1.1.1 集合的含义与表示
课堂导学
三点剖析
一、集合的概念
【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由.
(1){R}=R;
(2)方程组的解集为{x=1,y=2};
(3){x|y=x2-1}={y|y=x2-1}={(x,y)|y=x2-1};
(4)平面内线段MN的垂直平分线可表示为{P|PM=PN}.
思路分析：以上几种命题都是同学们在初学过程中极易出错的几种典型类型.处理此类问题关键在于要正确而深刻地理解集合的表示方法.21教育网
解：(1){R}=R是不正确的，R通常为R={x|x为实数}，即R本身可表示为全体实数的集合，而{R}则表示含有一个字母R的集合，它不能为实数的集合.
(2)方程组的解集为{x=1,y=2}是不对的,因为解集的元素是有序实数对(x,y)，正确答案应为{(x,y)|}={(1,2)}.
(3){x|y=x2-1}={y|y=x2-1}={(x,y)|y=x2-1}是不正确的.
{x|y=x2-1}表示的是函数自变量的集合，它可以为{x|y=x2-1}={x|x∈R}=R.
{y|y=x2-1}表示的是函数因变量的集合，它可以为{y|y=x2-1}={y|y≥-1}.
{(x,y)|y=x2-1}表示点的集合，这些点在二次函数y=x2-1的图象上.
(4)平面上线段MN的垂直平分线可表示为{P|PM=PN}是正确的.
温馨提示
正确理解集合表示方法对以后的学习有极大帮助.特殊数集用特定字母表示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为{(x,y)|}的形式；对描述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么.【出处：21教育名师】
【例2】 已知a∈{1,-1,a2}，则a的值为______________________.
解析：处理该类问题的关键是对a进行分类讨论，利用元素的互异性解题.
∵a∈{1,-1,a2},
∴a可以等于1，-1，a2.
(1)当a=1时，集合则为{1，-1,1}，不符合集合元素的互异性.故a≠1.
(2)同上，a=-1时也不成立.
(3)a=a2时，得a=0或1，a=1不满足舍去，a=0时集合为{1,-1,0}.
综上，a=0.
答案：0
温馨提示
集合元素的互异性指集合中元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关.因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互异性、确定性.21·cn·jy·com
二、运用集合的两种表示方法正确地表示集合
【例3】 用列举法表示下列集合.
(1){y|y=x2-2,x≤3,x∈N};
（2）{(x,y)|y=x2-2,x≤3,x∈N}.
思路分析：首先认准描述法所表示集合的代表元素，然后根据条件求其值，用列举法将集合中的元素不计次序、不重复、不遗漏地列出来.www.21-cn-jy.com
解：(1)因为x≤3,x∈N，所以x=0,1,2,3.所以y=-2,-1,2,7.所以{y|y=x2-2,x≤3,x∈N}用列举法表示为{-2，-1，2，7}.21·世纪*教育网
（2）由上题可知，{（x,y）|y=x2-2,x≤3,x∈N}用列举法表示为{(0,-2),(1,-1),(2,2),(3,7)}.2-1-c-n-j-y
温馨提示
列举法适合于表示集合是有限集，且元素个数较少，但有时也可表示无限集或个数较多的集合，如：{1，2，…，n,…}.【版权所有：21教育】
【例4】 用描述法表示下列集合.
（1）偶数集;
（2）{2，4，6，8};
（3）坐标平面内在第一象限的点组成的集合.
解：（1）{x|x=2n,n∈Z}；
(2){x|x=2n,1≤n≤4,n∈Z}；
(3){(x,y)|x>0,且y>0}.
温馨提示
用描述法表示集合时，要弄清楚元素的特征，使其具有符合性质的都属于集合，不具有性质的不属于集合.21教育名师原创作品
三、集合概念再理解
【例5】 判断以下对象的全体能否组成集合.
(1)高一·一班的身高大于1.75 m的学生；
(2)高一·一班的高个子学生.
思路分析：该例贴近于现实生活，能较好地帮助同学们正确理解集合元素的确定性.
解：(1)高一·一班中身高大于1.75 m的学生是确定的，因此身高大于1.75 m的学生可以组成集合.21*cnjy*com
(2)高一·一班中的高个子学生没有具体身高标准，因此高个子学生不能组成集合.
温馨提示
判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征：（1）确定性，（2）互异性，（3）无序性，特别是确定性比较难理解，是指元素和集合的关系是非常明确的，要么该元素属于集合，要么该元素不属于集合，而不是模棱两可.【来源：21cnj*y.co*m】
各个击破
类题演练1
(1) 下列命题是假命题的个数为_______________________.
①{1,2}={(1,2)} ②={x|x+1=1} ③解的集合为{(x,y)|x=2或y=-6}
④∈{x|x≤3} ⑤{P|PO=3 cm}(O是定点)表示圆
解析：①②③为假命题.
答案：3
(2)判断下列表示能否视为集合表示：
①{1,2,3,…}；
②{s=t2+1}；
③{正方形}.
解析:①不是集合表示.若用列举法表示无限集,应将元素间的规律表示出来.此集合可表示为{1，2，3，…n,…}.2·1·c·n·j·y
②不是集合表示，没说清楚集合中元素是什么.
③不是集合表示，没说清楚集合中元素是什么，应写为{x|x是正方形}.
(3)可以表示方程组的解集的是__________________.
①{x=2,y=1} ②{(x,y)|(2,1)} ③{2,1} ④{(2,1)} ⑤{(x,y)|x=2或y=1}⑥{(x,y)|x=2且y=1} ⑦{(x,y)|}【来源：21·世纪·教育·网】
答案:④⑥⑦
变式提升1
实数{3，x,x2-2x}中的元素x应满足的条件为：______________________________
解析：由集合元素的互异性可知x≠-1且x≠0且x≠3.
类题演练2
集合A={a,,1},B={a2,a+b,0},a∈R,b∈R.若A=B，求a2006+b2006的值.
解析:由题目条件得解得∴a2006+b2006=1.
变式提升2
已知集合A={x∈R|ax2+2x+a=0,a∈R}中只有一个元素，求a的值，并求这个元素.
解析：由于A={x∈R|ax2+2x+a=0,a∈R}只有一个元素，
因此，有两种情况.
(1)a=0时，ax2+2x+a=0变为x=0,A={x|x=0}满足条件.
(2)a≠0时，ax2+2x+a=0有相等实根，即Δ=4-4a2=0,得a=±1.
a=1时，A={x∈R|x2+2x+1=0}={x|x=-1};
a=-1时，A={x=R|x2-2x+1=0}={x|x=1}.
综上知，a=0时，A={x|x=0}；
a=1时，A={x|x=-1};
a=-1时，A={x|x=1}.
类题演练3
用列举法表示下列集合.
(1)不大于10的非负偶数；
（2）方程（x-1）2(x-3)=0的解集；
（3）方程组的解集.
答案:（1）{0，2，4，6，8，10}；（2）{1，3}；（3）{（2，1）}.
变式提升3
(2006山东高考，1)定义集合运算：A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0，1}，B=（2，3），则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）21世纪教育网版权所有
A.0 B.6 C.12 D.18
解析：取x=0时，z=0,
取x=1时，z=6或12，
∴A⊙B={0，6，12}，
∴所求A⊙B的元素之和为18，选D.
答案：D
类题演练4
用描述法表示下列集合.
（1）所有正奇数组成的集合;
（2）坐标平面内x轴上的点组成的集合.
答案：（1）{x|x=2n-1,n∈N*}； (2){(x,y)|y=0}.
变式提升4
用适当的方法表示下列集合.
（1）由不等式x-3>2的所有解组成的集合;
（2）由方程组的所有解组成的集合;
（3）由小于10的非负奇数组成的集合.
解：（1）{x|x>5}; (2){(x,y)|}或{(2,3)}； (3){1,3,5,7,9}或{x|x=2n-1，1≤n≤5,n∈Z}.21cnjy.com
类题演练5
以下说法的对象能组成集合的有____________________.
①所有的奇数 ②不小于-2的数 ③满足方程2x-y=0的解为坐标的点 ④很小的数 ⑤漂亮的花 ⑥不满足x+1=0的实数www-2-1-cnjy-com
解析：∵①②③⑥中描述的元素都具有确定性，能构成集合，而④⑤中描述的元素都不具有确定性，即无法判断一个元素是否属于集合，故不能构成集合.21*cnjy*com
答案：①②③⑥
变式提升5
已知满足“如果x∈A,则6-x∈A”的自然数x构成集合A.
(1)若A是一个单元素集，则A=_________________;
(2)若A有且只有两个元素，则A=_______________.
解析：（1）∵3∈A,则6-3∈A,∴A={3}； (2)∵2∈A,∴6-2∈A,∴A={2,4}.
同理A={0，6}或{1，5}.
答案：（1）{3} （2）{2，4} {0，6} {1，5}
1.1.2 集合间的基本关系
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三点剖析
一、集合间的关系
【例1】 判断下列各式是否正确.
(1){x|x≤2};
(2)∈{x|x≤2};
(3){}{x|x≤2};
(4)∈{x|x≤2};
(5){x|x≤2};
(6){a,b,c,d}{e,f,b,d,g}.
思路分析：要注意元素与集合之间、集合与集合之间关系符号的不同，绝对不能混淆.
解：根据元素与集合、集合与集合之间的有关规定，(1)(4)(6)不正确，(2)(3)(5)正确.
温馨提示
一般来说，元素与集合之间应该用“”或“∈”；而“，”应该出现于集合与集合之间；作为特殊集合应遵从A，A(非空).但这不是绝对的，选择的关键在于具体分析二者的关系.例{1,2}∈{{1,2},{1}}，而∈{,1},{,1}都是对的.
二、运用集合间的关系解题
【例2】 {a,b}A{a,b,c,d,e},求所有满足条件的集合A.
思路分析：从子集、真子集的概念着手解答.
解：因为{a,b}A,所以，A中必有元素a,b.
因为，A是{a,b,c,d,e}的真子集，所以，A中元素可以有2个，3个，4个三种情形.具体为：{a,b};{a,b,c};{a,b,d};{a,b,e};{a,b,c,d};{a,b,c,e};{a,b,d,e}共7个.
温馨提示
1.按顺序摆，做到不重不漏.
2.正确地把集合语言表述的问题“翻译”成普通数学语言.
【例3】 集合A={1,3,a},B={a2},且BA，求实数a的取值集合.
思路分析：在利用BA这一条件时要注意对a进行讨论.
解：由于B={a2}A={1,3,a},
因此，①a2=1,得a=1(不合题意舍去)或a=-1;
②a2=3得a=±；
③a2=a得a=1(不合题意舍去)或a=0.
综上，实数a的取值集合为{-1,,-,0}.
温馨提示
1.分类讨论思想是很重要的思想方法，注意掌握分类方法；
2.在解决集合的元素问题时，最后结论要注意检验元素是否具备互异性.
三、元素与集合之间、集合与集合之间的关系再讨论
【例4】 已知集合A={a,b},B={x|x∈A,}C={x|xA},试判断A、B、C之间的关系.
解：集合B中的代表元素是x,x满足的条件是x∈A,因此x=a或x=b,即B={a,b}=A,而集合C则不然，集合C的代表元素虽然也是x，但x代表的是集合，xA,因此，x={a}或x={b}或x={a,b}或x= ,即C={，{a},{b},{a,b}}，此时集合C中的元素是集合，故BC,A∈C.21教育网
∴A=B,BC,A∈C.
温馨提示
对于元素与集合、集合与集合之间的∈、关系要理解透彻，“∈”是用于描述元素与集合之间的关系，即只要元素a是构成集合A的一个元素，则a∈A，如{1}与{{1}，{2}}，尽管{1}是一个集合，但是{1}是构成集合{{1}，{2}}的一个元素，故{1}∈{{1}，{2}}，“”是用于描述集合与集合之间的关系，如{1，2，3}{1,2,3,4}.www.21-cn-jy.com
各个击破
类题演练1
下列各式中，正确的个数是（ ）
①={0} ②{0} ③∈{0} ④0={0}⑤0∈{0} ⑥{1,2}{1,2}
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个
解析：正确命题有②⑤⑥.
答案：C
变式提升1
在以下五个写法中，写法正确的个数有（ ）
①{0}∈{0,1,2} ②{0} ③{0,1,2}{1,2,0} ④0∈ ⑤1∈{x|x{1,2}}
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：①集合与集合之间应用，或=而不是属于关系.②空集是任何非空集合的真子集.③两集合相等时也可以写成AB的形式.④中不含任何元素.⑤此集合的元素是集合而不是数字.故②和③是正确的.21世纪教育网版权所有
答案：B
类题演练2
求满足条件{x|x2+1=0}M{x|x2-1=0}的集合M的个数.
解析：{x|x2-1=0}={-1,1},其非空子集为{-1}，{1}，{-1，1}.所以满足条件
{x|x2-1=0}M{x|x2-1=0}的集合M共3个.
变式提升2
集合{x∈N|x=-y2+6,y∈N},试写出该集合的所有真子集.
解析：由集合{x∈N|x=-y2+6,y∈N},x∈N,则x=-y2+6≥0y2≤6.
又因为y∈N，所以y=0,1,2，相应地x=6,5,2.
集合为{2,5，6}，其真子集个数为23-1=7个.
分别写出为,{2},{5},{6},{2,5},{2,6},{5,6}.
类题演练3
已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1}且AB,求a的值.
解析：∵BA，∴①当a2-a+1=3时，a2-a-2=0,∴a=2或a=-1.
②当a2-a+1=a时，a=1,代入A中不满足A中元素互异性，舍去.∴a=2或a=-1.
变式提升3
设A={x|4x+p<0},B={x|x<-1或x>2},若使AB,则p的取值范围是________________.
解析：A={x|4x+p<0}={x|x<-}画数轴，
分析得-≤-1,∴p≥4.
类题演练4
集合A={（x,y）x=1}与B={（x,y）|y=x}的关系是（ ）
A.A=B B.AB C.AB D.AB21·cn·jy·com
解析:注意=1与y=x这两个式子是不同的，前者只有x≠0时才有意义，故A中少一个点（0，0），因此AB.21cnjy.com
答案：B
变式提升4
已知a、x∈R,A={2，4，x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},求使2∈B，BA的a与x的值.
