2.2.1 对数函数
课堂导学
三点剖析
一、对数的概念
【例1】 将下列指数式写成对数式.
(1)2-2=;
(2)102=100;
(3)a0=1(a>0且a≠1);
(4)a1=a(a>0且a≠1);
(5)ea=16;
(6)=.
思路分析:指数式与对数式互化的依据是ab=NlogaN=b(a>0且a≠1).
解:(1)log2=-2;
(2)log10100=2,即lg100=2;
(3)loga1=0;
(4)logaa=1;
(5)loge16=a,即ln16=a;
(6)log64=-.
温馨提示
对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段和重要思想方法.21·cn·jy·com
二、对数的运算性质
【例2】 求值：（1）lg-lg+lg;
(2)lg8+log39+lg125+log3;
(3)［log2(log216)］(2log36-log34);
(4)()3-45×2-11.
解析:(1)解法一：原式=（5lg2-2lg7）-·lg2+（2lg7+lg5）
=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5
=lg2+lg5=（lg2+lg5）
=lg10=.
解法二：原式=lg-lg4+lg7=lg=10·=lg=.
(2)原式=lg8+lg125+log39+log3
=lg(8×125)+log3(9×)
=lg1 000+log31=3+0=3.
(3)原式=(log24)(log336-log34)
=2log3=2log39
=4.
(4)原式=()3-210×2-11
=()3-2-1=-1-=-.
温馨提示
这类问题的处理方法一般有两种：
（1）将式中真数的积、商、幂运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；（2）将式中的对数的积、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂，然后化简求值.21教育网
【例3】 计算下列各式的值:
(1)(log43+log83)log32;
(2);
(3)2+log279.
思路分析:由于对数运算法则中的各公式都是同底的,因此凡作对数运算,若所给式不同底则一般先化成同底.
解:(1)原式=(+)log32
=(+)log32=+=.
(2)原式===-.
(3)原式=+
=+=2+=.
三、对数运算性质的应用
【例4】 已知log189=a,18b=5,求log3645.
思路分析:18b=5log185=b,将log3645如何化为以18为底的对数成为解决本题的关键.
解:解法一：∵18b=5,∴log185=b,
于是log3645=====.
解法二:由于log189=a,18b=5log185=b,
因此,log3645===.
解法三:由于log189=a,18b=5,因此,=a,blg18=lg5.
∴log3645==
===.
【例5】 若lg（x-y）+lg（x+2y）=lg2+lgx+lgy，求的值.
解析：由已知等式得lg［（x-y）（x+2y）］=lg（2xy）
∴（x-y）（x+2y）=2xy，
即x2-xy-2y2=0，
∴（x-2y）（x+y）=0，
∴x-2y=0或x+y=0.
∴=2或=-1.
由题意x＞0，y＞0，
∴=-1（舍），
所求=2.
各个击破
类题演练1
已知lg3=α,lg4=β,求10α+β、10α-β、10-2α、.
解析：由条件得10α=3,10β=4，
则10α+β=10α·10β=12，10α-β=.
10-2α=（10α）-2=，==.
答案：12
变式提升1
设x，y，z∈R+，且3x=4y=6z,
求证：-=.
证明：首先将指数式转化为对数式.
设3x=4y=6z=k，
∵x，y，z∈R+，
∴k＞1.
∴x=log3k=，y=log4k==，z=log6k=.
∴+=logk3+logk2=logk6=,
即-=.
类题演练2
计算下列各式的值:
(1)log3;
(2)4lg2+3lg5-lg+［log2(log4256)］.
解析：（1）原式=log327+log39-log3=3+-=.
（2）原式=4-4lg5+3lg5+lg5+［log24］=4+2=6.
答案：（1） （2）6
变式提升2
求值：（1）log535-2log5+log57-log51.8;
（2）（log43+log83）（log32+log92）-;
（3）lg25+lg2lg5+lg2;
（4）.
解析：（1）原式=log5（5×7）-2（log57-log53）+log57-log5
=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.21cnjy.com
（2）原式=（log23+log23）（log32+log32）+log2
=×log23log32+=+=.
（3）原式=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5lg10+lg2=lg5+lg2=lg10=1.
（4）原式===1.
答案：（1）2 （2） （3）1 （4）1
类题演练3
(1)(log43+log83)(log32+log92);
(2)log23·log34·log45·log52.
解析：（1）原式=;（2）原式=1.
答案：（1） （2）1
变式提升3
计算下列各式的值：
（1）（lg5）2+2lg2-（lg2）2;
（2）（log23+log49+log827+…+log2n3n）×log9.
解析：（1）原式=（lg5+lg2）（lg5-lg2）+2lg2=lg5-lg2+2lg2=lg10=1.
（2）原式=
（log23+log2232+…+log2n3n）×log9
=（log23+++…+）×log9
=×log932=×=.
类题演练4
已知lg2=0.301 0,lg7=0.845 1.求lg35.
解析：lg35=lg5×7=lg5+lg7=1-lg2+lg7=1.544 1.
答案：1.544 1
变式提升4
已知log53=a,log54=b,
求证:log2512=(a+b).
证明：证法一：log2512=log253+log254=+=（a+b）.
证法二：(a+b)=(log53+log54)=log512=log5==2 log25=log2512.21世纪教育网版权所有
类题演练5
已知log23=a，log37=b，则log4256=________________________________.
答案：
变式提升5
已知lg（x+y）+lg（2x+3y）-lg3=lg4+lgx+lgy.求x∶y的值.
解析：原式化为lg=lg（4xy）
=4xy2x2-7xy+3y2=02x=y或x=3y，
∴=或=3.
2.2.2 对数函数及其性质
课堂导学
三点剖析
一、对数函数的概念、性质及其图象
【例1】 分别求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=.
思路分析:求函数的定义域关键是找出自变量满足的各个约束条件，解不等式组.
解:(1)要使函数有意义,必须loga(1-x)2≠0,即则得到
函数的定义域为{x|x∈R且x≠1,x≠2,x≠0}.
(2)要使函数有意义,则有>01-3x>03x<1x<0.
因此函数的定义域为(-∞,0).
(3)要使函数有意义,则有logx(3-x)>0 ①或 ②
解①得1
因此,函数的定义域为(1,2).
温馨提示
求函数的定义域一般地根据其解析式列出其约束条件,然后解不等式（组）.分式中，分母不为零；偶次根式被开方数大于或等于零；对数式中,真数大于零，底数大于0且不于1等.【来源：21·世纪·教育·网】
【例2】 比较下列各组数的大小.
(1)loga2+a+3π,loga2+a+3;
(2)loga4.7,loga5.1(a>0且a≠1);
(3)log34,log43;
(4)log32,log50.2;
(5)log20.4,log30.4;
(6)3log45,2log23.
思路分析:观察各组数的特征,看其是否直接可以利用对数单调性比较大小.
解:(1)底数相同,且为a2+a+3=(a+)2+>1,根据单调递增性,得loga2+a+3π>loga2+a+3.
(2)底数相同,但大小不定,所以需对a进行讨论.当a>1时,loga4.7loga5.1.www-2-1-cnjy-com
(3)底数不同,但是log34>log33=1,log43log43.
(4)底数不同,但是log32>log31=0,log50.2log50.2.
(5)底数不同,但真数相同,此类问题有两种方法.
解法一:根据y=logax的图象在a>1时,a越大,图象越靠近x轴,如图所示,知
log30.4>log20.4.
