2.3 幂函数
互动课堂
疏导引导
一、幂函数的定义?
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中,x是自变量,α是常数.?
疑难疏引
1.我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x 2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x 2+1都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同.
掌握幂函数的关键一定要明确“形如y=xα的函数”这句话的重要作用.
2.幂函数的定义域比较复杂,应分类进行掌握:?
(1)当指数n是正整数时,定义域是R.?
(2)当指数n是正分数时,设n= (p、q是互质的正整数,q>1),则x n=x=.
如果q是奇数,定义域是R;?
如果q是偶数,定义域是［0,+∞).?
(3)当指数n是负整数时,设n=-k, x n=,显然x不能为零,所以定义域是{x|x∈R且x≠0}.
(4)当指数n是负分数时,设n=-(p、q是互质的正整数,q>1),则x n= =.
如果q是奇数,定义域是{x|x∈R,且x≠0};?
如果q是偶数,定义域是(0,+∞).
3.幂函数与指数函数的区别:虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式,但二者的定义域不同,即指数函数y=a x中,指数是自变量,而幂函数y=xα中,底数是自变量.当然,由此可见,二者的对应关系和值域也不同.21教育网
二、幂函数的图象和性质?
如图所示,幂函数有如下性质:?
1.所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点(1,1);
2.如果a>0,则幂函数的图象通过原点并且在区间［0,+∞)上是增函数;
3.如果a<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.?
疑难疏引
研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x 2、y=x 3及y=x的图象研究归纳y=xn(n>0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数y=x -2、y=x -3及y=x-的图象研究归纳y=xn(n<0)的图象特征和函数性质.需要注意的有:?2·1·c·n·j·y
(1)研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.?
(2)对于幂函数y=x n(n>0),我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即n<0,0
1三种情况下曲线的基本形状,还要注意n=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲,大竖直小横铺”,即n>0(n≠1)时图象是抛物线型;n<0时图象是双曲线型;n>1时图象是竖直抛物线型;0记忆口诀:?
如何分析幂函数,记住图象是关键,?
虽然指数各不同,分类之后变简单,?
大于0时抛物线,小于0时双曲线,?
还有0到1之间,抛物开口方向变,?
不仅开口向右方,原来图象取一半.?
函数奇偶看指数,奇母奇子奇函数,?
奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数.?
●案例1比较下列各组数的大小.?
(1)3.14与π;?
(2)(-)-与(-) -.?
【探究】 指数相同,可以根据幂函数的单调性判断.(1)由于幂函数y=x(x>0)单调递减且3.14<π,∴3.14>π.?21cnjy.com
(2)由于y=x-这个幂函数是奇函数,?
∴f(-x)=-f(x).?
因此,(- ) -=-() -,(-) -=-() -.?
而y=x-(x>0)单调递减,且<,
∴() ->() --() -<-() -,即(-) -<(-) -.?
【溯源】 幂函数中的比较大小问题特别常见,主要是考查幂函数的概念和基本性质中的单调性,在解答这部分内容的考题时,数形结合是最佳的选择,如果是选择题则主要有两种思考方式:一种是直接肯定式的思考方式,另一种是间接否定式的思考方式.?
三、幂函数的实际应用?
●案例2 某工厂从t年到t+2年新产品的成本共下降了51%,若两年下降的百分率相同,则每年下降的百分率为( )21世纪教育网版权所有
A.30%
B.25.5%
C.24.5%
D.51%
【探究】 本题考查幂函数的实际应用,涉及到平均增长率公式的应用和参数的思想,题设中没有年份和成本的具体数,学生要敢于设未知参数.【来源：21·世纪·教育·网】
设t年的成本为a,每年下降的百分率为x,则t+2年的成本为a(1-x) 2,
∴=51%,解得x=30%.
因此,选A.
【溯源】 依据幂函数去解决有关增长率问题是今后考查的一个重点内容,其解题的关键是如何建立恰当的数学模型.2-1-c-n-j-y
活学巧用
1. 已知函数:①y=x-1;②y=x2+2x;③y=2x;?④y=x-;⑤y=x0;⑥y=2x中,是幂函数的有.?
【思路解析】 由于幂函数中,变量的系数是1,而且没有其他的与之相加减的项,所以容易判断答案.另外特别注意幂函数和指数函数的区别:指数函数y=a x中,指数是自变量,而幂函数y=xα中,底数是自变量.21*cnjy*com
【答案】 ④⑤
2. 当m为何值时,幂函数y=(m 2-5m+6)x m2-2m-3的图象同时通过点(0,0)和(1,1)？?
