1.1 集合
互动课堂
疏导引导
1.1.1 集合的含义与表示?
1.集合的含义?
一般地，我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合.?
疑难疏引
（1）集合是数学中最原始的概念之一，无法给出它的定义只能作描述性说明.?
（2）集合中元素的特征.确定性是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准；互异性是指给定的一个集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一元素，这一点常被我们所忽略；无序性是指在一个集合中，元素之间都是平等的，它们都充当集合中的一员，无先后次序之分.
●案例1
下列对象：①方程x2－9=0的实数根;②我国近代著名的数学家;③联合国常任理事国;④空气中密度大的气体，能否构成集合？?
【探究】 研究对象能否构成集合的问题一般主要考查集合元素的确定性.①③中的研究对象显然符合确定性；②中“著名”没有明确的界限；④中“密度大”的程度没有明确的界限.因而①③能构成集合，②④不能.?
【溯源】 判断命题是否构成集合最重要的标志就是看其所叙述对象是否具有确定性，即对所叙述对象进行描述的特征词语是否具有共性标准.?
●案例2
当x为何值时，｛0，x，x2－x｝不能表示一个数集？
【探究】 问题的知识依托是集合中元素的互异性，即同一集合中的元素必须是互不相同的.｛0，x，x2－x｝能否表示一个数集，关键在于它是否具备集合元素的三个特征，在这里，只要看它是否满足互异性，即要使｛0，x，x2－x｝不表示一个数集，只需x=0或x2-x=0或x2-x=x，即x=0或x=1或x=2.
【溯源】 判断一组对象能否构成一个集合，关键是看这组对象是否同时具备集合元素的三个特征.考查该知识点的问题分正向和逆向思维两个角度，其解决问题的基础还是正确理解三个特征要求.
2.元素和集合的关系
疑难疏引
(1)元素和集合的关系是∈和，二者有且只有一种成立.集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．辩证理解集合和元素这两个概念：（2）集合和元素是两个不同的概念，符号∈和是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系．例如{1}∈{1,2,3}的写法就是错误的，而{1}∈{{1},{2},{3}}的写法就是正确的．
●案例3
设集合A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，若a∈A，b∈B，试判断a+b与A、B的关系.
【探究】 首先看到a+b是元素，A、B是集合.∴a+b与A、B的关系应该是∈、的关系.∵a∈A，∴a=2k1（k1∈Z）.
又∵b∈B，∴b=2k2+1（k2∈Z）.∴a+b=2（k1+k2）+1.
∵k1+k2∈Z，∴a+b∈B，从而a+bA.
【溯源】 理解一个集合的意义重点在于抓住代表元素及公共属性，而判断元素与集合的关系，依据就是元素的公共属性，解题时需做必要的恒等变形.
3．常用的数集及其记法
(1)全体非负整数组成的集合称为非负整数集，记作N.
(2)所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N *或N +.?
(3)全体整数组成的集合称为整数集，记作Z.
(4)全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q.?
(5)全体实数组成的集合称为实数集，记作R.?
准确记忆常用数集的符号表示，特别注意Z +、N +等拓展符号表示的集合特征以及数0的归属问题.
4．集合的表示方法?
列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，在大括号内表示集合的方法；
图示法：Venn图法，采用平面上一条封闭曲线的内部表示集合.如用Venn图表示为 或 或.?
疑难疏引
（1）在使用列举法时应注意以下四点：①元素间用逗号“，”；②元素不重复；③不考虑元素顺序；④对于含元素较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，可用列举法表示，但是必须把元素间的规律呈现出来后，才能用省略号表示，如｛1，2，3，…，n｝，｛1，3，5，7，9，…｝.
（2）在使用描述法时应注意以下几点：①写清元素代号；②说清集合中元素的特性；③文?字表述多层次时，应当准确使用“且”“或”；④所有描述的内容都写在集合括号内；⑤语?句力求简明、确切，字句逐一说明.
（3）图示法表示集合的图形的形状、大小与集合的性质没有任何关系，它仅仅把集合中的元素都包括在内，从而体现“整体”.Venn图可直观地表示集合，帮助我们理解、分析问题，但不能作为严密的数学工具使用.
（4）列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意：一般无限集时，不宜采用列举法，因为不能将无限集中元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定.但要注意，有时为了方便，在不引起混淆的情况下，也把具有明显特征的无限集用列举法表示：如N={0，1，2，3，…}等.?
●案例4
下列两个集合：（1）A={（x，y）|y=x2，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}；（2）A={x|x2－6x－7=0}，B={(x,y)|有什么关系？
【探究】 要确定一个集合，必须从这个集合中的元素入手，只有确定了这个集合中元素的特征，才可以确定这个集合.对于问题中给出的两个集合中的元素，可以发现：一个是数，一个是实数对（点）.即（1）集合A是一个点集，是函数y=x2图象上的点的集合；集合B是数集，是由所有实数的完全平方构成的集合.两个集合的元素显然是不同的.（2）进一步化简两个集合可以得到：A={－1，7}，B={（－1，7）}.集合A、B分别是方程、方程组解的集合，但A中有两个元素－1，7，而B中只有一个元素（－1，7）.
【溯源】 两个集合相同，要求两个集合中的元素都要相同，元素相同就要求元素的种类、属性和数量都要相同.要注意：集合中元素个数较少时采用数形结合的思想进行解析和理解，更容易抓住概念的本质.同时对数集和点集用列举法表示要格外重视区别，还要注意到用描述法表示数集和点集对元素特征的描述也是完全不同的.
1.1.2 集合间的基本关系?
子集
（1）对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），则称集合A为集合B的子集，记作AB或BA，读作：A含于B或B包含A.
（2）对于两个集合A与B，如果集合中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们说集合A与集合B相等，记作A=B.(也可以说当集合A与B的元素完全相同时，则A＝B)?
（3）对于两个集合A与B，如果AB，并且A≠B，我们说集合A是集合B的真子集，记作AB.
（4）对于集合A与B，若AB，BC，则AC；任何一个集合是它本身的子集；是任何集合的子集,任何非空集合的真子集.
（５）子集的有关性质?
①A=BAB且BA.?
②AB，BCAC；AB，BCAC.
疑难疏引
(1)一个集合的子集的个数仅与这个集合的元素的个数有关.含n个元素的集合的子集数为2n个，非空子集数为2n－1个，真子集数为2n－1个，非空真子集数为2n－2个.
(２)两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验，去伪存真．同时还要注意分类讨论思想的应用，做到不重不漏.
1.1.3 集合的基本运算
1.交集、并集、补集的概念
（1）一般地，由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B.?
（2）由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B.
（3）一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.
（4）对于一个集合A，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，记作UA.
2.交集、并集、补集的性质
（1）A∩A=A，A∩=，A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪=A，A∪B=B∪A.
（2）A∩BA，A∩BB，A∪BA，A∪BB.
（3）A∩B=AAB，A∪B=ABA.
（4）A∩UA =，A∪UA =U.
（5）德·摩根律?
UA（A∩B）=UA∪UB，U（A∪B）=UA∩UB.
疑难疏引
1．用数学的三种语言互译表示全集与补集?
2．集合运算注意事项?
（1）处理集合运算问题时，要注意化简集合的表达式.如果集合中含有字母，要注意对字母分类讨论.
（2）在解决有关集合运算题目时，一要把握概念中的关键词，如“所有”“且”“或”；二要把握它们各自的实质；三要借助数轴，应用数形结合的思想.
（3）Venn图在集合中起到数形结合的作用，由图可以把一些不明确的数量关系直观地表现出来，起到化繁为简，化抽象为直观的作用.
（4）集合作为数学语言，已深刻地融入函数、方程、不等式、平面曲线、平面区域等有关知识之中，处理集合问题时，应充分综合运用有关的数学知识进行求解.?
（5）在学习子、交、并、补集的概念时，应注意对“任何一个”“都”“所有”“或”“且”等词的理解，“交集”是指两个集合中所有公共元素所组成的集合，忽略了“交集”概念中的“所有”两个字就会错误地认为“若A＝｛1，2，3｝，B＝｛2，3，4｝，A∩B＝｛2｝”.“并集”概念中的“或”与生活用语中的“或”含义不同，生活用语中的“或”一般是或此或彼，必具其一，不兼有，“并集”概念中的“或”是可兼有的，但不必须兼有.记忆口诀：?
集合平时很常用，数学概念有不同.?
理解集合并不难，三个要素是关键.?
元素确定和互异，还有无序要牢记.?
集合不论空不空，总有子集在其中.?
集合用图很方便，子交并补很明显.?
●案例1
若集合U＝｛x｜1＜x≤7｝，A＝｛x｜2≤x＜5｝，B=｛x｜3≤x＜7｝.如何求解（1）（UA）∩（UB）；（2）U（A∪B）；（3）（UA）∪（UB）；（4）U（A∩B）呢？
【探究】 首先把题目给出的集合（数集）在数轴上正确表示出来，在正确识别题目给出的集合符号后就可以得出结果.先在数轴上分别表示出集合U、A、B，再求出A∩B=｛x｜3≤x＜5｝，A∪B=｛x｜2≤x＜7｝，UA＝｛x｜1＜x＜2或5≤x≤7｝，UB=｛x｜1＜x＜3或x＝7｝，于是得（1）（UA）∩（UB）=｛x｜1＜x＜2或x=7｝；（2）UU（A∪B）=｛x｜1＜x＜2或x=7｝；（3）（UA）∪（UB）=｛x｜1＜x＜3或5≤x≤7｝；（4）U（A∩B）=｛x｜1＜x＜3或5≤x≤7｝.
【溯源】 对于有关集合运算的问题，如果题目给出的集合是无限数集，可以结合数轴来帮助解决；如果给出的集合是有限集合，可以借助Venn图帮助解决问题，另外，涉及补集的运算时，我们要注意运用德·摩根律简化运算.?
●案例2
以集合的子、交、并、补为载体，求解参数问题有哪些注意事项??
比如：已知集合A=｛x｜－2≤x≤5｝，B=｛x｜m＋1≤x≤2m－1｝，若A∪B=A，求实数m的取值范围.
【探究】 问题考查集合间的运算关系及分类讨论的数学思想.由A∪B=A得到BA，然后分B=和B≠两种情况讨论.?
由A∪B=ABA.可以得到：
（1）若B=，即m＋1＞2m－1，
∴m＜2.?
此时A∪B=A∪=A成立.
（2）若B≠而且BA，则2≤m≤3.
综上所述，m的取值范围为m≤3.?
【溯源】 在求解参数类型问题时要注意以下几点：?
①A∪B=ABA；
②BA中包含有B=的情况；
③字母问题要注意分类讨论和数形结合.一般参数求值问题要先弄清集合间关系，注意代入验证方法的应用，同时注意二次方程中根与系数关系的应用.
●案例3
某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：
（1）只乘电车的人数；
（2）不乘电车的人数；
（3）乘车的人数；
（4）不乘车的人数；
（5）只乘一种车的人数.
【探究】 本题考查集合的运算，解题的关键是把文字语言转化为集合语言，借助于?Venn?图的直观性把它表示出来，设只乘电车的人数为x，不乘车的人数为y，乘车的人数为z，不乘电车的人数为u，只乘一种车的人数为v，如图所示，可得x=84－18=66(人)，y=120－84=36(人)，z=84+32－18=98(人)，u=120－98=22(人)，v=（84－18）+（32－18）=80(人).
【溯源】 实际问题在遇到一人能承担多种任务的“全能”情况时，正好是集合中交集的完美体现，此时借助交集性质数形结合，问题迎刃而解.
活学巧用
1. 下列所给对象不能构成集合的是( )?
A.一个平面内的所有点
B.所有小于零的正数
C.某校高一（4）班的高个子学生
D.某一天到商场买过货物的顾客
【思路解析】 因为A、B、D中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而C中所给对象不确定，原因是找不到衡量学生身高较高的标准，故不能构成集合,若将C中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”，则能构成集合.
【答案】 C
2. 已知－3∈{a－3，2a－3，a2－4},求a.?
【思路解析】 已知集合中的三个元素都含有未知数，且都具有不确定性，故不能确定－3就是其中的哪一个，应根据分类讨论的思想进行逐一计算.?
【答案】 若－3=a－3，即a=0.
当a=0时，2a－3=－3，即不符合元素的互异性，?
∴a=0（舍）；若－3=2a－3a=0，同理舍掉；若a2－4=－3，即a=±1.当a=1时，集合为{?－2，－1，－3}；当a=－1时，集合为{－4，－5，－3}，∴a=±1.
3. 含有三个实数的集合可表示为{a,,1}，又可表示为{a2,a+b,0}，则a 2 003-b 2 004=_______.
【思路解析】 考查集合元素的确定性、互异性、无序性.
由得a≠0，又集合中元素有0,所以b=0，得a+b=a.?
所以只能a2=1得a=±1.?
又由元素互异性a≠1,所以a=-1.?
a 2 003-b 2 004=(-1) 2 003+0 2 004=-1.?
【答案】 -1
4. 已知集合A=｛x｜x=m＋n，m、n∈Z｝，判断下列元素x与集合A的关系：（1）x=；（2）x=x1＋x2（其中x1∈A，x2∈A）.
【思路解析】 本题考查元素与集合的关系.判断某对象是否为某集合的元素，关键在于判断它们是否具备该集合元素公有的属性即将x值试着写成m＋n的形式，若m、n是整数，便可完成判定，若无法表示成上式或m、n不为整数，则x不为集合中元素.?
【答案】 （1）x==3+2，即m=，n=1，其中Z，∴A.
（2）∵x1、x2∈A，设x1=m1＋n1，x2=m2＋n2（m1、m2、n1、n2∈Z），则x1＋x2=（m1＋m2）＋（n1＋n2），由m1＋m2∈Z，n1＋n2∈Z，
∴x1＋x2∈A.
5. 给出下面几个关系式：∈R，0.3∈Q，0∈N，0∈｛0｝，0∈N *，∈N *，－πZ，-5Z，其中正确的关系式的个数是( )
?A.4 B.5 C.6 D.7??
【思路解析】 注意常用数集的字母表示.?
【答案】 ?A
6. 下面有四个命题：①集合N中的最小元素为1；②方程（x－1）3（x+2）（x－5）=0的解集含有3个元素；③0∈；④满足1＋x＞x的实数的全体形成集合.其中正确命题的个数是( )
?A.0 B.1 C.2 D.3??
【思路解析】 集合N表示自然数集，最小的自然数是0，故①不对；据集合中元素的互异性知方程（x－1）3（x+2）（x－5）=0有3个不同的解：1、－2、5，所以②对；空集不含有任何元素，1＋x＞x表示x可以为任意实数，因此③错，④对，故选C.
【答案】 C
7. 用适当的形式表示下列对象构成的集合.(1)比3大5的数；(2)11以内的质数；(3)x2－5x+6=0的解；(4)函数y=x2+4图象上的点.
【思路解析】 对于一个集合用特征性质即描述法表示还是列举法表示，从理论上讲都可以，但有些可能很不方便，因此要结合具体问题选择合理的表示方法.
【答案】 (1)列举法：{8}；描述法：{x|x－3=5}.(2)列举法：{2，3，5，7}；描述法：{11以内的质数}.(3)列举法：｛2，3｝；描述法：{x|x2－5x+6=0}.(4)描述法：{（x，y）|y=x2+4}.
8. 设集合A={x｜∈Z，x∈N}，试用列举法表示集合.
【思路解析】 由∈Z，知3－x必为6的因数，遍取6的诸因数，再验证x∈N即可.
【答案】 ∵∈Z，∴3－x可取±1、±2、±3、±6.
又x∈N，∴A={1，2，4，5，6，9}.
9. 下面三个集合：
①{x|y=x2+1}；②{y|y=x2+1}；③{（x，y）|y=x2+1}.
（1）它们是不是相同的集合？?
（2）它们各自的含义是什么？?
【思路解析】 此题考查集合的概念，判断集合是不是相同，要看集合的元素是不是相同.
【答案】 （1）不是相同的集合.
（2）集合①是函数y=x2+1的自变量x所允许值所组成的集合，因为x可以取任意实数，所以{x|y=x2+1}=R.
集合②是函数y=x2+1的所有函数值y组成的集合，由二次函数图象知，y≥1，所以{y|y=x2+1}={y|y≥1}.
集合③是函数y=x2+1图象上的所有点的坐标组成的集合.如下图所示：?
10. 已知集合P={0,1,2,3,4},Q={x|x=ab,a、b∈P,a≠b},用列举法求集合Q.?
【思路解析】 集合Q中的元素是集合P中任意两个元素积,结合元素互异性要求,不同的积有0,2,3,4,6,8,12.
【答案】 Q={0,2,3,4,6,8,12}.
11. 下列说法正确的是( )?
①任意集合必有子集 ②空集是任意集合的真子集 ③若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集 ④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B，则B是A的子集?