解析：∵2∈B,∴x2+ax+a=2.
∵BA,∴3=x2-5x+9.
解得或
答案：或
1.1.3 集合的基本运算
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三点剖析
一、交集、并集、补集的概念与运算
【例1】 若全集U={x|x≤9,x∈N*},M={1,7,8},P={2,3,5,7},S={1,4,7},则(M∪P)∩(S)
=__________________.
解析：U={x|x≤9,x∈N*}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(M∪P)∩(S)={2,3,5,8}.
答案：{2,3，5,8}
温馨提示
1.进行集合运算应首先要弄清楚各集合是由什么元素构成的，然后再根据交集、并集、补集的概念进行运算.www.21-cn-jy.com
2.集合间的包含关系的判断及集合的运算一般使用韦恩图.
【例2】 已知全集U=R，A={x|-4
A.A∩B B.A∪B C.(A∩B) D.(A∪B)
解析：利用数轴解决有关不等式的数集运算是最有效的工具，借助数轴易得A∩B=，A∪B={x|x<},所以C=(A∪B).21教育网
答案：D
温馨提示
数集的运算一般使用数轴.
二、交集与并集的概念符号之间的区别与联系
【例3】 已知A={y|y=x2-2,x∈R},B={y|y=x,x∈R}.求A∩B，A∪B.
思路分析：本题注重考查集合概念及运算，其中集合中的元素y的本质是许多同学认识不足的，它其实是函数的因变量，集合为函数因变量的取值集合.21cnjy.com
解：A={y|y=x2-2,x∈R}={y|y≥-2},B={y|y=x}=R,则A∩B={y|y≥-2},A∪B=R.
温馨提示
1.对于描述法给出的集合，要抓住竖线前的代表元素及它具有的性质再进行运算.
2.本题中的两个集合都是数集，且是每个函数的函数值构成的集合.
三、集合运算性质的运用
【例4】 集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若A∪B=A，则a能取到的所有值的集合为_
______________.
解析：处理此类问题有两处值得同学们注意，一是明确A∪B=ABA；二是B={x|ax=2}≠{x|x=}，要注意对a是否为0进行讨论.2·1·c·n·j·y
A={x|x2-3x+2=0}={1,2},A∪B=ABA.因此集合B只能为单元素集或.
当B={1}时，即1∈B={x|ax-2=0},得a=2;
同理，当B={2}时，得a=1;
当B=时，即ax=2无解，得a=0.
综上，a能取到的值所组成的集合为{0,1，2}.
答案：{0,1，2}
温馨提示
1.A∪B=ABA,A∩B=AAB两个性质常常作为“等价转化”的依据，要特别注意当AB时，往往需要按A=和A≠两种情况分类讨论，而这一点却很容易被忽视.如本题中由BA应分B=和B≠两种情况考虑，尽管本题中B=不适合题意，但也不要遗漏这种情况.【来源：21·世纪·教育·网】
2.要注重集合语言与数学文字语言之间的转化.
各个击破
类题演练1
设全集U=N，P={2n|n∈N},Q={x|x=4n,n∈N},则N可以表示为（ ）
A.P∩Q B.(P)∪Q C.P∪(Q) D.(P)∪(Q)
解析：Q如图所示的阴影部分，∴P∪Q=N.
答案：C
变式提升1
设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a-5|,9},A={5,7},则a的值是（ ）
A.2 B.8 C.-2或8 D.2或8
解析：∵由条件得|a-5|=3，
∴a=2或8.
答案：D
类题演练2
已知全集U=R，集合A={x|x<1或x>2}，集合B={x|x<-3或x≥1},求A,B,A∩B,A∪B.
解析：借助于数轴，由右图可知A={x|x≥1且x≤2}={x|1≤x≤2};B={x|x≥-3且x<1}
={x|-3≤x<1};
A∩B={x|x<1或x>2}∩{x|x<-3或x≥1}={x|x<-3或x>2};A∪B={x|x<1或x>2}∪{x|x<-3或x≥1}=R.21·世纪*教育网
变式提升2
集合M={x|-1≤x≤2},N={x|x-a≥0},若M∩N≠，则实数a的取值范围是_____________.
解析：由图示可知a≤2.
答案：a≤2
类题演练3
已知A={y∈N|y=x2-4x+10},B={y∈N|y=-x2-2x+12},求A∩B.
解析：∵A={y|y≥6,y∈N},B={y|y≤13,y∈N},
∴A∩B={y∈N|6≤y≤13}.
答案：{y|6≤y≤13,y∈N}
变式提升3
(2006江苏高考，7)若A、B、C为三个集合，A∪B=B∩C,则一定有（ ）
A.AC B.CA C.A≠C D.A=
解析：画出韦恩图可知A成立.
答案：A
类题演练4
若集合P={1，2，3，m}，Q={m2,3},满足P∩Q=Q，求m的值.
解析：∵P∩Q=Q,∴QP,
∴m2=1或m2=2或m2=m,解得m=±1或±或0.
经检验m=1时，不满足集合P中元素的互异性，∴m=-1或±或0.
答案：-1或±或0
变式提升4
设集合M={x|x<3},N={x|x>-2},Q={x|x-a≥0},令P=M∩N.
(1)求集合P；
(2)若PQ，求实数a的取值范围；
(3)若P∩Q={x|0≤x≤3}，求实数a的取值范围；
(4)若P∩Q=，求实数a的取值范围.
解析：(1)P=M∩N={x|x<3}∩{x|x>-2}={x|-2 〔利用数轴作为工具分别对(2)(3)(4)进行分析，注意对端点处进行讨论〕
(2)当a<-2时，满足题意；
当a=-2时，Q={x|x≥-2}，也有PQ.
所以a≤-2.
(3)由于a是可变的实数，因此，若P∩Q={x|0≤x≤3}，从数轴上观察，a能且只能取0，所以a=0.21世纪教育网版权所有
(4)若要P∩Q=，通过数轴观察知，当a>3时，P∩Q=；当a=3时，Q={x|x-3≥0}={x|x≥3},P∩Q={x|-21.2.1 函数及其表示
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三点剖析
一、函数的概念
【例1】 下列对应是从集合M到集合N的函数的是（ ）
A.M=R,N=R,f:x→y=
B.M=R,N=R+(正实数组成的集合)，f:x→y=
C.M={x|x≥0},N=R,f:x→y2=x
D.M=R,N={y|y≥0},f:x→y=x2
思路分析：本题主要考查函数的定义.
解：A.对于M中的元素-1，N中没有元素与之对应，故该对应不是从M到N的函数.B.对于M中的元素-1，N中没有元素与之对应，该对应f:M→N不是函数.C.对于M中的任一元素如x=4，通过对应法则f:x→y2=x得到N中有两个元素±2与之对应，故f:x→y2=x不是从M到N的函数.21世纪教育网版权所有
答案：D
温馨提示
判断一个对应法则是否构成函数，关键是看给出定义域内任一个值，通过给出的对应法则，y是否有且只有一个元素与之对应.21·cn·jy·com
【例2】 下列四组函数中，有相同图象的一组是（ ）
A.y=x-1,y= B.y=,y=
C.y=2,y= D.y=1,y=x0
解析：y=x-1与y==|x-1|的对应法则不同；y=的定义域为［1,+∞)，y=的定义域为(1,+∞)，两函数的定义域不同；y=1的定义域为R，y=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，两函数定义域不同；y=2与y=是两相等的函数，所以图象相同.选C.www.21-cn-jy.com
答案：C
温馨提示
1.定义域、对应关系、值域分别相同的函数有相同的图象，三要素中只要有一项不同，两个函数就不相等.由于值域由定义域与对应关系所确定，所以判断函数是否相等，只要判断定义域与对应关系是否相同即可.2·1·c·n·j·y
2.判断对应法则是否相同，可以化简以后再判断，但是求函数的定义域必须通过原函数解析式去求.
二、求函数解析式、定义域
【例3】如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，其下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，梯形周长y是否是腰长x的函数？如果是，写出函数关系式，并求出定义域.21·世纪*教育网
思路分析：判定两个变量是否构成函数，关键看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义.该题中的每一个腰长都能对应唯一的周长值，因此周长y是腰长x的函数.若要用腰长表示周长的关系式，应知等腰梯形各边长，下底长已知为2R，两腰长为2x,因此只需用已知量(半径R)和腰长x把上底表示出来，即可写出周长与腰长的函数关系式.
解：由题意可知，每一个腰长x都能对应唯一的周长值y，因此周长y是腰长x的函数.
如上图，AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上，设腰长AD=BC=x,作DE⊥AE，垂足为E，连结BD，那么∠ADB是直角，由此Rt△ADE∽Rt△ABD.21*cnjy*com
∴AD2=AE·AB,即AE=.
∴CD=AB-2AE=2R-.
∴周长y满足关系式
y=2R+2x+(2R-)=-+2x+4R，
即周长y和腰长x间的函数关系式y=-+2x+4R.
∵ABCD是圆内接梯形，∴AD>0，AE>0，CD>0，即解不等式组，得函数y的定义域为{x|0温馨提示
该题是实际应用问题，解题过程是从实际问题出发，利用函数概念的内涵，判断是否构成函数关系，进而引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.这个过程实际上就是建立数学模型的最简单的情形.
【例4】求下列函数的定义域.
(1)y=;(2)y=;(3)y=++.
思路分析：具体函数即有具体解析式的函数的定义域是求使解析式有意义的x取值集合，其求法通常是转化为求不等式组的解集，实际问题还要注意符合实际意义.
解：要使函数解析式有意义，
(1)≥0或≥2或x<-2.
所以函数定义域为{x|x≥2或x<-2}(或(-∞,-2)∪［2,+∞］).
(2)x≥-1且x≠2,
所以函数定义域为{x|x≥-1且x≠2}.
(3)-4≤x≤0且x≠-3，
所以函数定义域为{x|-4≤x≤0且x≠-3}.
温馨提示
1.当函数用解析式给出时，求函数的定义域，要把所有制约自变量取值的条件找出来，然后归结为解不等式（组）的问题，在解不等式时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值的取舍.21教育网
2.求函数定义域之前，尽量不要对函数解析式作变形，以免引起定义域的变化.
3.已和函数f(x)的定义域为［a,b］，则函数f［g(x)］的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的取值范围；一般地，函数f［g(x)］的定义域是［a,b］,指的是x∈［a,b］,要求f(x)的定义域，就是求x∈［a,b］时，g(x)的值域.2-1-c-n-j-y
三、求函数的值域
【例5】 已知函数f(x)=,求：
(1)f(),f();(2)f(x)+f();(3)f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()+…+f(2 005)+f().21*cnjy*com
思路分析：y=f(x)的涵义是指自变量x通过对应关系求对应函数值y=f(x).该题则指x对应的函数值通过而获得，无论谁处于自变量的位置上，不管是，还是，都充当自变量角色，通过对应法则而得到所求的函数值.
解：由于f(x)=,
(1)f()==,f()==.
(2)f(x)+f()=+==1.
(3)由(2)可得f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 005)+f()=+=2 004+=2 004.5.
温馨提示
1.求函数值时，要正确理解对应法则“f”和“g”的含义.
2.求f［g(x)］时，一般遵循先里后外的原则，先求g(x),然后将f(x)解析式中的x代换为g(x),同时要注意函数的定义域.
【例6】已知函数y=x2-4x-5,求:
（1）x∈R时的函数值域；
（2）x∈{-1,0,1,2,3,4}时的值域；
（3）x∈［-2,1］时的值域.
思路分析：函数值域是由定义域与对应关系所确定的，在求函数有关问题时，始终要把握好“定义域优先”的原则，二次函数的特定区间求值域值得关注.
解：（1）x∈R,y=x2-4x-5=(x-2)2-9,值域为［-9,+∞］.
（2）当x=-1时，y=(-1)2-4×(-1)-5=0;
当x=0时，y=-5;
当x=1时，y=12-4×1-5=-8;
当x=2时，y=22-4×2-5=-9;
当x=3时，y=32-4×3-5=-8;
当x=4时，y=42-4×4-5=-5.
∴当x∈{-1,0,1,2,3,4}时函数y=x2-4x-5的值域为{0，-5，-8，-9}.
（3）∵y=x2-4x-5的图象如图所示，当x∈［-2,1］时的图象如图所示，由二次函数的性质可知函数y=x2-4x+5在x∈［-2,1］上的最小值为ymin=12-4×1-5=-8,最大值为ymax=(-2)2-4×(-2)-5=7.
∴其值域为［-8，7］.
温馨提示
1.求函数的值域应遵循“定义域优先”的原则.
2.求二次函数的值域要结合二次函数的图象求其值域.
各个击破
类题演练1
下列关系中确定是函数关系吗？
（1）L=2πR，其中R表示圆的半径，L表示圆的周长；
（2）S=S0+vt，其中S表示物体运动的距离，t表示运动时间，S0表示初始距离，v表示匀速常数；
（3）A={x|x≥0,x∈R},B=R，从集合A到集合B的对应关系是“求平方根”.
答案：（1）（2）是函数关系，（3）不是函数关系.
变式提升1
下列图象可以作为函数y=f(x)图象的是（ ）
解析：对于B，给x一个值，y可能没有元素与之对应或有两个元素与之对应；对于C，给x一个值，y可能没有或有两个元素与之对应；对于D，当x=0时，y有两个值与之对应，故选A.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：A
类题演练2
下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A.f(x)=x,g(x)=()2 B.f(x)=x2+1,g(t)=t2+1
C.f(x)=x2,g(x)=(x+1)2 D.f(x)=,g(x)=x+1
解析：A.定义域不同，C.对应关系不同，D.定义域不同.
答案：B
变式提升2
下列各小题中的两个函数是否表示同一函数.
(1)y=·与y=；
(2)y=·与y=.
解析：（1）y=·的定义域为即x≥1;而的定义域为x2-1≥0，即x≥1或x≤-1,可见定义域不同，故不表示同一函数.21cnjy.com
(2)y=·的定义域为-1≤x≤1;y=的定义域为-1≤x≤1;且·=,故对应关系相同，定义域相同，表示同一函数.