解法二:换底.log20.4=,log30.4=.由于log0.43=log20.4.2-1-c-n-j-y
(6)利用换底公式化同底.3log45=3=log25=log2.2log23
=log29温馨提示
常见的对数比较大小有以下三种类型:
(1)底数相同,可直接利用单调性比较;
(2)底数不同,看是否可用插值法,如插入1=logaa,0=loga1进行间接比较;
(3)底数不同,真数相同,则可用图象关系或进行换底后比较.
二、运算性质的应用
【例3】 （1）作出y=lg|x|的图象，并指出单调区间；
（2）作出y=|lgx|的图象，并指出单调区间.
解析：（1）∵f(-x)
=lg|(-x)|
=lg|x|=f(x),
∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称.先画出x>0时的图象,再利用其对称性完成整个函数的图象.2·1·c·n·j·y
f(x)=lg|x|=如上图.
∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
（2）当lgx≥0，即x≥1时，y=lgx；
当lgx＜0，即0＜x＜1时，y=-lgx.
其图象如下图：
由图象可知其单调增区间为［1，+∞），单调减区间为（0，1］.
三、对数函数的单调性
【例4】 求函数y=(1-x2)的单增区间.
思路分析:求复合函数单调区间时,必须首先考虑其定义域,单调区间必是定义域的子区间.
解:要使函数有意义,则有1-x2>0x2<1|x|<1-1 ∴函数的定义域为x∈(-1,1).
令t=1-x2,x∈(-1,1).
画出t=1-x2在(-1,1)上的图象,图略.
在x∈(-1,0)上,x↗,t↗,y=t↘,
即在(-1,0)上,y随x增大而减小,为减函数;
在［0,1］上,x↗,t↘,y=t↗,即在［0,1］上,y随x的增大而增大,为增函数.
∴y=(1-x2)的增区间为［0,1).
温馨提示
1.求复合函数的单调区间一般有如下几个步骤：（1）首先求出函数的定义域.（2）研究里层函数和外层函数在定义域上的单调性.（3）根据复合函数“同增异减”的原则，判断出函数的增减性求出单调区间.21·世纪*教育网
2.复合函数y=f［g(x)］与里层函数μ=g(x)与外层函数y=f(μ)单调性之间的关系（见下表）21*cnjy*com
函数
单调性
Y=f(μ)
增函数
增函数
减函数
减函数
μ=g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
y=f［g(x)］
增函数
减函数
减函数
增函数
【例5】已知函数f(x)=lg(x2-2x+a),若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
思路分析:f(x)的定义域为R,即x2-2x+a>0恒成立,转化为二次函数来说明容易理解,二次函数的最小值大于零即可.【来源：21cnj*y.co*m】
解:f(x)的定义域为R,即t=x2-2x+a>0恒成立,也即二次函数图象在x轴上方.
由于t=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,只要a-1>0即可,
∴a的取值范围为a>1.
温馨提示
y=lg(x)的定义域为R等价转化为g(x)>0的解集为R，本题中g(x)=x2-2x+a开口向上，解集为R.于是等价转化为g(x)=x2-2x+a的判别式Δ<0，或转化为g(x)min>0.
各个击破
类题演练1
求下列函数的定义域:
（1）y=log2x-1;（2）y=.
解析：（1）
解得x＞且x≠1，
∴函数的定义域为（，1）∪（1，+∞）.
（2）x2即
解得x＞，且x≠1.
∴函数的定义域为（，1）∪（1，+∞）.
变式提升1
（2006广东，1）函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是（ ）
A.（-，+∞） B.(- ,1) C.(-,) D.(-∞,-)
解析：解得
-答案：B
类题演练2
比较下列各组数的大小:
(1),16,lg9;
(2)(0.3)-0.4,log0.30.4,log0.34;
(3)log2(x+1)与log2(2x+3);
(4)logax与2log2ax(1答案：（1）＞lg9＞16 （2）(0.3)-0.4＞log0.30.4＞log0.34 （3）log2(x+1)＜log2(2x+3) （4）当0＜x＜1时，logax＜2log2ax；当x=1时，logax=2log2ax；当x＞1时，logax＞2log2ax21世纪教育网版权所有
变式提升2
(1)若0＜a＜b＜1，试确定logab，logba，a，b的大小关系.
解析：∵0＜a＜b＜1，由对数函数，y=logax的性质可知0＜logab＜1;logba=＞1；
a==-，
∴a为负值且|a|＞1，b==-logab，
∴b为负值且|b|＜1.∴logba＞logab＞b＞a.
答案：logba＞logab＞b＞a
(2)已知logn5＞logm5，试确定m和n的大小关系.
解析：令y1=logm5，y2=logn5，由于logn5＞logm5，它们的图象可能有如下三种情况：（如下图）www.21-cn-jy.com
由对数函数在第一象限的图象规律知，m＞n＞1;0＜n＜m＜1;n＞1,0＜m＜1.
类题演练3
作出函数y=lg（-x）的图象，并指出其单调区间.
解析：y=lg（-x）的图象与y=lgx的图象关于y轴对称，如下图所示，单调减区间是（-∞，0）.
变式提升3
作出y=|lg|x||的图象
解析：先作出y=lg|x|的图象，然后将x轴下方的图象对折到x轴的上方，图象如图：
类题演练4
求函数y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间.
解析：先求这个函数的定义域，由2x2-5x-3=(2x+1)(x-3)>0,得x<-，或x>3.
μ=2x2-5x-3,y=log0.1μ
由于对数的底数0.1<1,故已知函数y=log0.1μ是减函数，欲求它的递减区间，只要求出函数.μ=2x2-5x-3(x<-,或x>3)的递增区间，由于μ=2(x-)2-6,可得μ=2x2-5x-3(x<-或x>3)的递增区间为（3，+∞），从而可得y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间为（3，+∞）.21教育网
答案：（3,+∞）
变式提升4
已知y=log4(2x+3-x2),
(1)求定义域；
（2）求f(x)的单调区间；
（3）求y的最大值，并求取得最大值时的x值.
解：（1）由真数2x+3-x2>0,解得-1 ∴定义域是{x|-1 (2)令μ=2x+3-x2,则μ>0,y=log4μ,
由于μ=2x+3-x2=-(x-1)2+4.
考虑到定义域，其增区间是（-1，1），减区间是［1，3］.
又y=log4μ在μ∈(0,+∞)上是增函数，故该函数的增区间是（-1，1），减区间是［1，3］.21cnjy.com
（3）∵μ=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4,
∴y=log4(2x+3-x2)≤log44=1.
∴当x=1,μ取得最大值4时，y就取得最大值1.
类题演练5
已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).
若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围.
解析：设μ（x)=ax2+2x+1,若f(x)的定义域为R，即对任意x，都有μ（x）>0则解之得a>1.21·cn·jy·com
答案：（1，+∞）
变式提升5
设函数f(x)=|log3x|，若f(a)>f(2),则a的取值范围为___________________.
解析：当log3a>0时：log3a>log32,则a>2;
当log3a<0时：f(a)>f(2)-log3a>log32log3>log32
∴0答案：（0，）
2.2 对数函数
互动课堂
疏导引导
2.2.1 对数与对数运算
1.对数的定义?
一般地,如果ax=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=loga N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log 10N记为lg N,以e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数,并且把logeN记为lnN.?
疑难疏引 (1)因为a>0,所以不论b是什么数,都有a b>0,即不论b是什么数,N=a b永远是正数,这说明在相应的对数式b=loga N中真数N永远是正数,换句话说负数和零没有对数.?