A.①②③
B.①③④
C.①③
D.①②③④
【思路解析】 此题考查子集的性质，并需要注意空集的特殊性.
（1）任意集合都是自身的子集，因此①正确.（2）空集是任意非空集合的真子集，因此②不正确.（3）集合子集的性质具有传递性，因此③正确.（4）可利用文氏图进行思路解析，④正确.
【答案】 B
12. 已知集合A={0，2，3，4}，B={0，1，2，3}，非空集合M满足MA且MB，则满足条件的集合M的个数为 …( )
A.7
B.8
C.15
D.16
【思路解析】 MA且MB，则M（A∩B）=N={0，2，3}，进而求出集合N的非空子集为23－1=7（个）.
【答案】 A
13. 设集合A={x，x2，xy}，B={1，x，y}，且A=B，求实数x、y的值.
【思路解析】 注意到A、B中都有x，∵A=B，∴A、B中剩余两元素应分别对应相等，但需分类讨论，注意集合中元素的互异性的检验.
【答案】 ∵A=B，
∴或解得或或或当x=1，y∈R时，A=B={1，1，y}，不满足集合中元素的互异性，∴舍去.当x=－1，y=0时，A=B={－1，1，0}，适合.
当x=y=1时,A=B={1，1，1}，不满足集合中元素的互异性，∴舍去.
综上，知x=－1，y=0.
14.已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α、β.集合A={α,β}, B={2,4,5,6}, C={1,2,3,4}, A∩C=A,A∩B=,求p、q的值.
【思路解析】 由A∩C=A知AC.
又A={α,β}，则α∈C,β∈C.而A∩B=,故αB,βB.
显然既属于C又不属于B的元素只有1和3.
不妨设α=1,β=3.对于方程x2+px+q=0的两根α、β应用韦达定理可得p=-4,q=3.
【答案】 p=-4,q=3.
15.已知全集I={小于10的正整数}，其子集A、B满足IA∩IB={1,9}，A∩B={2}，IA∩B={4,6,8}，求集合A、B.
【思路解析】 本题主要考查的是全集、补集以及交集之间的运算,方法可采用韦恩图法.?
【答案】 ?
所以A={2,3,5,7},B={2,4,6,8}.
16.已知全集U={不大于30的质数}，A、B是U的两个子集，且A∩（UB）={5，13，23}，A∪（UB）={2，3，5，7，13，17，23}，（UA）∩（UB）={3，7}，则A=? ，B= .
【思路解析】 U={不大于30的质数}={2，3，5，7，11，13，17，19，23}，而（UA）∩（UB）=U（A∪B），画出韦恩图，标出三个集合A∩（UB），A∪（UB），U（A∪B），易得A∩B={2，17}.?
∴A={2，5，13，17，23}，?B=?{2，11，17，19，29}.?
【答案】 {2，5，13，17，23} {2，11，17，19，29}
17. 已知A={2，4，a3－2a2－a+7}，B={－4，a+3，a2－2a+2，a3+a2+3a+7}，且A∩B={2，5}.
（1）求实数a的值；
（2）求A∪B.
【思路解析】 利用A∩B={2，5}确定集合元素的取值是本题的关键.?
【答案】 由题意知，a3－2a2－a+7=5，解之得a=－1，1，2.?
当a=－1，1时，A={2，4，5}，B={－4，2，4，5}或{－4，1，4，12}，这与已知A∩B={2，5}矛盾；当a=2时，符合题意，故a=2.
此时A∪B={2，4，5}∪{－4，2，5，25}={－4，2，4，5，25}.
18. 已知A＝｛x｜x2+x-6＝0｝,B＝｛x｜mx+1＝0｝，且B∪A＝A，求实数m的取值范围.
【思路解析】 问题错在对集合B考虑的不全面，B＝｛x｜mx+1＝0｝代表方程mx+1＝0的解集，可以有一解，也可无解.而无解的情况是B＝，这种情况又恰恰满足B∪A＝A的题设条件.错的原因有两个，其一是忽略了mx+1＝0会无解；其二是忽略了A∪B＝ABA及是任何集合的子集.?
【答案】 ∵A＝｛x｜x2+x-6＝0｝＝｛-3,2｝,且B＝｛x｜mx+1＝0｝，B∪A＝A，
∴B＝｛-3｝，B＝｛2｝或B＝，即-3m+1＝0，2m+1＝0，或m＝0.
故实数m∈｛,-，0｝.
19. 2005年寒假，小明为完成社会实践作业，对某校大学生进行调查，结果如下：电脑拥有率为49%，手机拥有率为85%，MP3拥有率为44%，拥有上述三种物品中两种的占38%，三种物品齐全的占25%，那么三种物品中一种也没有的大学生比例为( )?
A.10% B.12%
C.15% D.27%??
【思路解析】 韦恩图如下图所示，设调查了100名大学生.?
I={被调查的100名大学生}，
M={100名学生中拥有电脑的学生}，
S={100名学生中拥有手机的学生}，
P={100名学生中拥有MP3的学生}，
要求I（M∪P∪S）的元素个数，根据已知条件，先求集合M∪P∪S中元素的个数较容易.由图形知M∪P∪S的元素个数为49+85+44－38－2×25=90.?
∴I（M∪P∪S）的元素个数为10.故选A.
【答案】 A
20. 已知A=｛x｜x2＋px－12=0｝，B=｛x｜x2＋qx＋r=0｝，且A≠B，若A∪B=｛－3，4｝，A∩B=｛－3｝，求实数p、q、r的值.
【思路解析】 本题考查集合的交、并运算，可结合方程的根与集合的关系，从两集合有公共元素－3入手，再利用A∪B=｛－3，4｝，求出所有参数.?
【答案】 由已知－3∈A且－3∈B.
把x=－3代入方程x2＋px－12=0，得9－3p－12=0，解得p=－1.于是可得集合A=｛－3，4｝.
又A∪B=｛－3，4｝=A，所以BA，而已知A≠B，
所以BA.由－3∈B可知B=｛－3｝，即方程x2＋qx＋r=0有两个相等的实数根－3，由根与系数的关系得解得q=6，r=9.
故p=－1，q=6，r=9.
21.已知全集S={x||x|<8,x∈N}，A、B是S的子集，若①(SA)∪(SB)={0,1,2,4,5,6,7}；②(SA) 葿={2,6}；③(SB)∩A={1,7}．求满足上述条件的集合A、B.
【思路解析】 由①知S(A∩B)={0,1,2,4,5,6,7},
∴A∩B={3},即3∈A，且3∈B;
由②知,2∈B,6∈B，但2A,6A;?
由③知，1∈A,7∈A,但1B,7B.?
∴A={1,3,7},B={2,3,6}.
【说明】 另可借助韦恩图直观推理分析．
【答案】 A={1,3,7},B={2,3,6}.
1.2 函数及其表示
互动课堂
疏导引导
1.2.1 函数的概念?
1.函数的定义?
设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域,显然值域是集合B的子集.
疑难疏引 函数概念的正确理解：
(1)关于函数的两个定义域实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点，而高中定义却是从集合、对应的观点出发.
(2)两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同，例如函数f(x)＝|x|，与f(x)＝x2是同一个函数.
(3)函数的核心是对应关系.在函数符号y＝f(x)中，f是表示函数的对应关系，等式y＝f(x)表明，对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.?
函数符号y＝f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示，它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式，也可以是图象或数表.
（4）值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定.
2.函数的三要素
构成函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域B.?
疑难疏引 核心是对应法则f，它是联系x和y的纽带，是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出，可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式，都必须是确定的，且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了，所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此，要确定一个函数，只要定义域与对应法则确定即可.
定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数.
3．区间的概念?
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,b］.
（2）满足不等式a
（3）满足不等式a≤x疑难疏引 无穷大是个符号，不是一个数.关于用-∞、+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间．区间是数学中常用的术语和符号.必须记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其含义.
对于［a,b］，(a,b)，［a,b)，(a,b］，都称数a和数b为区间的端点：a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度.这样，某些以实数为元素的集合就有三种表示法：集合表示法、不等式表示法和区间表示法.
●案例1
下列各题中的两个函数表示同一个函数的是?( )
A. f（x）＝x，g（x）＝
B. f（n）＝2n＋1（n∈Z），g（n）＝2n－1（n∈Z）?
C. f（x）＝x－2，g（t）＝t－2?
D. f（x）＝，g（x）＝1＋x
【探究】 两个函数相同必须有相同的定义域、值域和对应法则.A中两函数的值域不同；B中虽然定义域和值域都相同，但对应法则不同；C中尽管表示自变量的两个字母不同，但两个函数的三个要素是一致的，因此它们是同一函数；D中两函数的定义域不同.C符合.
【溯源】 给定两个函数，要判断它们是否是同一函数，主要看两个方面：一看定义域是否相同；二看对应法则是否一致.只有当两函数的定义域相同且对应法则完全一致时，两函数才可称为同一函数.
若判断两个函数不是同一个函数，只要三要素中有一者不同即可判断不是同一个函数.
4.函数的定义域
函数定义域是函数y=f(x)自变量x的取值范围.
疑难疏引 （1）定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如：y=x2(x∈R)与y=x2(x>0)；y=1与y=x0.
(2)若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围.
(3)常见函数定义域类型及求解策略：
如果给出具体解析式求定义域：一般首先分析解析式中含有哪几种运算，然后列出各运算对象的范围，组成不等式组，解不等式组，即得所求定义域.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合：
①解析式是整式的函数，其定义域为R；
②解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；
③解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合.?
复合函数f［g(x)］的定义域和f(x)定义域互相转化，要注意定义域就是x的取值范围，并且前者中g(x)的取值范围等价于后者中x的取值范围.?
如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域不仅是要使实际问题有意义，还必须是使思路分析式有意义的实数的集合.?
●案例2
已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围.
【探究】 首先向不等式转化，在求m的取值范围时，由于m为二次项系数，∴要对其进行分类讨论；当x∈R时,mx2-6mx+m+8≥0恒成立.
当m=0时,x∈R.
当m≠0时，即
解之，得0【溯源】 由定义域是R求参数的取值范围问题，首先转化成含参不等式恒成立，然后利用数形结合等方法列出相关条件，尤其注意在含x2项问题中要对其系数进行讨论.?
5.函数的解析式?
疑难疏引?
（1）在y=f(x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样.?
（2）f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”.
（3）符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.
●案例3
已知函数f（x）=根据已知条件分别求出f（1），f（－3），f［f（－3）］，f｛f［f（－3）］｝的值.
【探究】 此函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系.
答案：f（1）=12=1；f（－3）=0；f［f（－3）］=f（0）=1；f｛f［f（－3）］｝=f［f（0）］=f（1）=12=1.
【溯源】 深刻理解复合函数的概念，注意选取的自变量和其要应用的解析式要对应，这类问题是历年高考的热点．
●案例4
已知函数f（x+1）=x2－1，x∈［－1，3］，求f（x）的表达式.?
【探究】 函数是一类特殊的对应，已知函数f（x+1）=x2－1，即知道了x+1被法则“处理”的结果是x2－1，如果知道x2－1是怎样由x+1演变得出的，也就知道f（x）的表达式了.本题可用“配凑法”或“换元法”.
解法一：（配凑法）∵f（x+1）=x2－1=（x+1）2－2（x+1），
∴f（x）=x2－2x.
又当x∈［－1，3］时，（x+1）∈［0，4］，∴f（x）=x2－2x，x∈［0，4］.
解法二：（换元法）令x+1=t，则x=t－1，且由x∈［－1，3］知t∈［0，4］，
∴由f（x+1）=x2－1，得f（t）=（t－1）2－1=t2－2t，t∈［0，4］.
∴f（x）=（x－1）2－1=x2－2x，x∈［0，4］.
【溯源】 已知函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式一般有两种方法，一种是用配凑的方法，一种是用换元的方法.?
所谓“配凑法”即把已知的f［g（x）］配凑成关于g（x）的表达式，而后将g（x）全用x取代，化简得要求的f（x）的表达式；
所谓“换元法”即令已知的f［g（x）］中的g（x）=t，由此解出x，即用t的表达式表示出x，后代入f［g（x）］，化简成最简式.
需要注意的是，无论是用“配凑法”还是用“换元法”，在求出f（x）的表达式后，都需要指出其定义域，而f（x）的定义域即x的取值范围应和已知条件f［g（x）］中g（x）的范围一致，所以说求f（x）的定义域就是求函数g（x）的值域.?
●案例5
已知二次函数f（x）的图象过点A（1，1）、B（2，0）及点C（6，0），求f（x）的表达式.
【探究】 二次函数是我们熟悉的一种函数，其形式有：一般式f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R且a≠0）；交点式f（x）=a（x－x1）（x－x2）（a∈R且a≠0），其中x1、x2分别是f（x）的图象与x轴的两个交点的横坐标；顶点式f（x）=a（x－m）2+n（a∈R且a≠0），（m，n）是顶点坐标.无论哪种形式都有三个参数，所以可用待定系数法求解f（x），具体解法如下.
解法一：（待定系数法）由题意可设f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R且a≠0）.
∵f（x）的图象过点A（1，1）、B（2，0）及点C（6，0），
∴解得
∴f（x）=x2－x+.
解法二：（待定系数法）∵f（x）的图象过点B（2，0）及点C（6，0），∴f（x）的图象与x轴的两交点的横坐标分别是2和6.∴可设f（x）=a（x－2）（x－6），a∈R且a≠0.∵f（x）的图象过点A（1，1），∴1=a（1－2）（1－6）.解得a=.
∴f（x）=（x－2）（x－6），即f（x）=x2－x+.
解法三：（待定系数法）∵f（x）的图象过点B（2，0）及点C（6，0），∴f（x）的图象关于直线x=，即x=4对称.∴可设f（x）=a（x－4）2+m，其中a、m∈R且a≠0.又f（x）的图象过点A（1，1）、B（2，0），∴
∴解得
∴f（x）=（x－4）2－，即f（x）=x2－x+.
【溯源】 当知道了函数类型求解函数表达式时，一般用待定系数法.如求一次函数可设f（x）=kx+b，k、b为待定系数；求反比例函数可设f（x）=，k为待定系数.
6．函数的值域
基本函数的值域：
（1）正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R.?
（2）反比例函数y=(k≠0)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞).?
（3）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).?
当a>0时,值域为［,+∞);?
当a<0时,值域为(-∞,］.
常见函数值域的求解类型和方法：
(1)配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.
(2)函数解析式中含有根式,并且根式内x的次数与根式外的x的次数相同,可用一个新的变量来替代根式,而根式外的x也可以用这个新的变量表示出来,这样就可将原函数表示成这个新变量的一个二次函数形.我们把这种求函数值域的方法叫做“换元法”，形如y=ax+d±(ab≠0)的函数均可用“换元法”求值域.需要注意的是换元后的变量的取值范围.
(3)形如y=(c≠0,bc≠ad)可以将其分解成一个常数与一个分式的和或差的形式,并且分式的变量x只在分母中,又因为反比例函数y=及其相应的形式y=的值域为{y|y≠0},所以这种函数的值域就是不等于此常数的所有实数.我们通常称这种求值域的方法为“分离常数法”.
(4)形如y=(a1、a2不同时为零)的函数,可把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得原函数的值域.注意事项:函数定义域应为R(或有有限个断点)，分子、分母没有公因式.
●案例6
在求解下列函数的值域后，你能有什么启发吗？
（1）y=x2+4x-2,x∈R;?
（2）y=x2+4x-2,x∈［-5,0］;?
（3）y=x2+4x-2,x∈［-6,-3］;?
（4）y=x2+4x-2,x∈［0,2］.?
【探究】 这些函数都是二次函数且解析式都相同,但是各自函数的定义域都是不同的,应该通过“配方”借助于函数的图象来求其函数.?
（1）配方,得y=(x+2)2-6,由于x∈R,故当x=-2时,y min=-6,无最大值,所以值域是［-6,+∞).
（2）配方,得y=(x+2)2-6,因为x∈［-5,0］,所以当x=-2时,y min=-6,当x=-5时,ymax=3.
故函数的值域是［-6,3］.
（3）配方,得y=(x+2)2-6,因为x∈［-6,-3］,?
所以当x=-3时,y min=-5,当x=-6时,y max=10.?
故函数的值域是［-5,10］.
（4）配方,得y=(x+2)2-6,?
因为x∈［0,2］,所以当x=0时,y min=-2;?
当x=2时,y max=10.
故函数的值域是［-2,10］.
【溯源】 上述四个题目相同但所给的区间不同,最后得到的值域也不同,主要是由于二次函数在不同区间上的单调性不同而产生的,因此在求二次函数值域时一定要考虑函数是针对哪一个区间上的值域和此时图象是什么样子.
1.2.2 函数的表示法?
1.函数的表示方法?
