2.1.1 指数函数
课堂导学
三点剖析
一、根式、分数指数幂与无理数指数幂的意义
【例1】 计算下列各式的值:
(1); (2);
(3)(n∈N*,且n>1);
(4); (5);
(6)++.
思路分析:的意义是n为奇数时,a∈R;n为偶数时,a≥0.n为奇数时,=a;n为偶数时, =|a|=21·cn·jy·com
解:(1)==3.
(2)==-3.解析:(1)===53=125.
(2)==32=9.
(3)==()-3=()3=.
(4)(a>0)=··===.
(5)2(-2)=2××-2×2×=1-4x-1=1-.
温馨提示
进行根式运算时,通常将根式化为幂的形式,再利用分数指数幂的运算法则进行运算.
【例3】 已知+=3，求下列各式的值.
（1）a+a-1；（2）a2+a-2；（3）.
解析：(1)将+=3,两边平方得a+a-1+2=9,所以a+a-1=7.
(2)a2+a-2=（a+a-1）2-2=72-2=47.
(3)==8.
温馨提示
给值求值问题应结合已知条件,将所求式子变形，寻求与已知条件的联系.
三、分数指数幂的运算性质
【例4】 下列等式成立吗？说明理由：
（1）a0=1；（2）=；
（3）=.
解析：（1）不一定成立，当a≠0时成立，当a=0时不成立.
（2）不一定成立，只有当x+y为非负数时才成立，否则不成立.
（3）不成立，因为当-bm2≤0时，不适合分数指数幂的运算性质.
温馨提示
在进行根式、分数指数幂的运算时，要特别注意其使用的条件，否则导致错误.如=成立的条件是a＞0，初学者最容易忽视条件导致错误.如同学们经常出现 如下的错误：===1；=x-y.www.21-cn-jy.com
各个击破
类题演练1
求下列各式的值：
(1)；
(2)+.
答案：(1) (2)-6-
变式提升1
（1）化简:+.
解析:|m-n|+(m-n)=
答案：
（2）化简:+.
解析:原式=+=-+-=-.
答案:-
类题演练2
计算下列各式的值：
(1)()6(x>0,y>0);
(2)
解析：（1）原式=x3y-2=.
（2）原式===ab2.
答案：（1） (2)ab2
变式提升2
化简:(1)7-3-6+;
(2).
解析：(1)原式=7×-3××2-6×+=-6×+=2×-2×3×=2×-2×=0.21世纪教育网版权所有
(2)原式=··===
答案：（1）0 （2）
温馨提示
化为分数指数幂是化简根式的重要方法.化简题的最后结论习惯上常与题干的结构形式一致.
类题演练3
已知-=.求:
(1)+;(2)x+x-1;(3)x-x-1.
解析：（1）（+）2=（-）2+4=5+4=9，∴+=3.
（2）x1+x-1=（+）2-2=7.
（3）x-x-1=（+）（-）=3.
答案：（1）3 （2）7 （3）3
变式提升3
若x+x-1=3，求-.
解析：∵（-）2=x+x-1-2=1，
∴-=±1.
答案：±1
类题演练4
a∈R，下列各式中正确的是( )
A.= B.（）2= C.（）n=a D.（a4）3=（a3）4
解析：A项中，当a≥0时，=，运算错；当a＜0时，无意义，∴A项错.B项中，当a=0时，无意义；若a＞0时，指数运算也是错的，∴B项错. C项中，当a＜0时，n为大于1的偶数时，没有意义，∴C项错，D项成立.21cnjy.com
答案：D
变式提升4
有下列命题,其中正确命题的个数是( )
①=a ②若a∈R，则（a2-a+1）0=1 ③=+y ④=
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析：①中缺少a＞0的条件;
②中，a2-a+1=（a-）2+＞0,故（a2-a+1）0=1成立;
③=≠+y，故③错误;
④=-=≠，故④错误.
答案：B
(3)=
(4)==.
(5)=|a-3|=
(6)++=-2+π-2+2-π=-2.
温馨提示
运算时要分清与（）n这两种形式，对于后者利用（）n=a（n＞1且n∈N*）计算.对于前者,要注意n的奇偶数.21教育网
二、分数指数幂再讨论
【例2】 计算下列各式的值:
(1); (2); (3); (4)(a>0);
(5)2(-2).
2.1.2 指数函数及其性质
课堂导学
三点剖析
一、指数函数的概念图象及性质
【例1】 下列函数是指数函数吗?分别求函数的定义域、值域.
(1)y=56x+1; (2)y=()3x;
(3)y=; (4)y=π-x;
(5)y=(2a-1)x(a>,且a≠1); (6)y=.
思路分析:一个函数是否为指数函数要根据定义进行判断,不是指数函数的函数,求其定义域、值域时,先求定义域,再按复合函数结构特征去求值域.21cnjy.com
解:(1)y=56x+1=5·(56)x不是指数函数,其定义域为R,设t=6x+1,则t∈R,y=5t∈(0,+∞).
(2)y=()3x=［()3］x=()x是指数函数,定义域为R,值域为(0,+∞).
(3)y=不是指数函数,要使解析式有意义,必须x≠0,定义域为{x|x≠0}.
设t=,则t∈(-∞,0)∪(0,+∞),y=0.7t∈(0,1)∪(1,+∞).
(4)y=π-x=()x是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞).
(5)y=(2a-1)x(a>且a≠1)是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞).
(6)y=不是指数函数,要使函数有意义,必须1-2-x≥0,
即1-()x≥0,也就是()x≤1=()0,得x≥0,定义域为{x|x≥0}.
令t=1-()x,当x≥0时,0<()x≤1,0≤1-()x<1,因此t∈［0,1］,y=∈［0,1］.
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)-;
(2)π0.3,0.923.5.
思路分析:利用指数函数单调性可直接比较aα与aβ的大小.当底数不同时,往往需要插入中间值如1进行大小比较.21·cn·jy·com
解:(1)由于y=0.35x在(-∞,+∞)上是减函数,又->-,
因此,<.
(2)由于π>1,因此π0.3>π0=1,0<0.92<1,则0.923.5<0.920=1,从而有π0.3>0.923.5.
温馨提示
因为a0=b0=1,当aα、bβ比较大小时(a、b>0,且a、b≠1),往往插入中间值1,使aα、bβ能够通过与1的比较进而区别大小.www.21-cn-jy.com
二、指数函数性质的应用
【例3】 根据所给条件,确定x的取值范围.
