1.3.1 函数的基本性质
课堂导学
三点剖析
一、函数单调性
【例1】 证明函数y=x-在(0,+∞)上单调递增.
思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.
证明:设任意x1、x2∈(0,+∞)且x1
f(x1)-f(x2)=x1--(x2-)=(x1-x2)+-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1+).
∵0 ∴x1-x2<0,x1x2>0,1+>0.
因此（x1-x2）(1+1x1x2)<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴f(x)=x-在（0，+∞）上单调递增.
温馨提示
1.函数单调性的证明不同于对它判断，应严格按单调性定义加以证明.
2.利用定义证明单调性，一般要遵循：(1)取值(任取给定区间上两个自变量);(2)作差变形〔将f(x1)-f(x2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有(x1-x2)的因式〕;(3)判断符号(根据条件判断差式的正负);(4)得出结论.21教育网
3.有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法.【来源：21·世纪·教育·网】
【例2】 f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，又f()思路分析：解决此题的关键是将f(-2)与f(2)置于某一单调区间内再进行比较大小.
解：由于f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，因此x=1是二次函数的对称轴.
又∵1<<π,f() 由于0与2关于x=1对称，∴f(2)=f(0).
∵-2<0,∴f(-2)>f(0),即f(-2)>f(2).
温馨提示
利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较.www.21-cn-jy.com
二、函数的最值
【例3】 求f(x)=x+的最小值.
思路分析：该题函数f(x)由x与相加构成，x与具有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于x的次数不一致，出现了相当于2倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决.2-1-c-n-j-y
解法一：f(x)=x+的定义域为［1,+∞］,在［1,+∞］上x、同时单调递增，因此f(x)=x+在［1,+∞］上单调递增，最小值为f(1)=1+=1.
解法二：f(x)=x+的定义域为［1,+∞］，令=t≥0,x=t2+1,
∴f(x)=g(t)=t2+1+t=t2+t+1=(t+)2+(t≥0).
由于g(t)的对称轴t=-在［0,+∞)的左侧，g(t)的开口方向向上，如右图所示.二次函数在［0,+∞)上单调递增，当t=0时,g(t)min=1，∴f(x)的最小值为1.
温馨提示
1.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围.21*cnjy*com
2.利用单调性求最值，其规律为：若f(x)在［a,b］上单调递增，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在［a,b］上单调递减，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a),最小值为f(b).【来源：21cnj*y.co*m】
三、函数单调性的应用
【例4】 (1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数，求实数a的取值范围；
(2)y=kx2-x+1在［0,+∞)上单调递减，求实数k的取值范围.
思路分析：(1)二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.(2)y=kx2-x+1中的k是否为零要注意讨论.【出处：21教育名师】
解：(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2，其对称轴为x==1-a，若要二次函数在(-∞,4］上单调递减，必须满足1-a≥4,即a≤-3.如图所示.【版权所有：21教育】
(2)k=0时，y=-x+1满足题意；k>0时，抛物线开口向上，在［0,+∞)上不可能单调递减；k<0时，对称轴x=<0在［0,+∞］上单调递减.21教育名师原创作品
综上，k≤0.
温馨提示
f(x)在（-∞,4］上是减函数，只说明区间（-∞,4］是函数f(x)在定义域上单调递减区间的一个子集.21*cnjy*com
各个击破
类题演练1
证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)在区间（-∞，-）上是增函数.
证明：设x1、x2∈(-∞,-)，且x1 ∵x1,x2∈(-∞,-),
∴x1+x2<-，∴a(x1+x2)>-b,
∴a(x1+x2)+b>0.
∵x1-x2<0，
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴y=ax2+bx+c在（-∞,-］上单调递增.
变式提升1
若函数f(x)=x+定义在(0,+∞)上，试讨论函数的单调区间.
解析：设任意x1、x2∈(0,+∞)且x1 则f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)
=(x1-x2)+
=(x1-x2)(1-)
=(x1-x2)·.
由于x1-x2<0,x1x2>0,只有x1x2-1>0或x1x2-1<0时，f(x)才具有单调性，而显然00,即f(x1)>f(x2).∴f(x)在(0,1)上单调递减.