类题演练3
用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如右图），若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并指出其定义域.【来源：21cnj*y.co*m】
解析：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB=2x,宽为a.则有2x+2a+πx=l,即a=-x-x,半圆的直径为2x，半径为x,所以y=+(-x-x)·2x=-(2+)x2+lx.根据实际意义知-x-x>0,解得x>0且x<,即函数y=-(2+)x2+lx的定义域是0变式提升3
如右图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2，BC=1，∠BAD=45°,直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD位于N，记AM=x,试将梯形ABCD于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域和值域，画出函数的图象.
解：过B、C分别作AD的垂线，垂足分别为H和G，则AH=，AG=，当M位于H左侧时，AM=x,MN=x.【出处：21教育名师】
∴y=S△AMN=x·x=x2(0≤x<).
当M位于H、G之间时，
y=AH·BH+HM·MN
=··+（x-）·
=x-（≤x<）.
当M位于G、D之间时，y=S梯形ABCD-S△MDN
=··（2+1）-·（2-x）(2-x)
=-x2+2x-(≤x≤2).
∴所求函数的关系式为
函数的图象如右图所示，函数的定义域为［0，2］，函数的值域为［0，］.
类题演练4
求下列函数的定义域：
（1）y=;
(2)y=+.
解：（1）令
故函数的定义域为
{x|x<0且x≠-1}.
(2)令
故函数的定义域为
{x|-≤x≤}且x≠±.
变式提升4
(1)若函数f(x)的定义域是［0,1］，则函数f(2x)+f(x+)的定义域为______________.
解析：此类函数没有具体的解析式，由f(x)的定义域已知,那么f(2x)中的2x与f(x+)中的x+处在自变量位置上就要满足f(x)的条件要求.www-2-1-cnjy-com
∵f(x)的定义域是［0,1］，∴f(2x)+f(x+)中的x必须满足
0≤x≤.
因此所求函数定义域为［0,］.
答案：［0,］
(2)已知函数f(2x-1)的定义域为［0,1），求f(1-3x)的定义域.
解析：f(2x-1)的定义域为［0,1］，即0≤x<1,∴-1≤2x-1<1.∴f(x)的定义域为［-1，1］，
即-1≤1-3x<1,0类题演练5
已知f(x)=(x∈R且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).
(1)求f(2),g(2)的值;
（2）求f［g(2)］的值；
（3）求f［g(x)］的解析式.
解：(1)f(2)==,g(2)=22+2=6.
(2)f［g(2)］=f(6)==.
(3)f［g(x)］=f(x2+2)==.
变式提升5
(1)已知f(x)=求f［f()］=______________.
解析：f［g()］=f(1)=0.
答案：0
(2)已知：f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),若g［f(x)］=x2+x+1,求a的值.
解析：∵g［f(x)］=g(2x+a)
=［(2x+a)2+3］
=x2+ax+(a2+3)，
又∵g［f(x)］=x2+x+1，
∴∴a=1.
类题演练6
已知函数y=x2+2.
(1)求x∈{x||x|≤2,x∈Z}时的函数的值域;
（2）x∈［-1,2］时的函数的值域.
解析：（1）{2，3，6}.
（2）∵由函数图象可得ymin=f(0)=2,ymax=f(2)=6.
∴所求值域为［2，6］.
答案：（1）{2，3，6} （2）［2，6］
变式提升6
求函数y=x2-4x+5在x∈［m,6］时的值域.
解析：（1）当2≤m<6时，其图象如右图所示, 由二次函数的性质可得
ymin=f(m)=m2-4m+5.
ymax=f(6)=62-4×6+5=17.
∴原函数的值域为［m2-4m+5,17］.
(2)当-2≤m≤2时，
f(x)min=1,f(x)max=f(6)=17,
∴值域为［1，17］.
(3)当m<-2时，f(x)min=f(2)=1,
f(x)max=f(m)=m2-4m+5,
∴其值域为［1，m2-4m+5］.
1.2.2 函数的表示法
课堂导学
三点剖析
一、函数的三种表示方法
【例1】 作出下列函数的图象：
（1）y=2-x,x∈Z;
（2）y=2x2-3x-2(x>0);
（3）y=
思路分析：作函数图象主要有两种思路：①利用列表描点法，②转化为基础函数，利用基本函数图象作复杂函数图象.21*cnjy*com
解：（1）这个函数图象是由一些点组成的，这些点都在直线y=2-x上.如图1所示.
图1
（2）这个函数图象是抛物线的一部分，可先利用描点法作出y=2x2-3x-2的图象，然后截出需要的图象，如图2所示.【版权所有：21教育】
图2
(3)这个图象是由两部分组成的，当x≥1时，为双曲线y=的一部分，当x<1时，为抛物线y=x2的一部分，如图3所示.21教育名师原创作品
图3
温馨提示
1.从本题可以看出，函数的图象不一定是一条或几条平滑曲线，也可是一些孤立的点、线段、射线等，这要由定义域对应关系确定.21*cnjy*com
2.函数的图象对研究函数性质和解决有关问题十分重要，它是研究函数性质的直观图，也是数形结合的有力工具.
【例2】 由函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数解析式.
思路分析：由于f(x)是一次函数，因此可设f(x)=ax+b(a≠0)，然后利用条件列方程(组)，再求系数.
解：f(x)是一次函数，设f(x)=ax+b(a≠0).由于3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,
因此3［a(x+1)+b］-2［a(x-1)+b］=ax+5a+b=2x+17,则得
即故函数解析式为f(x)=2x+7.
温馨提示
求已知函数的解析式通常利用待定系数法.由于常见的已知函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等)的解析式结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式，即若已知函数类型，可设所求函数解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数.
二、根据已知关系,写出函数的解析式
【例3】 在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，从B点开始，沿折线BCDA向A点运动(如右图)，设P点移动的距离为x，△ABP的面积为y,求函数y=f(x)及其定义域.
思路分析：由于P点在折线BCDA上位置不同时，△ABP各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此这里要对P点位置进行分类讨论，由此y=f(x)很可能是分段函数.
解：如上图，当点P在线段BC上时，即0 当P点在线段CD上时，即4 当P点在线段DA上时，即8 ∴y=f(x)=
且f(x)的定义域是(0,12).
温馨提示
分段函数作为一类重要的函数，其对应关系不能用统一的对应法则来表示，处理分段函数的问题时除要用到分类讨论思想外，还要注意其中整体和局部的关系.
【例4】 (1)已知f(+1)=x+2,求f(x);
(2)已知f(x)满足af(x)+f()=ax(x∈R且x≠0,a为常数,且a≠±1),求f(x).
解：(1)解法一：令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1
代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.
∴f(x)=x2-1(x≥1).
温馨提示
此种解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象“+1”换作另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关系，此即为所求函数解析式.21世纪教育网版权所有
解法二：x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1,
∴f(+1)=(+1)2-1(+1≥1),即f(x)=x2-1(x≥1).
温馨提示
此方法为直接变换法或称配凑法，通过观察，分析将右端的表达式变为“接受对象”的表达式，即变为关于+1的表达式.2·1·c·n·j·y
(2)∵af(x)+f()=ax,将原式中的x与互换得af()+f(x)=,
于是得关于f(x)的方程组：
解得f(x)=(a≠±1).
温馨提示
本题求解析式的方法称为方程法.函数是定义域到值域上的映射，定义域中的每一个元素都应满足函数表达式，在已知条件下，x满足已知的式子，那么在定义域内也满足这个式子，这样得到两个关于f(x)与f()的方程，因而才能解出f(x).
三、映射的概念
【例5】 下面的对应哪些是从集合M到集合N的映射？哪些是函数？
(1)设M=R，N=R，对应关系f:y=,x∈M;
(2)设M={平面上的点}，N={(x,y)|x,y∈R}，对应关系f:M中的元素对应它在平面上的坐标；
(3)设M={高一年级全体同学}，N={0,1}，对应关系f:M中的男生对应1，女生对应0;
(4)设M=R，N=R，对应关系f(x)=2x2+1,x∈M;
(5)设M={1,4，9}，N={-1,1，-2,2，3，-3}，对应关系：M中的元素开平方.
思路分析：判断一个对应是否构成映射，关键是看M中的任一元素在N中按照给定的对应关系是否有唯一元素与之对应，是映射但不一定构成函数，只有M、N都是非空数集，且从M到N构成映射时，才能确定构成从M到N的函数；不是映射的，更不可能构成函数.
解：(1)M中的0在N中没有元素与之对应，从M到N的对应构不成映射.
(2)(3)都符合映射定义，能构成从M到N的映射，但由于M不是非空数集，因此构不成函数.
(4)从M到N的对应既能构成映射，又能构成函数.
(5)M中的元素在N中有两个元素与之对应，所以构不成映射.
温馨提示
1.映射概念中的两个集合A、B，它们可以是数集、点集或其他集合，而函数不同，A、B必须是非空数集.21·cn·jy·com
2.A到B的映射与B到A的映射是不同的，同学们判断时应注意“方向性”否则会导致错误.
各个击破
类题演练1
作出下列函数的图象.
(1)y=x,|x|≤1;
(2)y=1-x,x∈Z且|x|≤2;
(3)y=;
解：(1)此函数图象是直线y=x的一部分.
(2)此函数的定义域为{-2，-1，0，1，2}，所以其图象是由五个点组成，这些点都在直线y=1-x上.(这样的点叫做整点)www.21-cn-jy.com
（3）先求定义域，在定义域上化简函数式y==x,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).如下图所示.21·世纪*教育网
变式提升1
设［x］是不超过x的最大整数，作下列函数的图象.
(1)f(x)=［x］;
(2)h(x)=x-［x］,x∈［-2,2］.
解：(1)f(x)=［x］=n(n≤x f(x)=n(n≤x ∴f(x)=［x］的图象是无数条线段，不包括线段的右端点.注意在x轴上的线段的端点是（0，0）、（1，0）.见下图（A）.www-2-1-cnjy-com
(2)h(x)=x-［x］ x∈［-2,2］化为
h(x)=
h(x)的图象是四条线段和点（2，0），注意均不含线段上面的端点，见下图（B）.
图（A）
图（B）
类题演练2
已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).
解析：①设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(0)=1得c=1,而f(x+1)-f(x)=［a(x+1)2+b(x+1)+c］-(ax2+bx+c)=2ax+a+b.
由已知f(x+1)-f(x)=2x得2ax+a+b=2x.所以解得a=1,b=-1.
故f(x)=x2-x+1.
变式提升2
求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值.
思路分析：本题为绝对值函数，应先由零点分段讨论法去掉绝对值符号，变为分段函数，再画出分段函数的图象，然后解之.【来源：21cnj*y.co*m】
解:
作出函数图象如右上图,由图象可知x=0时,ymax=2.
类题演练3
国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税.【出处：21教育名师】
（1）试根据上述规定建立某人所得稿费x(元)与纳税额y(元)之间的函数关系式；
（2）某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？
答案：（1）
（2）3 800
变式提升3
某商场因拆迁将库存的原价100元/套的时装50套作减价处理，规定：不超过5件按八五折(即原价的85%)；6件到20件(包含20件)按六五折；20件以上打五折.
（1）你能表示出上述规定中的单价与所买件数之间的函数关系式吗？
（2）你能表示出上述规定中付出与购买件数的函数关系式吗？
答案：（1）y=
（2）y=
类题演练4
如果f()=,则f(x)=____________.
解法一:∵f()===,∴f(x)=.
解法二：设t=,则x=,
代入f()=,
得f(t)==,
故f(x)=.
变式提升4
已知f()=+,求f(x).
解法一：∵f()=+
=()2-+=()2-=()2-+1,
∴f(x)=x2-x+1.
解法二：设=u,
则x=,u≠1.
则f(u)=f()=+=1++=1+(u-1)2+(u-1).
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
温馨提示
解决这类考查求函数表达式的问题的关键是弄清楚对一个自变量“x”而言，“f”是怎样的对应规律.21cnjy.com
类题演练5
（1）下列对应是从A到B的函数的是（ ）
①A={x|x≥0,x∈R},B=R,f:x→y2=x ②A=N,B={-1,1},f:x→(-1)x ③A={三角形}，B={圆}，f:三角形→三角形的外接圆 ④A=R,B=R,f:x→y=x3【来源：21·世纪·教育·网】
A.②④ B.② C.④ D.①②④
答案：A
（2）f:A→B是集合A到集合B的映射，A=B={(x,y)|x∈R，y∈R},f:(x,y)→(kx,y+b)，若B中的元素（6，2），在此映射下的原象是（3，1），则k=_____________,b=______________.
解析：由
答案：2 1
变式提升5
已知集合A={a|a<5,a∈N}到集合B的对应法则是“乘3加2”，集合B到集合C的对应法则是“求算术平方根”.2-1-c-n-j-y
（1）试写出集合A到集合C的对应法则f;
（2）求集合C；
（3）集合A到集合C的对应是映射吗？
解析：（1）设x∈A,y∈B,z∈C,依题意y=3x+2,z=,∴z=,
∴从集合A到集合C的对应法则是f:x→z=.
（2）∵A={a|a<5,a∈N}={0,1,2,3,4},
∴C={,,2,,}.
(3)因为对于集合A内任一元素x在集合C中都有唯一的一个元素z与之对应，所以A到C的对应法则f是A到C的映射.21教育网
1.3.1 函数的基本性质
课堂导学
三点剖析
一、函数单调性
【例1】 证明函数y=x-在(0,+∞)上单调递增.
思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.
证明:设任意x1、x2∈(0,+∞)且x1f(x1)-f(x2)=x1--(x2-)=(x1-x2)+-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1+).
∵0 ∴x1-x2<0,x1x2>0,1+>0.
因此（x1-x2）(1+1x1x2)<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴f(x)=x-在（0，+∞）上单调递增.
温馨提示
1.函数单调性的证明不同于对它判断，应严格按单调性定义加以证明.