(1)()-3x+5<2;
(2)(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1(a>且a≠1).
思路分析:此类题目解决的依据是指单调性.
解:(1)()-3x+5<2(2-1)-3x+5<223x-5<2.
由单调性可知3x-5<1,
即x<2.
(2)当0<2a-1<1,
即
(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1x-5<2x-1,得x>-4;
当2a-1>1,
即a>1.
(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1x-5>2x-1,得x<-4.
温馨提示
求解指数中含有未知数的不等式时，必须注意底数是大于1还是大于零且小于1，然后再利用相应指数函数单调性进行解答，可归纳为：当a＞1时，＞f（x）＞g（x）；当0＜a<1时，＞f（x）＜g（x）.2·1·c·n·j·y
三、指数函数的单调性
【例4】 试判断函数f（x）=的单调性.
错解：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=-=.
∵x1＜x2，
∴-x1＞-x2.
∴ax1＜ax2，a-x1＞a-x2.
∴ax1-ax2＜0，a-x2-a-x1＜0.
∴f（x1）-f（x2）＜0.
∴f（x1）＜f（x2），
即f（x）=是增函数.
错因分析：上述解法错误的原因是忽略了指数函数的单调性，应在a＞1与0＜a＜1中分别讨论.
正解：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则
f（x2）-f（x1）=-=.
∵x1＜x2，
∴-x1＞-x2.
当a＞1时，ax1＜ax2，a-x1＞a-x2，
∴ax2-ax1＞0，a-x1-a-x2＞0，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
此时f（x）是增函数.
当0＜a＜1时，ax1＞ax2，a-x1＜a-x2，
∴ax2-ax1＜0，a-x1-a-x2＜0，
∴f（x2）-f（x1）＜0，
即f（x2）＜f（x1）此时f（x）是减函数.
故当a＞1时，f（x）是增函数，
当0＜a＜1时，f（x）是减函数.
温馨提示
指数函数y=ax单调性与底数a有关，当a＞1时，单调递增；当0＜a＜1时，单调递减.初学者，在解题时最容易忽视这一点，如＞（）xx2-x＞x，再如，若x2-x＞x得＞ax.应熟练掌握如下等价式：当a＞1时，＞＝f（x）g（x）当0＜a＜1时，＞f（x）＜g（x）.21世纪教育网版权所有
各个击破
类题演练1
(1)指出下列函数哪些是指数函数：
（1）y=x4; （2）y=-4x;
（3）y=（-4）x; （4）y=xx;
（5）y=2x2; （6）y=πx.
答案：（6）是指数函数.
(2)求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=0.2-x+25x+1;
(4)y=.
解析：（1）∵-x+1≥0，∴x≤1.∴定义域为{x|x≤1}，值域［1，+∞］.
（2）∵3x-9≥0，∴x≥2，∴定义域为{x|x≥2},值域为［0，+∞］.
（3）y=（5x）2+5x+1,定义域为R，值域为（1，+∞）.
（4）y=,∵1-x2≥0，
∴-1≤x≤1，故定义域为［-1，1］,值域为［，1］.
变式提升1
求函数y=（a＞0且a≠1）的定义域.
解析：当a＞1时，
∵ax-1≥0,
∴x≥0,此时,函数的定义域为［0，+∞］.
当0＜a＜1时，
∵ax-1≥0即ax≥1.
∴x≤0，此时函数的定义域为（-∞，0）.
类题演练2
比较下列各组数的大小:
（1）（）-1.8与（）-2.6；
（2）与1；
（3）（0.8）-2与；
（4）与.
答案：（1）（23）-1.8＜（）-2.6.
（2）＞（）0=1.
（3）0.8-2＞1,＜1,故0.8-2＞.
（4）=（+1）-1=-1＜,故＜.
变式提升2
a∈（1，+∞）时，aα＞aβ，则α、β间的大小关系是（ ）
A.|α|＞|β| B.α＞β C.α≥0≥β D.β>0>α
解析：∵由于a∈（1，+∞），
∴y=ax为增函数.∵aα>aβ，
∴α>β.故选B.
答案：B
类题演练3
设23-2x＜，则x的取值范围是__________________________.
解析：原不等式（0.5）2x-3＜2x-3＞3x2-4-＜x＜1.
答案：（-，1）
变式提升3
已知函数f（x）=πx,x1x2＞0，试比较与f（）的大小.
解析:∵f（x）=πx，
∴f（x1）=πx1，f（x2）=πx2，
∴=，f（）=.
又∵x1x2＞0，∴x1与x2同号.
当x1＞0，x2＞0时，-=（-）2≥0，又π＞1，
∴≥，
即有≥f（）.
当x1＜0，x2＜0时，-=-［-x1+2-x2］
=-·（+）2＜0，
∴＜,
即有＜f（）.
类题演练4
判断y=（a＞0，且a≠1）在［，+∞］上的单调性.
答案：用函数单调性定义可证得：当a＞1时，原函数在［，+∞］上单调递减；
当0＜a＜1时，原函数在［，+∞）上单调递增.
变式提升4
求函数y=（a＞0，a≠1）的单调区间.
解析：设μ=-x2+3x+2=-（x-）2+，∴y=aμ.
当x∈(-∞,)，时，μ（x）是增函数；
当x∈［，+∞］时，μ（x）是减函数；
故当a＞1时，y（μ）是增函数，那么在区间（-∞,）上，函数y=递增；
当0＜a＜1时，y（μ）是减函数，
∴当0＜a＜1时，函数y=在区间［，+∞］上递增.
∴当a＞1时，增区间为(-∞,)；
当0＜a＜1时，增区间为［，+∞］.
同理可知：当a＞1时，y=的减区间为［,+∞］；
当0温馨提示
本题利用复合函数的单调性.即对于y=f［g（x）］，如果y=f（μ）与μ=g（x）的增减性相同，则为增函数，若y=f（μ）与μ=g（x）的增减性相反，则为减函数，即“同增”“异减”.21教育网
2.1 指数函数
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疏导引导
2.1.1 指数与指数幂的运算?
1.根式?
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N *.当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号-表示,方根可以合并成± (a>0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n0=0.2·1·c·n·j·y
式子叫做根式,n叫根指数,a叫做被开方数.?