当1≤x11,从而x1x2-1>0,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 当0综上，f(x)在(0,1)上单调递减，在［1，+∞］上单调递增.
类题演练2
f(x)在(0,+∞)上单调递减，那么f(a2-a+1)与f()的大小关系是_______________.
解析：∵a2-a+1=(a-)2+>,
又∵f(x)在（0，+∞）上单调递减，
∴f(a2-a+1)答案：f(a2-a+1)变式提升2
如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f(2-t)，比较f(1),f(2),f(4)的大小.
解析：∵f(2+t)=f(2-t),
∴f(x)的对称轴为x=2.
故f(x)在［2，+∞］上是增函数，且f(1)=f(3).
∴f(2) 即f(2)类题演练3
已知函数f(x)=,x∈［1,+∞］，求函数f(x)的最小值.
解析：f(x)=x++2,
设1≤x1 2x1x2>1,0<<1,得1->0,
又x2-x1>0,
∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1) ∴f(x)在区间［1，+∞］上为增函数，
∴f(x)在区间［1，+∞］上的最小值为f(1)=.
变式提升3
求函数f(x)=-x2+2ax+1在［0,2］上的最大值.
解析：f(x)=-x2+2ax+1=-(x2-2ax+a2)+a2+1=-(x-a)2+a2+1.
由于f(x)的对称轴x=a对于［0,2］有三种位置关系，如下图所示.
当a<0时，f(x)在［0,2］上单调递减，则最大值为f(0)=1;
当0≤a≤2时，x=a∈［0,2］，则最大值在顶点处取得，为f(a)=a2+1;
当a>2时，f(x)在［0,2］上单调递增，则最大值为f(2)=4a-3.
综上，f(x)在［0,2］上的最大值为
g(a)=
类题演练4
二次函数y=x2+mx+4在(-∞,-1］上是减函数，在［-1,+∞)上是增函数，则：
（1）m的值是多少？
（2）此函数的最小值是多大？
解析：（1）由于y=x2+mx+4在（-∞,-1］上是减函数，在［-1，+∞）上是增函数，∴其对称轴为x=-1，故m=2.2·1·c·n·j·y
(2)ymin=3.
变式提升4
已知f(x)=在区间（-2，+∞）上单调递增，求a的取值范围.
解析：f(x)=
=
=a+.
∴y-a=与y′=比较，知f（x）要在区间（-2，+∞）上单调递增只须1-2a<0即可.21世纪教育网版权所有
∴a>.
温馨提示
本题关键是将它化为y=m+型，再根据函数y=的单调性来考虑a应满足的条件，从而求出a的取值.21·cn·jy·com
1.3.2 奇偶性
课堂导学
三点剖析
一、函数的奇偶性概念
【例1】 判断下列论断是否正确：
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；
(3)如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.
思路分析：通过本题的研究，深刻理解函数的奇偶性的内涵.
解：（1）一个函数的定义域关于原点对称，是一个函数成为奇偶函数的必要条件，还必须要看f(-x)与-f(x)是否相等，故（1）是错误的，（2）（3）正确.21cnjy.com
二、函数奇偶性的判断
【例2】 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=kx+b(k≠0);
(5)f(x)=x+(a≠0);
(6)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
解：(1)由得x=1，函数定义域为{x|x=1}.定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数.
(2)由得x2=1，函数定义域为{x|x=±1}.f(x)=0,f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x).函数是既奇又偶函数.www.21-cn-jy.com
(3)函数定义域为{x|x≠0}且f(-x)==-f(x).f(x)为奇函数.
(4)函数定义域为R，当b=0时，f(-x)=-f(x)，为奇函数；当b≠0时，为非奇非偶函数.【来源：21·世纪·教育·网】
(5)函数定义域为{x|x≠0}，且f(-x)=-x-=-f(x).函数为奇函数.
(6)函数定义域为R，当b=0时，f(-x)=f(x)为偶函数；b≠0时，为非奇非偶函数.