(2)指数与对数的关系:
ax=N(a>0,a≠1)x=loga N.?
(3)负数和零没有对数.
2.对数的运算?
(1)换底公式:?
①logab=,即有logca·logab=logcb;
②logba=,即有logab·logba=1;?
③logambn=logab;?
(2)对数恒等式:alogaN=N.?
疑难疏引 换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质.21*cnjy*com
3.对数式与指数式的关系?
【探究思路】 由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可用下图表示.
●案例1下列四个命题中,真命题是( )?
A. lg2lg3=lg5
B. lg23=lg9
C.若logaM+ N=b,则M+N=a b
D.若log2M+ log3N=log2N+log3M,则M=N
【探究】 解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的答案一一与相关的对数运算性质相对照,不难得出应选D.2-1-c-n-j-y
【溯源】 初学对数运算性质,容易犯下面错误:loga(M±N)=logaM±logaN, loga(M×N)=logaM×logaN, loga=,logaN n=(logaN) n.要注意:积的对数变为加,商的对数变为减,幂的乘方取对数,要把指数提到前.
●案例2求值:?
(1);?
(2)lg5·lg20+lg22;?
(3)已知log23=a,3 b=7,求log1256的值.?
【探究】 (1)(2)严格按照指数、对数的运算法则计算,(3)先将3 b=7转化为log37=b,然后设法将log1256化成关于log23和log37的表达式即可求值.?
(1) = =.
(2)lg5·lg20+lg22=lg5(lg4+lg5)+lg22=2lg2·lg5+lg25+lg22=(lg2+lg5) 2=1.?
(3)解法一:
∵log23=a,∴2 a=3.
又3 b=7,∴7=(2 a) b=2 ab.
故56=2 3+ab.
又12=3·4=2 a·4=2 a+2,
从而56=(2 a+2) =12.故log1256=log1212=.
解法二:
∵log23=a,∴log32=.
又3 b=7,∴log 37=b.从而log1256====
=.
解法三:
∵?log23==a,∴?lg3=alg2.
又3 b=7,∴?lg7=blg3.?
∴?lg7=ablg2.从而log1256= == =.
【溯源】 (1)lg2+lg5=1在对数计算中经常用到.?
(2)第三小题中解法一借助指数变形来解;解法二与解法三是利用换底公式来解,显得较简明.应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数,从而把已知对数和所求对数都换成新的对数,再代入求值即可.?【来源：21·世纪·教育·网】
2.2.2 对数函数及其性质?
1.概念
一般地,我们把函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).【来源：21cnj*y.co*m】
2.对数函数的性质
a>1
0图象
性质
(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)图象过定点(1,0)
(4)在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
疑难疏引 对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有以下对应关系:?
(1)图象都位于y轴右侧,且以y轴为渐近线→函数定义域为(0,+∞);??
(2)图象向上、向下无限延展→函数值域为R;
(3)图象恒过定点(1,0)→1的对数是零,即loga1=0;?
(4)当a>1时,图象由左向右逐渐上升,即当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数;
当0(5)当a>1时,在直线x=1的右侧,图象位于x轴上方;在直线x=1与y轴之间,图象位于x轴下方,即当a>1时,x>1,则y=logax>0;0当01,则y=logax<0;00.?21教育网
对数函数y=logax(a>0且a≠1)的性质的助记口诀:?
对数增减有思路,函数图象看底数,?
底数只能大于0,等于1来也不行,?
底数若是大于1,图象从下往上增;?
底数0到1之间,图象从上往下减.?
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.?
●案例1比较大小:?
(1)log0.27和log0.29;?
(2)log35和log65;?
(3)(lgm) 1.9和(lgm) 2.1(m>1);?
(4)log85和lg4.
【探究】 (1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x,当x=7和x=9时对应的两函数值,由y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减,得log0.27>log0.29.【出处：21教育名师】
(2)考查函数y=logax底数a>1的底数变化规律,函数y=log3x(x>1)的图象在函数y=log6x(x>1)的上方,故log 35>log 65.
(3)把lgm看作指数函数的底数,要比较两数的大小,关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm>1即m>10,则(lgm) x在R上单调递增,故(lgm) 1.9<(lgm) 2.1.若0(lgm) 2.1.若lgm=1即m=10,则(lgm) 1.9=(lgm) 2.1.
(4)因为底数8、10均大于1,且10>8,所以log85>lg5>lg4,即log 85>lg4.?
【溯源】 两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有:?
(1)直接法:由函数的单调性直接作答;?
(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;?
(3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1来确定;?
(4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较;
(5)媒介法:选取适当的“媒介”数,分别与要比较的两数比较大小,从而间接地求得两数的大小.?
●案例2已知函数y=lg(x2+1-x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性.?
【探究】 注意到+x=,即有lg(-x)=-lg(+x),从而f(-x)=lg(+x)=-lg(-x)=-f(x),可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,所以我们只需研究(0,+∞)上的单调性.
由题意-x>0,解得x∈R,即定义域为R.
又f(-x)=lg［-(-x)］=lg(+x)?
=lg=lg(-x) -1
=-lg(-x)=-f(x).?
∴y=lg(-x)是奇函数.?
任取x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1则<+x 1<+x 2
>,
即有-x 1>-x2>0,
∴lg(-x 1)>lg(-x 2),
即f(x 1)>f(x 2)成立.?
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.?
又f(x)是定义在R上的奇函数,
故f(x)在(-∞,0)上也为减函数.?
【溯源】
研究函数的性质一定得先考虑定义域,在研究函数单调性时,注意奇偶性对函数单调性的影响,即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.?
●案例3作出下列函数的图象:?
(1)y=|log4x|-1;
(2)y=log|x+1|.
【探究】 (1)y=|log4x|-1的图象可以看成由y=log4x的图象经过变换而得到:将函数y=log4x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去,得到y=|log4x|的图象,再将y=|log4x|的图象向下平移1个单位,横坐标不变,就得到了y=|log4x|-1的图象.
(2)y=log|x+1|的图象可以看成由y=logx的图象经过变换而得到:将函数y=logx的图象作出,然后关于y轴对称,即得到函数y=log|x|的图象,再将所得图象向左平移一个单位,就得到所求的函数y=log|x+1|的图象.?
函数(1)的图象作法如图①～③所示.?
函数(2)的图象作法如图④～⑥所示.?
【溯源】 画函数图象是研究函数变化规律的重要手段,画函数图象通常有两种方法:列表法和变换法.变换法有如下几种:?
平移变换:y=f(x+a),将y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位而得到;y=f(x)+a,将y=f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位而得到.
翻折变换:y=|f(x)|,将y=f(x)的图象在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴的上方,其他部分不变;y=f(|x|),它是一个偶函数,x≥0时,图象与y=f(x)的图象完全一样;当x≤0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.?
对称变换:y=-f(x),它的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;y=f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称;y=-f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于原点成中心对称.
伸缩变换:y=f(ax)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a>1)或伸长?(00),将y=f(x)图象上各点的横坐标不变,纵坐标压缩(01)到原来的a倍而得到.
●案例4已知f(x)=2+log3x, x∈［1,9］,求y=［f(x)］2+f(x 2)的最大值,及y取最大值时,x的值.
【探究】 要求函数y=［f(x)］2+f(x 2)的最大值,一是要求其表达式;二是要求出它的定义域,然后求值域.【版权所有：21教育】
【解】 ∵f(x)=2+log3x,?
