0,+∞);
②若q为奇数,则定义域为{x|x≠0}.
问题导思
分数指数幂与根式只是形式不同,其意义是相同的,对正分数指数幂的理解可从以下两个层次去认识.
(1)给定正实数a,等于任意给定的正整数n,存在唯一的正实数b,使得bn=a.这样,我们把这个存在唯一的正实数b,记作b=;(2)给定正实数a,对于任意给定的正整数n、m,存在唯一的正实数b,使得bn=am,我们规定b叫做a的次幂,记作b==.
对于负分数指数幂,可按a-n=去理解.
典题导考
黑色陷阱
忘记幂函数底数需大于0,将导致解题失误.
典题变式当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是…( )21世纪教育网版权所有
A.α<1 B.0<α<1 C.α>0 D.α<0
答案:A
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解此题的关键都在于适当地选取某一个函数,函数选得恰当,解决问题就简单.
典题变式T1=(,T2=(,T3=(,则下列关系式正确的是( )
A.T1C.T2答案:D
绿色通道
幂函数的图象在第一象限的排列顺序与幂指数的大小之间存在一定的对应关系,幂函数的图象在直线x=1的右侧,由低到高,幂指数α由小变大;在y轴与直线x=1之间,由低到高,幂指数α由小变大.另外还应注意幂指数的取值对幂函数图象位置的影响:
(1)当α=0时,图象是直线y=1.
(2)当α是正奇数时,图象分布在第一和第三象限;当α是正偶数时,图象分布在第一和第二象限.
(3)当α为一个既约正分数〔p、q为正整数,(p,q)=1,q>1〕,
若q为奇数,p也是奇数,则图象分布在第一和第三象限;若q为奇数,p为偶数,则图象分布在第一和第二象限;若q为偶数,p是奇数,则图象分布在第一象限.2·1·c·n·j·y
(4)当α为负奇数时,图象分布在第一和第三象限;当α为负偶数时,图象分布在第一和第二象限;
(5)当α为负分数时,类似于(3)可设α=-〔p、q为正整数,(p,q)=1,q>1〕,情况和(3)一样.2-1-c-n-j-y
幂指数α>0时,图象全是“抛物线型”,而幂指数α<0时,图象全是“双曲线型”.
典题变式当0A.h(x)C.g(x)答案:D
黑色陷阱
本题容易发生的错误:一是函数概念不清(该函数是以x为自变量的函数);二是在将函数式变形的过程不是等价变形,导致变形后的函数也不再是原有的函数了.
典题变式 (1)求函数y=(x+2)-2的定义域、值域.讨论当x增大时,函数值如何变化？并画出图象;www.21-cn-jy.com
(2)问上述函数的图象与函数y=x-2的图象有何关系？
思路分析:
根据幂函数的性质求解.
答案:(1){x|x∈R且x≠-2};R+.当x<-2时,函数值y随x的增大而增大,当x>-2时,y随x的增大而减小.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)将y=x-2的图象向左平移2个单位,即得到y=(x+2)-2的图象.
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据图象特征或性质求解幂函数解析式,需熟练掌握基本幂函数(y=x上标±2,y=x上标±1等)的图象和性质,特别地,y=x0勿漏.21·世纪*教育网
典题变式 函数f(x)=(k2+k),当k=_______时成正比例函数,当k=_______时成反比例函数,当k=_______时为幂函数.21*cnjy*com
答案:1± 2