主要有三种常用的表示方法，即解析法、列表法和图象法．
（1）解析法：把一个函数用一个式子表示，这种表示函数的方法叫做解析法.?
（2）列表法：把两个变量的一系列对应值列成一个表，这种表示方法叫做列表法.?
（3）图象法：把两个变量之间的关系用图象表示，这种方法叫做图象法.?
疑难疏引 用解析式表示函数关系的优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质.中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数.缺点：有些函数很难用解析式表示.?
用列表法表示函数关系的优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.缺点：函数解析式的体现有时不明显.?
用图象法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出函数的变化情况，更能体现数形结合的思想.缺点：变量的值依赖于图象的精度，不利于精确计算.?
由于函数关系的三种表示方法各具特色，优点突出，但大都存在着缺点，不尽如人意，所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数的解析式，即用解析法表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后是画出函数的图象.
●案例1
小刚离开家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，跑累了再走余下的路程.在下图所示中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象中较符合小刚走法的是( )
【探究】 首先审清题意，特别是横、纵两轴的含义.纵轴表示离校的距离，所以排除A、C，在B、D中选择答案.由于开始时是跑步前进，所以同一时间内，位置变化大，所以选择D.
【溯源】 实际应用问题是高考考查的重点也是难点，解决此类问题要特别重视实际变量和函数变量之间的对应关系，尤其是图象题经常用直观感觉判断.
2.分段函数
疑难疏引 有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则也不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数是一个函数，在画图象时必须分段画，尤其需注意特殊点，在解决这部分题目时要注意分段定义函数作为一个整体与构成它的局部之间的关系.主要是指根据定义域的分段而产生不同的函数关系式.
●案例2
用分段函数表示f(x)=|x-1|，并求f(0)、f(-2)、f(3)．
【探究】 函数f(x)=|x-1|是一个分段函数,欲求f(0)、f(-2)、f(3),只需观察0、-2、3这三个自变量对应的是此函数的哪一段,从而代入求值.?
【答案】 ∵f(x)=
∴f(0)=1，f(-2)=1-(-2)=3，f(3)=3-1=2.
【溯源】 求分段函数的有关函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式.一般分段函数的问题经常画出函数的图象，应用图象特征解决问题.同时要注意分类讨论思想的应用.
2.映射的概念
映射f∶A→B的定义是：设A、B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.?
疑难疏引
（1）映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等.?
（2）映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的.?
（3）映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一确定的，这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.?
（4）映射允许集合B中存在的元素在A中没有元素与其对应.?
（5）映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.?
（6）函数是一种特殊的映射，定义域集合和函数值域集合都是非空的数集；但映射中的两个集合A和B可为任何集合，如人、物、数等.
●案例3
下列对应是不是从集合A到集合B的映射，为什么？?
（1）A=R，B={x∈R|x≥0}，对应法则是“求平方”；?
（2）A=R，B={x∈R|x＞0}，对应法则是“求平方”；?
（3）A={x∈R|x＞0}，B=R，对应法则是“求平方根”；?
（4）A={平面α内的圆}，B={平面α内的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形”.
【探究】 只有（1）是映射，因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应.
（2）不是从集合A到集合B的映射.因为A中的元素0，在集合B中没有象.?
（3）不是从集合A到集合B的映射.因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应，象不唯一.
（4）不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应，象不唯一.
【答案】 （1）是；（2）不是；（3）不是；（4）不是.
【溯源】 对于一个A到B的对应，A中的任何一个元素都对应B中的唯一一个元素，或A中的多个元素对应B中的一个元素，这样的对应都是映射，而A中的一个元素对应B中的多个元素的对应就不是映射.?
可以简单地说：“一对一”“多对一”的对应是映射，“一对多”的对应不是映射.
活学巧用
1. 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )?
A. y=x－1和y=
B. y=x0和y=1?
C. f（x）=x2和g（x）=（x+1）2?
D. f（x）=和g（x）=
【思路解析】 看两个函数是否相同，主要看函数的定义域和对应法则.A选项中的两个函数定义域不相同；B选项中的两个函数的定义域也不同；C选项中的两个函数的解析式不同；只有D选项中的两个函数对应法则相同，定义域也相同.
【答案】 D
2. 下列各组函数是否表示同一个函数??
(1)f(x)=2x+1与g(x)=;
(2)f(x)=与g(x)=x-1;
(3)f(x)=|x-1|与g(t)=
(4)f(n)=2n-1(n∈Z)与g(n)=2n+1(n∈Z).
【思路解析】 对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.?
【答案】 (1)g(x)=|2x+1|,f(x)与g(x)对应关系不同，因此是不同的函数.?
(2)f(x)=x-1(x≠0),f(x)与g(x)的定义域不同,因此是不同的函数.?
(3)f(x)= f(x)与g(t)的定义域相同,对应关系相同,因此是相同的函数.
(4)f(n)与g(n)的对应关系不同,因此是不同的函数.
3. 在下列选项中，可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( )
【思路解析】 判断一幅图象表示的是不是函数的图象，关键是在图象中能不能找到一个x对应两个或两个以上的y，如果一个x对应两个以上的y，那么这个图象表示的就不是函数的图象.
A的图象表示的不是函数的图象，∵存在一个自变量x的取值(如:x=0)有两个y与之对应，不符合函数的定义.因此A不正确；B的图象是关于x轴对称也不符合函数的定义.因此B也不正确；C的图象是关于原点对称，但是当自变量x=0时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义.∴C选项也不正确；D表示的图象符合函数的定义，因此它表示的是函数的图象.因此选D.?
【答案】 D
4. 求下列函数的定义域：?
（1）y＝2＋；
（2）y＝·；
（3）y＝（x－1）0＋.
【思路解析】 给定函数时，要指明函数的定义域.对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合.因为函数的定义域是同时使思路分析式各部分有意义的x值的集合，所以应取各部分的交集.?
【答案】 （1）要使函数有意义，当且仅当x－2≠0，即x≠2，所以这个函数的定义域为{x|x∈R且x≠2}.
（2）要使函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|?x∈R且1≤x≤3}.
（3）要使函数有意义，当且仅当解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}.
5. 若函数f(x+1)的定义域为［0，1］，则f(3x-1)的定义域为? .?
【思路解析】 ∵0≤x≤1,
∴1≤x+1≤2.?
又∵f(x+1)和f(3x-1)在对应法则上有联系，
∴1≤3x-1≤2.?
∴≤x≤1,即f(3x-1)的定义域为≤x≤1.?
【答案】≤x≤1
6. 如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是 ，这个函数的定义域为 .
【思路解析】 据长方体的体积公式，易得V=x（a－2x）2，其中0＜x＜.
【答案】 V=x（a－2x）2 {x|0＜x＜}
7. 设f（x）=则f（－）=? ，f（1）=________，f（6）=________.
【思路解析】 分清自变量对应的解析式.?
【答案】 1 － 3?
8. 如果f（）=，求f（x）的解析式.
【思路解析】 函数解析式y=f（x）是自变量x确定y值的关系式，本题实质是求经怎样的变形得到这一结果.
【答案】 配凑法：∵f（）===，
∴f（x）=（x∈R且x≠0，x≠±1）.
换元法：设t=，则x=，代入f（）=，得
f（t）==，
∴f（x）=（x∈R且x≠0，x≠±1）.
9. 已知一次函数y=f(x)满足f［f(x)］=4x+3,求一次函数的解析式.?
【思路解析】 设f(x)=ax+b（a≠0），用待定系数法.?
【答案】 设f(x)=ax+b（a≠0）,?
∴f［f(x)］=a·f(x)+b=a(ax+b)+b?
=a2x+ab+b.?
∴a2x+ab+b=4x+3.?
∴
∴
∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.
10. 已知函数f(x)=（a、b为常数）且方程f(x)－x+?12=?0有两个实根为x1=3,x2=4，求函数f(x)的解析式.
【思路解析】 求出函数f(x)的解析式中的待定系数a、b是我们解题的目标，根据已知条件f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4，可以将题意转化为方程组求解.?
【答案】 将x1=3,x2=4分别代入方程-x+12=0,得
解之得
所以f(x)=(x≠2).
11. 设函数f(x)满足f(x)+2f（-x）=x(x≠0)，求f(x).?
【思路解析】 以-x代换x，解关于-x、x的方程组，消去-x.?
【答案】 ∵f(x)+2f(-x)=x①
以-x代换x,得f(-x)+2f(x)=-x②?
解①②组成的方程组得f(x)=-3x.
12. 已知f(xy)=f(x)f(y),且f(0)≠0，求f(x).
【思路解析】 可利用赋值法求解.赋值法：在求函数的解析式时，有时候要“以退求进”，即把自变量赋于特殊值展现内在联系，或者减少变量个数，以利求解.
【答案】 由于等式f(xy)=f(x)f(y)对于一切实数都成立，故不妨设y=0,代入得f(x·0)=?f(x)·f(0),即f(0)=f(x)·f(0).
又∵f(0)≠0，∴f(x)=1.
13. 已知a为实数，x∈(-∞,a),则函数f(x)=x2-x+a+1的最小值是( )?
A. a+
B. a2+1?
C. 1?
D. a2+1或a+
【思路解析】 此题考查用配方法求二次函数，并用分类讨论的数学思想确定函数的最小值.
f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+，若a≤，则函数f(x)=x2-x+a+1在(-∞,a)上单调递减，从而函数f(x)=x2-x+a+1在(-∞,a)上的最小值为f(a)=a2+1;若a>，则函数f(x)=x2-x+a+1在(-∞,a)上的最小值为f()=a+.
综上，当a≤时，函数的最小值为a2+1；当a>时，函数的最小值为a+.因此选D.
【答案】 D
14. 二次函数y=-x2+6x+k的值域为(-∞,0］,求k的值.
【思路解析】 ∵二次函数y=-x2+6x+k的值域为(-∞,0］,?
∴其最小值为0,即顶点纵坐标为0,从图形上看就二次函数的图象与x轴相切.?
【答案】 法1:y=-x2+6x+k=-(x-3)2+k+9.?
∵值域为(-∞,0］,?
∴k+9=0,k=-9.?
法2:∵二次函数开口向下,值域为(-∞,0］,?
∴其图象与x轴相切,判别式Δ=0,?
即Δ=62-4·(-1)·k=36+4k=0.?
∴k=-9.
15. 函数y=的值域是( )?
A． (－∞，－1)∪(－1，＋∞)?
B． (－∞，1)∪(1，＋∞)?
C． (－∞，0)∪(0，＋∞)?
D． (－∞，0)∪(1，＋∞)?
【思路解析】 因为函数的分子与分母都是关于x的一次函数,所以可用“分离常数法”求此函数的值域.?
y=
=
=1-
∵≠0,∴y≠1.故选B.
【答案】 B
16. 求函数y=2x-3+4x-13的值域.?
【思路解析】 函数解析式中含有根式,并且根式内x的次数与根式外的x的次数相同,故可用“换元法”来求值域.?
【答案】 令t=4x-13(t≥0),则x=.
所以y=+t
=
=.
因为t≥0,所以当t=0时，y min=.
所以函数的值域是(-∞, ］.
17. 求函数y=的值域.
【思路解析】 函数的解析式是分式,且分母中变量x的次数是二次的,函数式可化为关于x的一元二次方程,利用“判别式法”来求值域.?
【答案】 将解析式改写成关于x的一元二次方程(2y-2)x2+(2y-2)x+y-5=0.
当y≠1时,Δ≥0,即(2y-2)2+20(2y-2)≥0y≥1或y≤-9.
当y=1时，y=5不成立，所以值域为(-∞,-9］∪(1,+∞).
18. 李明骑车上学，一开始以某一速度前进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是就加快了车速，在下面给出的四个函数示意图中（s为距离，t为时间），符合以上情况的是( )?
【思路解析】 对位要清楚,注意时间和路程的变化关系．?
【答案】 C
19. 已知f(x)=x2+2x-3，用图象法表示函数g(x)=.
【思路解析】 知道函数g(x)的定义域、值域和对应法则，就能根据这三个要素画出函数g(x)的图象，所以要先求出函数g(x)的三要素.?
当f(x)≤0，x2+2x-3≤0，-3≤x≤1，g(x)=0.?
当f(x)>0，即x<-3或x>1，g(x)=f(x)=(x+1)2-4.?
【答案】
20. 函数在闭区间［-1,2］上的图象如图所示，求此函数的解析式.
【思路解析】 根据函数的图象求函数的解析式，关键是确定自变量在每一段上所对应的函数类型，然后由待定系数法求出每一段上的解析式，从而得出整个函数的解析式.?
【答案】 f(x)=
21. 已知函数y=则函数y的最大值是_______________.
【思路解析】 可根据函数图象直接观察函数的取值范围,如图，画出分段函数的图象，图象的最高点A的纵坐标就是函数的最大值.而点A的坐标就是方程组的解，解得
∴A（-1，4）.
∴函数的最大值为4.?
【答案】 4
22. 判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f：x→2x+1；
（2）设A=N *,B={0,1}，对应法则f：x→x除以2得到的余数；
（3）设X={1,2,3,4}，Y={1,,,},f:x→x取?倒数?；?
（4）A={(x,y)||x|<2，x+y<3，x∈Z，y∈N},B={0,1,2},f:(x,y)→x+y；?
（5）A={x|x>2,x∈N}，B=N,f：x→小于x的最大质数；
（6）A=N，B={0,1,2}，f：x→x被3除所得余数.
【思路解析】 根据映射的概念判断对应是否是映射，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射.
【答案】（1）、（2）、（3）、（5）、（6）都是A到B的映射，（4）不是A到B的映射.
23. 是不是从A到B的映射？是不是函数？?
（1）A=(－∞,+∞)，B=（0，+∞）,f∶x→y=|x|;
（2）A={x|x≥0},B=R,f∶x→y,y2=x;?
（3）A={x|x≥2,x∈Z},B={y|y≥0,y∈Z},f∶x→y=x2-2x+2;
（4）A={平面α内的矩形}，B={平面α内的圆}，f∶作矩形的外接圆.?
【思路分析】 按映射的特点可以判断：（1）不是映射，因为0∈A，但|0|=0∈B，当然更不是函数.（2）不是映射，更不是函数.因为y=±x，当x>0时，元素x的象不唯一.（3）是映射.因为y=(x-1)2+1≥0，又当x∈A时，y∈Z，所以(3)是映射.又因为A、B都是数集，所以也是函数.（4）是映射.因为每一个矩形都有唯一的外接圆，即A中每一元素在B中都有唯一的象，所以（4）是映射.但A、B不是数集，所以不是函数.
【答案】 （1）不是；不是. （2）不是；不是. （3）是；是. （4）是；不是.
24. 已知A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},a∈N,k∈N,x∈N,y∈B,f:x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数,求a、k、A、B.
【思路解析】 函数就是从定义域到值域的对应,因此值域中的每一元素,在定义域中一定能找到元素与之对应.?
【答案】 由对应法则:1→4,2→7,3→10,k→3k+1.?
∵a4≠10,∴a2+3a=10a=2(a=-5舍去).?
又3k+1=16,∴k=5.
故A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}.
1.3 函数的基本性质
互动课堂
疏导引导
1.3.1 单调性与最大（小）值?
1.函数的单调性?
单调性和单调区间的定义?
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有?f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有?f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.
如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
疑难疏引 (1)函数是增函数还是减函数，是对定义域内的某一个区间而言的，有的函数在整个定义域里是增函数（减函数），也有的函数在定义域的某个区间上是增函数，而在另外区间上又是减函数，也存在一些函数，根本就没有单调区间.如函数：f(x)=5x,(x∈{1,2,3}）．再者，因为一个固定点的函数值不会发生变化，所以函数的单调性不在某一个点去讨论，即使在定义域内，也不可以随便把单调区间写成闭区间（比如一些函数的区间端点正好是不连续的点）.
(2)函数的单调性与单调区间的关系
函数的单调性是对区间而言的，它是“局部”性质，对某一函数y=f（x），它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性；即使是同一个函数它在某区间上可能单调增，而在另外一区间上可能单调减；对某一函数y=f（x），它在区间（a，b）与（c，d）上都是单调增（减）函数，不能说y=f（x）在（a，b）∪（c，d）上一定是单调增（减）函数.即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，而有些函数在整个定义域内具有单调性.而有些函数在定义域内某个区间上是增函数，在另一些区间上是减函数.?
（3）函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数，它的图象是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图象是沿x轴正方向逐渐下降的.
●案例1
如何证明函数y=x+在（1，＋∞）上为增函数?
【探究】 证明函数的增减性，先在定义域上取x1＜x2，然后作差f（x1）－f（x2），判断这个差的符号即可.?
设x1、x2是（1，＋∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=x1+－（x2+）=x1－x2+（－）=x1－x2－=（x1－x2）（）.