结论:当n是奇数时, =a;
当n是偶数时, =|a|=
疑难疏引 在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x 3=a,那么x就叫a的立方根.如此类推,我们便得出了n次实数方根的定义:如果x n=a(n∈N且n>1),那么x就叫a的n次方根.
2.分数指数幂?
正数的分数指数幂的意义:?
规定:a=(a>0,m、n∈N *,n>1);
a-= = (a>0,m、n∈N *,n>1).
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义;指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.?
疑难疏引
(1)当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.?
除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.?
(2)指数幂与根式运算的统一性.?
指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数,根式化为分数指数幂,结果要化为最简形式.在最简结果中,不能既有根式又有分数指数幂的形式,同时,也不能出现既有指数幂又有根式的形式.
(3)有理指数幂的运算性质的记忆口诀.?
①a r·a s=a r+ s
同底两数作乘法,底数不变指数加.?
②(a r) s=a r s
幂的乘方要记明,底数不变指数乘.?
③(ab) r=a r b r
积的乘方大不同,变为幂后再相乘.
3.有理指数幂的运算性质?
(1)a r·a s=a r+ s(a>0,r、s∈Q);?
(2)(a r) s=a rs(a>0,r、s∈Q);?
(3)(ab) r=a r b r(a>0,b>0,r∈Q).
4.无理指数幂
一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.【出处：21教育名师】
●案例1化简:?
(1);
(2)-(|x||y|)
【探究】 对题(1),要化简的式子中有根式及幂式,可将根式化成幂式后进行幂的运算;对题(2),要化简的式子中全是指数式的运算,注意运用乘法公式使其分子分母能够产生公因式,从而可通过约分化简.?
(1)
=［xy 2(xy) 3］
=［xy 2xy］
=(xy)
=xy
=y.
(2) -=-.
∵|x|≠|y|,?
∴原式=(x-)2-x-y-+(y-)2-(x-+x-y-+y-)=-2x-y-=-.
【溯源】 对多个根式组成的式子进行化简.我们解题的一般原则是先算根号内的,后进行根式运算.进行根式、分数指数幂的乘、除、乘方、开方等混合运算时,一般是先将根式化成分数指数幂,按指数运算法则计算比较简洁;对根式、分数指数幂的混合运算,最后结果一般用最简根式表示;在指数式的运算中,要注意乘法公式的相应形式,注意灵活运用乘法公式进行化简.
●案例2 已知a=-,b=,求的值.
【探究】 由于此题式子结构复杂,先根据公式化简然后代入求值.?
∵a≠0,
∴原式=.
又∵a-27b≠0,
∴原式=
【溯源】 化简、求值一类问题,往往是先将被求代数式化简,然后再代入已知字母的值,求得代数式的值.首先应化简被求式,遇到小数应化成分数;遇到指数是负数,可以对调底数的分子和分母,将负指数化为正指数.
2.1.2 指数函数及其性质?
1.定义?
一般地,函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数.它的定义域为R.?
疑难疏引 (1)指数函数的解析式y=ax中,ax的系数是1.有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如y=ax+ k(a>0且a≠1,k∈Z);有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如y=a -x(a>0,且a≠1),因为它可以化为y=,其中>0,且≠1.
(2)在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a>0且a≠1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.?
①若a=0,当x>0时,a x=0,当x≤0时,a x没有意义;?
②若a<0,如y=(-2) x对于x=、等都是没有意义的;?
③若a=1,则函数为y=1 x=1是一个常数函数,它的性质没有研究的必要,且不具有单调性.
2.性质?
y=a x
图象
0a>1时的图象
性质
(1)定义域为R,值域为(0,+∞)
(2)a 0=1,即x=0时,y=1,图象都经过(0,1)点
(3)ax=a,即x=1时,y等于底数a,图象都经过(1,a)点
(4)在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数
(5)x<0时,a x>1;x>0时,0x<0时,00时,a x>1
(6)既不是奇函数,也不是偶函数
3.单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x轴是函数图象的渐近线.
当01时,x→-∞,y→0;?
当a>1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快;?
当0记忆口诀:?
指数增减要看清,抓住底数不放松,?
反正底数大于0,不等于1已表明;?
底数若是大于1,图象从下往上增;?
底数0到1之间,图象从上往下减.?
无论函数增和减,图象都过(0,1)点.?
●案例1如何判断三个数1.5 -0.2,1.3 0.7,()的大小关系？?
【探究】 先比较1.5 -0.2即()0.2和()的大小,考察指数函数y=() x,由于底数在区间(0,1)内,所以指数函数y=() x在(-∞,+∞)上是减函数.故由0.2= <,得1>()0.2>().?www.21-cn-jy.com
另一方面,由于1.3>1,y=1.3 x在?(-∞,+∞)上是增函数,由0.7>0,得1.3 0.7>1.所以?()<1.5 -0.2<1.3 0.7.于是()<1.5 -0.2<1.3 0.7.?【来源：21·世纪·教育·网】
【溯源】 在进行数的大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数的性质得出结果.若底数不相同,则首先考虑能否化成同底数,然后根据指数函数的性质得出结果;不能化成同底数的,要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果.总之比较时要尽量转化成同底的形式,根据指数函数的单调性进行判断.21*cnjy*com
●案例2求下列函数的定义域与值域:?
(1)y=2;
(2)y=() |x|;?
(3)y=4 x+2 x+1+1;
(4)y=2.
【探究】 (1)因为指数函数y=2 x的定义域为x∈R时,值域为y∈(0,+∞);若x≠0,则y≠1;由于y=2中的≠0,所以y≠2 0=1.所以所求函数的定义域是{x|x∈R且x≠3},值域为{y|y>0且y≠1}.
(2)因为y=() |x|中的|x|≥0,所以x∈R,0(3)将已知函数整理成y=4 x+2 x+1+1=(2 x) 2+2(2 x)+1=(2 x+1) 2.由此可知定义域为R,值域为{y| y>1}.
(4)已知函数可化为y=2,由≥0,得x>1;又由>0,得y=2>1.所以定义域为{x| x>1},值域为{y| y>1}.
【溯源】
求自然定义域的问题,即要求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合);求值域的问题均为复合函数的值域问题,而求复合函数值域的一般步骤是先求出定义域,然后求出内层函数的值域,由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域,即是复合函数的值域.?
●案例3
某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半(结果保留1个有效数字).
【探究】
通过恰当假设,将剩留量y表示成经过年数x的函数,并列表、描点、作图,进而求得所求.