【思路解析】 因为是幂函数,则m 2-5m+6=1,又过(0,0)和(1,1)点,则m 2-2m-3>0.
【答案】 ∵y=(m 2-5m+6)x m2-2m-3是幂函数,?
∴m 2-5m+6=1,得m=.
又∵函数图象过(0,0)和(1,1)点,?
∴m 2-2m-3>0,则有(m-1) 2>4,得m>3或m<-1.
∴m= (舍去),即m=.
3. 分别写出幂函数y=x和y=x-的定义域.
【思路解析】 本题主要考查了分数指数幂的相关知识,可以把它们化为根式形式,然后再进行观察得到相应的结果.因为y=x =x,所以要想此函数有意义,则x≥0,又因为y=x-=,所以可得到x>0.另外要注意到要表达成集合的形式.www-2-1-cnjy-com
【答案】 {x| x≥0},{x| x>0}.
4．下列4个幂函数,在(-∞,0)上不是增函数的是( )?
A.y=x
B.y=x3
C.y=x-
D.y=x-
【思路解析】 根据幂函数的性质知,函数y=x在R上是单调递增的,
∴在(-∞,0)上也是增函数;
函数y=x3在R上是单调递增的,
∴在(-∞,0)上也是增函数;函数y=x-在(-∞,0)上是单调递增的,在R +上是单调递减的;
函数y=x-的定义域是R +,在(-∞,0)上没有定义,
∴函数y=x-在(-∞,0)上不是增函数.综上所述,选D.
【答案】 D
5． 函数y=(3x-2)+(2-3x)-的定义域为.
【思路解析】 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围,本题中有两个限制条件,(3x-2)的底数非负,(2-3x)-的底数非零.21·世纪*教育网
依题意得x>.
【答案】 (,+∞)
6. 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a、b、c的大小关系为( )?
A.cB.aC.bD.c【思路解析】 ∵幂函数在第一象限内为增函数时,指数为正,为减函数时,指数为负,∴a、b为正,c<0.又∵当指数为正,底数大于1且相同时,指数较大的图象在上方,由图象可知a>b.综上,a>b>c.因此,选A.【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】 A
7. 已知幂函数y=x n1,y=x n2,y=x n3,y=x n4在第一象限内的图象分别是C 1、C 2、C 3、C 4(如图),则n 1、n 2、n 3、n 4、0、1的大小关系是.?【出处：21教育名师】
【思路解析】 结合幂函数在第一象限的图象来判断.?
【答案】 n 18. 若(a+1)-<(3-2a) -,则a的取值范围是__________.
【思路解析】 因为函数y=x在［0,+∞)上单调递增,所以y=x-在(0,+∞)上单调递减.
所以解得【答案】 (,)
9. 某公司产值最初为m万元,以后连续三年持续增长,这三年的增长率分别为a、b、c,求这三年的平均增长率.?21·cn·jy·com
【思路解析】 第一年的产值为m(1+a),第二年的产值为m(1+a)(1+b),第三年的产值为?m(1+a)(1+b)(1+c),如果设平均增长率为x,则第三年的产值也为m(1+x)3.?
【解】 设这三年的平均增长率为x,
依题意得m(1+x)3=m(1+a)(1+b)(1+c).?
解得x=-1.
答:这三年的平均增长率为x=-1.
2.3 幂函数
知识导学
我们只讨论幂指数为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x2+1都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,是由幂函数与常数经过算术运算得到的.对于幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同.
研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x2、y=x3及y=的图象研究归纳y=xn(n>0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数y=x-2、y=x-3及y=的图象研究归纳y=xn(n<0)的图象特征和函数性质.需要注意的有:www.21-cn-jy.com
(1)研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.2·1·c·n·j·y
(2)对于幂函数y=xn(n>0),首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即n<0,01三种情况下曲线的基本形状,还要注意n=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲,大竖直小横铺”,即n>0(n≠1)时图象是抛物线型;n<0时图象是双曲线型;n>1时图象是竖直抛物线型;0图2-3-1
记忆口诀:
如何分析幂函数,记住图象是关键,
虽然指数各不同,分类之后变简单,
大于0时抛物线,小于0时双曲线,
还有0到1之间,抛物开口方向变,
不仅开口向右方,原来图象取一半.