∵x1－x2＜0，x1x2－1＞0，x1x2＞0，?
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.?
∴函数y=x＋在（1，＋∞）上为增函数.?
【溯源】 证明函数的单调性主要是利用定义来证明，其步骤为：?
（1）取值：设x1、x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2；
（2）作差变形：作差f（x1）－f（x2），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；?
（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；?
（4）判断：根据定义作出结论.?
疑难疏引 讨论函数y＝f［φ(x)］的单调性时要注意两点：
(1)若u＝φ(x)，y＝f（u）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y＝f［φ(x)］为增函数；?
(2)若u＝φ(x)，y＝f(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y＝f［φ(x)］为减函数.
若函数f(x)、g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在这个区间上：
(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
(2)C＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；C＜0时，函数f(x)与C·f(x)具有相反的单调性.
(3)若f(x)≠0，则函数f(x)与具有相反的单调性.
(4)若函数f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.
(5)若f(x)＞0，g(x)＞0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若f(x)＜0，g(x)＜0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数.
●案例2
求下列函数的单调增区间：?
（1）y=－x2＋2|x|＋3;?
（2）y=x-;
（3）已知函数f(x)在其定义域［-4,4］上是增函数，求f(x2-2x)的增区间.
【探究】 （1）可画图判断，（2）和（3）都不能画图，（2）可看成两个基本函数g(x)=x和t(x)=-相加得到，（3）是复合函数f［u(x)］的形式，其中u(x)=x2-2x.
（1）如图.?
可判断函数的单调增区间是（－∞，－1）,（0，1）.?
（2）g(x)=x在R上是增函数，t(x)=-在区间（-∞,0），（0，+∞）上是增函数，所以y=x-的增区间是（-∞,0）和（0，+∞）.
（3）由函数定义域知-4≤x2-2x≤4，所以1-≤x≤1+，二次函数y=x2-2x的单调增区间为（1，+∞），所以原函数的增区间为（1，1+）.
【溯源】 判断复合函数单调性的步骤：?
(1)分解函数成简单函数的形式；
(2)求出函数的定义域;
(3)利用同增异减判断.
(4)找出区间和定义域取交集.
2.函数的最值?
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么我们称M是函数y=f(x)的最大值.?
●案例3
已知函数f（x）=，x∈［1，+∞）.
（1）当a=时，求函数的最小值；
（2）若对任意x∈［1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.?
【探究】 先来解决第（1）问，当a的值给定时，函数变为?f（x）=x＋＋2，它类似于函数f（x）=x＋，所以可以利用函数的单调性来判断最值.
（1）当a=时，f（x）=x＋＋2.?
f（x）在［1，+∞）上为增函数，所以f（x）在［1，+∞）上的最小值为f（1）=.
（2）f（x）=x＋＋2，x∈［1，+∞）.
当a≥0时，函数f（x）的值恒为正.
当a＜0时，函数f（x）在［1，＋∞）上为增函数，故当x=1时，f（x）有最小值3＋a，于是当3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故0＞a＞－3.
综上，可知当a＞－3时，f（x）＞0恒成立.
【溯源】 如果一个函数在某个区间内单调，那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值，并结合函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值.容易对a分类不全面，而造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值，也会造成解题错误.?
●案例4
二次函数y＝x2＋2ax－3，x∈［1，2］，试求函数的最小值.
【探究】 首先观察到函数图象过（0，－3），再考虑对称轴的位置，由于对称轴在不同的位置会出现不同的结果，所以需要分三种情况讨论.?
y＝x2＋2ax－3＝（x＋a）2－a2－3，
当－a∈（2，＋∞），即a<－2时，函数在［1，2］上为减函数，故此时的最小值为f（2）＝4a＋1；
当－a∈（－∞，1），即a>－1时，函数的最小值为f（1）＝2a－2；
当－a∈［1，2］，即－2≤a≤－1时，函数的最小值为f（－a）＝－a2－3.?
【溯源】 二次函数带参求最值常见题型有两类，一是对称轴是定值，给出区间含参不确定，另一类则是对称轴含参不确定，给出区间确定，一般这样的问题都要对区间分轴左、轴右、和轴两边分类讨论，然后利用单调性求解.
●案例5
设函数f（x）在定义域R＋上是单调递减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1，求：f（1）及f（）.
【探究】 这里的函数f（x）没有给出具体的解析式，要求?f（1）?的值，就需要对已知条件f（xy）=f（x）+f（y）中的x、y进行恰当的赋值，于是令x=，y=1，得f（1）=0.
∵f（）=1，∴f（）=2.
【溯源】 函数的单调性反映的是函数值y随自变量x的变化而变化的一种规律.对于抽象函数问题，尽管它没有给出具体的解析式，但我们仍可以通过赋值去把握它，具体赋值时可结合式子不断赋于特殊值，如0、1等.
1.3.2 奇偶性?
1.定义
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数；如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.
函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言的，因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质.
由于任意x和-x均要在定义域内，故奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称.所以，我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.如果其定义域关于原点不对称，那么它没有奇偶性).然后再判断f(-x)与f(x)的关系，从而确定其奇偶性.
2.奇偶性函数的几个性质?
(1)对称性：奇偶函数的定义域关于原点对称；?
(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；?
(3)可逆性：f(-x)=f(x)f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数；?
(4)等价性：f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0；??
(5)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
(6)可分性：根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数.
疑难疏引
（1）判断函数的奇偶性有时可用定义域的等价形式f(-x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)来代替.
（2）存在既奇且偶函数，例如f(x)＝.
当f(-x)与f(x)之间的关系较隐蔽时，容易产生“非奇非偶”的错觉，万万不可草率下结论.
函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性.f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称.
3奇函数和偶函数的判断?
(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.?
(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.?
(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.
(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)＝+.
(5)若f(x)是(-a,a)(a＞0)上的奇函数，则f(0)＝0.?
(6）记忆口诀：
增函数，减函数，函数作差要记住；
正号增，负号减，增减函数很简单.?
往上增，往下减，增减趋势正相反；?
奇函数，偶函数，函数奇偶看f.?
同号偶，异号奇，非奇非偶不离奇.?
对折偶，旋转奇，图象重合在一起.?
疑难疏引 判断奇偶函数的常见方法：?
(1)定义法，先看定义域是否关于原点对称，如y=x2，x∈［－1，1)，既非奇函数又非偶函数.
(2)特值法，起探路及判定否命题等作用，一方面，若f(－1)=f(1)〔f(－1)=－f(1)〕，则f(x)可能是偶(奇)函数.另一方面，若f(－1)≠f(1)〔f(－1)≠－f(1)〕，则f(x)一定不是偶(奇)函数.
(3)和、差法，若f(x)+f(－x)=0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)=0，则f(x)为偶函数.该方法应用的前提是用“特值法”先探路.
(4)比值法，若f(x)／f(－x)=1(或－1)，则f(x)为偶(或奇)函数.?
(5)图象法，可直接根据图象的对称性来判定奇偶性.?
●案例1
已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2－1，求f（x）在R上的表达式.
【探究】 题目已经给出x＞0时的解析式，只要求出x<0和x＝0时的解析式就可以了.f（x）＝x3＋2x2－1.
∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0.?
设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1.
又根据f（x）为奇函数，∴有f（－x）＝－f（x）.
∴－f（x）＝－x3＋2x2－1.?
∴f（x）＝x3－2x2＋1.?
因此，
【溯源】 把最后结果写成f（x）＝x3＋2x2－1和f（x）＝x3－2x2＋1就错了.原因在于没有真正理解分段函数的定义，错把分段函数当成是两个函数.另外，漏掉x＝0也是常见错误.
●案例2
已知f（x）是奇函数，在（－1，1）上是减函数，且满足f（1－a）＋f（1－a2）＜0，求实数a的范围.?
【探究】 要求a的取值范围，先要列出关于a的不等式，这需要根据原条件，然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系.
由f（1－a）＋f（1－a2）＜0，得f（1－a）＜－f（1－a2）.?
∵f（x）是奇函数，∴－f（1－a2）=f（a2－1）.?
于是f（1－a）＜f（a2－1）.?
又由于f（x）在（－1，1）上是减函数，因此解之，得0【溯源】 利用赋值法解题时，特殊值一定要取准.否则将导致解题失败.容易遗漏对每个函数定义域的限定条件的讨论，从而导致解题失误.
1. 证明函数f（x）=x在［0，+∞）上是增函数.?
【思路解析】 判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格证明，需要从单调函数的定义入手.?
【答案】 证明：设x1≥0，x2＞0，且x1＜x2，?
则f（x1）－f（x2）=x1－x2=.
∵0≤x10.
∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）由定义，知f（x）=x在［0，+∞）上是增函数.
2. 判断函数f（x）=－x3＋1在（－∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断；如果x∈（0，＋∞），函数f（x）是增函数还是减函数??
【思路解析】 本题考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性.一般地，若k＞0，f（x）与kf（x）具有一致的单调性；若k＜0，则f（x）与kf（x）的单调性相反；f（x）与f（x）+b具有一致的单调性.从f（x）=－x3＋1?上可直接得出f（x）是减函数，用单调性的定义证明，应注意对差式的变形及分解因式.?
【答案】 f（x）=－x3＋1在（－∞，0）上是减函数，证明如下：
在（－∞，0）上任取x1、x2，且x1＜x2.
∵f（x1）－f（x2）=（－x13＋1）－（－x23＋1）=（x2－x1）（x22＋x1x2＋x12）=（x2－x1）［（x2+）2+x12］，?
又x2－x1＞0，（x2+）2+x12>0，?
∴f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.?
故f（x）=－x3＋1在（－∞，0）上是减函数.?
同理，可证当x∈（0，＋∞）时，函数f（x）仍然是减函数.
3. 函数f(x)=-x2+2x+8，则下列说法正确的是 …( )
A. f(x)是增函数?
B. f(x)在(-∞,1)上是增函数?
C. f(x)是减函数?
D. f(x)在(-∞,1)上是减函数?
【思路解析】 本题是已知函数解析式，确定单调区间的典型题.由于函数f(x)=-x2+2x+8是二次函数，∴在整个定义内不是严格单调函数.在对称轴的两侧是严格单调的.
所以解答此题的关键是确定对称轴.
根据二次函数对称轴的公式x=-可求.
解法一：（综合法）依题意得，函数f(x)=-x2+2x+8的对称轴方程为x=-=1.
又∵二次项系数为-1<0，∴开口方向向下.
∴f(x)在(-∞,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数.因此，选B.
解法二：（数形结合法，图象法）如图所示，便知f(x)在(-∞,1)上是增函数.因此，选B.
【答案】 B
4. 设f（x）、g（x）都是单调函数，下列四个命题中正确的是( )?
①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递增;
②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递增;?
③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递减;?
④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递减.?
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【答案】 C
5. 讨论函数f(x)=(a≠)在(-2,+∞)上的单调性.
【思路解析】 只需按证明函数单调性的步骤进行即可,最后讨论差值的符号.
【答案】 设-2f(x)==a+.
∴Δy=f(x2)-f(x1)?
=(a+)-(a+)
=(1-2a)(-)
=(1-2a)·.
又∵-2∴当1-2a>0，即a<时，Δy<0,即f(x2)当1-2a<0，即a>时，Δy>0,即f(x2)>f(x1).?
∴当a<时，f(x)=在(-2,+∞)上为减函数；
当a>时，f(x)=在(-2,+∞)上为增函数.
6. 已知函数f(x)=2x2-5x-3，求函数y=f(x)的单调区间.
【思路解析】 可利用函数单调性的定义求解，也可利用复合函数的单调性判断法则来求解，复合函数y=f［g(x)］是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集．
【答案】 当x∈［3,+∞)时，函数f(x)=为增函数；
当x∈(-∞,-］时，函数f(x)= 为减函数.
7. 求函数y=x-x-1的值域.?
【答案】 原函数定义域为{x|x≥1}.?
因为y=＝在定义域上是单调减函数，所以函数的值域是(0,1］.
8. 利用单调性求函数y=x－的值域.
【思路解析】 本题考查利用单调性求函数值域.先求出函数的定义域，再判断函数的单调性，最后求值域.?
【答案】 定义域为{x|x≤}，y=x以及y=－1-2x均在（－∞，）上递增，
∴y=x－1-2x在（－∞，）上递增，f（x）≤f（）=.?
∴y=x－1-2x的值域为（－∞，］.
9. 已知二次函数y＝－x2＋2ax＋(a－2)在x∈［－1，2］上有最大值4，求实数a的值.?
【思路解析】 该二次函数的图象开口向下，因而若x∈R，则y＝－(x－a)2＋a2＋a－2,即当x＝a?时，y max＝a2＋a－2,目前规定x∈［1,2］,解题时应分a∈［1,2］以及a＜1,a＞2三种情况讨论（三种情况中最大值的取值均不同）.
【答案】 y＝－x2＋2ax＋(a－2)＝―（x―a）2＋a2＋a－2,?
①若a∈［－1,2］,则当x＝a时，y max＝a2＋a－2,由题意知a2＋a－2=4,而a2＋a－6＝0,a=-3或a＝2,
∵a∈［－1,2］,∴a＝2符合条件.?
②若a＜－1，∵二次函数y＝f(x)在［a,＋∞)上单调递减，即在［－1，2］上单调递减，∴当x＝－1时，y max＝―1,―2a＋a－2＝―a―3,由―a―3＝4，得a＝－7(＜－1),?
∴a＝－7符合条件.
③若a＞2,则二次函数y＝f(x)在［－1,2］上单调递增，∴当x＝2时，y max＝－4＋4a＋a－2＝5a―6.由5a―6＝4得a＝2(≯2),∴此时不存在符合条件的a,综上，符合条件的a的值为2或－7.
10. 已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,若f(-2)=10，求f(2)的值.
【思路解析】 观察函数的解析式可知函数x5,ax3,bx都是奇函数，所以x+ax3+bx也是奇函数，因此可构造一个新的奇函数来求解.
【答案】 构造函数g(x)=f(x)+8，则g(x)=x5+ax3+bx一定是奇函数.?
又∵f(-2)=10，∴g(-2)=18.
11. 若函数y=x2-3x-4的定义域为［0,m］，值域为［-,-4］，则m的取值范围是( )?
A. (0, 4］
B. ［, 4］
C. ［, 3］
D. ［, +∞)
【思路解析】 首先判断二次函数的对称轴，然后根据定义与该函数的增减性判断最值情况. y=x2-3x-4=(x-)2-.?
对称轴为x=,∴m∈［,3］.?
【答案】 ?C?
12. 若函数f(x)在区间（a，b）上为增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数f(x)在区间（a，c）上( )?
A. 必是增函数?
B. 必是减函数?
C. 是增函数或是减函数?
D. 无法确定增减性?
【思路解析】 考查单调性定义，即x=b时可能无定义.?
【答案】 D
13. 下列四个函数中是奇函数的是( )?
A. f(x)=
B. f(x)=x3+x
C. f(x)=x -2+x -1
D. f(x)=2x+1
【思路解析】 判断一个函数是不是奇函数，首先要判断定义域是否关于原点对称，然后再根据已知条件给定的函数解析式用定义法判断f(-x)与-f(x)是否相等，如果相等就是奇函数，如果不相等就不是奇函数.或者画出函数的图象进行判断.
∵A选项的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又∵f(-x)== =f(x)≠-f(x)，∴A不是奇函数；?
∵B的定义域是R，关于原点对称，又∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x)，∴B是奇函数；
∵C的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又∵f(-x)=(-x) -2+(-x) -1=x -2-x -1≠-f(x)，
∴C不是奇函数；?
∵D的定义域关于原点对称，又∵f(-x)=2·(-x)+1=-2x+1≠-f(x)，∴D不是奇函数.因此，选B.
【答案】 B
14. 已知f(x)在R上是奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x；当x<0时，求f(x)的表达式.?
【思路解析】 已知函数的奇偶性和原点右侧的函数解析式，求原点左侧的函数解析式，是函数奇偶性类型题目中比较典型的.其解题思路是：设待求原点左侧的自变量为x，则已知原点右侧的自变量就为-x，代入已知原点右侧的函数解析式，整理便得待求原点左侧的函数解析式.?
【答案】 设x′<0，则-x′>0,∵f(x)在R上是奇函数，?
∴f(-x)=-f(x).?
∴f(-x′)=-f(x′).?
又∵当x≥0时，f(x)=x2-2x，把-x′代入f(x)=x2-2x,得f(-x′)=(-x′)2-2·(-x′)=x′2+2x′=-f(x)，即f(x′)=-x′2-2x′.因此当x<0时，f(x)=-x2-2x.当x=0时，符合题意.
15. 对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·5x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)>0,f(2)=1，
（1）求证：f(x)是偶函数；
（2）f(x)在(0,+∞)上是增函数;
（3）解不等式f(2x2-1)<2．
【思路解析】 本题的中心就是构造，如何利用已知条件构造出f(x)和f(-x)的关系，此题可用特值法.?