设这种物质最初的质量是1,经过x年,剩留量是y.?
经过1年,剩留量y=1×84%=0.84;?
经过2年,剩留量y=1×84%×84%=0.71;
……
一般地,经过x年,剩留量y=0.84x.?
根据这个函数关系式可以列表如下:
x
0
1
2
3
4
5
6
y
1
0.84
0.71
0.59
0.50
0.42
0.35
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需x≈4.?
答:约经过4年,剩留量是原来的一半.?
【溯源】
在解决实际应用问题时,首先判断函数模型,再根据函数性质和图象解决问题,此题就是指数函数图象的应用,也是数形结合思想的体现.?21教育网
●案例4
讨论函数y=() x-() x+1(x∈［-3,2］)的单调区间,并求出它的值域.?
【探究】
通过代换u=() x,则y就成了关于u的二次函数.?
令u=() x,则y=u 2-u+1=(u-) 2+.?
∵x∈［-3,2］,∴≤u=() x≤8.
∴≤y≤57.
∴值域为［,57］.再求单调区间.?
(1) ≤u≤,即≤()x≤,故x∈［1,2］时,u=() x是单调减函数,y=(u-) 2+是单调减函数,∴y=［()x-］2+是单调增函数.21cnjy.com
(2) ≤u≤8,即≤()x≤8,故x∈［-3,1］时,u=() x是单调减函数,y=(u-) 2+是单调增函数,∴y=［()x-］2+是单调减函数.
∴函数的单调增区间是［1,2］,单调减区间是［-3,1］.?
【溯源】
在解决指数和其他函数相复合构成的新函数的性质问题时,一般采取换元的做法,无论是求值域还是单调性,都要注意内层函数的取值范围和对指数底的讨论,在解决单调性问题时,要记清复合函数单调性的规律,即“内外层单调性相同,则函数在此区间上递增,如果内外层单调性相反,则此函数在此区间上递减”.
活学巧用
1. 计算下列各式.?
(1);
(2)(2) 0+2 -2·(2)-(0.01) 0.5.
【思路解析】 第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小题将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数.?
(1)【解法一】 = = = =(9) =9 =3.
【解法二】=====3
(2)【解】 (2) 0+2 -2·(2)- -(0.01) 0.5
=1+×()-()=1+×-=.
2. 计算:?
(1)();
(2)0.008;
(3)();
(4)(2a+1) 0;
(5)［-() -1］-1.
【思路解析】 在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂的形式时〔如(1)(2)(3)〕,就先把幂的底数写成幂的形式,再进行幂的乘、除、乘方、开方运算,这样比较简便.【版权所有：21教育】
在幂的运算中,对于形如m 0的式子,要注意对底数m是否为零进行讨论,因为只有在m≠0时,m 0才有意义;而对于形如()-n的式子,我们一般是先变形为()n,然后再进行运算.
【答案】(1)()-=()= = =.
(2)0.008=(0.2 3) =0.2 -2=() -2=5 2=25.
(3)()=()-===.
(4)(2a+1) 0=1, a≠-,无意义,a=-.
(5)［-() -1］-1
=(-) -1
=(-) -1
=-.
3. 把根式-25(a-b) -2改写成分数指数幂的形式为… ( )?
A.-2(a-b)-
B.-2(a-b)-
C.-2(a- -b-)
D.-2(a--b-)
【思路解析】 考查根式与分数指数幂的转化.原式可化为-2×(a-b) -=-2(a-b) -.故选A.21·cn·jy·com
【答案】 A
4. 化简下列各式:?
(1)(x -1+x+ x 0)(x--x);
(2);
(3).
【思路解析】
注意题中各式的结构特点,善于识别平方差、立方差等公式.?
【答案】
(1)原式=(x) 3-(x) 3=x-x.
(2)原式=-=
(x-)2-x-y-+(y-)2-[((x-)2-x-y-+(y-)2)]=2(xy)-=-2.
(3)原式=.
5. 下列各等式中,正确的是( )?
A. =a
B. =
C.a0=1?
D. =(-1)
【思路解析】
要想判断等式是否正确,首先要使等式两边都有意义,然后计算两边的值,如果相等则正确,如果不等,则不正确,在计算时要充分应用幂的运算法则.?21·世纪*教育网
【解】=|a|,由于不知道a的符号,因此A不正确;?
∵,<0,
∴≠.
因此B不正确;?
如果a=0,则a0没有意义,因此C也不正确;?
∵>1,∴=(-1)=(-1).?
∴D正确.因此,选D.
【答案】 D
6. 已知a +a- =2,求下列各式的值.?
(1) a2 +a -2;
(2) a3 +a -3;
(3) a4 +a -4.
【思路解析】 本题主要考查的是已知条件与所求式子之间的联系.由(a+a-)2=a+ a -1+2=4可知a+ a -1=2.21*cnjy*com
同理可知
(a+ a -1)2=a2+a -2+2,?
(a2+a -2)2=a4+a -4+2.?
【答案】
(1)2;(2)2;(3)2.
7. 已知x+x =3,求x+ x -1与的值.?
【思路解析】
由(x+x)2=9,
可得x+ x -1=7.?
∵(x+x)3=27,?
∴x+3x·x +3xx -1+x-=27.
∴x+ x-=18.?
故原式=2.
8. 关于函数(1)y=x2和(2)y=2x的下列说法正确的是( )?
A. (1)和(2)都是指数函数?
B. (1)和(2)都不是指数函数?
C. (1)是指数函数,(2)不是?
D. (2)是指数函数,(1)不是?
【思路解析】
由指数函数特征知(1)不是,(2)是.?
【答案】 D
9. 已知对不同的a值,函数f(x)=2+a x-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则P点的坐标是( )21世纪教育网版权所有
A. (0, 3)
B. (0, 2)
C. (1, 3)
D. (1, 2)
【思路解析】
函数图象过定点,则函数解析式中含有待定系数(也叫参数)的“项”或“部分表达式”一定为常数,本题要想使a x-1为常数,又∵a取不同的值,因此x-1=0.从而得解.
为使y为定值,应使x-1=0,则此时y=2+a0=3,故P点坐标为(1,3).
因此,选C.
【答案】 C
10. 设y 1=4 0.9,y 2=8 0.44,y 3=() -1.5,则( )?