函数奇偶看指数,奇母奇子奇函数,
奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数.
疑难导析
对于五种常见的幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1,要熟悉其图象、性质,做题时要明确题目给出的是哪种类型的幂函数,以便应用图象及性质解题.21cnjy.com
当n取不同的有理数时,幂函数y=xn的定义域:
当n∈N*时,定义域为R;
当n=0时,定义域为{x|x≠0};
当n为负整数时,定义域为{x|x≠0};
当n= (p、q∈N*,q>1,且p、q互质)时,
①若q为偶数,则定义域为［0,+∞);
②若q为奇数,则定义域为R;
当n=- (p、q∈N*,q>1,且p、q互质)时,
①若q为偶数,则定义域为(0,+∞);
②若q为奇数,则定义域为{x|x≠0}.
问题导思
分数指数幂与根式只是形式不同,其意义是相同的,对正分数指数幂的理解可从以下两个层次去认识.
(1)给定正实数a,等于任意给定的正整数n,存在唯一的正实数b,使得bn=a.这样,我们把这个存在唯一的正实数b,记作b=;(2)给定正实数a,对于任意给定的正整数n、m,存在唯一的正实数b,使得bn=am,我们规定b叫做a的次幂,记作b==.
对于负分数指数幂,可按a-n=去理解.
典题导考
黑色陷阱
忘记幂函数底数需大于0,将导致解题失误.
典题变式当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是…( )21·世纪*教育网
A.α<1 B.0<α<1 C.α>0 D.α<0
答案:A
绿色通道
解此题的关键都在于适当地选取某一个函数,函数选得恰当,解决问题就简单.
典题变式T1=(,T2=(,T3=(,则下列关系式正确的是( )
A.T1C.T2答案:D
绿色通道
幂函数的图象在第一象限的排列顺序与幂指数的大小之间存在一定的对应关系,幂函数的图象在直线x=1的右侧,由低到高,幂指数α由小变大;在y轴与直线x=1之间,由低到高,幂指数α由小变大.另外还应注意幂指数的取值对幂函数图象位置的影响:
(1)当α=0时,图象是直线y=1.
(2)当α是正奇数时,图象分布在第一和第三象限;当α是正偶数时,图象分布在第一和第二象限.
(3)当α为一个既约正分数〔p、q为正整数,(p,q)=1,q>1〕,
若q为奇数,p也是奇数,则图象分布在第一和第三象限;若q为奇数,p为偶数,则图象分布在第一和第二象限;若q为偶数,p是奇数,则图象分布在第一象限.21世纪教育网版权所有
(4)当α为负奇数时,图象分布在第一和第三象限;当α为负偶数时,图象分布在第一和第二象限;
(5)当α为负分数时,类似于(3)可设α=-〔p、q为正整数,(p,q)=1,q>1〕,情况和(3)一样.21教育网
幂指数α>0时,图象全是“抛物线型”,而幂指数α<0时,图象全是“双曲线型”.
典题变式当0A.h(x)C.g(x)答案:D
黑色陷阱
本题容易发生的错误:一是函数概念不清(该函数是以x为自变量的函数);二是在将函数式变形的过程不是等价变形,导致变形后的函数也不再是原有的函数了.
典题变式 (1)求函数y=(x+2)-2的定义域、值域.讨论当x增大时,函数值如何变化？并画出图象;21·cn·jy·com
(2)问上述函数的图象与函数y=x-2的图象有何关系？
思路分析:
根据幂函数的性质求解.
答案:(1){x|x∈R且x≠-2};R+.当x<-2时,函数值y随x的增大而增大,当x>-2时,y随x的增大而减小.2-1-c-n-j-y
(2)将y=x-2的图象向左平移2个单位,即得到y=(x+2)-2的图象.
绿色通道
据图象特征或性质求解幂函数解析式,需熟练掌握基本幂函数(y=x上标±2,y=x上标±1等)的图象和性质,特别地,y=x0勿漏.21*cnjy*com
典题变式 函数f(x)=(k2+k),当k=_______时成正比例函数,当k=_______时成反比例函数,当k=_______时为幂函数.【来源：21cnj*y.co*m】
答案:1± 2
2.3 幂函数
课堂导学
三点剖析
一、幂函数的概念
【例1】 请在下列的各幂函数与各图象之间建立能符合实际情况的一一对应.