【答案】（1）令x1=x2=1，得f(1)=2f(1).∴f(1)=0.?
令x1=x2=-1，得f(-1)=0.
又f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x)，?
∴f(x)是偶函数．
（2）设x2>x1>0，则?
f(x2)-f(x1)?
=f(x1·)-f(x1)
=f(x1)+f()-f(x1)?
=f().?
∵x2>x1>0，∴>1，f()>0，即f(x2)-f(x1)>0.?
∴f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数．
（3）∵f(2)=1，?
∴f(4)=f(2)+f(2)=2.?
∵f(x)是偶函数,?
∴不等式f(2x2-1)<2可化为f(|2x2-1|)又∵函数在(0,+∞)上是增函数，∴|2x2-1|<4.?
解得-即不等式的解集为(-,)．
16. 已知偶函数f(x)在［0，4］上单调递增，那么f(-π)和f(3.1)中较大的一个是 .
【思路解析】 要想比较f(-π)和f(3.1)的大小，最好的是能把它们两个放在同一个单调区间中进行.但是已知条件中并没有给出它们两个是否在一个单调区间，∴要把其中的一个进行转化.由于f(x)是偶函数，∴f(-π)=f(π)，转化成功.?
∵f(x)是偶函数，
∴f(-π)=f(π).
又∵f(x)在［0，4］上单调递增，而π∈［0，4］，3.1∈［0，4］.
又π>3.1，∴f(π)>f(3.1).
因此f(-π)>f(3.1).
故较大的是f(-π).
【答案】 f(-π)
3.1 函数与方程
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３．１．１方程的根与函数的零点?
1．函数零点的概念?
对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的实数 x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点．
2.函数零点的意义
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与 x轴有交点函数y=f(x)有零点．
３．函数零点存在的条件
如果函数f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(x)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
4．函数零点的求法
求函数y=f(x)的零点：?
（1）代数法：求方程f(x)=0的解；?
（2）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数性质找出零点．
5.函数零点的意义
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
即方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点．
●案例1函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是( )?
A. (1, 2)
B. (2, 3)
C. (, 1)和（3,4）
D. (e, +∞)
【探究】 从已知的区间（a, b），求f(a)、f(b),判别是否有f(a)·f(b)<0.
∵f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0，
∴在(1,2)内f(x)无零点，所以A不对.?
又f(3)=ln3->0，?
∴f(2)·f（3）<0.
∴f(x)在(2,3)内有一个零点.?
【答案】 B?
【溯源】 这是最基本的题型，所用的方法是基本方法：只要判断区间［a, b］的端点值的乘积是否有f(a)f(b)<0；若问题改成：指出函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间，则需取区间［a, b］使f(a)f(b)<0.
●案例2 二次函数y=ax2+bx+c中，a·c<0，则函数的零点个数是( )?
A. 1
B. 2
C. 0
D. 无法确定
【探究】 ∵c=f(0),∴ac=af(0)<0,即a与f(0)异号,即或
∴函数必有两个零点.
【答案】 B?
【溯源】 判断二次函数f(x)的零点的个数，就是判断一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的个数，一般地由判别式Δ>0、Δ=0、Δ<0完成.对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点，则要结合二次函数的图象进行.
6. 二次函数的图象与性质
（1）定义:函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数.它的定义域为R.?
（2）二次函数具有如下一些主要性质:?
y=ax2+bx+c(a≠0)?
=a(x+)2+
=a(x-h)2+k.
其中h=-,k=.
函数的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是(h, k),抛物线的对称轴是直线x=h;
当a>0时,抛物线开口向上,函数在x=h处取得最小值k=f(h);在区间(-∞,h］上是减函数,在［h,+∞)上是增函数.
当a<0时,抛物线开口向下,函数在x=h处取得最大值k=f(h);在区间(-∞,h］上是增函数,在［h,+∞)上是减函数.
（3）二次函数的三种常用解析式：?
①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0).?
②顶点式：y=a(x-h) 2+k(a≠0),其中（h, k)为顶点坐标.
③标根式：f(x)=a(x-α)(x-β)(a≠0),其中α和β是方程f(x)=0的根.?
疑难疏引 于二次方程的根的分布问题，画出图象后，根据二次函数相应特征列不等式（组），往往比直接求出根后根据其所在区间列不等式更简便.一元二次方程根的分布有如下几种情况：
根的分布
x1kx1图象
充要条件
f(k)<0
根的分布
x1、x2∈(k1,k2)
k1在(k1,k2)内有且仅有一根
图象
充要条件
f(k1)f(k2)<0或者Δ=0且?∈(k1,k2)
3．1．2用二分法求方程的近似解
1.二分法的定义
对于在区间[a, b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法.
2.二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
（1）确定区间 ［a, b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε.?
（2）求区间(a, b)的中点 x1.?
（3）计算f(x1).若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；若f(a)·f(x1)<0，则取区间(a,x1)（此时零点 x0∈(a,x1)）；若f(x1)·f(b)<0，则取区间(x1,b)（此时零点x0∈(x1,b)）.?
（4）判断是否达到精度ε,即若 |a-b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤(2)～(4).
3.借助于函数方程思想用二分法求方程的近似解的意义?
解方程是我们在数学学习过程中经常遇到的问题.但平时我们所解的方程都是代数方程，即整式方程、分式方程和无理方程，而对于含有指数和对数的方程，我们也只解一些极为特殊的，对于大部分含有指数和对数的方程是很难用代数方法来解的，例如，对于方程lgx=3－x，我们要求出它的解比较困难，但我们可以用二分法求出它的近似解.
记忆口诀：
函数连续值两端，相乘为负有零点，?
区间之内有一数，方程成立很显然.?
要求方程近似解，先看零点的区间，?
每次区间分为二，分后两端近零点.?
●案例 某电器公司生产A种型号的家庭电脑.1996年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.求
（1）2000年每台电脑的生产成本；
（2）以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996～2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）.
【探究】 第（1）问是价格和利润的问题，销售总利润可以按每台来算,也可以按实现50%的利润来算，从而找出等量关系；第（2）问是增长率问题，要注意列出方程后，用二分法求解，但应用二分法时注意合理使用计算器.
（1）设2000年每台电脑的成本为p元，根据题意，得
p（1+50%）=5 000×（1+20%）×80%，解得p＝3 200（元）.?
故2000年每台电脑的生产成本为3200元.
（2）设1996～2000年间每年平均生产成本降低的百分率为x，根据题意，得
5000（1－x）4=3200（0＜x＜1）.
令f（x）=5 000（1－x）4－3 200，作出x、f（x）的对应值表，如下表:
x
0
0.15
0.3
0.45
0.6
0.75
0.9
1.05
F(x)
1800
-590
-2000
-2742
-3072
-3180
-3200
-3200
观察上表，可知f（0）·f（0.15）＜0，说明此函数在区间（0，0.15）内有零点x 0.
取区间（0，0.15）的中点x 1=0.075，用计算器可算得f（0.075）≈460.因为f（0.075）·?f（0.15）＜0，所以x 0∈（0.075，0.15）.
再取（0.075，0.15）的中点x 2=0.112 5，用计算器可算得f（0.112 5）≈－98.因为
f（0.075）·f（0.112 5）＜0，所以x 0∈（0.075，0.112 5）.
同理，可得x 0∈（0.009 375，0.112 5），x 0∈（0.103 125，0.112 5），x 0∈（0.103 125，0.107 812 5），x 0∈（0.105 468 75，0.107 812 5）.
由于|0.107 812 5－0.105 468 75|＝0.002 343 75＜0.01，此时区间（0.105 468 75，0.107 812 5）的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精确到0.01的近似解为0.11.
1996～2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.
【溯源】 降低成本提高效率的问题应注意：成本+利润＝出厂价；利润＝成本×利润率.熟悉二分法的解题步骤，虽然比较繁杂，但是可以体会到“逐步逼近”的数学思想.
活学巧用
1. 判断方程logx=x的根的个数.
【思路解析】 在同一坐标系内作出函数f（x）=logx和g（x）=x的图象,如下图所示，通过比较函数的增长速度，利用函数图象交点的个数，求得方程解的个数.?
【答案】 f（1）=0，f（）=1，?f（）=2，f（）=4.
g（1）=1，g（）=，g（）=，g（）=.
f［（）12］=12，f［（）14］=14.
g［（）12］=（）6≈11.39，g［（）14］=（）7≈17.09.
通过计算（用计算器），可知在区间［,］和区间［(）12，（）14］内，函数图象各有一个交点，从而方程在两个区间内各有一个根.
2. 利用函数的图象，指出函数f（x）=2x·ln（x－2）－3零点所在的大致区间.?
【思路解析】 首先对x取值来寻找y值的符号，然后判断零点所在的大致区间.?
【解】 用计算器或计算机作出x、f（x）的对应值表（如下表）.
x
2.5
3
3.4
4
4.5
5
f(x)
-6.4657
-3
-0.1617
2.5452
5.2466
7.9861
由上表和上图可知该函数零点的大致区间为[3, 4]
3. 求函数f（x）=2x 3－3x+1零点的个数.?
【思路解析】 先用计算机或计算器作出f（x）的对应值表，然后根据函数零点的判定方法来判定函数的零点.
【解】 用计算器或计算机作出x、f（x）的对应值表（如下表）和图象（如下图).
X
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
F(x)
-1.25
2
2.25
1
-0.25
0
3.25
由上表和上图可知，f（－1.5）＜0，f（－1）＞0，即f（－1.5）·f（－1）＜0，说明这个函数在区间（－1.5，－1）内有零点.同理，它在区间（0，0.5）内也有零点.另外，f（1）=0，所以1也是它的零点.由于函数f（x）在定义域（－∞，－1.5）和（1，+∞）内是增函数，所以它共有3个零点.
4. 已知二次函数f(x)=ax2+(a2+b)x+ c的图象开口向上，且f(0)=1，f(1)=0，则实数b的取值范围是( )
A. (-∞, - ］
B. ［-, 0)
C. ［0, +∞)
D. (-∞,-1)
【思路解析】 考察二次函数图象的特点,依题意得
整理得a2+a+b+1=0，解得a=.
∵图象开口向上，∴ a>0，?
∴a=>0.解得b<-1.?
∵二次函数
f(x)=ax2+(a2+b)x+ c的图象过点（0，1）和点（1，0），又∵图象开口向上，
∴点（0，1）必须在抛物线对称轴的左侧，即抛
物线的对称轴在点（0，1）的右侧，即y轴的右侧，即 x=->0，
∴ a2+b<0,当b<-1时，a2+b<0恒成立.
∴ b<-1.因此，选D
【答案】 D
5. 若方程x2+(m-3)x+ m=0两个根都小于1，求m的范围.?
【思路解析】 画出图象，根据图象特征，可列出不等式组，从而得出结论.?
【解】 令f(x)=x2+(m-3)x+m，
则{m|m≥9}.
6. (2005全国,19)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为（1，3）.
（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式.
（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.
【思路解析】 此题考查二次函数解析式求法以及最大值的求法.?
【答案】 （1）f(x)=-x2-x-.
（2）(-∞,-2-)∪(-2+,0).
7. 求方程lnx+x-3=0在（2，3）内的根（精确到0.1）.?
【分析】 用二分法求解.?
【解】 令f(x)=lnx+x-3，即求函数f(x)=0在（2，3）内的零点.?
∵f(2)=ln2-1<0,?f(3)=ln3>0,
∴可取（2，3）作为初始区间，用二分法列表如下：
中点
端点或中点函数值
取区间
f（2）<0,f(3)>0
(2,3)
2.5
f(2.5)>0
（2，2.5）
2.25
f(2.25)>0
（2，2.25）
2.125
f(2.125)<0
（2.125，2.25）
2.1875
f(2.187 5)<0
（2.187 5，2.25）
2.21875
f(2.218 75)>0
（2.187 5，2.218 75）
2.187 5≈2.2,2.218 75≈2.2,?
∴所求方程的根为2.2（精确到0.1）.?
8. 国家购买某种农产品的价格为120元/担，其中征税标准为100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8%），计划可收购m万担.为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点.
（1）写出税收f（x）（万元）与x的函数关系式；?
（2）要使此项税收在税率调节后达到计划的78%，试求此时x的值.?
【思路解析】 第（1）问这样考虑：调节税率后税率为（8－x）%，预计可收购m（1+2x%）万担，总金额为120m（1+2x%）万元，从而列出函数表达式.
【解】 （1）由题设，调节税率后税率为（8－x）%，预计可收购m（1+2x%）万担，总金额为120m（1+2x%）万元.f（x）=120m（1+2x%）（8－x）%，
即f（x）=－（x 2+42x－400）（0＜x≤8）.
（2）计划税收为120m·8?%?万元，由题设，有f（x）=120m·8%·78%，
即x 2+42x－88=0（0＜x≤8)，解得x=2.?
9. 求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.01）.?
【思路解析】 利用二分法.?
【解】 原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，并结合y=2x与y=-3x+7的图象知方程f(x)=0只有一解.计算
f(1)=2+3-7<0,f(2)=22+3×2-7=3×2-7+4=3，可知x0∈(1,2).取区间（1，2）
的中点x1=1.5，用计算器可得f(1.5)≈0.33>0；再取（1，1.5）的中点x2=1.25，
f(1.25)≈-0.87<0.?
∵f(1.25)f(1.5)<0,?
∴x0∈(1.25).
同理可求得x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.437 5)，此时区间端点精确到0.1的近似值都是1.4.∴原方程的精确到0.1的近似解为1.4.
3.2 函数模型应用举例
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一、函数的应用?
1.数学建模的地位和作用?
数学来源于生活，又服务于生活.在生活中的形形色色的数据处理需要数学模型，对于事物的发展和预测也离不开数学模型的建立，所以数学建模是提出问题和解决问题的必由之路.
掌握函数的基础知识是学好本节的前提.例如函数概念、指数函数和性质、对数函数和性质.反过来，通过函数建模的学习，又能加深对上述知识的理解和认识，还能提高同学们学习数学的积极性.?
在实际建模过程中，要学会化整为零，分步骤、有层次地完成，要求掌握计算器的使用.
2.数学模型的种类
第一类是以数学课本上的知识为探究内容.如利用图形计算器展现数学知识的形成过程、知识的应用过程.?
第二类探究的内容来源于物理、化学等学科.主要是利用?CBL?（基于图形计算器的掌上实验室）和各种探讨开展物理和化学实验，对物理现象和化学反应进行观察、收集数据、处理数据，完成定性和定量的分析.?
第三类探究的内容主要来源于生活，是那些看似与数学无关或与数学有关但关系不明显的问题.如节约能源（怎样烧开一壶水更省天然气）、储蓄问题（怎样存钱能获得更多利息）、绿化问题（控制栽树和伐树的比例保护环境）、生态问题（草食动物和肉食动物的平衡）等等，这样的问题可以由我们自己发现和提出，也可以由老师提供原始材料，我们对材料进行筛选、组织，选取关键的特征和关系，用数学的语言表达，建立数学模型，利用图形,计算器对数学模型处理，从而解决问题.
3.数学应用题的求解策略
“数学建模”是解决数学应用题的重要方法,解应用题的一般步骤:?
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.?
(2)建模:将文字语言转化成数学语言.?
(3)求模:求解数学模型,得到数学结论.?
(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
4.常见的数学模型有哪些？
探究思路：利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的.具体函数的运用在生活中有很多体现，在学习完函数这部分内容以后，重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数和幂函数来解决问题.下面是几种常见的数学模型：
（1）平均增长率问题：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值或产量y=N（1+p）x.
（2）储蓄中的复利问题：如果本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，则y=a（1+r）x.
（3）根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系，灌溉渠的横截面面积A和水深h的函数关系.?
（4）通过观察、实验建立的函数关系，如自由落体的距离公式等.?
我们在前面已经学习了有关一次函数、二次函数在具体实际中的应用,现在学习有关指数函数和对数函数在实际中的应用.
二、指数函数的应用
●案例1某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n万元（需扣除技术改造资金），求A n、B n的表达式；(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年.进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？?
【探究】 (1)A n、B n是年数n的函数，又由于A n、B n都是“累计纯利润”，∴要分别进行数列求和.
(2)实际上就是求B n－A n>0时n的最小值.
【解】 (1)依题设，A n=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n 2；
B n=500[(1+)(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.
(2)B n－A n=(500n－－100)－(490n－10n 2)=10n2+10n－－100=10[n(n+1)－-10].
∵函数y=n(n+1)－－10在（0，+∞）上为增函数，?
当1≤n≤3时，n(n+1)－－10≤12－－10<0；?
当n≥4时，n(n+1)－－10≥20－－10>0.?
∴仅当n≥4时，B n>A n.