温馨提示
1.判断函数奇偶性的步骤：先看定义域是否关于原点对称；再看f(-x)与f(x)的关系，即f(-x)=±f(x)或f(-x)±f(x)=0.21·世纪*教育网
也可以通过图象是否关于原点、y轴对称来判断.
2.若定义域关于原点对称，且f(x)=0，则函数是既奇又偶的函数.
3.一次函数y=kx+b为奇函数b=0.
4.二次函数y=ax2+bx+c为偶函数b=0.
【例3】 已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+),求：
(1)f(-8);
(2)x<0时，f(x)的解析式.
思路分析：已知条件中的解析式是x>0,f(x)=x(1+),所求的f(-8)、x<0时的f(x)最终要利用奇偶性化归为f(8)、f(-x)来表示.www-2-1-cnjy-com
解：由于函数是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，因此对于任意的x都有f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x).2-1-c-n-j-y
(1)f(-8)=-f(8),f(8)=8(1+)=8×(1+2)=24,
∴f(-8)=-f(8)=-8(1+)=-8(1+2)=-24.
(2)当x<0时，f(x)=-f(-x).
∵-x>0,f(-x)=-x(1+)=-x(1-),
∴f(x)=-［-x(1-)］=x(1-).
三、函数奇偶性的应用举例
【例4】 已知f(x)是偶函数，而且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数，并加以证明.2·1·c·n·j·y
思路分析：利用函数奇偶性及图象特征比较容易对函数单调性进行判断，但是证明单调性必须用定义证明.
解：f(x)在(-∞,0)上是增函数.证明如下：
设x1-x2>0,
∴f(-x1) 由于f(x)是偶函数，因此f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2).
∴f(x1)温馨提示
利用函数的奇偶性研究关于原点对称区间上的问题，需特别注意求解哪个区间的问题，就设哪个区间的变量，然后利用函数的奇偶性转到已知区间上去，进而利用已知去解决问题.
【例5】 判断下面函数的奇偶性：f(x)=∵f(-x)=
=，故f(x)为非奇非偶函数.
错因分析：上述解法产生错误的原因是忽略了函数的定义域，导致错误.
正解：由得-2≤x≤2且x≠0,∴函数的定义域为［-2，0］∪(0,2)，此时f(x)= ,有f(-x)===-f(x)，∴函数f(x)为奇函数.
温馨提示
1.判断函数的奇偶性首先求函数的定义域，初学者最容易忽略这一点，若定义域关于原点对称再进一步判断f(-x)与f(x)的关系.21*cnjy*com
2.当判断f(-x)与f(x)的关系比较困难时，有时可以改为判断f(x)±f(-x)是否为0或是否为1.【来源：21cnj*y.co*m】
各个击破
类题演练1
下面四个结论中正确命题的个数是（ ）
①偶函数的图象一定与y轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)【出处：21教育名师】
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交.
反例：y=x-2,y=x0等.故①错误，③正确.
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点.
反例：y=x-1，故②错误.
若y=f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但未必x∈R.
反例：f(x)=·,其定义域为{-1，1}，故④错误.从而选A.
答案：A
类题演练2
判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=|x|-;
(2)f(x)=-;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=-x.
答案：（1）既奇又偶函数； （2）奇函数； (3)奇函数； （4）非奇非偶函数.
温馨提示
判断函数的奇偶性，首先求出函数的定义域，在此基础上，可对函数解析式进行化简，化简后再判断.如（3）若不化简解析式，则判断不出奇偶性,只能得出非奇非偶的判断.
变式提升2
判断的奇偶性.
解析：当x>0时，则-x<0,
∴f(-x)=-x［1+(-x)］=-x(1-x)=-f(x),
当x<0时，则-x>0,∴f(-x)=-x［1-(-x)］=-x(1+x)=-f(x).
于是f(-x)=
∴f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.
类题演练3
若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)=2x(1-x),求f(x)的解析式.
解析：设x<0时，则-x>0,
∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-2x(1+x),∴f(x)=2x(1+x).
∵f(0)=0,∴f(x)=
变式提升3
设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0,f(x)=x2-2x+3,试求出f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出单调区间.21教育网
解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0.