∴y=［f(x)］2+f(x 2)=(2+log3x) 2+2+log3x 2
=(2+log3x) 2+2+2log3x
=log32x+6log3x+6?
=(log3x+3) 2-3.
∵函数f(x)的定义域为［1,9］,?
∴要使函数y=［f(x)］2+f(x 2)有意义,就需1≤x2≤9,?1≤x≤9.?
∴1≤x≤3.∴0≤log3x≤1.
∴6≤y=(log3x+3) 2-3≤13.?
∴当x=3时,函数y=［f(x)］2+f(x 2)取最大值13.?
【溯源】 在处理有关对数的复合函数的问题时,定义域的求解往往是解题的关键所在,同时要注意对数单调性的应用.?21·cn·jy·com
●案例5某工厂2006年生产一种产品2万件,计划从2007年开始每年的产量比上一年增长20%.则这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件时是年.(已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)( )?
A.2015
B.2016
C.2017
D.2018
【探究】 此题是平均增长率问题的变式考题,哪一年的年产量超过12万件,其实就是求在2006年的基础上再过多少年的年产量大于12万件,即求经过多少年.
设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件,?
根据题意,得2(1+20%)n>12,即1.2n>6,?
两边取对数,得nlg1.2>lg6,
∴n> = =.
∴n=10,即2 006+10=2 016.?
因此,选B.
【溯源】 对数函数在求解指数方程时有着无比神奇的效果,经常是根据题意列出指数函数,再根据题意将指数函数转化为指数方程或不等式,然后两边取对数,即求解指数方程的解或指数不等式的解集.www.21-cn-jy.com
3.反函数的图象和性质?
对数函数y=log ax(a>0且a≠1)与指数函数y=a x(a>0且a≠1)互为反函数,这两个函数的图象关于y=x对称.
疑难疏引 (1)f(a)=b?f -1(b)=a;?
(2)若原函数过点(a, b),则其反函数必过点(b, a);?
(3)原函数的定义域、值域为其反函数的值域、定义域;?
(4)原函数与其反函数的图象关于直线y=x对称.
在遇到反函数问题时,不要盲目将反函数求出,如果合理利用互为反函数的函数图象间的关系和性质,往往可收到事半功倍的效果.
●案例6如何求函数y=5 x2-1(-1≤x<0)的反函数？?
【探究】
先求原函数的值域.由-1≤x<0,
∴-1∵-1≤x<0,∴x=-,即y=- (【溯源】
求反函数时,首先要求值域,然后解关于x的方程,第三要把解出的方程中的x、y互换位置,用f -1(x)表示,最后把原函数的值域作为定义域标出.?
关于对数运算的几点提示:?
(1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a>0且a≠1,N>0,b∈R)容易记错.?
(2)解决对数函数y=logax(a>0且a≠1)的单调性问题时,忽视对底数a的讨论.?
(3)关于对数式?logaN的符号问题,既受a的制约又受N的制约,两种因素交织在一起,应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法,供学习时参考.
以1为分界点,当a、N在同侧时,logaN>0;当a、N在异侧时,logaN<0.
活学巧用
1.的值是( )
A.
B. 1?
C.
D. 2?
【思路解析】 考查有关对数的运算性质,logambn=logab.?
【答案】 A
2. 若log2［log(log2x)］=log3［log(log3y)］=log5［log(log5z)］=0,则x、y、z的大小关系是?( )
A. zC. y【思路解析】 依特殊的对数式loga1=0及logaa=1可分别求出相应的x、y、z的值.?
log5［log(log5z)］=0,可知log(log5z)=1,所以log5z=,可得z=5.同理可得x=2,y=3,借助分数指数幂可得这三个数的大小,答案为D.
【答案】 D
3. 下列各式中成立的是( )?
A. logax 2=2logax?
B. loga|xy|=loga|x|+loga|y|?
C. loga3>loga2
D. loga =logax- logay?
【思路解析】 用对数的运算法则解决问题.
A、D的错误在于不能保证真数为正,C的错误在于a值不定.选B.
【答案】 B
4. 求下列各式中的x:?
(1)logx=-;
(2)logx5=;?
(3)log (x-1)(x 2-8x+7)=1.?
【思路解析】 根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.?
【解】 (1)原式转化为()-=x,所以x=.
(2)原式转化为x =5,所以x=.
(3)由对数性质得解得x=8.
5. 已知loga2=m,loga3=n,则a 2m-n=__________.?
【思路解析】 首先把对数式化为指数式,再进行指数运算.?
∵loga2=m,loga3=n,
∴a m=2,a n=3.
∴a 2m-n= = ==.
【答案】
6. (1)已知3a=2,用a表示log34-log36;?
(2)已知log32=a,3b=5,用a、b表示log3.?
【解】 (1)∵3a=2,∴a=log32.
∴log34-log36=log3 =log32-1=a-1.?
(2)∵3b=5,∴b=log35.
又∵log32=a,?
∴log3=log3(2×3×5)= (log32+log33+log35)=(a+b+1).21·世纪*教育网
7. (1)将下列指数式写成对数式:?
①2 10=1 024;②10 -3=;③0.3 3=0.027;④e0=1.?
(2)将下列对数式写成指数式:
①log0.46.25=-2;
②lg2=0.301 0?;?
③log 310=2.095 9;
④ln23.14=x.?
【思路解析】
应用指数式与对数式的等价关系求解.?
【答案】
(1)①log21 024=10;?②lg=-3;?③log0.30.027=3;④?ln1=0.
(2)①0.4 -2=6.25;?②10 0.301 0=2;③3 2.095 9=10;?④e x=23.14.
8. 已知loga3>logb3>0,则a、b、1的大小关系是.?
【思路解析】 由对数函数的性质可知a>1,b>1,关键是判断a与b的大小,这可以利用对数函数的单调性来解决.?
【解法一】 由loga3>logb3>0> >0
log3b>log3a>0
log3b>log3a>log31.
∵y=log3x是增函数,故b>a>1.?
【解法二】
分别作出y=logax与y=logbx的图象,然后根据图象特征进行推断.?
∵?loga3>logb3>0,∴a>1,b>1.
故y=logax与y=logbx均为增函数.
又∵?loga3>logb3>?0,
∴当x>1时,y=logax的图象应在y=logbx图象的上方,如图所示.?
根据对数函数的图象分布规律,可知b>a>1.
【答案】 b>a>1
9. 比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log23.4, log28.5;?
(2)log0.31.8, log0.32.7;?
(3)loga5.1, loga5.9(a>0,a≠1).?
【解】 (1)考查对数函数y=log2x,因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是?log23.4(2)考查对数函数y=log0.3x,因为它的底数0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8>log0.32.7.?21cnjy.com
(3)当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,于是loga5.1当0loga5.9.
10. 求函数y=log(-x2+4x+5)的定义域和值域.?
【解】 函数有意义,必须-x2+4x+5>0x2-4x-5<0-1∴函数的定义域为{x|-1由-1∴0≤-x2+4x+5≤9.
从而log(-x2+4x+5)≥log9=-2,
即值域为{y|y≥-2}.
11. 已知函数f(x)=loga (a>1且b>0).?
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断函数的奇偶性.
【思路解析】 本题考查定义域、单调性的求法及判断方法,注意要利用定义求解.?
【解】 (1)由,解得x<-b或x>b.
∴函数f(x)的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞).?