2.利用定义证明单调性，一般要遵循：(1)取值(任取给定区间上两个自变量);(2)作差变形〔将f(x1)-f(x2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有(x1-x2)的因式〕;(3)判断符号(根据条件判断差式的正负);(4)得出结论.21世纪教育网版权所有
3.有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法.21·cn·jy·com
【例2】 f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，又f()思路分析：解决此题的关键是将f(-2)与f(2)置于某一单调区间内再进行比较大小.
解：由于f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，因此x=1是二次函数的对称轴.
又∵1<<π,f() 由于0与2关于x=1对称，∴f(2)=f(0).
∵-2<0,∴f(-2)>f(0),即f(-2)>f(2).
温馨提示
利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较.【来源：21cnj*y.co*m】
二、函数的最值
【例3】 求f(x)=x+的最小值.
思路分析：该题函数f(x)由x与相加构成，x与具有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于x的次数不一致，出现了相当于2倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决.【出处：21教育名师】
解法一：f(x)=x+的定义域为［1,+∞］,在［1,+∞］上x、同时单调递增，因此f(x)=x+在［1,+∞］上单调递增，最小值为f(1)=1+=1.
解法二：f(x)=x+的定义域为［1,+∞］，令=t≥0,x=t2+1,
∴f(x)=g(t)=t2+1+t=t2+t+1=(t+)2+(t≥0).
由于g(t)的对称轴t=-在［0,+∞)的左侧，g(t)的开口方向向上，如右图所示.二次函数在［0,+∞)上单调递增，当t=0时,g(t)min=1，∴f(x)的最小值为1.
温馨提示
1.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围.【版权所有：21教育】
2.利用单调性求最值，其规律为：若f(x)在［a,b］上单调递增，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在［a,b］上单调递减，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a),最小值为f(b).21教育名师原创作品
三、函数单调性的应用
【例4】 (1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数，求实数a的取值范围；
(2)y=kx2-x+1在［0,+∞)上单调递减，求实数k的取值范围.
思路分析：(1)二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.(2)y=kx2-x+1中的k是否为零要注意讨论.2·1·c·n·j·y
解：(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2，其对称轴为x==1-a，若要二次函数在(-∞,4］上单调递减，必须满足1-a≥4,即a≤-3.如图所示.www-2-1-cnjy-com
(2)k=0时，y=-x+1满足题意；k>0时，抛物线开口向上，在［0,+∞)上不可能单调递减；k<0时，对称轴x=<0在［0,+∞］上单调递减.21*cnjy*com
综上，k≤0.
温馨提示
f(x)在（-∞,4］上是减函数，只说明区间（-∞,4］是函数f(x)在定义域上单调递减区间的一个子集.21教育网
各个击破
类题演练1
证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)在区间（-∞，-）上是增函数.
证明：设x1、x2∈(-∞,-)，且x1 ∵x1,x2∈(-∞,-),
∴x1+x2<-，∴a(x1+x2)>-b,
∴a(x1+x2)+b>0.
∵x1-x2<0，
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴y=ax2+bx+c在（-∞,-］上单调递增.
变式提升1
若函数f(x)=x+定义在(0,+∞)上，试讨论函数的单调区间.
解析：设任意x1、x2∈(0,+∞)且x1 则f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)
=(x1-x2)+
=(x1-x2)(1-)
=(x1-x2)·.
由于x1-x2<0,x1x2>0,只有x1x2-1>0或x1x2-1<0时，f(x)才具有单调性，而显然00,即f(x1)>f(x2).∴f(x)在(0,1)上单调递减.
当1≤x11,从而x1x2-1>0,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 当0综上，f(x)在(0,1)上单调递减，在［1，+∞］上单调递增.
类题演练2
f(x)在(0,+∞)上单调递减，那么f(a2-a+1)与f()的大小关系是_______________.
解析：∵a2-a+1=(a-)2+>,
又∵f(x)在（0，+∞）上单调递减，
∴f(a2-a+1)答案：f(a2-a+1)变式提升2
如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f(2-t)，比较f(1),f(2),f(4)的大小.
解析：∵f(2+t)=f(2-t),
∴f(x)的对称轴为x=2.
故f(x)在［2，+∞］上是增函数，且f(1)=f(3).
∴f(2) 即f(2)类题演练3
已知函数f(x)=,x∈［1,+∞］，求函数f(x)的最小值.
解析：f(x)=x++2,
设1≤x1 2x1x2>1,0<<1,得1->0,
又x2-x1>0,
∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1) ∴f(x)在区间［1，+∞］上为增函数，
∴f(x)在区间［1，+∞］上的最小值为f(1)=.
变式提升3
求函数f(x)=-x2+2ax+1在［0,2］上的最大值.
解析：f(x)=-x2+2ax+1=-(x2-2ax+a2)+a2+1=-(x-a)2+a2+1.
由于f(x)的对称轴x=a对于［0,2］有三种位置关系，如下图所示.
当a<0时，f(x)在［0,2］上单调递减，则最大值为f(0)=1;
当0≤a≤2时，x=a∈［0,2］，则最大值在顶点处取得，为f(a)=a2+1;
当a>2时，f(x)在［0,2］上单调递增，则最大值为f(2)=4a-3.
综上，f(x)在［0,2］上的最大值为
g(a)=
类题演练4
二次函数y=x2+mx+4在(-∞,-1］上是减函数，在［-1,+∞)上是增函数，则：
（1）m的值是多少？
（2）此函数的最小值是多大？
解析：（1）由于y=x2+mx+4在（-∞,-1］上是减函数，在［-1，+∞）上是增函数，∴其对称轴为x=-1，故m=2.21cnjy.com
(2)ymin=3.
变式提升4
已知f(x)=在区间（-2，+∞）上单调递增，求a的取值范围.
解析：f(x)=
=
=a+.
∴y-a=与y′=比较，知f（x）要在区间（-2，+∞）上单调递增只须1-2a<0即可.www.21-cn-jy.com
∴a>.
温馨提示
本题关键是将它化为y=m+型，再根据函数y=的单调性来考虑a应满足的条件，从而求出a的取值.【来源：21·世纪·教育·网】
1.3.2 奇偶性
课堂导学
三点剖析
一、函数的奇偶性概念
【例1】 判断下列论断是否正确：
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；
(3)如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.
思路分析：通过本题的研究，深刻理解函数的奇偶性的内涵.
解：（1）一个函数的定义域关于原点对称，是一个函数成为奇偶函数的必要条件，还必须要看f(-x)与-f(x)是否相等，故（1）是错误的，（2）（3）正确.www.21-cn-jy.com
二、函数奇偶性的判断
【例2】 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=kx+b(k≠0);
(5)f(x)=x+(a≠0);
(6)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
解：(1)由得x=1，函数定义域为{x|x=1}.定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数.
(2)由得x2=1，函数定义域为{x|x=±1}.f(x)=0,f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x).函数是既奇又偶函数.【来源：21·世纪·教育·网】
(3)函数定义域为{x|x≠0}且f(-x)==-f(x).f(x)为奇函数.
(4)函数定义域为R，当b=0时，f(-x)=-f(x)，为奇函数；当b≠0时，为非奇非偶函数.21·世纪*教育网
(5)函数定义域为{x|x≠0}，且f(-x)=-x-=-f(x).函数为奇函数.
(6)函数定义域为R，当b=0时，f(-x)=f(x)为偶函数；b≠0时，为非奇非偶函数.
温馨提示
1.判断函数奇偶性的步骤：先看定义域是否关于原点对称；再看f(-x)与f(x)的关系，即f(-x)=±f(x)或f(-x)±f(x)=0.www-2-1-cnjy-com
也可以通过图象是否关于原点、y轴对称来判断.
2.若定义域关于原点对称，且f(x)=0，则函数是既奇又偶的函数.
3.一次函数y=kx+b为奇函数b=0.
4.二次函数y=ax2+bx+c为偶函数b=0.
【例3】 已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+),求：
(1)f(-8);
(2)x<0时，f(x)的解析式.
思路分析：已知条件中的解析式是x>0,f(x)=x(1+),所求的f(-8)、x<0时的f(x)最终要利用奇偶性化归为f(8)、f(-x)来表示.21教育网
解：由于函数是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，因此对于任意的x都有f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x).2-1-c-n-j-y
(1)f(-8)=-f(8),f(8)=8(1+)=8×(1+2)=24,
∴f(-8)=-f(8)=-8(1+)=-8(1+2)=-24.
(2)当x<0时，f(x)=-f(-x).
∵-x>0,f(-x)=-x(1+)=-x(1-),
∴f(x)=-［-x(1-)］=x(1-).
三、函数奇偶性的应用举例
【例4】 已知f(x)是偶函数，而且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数，并加以证明.【来源：21cnj*y.co*m】
思路分析：利用函数奇偶性及图象特征比较容易对函数单调性进行判断，但是证明单调性必须用定义证明.
解：f(x)在(-∞,0)上是增函数.证明如下：
设x1-x2>0,
∴f(-x1) 由于f(x)是偶函数，因此f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2).
∴f(x1)温馨提示
利用函数的奇偶性研究关于原点对称区间上的问题，需特别注意求解哪个区间的问题，就设哪个区间的变量，然后利用函数的奇偶性转到已知区间上去，进而利用已知去解决问题.
【例5】 判断下面函数的奇偶性：f(x)=∵f(-x)=
=，故f(x)为非奇非偶函数.
错因分析：上述解法产生错误的原因是忽略了函数的定义域，导致错误.
正解：由得-2≤x≤2且x≠0,∴函数的定义域为［-2，0］∪(0,2)，此时f(x)= ,有f(-x)===-f(x)，∴函数f(x)为奇函数.
温馨提示
1.判断函数的奇偶性首先求函数的定义域，初学者最容易忽略这一点，若定义域关于原点对称再进一步判断f(-x)与f(x)的关系.21·cn·jy·com
2.当判断f(-x)与f(x)的关系比较困难时，有时可以改为判断f(x)±f(-x)是否为0或是否为1.21*cnjy*com
各个击破
类题演练1
下面四个结论中正确命题的个数是（ ）
①偶函数的图象一定与y轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)【出处：21教育名师】
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交.
反例：y=x-2,y=x0等.故①错误，③正确.
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点.
反例：y=x-1，故②错误.
若y=f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但未必x∈R.
反例：f(x)=·,其定义域为{-1，1}，故④错误.从而选A.
答案：A
类题演练2
判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=|x|-;
(2)f(x)=-;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=-x.
答案：（1）既奇又偶函数； （2）奇函数； (3)奇函数； （4）非奇非偶函数.
温馨提示
判断函数的奇偶性，首先求出函数的定义域，在此基础上，可对函数解析式进行化简，化简后再判断.如（3）若不化简解析式，则判断不出奇偶性,只能得出非奇非偶的判断.
变式提升2
判断的奇偶性.
解析：当x>0时，则-x<0,
∴f(-x)=-x［1+(-x)］=-x(1-x)=-f(x),
当x<0时，则-x>0,∴f(-x)=-x［1-(-x)］=-x(1+x)=-f(x).
于是f(-x)=
∴f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.
类题演练3
若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)=2x(1-x),求f(x)的解析式.
解析：设x<0时，则-x>0,
∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-2x(1+x),∴f(x)=2x(1+x).
∵f(0)=0,∴f(x)=
变式提升3
设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0,f(x)=x2-2x+3,试求出f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出单调区间.21世纪教育网版权所有
解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0.
当x<0时，则-x>0,
∴f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3),
∴f(x)=
其图象如右上图所示.
由图象得单调增区间是（-∞,-1），［1,+∞］，
单调减区间是［-1,0］,(0,1).
类题演练4
已知f(x)是偶函数，而且f(x)在［a,b］上是增函数，判断f(x)在［-b,-a］上是增函数还是减函数，并证明.21cnjy.com
解析：减函数.证明如下：
设［-b,-a］上任意两个自变量x1,x2，且x1-x1>-x2>a,
∵f(x)在［a,b］上是增函数，
∴f(-x1)>f(-x2).
∵f(x)是偶函数，
∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在［-b,-a］上是减函数.
变式提升4
若f(x)是R上的偶函数，且在［0,+∞］上是减函数，求满足f(π)解析：f(π) ∵f(x)在［0，+∞］上是减函数，
∴π>|m|,∴-π类题演练5
（2006全国Ⅱ文，13）已知函数f(x)=a-,若f(x)为奇函数，则a=_______________.
解析:由奇函数的定义：f(-x)=-f(x)，解a-=-(a-),得a=.
答案:
变式提升5
已知奇函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)=在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.2·1·c·n·j·y
解：减函数.证明如下:
任取x1,x2∈(-∞,0),且x1 则有:-x1>-x2>0,
∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,
∴f(-x2) 又∵f(x)是奇函数,
∴f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1),
∴-f(x2)<-f(x1)<0,
∴f(x2)>f(x1)>0,F(x1)-F(x2)=-=>0,即F(x1)>F(x2),
∴F(x)=在（-∞,0）上是减函数.
3.1.1 函数与方程
课堂导学
三点剖析
一、函数的零点概念及求法
【例1】 求函数y=-x2-2x+3的零点，并指出y＞0，y＜0时，x的取值范围.
解析：解二次方程-x2-2x+3=0得，
x1=-3,x2=1，
∴函数y=-x2-2x+3的零点为-3，1.
y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当-3＜x＜1时，y＞0.当x＜-3或x＞1时，y＜0.21世纪教育网版权所有
∴函数y=-x2-2x+3的零点是-3，1.
y＞0时，x的取值范围是（-3，1）；y＜0时,x的取值范围是（-∞，-3）∪(1,+∞).
温馨提示
函数的零点即对应方程的根.本题借助零点和二次函数的图象得出不等式ax2+bx+c＞0(＜0)的解集.21教育网
二、函数零点的应用
【例2】 已知函数f(x)=x3-8x+1在区间［2,3］内的一部分函数值如下表所示.根据此表及图象,你能探究出方程x3-8x+1=0的一个实根所在的区间吗?(精确到0.1)
x
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
f(x)
-7
-6.539
-5.952
-5.233
-4.376
-3.375
x
2.6
2.7
2.8
2.9
3
…
f(x)
-2.224
-0.917
0.552
2.189
4
…
解析:观察表格并利用描点法作出f(x)的大体图象,发现当自变量x由2变到3时,其函数值由-7逐渐接近于0,再变为正值,在此变化过程中,由于y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以必存在一点x0使得f(x)=0,即x03-8x0+1=0,此x0所在的区间为［2.7,2.8］.