（1）y=;(2)y=x-2;
(3)y=;(4)y=x-1;
(5)y=;(6)y=;
(7)y=;(8)y=.
解析：由幂函数的图象规律可得
（1）⑤；（2）③；（3）①；（4）⑦；（5）②；（6）⑨；（7）④；（8）⑥.
温馨提示
幂函数图象比较复杂，可从如下几个方面去考虑作其草图：（1）在第一象限的图象大致形状与位置：当n<0，其图象为双曲型，过点（1，1），但不过（0，0）点.其形状如图①所示;当01时图象为抛物线型，过（0，0），（1，1）两点，其形状如图④所示.21cnjy.com
（2）图象在第一象限的排队情况，在x=1的右侧，沿箭头的方向，幂指数逐渐减小.如图：
【例2】比较大小：
（1）____________;
(2)0.71.5_____________________0.61.5;
(3)_____________;
(4)0.15-1.2_____________0.17-1.2;
(5)0.20.6_____________________0.30.4;
(6)_______________.
解析：（1）—（4）可直接应用幂函数的单调性比较大小.（1）<;(2)>;(3)<;(4)>.
由于（5）（6）中的两数的底数和指数均不相同，需借助“中间量”，同时利用幂函数和指数函数的单调性比较大小.【来源：21·世纪·教育·网】
（5）0.20.6<0.30.6<0.30.4;(6)=<<.
答案：（1）< (2)> (3)< (4)> (5)< (6)<
温馨提示
利用幂函数的单调性比较两个函数值的大小一般有如下三种情况：
（1）同指数，不同底，可用幂函数的单调性直接比较大小.
（2）同底不同指数的，可用幂函数图象的排队情况进行比较.
（3）不同底，不同指数的，有时需要引入“中间量”进行比较.
二、幂函数的图象和性质
【例3】函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的取值集合是( )2·1·c·n·j·y
A.{m|m=-1或m=2} B.{m|-1思路分析:由幂函数定义,只有具有y=xα形式的函数才是幂函数,因此所给函数为幂函数,必须有m2-m-1=1.又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则有m2-2m-3<0,由此确定m的取值.
解:由条件知
解得m=2.
答案:C
【例4】若幂函数的图象经过点(4,),则f()=____________________.
思路分析:根据图象上的点求解析式的思路就是解方程确定α.
解:设幂函数为y=xα,点(4,)满足解析式,则=4α,即2-1=22α,
∴α=-.
∴f(x)=,f()==()-1=4.
温馨提示
本题是利用待定系数法确定解析式.
各个击破
类题演练1
幂函数y=xa在第一象限的图象如下图所示，a取2,-2,,-四个值，则相应的曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为（ ）21世纪教育网版权所有
A.-2，-，，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，-
解析：由上面的图象规律可知应选B.
答案：B
变式提升1
(1)如下图，曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限的图象，则下列结论正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A.nm>0 D.m>n>0
解析：由幂函数的图象规律可知n<0,且m<0，再根据其排队情况可知:n答案：A
(2)若幂函数y=xα(α∈R)的图象在0解析：由图象可知0<α<1，α=0，α<0三种情况都符合条件，故α<1.
答案：α<1
类题演练2
将下列各组数从小到大排列起来，并说明理由.
（1）,,；
(2),,；
(3),,.
解析：（1）∵=>0,<0,又y=在（0,+∞）上单调递增,
∴<<.
(2)∵>1,0<<1,<0,
∴<<.
(3)=,==,
∵y=在（0，+∞）上单调递减.
又>0.5>0.4
∴<<.
变式提升2
函数f(x)=(a-b)+b-3是幂函数，比较f(a)与f(b)的大小.
解析：∵函数f(x)是幂函数，
∴解得∴f(x)=.
∵函数f(x)=在第一象限内是增函数，且a>b>0,∴f(a)>f(b).
类题演练3
如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,则m的取值范围为( )
A.-1≤m≤2 B.m=1或m=2 C.m=2 D.m=1
解析： 解得m=1.
答案：D
变式提升3
已知幂函数y=(m∈Z)在区间（0，+∞）上是减函数.求y的解析式并讨论单调性和奇偶性.
解析：由幂函数的性质知：
m2-2m-3<0，即-1 ∴m=0,1,2.
当m=0时，y=x-3，定义域为（-∞,0）∪(0,+∞).此时函数在（0，+∞）和(-∞，0）上都是单调递减函数，又（-x）-3=-x-3，21教育网
∴函数y=x-3是奇函数.