当x<0时，则-x>0,
∴f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3),
∴f(x)=
其图象如右上图所示.
由图象得单调增区间是（-∞,-1），［1,+∞］，
单调减区间是［-1,0］,(0,1).
类题演练4
已知f(x)是偶函数，而且f(x)在［a,b］上是增函数，判断f(x)在［-b,-a］上是增函数还是减函数，并证明.21·cn·jy·com
解析：减函数.证明如下：
设［-b,-a］上任意两个自变量x1,x2，且x1-x1>-x2>a,
∵f(x)在［a,b］上是增函数，
∴f(-x1)>f(-x2).
∵f(x)是偶函数，
∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在［-b,-a］上是减函数.
变式提升4
若f(x)是R上的偶函数，且在［0,+∞］上是减函数，求满足f(π)解析：f(π) ∵f(x)在［0，+∞］上是减函数，
∴π>|m|,∴-π类题演练5
（2006全国Ⅱ文，13）已知函数f(x)=a-,若f(x)为奇函数，则a=_______________.
解析:由奇函数的定义：f(-x)=-f(x)，解a-=-(a-),得a=.
答案:
变式提升5
已知奇函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)=在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.21世纪教育网版权所有
解：减函数.证明如下:
任取x1,x2∈(-∞,0),且x1 则有:-x1>-x2>0,
∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,
∴f(-x2) 又∵f(x)是奇函数,
∴f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1),
∴-f(x2)<-f(x1)<0,
∴f(x2)>f(x1)>0,F(x1)-F(x2)=-=>0,即F(x1)>F(x2),
∴F(x)=在（-∞,0）上是减函数.
1.3 函数的基本性质
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疏导引导
1.3.1 单调性与最大（小）值?
1.函数的单调性?
单调性和单调区间的定义?
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有?f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有?f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.
如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
疑难疏引 (1)函数是增函数还是减函数，是对定义域内的某一个区间而言的，有的函数在整个定义域里是增函数（减函数），也有的函数在定义域的某个区间上是增函数，而在另外区间上又是减函数，也存在一些函数，根本就没有单调区间.如函数：f(x)=5x,(x∈{1,2,3}）．再者，因为一个固定点的函数值不会发生变化，所以函数的单调性不在某一个点去讨论，即使在定义域内，也不可以随便把单调区间写成闭区间（比如一些函数的区间端点正好是不连续的点）.
(2)函数的单调性与单调区间的关系
函数的单调性是对区间而言的，它是“局部”性质，对某一函数y=f（x），它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性；即使是同一个函数它在某区间上可能单调增，而在另外一区间上可能单调减；对某一函数y=f（x），它在区间（a，b）与（c，d）上都是单调增（减）函数，不能说y=f（x）在（a，b）∪（c，d）上一定是单调增（减）函数.即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，而有些函数在整个定义域内具有单调性.而有些函数在定义域内某个区间上是增函数，在另一些区间上是减函数.?
（3）函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数，它的图象是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图象是沿x轴正方向逐渐下降的.
●案例1
如何证明函数y=x+在（1，＋∞）上为增函数?
【探究】 证明函数的增减性，先在定义域上取x1＜x2，然后作差f（x1）－f（x2），判断这个差的符号即可.?
设x1、x2是（1，＋∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=x1+－（x2+）=x1－x2+（－）=x1－x2－=（x1－x2）（）.
∵x1－x2＜0，x1x2－1＞0，x1x2＞0，?
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.?
∴函数y=x＋在（1，＋∞）上为增函数.?
【溯源】 证明函数的单调性主要是利用定义来证明，其步骤为：?
（1）取值：设x1、x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2；
（2）作差变形：作差f（x1）－f（x2），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；?
（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；?
（4）判断：根据定义作出结论.?
疑难疏引 讨论函数y＝f［φ(x)］的单调性时要注意两点：
(1)若u＝φ(x)，y＝f（u）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y＝f［φ(x)］为增函数；?
(2)若u＝φ(x)，y＝f(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y＝f［φ(x)］为减函数.