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术发行的累计纯利润.【溯源】 与指数函数相关的应用问题较多，如平均增长率等问题，遇到类似问题时，应能主动调动指数函数相关知识来解决.
三、对数函数的应用
●案例2 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表.已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过10 8的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．
天数t
病毒细胞总数N
1
2
3
4
5
6
7
…
1
2
4
8
16
32
64
…
（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）
（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）
（已知lg2=0.3010）
【探究】 (1)关键是病毒细胞总数与天数的函数关系式写出来——这要从所给的表中搜索.（2）关键是求出（1）之后小白鼠的体内还剩余多少病毒细胞.?
【解】 （1）由题意,病毒细胞关于时间n的函数为y=2 n-1≤108,则由2 n-1≤108，两边取对数得 (n-1)lg2≤8,n≤27.5，即第一次最迟应在第27天注射该种药物.?
（2）由题意,注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为2 26×2%，
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为2 26×2%×2x,
由题意2 26×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2+lg2-2+xlg2≤8,得x≤6.2,
故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．
【溯源】 对数函数在求解指数方程时有着无比神奇的效果，经常是根据题意列出指数函数，再根据题意将指数函数转化为指数方程或不等式，然后两边取对数，即求解指数方程的解或指数不等式的解集.
四、分段函数的应用?
●案例3某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游.甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折（即按全票价的60%收费）优惠.”若全票价为240元,?
（1）设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）.
（2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样??
（3）就学生数x讨论哪家旅行社更优惠.?
【探究】 （1）y甲=120x+240，y乙=240·60%（x+1）=144x+144.
（2）根据题意，得120x+240=144x+144，解得x=4.?
∴当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多.?
（3）当y甲＞y乙时，120x+240＞144x+144，解得x＜4；?
当y甲＜y乙时，120x+240＜144x+144，解得x＞4.?
∴当学生人数少于4人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠.
【溯源】 信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等??
五、二次函数模型的应用
●案例4某工厂生产某产品x吨所需费用P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P=1 000+5x+x2,Q=a+，若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a、b的值.?
【探究】 利润=销售收入-生产费用（即成本）.?
设利润为y元，则
y=Qx-P=ax+-1 000-5x-x2?
=(-)x2+(a-5)x-1 000，
依题意得化简得解得
【溯源】 有些应用题已给出问题的基本数学模型，或一部分数学模型，还有一部分要求自己建模，这就需要进一步分析相等关系，这种题型文字叙述相对较少，可以加大计算推理能力的要求，是高考的常考题型.
活学巧用
1. 某区域截止2006年底已经全部完成退耕还林总面积1万亩.为进一步改善生态环境，加强绿色区域建设，从2007年起开始退耕还湖128亩，随后每年的退耕还湖面积比上一年增加50%，试问：
(1)该区域在2013年应该退耕还湖面积为多少亩？?
(2)到哪一年底，该区域退耕还湖的全面积开始超过该区域退耕面积总量的？
【解】 (1)该区域逐年退耕还湖面积组成等比数列{an}，其中a1=128,q=1.5,?
则在2013年应该退耕还湖面积为a7=a1·q6=128×1.56=1 458（亩）.
(2)记Sn=a1+a2+…+an，依据题意，得>.于是Sn= >5 000（亩），即1.5n>，则有n≈7.5,因此n≥8.∴到2014年底，该区域退耕还湖的全面积开始超过该区域退耕面积总量的.
2. 农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2005年某偏远地区农民人均收入为3 150元(其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元), 预计该地区自2006年起的5 年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元.根据以上数据，2010年该地区农民人均收入介于( )?
A． 4 200元～4 400元
B． 4 400元～4 600元
C． 4 600元～4 800元
D． 4 800元～5 000元
【思路解析】 设2010年该地区农民人均收入为x元，根据题意，得x=1 800(1+6%)5+1 350+160×5=1 800×1.065+2 150≈4 558.8，因此，选B.
【答案】 B
3. 某工厂2006年生产一种产品2万件，计划从2007年开始每年的产量比上一年增长20%．则这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件时是年．
(已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)( )?
A. 2015
B. 2016
C. 2017
D. 2018
【思路解析】 此题是平均增长率问题的变式考题，哪一年的年产量超过12万件，其实就是求在2006年的基础上再过多少年的年产量大于12万件，即求经过多少年.?
设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件,根据题意，得 2(1+20%)n>12,即?1.2n>6，两边取对数，得 nlg1.2>lg6，
∴ n> = =.?∴n=10.
∴ 即2006+10=2016（年）.因此，选B.
【答案】 B?
4. 某县计划十年内产值翻两番，则产值平均每年增长的百分率为.（lg2=0.301 0，lg11.49=1.060 2）
【思路解析】 设产值平均年增长率为x，则（1+x）10=4.?
两边同取以10为底的对数得10lg（1+x）=2lg2.
∴lg（1+x）= =0.060 2.
∴1+x=10 0.060 2.?
又∵?lg11.49=1.060 2，?
∴11.49=10 1.060 2=10·10 0.0602.∴10 0.060 2=1.149.?
因此1+x=1.149，x=0.149=14.9%.
【答案】 14.9%?
5. 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱.?
【解】 本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：
设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．
数量（份）
价格（元）
金额（元）
买进
30x
0.20
6x
卖出
20x＋10×250
0.30
6x＋750
退回
10（x－250）
0.08
0.8x－200
则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）,
y在x∈［250，400］上是一次函数,
∴x＝400时，y取得最大值870元．
答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元.
6. 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量，y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=a·bx+ c(a、b、c为常数)已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由.?
【解】 设二次函数为y=px2+qx+r,由已知得
解之,得
所以y=-0.05x2+0.35x+0.7.当x=4时，y1=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3.
又对函数y=a·bx+ c,由已知得解之,得
∴y=-0.8×()x+1.4,当x=4时，y=-0.8×()4+1.4=1.35.
根据四月份的实际产量为1.37万元，而|y2-1.37|=0.02<0.07=|y1-1.37|.
所以函数y=-·()x+作模拟函数较好
7. 某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是( )
【思路解析】 由于d 0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A、C选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D．?
【答案】 D?
8. 如下图所示，点Ｐ在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点Ｐ沿着A—B—C—M运动时，以点Ｐ经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是( )?
【思路解析】 本题主要考查求分段函数的解析式，如图所示，
当0≤x≤1时，y＝·x·1＝x；?
当1＜x≤2时，y＝1－（x－1）－（2－x）－＝－x＋；
当2＜x≤2.5时，y＝（－x）×1＝－x．?
则y＝
图形为A.
【答案】 A?
2.1 指数函数
互动课堂
疏导引导
2.1.1 指数与指数幂的运算?
1.根式?
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N *.当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号-表示,方根可以合并成± (a>0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n0=0.
式子叫做根式,n叫根指数,a叫做被开方数.?
结论:当n是奇数时, =a;
当n是偶数时, =|a|=
疑难疏引 在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x 3=a,那么x就叫a的立方根.如此类推,我们便得出了n次实数方根的定义:如果x n=a(n∈N且n>1),那么x就叫a的n次方根.
2.分数指数幂?
正数的分数指数幂的意义:?
规定:a=(a>0,m、n∈N *,n>1);
a-= = (a>0,m、n∈N *,n>1).
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义;指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.?
疑难疏引
(1)当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.?
除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.?
(2)指数幂与根式运算的统一性.?
指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数,根式化为分数指数幂,结果要化为最简形式.在最简结果中,不能既有根式又有分数指数幂的形式,同时,也不能出现既有指数幂又有根式的形式.
(3)有理指数幂的运算性质的记忆口诀.?
①a r·a s=a r+ s
同底两数作乘法,底数不变指数加.?
②(a r) s=a r s
幂的乘方要记明,底数不变指数乘.?
③(ab) r=a r b r
积的乘方大不同,变为幂后再相乘.
3.有理指数幂的运算性质?
(1)a r·a s=a r+ s(a>0,r、s∈Q);?
(2)(a r) s=a rs(a>0,r、s∈Q);?
(3)(ab) r=a r b r(a>0,b>0,r∈Q).
4.无理指数幂
一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
●案例1化简:?
(1);
(2)-(|x||y|)
【探究】 对题(1),要化简的式子中有根式及幂式,可将根式化成幂式后进行幂的运算;对题(2),要化简的式子中全是指数式的运算,注意运用乘法公式使其分子分母能够产生公因式,从而可通过约分化简.?
(1)
=［xy 2(xy) 3］
=［xy 2xy］
=(xy)
=xy
=y.
(2) -=-.
∵|x|≠|y|,?
∴原式=(x-)2-x-y-+(y-)2-(x-+x-y-+y-)=-2x-y-=-.
【溯源】 对多个根式组成的式子进行化简.我们解题的一般原则是先算根号内的,后进行根式运算.进行根式、分数指数幂的乘、除、乘方、开方等混合运算时,一般是先将根式化成分数指数幂,按指数运算法则计算比较简洁;对根式、分数指数幂的混合运算,最后结果一般用最简根式表示;在指数式的运算中,要注意乘法公式的相应形式,注意灵活运用乘法公式进行化简.
●案例2 已知a=-,b=,求的值.
【探究】 由于此题式子结构复杂,先根据公式化简然后代入求值.?
∵a≠0,
∴原式=.
又∵a-27b≠0,
∴原式=
【溯源】 化简、求值一类问题,往往是先将被求代数式化简,然后再代入已知字母的值,求得代数式的值.首先应化简被求式,遇到小数应化成分数;遇到指数是负数,可以对调底数的分子和分母,将负指数化为正指数.
2.1.2 指数函数及其性质?
1.定义?
一般地,函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数.它的定义域为R.?
疑难疏引 (1)指数函数的解析式y=ax中,ax的系数是1.有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如y=ax+ k(a>0且a≠1,k∈Z);有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如y=a -x(a>0,且a≠1),因为它可以化为y=,其中>0,且≠1.
(2)在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a>0且a≠1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.?
①若a=0,当x>0时,a x=0,当x≤0时,a x没有意义;?
②若a<0,如y=(-2) x对于x=、等都是没有意义的;?
③若a=1,则函数为y=1 x=1是一个常数函数,它的性质没有研究的必要,且不具有单调性.
2.性质?
y=a x
图象
0a>1时的图象
性质
(1)定义域为R,值域为(0,+∞)
(2)a 0=1,即x=0时,y=1,图象都经过(0,1)点
(3)ax=a,即x=1时,y等于底数a,图象都经过(1,a)点
(4)在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数
(5)x<0时,a x>1;x>0时,0x<0时,00时,a x>1
(6)既不是奇函数,也不是偶函数
3.单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x轴是函数图象的渐近线.
当01时,x→-∞,y→0;?
当a>1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快;?
当0记忆口诀:?
指数增减要看清,抓住底数不放松,?
反正底数大于0,不等于1已表明;?
底数若是大于1,图象从下往上增;?
底数0到1之间,图象从上往下减.?
无论函数增和减,图象都过(0,1)点.?
●案例1如何判断三个数1.5 -0.2,1.3 0.7,()的大小关系？?
【探究】 先比较1.5 -0.2即()0.2和()的大小,考察指数函数y=() x,由于底数在区间(0,1)内,所以指数函数y=() x在(-∞,+∞)上是减函数.故由0.2= <,得1>()0.2>().?
另一方面,由于1.3>1,y=1.3 x在?(-∞,+∞)上是增函数,由0.7>0,得1.3 0.7>1.所以?()<1.5 -0.2<1.3 0.7.于是()<1.5 -0.2<1.3 0.7.?
【溯源】 在进行数的大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数的性质得出结果.若底数不相同,则首先考虑能否化成同底数,然后根据指数函数的性质得出结果;不能化成同底数的,要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果.总之比较时要尽量转化成同底的形式,根据指数函数的单调性进行判断.
●案例2求下列函数的定义域与值域:?
(1)y=2;
(2)y=() |x|;?
(3)y=4 x+2 x+1+1;
(4)y=2.
【探究】 (1)因为指数函数y=2 x的定义域为x∈R时,值域为y∈(0,+∞);若x≠0,则y≠1;由于y=2中的≠0,所以y≠2 0=1.所以所求函数的定义域是{x|x∈R且x≠3},值域为{y|y>0且y≠1}.
(2)因为y=() |x|中的|x|≥0,所以x∈R,0(3)将已知函数整理成y=4 x+2 x+1+1=(2 x) 2+2(2 x)+1=(2 x+1) 2.由此可知定义域为R,值域为{y| y>1}.
(4)已知函数可化为y=2,由≥0,得x>1;又由>0,得y=2>1.所以定义域为{x| x>1},值域为{y| y>1}.
【溯源】
求自然定义域的问题,即要求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合);求值域的问题均为复合函数的值域问题,而求复合函数值域的一般步骤是先求出定义域,然后求出内层函数的值域,由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域,即是复合函数的值域.?
●案例3
某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半(结果保留1个有效数字).
【探究】
通过恰当假设,将剩留量y表示成经过年数x的函数,并列表、描点、作图,进而求得所求.
设这种物质最初的质量是1,经过x年,剩留量是y.?
经过1年,剩留量y=1×84%=0.84;?
经过2年,剩留量y=1×84%×84%=0.71;
……
一般地,经过x年,剩留量y=0.84x.?
根据这个函数关系式可以列表如下:
x
0
1
2
3
4
5
6
y
1
0.84
0.71
0.59
0.50
0.42
0.35
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需x≈4.?
答:约经过4年,剩留量是原来的一半.?
【溯源】
在解决实际应用问题时,首先判断函数模型,再根据函数性质和图象解决问题,此题就是指数函数图象的应用,也是数形结合思想的体现.?
●案例4
讨论函数y=() x-() x+1(x∈［-3,2］)的单调区间,并求出它的值域.?
【探究】
通过代换u=() x,则y就成了关于u的二次函数.?
令u=() x,则y=u 2-u+1=(u-) 2+.?
∵x∈［-3,2］,∴≤u=() x≤8.
∴≤y≤57.
∴值域为［,57］.再求单调区间.?
(1) ≤u≤,即≤()x≤,故x∈［1,2］时,u=() x是单调减函数,y=(u-) 2+是单调减函数,∴y=［()x-］2+是单调增函数.
(2) ≤u≤8,即≤()x≤8,故x∈［-3,1］时,u=() x是单调减函数,y=(u-) 2+是单调增函数,∴y=［()x-］2+是单调减函数.
∴函数的单调增区间是［1,2］,单调减区间是［-3,1］.?
【溯源】
在解决指数和其他函数相复合构成的新函数的性质问题时,一般采取换元的做法,无论是求值域还是单调性,都要注意内层函数的取值范围和对指数底的讨论,在解决单调性问题时,要记清复合函数单调性的规律,即“内外层单调性相同,则函数在此区间上递增,如果内外层单调性相反,则此函数在此区间上递减”.
活学巧用
1. 计算下列各式.?
(1);
(2)(2) 0+2 -2·(2)-(0.01) 0.5.
【思路解析】 第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小题将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数.?
(1)【解法一】 = = = =(9) =9 =3.
【解法二】=====3
(2)【解】 (2) 0+2 -2·(2)- -(0.01) 0.5
=1+×()-()=1+×-=.
2. 计算:?
(1)();
(2)0.008;
(3)();
(4)(2a+1) 0;
(5)［-() -1］-1.
【思路解析】 在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂的形式时〔如(1)(2)(3)〕,就先把幂的底数写成幂的形式,再进行幂的乘、除、乘方、开方运算,这样比较简便.
在幂的运算中,对于形如m 0的式子,要注意对底数m是否为零进行讨论,因为只有在m≠0时,m 0才有意义;而对于形如()-n的式子,我们一般是先变形为()n,然后再进行运算.
【答案】(1)()-=()= = =.
(2)0.008=(0.2 3) =0.2 -2=() -2=5 2=25.
(3)()=()-===.
(4)(2a+1) 0=1, a≠-,无意义,a=-.
(5)［-() -1］-1
=(-) -1
=(-) -1
=-.
3. 把根式-25(a-b) -2改写成分数指数幂的形式为… ( )?
A.-2(a-b)-
B.-2(a-b)-
C.-2(a- -b-)
D.-2(a--b-)
【思路解析】 考查根式与分数指数幂的转化.原式可化为-2×(a-b) -=-2(a-b) -.故选A.
【答案】 A
4. 化简下列各式:?
(1)(x -1+x+ x 0)(x--x);
(2);
(3).
【思路解析】
注意题中各式的结构特点,善于识别平方差、立方差等公式.?
【答案】
(1)原式=(x) 3-(x) 3=x-x.
(2)原式=-=
(x-)2-x-y-+(y-)2-[((x-)2-x-y-+(y-)2)]=2(xy)-=-2.
(3)原式=.
5. 下列各等式中,正确的是( )?
A. =a
B. =
C.a0=1?