A. y 3?>y 1?>y 2
B. y 2?>y 1?>y 3
C. y 1?>y 2?>y 3
D. y 1?>y 3?>y 2
【思路解析】 把给出的三个函数化为同底的指数式,y 1=2 1.8,y 2=2 1.32,y 3=2 1.5,再根据指数函数y=2 x是增函数即可判断y 1>y 3>y 2.?【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】 D
11. 当x>0时,函数f(x)=(a 2-1) x的值总大于1,则实数a的取值范围是( )?
A. 1<|a|<2
B. |a|<1
C. |a|>1
D. |a|>2
【思路解析】 由指数函数的性质可知f(x)在(0,+∞)上是递增函数,所以a 2-1>1,a 2>2,|a|>2.21教育名师原创作品
【答案】 D
12. 函数y=3 (x2+1)的值域为.?
【思路解析】 考查指数函数的性质、函数值域的求法.?
由于x 2+1≥1,而y=3 x在(-∞,+∞)?上是增函数,所以y=3 x2+1≥3,即y=3 x2+1的值域为［3,+∞).
【答案】 ［3,+∞)
13. 求函数y=f(x)=() x-() x+1,x∈［-3,2］的值域.?
【思路解析】 将()x看作一个未知量t,把原函数转化为关于t的二次函数求解.?
【答案】
∵f(x)=［()x］2-() x+1,x∈［-3,2］,?
∴()2≤()x≤()-3,即≤()x≤8.
设t=() x,则≤t≤8.?
将函数化为f(t)=t 2-t+1,t∈［,8］.?
∵f(t)=(t-) 2+,
∴f()≤f(t)≤f(8).?
∴≤f(t)≤57.
∴函数的值域为［,57］.
14. 曲线C 1、C 2、C 3、C 4分别是指数函数y=a x、y=b x、y=c x和y=d x的图象,则a, b, c, d与1的大小关系是( )?2-1-c-n-j-y
A. aB. aC. bD. b【思路解析】
首先可以根据指数函数单调性,确定c>1,d>1,0【答案】 D
15. 函数f(x)=(a 2-1) x是减函数,则a的取值范围是_____________.?
【思路解析】 如果此函数是减函数则00,a2-1<1.
解得a∈(-2, -1)∪(1,2).?
【答案】 (-2,-1)∪(1,2)
16. 下图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=a t,有以下叙述,其中正确的是… ( )
①这个指数函数的底数为2?
②第5个月时,浮萍面积就会超过30 m2
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月?
④浮萍每月增加的面积都相等
⑤若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3,则t 1+t 2=t 3
A.①②
B.①②③④?
C.②③④⑤
D.①②⑤?
【思路解析】 本题综合考查学生的识图能力及指数函数的性质.
由图形得函数解析式应为y=2 x(x≥0).?
【答案】 D
17. 求函数y=a -x2+2x+2(a>0,且a≠1)的单调区间和值域.?
【思路解析】
本题是一个复合函数,而且还有未知参数,因此首先要分类讨论,但是在分类讨论之前还要对指数部分的二次函数进行分析判断,在二次函数的单调区间中分类讨论未知参数以确定函数的单调区间和值域.?
【解】
y=a -x2+2x+2=a -(x-1)2+3.?
令t=g(x)=-(x-1)2+3,t在区间(-∞,1］上递增,在区间［1,+∞)上递减.?
y=f(t)=a t=f［g(x)］.?
当a>1时,y=f(t)=a t递增,??
∴y=f［g(x)］在区间(-∞,1］上递增,在区间［1, +∞)上递减.?
当x=1时,y max=a3,
又y=a t>0,?
∴函数的值域为(0,a3］.?
当0∴y=f［g(x)］在区间(-∞,1］上递减,在区间［1,+∞)上递增,当x=1时,y min=a3,函数的值域为［a3,+∞).
18． 函数y=(-1) (x+1)(x-3)的单调递增区间是( )?
A. (1, +∞)
B. (-∞, 1)
C. (1, 3)
D. (-1, 1)
【思路解析】
此函数可以看成是以u=(x+1)(x-3)与y=(-1) u复合而成的函数,显然y=(-1) u单调递减,所以求内层函数也是递减区间即可,借助二次函数图象可知它在(-∞,1)上满足要求.?www-2-1-cnjy-com
【答案】 B
21． 集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的:对于任意的x≥0,f(x)∈(1,4］,且f(x)在［0,+∞)上是减函数.判断函数f1(x)=2-x及f2(x)=1+3·()x(x≥0)是否在集合A中？若不在集合A中,试说明理由.?
【答案】
∵f1(49)=2-=-5(1,4］,?
∴f1(x)不在集合A中.?
又∵x≥0,
∴0<()x≤1.
∴0<3·()x≤3.
从而1<1+3·()x≤4.
∴f2(x)∈(1,4］.
又f2(x)=1+3·()x在［0,+∞)上为减函数,?
∴f2(x)=1+3·()x在集合A中.
2.1 指数函数
知识导学
在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x3=a,那么x就叫a的立方根.如此类推,我们便得出了n次实数方根的定义.www.21-cn-jy.com
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.21*cnjy*com
比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,直接比较指数即可;当底数和指数不同时,要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.21·cn·jy·com
指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析,因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.关于函数的图象和性质,需注意的几个问题:
(1)单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x轴是函数图象的渐近线.
当01时,x→-∞,y→0.
当a>1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快;当0 (2)熟悉指数函数y=10x,y=2x,y=()x,y=()x在同一直角坐标系中的图象的相对位置,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.【来源：21cnj*y.co*m】
记忆口诀:
(1)方根口诀
正数开方要分清,根指奇偶大不同,
根指为奇根一个,根指为偶双胞生.
负数只有奇次根,算术方根零或正,
正数若求偶次根,符号相反值相同.
负数开方要慎重,根指为奇才可行,
根指为偶无意义,零取方根仍为零.
(2)指数函数性质口诀
指数增减要看清,抓住底数不放松,
反正底数大于0,不等于1已表明;
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减.
无论函数增和减,图象都过(0,1)点.
疑难导析
用语言叙述这三个公式:
(1)非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.
(2)n为奇数时,实数a的n次幂的n次方根是a本身;n为偶数时,实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.21教育网
(3)若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变.21cnjy.com
在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a>0,且a≠1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.21·世纪*教育网
判断一个函数是否是指数函数,关键是看它是否能写成y=ax(a>0,a≠1)的形式.