(2)由于f(-x)=loga()=loga()=loga()-1=-loga()=-f(x),所以f(x)为奇函数.21*cnjy*com
12. 求函数y=log(-x2+2x+3)的值域和单调区间.?
【思路解析】 通过换元,令t=-x2+2x+3,是复合函数的问题.
【解】 设t=-x2+2x+3,则t=-(x-1)2+4.?
∵y=logt为减函数,且0∴y≥log4=-2,即函数的值域为［-2,+∞).?
再由函数y=log(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0,即-1∴t=-x2+2x+3在(-1,1)上递增而在［1,3)上递减.
而y=logt为减函数.?
∴函数y=log(-x2+2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为［1,3).
13. 函数y=lg|x|( )?
A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增?
B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减?
C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增?
D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减?
【思路解析】 画出函数y=lg|x|的草图即见答案.在画函数y=lg|x|的草图时,注意应用函数y=lg|x|是个偶函数,其图象关于y轴对称.比如列表时,要先确定对称轴,然后在对称轴的两侧取值列表.
【答案】 B
14. (2005北京高考,文2)为了得到函数y=2 x-3-1的图象,只需把函数y=2x上所有点… ( )
A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度?
B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度?
C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度?
D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度?
【思路解析】 本题考查函数图象的平移问题,根据图象平移的方法口决“左加右减,上加下减”,极易求出答案.?
【答案】 A
15. 已知函数f(x)=lg(ax 2+2x+1).?
(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;?
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.?
【思路解析】 f(x)的定义域为R,即关于x的不等式ax 2+2x+1>0的解集为R,这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R要求u=ax 2+2x+1取遍一切正数,使u能取遍一切正数的条件是a>0,Δ≥0.2·1·c·n·j·y
【解】 (1)f(x)的定义域为R,即关于x的不等式ax 2+2x+1>0的解集为R,?
当a=0时,此不等式变为2x+1>0,其解集不是R;?
当a≠0时,有 a>1.
∴a的取值范围为a>1.?
(2)f(x)的值域为R,即u=ax 2+2x+1能取遍一切正数a=0或0< a≤1.
∴a的取值范围为0≤a≤1.
16. 设函数f(x)=x 2-x+b,且f(log2a)=b,log2［f(a)］=2(a≠1),求f(log2x)的最小值及对应的x的值.
【思路解析】 关键是利用已知的两个条件求出a、b的值.?
【解】 由已知得log22a-log2a+b=b,?log2(a2-a+b)=2,即?
?log2a(log2a-1)=0,?a2-a+b=4,①?②?
由①得log2a=1,∴a=2.?
代入②得b=2.∴f(x)=x 2-x+2.?
∴f(log2x)=log22x-log2x+2=(log2x-) 2+.
∴当log2x=时,f(log2x)取得最小值,此时x=2.
17. 已知y=loga(2-ax)在区间［0,1］上是x的减函数,求a的取值范围.?
【思路解析】 本题的关键是要注意到真数与底数中两个参量a是一样的,可知a>0且a≠1,然后根据复合函数的单调性即可解决.
【解】 先求函数定义域:
由2-ax>0,得ax<2,
又a是对数的底数,
∴a>0且a≠1.∴x<.
由递减区间［0,1］应在定义域内,
可得>1,∴a<2.
又2-ax在x∈［0,1］上是减函数,?
∴y=loga(2-ax)在区间［0,1］上也是减函数.?
由复合函数单调性可知a>1,
∴118. 某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为.(lg2=0.301 0, lg11.49=
1.060 2)
【思路解析】 设产值平均年增长率为x,则(1+x) 10=4.?
两边同取以10为底的对数得10lg(1+x)=2lg2.?
∴lg(1+x)= =0.0602
∴1+x=10 0.060 2.?
又∵lg11.49=1.060 2,?
∴11.49=10 1.060 2=10·10 0.060 2.
∴10 0.060 2=1.149.?
因此1+x=1.149,x=0.149=14.9%?.?
【答案】 14.9%?
19. 已知函数f(x)=2 x+1,则f -1(4)=__________.?
【思路解析】 由反函数定义域和值域间的对应关系知,f -1(4)的值即为f(x)=2 x+1=4时,自变量x对应的值.www-2-1-cnjy-com
【答案】 1
20. 已知函数f(x)=a x+k的图象过点(1,3),其反函数f -1(x)的图象过点(2,0),求f(x).?
【思路解析】 根据函数f(x)=a x+k的图象过点(1,3),可列出一个关于a和k的方程,再根据其反函数f -1(x)的图象过点(2,0),可知函数f(x)=a x+k的图象过点(0,2),这样就又可以列出一个关于a和k的方程.
【解】 依题意得a1+k=3,?a0+k=2,?
解得a=2,?k=1.?
∴f(x)=2x+1.
2.2 对数函数
知识导学
一般地,对于一个数a(a>0且a≠1),如果a的b次幂等于N,即ab=N,那么就称b是以a为底的N的对数,记作logaN=b,其中,a叫做对数的底数,N叫做真数.2-1-c-n-j-y
在实际应用中,一定要注意指数式与对数式的等价性,即logaN=bab=N.
对数的运算性质就是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算.
一般地,我们称logaN=为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时,一方面要证明它和它的几个推论;另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底,不要盲目地换底,以简化我们的解题过程.
有了对数的概念后,要求log0.840.5的值,我们需要引入两个常用的对数:常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数;自然对数是指以e(e=2.718 28…,是一个无理数)为底的对数.21*cnjy*com
有了常用对数和自然对数,再利用对数的运算性质,我们就可以求log0.840.5的值了.
对数恒等式:=N的证明也很简单,只要紧扣对数式的定义即可证明.
∵ab=N,∴b=logaN.
∴ab==N,
即=N.
如=5, =6等.要熟记对数恒等式的形式,会使用这一公式化简对数式.
作对数函数的图象一般有两种方法:一是描点法,即通过列表、描点、连线的方法作出对数函数的图象;二是通过观察它和指数函数图象之间的关系,并利用它们之间的关系作图.
比较大小是对数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,可利用对数函数的性质比较;当底数和指数不同时,要借助于中间量进行比较.比较两个对数式的大小,底相同时,可利用对数性质进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.
对数函数y=logax(a>0且a≠1)与指数函数y=ax(a>0且a≠1)互为反函数,这两个函数的图象关于直线y=x对称.【来源：21cnj*y.co*m】
因此,我们只要画出和y=ax的图象关于直线y=x对称的曲线,就可以得到y=logax的图象,然后根据图象特征得出对数函数的性质.【出处：21教育名师】
疑难导析
通过将对数函数与指数函数的图象进行对比,可以发现:当a>1或0 对数函数的反函数是指数函数,所以要利用指数函数的性质来研究对数函数.应该注意到:这两种函数都要求底数a>0,且a≠1;对数函数的定义域为(0,+∞),结合图象看,对数函数在y轴左侧没有图象,即负数与0没有对数,也就是真数必须大于0.这些知识可以用来求含有对数函数的定义域.【版权所有：21教育】
性质靠图象体现,图象靠性质总结.
数形结合不仅是我们研究函数的一个重要工具,同时也是我们在解题时的常用方法.借助图形的形象直观,可以迅速准确地得到相关问题的答案,尤其是选择题,能结合图象来思考,会事半功倍.21·世纪*教育网
问题导思
对数换底公式口诀:
换底公式真神奇,换成新底可任意,
原底加底变分母,真数加底变分子.