D. =(-1)
【思路解析】
要想判断等式是否正确,首先要使等式两边都有意义,然后计算两边的值,如果相等则正确,如果不等,则不正确,在计算时要充分应用幂的运算法则.?
【解】=|a|,由于不知道a的符号,因此A不正确;?
∵,<0,
∴≠.
因此B不正确;?
如果a=0,则a0没有意义,因此C也不正确;?
∵>1,∴=(-1)=(-1).?
∴D正确.因此,选D.
【答案】 D
6. 已知a +a- =2,求下列各式的值.?
(1) a2 +a -2;
(2) a3 +a -3;
(3) a4 +a -4.
【思路解析】 本题主要考查的是已知条件与所求式子之间的联系.由(a+a-)2=a+ a -1+2=4可知a+ a -1=2.
同理可知
(a+ a -1)2=a2+a -2+2,?
(a2+a -2)2=a4+a -4+2.?
【答案】
(1)2;(2)2;(3)2.
7. 已知x+x =3,求x+ x -1与的值.?
【思路解析】
由(x+x)2=9,
可得x+ x -1=7.?
∵(x+x)3=27,?
∴x+3x·x +3xx -1+x-=27.
∴x+ x-=18.?
故原式=2.
8. 关于函数(1)y=x2和(2)y=2x的下列说法正确的是( )?
A. (1)和(2)都是指数函数?
B. (1)和(2)都不是指数函数?
C. (1)是指数函数,(2)不是?
D. (2)是指数函数,(1)不是?
【思路解析】
由指数函数特征知(1)不是,(2)是.?
【答案】 D
9. 已知对不同的a值,函数f(x)=2+a x-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则P点的坐标是( )
A. (0, 3)
B. (0, 2)
C. (1, 3)
D. (1, 2)
【思路解析】
函数图象过定点,则函数解析式中含有待定系数(也叫参数)的“项”或“部分表达式”一定为常数,本题要想使a x-1为常数,又∵a取不同的值,因此x-1=0.从而得解.
为使y为定值,应使x-1=0,则此时y=2+a0=3,故P点坐标为(1,3).
因此,选C.
【答案】 C
10. 设y 1=4 0.9,y 2=8 0.44,y 3=() -1.5,则( )?
A. y 3?>y 1?>y 2
B. y 2?>y 1?>y 3
C. y 1?>y 2?>y 3
D. y 1?>y 3?>y 2
【思路解析】 把给出的三个函数化为同底的指数式,y 1=2 1.8,y 2=2 1.32,y 3=2 1.5,再根据指数函数y=2 x是增函数即可判断y 1>y 3>y 2.?
【答案】 D
11. 当x>0时,函数f(x)=(a 2-1) x的值总大于1,则实数a的取值范围是( )?
A. 1<|a|<2
B. |a|<1
C. |a|>1
D. |a|>2
【思路解析】 由指数函数的性质可知f(x)在(0,+∞)上是递增函数,所以a 2-1>1,a 2>2,|a|>2.
【答案】 D
12. 函数y=3 (x2+1)的值域为.?
【思路解析】 考查指数函数的性质、函数值域的求法.?
由于x 2+1≥1,而y=3 x在(-∞,+∞)?上是增函数,所以y=3 x2+1≥3,即y=3 x2+1的值域为［3,+∞).
【答案】 ［3,+∞)
13. 求函数y=f(x)=() x-() x+1,x∈［-3,2］的值域.?
【思路解析】 将()x看作一个未知量t,把原函数转化为关于t的二次函数求解.?
【答案】
∵f(x)=［()x］2-() x+1,x∈［-3,2］,?
∴()2≤()x≤()-3,即≤()x≤8.
设t=() x,则≤t≤8.?
将函数化为f(t)=t 2-t+1,t∈［,8］.?
∵f(t)=(t-) 2+,
∴f()≤f(t)≤f(8).?
∴≤f(t)≤57.
∴函数的值域为［,57］.
14. 曲线C 1、C 2、C 3、C 4分别是指数函数y=a x、y=b x、y=c x和y=d x的图象,则a, b, c, d与1的大小关系是( )?
A. aB. aC. bD. b【思路解析】
首先可以根据指数函数单调性,确定c>1,d>1,0【答案】 D
15. 函数f(x)=(a 2-1) x是减函数,则a的取值范围是_____________.?
【思路解析】 如果此函数是减函数则00,a2-1<1.
解得a∈(-2, -1)∪(1,2).?
【答案】 (-2,-1)∪(1,2)
16. 下图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=a t,有以下叙述,其中正确的是… ( )
①这个指数函数的底数为2?
②第5个月时,浮萍面积就会超过30 m2
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月?
④浮萍每月增加的面积都相等
⑤若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3,则t 1+t 2=t 3
A.①②
B.①②③④?
C.②③④⑤
D.①②⑤?
【思路解析】 本题综合考查学生的识图能力及指数函数的性质.
由图形得函数解析式应为y=2 x(x≥0).?
【答案】 D
17. 求函数y=a -x2+2x+2(a>0,且a≠1)的单调区间和值域.?
【思路解析】
本题是一个复合函数,而且还有未知参数,因此首先要分类讨论,但是在分类讨论之前还要对指数部分的二次函数进行分析判断,在二次函数的单调区间中分类讨论未知参数以确定函数的单调区间和值域.?
【解】
y=a -x2+2x+2=a -(x-1)2+3.?
令t=g(x)=-(x-1)2+3,t在区间(-∞,1］上递增,在区间［1,+∞)上递减.?
y=f(t)=a t=f［g(x)］.?
当a>1时,y=f(t)=a t递增,??
∴y=f［g(x)］在区间(-∞,1］上递增,在区间［1, +∞)上递减.?
当x=1时,y max=a3,
又y=a t>0,?
∴函数的值域为(0,a3］.?
当0∴y=f［g(x)］在区间(-∞,1］上递减,在区间［1,+∞)上递增,当x=1时,y min=a3,函数的值域为［a3,+∞).
18． 函数y=(-1) (x+1)(x-3)的单调递增区间是( )?
A. (1, +∞)
B. (-∞, 1)
C. (1, 3)
D. (-1, 1)
【思路解析】
此函数可以看成是以u=(x+1)(x-3)与y=(-1) u复合而成的函数,显然y=(-1) u单调递减,所以求内层函数也是递减区间即可,借助二次函数图象可知它在(-∞,1)上满足要求.?
【答案】 B
21． 集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的:对于任意的x≥0,f(x)∈(1,4］,且f(x)在［0,+∞)上是减函数.判断函数f1(x)=2-x及f2(x)=1+3·()x(x≥0)是否在集合A中？若不在集合A中,试说明理由.?
【答案】
∵f1(49)=2-=-5(1,4］,?
∴f1(x)不在集合A中.?
又∵x≥0,
∴0<()x≤1.
∴0<3·()x≤3.
从而1<1+3·()x≤4.
∴f2(x)∈(1,4］.
又f2(x)=1+3·()x在［0,+∞)上为减函数,?
∴f2(x)=1+3·()x在集合A中.
2.2 对数函数
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2.2.1 对数与对数运算
1.对数的定义?
一般地,如果ax=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=loga N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log 10N记为lg N,以e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数,并且把logeN记为lnN.?
疑难疏引 (1)因为a>0,所以不论b是什么数,都有a b>0,即不论b是什么数,N=a b永远是正数,这说明在相应的对数式b=loga N中真数N永远是正数,换句话说负数和零没有对数.?
(2)指数与对数的关系:
ax=N(a>0,a≠1)x=loga N.?
(3)负数和零没有对数.
2.对数的运算?
(1)换底公式:?
①logab=,即有logca·logab=logcb;
②logba=,即有logab·logba=1;?
③logambn=logab;?
(2)对数恒等式:alogaN=N.?
疑难疏引 换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质.
3.对数式与指数式的关系?
【探究思路】 由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可用下图表示.
●案例1下列四个命题中,真命题是( )?
A. lg2lg3=lg5
B. lg23=lg9
C.若logaM+ N=b,则M+N=a b
D.若log2M+ log3N=log2N+log3M,则M=N
【探究】 解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的答案一一与相关的对数运算性质相对照,不难得出应选D.
【溯源】 初学对数运算性质,容易犯下面错误:loga(M±N)=logaM±logaN, loga(M×N)=logaM×logaN, loga=,logaN n=(logaN) n.要注意:积的对数变为加,商的对数变为减,幂的乘方取对数,要把指数提到前.
●案例2求值:?
(1);?
(2)lg5·lg20+lg22;?
(3)已知log23=a,3 b=7,求log1256的值.?
【探究】 (1)(2)严格按照指数、对数的运算法则计算,(3)先将3 b=7转化为log37=b,然后设法将log1256化成关于log23和log37的表达式即可求值.?
(1) = =.
(2)lg5·lg20+lg22=lg5(lg4+lg5)+lg22=2lg2·lg5+lg25+lg22=(lg2+lg5) 2=1.?
(3)解法一:
∵log23=a,∴2 a=3.
又3 b=7,∴7=(2 a) b=2 ab.
故56=2 3+ab.
又12=3·4=2 a·4=2 a+2,
从而56=(2 a+2) =12.故log1256=log1212=.
解法二:
∵log23=a,∴log32=.
又3 b=7,∴log 37=b.从而log1256====
=.
解法三:
∵?log23==a,∴?lg3=alg2.
又3 b=7,∴?lg7=blg3.?
∴?lg7=ablg2.从而log1256= == =.
【溯源】 (1)lg2+lg5=1在对数计算中经常用到.?
(2)第三小题中解法一借助指数变形来解;解法二与解法三是利用换底公式来解,显得较简明.应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数,从而把已知对数和所求对数都换成新的对数,再代入求值即可.?
2.2.2 对数函数及其性质?
1.概念
一般地,我们把函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
2.对数函数的性质
a>1
0图象
性质
(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)图象过定点(1,0)
(4)在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
疑难疏引 对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有以下对应关系:?
(1)图象都位于y轴右侧,且以y轴为渐近线→函数定义域为(0,+∞);??
(2)图象向上、向下无限延展→函数值域为R;
(3)图象恒过定点(1,0)→1的对数是零,即loga1=0;?
(4)当a>1时,图象由左向右逐渐上升,即当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数;
当0(5)当a>1时,在直线x=1的右侧,图象位于x轴上方;在直线x=1与y轴之间,图象位于x轴下方,即当a>1时,x>1,则y=logax>0;0当01,则y=logax<0;00.?
对数函数y=logax(a>0且a≠1)的性质的助记口诀:?
对数增减有思路,函数图象看底数,?
底数只能大于0,等于1来也不行,?
底数若是大于1,图象从下往上增;?
底数0到1之间,图象从上往下减.?
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.?
●案例1比较大小:?
(1)log0.27和log0.29;?
(2)log35和log65;?
(3)(lgm) 1.9和(lgm) 2.1(m>1);?
(4)log85和lg4.
【探究】 (1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x,当x=7和x=9时对应的两函数值,由y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减,得log0.27>log0.29.
(2)考查函数y=logax底数a>1的底数变化规律,函数y=log3x(x>1)的图象在函数y=log6x(x>1)的上方,故log 35>log 65.
(3)把lgm看作指数函数的底数,要比较两数的大小,关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm>1即m>10,则(lgm) x在R上单调递增,故(lgm) 1.9<(lgm) 2.1.若0(lgm) 2.1.若lgm=1即m=10,则(lgm) 1.9=(lgm) 2.1.
(4)因为底数8、10均大于1,且10>8,所以log85>lg5>lg4,即log 85>lg4.?
【溯源】 两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有:?
(1)直接法:由函数的单调性直接作答;?
(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;?
(3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1来确定;?
(4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较;
(5)媒介法:选取适当的“媒介”数,分别与要比较的两数比较大小,从而间接地求得两数的大小.?
●案例2已知函数y=lg(x2+1-x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性.?
【探究】 注意到+x=,即有lg(-x)=-lg(+x),从而f(-x)=lg(+x)=-lg(-x)=-f(x),可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,所以我们只需研究(0,+∞)上的单调性.
由题意-x>0,解得x∈R,即定义域为R.
又f(-x)=lg［-(-x)］=lg(+x)?
=lg=lg(-x) -1
=-lg(-x)=-f(x).?
∴y=lg(-x)是奇函数.?
任取x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1则<+x 1<+x 2
>,
即有-x 1>-x2>0,
∴lg(-x 1)>lg(-x 2),
即f(x 1)>f(x 2)成立.?
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.?
又f(x)是定义在R上的奇函数,
故f(x)在(-∞,0)上也为减函数.?
【溯源】
研究函数的性质一定得先考虑定义域,在研究函数单调性时,注意奇偶性对函数单调性的影响,即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.?
●案例3作出下列函数的图象:?
(1)y=|log4x|-1;
(2)y=log|x+1|.
【探究】 (1)y=|log4x|-1的图象可以看成由y=log4x的图象经过变换而得到:将函数y=log4x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去,得到y=|log4x|的图象,再将y=|log4x|的图象向下平移1个单位,横坐标不变,就得到了y=|log4x|-1的图象.
(2)y=log|x+1|的图象可以看成由y=logx的图象经过变换而得到:将函数y=logx的图象作出,然后关于y轴对称,即得到函数y=log|x|的图象,再将所得图象向左平移一个单位,就得到所求的函数y=log|x+1|的图象.?
函数(1)的图象作法如图①～③所示.?
函数(2)的图象作法如图④～⑥所示.?
【溯源】 画函数图象是研究函数变化规律的重要手段,画函数图象通常有两种方法:列表法和变换法.变换法有如下几种:?
平移变换:y=f(x+a),将y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位而得到;y=f(x)+a,将y=f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位而得到.
翻折变换:y=|f(x)|,将y=f(x)的图象在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴的上方,其他部分不变;y=f(|x|),它是一个偶函数,x≥0时,图象与y=f(x)的图象完全一样;当x≤0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.?
对称变换:y=-f(x),它的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;y=f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称;y=-f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于原点成中心对称.
伸缩变换:y=f(ax)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a>1)或伸长?(00),将y=f(x)图象上各点的横坐标不变,纵坐标压缩(01)到原来的a倍而得到.
●案例4已知f(x)=2+log3x, x∈［1,9］,求y=［f(x)］2+f(x 2)的最大值,及y取最大值时,x的值.
【探究】 要求函数y=［f(x)］2+f(x 2)的最大值,一是要求其表达式;二是要求出它的定义域,然后求值域.
【解】 ∵f(x)=2+log3x,?
∴y=［f(x)］2+f(x 2)=(2+log3x) 2+2+log3x 2
=(2+log3x) 2+2+2log3x
=log32x+6log3x+6?
=(log3x+3) 2-3.
∵函数f(x)的定义域为［1,9］,?
∴要使函数y=［f(x)］2+f(x 2)有意义,就需1≤x2≤9,?1≤x≤9.?
∴1≤x≤3.∴0≤log3x≤1.
∴6≤y=(log3x+3) 2-3≤13.?
∴当x=3时,函数y=［f(x)］2+f(x 2)取最大值13.?
【溯源】 在处理有关对数的复合函数的问题时,定义域的求解往往是解题的关键所在,同时要注意对数单调性的应用.?
●案例5某工厂2006年生产一种产品2万件,计划从2007年开始每年的产量比上一年增长20%.则这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件时是年.(已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)( )?
A.2015
B.2016
C.2017
D.2018
【探究】 此题是平均增长率问题的变式考题,哪一年的年产量超过12万件,其实就是求在2006年的基础上再过多少年的年产量大于12万件,即求经过多少年.
设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件,?
根据题意,得2(1+20%)n>12,即1.2n>6,?
两边取对数,得nlg1.2>lg6,
∴n> = =.
∴n=10,即2 006+10=2 016.?
因此,选B.
【溯源】 对数函数在求解指数方程时有着无比神奇的效果,经常是根据题意列出指数函数,再根据题意将指数函数转化为指数方程或不等式,然后两边取对数,即求解指数方程的解或指数不等式的解集.
3.反函数的图象和性质?
对数函数y=log ax(a>0且a≠1)与指数函数y=a x(a>0且a≠1)互为反函数,这两个函数的图象关于y=x对称.
疑难疏引 (1)f(a)=b?f -1(b)=a;?
(2)若原函数过点(a, b),则其反函数必过点(b, a);?
(3)原函数的定义域、值域为其反函数的值域、定义域;?
(4)原函数与其反函数的图象关于直线y=x对称.
在遇到反函数问题时,不要盲目将反函数求出,如果合理利用互为反函数的函数图象间的关系和性质,往往可收到事半功倍的效果.
●案例6如何求函数y=5 x2-1(-1≤x<0)的反函数？?