问题导思
指数函数是同学们完全陌生的一类函数,也是一类非常重要的函数,对指数函数的性质的理解和掌握是学习的关键,找出函数的共同特征,把共同的特点和性质归纳和总结出来.
另外,底数a对图象特征的影响也可这样来叙述:当a>1时,底数越大,函数图象就越靠近y轴;当0典题导考
绿色通道
根据第(1)题的思考,在这里把计算中的不同运算形式统一成分数指数幂更方便些.
第(1)题能把式中的数化成3的指数幂的形式来做吗？
黑色陷阱
做这类带有指数幂和根式的混合运算,容易发生解答过程中的形式混乱,从而影响解题.
典题变式
1.计算下列各式(式中字母都是正数):
(1)(2)(-6)÷(-3);
(2)()8.
答案:(1)4a;(2).
2.已知+=3,求a2+a-2的值.
答案:47.
3.已知函数f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1),f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值为_________.
答案:12
绿色通道
比较而言,还是第二种方法更简便些.但对学生的思维要求较高,不仅要求迅速画出略图,而且能对m、n的定位进行判断.【来源：21·世纪·教育·网】
黑色陷阱
如果不注意原题中的条件:1>n>m>0,而取m=2,n=3,将会出现误选B的情形.
典题变式 如图2-1-5,曲线C1、C2、C3、C4分别是指数函数y=ax、y=bx、y=cx和y=dx的图象,则a、b、c、d与1的大小关系是( )www-2-1-cnjy-com
图2-1-5
A.a答案:D
绿色通道
1.对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性.
首先,必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值;
其次,必须要明确所给指数函数的底与1的大小关系;再根据指数函数图象的性质来判断.
2.对不同底数幂的大小的比较可以与中间值1进行比较.
典题变式
1.设y1=40.9,y2=80.44,y3=()-1.5,则( )
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
答案:D
2.当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则实数a的取值范围是( )
A.1<|a|<2 B.|a|<1 C.|a|>1 D.|a|>2
答案:D
绿色通道
本题实际上是一个平均增长率的问题,求解非常简单,但是该题从科学家富兰克林的介绍入手设置了一个情景.这是一个比较典型的模型,背景也可以更换为增长率问题.
典题变式
1.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是( )2·1·c·n·j·y
A.增加7.84% B.减少7.84%
C.减少9.5% D.不增不减
答案:B
2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).2-1-c-n-j-y
答案:约经过4年,剩留量是原来的一半.
黑色陷阱
解这类题容易出现的问题是,对于个体问题生搬硬套公式,从而导致解题失误.
典题变式 家用电器(如冰箱)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量,t的单位是年.
(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加了还是减少了？
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？
答案:(1)减少;(2)用计算器完成,大约277年.
2.1 指数函数
课堂探究
探究一 利用根式的性质化简、求值
利用根式的性质化简求值，就是利用与()n的结果进行去根号化简，所以在运算时要特别注意：
(1)n为奇数时，对任意a∈R都有意义，并且表示a在实数范围内的唯一的一个n次方根．即()n＝a.21cnjy.com
(2)n为偶数时，只有当a≥0时才有意义， (a>0)表示a在实数范围内的一个正的n次方根，也叫n次算术根，但a还有另一个负的n次方根是－，即(±)n＝a.
(3)( )n与的意义不同. 对任意a∈R都有意义；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝21·cn·jy·com
【典型例题1】 求下列各式的值：
(1) ＋；
(2)( )5＋()6(b>a)．
思路分析：先利用根式的性质化简各个根式，再进行运算．
解：(1)原式＝－8＋|3－π|＝－8＋π－3＝π－11.
(2)原式＝(a－b)＋(b－a)＝a－b＋b－a＝0.
方法总结化简时，首先明确根指数n是奇数还是偶数，然后再依据根式的性质进行化简；化简()n时，关键是明确是否有意义，只要有意义，则()n＝a.
探究二条件根式的化简
在对根式进行化简时，若被开方数中含有分母，则要注意分母的取值范围，即确定中a的正负，再结合n的奇偶性给出正确结果．21世纪教育网版权所有
若根式的根指数是偶数，可由被开方数不小于0确定出字母的取值范围，再进行化简．
【典型例题2】 化简：
(1)设－3(2)( )2＋＋＝__________；
(3) ＝__________.
思路分析：(1)去根号，化为含绝对值的形式，然后讨论x的范围去绝对值；(2)(3)由根式得出a的范围，再去根号化简．21教育网
解：(1)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
(2)由知a－1≥0，
∴原式＝a－1＋＋1－a＝a－1.
(3)由原式知即a＝－1.
∴原式＝＝－.
温馨提醒当n为偶数，化简时，先写成绝对值形式，再去绝对值．
探究三易错辨析
易错点 忽略n的范围导致式子化简出错
【典型例题3】 计算：＋.
错解：＋
＝(1＋)＋(1－)＝2.
错因分析：≠1－，而是＝|1－|＝－1.其出错原因是忽略了＝a成立的条件是n为正奇数，如果n为正偶数，那么＝|a|.
正解：＋
＝(1＋)＋|1－|＝1＋＋－1＝2.
2.1 指数函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．
2．能利用根式的性质对根式进行化简.
一、n次方根
二、根式
名师点拨1.对()n的理解
()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶性来决定：
(1)当n为大于1的奇数时，a∈R.例如，()3＝27，()5＝－32，()7＝0，则()n＝a.21世纪教育网版权所有
(2)当n为大于1的偶数时，a≥0.例如，()4＝27，()2＝3，()6＝0，则()n＝a；若a<0，例如，由于x2＝－2，x4＝－54均不成立，则，均无意义，所以()2，()4均无意义，则式子()n无意义．21cnjy.com
由此看来，只要()n有意义，其值就恒等于a，即()n＝a.
2．对的理解
是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，an不受n的奇偶性限制，a∈R，但是式子的值受n的奇偶性限制：21教育网
(1)当n为大于1的奇数时，例如，＝－2，＝6.1，即＝a.
(2)当n为大于1的偶数时，例如，＝3，＝3，即＝|a|.
自主思考－3是9的平方根，对吗？9的平方根是－3吗？
提示：“－3是9的平方根”是正确的，但“9的平方根是－3”是错误的，因为9的平方根有两个是±3.