温馨提示
判断零点所在的区间方法有两个：
1.f(a)·f(b)＜0，且图象在［a,b］上连续不断.
2.利用函数图象，直接观察判断，该方法关键是准确作图，简单函数的图象可以由“列表→描点→连线”而完成，复杂函数的图象可以借助计算机等辅助数学工具，例如几何画板工具软件，TI图形计算器等.这里对函数单调性的分析可以帮助确定零点个数.
【例3】 已知函数y=f(x)在区间［a,b］上是连续不断的曲线,判断下列结论,正确的是______.21cnjy.com
①若f(a)·f(b)＜0,则在区间(a,b)内函数f(x)有且仅有一个零点 ②若f(a)·f(b)＞0,则在区间(a,b)内函数f(x)无零点 ③若f(x)在(a,b)内有零点,必有f(a)·f(b)＜0④若f(a)·f(b)≤0,则函数f(x)在(a,b)内有零点 ⑤若f(a)·f(b)＜0,则函数f(x)在(a,b)内有零点21·cn·jy·com
解析:本题设计的目的是为了加深对零点存在性定理的正确理解.①有条件f(a)·f(b)＜0成立,则在(a,b)内可能不止一个零点;②是在f(a)·f(b)＞0的情况下,未必无零点;③在(a,b)内有零点,也未必有f(a)·f(b)＜0成立;④注意端点问题,可能a、b恰好使得f(x)=0.本题从多侧面、多角度考查对定理的理解,对培养学生思维的严密性很有帮助.
答案:⑤
温馨提示
对于一个定理和结论的理解,要做到逐字逐句地去琢磨、分析.条件具备,则结论正确;条件不具备,则结论未必不成立;结论成立,而条件未必成立.注意思维的严密性.
各个击破
类题演练1
求y=x2+2x+1的零点，并指出y＞0的取值范围.
解析：令x2+2x+1=0，∴x=-1.
∴y=x2+2x+1的零点为-1.
y＞0的取值范围为x≠-1.
变式提升1
（1）若函数f(x)=x2+ax+b的零点是2和-4,求a、b的值.
解析：由条件得 ∴
（2）求函数y=x3-7x+6的零点.
解析：∵x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)
=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)，
解x3-7x+6=0，
即(x-1)(x-2)(x+3)=0，x1=-3,x2=1,x3=2.
∴函数y=x3-7x+6的零点为-3，1，2.
类题演练2
函数f(x)=x2+ax+b的零点是-1和2，判断函数g(x)=ax3+bx+4的零点所在的大致区间.
思路分析：函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根，即x2+ax+b=0的根，由根与系数的关系可求得a、b的值,从而可求解.www.21-cn-jy.com
解:∵-1和2是函数f(x)=x2+ax+b的零点,∴-1+2=-a,-1×2=b,即a=-1,b=-2.
∴g(x)=-x3-2x+4.
∵g(1)=1,g(2)=-8,g(1)5g(2)<0,∴g(x)在区间(1,2)内有一个零点.
又∵g(x)在R上是单增函数，∴g(x)只有一个零点.
变式提升2
利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)=-x3-2x+1;(2)f(x)=e1+x+2x+2.
解析：（1）用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（如下表）及其图象（如图1）.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
34
13
4
1
-2
-11
-32
3.1.2 用二分法求方程的近似解
课堂导学
三点剖析
一、用二分法求相应方程的近似解
【例1】 证明方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根，并求出这个根的近似值（精确到0.01）.【版权所有：21教育】
证明：令f(x)=x3-3x+1，则f(x)在区间［1，2］上的图象是一条连续不断的曲线.
∵f(1)=1-3+1=-1＜0,
f(2)=8-6+1=3＞0,
∴f(1)·f(2)＜0,
∴函数f(x)在区间（1，2）内必有一零点，
∴方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根x0.
取区间(1,2)的中点x1=1.5，
用计算器算得f(1.5)=-0.125.
因为f(1.5)·f(2)＜0,
所以x0∈(1.5,2).
再取(1.5,2)的中点x2=1.75，
用计算器算得f(1.75)=1.109 375.
因为f(1.5)·f(1.75)＜0，
所以x0∈（1.5,1.75）.
又取（1.5,1.75）的中点x3=1.625.
用计算器算得f(1.625)=0.416 015 625.
因为f(1.5)·f(1.625)＜0,
所以x0∈(1.5,1.625).
取（1.5,1.625）的中点x4=1.562 5,
用计算器算得f(1.562 5)=0.127 197 265 625.
因为f(1.5)·f(1.562 5)＜0,
所以x0∈(1.5,1.562 5).
取（1.5,1.562 5）的中点x5=1.531 25时，
用计算器算得
f(1.531 25)=-0.003 387 451 171 875.
因为f(1.531 25)·f(1.562 5)＜0,
所以x0∈(1.531 25,1.562 5).
取（1.531 25,1.562 5）的中点
x6=1.546 875时，
用计算器算得
f(1.546 875)=0.060 771 942 138 671 875.
因为f(1.531 25)·f(1.546 875)＜0,
所以x0∈(1.531 25,1.546 875).
同理，可算得 f(1.531 25)·f(1.539 062 5)＜0，
x0∈(1.531 25,1.539 062 5);f(1.531 25)·
f(1.535 156 25)＜0,x0∈(1.531 25,1.535 156 25).
又当取（1.531 25,1.535 156 25）的中点x9=1.533 203 125时，
f(1.531 25)·f(1.533 203 125)＜0，
即x0∈(1.531 25,1.533 203 125).
由于|1.531 25-1.533 203 125|=0.001 953 125＜0.01,21世纪教育网版权所有
此时区间（1.531 25,1.533 203 125）的两个端点精确到0.01的近似值都是1.53，所以原方程精确到0.01的近似值为1.53.21cnjy.com
二、对二分法再理解
【例2】有一块边长为30 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是1 200 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少厘米（精确到0.1 cm）？【来源：21·世纪·教育·网】
解析：盒子的体积y和以x为自变量的函数解析式为y=(30-2x)2x.
如果要做成一个容积是1 200 cm3的无盖盒子，那么有方程(30-2x)2x=1 200,其定义域为{x|0＜x＜15＝.21·世纪*教育网
令f(x)=(30-2x)2x-1 200，借助计算机画出函数图象.由图象可以看出，函数f(x)分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个零点，即方程(30-2x)2x=1 200分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解.21*cnjy*com
取区间（1，2）的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)=-106.5＜0.
因为f(1.5)·f(2)＜0，所以x0∈(1.5,2).
同理可得x0∈(1.5,1.75)，x0∈(1.625,1.75),x0∈(1.687 5,1.75),x0∈(1.687 5,1.718 75),x0∈(1.687 5,1.703 125),x0∈(1.687 5,1.695 312 5).21教育名师原创作品
由于|1.695 312 5-1.687 5|=0.007 812 5＜0.1，
此时区间（1.687 5,1.695 312 5）的两个端点精确至0.1的近似值都是1.7，所以方程在区间（1，2）内精确到0.1的近似解为1.7.同理可得方程在区间（9，10）内精确到0.1的解为9.4.
故如果要做成一个容积是1 200cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是1.7 cm或9.4 cm.
温馨提示
用二分法求方程的近似解的过程有两点须注意：1.计算量大；2.重复相同的计算步骤.因此，常借助计算器或通过设计一定的计算程序，借助计算机完成计算，在模块三同学们可以学到.
三、“精确度为ε”与“精确到ε”
【例3】 借助计算器，分别按下面两种要求，用二分法求函数f(x)=lnx-在区间（2，3）内的零点：
（1）精确度为0.1；（2）精确到0.1.
解析：可证得函数在区间（2，3）上为增函数，由题设有f(2)≈-0.31＜0,f(3)≈0.43＞0,
由于f(2)·f(3)＜0，故函数f(x)在区间（2，3）内有一个零点x0，即x0∈(2,3).
下面用二分法求函数f(x)=lnx-在区间（2，3）内零点的近似值：
取区间（2，3）的中点x1=2.5，用计算器算得f(2.5)≈0.12＞0，由于f(2)·f(2.5)＜0,所以x0∈(2,2.5);
再取区间（2，2.5）的中点x2=2.25，用计算器算得f(2.25)≈-0.08＜0,由于f(2.25)·f(2.5)＜0，所以x0∈(2.25,2.5).
同理可得x0∈(2.25,2.375)，
x0∈(2.312 5,2.375).(*)
（1）由于|2.312 5-2.375|=0.062 5＜0.1，所以区间［2.312 5,2.375］上任意一个实数x0′均可作为f(x)在区间（2，3）内且精确度为0.1的零点的近似值（比如，可取x0′=2.35,2.342,2.375等）；
（2）接（*），同理可得，x0∈(2.343 75,2.375),x0∈(2.343 75,2.359 375),
x0∈(2.343 75,2.351 562 5),x0∈(2.343 75,2.347 656 25).【出处：21教育名师】
由于区间(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是2.3，所以函数f(x)在区间（2，3）内精确到0.1的零点的近似值为2.3.
各个击破
类题演练1
求方程x3+x2-2x-2=0的一个正实数解（精确到0.1）.
解析：列表：
x
0
1
2
3
4
…
f(x)
-2
-2
6
28
70
…
由表可知，f(1)·f(2)＜0，说明该方程在区间（1，2）内有正实数解.
取区间（1，2）的中点x1=1.5，由计算器可算得f(1.5)=0.625＞0,因为f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5).21·cn·jy·com
再取(1,1.5)的中点x2=1.25,由计算器可算得f(1.25)=-0.984＜0，因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25,1.5).
同理可知x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.438),而|1.375-1.438|=0.063＜0.1，此时区间（1.375,1.438）的两个端点精确到0.1的近似值都为1.4，所以方程的一个正实数解为1.4.
变式提升1
用二分法求的近似值（精确到0.01）.
解析：设y=x3-3，则y=x3-3在（1，2）上是一条连续不断的曲线，∴y=x3-3在（1，2）上必有一零点x0.【来源：21cnj*y.co*m】
取（1，2）的中点x1=1.5,
f(1.5)=0.375＞0,∴x0∈(1,1.5).
再取（1，1.5）的中点x2=1.25,
f(1.25)=-1.046 875＜0,∴x0∈(1.25,1.5).
再取（1.25,1.5）的中点x3=1.375,
f(1.375)=-0.400 390 625＜0,
∴x0∈(1.375,1.5).
这样反复计算下去，直到x0∈(1.441 406 25,1.443 359 375).
∵区间两个端点精确到0.01都是1.44，
∴y=x3-3的一个零点为1.44.即精确到0.01的近似值为1.44.
温馨提示
1.使用二分法的前提是：y=f(x)在［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)＜0.21教育网
2.使用二分法求函数零点的步骤：①可以结合函数图象来初步判断根的分布区间；②利用二分法算下去，直到满足题目的精确度要求为止；③根据精确度要求写出方程的近似解.
3.二分法求解零点的缺点：二分法的思想虽然简单，但是一方面若函数y=f(x0)在［a,b］上有几个零点时，只算出其中一个零点；另一方面，即使函数y=f(x)在［a,b］上有零点，也未必有f(a)·f(b)＜0，即用二分法不能求函数的不变号零点，这就限制了二分法的使用范围.2-1-c-n-j-y
类题演练2
一元二次方程可以用求根公式求根，但在没有求根公式的情况下，如何求方程2x3+3x-3=0的一个实数解？(精确度为0.01)21*cnjy*com
解析:∵f(0)=-3<0,f(2)=19>0,
∴函数f(x)=2x3+3x-3在［0,2］内存在零点，即方程2x3+3x-3=0在(0,2)内有解.
取(0,2)的中点1，f(1)=2>0.
又f(0)<0,∴2x3+3x-3=0在(0,1)内有解.
如此继续下去，得到方程2x3+3x-3=0的解在区间［0.742 187 5,0.746 093 75］，而|0.746 093 75-0.742 187 5|=0.003 906 25<0.01.
∴方程2x3+3x-3=0精确度为0.01的近似解是0.74.
变式提升2
已知函数f(x)=ax+(a＞1),
(1)求证:f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
（2）求证当a=3时，f(x)=ax+在（0，1）内必有零点；
(3)若a=3,求方程f(x)=0的正根.(精确到0.01)
解析：（1）可设g(x)=ax,h(x)=，
由指数函数的性质可知：
当a＞1时，y=ax在（-1，+∞）上单调递增.
下面证明h(x)=在（-1，+∞）上单调递增.设x1、x2∈(-1,+∞)且x1＜x2，
则h(x1)-h(x2)=-=-=.
∵-1＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1+1＞0,x2+1＞0，
∴h(x1)＜h(x2),
∴h(x)在（-1，+∞）上单调递增.
∴f(x)=g(x)+h(x)在（-1，+∞）上单调递增.
（2）由（1）可知：函数f(x)在（-1，+∞）上是增函数.
又f(0)=30-2=-1＜0,f(1)=31-=＞0,即f(0)·f(1)＜0，说明函数f(x)在区间（0，1）内有零点，且只有一个.
（3）由二分法可求得，
当a=3时，f(x)=0的正根为0.28.
类题演练3
函数f(x)=x2-5的零点的近似值为（精确到0.1）（ ）
A.2.0 B.2.1 C.2.2 D.2.3
解析：∵f(2)·f(3)＜0.∴f(x)在（2，3）内必有一零点.可用二分法求得近似解为2.1.
变式提升3
用二分法求2x=x+2负的近似解（精确到0.1）.
解析：设f(x)=2x-x-2,由于f(-2)=,
f(-1)=-,f(-2)·f(-1)＜0.
故f(x)在（-2，-1）上必有一零点.
可用二分法求得近似解为-1.7.