若函数f(x)、g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在这个区间上：
(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
(2)C＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；C＜0时，函数f(x)与C·f(x)具有相反的单调性.
(3)若f(x)≠0，则函数f(x)与具有相反的单调性.
(4)若函数f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.
(5)若f(x)＞0，g(x)＞0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若f(x)＜0，g(x)＜0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数.
●案例2
求下列函数的单调增区间：?
（1）y=－x2＋2|x|＋3;?
（2）y=x-;
（3）已知函数f(x)在其定义域［-4,4］上是增函数，求f(x2-2x)的增区间.
【探究】 （1）可画图判断，（2）和（3）都不能画图，（2）可看成两个基本函数g(x)=x和t(x)=-相加得到，（3）是复合函数f［u(x)］的形式，其中u(x)=x2-2x.
（1）如图.?
可判断函数的单调增区间是（－∞，－1）,（0，1）.?
（2）g(x)=x在R上是增函数，t(x)=-在区间（-∞,0），（0，+∞）上是增函数，所以y=x-的增区间是（-∞,0）和（0，+∞）.21*cnjy*com
（3）由函数定义域知-4≤x2-2x≤4，所以1-≤x≤1+，二次函数y=x2-2x的单调增区间为（1，+∞），所以原函数的增区间为（1，1+）.
【溯源】 判断复合函数单调性的步骤：?
(1)分解函数成简单函数的形式；
(2)求出函数的定义域;
(3)利用同增异减判断.
(4)找出区间和定义域取交集.
2.函数的最值?
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么我们称M是函数y=f(x)的最大值.?
●案例3
已知函数f（x）=，x∈［1，+∞）.
（1）当a=时，求函数的最小值；
（2）若对任意x∈［1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.?
【探究】 先来解决第（1）问，当a的值给定时，函数变为?f（x）=x＋＋2，它类似于函数f（x）=x＋，所以可以利用函数的单调性来判断最值.
（1）当a=时，f（x）=x＋＋2.?
f（x）在［1，+∞）上为增函数，所以f（x）在［1，+∞）上的最小值为f（1）=.
（2）f（x）=x＋＋2，x∈［1，+∞）.
当a≥0时，函数f（x）的值恒为正.
当a＜0时，函数f（x）在［1，＋∞）上为增函数，故当x=1时，f（x）有最小值3＋a，于是当3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故0＞a＞－3.
综上，可知当a＞－3时，f（x）＞0恒成立.
【溯源】 如果一个函数在某个区间内单调，那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值，并结合函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值.容易对a分类不全面，而造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值，也会造成解题错误.?
●案例4
二次函数y＝x2＋2ax－3，x∈［1，2］，试求函数的最小值.
【探究】 首先观察到函数图象过（0，－3），再考虑对称轴的位置，由于对称轴在不同的位置会出现不同的结果，所以需要分三种情况讨论.?
y＝x2＋2ax－3＝（x＋a）2－a2－3，
当－a∈（2，＋∞），即a<－2时，函数在［1，2］上为减函数，故此时的最小值为f（2）＝4a＋1；
当－a∈（－∞，1），即a>－1时，函数的最小值为f（1）＝2a－2；
当－a∈［1，2］，即－2≤a≤－1时，函数的最小值为f（－a）＝－a2－3.?
【溯源】 二次函数带参求最值常见题型有两类，一是对称轴是定值，给出区间含参不确定，另一类则是对称轴含参不确定，给出区间确定，一般这样的问题都要对区间分轴左、轴右、和轴两边分类讨论，然后利用单调性求解.21教育网
●案例5
设函数f（x）在定义域R＋上是单调递减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1，求：f（1）及f（）.【出处：21教育名师】
【探究】 这里的函数f（x）没有给出具体的解析式，要求?f（1）?的值，就需要对已知条件f（xy）=f（x）+f（y）中的x、y进行恰当的赋值，于是令x=，y=1，得f（1）=0.
∵f（）=1，∴f（）=2.