2.1 指数函数
课堂探究
探究一 根式与分数指数幂的互化
根式与分数指数幂是同一个问题的两种不同表示形式，但用分数指数幂表示运算时更方便．因此，在很多情况下，需要对根式与分数指数幂进行互化．21教育网
(1)分数指数幂与根式可以相互转化，其化简的依据是公式：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．21cnjy.com
(3)化简过程中要明确字母的范围，以免出错．
【典型例题1】 将下列根式化为分数指数幂的形式．
(1) (a>0)；
(2) ；
(3)( ) (b>0)．
解：(1)原式＝＝＝＝
(2)原式＝＝＝
＝＝＝.
(3)原式＝＝＝.
探究二 分数指数幂的运算
当一个式子中既含有根式又含有分数指数幂时，通常，我们需要对其化简，这时一般先统一化为分数指数幂，运用幂的运算性质进行运算．对分数指数幂进行化简时，常将负指数幂化为正指数幂，带分数化为假分数．www.21-cn-jy.com
【典型例题2】 (1)计算：－＋＋16－0.75＋；
(2)化简：÷ (a>0)．
解：(1)原式＝－1＋(－2)－4＋＋＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝[·]÷[·]＝＝a0＝1.
温馨提示 此类题目的运算结果，可以是根式也可以是分数指数幂，但不能两者混合，也不能既含有分母又含有负指数．2·1·c·n·j·y
探究三 条件求值
已知某些代数式的值，求另外代数式的值是代数式求值中的常见题型．解答这类题目，可先分析条件式与所求式的区别与联系，有时通过化简变形把已知条件整体代入，有时需根据已知条件求出某字母的值再代入．21·cn·jy·com
【典型例题3】 已知＋＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3)a2－a－2.
思路分析：解答本题可从整体上寻求各式与条件＋＝的联系，进而整体代入求值．
解：(1)将＋＝的两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)由a＋a－1＝3，两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
∴a2＋a－2＝7.
(3)设y＝a2－a－2，两边平方，得
y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45.
∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.
方法总结整体代换是解答这类问题的重要方法，另外还要注意隐含条件的挖掘与应用．
探究四 易错辨析
易错点 忽略有意义的条件导致计算出错
【典型例题4】 化简：
错解：
＝
＝(1－a)(a－1)－1＝
错因分析：错解中忽略了题中有意义的条件，若有意义，则－a≥0，故a≤0，这样＝(1－a)－1.21世纪教育网版权所有
正解：由有意义，可知－a≥0，故a≤0，
所以
＝
＝(1－a)(1－a)－1＝.
2.1 指数函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．
2．掌握指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值.
一、分数指数幂
自主思考1我们知道an(n∈N*)表示n个a相乘，那么(n∈N*，m∈N*)还表示个a相乘吗？
提示：在中，当不是正整数时，它不表示个a相乘，它是根式的另一种写法．
自主思考2 与一定相等吗？
提示：不一定．当a≥0时，＝；
当a<0时，两者不相等，如a＝－4时，＝(－4)＝＝＝2，而＝(－4)＝无意义，此时，两者显然不相等．21世纪教育网版权所有
二、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．21教育网
名师点拨 幂指数概念的扩展过程
如下表所示：
幂指数
定义
底数的取值范围
有理数指数
整数指数
正整数指数
(n∈N*)
a∈R
零指数
a0＝1
a≠0且a∈R
负整数指数
a－n＝ (n∈N*)
a≠0且a∈R
分数指数
正分数指数
＝ (m，n∈N*，且m>1)
m为奇数
a∈R
m为偶数
a≥0
负分数指数
＝ (m，n∈N*，且m>1)
m为奇数
a≠0且a∈R
m为偶数
a>0
无理数指数
ap是一个确定的实数(其中p为无理数)
a>0
2.1 指数函数
课堂探究
探究一 指数函数的概念
判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构形式．指数函数具有以下特征：21cnjy.com
(1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；
(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1；
(3)ax的系数是1.
【典型例题1】 (1)下列函数中，哪些是指数函数？
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；
③y＝(2a－1)x；④y＝2·3x.
(2)函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．
思路分析：依据指数函数解析式满足的三个特征来判断．
解：(1)①中，底数－8<0，故不是指数函数．
②中，指数不是自变量x，故不是指数函数．
③中，∵a>，且a≠1，∴2a－1>0，且2a－1≠1.
∴y＝(2a－1)x是指数函数．
④中，3x前的系数是2，而不是1，故不是指数函数．
综上所述，仅有③是指数函数．
(2)由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，可得?a2－3a＋3＝1，,a>0，且a≠1，
解得∴a＝2.
探究二 指数函数的图象问题
1．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；
即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
实际上，无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，因此，作出直线x＝1，则该直线与各图象交点的纵坐标即为底数，由此可得底数的大小．2·1·c·n·j·y
2．因为函数y＝ax的图象恒过点(0,1)，所以对于函数f(x)＝kag(x)＋b(k，a，b均为常数，且k≠0，a>0，且a≠1)，若g(m)＝0，则f(x)的图象过定点(m，k＋b)．
3．指数函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
4．处理函数图象问题的常用方法：一是抓住图象上的特殊点；二是利用图象的变换；三是利用函数的奇偶性与单调性．【来源：21·世纪·教育·网】
【典型例题2】 函数y＝|x|的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？
思路分析：先讨论x，将函数写为分段函数，然后画出函数的图象，最后根据图象写出函数的值域和单调区间．
解：∵y＝|x|＝
∴其图象由y＝x(x≥0)和y＝2x(x<0)的图象合并而成．
而y＝x(x>0)和y＝2x(x<0)的图象关于y轴对称，所以原函数图象关于y轴对称．由图象可知值域是(0,1]，单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．
探究三 求函数的定义域、值域
对于y＝af(x)(a>0，且a≠1)这类函数：
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．
【典型例题3】 求下列函数的定义域与值域．
(1) ； (2)y＝－|x|.
思路分析：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，在定义域内可利用指数函数的单调性来求值域．
解：(1)∵由x－4≠0，得x≠4，
∴定义域为{x|x∈R，且x≠4}．
∵≠0，∴≠1.
∴的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)定义域为R.
∵|x|≥0，
∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1.