对数函数的运算性质的助记口诀:
积的对数变加法,商的对数变为减,
幂的乘方取对数,要把指数提到前.
对数函数y=logax(a>0且a≠1)的性质的助记口诀:
对数增减有思路,函数图象看底数,
底数只能大于0,等于1来也不行,
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减.
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.
比较两个对数型的数的大小是一种常见的题型,好好把握.
两个同底数的对数比较大小的一般步骤:
①确定所要考查的对数函数;
②根据对数底数判断对数函数增减性;
③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.
对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明,因此需要对底数a进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.21世纪教育网版权所有
典题导考
绿色通道
利用数形结合的方法可以快速地比较两个对数的大小,有时也可以画出函数的略图.由此可见,学会一种思考方法比解决一道题目更重要.【来源：21·世纪·教育·网】
典题变式 比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log23.4,log28.5;
(2)log0.31.8,log0.32.7;
(3)loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1).
答案:(1)log23.4(2)log0.31.8>log0.32.7;
(3)当a>1时,loga5.1当0loga5.9.
绿色通道
本题的求解中,分解化简和方程思想的运用在处理很多问题中具有一般性.
典题变式
1.已知3a=2,用a表示log34-log36.
答案:a-1.
2.已知log32=a,3b=5,用a、b表示log3.
答案: (a+b+1).
绿色通道
研究函数的性质一定得先考虑定义域,在研究函数单调性时,注意奇偶性对函数单调性的影响,即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.21教育网
典题变式
1.已知函数f(x)=lg(x2-3x+2)的定义域为F,函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为G,那么( )21·cn·jy·com
A.GF B.G=F C.FG D.F∩G=
答案:A
2.求函数y=(-x2+4x+5)的定义域和值域.
答案:函数的定义域为{x|-13.已知f(x)=loga (a>0且a≠1).
(1)求函数的定义域;
(2)讨论函数的单调性;
(3)求使f(x)>0的x的取值范围.
解答:(1)定义域为(-1,1).
(2)当a>1时,f(x)为(-1,1)上的增函数;
当0(3)当a>1时,f(x)>0的解为(0,1);
当00的解为(-1,0).
绿色通道
画函数图象是研究函数变化规律的重要手段,画函数图象通常有两种方法:列表法和变换法.变换法有如下几种:www.21-cn-jy.com
平移变换:y=f(x+a),将y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位而得到;y=f(x)+a,将y=f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位而得到.
翻折变换:y=|f(x)|,将y=f(x)的图象在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴的上方,其他部分不变;y=f(|x|),它是一个偶函数,x≥0时,图象与y=f(x)的图象完全一样,当x≤0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.2·1·c·n·j·y
对称变换:y=-f(x),它的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;y=f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称;y=-f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于原点成中心对称.
伸缩变换:y=f(ax)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a>1)或伸长(00),将y=f(x)图象上各点的横坐标不变,纵坐标压缩(01)到原来的a倍.21cnjy.com
典题变式若loga2A.1答案:D
绿色通道
本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.(1)中函数的定义域为R,由判别式小于零确保;(2)中函数的值域为R,由判别式不小于零确定.www-2-1-cnjy-com
典题变式设a≠0,对于函数f(x)=log3(ax2-x+a),
(1)若x∈R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x) ∈R,求实数a的取值范围.
答案:(1)a>;
(2)02.2 对数函数
课堂探究
探究一 对数式与指数式的互化
1．logaN＝b与ab＝N(a>0，且a≠1)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系．可以利用其中两个量表示第三个量．21教育网
2．已知底数与指数或已知指数与幂时，通常用指数式求幂或底数；若已知底数与幂求指数，需用对数式，所以指数式与对数式的互化在幂的运算中经常用到．
【典型例题1】 将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4； (2) ＝－3；
(3)ln 10＝2.303； (4)43＝64；
(5)3－2＝； (6)10－3＝0.001.
思路分析：利用当a＞0，且a≠1时，logaN＝b?ab＝N进行互化．
解：(1)24＝16.
(2) －3＝27.
(3)e2.303＝10.
(4)log464＝3.
(5)log3＝－2.
(6)lg 0.001＝－3.
探究二 利用对数式与指数式的关系求值
指数式ax＝N与对数式x＝logaN(a>0，且a≠1)表示了三个量a，x，N之间的关系，因而已知其中两个可求第三个：已知底数与指数，用指数式求幂；已知指数与幂，用指数式求底数；已知底数与幂，利用对数式表示指数．21cnjy.com
【典型例题2】 求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；
(2)log7(x＋2)＝2；
(3)log＝x；
(4)logx27＝；
(5)lg 0.01＝x.
思路分析：利用指数式与对数式的关系求解．
解：(1)∵4x＝5·3x，
∴＝5，∴x＝5，
∴x＝.
(2)∵log7(x＋2)＝2，
∴x＋2＝72＝49，∴x＝47.
(3)∵－2＝，
∴log＝－2，∴x＝－2.
(4)∵logx27＝，∴＝27，
∴x＝＝32＝9.
(5)∵lg 0.01＝x，
∴10x＝0.01＝10－2，∴x＝－2.
探究三 对数性质的应用
1．对数的性质：
(1)在指数式中N>0，故零和负数没有对数．
(2)设a>0，a≠1，则有a0＝1.
∴loga1＝0，即1的对数等于0.
(3)设a>0，a≠1，则有a1＝a，
∴logaa＝1，即底数的对数为1.
2．对数恒等式：
alogaN＝N，该式叫做对数恒等式．
3．在对数的运算中，常用对数的性质和对数恒等式进行对数的化简与求值．
【典型例题3】 求下列各式中x的值：
(1)log3(log2x)＝0； (2)log2(lg x)＝1；
(3)log－1＝x； (4)52－log53＝x.
思路分析：利用logaa＝1，loga1＝0，alogaN＝N(a>0，且a≠1)及指数式与对数式的关系解题．21世纪教育网版权所有
解：(1)∵log3(log2x)＝0，
∴log2x＝1，∴x＝21＝2.
(2)∵log2(lg x)＝1，
∴lg x＝2，∴x＝102＝100.
(3)∵log－1＝x，
∴(－1)x＝＝＝＝－1，∴x＝1.
(4)x＝52－log53＝＝.
2.2 对数函数
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课程目标
学习脉络
1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质．
2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.
一、对数
名师点拨 对对数的理解：
(1)对数式logaN可看作一种记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．21cnjy.com
(2)用指数式来理解对数．对数式b＝logaN表达的意义是ab＝N.指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：21世纪教育网版权所有
式子
名称
a
x
N
指数式
ax＝N
底数
指数
幂
对数式
x＝logaN
底数
对数
真数
(3)对数记号logaN中，a＞0，且a≠1，N＞0.
因为在ab＝N中，a＞0，且a≠1，所以在logaN中，a＞0，且a≠1.
又因为正数的任何次幂都是正数，即ab＞0(a＞0)，故N＝ab＞0.
(4)并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如(－2)2＝4不能写成log－24＝2，只有在a＞0，且a≠1，N＞0时，才有ab＝N?b＝logaN.21·cn·jy·com
(5)因为对数式与指数式实际上是同一关系的不同表示形式，所以可以将对数问题转化为指数问题来解决．
自主思考 alogaN＝N(a>0，且a≠1)成立吗？
提示：成立．这是因为：由ax＝N，得x＝logaN.将x＝logaN代入ax＝N，得alogaN＝N.