【探究】
先求原函数的值域.由-1≤x<0,
∴-1∵-1≤x<0,∴x=-,即y=- (【溯源】
求反函数时,首先要求值域,然后解关于x的方程,第三要把解出的方程中的x、y互换位置,用f -1(x)表示,最后把原函数的值域作为定义域标出.?
关于对数运算的几点提示:?
(1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a>0且a≠1,N>0,b∈R)容易记错.?
(2)解决对数函数y=logax(a>0且a≠1)的单调性问题时,忽视对底数a的讨论.?
(3)关于对数式?logaN的符号问题,既受a的制约又受N的制约,两种因素交织在一起,应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法,供学习时参考.
以1为分界点,当a、N在同侧时,logaN>0;当a、N在异侧时,logaN<0.
活学巧用
1.的值是( )
A.
B. 1?
C.
D. 2?
【思路解析】 考查有关对数的运算性质,logambn=logab.?
【答案】 A
2. 若log2［log(log2x)］=log3［log(log3y)］=log5［log(log5z)］=0,则x、y、z的大小关系是?( )
A. zC. y【思路解析】 依特殊的对数式loga1=0及logaa=1可分别求出相应的x、y、z的值.?
log5［log(log5z)］=0,可知log(log5z)=1,所以log5z=,可得z=5.同理可得x=2,y=3,借助分数指数幂可得这三个数的大小,答案为D.
【答案】 D
3. 下列各式中成立的是( )?
A. logax 2=2logax?
B. loga|xy|=loga|x|+loga|y|?
C. loga3>loga2
D. loga =logax- logay?
【思路解析】 用对数的运算法则解决问题.
A、D的错误在于不能保证真数为正,C的错误在于a值不定.选B.
【答案】 B
4. 求下列各式中的x:?
(1)logx=-;
(2)logx5=;?
(3)log (x-1)(x 2-8x+7)=1.?
【思路解析】 根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.?
【解】 (1)原式转化为()-=x,所以x=.
(2)原式转化为x =5,所以x=.
(3)由对数性质得解得x=8.
5. 已知loga2=m,loga3=n,则a 2m-n=__________.?
【思路解析】 首先把对数式化为指数式,再进行指数运算.?
∵loga2=m,loga3=n,
∴a m=2,a n=3.
∴a 2m-n= = ==.
【答案】
6. (1)已知3a=2,用a表示log34-log36;?
(2)已知log32=a,3b=5,用a、b表示log3.?
【解】 (1)∵3a=2,∴a=log32.
∴log34-log36=log3 =log32-1=a-1.?
(2)∵3b=5,∴b=log35.
又∵log32=a,?
∴log3=log3(2×3×5)= (log32+log33+log35)=(a+b+1).
7. (1)将下列指数式写成对数式:?
①2 10=1 024;②10 -3=;③0.3 3=0.027;④e0=1.?
(2)将下列对数式写成指数式:
①log0.46.25=-2;
②lg2=0.301 0?;?
③log 310=2.095 9;
④ln23.14=x.?
【思路解析】
应用指数式与对数式的等价关系求解.?
【答案】
(1)①log21 024=10;?②lg=-3;?③log0.30.027=3;④?ln1=0.
(2)①0.4 -2=6.25;?②10 0.301 0=2;③3 2.095 9=10;?④e x=23.14.
8. 已知loga3>logb3>0,则a、b、1的大小关系是.?
【思路解析】 由对数函数的性质可知a>1,b>1,关键是判断a与b的大小,这可以利用对数函数的单调性来解决.?
【解法一】 由loga3>logb3>0> >0
log3b>log3a>0
log3b>log3a>log31.
∵y=log3x是增函数,故b>a>1.?
【解法二】
分别作出y=logax与y=logbx的图象,然后根据图象特征进行推断.?
∵?loga3>logb3>0,∴a>1,b>1.
故y=logax与y=logbx均为增函数.
又∵?loga3>logb3>?0,
∴当x>1时,y=logax的图象应在y=logbx图象的上方,如图所示.?
根据对数函数的图象分布规律,可知b>a>1.
【答案】 b>a>1
9. 比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log23.4, log28.5;?
(2)log0.31.8, log0.32.7;?
(3)loga5.1, loga5.9(a>0,a≠1).?
【解】 (1)考查对数函数y=log2x,因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是?log23.4(2)考查对数函数y=log0.3x,因为它的底数0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8>log0.32.7.?
(3)当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,于是loga5.1当0loga5.9.
10. 求函数y=log(-x2+4x+5)的定义域和值域.?
【解】 函数有意义,必须-x2+4x+5>0x2-4x-5<0-1∴函数的定义域为{x|-1由-1∴0≤-x2+4x+5≤9.
从而log(-x2+4x+5)≥log9=-2,
即值域为{y|y≥-2}.
11. 已知函数f(x)=loga (a>1且b>0).?
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断函数的奇偶性.
【思路解析】 本题考查定义域、单调性的求法及判断方法,注意要利用定义求解.?
【解】 (1)由,解得x<-b或x>b.
∴函数f(x)的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞).?
(2)由于f(-x)=loga()=loga()=loga()-1=-loga()=-f(x),所以f(x)为奇函数.
12. 求函数y=log(-x2+2x+3)的值域和单调区间.?
【思路解析】 通过换元,令t=-x2+2x+3,是复合函数的问题.
【解】 设t=-x2+2x+3,则t=-(x-1)2+4.?
∵y=logt为减函数,且0∴y≥log4=-2,即函数的值域为［-2,+∞).?
再由函数y=log(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0,即-1∴t=-x2+2x+3在(-1,1)上递增而在［1,3)上递减.
而y=logt为减函数.?
∴函数y=log(-x2+2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为［1,3).
13. 函数y=lg|x|( )?
A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增?
B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减?
C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增?
D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减?
【思路解析】 画出函数y=lg|x|的草图即见答案.在画函数y=lg|x|的草图时,注意应用函数y=lg|x|是个偶函数,其图象关于y轴对称.比如列表时,要先确定对称轴,然后在对称轴的两侧取值列表.
【答案】 B
14. (2005北京高考,文2)为了得到函数y=2 x-3-1的图象,只需把函数y=2x上所有点… ( )
A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度?
B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度?
C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度?
D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度?
【思路解析】 本题考查函数图象的平移问题,根据图象平移的方法口决“左加右减,上加下减”,极易求出答案.?
【答案】 A
15. 已知函数f(x)=lg(ax 2+2x+1).?
(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;?
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.?
【思路解析】 f(x)的定义域为R,即关于x的不等式ax 2+2x+1>0的解集为R,这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R要求u=ax 2+2x+1取遍一切正数,使u能取遍一切正数的条件是a>0,Δ≥0.
【解】 (1)f(x)的定义域为R,即关于x的不等式ax 2+2x+1>0的解集为R,?
当a=0时,此不等式变为2x+1>0,其解集不是R;?
当a≠0时,有 a>1.
∴a的取值范围为a>1.?
(2)f(x)的值域为R,即u=ax 2+2x+1能取遍一切正数a=0或0< a≤1.
∴a的取值范围为0≤a≤1.
16. 设函数f(x)=x 2-x+b,且f(log2a)=b,log2［f(a)］=2(a≠1),求f(log2x)的最小值及对应的x的值.
【思路解析】 关键是利用已知的两个条件求出a、b的值.?
【解】 由已知得log22a-log2a+b=b,?log2(a2-a+b)=2,即?
?log2a(log2a-1)=0,?a2-a+b=4,①?②?
由①得log2a=1,∴a=2.?
代入②得b=2.∴f(x)=x 2-x+2.?
∴f(log2x)=log22x-log2x+2=(log2x-) 2+.
∴当log2x=时,f(log2x)取得最小值,此时x=2.
17. 已知y=loga(2-ax)在区间［0,1］上是x的减函数,求a的取值范围.?
【思路解析】 本题的关键是要注意到真数与底数中两个参量a是一样的,可知a>0且a≠1,然后根据复合函数的单调性即可解决.
【解】 先求函数定义域:
由2-ax>0,得ax<2,
又a是对数的底数,
∴a>0且a≠1.∴x<.
由递减区间［0,1］应在定义域内,
可得>1,∴a<2.
又2-ax在x∈［0,1］上是减函数,?
∴y=loga(2-ax)在区间［0,1］上也是减函数.?
由复合函数单调性可知a>1,
∴118. 某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为.(lg2=0.301 0, lg11.49=
1.060 2)
【思路解析】 设产值平均年增长率为x,则(1+x) 10=4.?
两边同取以10为底的对数得10lg(1+x)=2lg2.?
∴lg(1+x)= =0.0602
∴1+x=10 0.060 2.?
又∵lg11.49=1.060 2,?
∴11.49=10 1.060 2=10·10 0.060 2.
∴10 0.060 2=1.149.?
因此1+x=1.149,x=0.149=14.9%?.?
【答案】 14.9%?
19. 已知函数f(x)=2 x+1,则f -1(4)=__________.?
【思路解析】 由反函数定义域和值域间的对应关系知,f -1(4)的值即为f(x)=2 x+1=4时,自变量x对应的值.
【答案】 1
20. 已知函数f(x)=a x+k的图象过点(1,3),其反函数f -1(x)的图象过点(2,0),求f(x).?
【思路解析】 根据函数f(x)=a x+k的图象过点(1,3),可列出一个关于a和k的方程,再根据其反函数f -1(x)的图象过点(2,0),可知函数f(x)=a x+k的图象过点(0,2),这样就又可以列出一个关于a和k的方程.
【解】 依题意得a1+k=3,?a0+k=2,?
解得a=2,?k=1.?
∴f(x)=2x+1.
2.3 幂函数
互动课堂
疏导引导
一、幂函数的定义?
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中,x是自变量,α是常数.?
疑难疏引
1.我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x 2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x 2+1都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同.
掌握幂函数的关键一定要明确“形如y=xα的函数”这句话的重要作用.
2.幂函数的定义域比较复杂,应分类进行掌握:?
(1)当指数n是正整数时,定义域是R.?
(2)当指数n是正分数时,设n= (p、q是互质的正整数,q>1),则x n=x=.
如果q是奇数,定义域是R;?
如果q是偶数,定义域是［0,+∞).?
(3)当指数n是负整数时,设n=-k, x n=,显然x不能为零,所以定义域是{x|x∈R且x≠0}.
(4)当指数n是负分数时,设n=-(p、q是互质的正整数,q>1),则x n= =.
如果q是奇数,定义域是{x|x∈R,且x≠0};?
如果q是偶数,定义域是(0,+∞).
3.幂函数与指数函数的区别:虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式,但二者的定义域不同,即指数函数y=a x中,指数是自变量,而幂函数y=xα中,底数是自变量.当然,由此可见,二者的对应关系和值域也不同.
二、幂函数的图象和性质?
如图所示,幂函数有如下性质:?
1.所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点(1,1);
2.如果a>0,则幂函数的图象通过原点并且在区间［0,+∞)上是增函数;
3.如果a<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.?
疑难疏引
研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x 2、y=x 3及y=x的图象研究归纳y=xn(n>0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数y=x -2、y=x -3及y=x-的图象研究归纳y=xn(n<0)的图象特征和函数性质.需要注意的有:?
(1)研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.?
(2)对于幂函数y=x n(n>0),我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即n<0,01三种情况下曲线的基本形状,还要注意n=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲,大竖直小横铺”,即n>0(n≠1)时图象是抛物线型;n<0时图象是双曲线型;n>1时图象是竖直抛物线型;0记忆口诀:?
如何分析幂函数,记住图象是关键,?
虽然指数各不同,分类之后变简单,?
大于0时抛物线,小于0时双曲线,?
还有0到1之间,抛物开口方向变,?
不仅开口向右方,原来图象取一半.?
函数奇偶看指数,奇母奇子奇函数,?
奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数.?
●案例1比较下列各组数的大小.?
(1)3.14与π;?
(2)(-)-与(-) -.?
【探究】 指数相同,可以根据幂函数的单调性判断.(1)由于幂函数y=x(x>0)单调递减且3.14<π,∴3.14>π.?
(2)由于y=x-这个幂函数是奇函数,?
∴f(-x)=-f(x).?
因此,(- ) -=-() -,(-) -=-() -.?
而y=x-(x>0)单调递减,且<,
∴() ->() --() -<-() -,即(-) -<(-) -.?
【溯源】 幂函数中的比较大小问题特别常见,主要是考查幂函数的概念和基本性质中的单调性,在解答这部分内容的考题时,数形结合是最佳的选择,如果是选择题则主要有两种思考方式:一种是直接肯定式的思考方式,另一种是间接否定式的思考方式.?
三、幂函数的实际应用?
●案例2 某工厂从t年到t+2年新产品的成本共下降了51%,若两年下降的百分率相同,则每年下降的百分率为( )
A.30%
B.25.5%
C.24.5%
D.51%
【探究】 本题考查幂函数的实际应用,涉及到平均增长率公式的应用和参数的思想,题设中没有年份和成本的具体数,学生要敢于设未知参数.
设t年的成本为a,每年下降的百分率为x,则t+2年的成本为a(1-x) 2,
∴=51%,解得x=30%.
因此,选A.
【溯源】 依据幂函数去解决有关增长率问题是今后考查的一个重点内容,其解题的关键是如何建立恰当的数学模型.
活学巧用
1. 已知函数:①y=x-1;②y=x2+2x;③y=2x;?④y=x-;⑤y=x0;⑥y=2x中,是幂函数的有.?
【思路解析】 由于幂函数中,变量的系数是1,而且没有其他的与之相加减的项,所以容易判断答案.另外特别注意幂函数和指数函数的区别:指数函数y=a x中,指数是自变量,而幂函数y=xα中,底数是自变量.
【答案】 ④⑤
2. 当m为何值时,幂函数y=(m 2-5m+6)x m2-2m-3的图象同时通过点(0,0)和(1,1)？?
【思路解析】 因为是幂函数,则m 2-5m+6=1,又过(0,0)和(1,1)点,则m 2-2m-3>0.
【答案】 ∵y=(m 2-5m+6)x m2-2m-3是幂函数,?
∴m 2-5m+6=1,得m=.
又∵函数图象过(0,0)和(1,1)点,?
∴m 2-2m-3>0,则有(m-1) 2>4,得m>3或m<-1.
∴m= (舍去),即m=.
3. 分别写出幂函数y=x和y=x-的定义域.
【思路解析】 本题主要考查了分数指数幂的相关知识,可以把它们化为根式形式,然后再进行观察得到相应的结果.因为y=x =x,所以要想此函数有意义,则x≥0,又因为y=x-=,所以可得到x>0.另外要注意到要表达成集合的形式.
【答案】 {x| x≥0},{x| x>0}.
4．下列4个幂函数,在(-∞,0)上不是增函数的是( )?
A.y=x
B.y=x3
C.y=x-
D.y=x-
【思路解析】 根据幂函数的性质知,函数y=x在R上是单调递增的,
∴在(-∞,0)上也是增函数;
函数y=x3在R上是单调递增的,
∴在(-∞,0)上也是增函数;函数y=x-在(-∞,0)上是单调递增的,在R +上是单调递减的;
函数y=x-的定义域是R +,在(-∞,0)上没有定义,
∴函数y=x-在(-∞,0)上不是增函数.综上所述,选D.
【答案】 D
5． 函数y=(3x-2)+(2-3x)-的定义域为.
【思路解析】 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围,本题中有两个限制条件,(3x-2)的底数非负,(2-3x)-的底数非零.
依题意得x>.
【答案】 (,+∞)
6. 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a、b、c的大小关系为( )?
A.cB.aC.bD.c【思路解析】 ∵幂函数在第一象限内为增函数时,指数为正,为减函数时,指数为负,∴a、b为正,c<0.又∵当指数为正,底数大于1且相同时,指数较大的图象在上方,由图象可知a>b.综上,a>b>c.因此,选A.
【答案】 A
7. 已知幂函数y=x n1,y=x n2,y=x n3,y=x n4在第一象限内的图象分别是C 1、C 2、C 3、C 4(如图),则n 1、n 2、n 3、n 4、0、1的大小关系是.?
【思路解析】 结合幂函数在第一象限的图象来判断.?
【答案】 n 18. 若(a+1)-<(3-2a) -,则a的取值范围是__________.
【思路解析】 因为函数y=x在［0,+∞)上单调递增,所以y=x-在(0,+∞)上单调递减.
所以解得【答案】 (,)
9. 某公司产值最初为m万元,以后连续三年持续增长,这三年的增长率分别为a、b、c,求这三年的平均增长率.?
【思路解析】 第一年的产值为m(1+a),第二年的产值为m(1+a)(1+b),第三年的产值为?m(1+a)(1+b)(1+c),如果设平均增长率为x,则第三年的产值也为m(1+x)3.?
【解】 设这三年的平均增长率为x,
依题意得m(1+x)3=m(1+a)(1+b)(1+c).?
解得x=-1.
答:这三年的平均增长率为x=-1.