温馨提示
1.按“精确度为ε”要求得到的近似值不是唯一的，即若|a-b|＜ε，则［a,b］上任何一个实数值x0均可作为所求的近似值.www.21-cn-jy.com
2.按“精确到ε”要求得到的近似值是唯一的，即判断区间（a,b）两端点精确到ε的近似值是否相同.若相同，则该值x0即为所求的近似值.2·1·c·n·j·y
如例3（2）中(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到0.1时的近似值都是2.3，故2.3即为所求.www-2-1-cnjy-com
3.2.1 函数模型及其应用
课堂导学
三点剖析
一、常见函数模型
【例1】 (一次函数模型)某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该店推出两种优惠办法:21教育网
(1)买一个茶壶赠送一个茶杯;
(2)按总价的92%付款.
某顾客需购茶壶4个,茶杯若干(不少于4个),若需茶杯x个,付款数为y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系,并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算.
思路分析:本题考查的是建立一次函数模型,并应用一次函数模型解决实际问题的能力.第一种优惠方法中,实际付款是4个茶壶的钱和(x-4)个茶杯的钱.第二种优惠方法只需将货款总数乘以92%,而后再作差比较二者的大小即可.2·1·c·n·j·y
解:由优惠办法(1)可得函数关系式:y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4),
由优惠办法(2)可得函数关系式:
y2=(5x+4×20)×92%=4.6x+73.6.
比较:y1-y2=0.4x-13.6(x≥4).
①当0.4x-13.6＞0,即x＞34时,y1＞y2,
即当购买茶杯个数大于34时,优惠办法(2)合算.
②当0.4x-13.6=0,即x=34时,两种优惠办法一样合算.
③当0.4x-13.6＜0,即4≤x＜34时,y1＜y2.优惠办法(1)合算.
温馨提示
1.建立函数模型后,如果结论不能确定,应注意对其进行分类讨论.
2.用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模.函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数的性质把握问题并解决问题.读题是解决实际问题的重要环节.一般的实际问题的叙述都比较长，需要逐字逐句地把问题看懂，这是建立数学模型的前提.21世纪教育网版权所有
二、利用函数模型分析问题
【例2】 (指数函数模型)按复利计算利息的一种储蓄,设本金为a元,每期利率为r,存期为x,写出本金和利息总和y(元)与x的函数表达式.如果存入本金10 000元,每期1.98%,试计算5期后,本息总和是多少?www.21-cn-jy.com
思路分析:本题考查的是与我们生活中息息相关的储蓄问题,其数学模型是指数函数.由题意知,每期到期后,其本利总和是前一期的(1+r)倍,所以可从第一期开始以此类推.
解:∵本金为a元,
∴1期后本息和为a+ar=a(1+r);
2期后本息和为a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;
3期后本息和为a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3;
……
x期后本息和为y=a(1+r)x.
将a=10 000,x=5,r=1.98%代入上式得，
y=10 000(1+1.98%)5=11 029.99(元).
温馨提示
在实际问题中,常遇到有关平均增长率的问题,若基数为a,平均增长率为p,则总量y与时间x的关系式为y=a(1+p)x,此为指数型函数.21cnjy.com
各个击破
类题演练1
(二次函数模型)某旅店有客房300间,每间日房租为20元,每天客满.旅店欲提高档次,并提高租金,如果每间客房每日增加2元,客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素,旅店将租金定为多少时,每天客房的总收入最高?21·cn·jy·com
解析：设定租金x元，总收入最高，则总收入y=x(300-×10)=-5［(x-40)2-1 600］，
当x=40时，y最大且最大值为5×1 600=8 000(元).
答案：40元
变式提升1
某工厂生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R（总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元）是年产量（单位：件）的函数.满足关系式：【来源：21·世纪·教育·网】
R=f(Q)=
（1）将总利润L（单位：元）表示为Q 的函数;
（2）求每生产多少件产品时、总利润最大？此时总利润是多少？
解析：（1）根据题意，总成本应为C=g(Q)=20 000+100Q,
从而可得总利润函数为L=φ(Q)=
即L=
（2）当0≤Q≤400时,
L=-（Q-300）2-20 000+45 000=-（Q-300）2+25 000.
此时当Q=300时，L最大=25 000；
当Q＞400时，L=60 000-100Q＜60 000-100×400=20 000＜25 000；
所以，当Q=300时，L最大=25 000.
答：每年生产300件产品时，总利润最大，最大利润为25 000元.
类题演练2
某企业计划发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率6.5%的复利计息，问多少年后每张债券一次偿还本利和1 000元？（参考lg2=0.301 0,lg1.065=0.027 4）.
解析：设n年后每张债券一次偿还本利和1 000元，由1 000=500（1+6.5%）n，解得n=lg2/lg1.065≈11.21·世纪*教育网
答：11年后每张债券应一次偿还本利和1 000元.
变式提升2
某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%,试解答下列问题：
（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系；
（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）.
解析：（1）1年后该城市人口总数为
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).
2年后该城市人口总数为
y=100×（1+1.2%）+100×（1+1.2%）×1.2%=100×（1+1.2%）2.
3年后该城市人口总数为
y=100×（1+1.2%）2+100×（1+1.2%）2×1.2%=100×（1+1.2%）3.
……
x年后该城市人口总数为
y=100×（1+1.2%）x.
（2）10年后该城市人口总数为
100×（1+1.2%）10≈112.7（万人）.
3.2.2 函数模型应用举例
课堂导学
三点剖析
一、函数模型的确定
【例1】 以下是某地区不同身高的未成年男性体重平均值表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高cm
120
130
140
150
160
170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据表中提供的数据，能否从我们已学过的函数y=ax+b,y=alnx+b,y=a·bx中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？试求出这个函数的解析式.21cnjy.com
（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175 cm，体重为78 kg，他的体重是否正常？21·cn·jy·com
思路分析：可先根据表中的数据，描点画出函数图象（散点图），再根据散点图的形状判断应当选择哪种函数关系，然后根据已知数据求出所选式子的待定常数，最后将表中的身高数据代入求得的解析式，看所得的函数值是否与已知体重数据基本吻合.
解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，如右图.根据点的分布特征可考虑用函数y=a·bx反映上述数据之间的对应关系.【来源：21·世纪·教育·网】
把x=70,y=7.90和x=170,y=55.05两组数据分别代入y=a·bx，
得
解得a≈2，b≈1.02,
故该地区未成年男性平均体重关于身高的近似函数关系式可选取为y=2×1.02x.
将已知数据代入所得函数解析式，可知所求函数能较好的反映该地区未成年男性体重与身高的关系.
（2）把x=175代入y=2×1.02x，
得y=2×1.02175≈63.98.
∵78÷63.98≈1.22＞1.2，∴这名男生体重偏胖.
二、数学模型的应用
【例2】 某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和交付费用如下表所示:
月份
用气量
煤气费
1
4 m3
4元
2
25 m3
14元
3
35 m3
19元
该市煤气收费方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费.若该月用气量不超过最低量A m3,那么只付基本费3元和每户每月的定额保险费C元;若用气量超过A m3,那么超出部分付超额费,每立方米为B元,又知保险费C不超过5元,试根据上述条件及数据求A、B的值.
思路分析:关键在于找出煤气费与用量间的函数关系，这显然是一分段函数.
解:设月用气量为x m3,支付的煤气费为y元,依题意有，
∵0＜C≤5,
∴3＜3+C≤8.
∴二、三月份煤气费满足
若一月份用气超过A m3,则4＞A,
∴4=3+0.5(4-A)+C,这不可能.
∴4=3+C，C=1,B=,A=5.
温馨提示
解决实际问题，首先在审清题意的基础上，将实际问题转化成相应的函数来解决.函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型.并利用所得函数模型解析有关现象.对某些发展趋势进行预测，在用函数模型解决实际问题的过程中，涉及复杂的数据处理，要注意充分发挥信息技术的作用，简化过程、减小计算量.
各个击破
类题演练1
我国1990—2000年的国内生产总值如下表所示：
年份
1990
1991
1992
1993
产值/亿元
18 598.4
21 662.5
26 651.9
34 560.5
年份
1994
1995
1996
1997
产值/亿元
46 670.0
57 494.9
66 850.5
73 142.7
年份
1998
1999
2000
产值/亿元
76 967.1
80 422.8
89 404.0
（1）描点画出1990—2000年国内生产总值的图象；
（2）建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型，并画出其图象；
（3）根据所建立的函数模型，预测2004年的国内生产总值.
解析：（1）取自变量x为0，1，…，10，对应年份为1990，1991，…，2000得函数图象，如下图：21世纪教育网版权所有
（2）根据图象，取函数模型y=a·bx.
取2组数据：
（2，26 651.9）,(8,76 967.1).
代入y=a·bx得
解得a≈18 715.5,b≈1.19，得函数模型：
y=18 715.5×1.19x.
将其他数据代入上述函数解析式，基本吻合.
（3）令x=14得y≈213 726.8（亿元），
根据所建函数模型预测2004年的国内生产总值为213 726.8亿元.
类题演练2
已知某企业的原有产品，每年投入x万元，可获得的年利润可表示为函数：P（x）=-·（x-30）2+8（万元）.现开发一个回报率高、科技含量高的新产品，据预测，新产品每年投入x万元，可获得年利润Q（x）=-（100-x）2+(100-x)（万元）.新产品开发从“十五”计划的第一年开始，用两年时间完成.这两年，每年从100万元的生产准备金中，拿出80万元来投入新产品开发.从第三年开始这100万元全部用于新旧两种产品的生产投入.21教育网
（1）为了解决资金缺口，第一年初向银行贷款1 000万元，利率为5.5%（不计复利），第五年底一次性应向银行偿还本息共计多少万元？www.21-cn-jy.com
（2）从新产品投产的第三年开始，从100万元的生产准备金中，新旧两种产品各应投入多少万元，才能使年利润最大？2·1·c·n·j·y
（3）从新旧产品的五年总利润中最高拿出70%来，能否还清对银行的欠款？
解析：（1）五年利息是1 000×0.055×5=275（万元），本利和为1 275万元.
（2）设从第三年年初起每年旧产品投入x万元，新产品投入（100-x）万元，于是每年的利润是W=P（x）+Q(100-x)=［-（x-30）2+8］+{-［100-(100-x)］2+［100-(100-x)］}=(-x2+x-1)+(-x2+x)=-x2+52x-1=-(x-26)2+675.
∴投入旧产品26万元，新产品74万元时，每年可获得最大的利润，最大利润是675万元.
（3）因为P（x）在（0，30］上是增函数，所以在100万元的生产准备金中除用于新产品开发外，剩余的20万元全部投入即可得到最大利润.于是，头2年的利润是W1=2×P（20）=14（万元）；后3年的利润是W2=3×［P（26）+Q（74）］=3×675=2 025（万元），故5年的总利润是W=W1+W2=2 039万元，又2 039×70%=1 427.3＞1 275，所以从新旧产品的五年总利润中拿出70%来，能够还清对银行的欠款.21·世纪*教育网
2.1.1 指数函数
课堂导学
三点剖析
一、根式、分数指数幂与无理数指数幂的意义
【例1】 计算下列各式的值:
(1); (2);
(3)(n∈N*,且n>1);
(4); (5);
(6)++.
思路分析:的意义是n为奇数时,a∈R;n为偶数时,a≥0.n为奇数时,=a;n为偶数时, =|a|=21教育网
解:(1)==3.
(2)==-3.解析:(1)===53=125.
(2)==32=9.
(3)==()-3=()3=.
(4)(a>0)=··===.
(5)2(-2)=2××-2×2×=1-4x-1=1-.
温馨提示
进行根式运算时,通常将根式化为幂的形式,再利用分数指数幂的运算法则进行运算.
【例3】 已知+=3，求下列各式的值.
（1）a+a-1；（2）a2+a-2；（3）.
解析：(1)将+=3,两边平方得a+a-1+2=9,所以a+a-1=7.
(2)a2+a-2=（a+a-1）2-2=72-2=47.
(3)==8.
温馨提示
给值求值问题应结合已知条件,将所求式子变形，寻求与已知条件的联系.
三、分数指数幂的运算性质
【例4】 下列等式成立吗？说明理由：
（1）a0=1；（2）=；
（3）=.
解析：（1）不一定成立，当a≠0时成立，当a=0时不成立.
（2）不一定成立，只有当x+y为非负数时才成立，否则不成立.
（3）不成立，因为当-bm2≤0时，不适合分数指数幂的运算性质.
温馨提示
在进行根式、分数指数幂的运算时，要特别注意其使用的条件，否则导致错误.如=成立的条件是a＞0，初学者最容易忽视条件导致错误.如同学们经常出现 如下的错误：===1；=x-y.21世纪教育网版权所有
各个击破
类题演练1
求下列各式的值：
(1)；
(2)+.
答案：(1) (2)-6-
变式提升1
（1）化简:+.
解析:|m-n|+(m-n)=
答案：
（2）化简:+.
解析:原式=+=-+-=-.
答案:-
类题演练2
计算下列各式的值：
(1)()6(x>0,y>0);
(2)
解析：（1）原式=x3y-2=.
（2）原式===ab2.
答案：（1） (2)ab2
变式提升2
化简:(1)7-3-6+;
(2).
解析：(1)原式=7×-3××2-6×+=-6×+=2×-2×3×=2×-2×=0.21cnjy.com
(2)原式=··===
答案：（1）0 （2）
温馨提示
化为分数指数幂是化简根式的重要方法.化简题的最后结论习惯上常与题干的结构形式一致.
类题演练3
已知-=.求:
(1)+;(2)x+x-1;(3)x-x-1.
解析：（1）（+）2=（-）2+4=5+4=9，∴+=3.
（2）x1+x-1=（+）2-2=7.
（3）x-x-1=（+）（-）=3.
答案：（1）3 （2）7 （3）3
变式提升3
若x+x-1=3，求-.
解析：∵（-）2=x+x-1-2=1，
∴-=±1.
答案：±1
类题演练4
a∈R，下列各式中正确的是( )
A.= B.（）2= C.（）n=a D.（a4）3=（a3）4
解析：A项中，当a≥0时，=，运算错；当a＜0时，无意义，∴A项错.B项中，当a=0时，无意义；若a＞0时，指数运算也是错的，∴B项错. C项中，当a＜0时，n为大于1的偶数时，没有意义，∴C项错，D项成立.21·cn·jy·com
答案：D
变式提升4
有下列命题,其中正确命题的个数是( )
①=a ②若a∈R，则（a2-a+1）0=1 ③=+y ④=
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析：①中缺少a＞0的条件;
②中，a2-a+1=（a-）2+＞0,故（a2-a+1）0=1成立;
③=≠+y，故③错误;
④=-=≠，故④错误.