二、常用对数和自然对数
1．常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg_N.
2．自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln_N.21教育网
2.2 对数函数
课堂探究
探究一 对数运算性质的应用
1．在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．21教育网
2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．21·cn·jy·com
【典型例题1】 计算下列各式的值：
(1)log2＋log212－log242；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
思路分析：利用对数的运算性质进行计算．
解：(1)方法一：原式＝log2＝log2＝－.
方法二：原式＝log2＋log2(22×3)－log2(2×3×7)＝log27－log2(24×3)＋2＋log23－－log23－log27＝－×4－log23＋＋log23＝－2＋＝－.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
方法总结像这类对数的运算，主要有两种解答途径：一是将积(商或幂)的对数化为对数的和(差或系数)，且真数最简；二是将对数的和差逆用运算性质化为积商的对数，但需各对数的系数相同．www.21-cn-jy.com
探究二 换底公式的应用
对数的运算性质中等式的左边都是同底的对数，也就是逆用公式时，必须使对数同底，当对数的底数不相同时，这就要用换底公式把它们化为同底的．如果原式是几个对数的和，换底后，看能不能逆用性质；如果原式是几个对数的积，换底后，看能不能约分，进而化简对数式．2·1·c·n·j·y
若题目中既有指数式又有对数式，通常将它们化为同一种形式．
【典型例题2】 计算下列各式的值：
(1)log89·log2732； (2)(log43＋log83) .
思路分析：用换底公式将对数换为同底的对数后再化简求值．
解：(1)原式＝·＝·＝.
(2)原式＝＝·＝·＋·＝＋＝.
【典型例题3】 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
思路分析：先利用指数式和对数式的互化公式，将18b＝5化成log185＝b，再利用换底公式，将log3645化成以18为底的对数，最后进行对数运算．21cnjy.com
解：∵18b＝5，∴b＝log185.
∴log3645＝＝＝
＝＝＝＝.
探究三 对数的综合应用
对数的概念实质是给出了指数式与对数式间的关系，因此如果条件涉及指数幂的连等式时，常引入辅助变量，利用指数与对数间的关系，简化求解过程．21世纪教育网版权所有
【典型例题4】 (1)设3x＝4y＝36，求＋的值；
(2)若26a＝33b＝62c≠1，求证：＋＝.
思路分析：用对数式表示出x，y，a，b，c再代入所求(证)式．
(1)解：∵3x＝4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
∴＝＝＝2log363＝log369，
＝＝＝log364.
∴＋＝log369＋log364＝log3636＝1.
(2)证明：设26a＝33b＝62c＝k(k>0，且k≠1)．
则6a＝log2k≠0,3b＝log3k≠0,2c＝log6k≠0.
∴＝＝6logk2，＝＝3logk3，
＝＝2logk6，
∴＋＝6logk2＋2×3logk3＝logk26＋logk36
＝logk66＝6logk6＝.
∴＋＝.
探究四 易错辨析
易错点 忽略对数的真数为正致错
【典型例题5】 解方程lg(x＋1)＋lg x＝lg 6.
错解：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg[x(x＋1)]＝lg(x2＋x)，
∴lg(x2＋x)＝lg 6，
∴x2＋x＝6，解得x＝2，或x＝－3.
错因分析：错解中，去掉对数符号后方程x2＋x＝6与原方程不等价，产生了增根，其原因是x2＋x＝6中，x∈R，而原方程中，应有再验根即可．
正解：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg[x(x＋1)]＝lg 6，
∴x(x＋1)＝6，解得x＝2，或x＝－3，经检验x＝－3不符合题意，∴x＝2.
反思解对数方程时，要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数．
2.2 对数函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质化简、求值．
2．了解对数的换底公式及其应用．
3．初步掌握对数在生活中的应用.
一、对数的运算性质
条件
a>0，且a≠1，M>0，N>0
性质
loga(MN)＝logaM＋logaN
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
名师点拨 对对数的运算性质的理解：
(1)利用对数的运算性质可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反之亦然．
(2)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
(3)能用语言准确叙述对数的运算性质
loga(M·N)＝logaM＋logaN―→积的对数等于对数的和．
loga＝logaM－logaN―→商的对数等于对数的差．
logaMn＝nlogaM(n∈R)―→真数的n次幂的对数等于对数的n倍．
自主思考 若M，N同号，则式子loga(M·N)＝logaM＋logaN成立吗？
提示：不一定成立．如log2[(－2)×(－7)]是存在的，但log2(－2)与log2(－7)是不存在的，故log2[(－2)×(－7)]≠log2(－2)＋log2(－7)．21世纪教育网版权所有
二、换底公式
logab＝ (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
名师点拨1.用换底公式推得的两个常用结论：
(1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)；
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m≠0)．
2．换底公式的作用是把不同底的对数化为同底的对数．
2.2 对数函数
课堂探究
探究一 对数函数的概念
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
【典型例题1】 下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝logax2(a>0，且a≠1)；
(2)y＝log2x－1；
(3)y＝2log8x；
(4)y＝logxa(x>0，且x≠1)；
(5)y＝log5x.
思路分析：根据对数函数的定义进行判断．
解：只有(5)为对数函数．
(1)中真数不是自变量x，故不是对数函数；
(2)中对数式后减1，故不是对数函数；
(3)中log8x前的系数是2，而不是1，
故不是对数函数；
(4)中底数是自变量x，而非常数a，故不是对数函数．
探究二 对数函数的图象问题
1．画对数函数y＝logax的图象时，应牢牢抓住三个关键点(a,1)，(1,0)，.
2．对数函数图象与直线y＝1的交点横坐标越大，则对应的对数函数的底数越大．
3．函数y＝logax(a>0，且a≠1)的底数变化对图象位置的影响
观察图象，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，当a>1时，a越大，图象越靠近x轴，当0(2)左右比较：(比较图象与y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
【典型例题2】 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域与值域以及单调区间：
(1)y＝log3(x－2)；(2)y＝|logx|.
解：(1)函数y＝log3(x－2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增函数．21cnjy.com
图①
(2)y＝|logx|＝其图象如图②.
图②
其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
规律总结 1.函数y＝loga(x＋m)(a>0，且a≠1)的图象可由函数y＝logax的图象向左(m>0)或向右(m<0)平移|m|个单位而得到．21·cn·jy·com
2．含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换．一般地，y＝|f(x)|的图象是保留y＝f(x)的图象在x轴上方的部分，并把x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的．www.21-cn-jy.com
探究三 与对数函数有关的定义域问题
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数．
【典型例题3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝； (2)y＝；
(3)y＝.
解：(1)要使函数式有意义，则lg(2－x)≥0，
∴∴x≤1.
故函数的定义域为(－∞，1]．
(2)要使函数式有意义，则log3(3x－2)≠0，
∴
∴x>，且x≠1.
故函数的定义域为∪(1，＋∞)．
(3)要使函数有意义，则有解得x<4，且x≠3，
故函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
探究四 易错辨析
易错点 求函数的定义域时先对解析式变形
【典型例题4】 已知函数f(x)＝log5(x－1)2，求f(x)的定义域．
错解：f(x)＝2log5(x－1)，要使f(x)有意义，则x－1>0，解得x>1，则f(x)的定义域是(1，＋∞)．21教育网
错因分析：错解中，由于对f(x)的解析式变形后再求定义域，导致出错．
正解：要使f(x)有意义，则(x－1)2>0，解得x≠1，则f(x)的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．2·1·c·n·j·y
反思求函数f(x)的定义域时，不能对f(x)的解析式变形，否则会导致求出的定义域“变大”或“缩小”．【来源：21·世纪·教育·网】
2.2 对数函数
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课程目标
学习脉络
1.掌握对数函数的概念，会判断对数函数．
2．初步掌握对数函数的图象和性质．
3．能利用对数函数的性质解决与对数函数有关的定义域、定点问题.