【溯源】 函数的单调性反映的是函数值y随自变量x的变化而变化的一种规律.对于抽象函数问题，尽管它没有给出具体的解析式，但我们仍可以通过赋值去把握它，具体赋值时可结合式子不断赋于特殊值，如0、1等.
1.3.2 奇偶性?
1.定义
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数；如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.
函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言的，因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质.
由于任意x和-x均要在定义域内，故奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称.所以，我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.如果其定义域关于原点不对称，那么它没有奇偶性).然后再判断f(-x)与f(x)的关系，从而确定其奇偶性.
2.奇偶性函数的几个性质?
(1)对称性：奇偶函数的定义域关于原点对称；?
(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；?
(3)可逆性：f(-x)=f(x)f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数；?
(4)等价性：f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0；??
(5)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
(6)可分性：根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数.
疑难疏引
（1）判断函数的奇偶性有时可用定义域的等价形式f(-x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)来代替.www.21-cn-jy.com
（2）存在既奇且偶函数，例如f(x)＝.
当f(-x)与f(x)之间的关系较隐蔽时，容易产生“非奇非偶”的错觉，万万不可草率下结论.
函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性.f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称.
3奇函数和偶函数的判断?
(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.?
(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.?【版权所有：21教育】
(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.
(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)＝+.
(5)若f(x)是(-a,a)(a＞0)上的奇函数，则f(0)＝0.?
(6）记忆口诀：
增函数，减函数，函数作差要记住；
正号增，负号减，增减函数很简单.?
往上增，往下减，增减趋势正相反；?
奇函数，偶函数，函数奇偶看f.?
同号偶，异号奇，非奇非偶不离奇.?
对折偶，旋转奇，图象重合在一起.?
疑难疏引 判断奇偶函数的常见方法：?
(1)定义法，先看定义域是否关于原点对称，如y=x2，x∈［－1，1)，既非奇函数又非偶函数.
(2)特值法，起探路及判定否命题等作用，一方面，若f(－1)=f(1)〔f(－1)=－f(1)〕，则f(x)可能是偶(奇)函数.另一方面，若f(－1)≠f(1)〔f(－1)≠－f(1)〕，则f(x)一定不是偶(奇)函数.21·cn·jy·com
(3)和、差法，若f(x)+f(－x)=0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)=0，则f(x)为偶函数.该方法应用的前提是用“特值法”先探路.【来源：21·世纪·教育·网】
(4)比值法，若f(x)／f(－x)=1(或－1)，则f(x)为偶(或奇)函数.?
(5)图象法，可直接根据图象的对称性来判定奇偶性.?
●案例1
已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2－1，求f（x）在R上的表达式.
【探究】 题目已经给出x＞0时的解析式，只要求出x<0和x＝0时的解析式就可以了.f（x）＝x3＋2x2－1.www-2-1-cnjy-com
∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0.?
设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1.
又根据f（x）为奇函数，∴有f（－x）＝－f（x）.
∴－f（x）＝－x3＋2x2－1.?
∴f（x）＝x3－2x2＋1.?
因此，
【溯源】 把最后结果写成f（x）＝x3＋2x2－1和f（x）＝x3－2x2＋1就错了.原因在于没有真正理解分段函数的定义，错把分段函数当成是两个函数.另外，漏掉x＝0也是常见错误.
●案例2
已知f（x）是奇函数，在（－1，1）上是减函数，且满足f（1－a）＋f（1－a2）＜0，求实数a的范围.?21世纪教育网版权所有
【探究】 要求a的取值范围，先要列出关于a的不等式，这需要根据原条件，然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系.
由f（1－a）＋f（1－a2）＜0，得f（1－a）＜－f（1－a2）.?
∵f（x）是奇函数，∴－f（1－a2）=f（a2－1）.?
于是f（1－a）＜f（a2－1）.?
又由于f（x）在（－1，1）上是减函数，因此解之，得0【溯源】 利用赋值法解题时，特殊值一定要取准.否则将导致解题失败.容易遗漏对每个函数定义域的限定条件的讨论，从而导致解题失误.
1. 证明函数f（x）=x在［0，+∞）上是增函数.?
【思路解析】 判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格证明，需要从单调函数的定义入手.?