故y＝－|x|的值域为{y|y≥1}．
方法总结 求指数型函数y＝af(x)的值域主要是利用指数函数的单调性求解，因而求函数y＝f(x)的值域就成为求函数y＝af(x)值域的关键．21教育网
探究四 易错辨析
易错点 利用换元法时，忽视中间变量的取值范围
【典型例题4】 求函数y＝x＋x＋1的值域．
错解：令t＝x，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋≥，故当t＝－时，ymin＝，故原函数的值域是.21世纪教育网版权所有
错因分析：原函数的自变量x的取值范围是R，换元后t＝x>0，而不是t∈R，错解中，t的取值范围扩大了．www.21-cn-jy.com
正解：令t＝x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋.因为函数y＝2＋在(0，＋∞)上是增函数，所以y>1，故原函数的值域是(1，＋∞)．
方法总结求形如f(ax)的函数的值域时，常利用换元法，设ax＝t，根据f(ax)的定义域求得t的取值范围，再转化为求f(t)的值域．21·cn·jy·com
2.1 指数函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解指数函数的概念，能画出指数函数图象的草图，会判断指数函数．
2．初步掌握指数函数的性质，并能解决与指数函数有关的定义域、值域、定点问题.
指数函数
名师点拨 对指数函数中底数取值范围的理解
(1)若a<0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如，(－2)x，当x＝时无意义．
(2)若a＝0，则当x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义．
(3)若a＝1，则对于任何x∈R，ax是一个常量1，没有研究的必要性．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1，这样对于任何x∈R，ax都有意义．
自主思考函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象有怎样的对称关系？
提示：观察课本第56页图2.1-4知，两函数的图象关于y轴对称．事实上，函数y＝ax图象上任一点P(x，y)关于y轴的对称点P1(－x，y)都在函数y＝x的图象上，所以这两个函数的图象关于y轴对称．21世纪教育网版权所有
2.1 指数函数
课堂探究
探究一 比较两个幂的大小
对于两个幂的大小比较，可从以下两个方面来考虑：
(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较．www.21-cn-jy.com
【典型例题1】 比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)1.5－7，；
(3)2.3－0.28,0.67－3.1.
思路分析：(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)化为同底，再比较；(3)利用中间值1比较大小．2·1·c·n·j·y
解：(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7，
故构造函数y＝1.7x，而函数y＝1.7x在R上是增函数．
又2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)(化同底)1.5－7＝＝，＝＝，
考察函数y＝.
∵0<<1，∴y＝在R上是减函数．
又7<12，∴>，
即1.5－7>.
(3)(中间量法)由指数函数的性质，知2.3－0.28<2.30＝1，0.67－3.1>0.670＝1，则2.3－0.28＜0.67－3.1.21世纪教育网版权所有
探究二 解指数不等式
解指数不等式问题，需注意三点：
(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax>bx的形式利用图象求解．
【典型例题2】 解下列关于x的不等式：
(1) ≤16；
(2)a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．
思路分析：(1)将16写为，再利用指数函数的单调性求解；(2)讨论a的取值范围，利用指数函数的单调性求解．www-2-1-cnjy-com
解：(1)∵≤16，∴≤.
∵0<<1，∴x＋5≥－4，即x≥－9.
故原不等式的解集为{x|x≥－9}．
(2)当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，
当0当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
探究三指数型函数的单调性
对于形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数，有以下结论：
(1)函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与f(x)定义域相同；
(2)若求值域，则先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定y＝af(x)的值域；
(3)当a>1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0【典型例题3】 已知函数y＝，
(1)求函数的定义域及值域；
(2)确定函数的单调区间．
思路分析：将函数y＝分解为y＝与u＝x2－6x＋17，再根据u＝x2－6x＋17的定义域、值域、单调性确定原函数的定义域、值域、单调性．
解：(1)设u＝x2－6x＋17，由于函数y＝及u＝x2－6x＋17的定义域为(－∞，＋∞)，故函数y＝的定义域为R.21·cn·jy·com
∵u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，
∴≤.
又>0，∴函数的值域为.
(2)函数u＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意x1，x2∈[3，＋∞)，且x1，即y1>y2，∴函数y＝在[3，＋∞)上是减函数．
同理可知y＝在(－∞，3]上是增函数．
规律总结函数y＝af(x)可看作是函数y＝au与u＝f(x)复合而成的，其中函数u＝f(x)称为内函数，函数y＝au为外函数．函数y＝af(x)的单调性遵循“同增异减”的原则，即内外函数单调性一致时，函数y＝af(x)为增函数，内外函数单调性相反时，函数y＝af(x)是减函数．
探究四 易错辨析
易错点 因忽略换元后新变量的取值范围而导致错误
【典型例题4】 设a>0，且a≠1，如果函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．【来源：21·世纪·教育·网】
错解：∵y＝(ax＋1)2－2，
又∵y在[－1,1]上单调递增，∴x＝1时，y取得最大值．
∴a2＋2a－1＝14，即a2＋2a－15＝0，
∴a＝3，或a＝－5(舍去)．
∴a＝3.
错因分析：当a>1时，在x∈[－1,1]内，ax∈；
当0而y＝(t＋1)2－2在(－1，＋∞)上是单调递增的，
故当t取最大值时，y取最大值．
综上，应分两种情况求解才是正确的．
正解：设t＝ax，若a>1，则t∈，
若0∵y＝(t＋1)2－1，它关于t在(－1，＋∞)上单调递增．
∴当a>1时，y在t＝a处取得最大值，
∴a2＋2a－1＝14，∴a＝3.
当0∴＋－1＝14，∴a＝.
∴a＝3或a＝.
反思 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)，在利用换元法解题时，若假设t＝ax，则t>0，一定要注意换元后新变量的范围．21教育网
2.1 指数函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.能利用指数函数的单调性解不等式、比较大小、求最值．
2．掌握指数函数在实际生活中的简单应用.
指数函数的图象和性质
y＝ax(0y＝ax(a>1)
图 象
性 质
定义域：R
值域：(0，＋∞)
过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1
当x>0时，01
当x>0时，y>1；当x<0时，0在R上是减函数
在R上是增函数
自主思考 底数对指数函数的影响？
提示：(1)对指数函数变化趋势的影响．
①当底数a>1时，指数函数y＝ax是R上的增函数，且当x>0时，底数a的值越大，函数图象越“陡”，说明其函数值增长得越快，如图(1)所示．21世纪教育网版权所有
②当底数0(2)对函数值大小的影响．
①若a>b>1，当x<0时，总有00时，总有ax>bx>1.21cnjy.com
②若0ax>1；当x＝0时，总有ax＝bx＝1；当x>0时，总有0综上所得，当x>0，a>b>0时，ax>bx；当x<0，a>b>0时，ax