答案：B
(3)=
(4)==.
(5)=|a-3|=
(6)++=-2+π-2+2-π=-2.
温馨提示
运算时要分清与（）n这两种形式，对于后者利用（）n=a（n＞1且n∈N*）计算.对于前者,要注意n的奇偶数.www.21-cn-jy.com
二、分数指数幂再讨论
【例2】 计算下列各式的值:
(1); (2); (3); (4)(a>0);
(5)2(-2).
2.1.2 指数函数及其性质
课堂导学
三点剖析
一、指数函数的概念图象及性质
【例1】 下列函数是指数函数吗?分别求函数的定义域、值域.
(1)y=56x+1; (2)y=()3x;
(3)y=; (4)y=π-x;
(5)y=(2a-1)x(a>,且a≠1); (6)y=.
思路分析:一个函数是否为指数函数要根据定义进行判断,不是指数函数的函数,求其定义域、值域时,先求定义域,再按复合函数结构特征去求值域.21教育网
解:(1)y=56x+1=5·(56)x不是指数函数,其定义域为R,设t=6x+1,则t∈R,y=5t∈(0,+∞).
(2)y=()3x=［()3］x=()x是指数函数,定义域为R,值域为(0,+∞).
(3)y=不是指数函数,要使解析式有意义,必须x≠0,定义域为{x|x≠0}.
设t=,则t∈(-∞,0)∪(0,+∞),y=0.7t∈(0,1)∪(1,+∞).
(4)y=π-x=()x是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞).
(5)y=(2a-1)x(a>且a≠1)是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞).
(6)y=不是指数函数,要使函数有意义,必须1-2-x≥0,
即1-()x≥0,也就是()x≤1=()0,得x≥0,定义域为{x|x≥0}.
令t=1-()x,当x≥0时,0<()x≤1,0≤1-()x<1,因此t∈［0,1］,y=∈［0,1］.
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)-;
(2)π0.3,0.923.5.
思路分析:利用指数函数单调性可直接比较aα与aβ的大小.当底数不同时,往往需要插入中间值如1进行大小比较.21cnjy.com
解:(1)由于y=0.35x在(-∞,+∞)上是减函数,又->-,
因此,<.
(2)由于π>1,因此π0.3>π0=1,0<0.92<1,则0.923.5<0.920=1,从而有π0.3>0.923.5.
温馨提示
因为a0=b0=1,当aα、bβ比较大小时(a、b>0,且a、b≠1),往往插入中间值1,使aα、bβ能够通过与1的比较进而区别大小.21·cn·jy·com
二、指数函数性质的应用
【例3】 根据所给条件,确定x的取值范围.
(1)()-3x+5<2;
(2)(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1(a>且a≠1).
思路分析:此类题目解决的依据是指单调性.
解:(1)()-3x+5<2(2-1)-3x+5<223x-5<2.
由单调性可知3x-5<1,
即x<2.
(2)当0<2a-1<1,
即 (2a-1)x-5>(2a-1)2x-1x-5<2x-1,得x>-4;
当2a-1>1,
即a>1.
(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1x-5>2x-1,得x<-4.
温馨提示
求解指数中含有未知数的不等式时，必须注意底数是大于1还是大于零且小于1，然后再利用相应指数函数单调性进行解答，可归纳为：当a＞1时，＞f（x）＞g（x）；当0＜a<1时，＞f（x）＜g（x）.www.21-cn-jy.com
三、指数函数的单调性
【例4】 试判断函数f（x）=的单调性.
错解：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=-=.
∵x1＜x2，
∴-x1＞-x2.
∴ax1＜ax2，a-x1＞a-x2.
∴ax1-ax2＜0，a-x2-a-x1＜0.
∴f（x1）-f（x2）＜0.
∴f（x1）＜f（x2），
即f（x）=是增函数.
错因分析：上述解法错误的原因是忽略了指数函数的单调性，应在a＞1与0＜a＜1中分别讨论.
正解：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则
f（x2）-f（x1）=-=.
∵x1＜x2，
∴-x1＞-x2.
当a＞1时，ax1＜ax2，a-x1＞a-x2，
∴ax2-ax1＞0，a-x1-a-x2＞0，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
此时f（x）是增函数.
当0＜a＜1时，ax1＞ax2，a-x1＜a-x2，
∴ax2-ax1＜0，a-x1-a-x2＜0，
∴f（x2）-f（x1）＜0，
即f（x2）＜f（x1）此时f（x）是减函数.
故当a＞1时，f（x）是增函数，
当0＜a＜1时，f（x）是减函数.
温馨提示
指数函数y=ax单调性与底数a有关，当a＞1时，单调递增；当0＜a＜1时，单调递减.初学者，在解题时最容易忽视这一点，如＞（）xx2-x＞x，再如，若x2-x＞x得＞ax.应熟练掌握如下等价式：当a＞1时，＞＝f（x）g（x）当0＜a＜1时，＞f（x）＜g（x）.2·1·c·n·j·y
各个击破
类题演练1
(1)指出下列函数哪些是指数函数：
（1）y=x4; （2）y=-4x;
（3）y=（-4）x; （4）y=xx;
（5）y=2x2; （6）y=πx.
答案：（6）是指数函数.
(2)求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=0.2-x+25x+1;
(4)y=.
解析：（1）∵-x+1≥0，∴x≤1.∴定义域为{x|x≤1}，值域［1，+∞］.
（2）∵3x-9≥0，∴x≥2，∴定义域为{x|x≥2},值域为［0，+∞］.
（3）y=（5x）2+5x+1,定义域为R，值域为（1，+∞）.
（4）y=,∵1-x2≥0，
∴-1≤x≤1，故定义域为［-1，1］,值域为［，1］.
变式提升1
求函数y=（a＞0且a≠1）的定义域.
解析：当a＞1时，
∵ax-1≥0,
∴x≥0,此时,函数的定义域为［0，+∞］.
当0＜a＜1时，
∵ax-1≥0即ax≥1.
∴x≤0，此时函数的定义域为（-∞，0）.
类题演练2
比较下列各组数的大小:
（1）（）-1.8与（）-2.6；
（2）与1；
（3）（0.8）-2与；
（4）与.
答案：（1）（23）-1.8＜（）-2.6.
（2）＞（）0=1.
（3）0.8-2＞1,＜1,故0.8-2＞.
（4）=（+1）-1=-1＜,故＜.
变式提升2
a∈（1，+∞）时，aα＞aβ，则α、β间的大小关系是（ ）
A.|α|＞|β| B.α＞β C.α≥0≥β D.β>0>α
解析：∵由于a∈（1，+∞），
∴y=ax为增函数.∵aα>aβ，
∴α>β.故选B.
答案：B
类题演练3
设23-2x＜，则x的取值范围是__________________________.
解析：原不等式（0.5）2x-3＜2x-3＞3x2-4-＜x＜1.
答案：（-，1）
变式提升3
已知函数f（x）=πx,x1x2＞0，试比较与f（）的大小.
解析:∵f（x）=πx，
∴f（x1）=πx1，f（x2）=πx2，
∴=，f（）=.
又∵x1x2＞0，∴x1与x2同号.
当x1＞0，x2＞0时，-=（-）2≥0，又π＞1，
∴≥，
即有≥f（）.
当x1＜0，x2＜0时，-=-［-x1+2-x2］
=-·（+）2＜0，
∴＜,
即有＜f（）.
类题演练4
判断y=（a＞0，且a≠1）在［，+∞］上的单调性.
答案：用函数单调性定义可证得：当a＞1时，原函数在［，+∞］上单调递减；
当0＜a＜1时，原函数在［，+∞）上单调递增.
变式提升4
求函数y=（a＞0，a≠1）的单调区间.
解析：设μ=-x2+3x+2=-（x-）2+，∴y=aμ.
当x∈(-∞,)，时，μ（x）是增函数；
当x∈［，+∞］时，μ（x）是减函数；
故当a＞1时，y（μ）是增函数，那么在区间（-∞,）上，函数y=递增；
当0＜a＜1时，y（μ）是减函数，
∴当0＜a＜1时，函数y=在区间［，+∞］上递增.
∴当a＞1时，增区间为(-∞,)；
当0＜a＜1时，增区间为［，+∞］.
同理可知：当a＞1时，y=的减区间为［,+∞］；
当0温馨提示
本题利用复合函数的单调性.即对于y=f［g（x）］，如果y=f（μ）与μ=g（x）的增减性相同，则为增函数，若y=f（μ）与μ=g（x）的增减性相反，则为减函数，即“同增”“异减”.21世纪教育网版权所有
2.2.1 对数函数
课堂导学
三点剖析
一、对数的概念
【例1】 将下列指数式写成对数式.
(1)2-2=;
(2)102=100;
(3)a0=1(a>0且a≠1);
(4)a1=a(a>0且a≠1);
(5)ea=16;
(6)=.
思路分析:指数式与对数式互化的依据是ab=NlogaN=b(a>0且a≠1).
解:(1)log2=-2;
(2)log10100=2,即lg100=2;
(3)loga1=0;
(4)logaa=1;
(5)loge16=a,即ln16=a;
(6)log64=-.
温馨提示
对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段和重要思想方法.21cnjy.com
二、对数的运算性质
【例2】 求值：（1）lg-lg+lg;
(2)lg8+log39+lg125+log3;
(3)［log2(log216)］(2log36-log34);
(4)()3-45×2-11.
解析:(1)解法一：原式=（5lg2-2lg7）-·lg2+（2lg7+lg5）
=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5
=lg2+lg5=（lg2+lg5）
=lg10=.
解法二：原式=lg-lg4+lg7=lg=10·=lg=.
(2)原式=lg8+lg125+log39+log3
=lg(8×125)+log3(9×)
=lg1 000+log31=3+0=3.
(3)原式=(log24)(log336-log34)
=2log3=2log39
=4.
(4)原式=()3-210×2-11
=()3-2-1=-1-=-.
温馨提示
这类问题的处理方法一般有两种：
（1）将式中真数的积、商、幂运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；（2）将式中的对数的积、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂，然后化简求值.21·cn·jy·com
【例3】 计算下列各式的值:
(1)(log43+log83)log32;
(2);
(3)2+log279.
思路分析:由于对数运算法则中的各公式都是同底的,因此凡作对数运算,若所给式不同底则一般先化成同底.
解:(1)原式=(+)log32
=(+)log32=+=.
(2)原式===-.
(3)原式=+
=+=2+=.
三、对数运算性质的应用
【例4】 已知log189=a,18b=5,求log3645.
思路分析:18b=5log185=b,将log3645如何化为以18为底的对数成为解决本题的关键.
解:解法一：∵18b=5,∴log185=b,
于是log3645=====.
解法二:由于log189=a,18b=5log185=b,
因此,log3645===.
解法三:由于log189=a,18b=5,因此,=a,blg18=lg5.
∴log3645==
===.
【例5】 若lg（x-y）+lg（x+2y）=lg2+lgx+lgy，求的值.
解析：由已知等式得lg［（x-y）（x+2y）］=lg（2xy）
∴（x-y）（x+2y）=2xy，
即x2-xy-2y2=0，
∴（x-2y）（x+y）=0，
∴x-2y=0或x+y=0.
∴=2或=-1.
由题意x＞0，y＞0，
∴=-1（舍），
所求=2.
各个击破
类题演练1
已知lg3=α,lg4=β,求10α+β、10α-β、10-2α、.
解析：由条件得10α=3,10β=4，
则10α+β=10α·10β=12，10α-β=.
10-2α=（10α）-2=，==.
答案：12
变式提升1
设x，y，z∈R+，且3x=4y=6z,
求证：-=.
证明：首先将指数式转化为对数式.
设3x=4y=6z=k，
∵x，y，z∈R+，
∴k＞1.
∴x=log3k=，y=log4k==，z=log6k=.
∴+=logk3+logk2=logk6=,
即-=.
类题演练2
计算下列各式的值:
(1)log3;
(2)4lg2+3lg5-lg+［log2(log4256)］.
解析：（1）原式=log327+log39-log3=3+-=.
（2）原式=4-4lg5+3lg5+lg5+［log24］=4+2=6.
答案：（1） （2）6
变式提升2
求值：（1）log535-2log5+log57-log51.8;
（2）（log43+log83）（log32+log92）-;
（3）lg25+lg2lg5+lg2;
（4）.
解析：（1）原式=log5（5×7）-2（log57-log53）+log57-log5
=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.21世纪教育网版权所有
（2）原式=（log23+log23）（log32+log32）+log2
=×log23log32+=+=.
（3）原式=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5lg10+lg2=lg5+lg2=lg10=1.
（4）原式===1.
答案：（1）2 （2） （3）1 （4）1
类题演练3
(1)(log43+log83)(log32+log92);
(2)log23·log34·log45·log52.
解析：（1）原式=;（2）原式=1.
答案：（1） （2）1
变式提升3
计算下列各式的值：
（1）（lg5）2+2lg2-（lg2）2;
（2）（log23+log49+log827+…+log2n3n）×log9.
解析：（1）原式=（lg5+lg2）（lg5-lg2）+2lg2=lg5-lg2+2lg2=lg10=1.
（2）原式=
（log23+log2232+…+log2n3n）×log9
=（log23+++…+）×log9
=×log932=×=.
类题演练4
已知lg2=0.301 0,lg7=0.845 1.求lg35.
解析：lg35=lg5×7=lg5+lg7=1-lg2+lg7=1.544 1.
答案：1.544 1
变式提升4
已知log53=a,log54=b,
求证:log2512=(a+b).
证明：证法一：log2512=log253+log254=+=（a+b）.
证法二：(a+b)=(log53+log54)=log512=log5==2 log25=log2512.21教育网
类题演练5
已知log23=a，log37=b，则log4256=________________________________.