一、对数函数
名师点拨 1.对对数函数定义的理解：
(1)由于指数函数y＝ax中的底数a满足a>0，且a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a>0，且a≠1.21世纪教育网版权所有
(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.21教育网
2．对数函数的图象：
对数函数的图象，当x趋近于0时，无限接近于y轴，但不相交．
作直线y＝1与函数y＝logax的图象相交，则交点横坐标为a.
自主思考1函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与函数y＝logx(a>0，且a≠1)的图象有怎样的关系？21cnjy.com
提示：观察课本第70页图2.2-3知，两函数的图象关于x轴对称．事实上，函数y＝logax图象上任一点P(x，y)关于x轴的对称点P′(x，－y)都在函数y＝logx的图象上，所以这两个函数的图象关于x轴对称．21·cn·jy·com
自主思考2a，b在什么情况下，logab>0？什么情况下，logab<0?
提示：观察对数函数图象知，
当a，b∈(1，＋∞)或a，b∈(0,1)时，logab>0.
当a∈(0,1)，b>1或a>1，b∈(0,1)时，logab<0.
二、反函数
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．它们的图象关于直线y＝x对称．www.21-cn-jy.com
名师点拨 对数函数和指数函数的区别与联系
将对数函数和指数函数的性质对比列表如下：
名称
指数函数
对数函数
解析式
y＝ax(a>0，且a≠1)
y＝logax(a>0，
且a≠1)
定义域
(－∞，＋∞)
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
(－∞，＋∞)
单调性
当a>1时为增函数，当0函数值的变化情况
当a>1时：
若x>0，则y>1；
若x＝0，则y＝1；
若x<0，则0当a>1时：
若x>1，则y>0；
若x＝1，则y＝0；
若0当0若x>0，则0若x＝0，则y＝1；
若x<0，则y>1
当0若x>1，则y<0；
若x＝1，则y＝0；
若0图象
y＝ax的图象与y＝logax的图象关于直线y＝x对称
2.2 对数函数
课堂探究
探究一利用对数函数的单调性比较大小
对数值比较大小的常用方法：
(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论；
(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间量；
①如果不同底但同真数，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较；
②若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．
【典型例题1】 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.141(a>0，且a≠1)．
思路分析：(1)构造函数f(x)＝log3x，利用其单调性比较大小；
(2)分别比较两对数与0的大小；
(3)分类讨论底数a的取值范围．
解：(1)(单调性法)因为f(x)＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.9＜2，则f(1.9)＜f(2)，2·1·c·n·j·y
所以log31.9＜log32.
(2)(中间量法)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，
所以log23＞log0.32.
(3)(分类讨论法)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.141；21·世纪*教育网
当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ综上所述，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141.
探究二 解对数不等式
解对数不等式，就是利用对数函数的单调性，将对数符号去掉，转化为一般不等式(组)求解．常见不等式可分为以下三类：www-2-1-cnjy-com
(1)形如logaf(x)>logag(x)，当a>1时，该不等式等价于当0(2)形如logaf(x)>b，当a>1时，不等式等价于f(x)>ab；当0(3)形如logaf(x)＋logag(x)>logah(x)．
当a>1时，不等式等价于
当0当不等式中对数的底数有字母时，要分类讨论．
【典型例题2】 解下列关于x的不等式：
(1)log (x－2)>－2；
(2)loga(x－2)>loga(2x－8)．
思路分析：利用对数函数的单调性转化为一般不等式(组)求解．
解：(1)由log (x－2)>－2，得log (x－2)>log4，
∴∴2故原不等式的解集为{x|2(2)当a>1时，不等式等价于即4当06.
综上所述，当a>1时，不等式的解集为{x|4当06}．
探究三 对数函数性质的综合应用
1．判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．
2．对于类似于f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便．
3．求函数的单调区间有两种思路：
(1)易得到单调区间的，可用定义法来求证；
(2)利用复合函数的单调性求得单调区间．
4．复合函数的单调性按照“同增异减”的原则来判断，对数型复合函数的单调性可用以下方法判断：
设y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)，
首先求满足f(x)>0的x的范围，即函数的定义域．假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增，在子区间I2上单调递减，则21cnjy.com
(1)当a>1时，原函数与内层函数f(x)的单调区间相同，即在I1上单调递增，在I2上单调递减；
(2)当0【典型例题3】 已知函数f(x)＝loga (a>0，且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性．
思路分析：此函数是由y＝logau，u＝复合而成，求函数的性质应先求出定义域，再利用有关定义，去讨论其他性质．21教育网
解：(1)要使此函数有意义，则有或解得x>1或x<－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．21·cn·jy·com
(2)f(－x)＝loga＝loga
＝－loga＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．
∴当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；
当0探究四 易错辨析
易错点 忽略对底数的讨论致错
【典型例题4】 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值．www.21-cn-jy.com
错解：因为函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值是loga4，最小值是loga2，
所以loga4－loga2＝1，
即loga＝1，所以a＝2.
错因分析：错解中误以为函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上是增函数．
正解：(1)当a＞1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，所以a＝2.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)当0＜a＜1时，函数y＝logax在[2,4]上是减函数，所以loga2－loga4＝1，即loga＝1，所以a＝.2-1-c-n-j-y
由(1)(2)，知a＝2或a＝.
反思在解决底数中包含字母的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般考虑a＞1与0＜a＜1两种情况．【来源：21cnj*y.co*m】
2.2 对数函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解对数函数的单调性，并能利用单调性比较大小．
2．能利用对数函数的单调性解简单的对数不等式．
3．能解答简单的对数综合问题.
一、对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：
底数
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞)
当x＝1时，y＝0，即图象恒过定点(1,0)
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
二、对数函数的反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的反函数是y＝ax(a＞0，且a≠1)．
自主思考1函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象有什么关系？21教育网
提示：函数y＝log2x与y＝logx的图象，函数y＝log3x与y＝logx的图象如图所示，结合图象可知函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称．21cnjy.com
其实y＝logx＝＝＝－logax，因为y＝logax与y＝－logax的图象关于x轴对称，所以函数y＝logax与y＝logx的图象也关于x轴对称．21·cn·jy·com
自主思考2底数对对数函数图象的影响？
提示：在同一坐标系中画出以下各组函数的图象，观察并写出你的发现．
(1)y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x，y＝lg x，如图①所示．
(2)y＝logx，y＝logx，y＝logx，y＝logx，如图②所示．
①
②
观察结果：对于第一组：y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x，y＝lg x，其图象的共同特征是上升的；对于第二组，其图象的共同特征是下降的．21世纪教育网版权所有
结论：①当a>1时，图象上升，自变量x越大，函数值y就越大；当x∈(0,1)时，y<0，当x∈(1，＋∞)时，y>0；自变量取同一值时，底数a越大，图象就越接近x轴，即当k>1时，有log2k>log3k>log4k>lg k，当0②当00，当x∈(1，＋∞)时，y<0；自变量取同一值时，底数a越小，图象越接近x轴，即当k>1时，logklogk>logk>logk.