当m=1时，y=x-4,定义域为（-∞,0)∪(0,+∞).此时函数在（-∞,0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，又（-x）-4=x-4.故为偶函数.21·cn·jy·com
当m=2时，y=x-3同m=0时的结论.
类题演练4
若幂函数图象上有一点为(9,3),求f(64).
解析：设y=xα，则3=9α，
∴α=,
∴y=,
∴f(64)=8.
答案：8
变式提升4
m为何值,y=(m2+2m)为反比例函数.
解析：
解得m=-1或m=0(舍去).
答案：-1
2.3 幂函数
课堂探究
探究一幂函数的概念
形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：
(1)系数为1；(2)指数为常数；(3)后面不加任何项．
例如y＝3x，y＝xx＋1，y＝x2＋1等均不是幂函数，另外还要注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．【来源：21·世纪·教育·网】
【典型例题1】 函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．21·世纪*教育网
思路分析：由已知f(x)＝(m2－m－5)·xm－1是幂函数，且当x>0时是增函数，可先利用幂函数的定义求m的值，再利用单调性确定m的值．www-2-1-cnjy-com
解：根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1，
解得m＝3或m＝－2，
当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3.
探究二幂函数性质的应用
比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象来比较．
【典型例题2】 比较下列各组数中两个数的大小：
(1) 与； (2) 与；
(3) 与.
思路分析：(1)利用的单调性比较大小；(2)利用y＝x－1的单调性比较大小；(3)利用中间量比较大小．21世纪教育网版权所有
解：(1)∵幂函数在[0，＋∞)上是增函数，
又>，∴>.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
又－<－，∴>.
(3)∵函数为减函数，且>，
∴>.
又∵函数在[0，＋∞)上是增函数，且>，
∴>.∴>.
探究三 根据幂函数的性质求解析式
【典型例题3】 已知幂函数f(x)＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求f(x)．21教育网
思路分析：由f(x)在(0，＋∞)上单调递减求出m的范围，再根据m∈N*且图象关于y轴对称，确定m的值，进而写出f(x)．21cnjy.com
解：∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴3m－9<0，解得m<3.
又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数，故m＝1，∴f(x)＝x3×1－9＝x－6.
探究四 易错辨析
易错点 因对幂函数的单调性理解不全面而造成错解
【典型例题4】 若(a＋1)－1<(3－2a)－1，求实数a的取值范围．
错解：考察幂函数f(x)＝x－1.因为该函数为减函数，
所以由(a＋1)－1<(3－2a)－1，得a＋1>3－2a，解得a>.
故实数a的取值范围是.
正解：考察幂函数f(x)＝x－1，由于该函数在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为减函数，且在(－∞，0)上有f(x)<0；在(0，＋∞)上有f(x)>0，21·cn·jy·com
所以由(a＋1)－1<(3－2a)－1，得或a＋1>3－2a>0，或3－2a故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪.
反思函数f(x)＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从而导致错误，此类问题的求解必须在各单调区间内分别进行，也可以结合函数的图象来考虑．2·1·c·n·j·y
2.3 幂函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．
2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，的图象，掌握它们的性质．
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.
幂函数
名师点拨 幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边．www.21-cn-jy.com
自主思考1幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)一样吗？
提示：不一样．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，在指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．21世纪教育网版权所有
自主思考2(1)在幂函数y＝xα中，如果α是正偶数(α＝2n，n为非零自然数)，如α＝2,4,6，…，这一类函数具有哪些重要性质？21教育网
(2)在幂函数y＝xα中，如果α是正奇数(α＝2n－1，n为非零自然数)，如α＝1,3,5，…，这一类函数具有哪些重要性质？21cnjy.com
(3)幂函数y＝xα，x∈[0，＋∞)，α>1与0<α<1的图象有何不同？
提示：(1)重要性质：①定义域为R，图象都经过(－1,1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于y轴对称，即函数为偶函数；③函数在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数．21·cn·jy·com
(2)重要性质：①定义域、值域为R，图象都过(－1，－1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数；③函数在R上单调递增．
(3)两者图象的区别和联系：无论α>1还是0<α<1，函数y＝xα在[0，＋∞)上的图象都是单调递增的，但在[0,1]上前者比后者增得慢，在(1，＋∞)上前者比后者增得快．