答案：
变式提升5
已知lg（x+y）+lg（2x+3y）-lg3=lg4+lgx+lgy.求x∶y的值.
解析：原式化为lg=lg（4xy）
=4xy2x2-7xy+3y2=02x=y或x=3y，
∴=或=3.
2.2.2 对数函数及其性质
课堂导学
三点剖析
一、对数函数的概念、性质及其图象
【例1】 分别求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=.
思路分析:求函数的定义域关键是找出自变量满足的各个约束条件，解不等式组.
解:(1)要使函数有意义,必须loga(1-x)2≠0,即则得到
函数的定义域为{x|x∈R且x≠1,x≠2,x≠0}.
(2)要使函数有意义,则有>01-3x>03x<1x<0.
因此函数的定义域为(-∞,0).
(3)要使函数有意义,则有logx(3-x)>0 ①或 ②
解①得1 因此,函数的定义域为(1,2).
温馨提示
求函数的定义域一般地根据其解析式列出其约束条件,然后解不等式（组）.分式中，分母不为零；偶次根式被开方数大于或等于零；对数式中,真数大于零，底数大于0且不于1等.21·cn·jy·com
【例2】 比较下列各组数的大小.
(1)loga2+a+3π,loga2+a+3;
(2)loga4.7,loga5.1(a>0且a≠1);
(3)log34,log43;
(4)log32,log50.2;
(5)log20.4,log30.4;
(6)3log45,2log23.
思路分析:观察各组数的特征,看其是否直接可以利用对数单调性比较大小.
解:(1)底数相同,且为a2+a+3=(a+)2+>1,根据单调递增性,得loga2+a+3π>loga2+a+3.
(2)底数相同,但大小不定,所以需对a进行讨论.当a>1时,loga4.7loga5.1.【来源：21·世纪·教育·网】
(3)底数不同,但是log34>log33=1,log43log43.
(4)底数不同,但是log32>log31=0,log50.2log50.2.
(5)底数不同,但真数相同,此类问题有两种方法.
解法一:根据y=logax的图象在a>1时,a越大,图象越靠近x轴,如图所示,知
log30.4>log20.4.
解法二:换底.log20.4=,log30.4=.由于log0.43=log20.4.21·世纪*教育网
(6)利用换底公式化同底.3log45=3=log25=log2.2log23
=log29温馨提示
常见的对数比较大小有以下三种类型:
(1)底数相同,可直接利用单调性比较;
(2)底数不同,看是否可用插值法,如插入1=logaa,0=loga1进行间接比较;
(3)底数不同,真数相同,则可用图象关系或进行换底后比较.
二、运算性质的应用
【例3】 （1）作出y=lg|x|的图象，并指出单调区间；
（2）作出y=|lgx|的图象，并指出单调区间.
解析：（1）∵f(-x)
=lg|(-x)|
=lg|x|=f(x),
∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称.先画出x>0时的图象,再利用其对称性完成整个函数的图象.21世纪教育网版权所有
f(x)=lg|x|=如上图.
∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
（2）当lgx≥0，即x≥1时，y=lgx；
当lgx＜0，即0＜x＜1时，y=-lgx.
其图象如下图：
由图象可知其单调增区间为［1，+∞），单调减区间为（0，1］.
三、对数函数的单调性
【例4】 求函数y=(1-x2)的单增区间.
思路分析:求复合函数单调区间时,必须首先考虑其定义域,单调区间必是定义域的子区间.
解:要使函数有意义,则有1-x2>0x2<1|x|<1-1 ∴函数的定义域为x∈(-1,1).
令t=1-x2,x∈(-1,1).
画出t=1-x2在(-1,1)上的图象,图略.
在x∈(-1,0)上,x↗,t↗,y=t↘,
即在(-1,0)上,y随x增大而减小,为减函数;
在［0,1］上,x↗,t↘,y=t↗,即在［0,1］上,y随x的增大而增大,为增函数.
∴y=(1-x2)的增区间为［0,1).
温馨提示
1.求复合函数的单调区间一般有如下几个步骤：（1）首先求出函数的定义域.（2）研究里层函数和外层函数在定义域上的单调性.（3）根据复合函数“同增异减”的原则，判断出函数的增减性求出单调区间.21教育网
2.复合函数y=f［g(x)］与里层函数μ=g(x)与外层函数y=f(μ)单调性之间的关系（见下表）www.21-cn-jy.com
函数
单调性
Y=f(μ)
增函数
增函数
减函数
减函数
μ=g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
y=f［g(x)］
增函数
减函数
减函数
增函数
【例5】已知函数f(x)=lg(x2-2x+a),若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
思路分析:f(x)的定义域为R,即x2-2x+a>0恒成立,转化为二次函数来说明容易理解,二次函数的最小值大于零即可.21*cnjy*com
解:f(x)的定义域为R,即t=x2-2x+a>0恒成立,也即二次函数图象在x轴上方.
由于t=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,只要a-1>0即可,
∴a的取值范围为a>1.
温馨提示
y=lg(x)的定义域为R等价转化为g(x)>0的解集为R，本题中g(x)=x2-2x+a开口向上，解集为R.于是等价转化为g(x)=x2-2x+a的判别式Δ<0，或转化为g(x)min>0.
各个击破
类题演练1
求下列函数的定义域:
（1）y=log2x-1;（2）y=.
解析：（1）
解得x＞且x≠1，
∴函数的定义域为（，1）∪（1，+∞）.
（2）x2即
解得x＞，且x≠1.
∴函数的定义域为（，1）∪（1，+∞）.
变式提升1
（2006广东，1）函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是（ ）
A.（-，+∞） B.(- ,1) C.(-,) D.(-∞,-)
解析：解得
-答案：B
类题演练2
比较下列各组数的大小:
(1),16,lg9;
(2)(0.3)-0.4,log0.30.4,log0.34;
(3)log2(x+1)与log2(2x+3);
(4)logax与2log2ax(1答案：（1）＞lg9＞16 （2）(0.3)-0.4＞log0.30.4＞log0.34 （3）log2(x+1)＜log2(2x+3) （4）当0＜x＜1时，logax＜2log2ax；当x=1时，logax=2log2ax；当x＞1时，logax＞2log2ax2·1·c·n·j·y
变式提升2
(1)若0＜a＜b＜1，试确定logab，logba，a，b的大小关系.
解析：∵0＜a＜b＜1，由对数函数，y=logax的性质可知0＜logab＜1;logba=＞1；
a==-，
∴a为负值且|a|＞1，b==-logab，
∴b为负值且|b|＜1.∴logba＞logab＞b＞a.
答案：logba＞logab＞b＞a
(2)已知logn5＞logm5，试确定m和n的大小关系.
解析：令y1=logm5，y2=logn5，由于logn5＞logm5，它们的图象可能有如下三种情况：（如下图）【来源：21cnj*y.co*m】
由对数函数在第一象限的图象规律知，m＞n＞1;0＜n＜m＜1;n＞1,0＜m＜1.
类题演练3
作出函数y=lg（-x）的图象，并指出其单调区间.
解析：y=lg（-x）的图象与y=lgx的图象关于y轴对称，如下图所示，单调减区间是（-∞，0）.
变式提升3
作出y=|lg|x||的图象
解析：先作出y=lg|x|的图象，然后将x轴下方的图象对折到x轴的上方，图象如图：
类题演练4
求函数y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间.
解析：先求这个函数的定义域，由2x2-5x-3=(2x+1)(x-3)>0,得x<-，或x>3.
μ=2x2-5x-3,y=log0.1μ
由于对数的底数0.1<1,故已知函数y=log0.1μ是减函数，欲求它的递减区间，只要求出函数.μ=2x2-5x-3(x<-,或x>3)的递增区间，由于μ=2(x-)2-6,可得μ=2x2-5x-3(x<-或x>3)的递增区间为（3，+∞），从而可得y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间为（3，+∞）.2-1-c-n-j-y
答案：（3,+∞）
变式提升4
已知y=log4(2x+3-x2),
(1)求定义域；
（2）求f(x)的单调区间；
（3）求y的最大值，并求取得最大值时的x值.
解：（1）由真数2x+3-x2>0,解得-1 ∴定义域是{x|-1 (2)令μ=2x+3-x2,则μ>0,y=log4μ,
由于μ=2x+3-x2=-(x-1)2+4.
考虑到定义域，其增区间是（-1，1），减区间是［1，3］.
又y=log4μ在μ∈(0,+∞)上是增函数，故该函数的增区间是（-1，1），减区间是［1，3］.21cnjy.com
（3）∵μ=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4,
∴y=log4(2x+3-x2)≤log44=1.
∴当x=1,μ取得最大值4时，y就取得最大值1.
类题演练5
已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).
若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围.
解析：设μ（x)=ax2+2x+1,若f(x)的定义域为R，即对任意x，都有μ（x）>0则解之得a>1.www-2-1-cnjy-com
答案：（1，+∞）
变式提升5
设函数f(x)=|log3x|，若f(a)>f(2),则a的取值范围为___________________.
解析：当log3a>0时：log3a>log32,则a>2;
当log3a<0时：f(a)>f(2)-log3a>log32log3>log32
∴0答案：（0，）
2.3 幂函数
课堂导学
三点剖析
一、幂函数的概念
【例1】 请在下列的各幂函数与各图象之间建立能符合实际情况的一一对应.
（1）y=;(2)y=x-2;
(3)y=;(4)y=x-1;
(5)y=;(6)y=;
(7)y=;(8)y=.
解析：由幂函数的图象规律可得
（1）⑤；（2）③；（3）①；（4）⑦；（5）②；（6）⑨；（7）④；（8）⑥.
温馨提示
幂函数图象比较复杂，可从如下几个方面去考虑作其草图：（1）在第一象限的图象大致形状与位置：当n<0，其图象为双曲型，过点（1，1），但不过（0，0）点.其形状如图①所示;当01时图象为抛物线型，过（0，0），（1，1）两点，其形状如图④所示.21·cn·jy·com
（2）图象在第一象限的排队情况，在x=1的右侧，沿箭头的方向，幂指数逐渐减小.如图：
【例2】比较大小：
（1）____________;
(2)0.71.5_____________________0.61.5;
(3)_____________;
(4)0.15-1.2_____________0.17-1.2;
(5)0.20.6_____________________0.30.4;
(6)_______________.
解析：（1）—（4）可直接应用幂函数的单调性比较大小.（1）<;(2)>;(3)<;(4)>.
由于（5）（6）中的两数的底数和指数均不相同，需借助“中间量”，同时利用幂函数和指数函数的单调性比较大小.21cnjy.com
（5）0.20.6<0.30.6<0.30.4;(6)=<<.
答案：（1）< (2)> (3)< (4)> (5)< (6)<
温馨提示
利用幂函数的单调性比较两个函数值的大小一般有如下三种情况：
（1）同指数，不同底，可用幂函数的单调性直接比较大小.
（2）同底不同指数的，可用幂函数图象的排队情况进行比较.
（3）不同底，不同指数的，有时需要引入“中间量”进行比较.
二、幂函数的图象和性质
【例3】函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的取值集合是( )www.21-cn-jy.com
A.{m|m=-1或m=2} B.{m|-1思路分析:由幂函数定义,只有具有y=xα形式的函数才是幂函数,因此所给函数为幂函数,必须有m2-m-1=1.又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则有m2-2m-3<0,由此确定m的取值.
解:由条件知
解得m=2.
答案:C
【例4】若幂函数的图象经过点(4,),则f()=____________________.
思路分析:根据图象上的点求解析式的思路就是解方程确定α.
解:设幂函数为y=xα,点(4,)满足解析式,则=4α,即2-1=22α,
∴α=-.
∴f(x)=,f()==()-1=4.
温馨提示
本题是利用待定系数法确定解析式.
各个击破
类题演练1
幂函数y=xa在第一象限的图象如下图所示，a取2,-2,,-四个值，则相应的曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.-2，-，，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，-
解析：由上面的图象规律可知应选B.
答案：B
变式提升1
(1)如下图，曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限的图象，则下列结论正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A.nm>0 D.m>n>0
解析：由幂函数的图象规律可知n<0,且m<0，再根据其排队情况可知:n答案：A
(2)若幂函数y=xα(α∈R)的图象在0解析：由图象可知0<α<1，α=0，α<0三种情况都符合条件，故α<1.
答案：α<1
类题演练2
将下列各组数从小到大排列起来，并说明理由.
（1）,,；
(2),,；
(3),,.
解析：（1）∵=>0,<0,又y=在（0,+∞）上单调递增,
∴<<.
(2)∵>1,0<<1,<0,
∴<<.
(3)=,==,
∵y=在（0，+∞）上单调递减.
又>0.5>0.4
∴<<.
变式提升2
函数f(x)=(a-b)+b-3是幂函数，比较f(a)与f(b)的大小.
解析：∵函数f(x)是幂函数，
∴解得∴f(x)=.
∵函数f(x)=在第一象限内是增函数，且a>b>0,∴f(a)>f(b).
类题演练3
如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,则m的取值范围为( )
A.-1≤m≤2 B.m=1或m=2 C.m=2 D.m=1
解析： 解得m=1.
答案：D
变式提升3
已知幂函数y=(m∈Z)在区间（0，+∞）上是减函数.求y的解析式并讨论单调性和奇偶性.
解析：由幂函数的性质知：
m2-2m-3<0，即-1 ∴m=0,1,2.
当m=0时，y=x-3，定义域为（-∞,0）∪(0,+∞).此时函数在（0，+∞）和(-∞，0）上都是单调递减函数，又（-x）-3=-x-3，21世纪教育网版权所有
∴函数y=x-3是奇函数.
当m=1时，y=x-4,定义域为（-∞,0)∪(0,+∞).此时函数在（-∞,0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，又（-x）-4=x-4.故为偶函数.21教育网
当m=2时，y=x-3同m=0时的结论.
类题演练4
若幂函数图象上有一点为(9,3),求f(64).
解析：设y=xα，则3=9α，
∴α=,
∴y=,
∴f(64)=8.
答案：8
变式提升4
m为何值,y=(m2+2m)为反比例函数.
解析：
解得m=-1或m=0(舍去).
答案：-1