【答案】 证明：设x1≥0，x2＞0，且x1＜x2，?
则f（x1）－f（x2）=x1－x2=.
∵0≤x10.
∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）由定义，知f（x）=x在［0，+∞）上是增函数.
2. 判断函数f（x）=－x3＋1在（－∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断；如果x∈（0，＋∞），函数f（x）是增函数还是减函数??
【思路解析】 本题考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性.一般地，若k＞0，f（x）与kf（x）具有一致的单调性；若k＜0，则f（x）与kf（x）的单调性相反；f（x）与f（x）+b具有一致的单调性.从f（x）=－x3＋1?上可直接得出f（x）是减函数，用单调性的定义证明，应注意对差式的变形及分解因式.?
【答案】 f（x）=－x3＋1在（－∞，0）上是减函数，证明如下：
在（－∞，0）上任取x1、x2，且x1＜x2.
∵f（x1）－f（x2）=（－x13＋1）－（－x23＋1）=（x2－x1）（x22＋x1x2＋x12）=（x2－x1）［（x2+）2+x12］，?
又x2－x1＞0，（x2+）2+x12>0，?
∴f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.?
故f（x）=－x3＋1在（－∞，0）上是减函数.?
同理，可证当x∈（0，＋∞）时，函数f（x）仍然是减函数.
3. 函数f(x)=-x2+2x+8，则下列说法正确的是 …( )
A. f(x)是增函数?
B. f(x)在(-∞,1)上是增函数?
C. f(x)是减函数?
D. f(x)在(-∞,1)上是减函数?
【思路解析】 本题是已知函数解析式，确定单调区间的典型题.由于函数f(x)=-x2+2x+8是二次函数，∴在整个定义内不是严格单调函数.在对称轴的两侧是严格单调的.
所以解答此题的关键是确定对称轴.
根据二次函数对称轴的公式x=-可求.
解法一：（综合法）依题意得，函数f(x)=-x2+2x+8的对称轴方程为x=-=1.
又∵二次项系数为-1<0，∴开口方向向下.
∴f(x)在(-∞,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数.因此，选B.
解法二：（数形结合法，图象法）如图所示，便知f(x)在(-∞,1)上是增函数.因此，选B.
【答案】 B
4. 设f（x）、g（x）都是单调函数，下列四个命题中正确的是( )?
①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递增;
②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递增;?
③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递减;?
④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递减.?
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【答案】 C
5. 讨论函数f(x)=(a≠)在(-2,+∞)上的单调性.
【思路解析】 只需按证明函数单调性的步骤进行即可,最后讨论差值的符号.
【答案】 设-2f(x)==a+.
∴Δy=f(x2)-f(x1)?
=(a+)-(a+)
=(1-2a)(-)
=(1-2a)·.
又∵-2∴当1-2a>0，即a<时，Δy<0,即f(x2)当1-2a<0，即a>时，Δy>0,即f(x2)>f(x1).?
∴当a<时，f(x)=在(-2,+∞)上为减函数；
当a>时，f(x)=在(-2,+∞)上为增函数.
6. 已知函数f(x)=2x2-5x-3，求函数y=f(x)的单调区间.
【思路解析】 可利用函数单调性的定义求解，也可利用复合函数的单调性判断法则来求解，复合函数y=f［g(x)］是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集．21cnjy.com
【答案】 当x∈［3,+∞)时，函数f(x)=为增函数；
当x∈(-∞,-］时，函数f(x)= 为减函数.
7. 求函数y=x-x-1的值域.?
【答案】 原函数定义域为{x|x≥1}.?
因为y=＝在定义域上是单调减函数，所以函数的值域是(0,1］.
8. 利用单调性求函数y=x－的值域.
【思路解析】 本题考查利用单调性求函数值域.先求出函数的定义域，再判断函数的单调性，最后求值域.?
【答案】 定义域为{x|x≤}，y=x以及y=－1-2x均在（－∞，）上递增，
∴y=x－1-2x在（－∞，）上递增，f（x）≤f（）=.?
∴y=x－1-2x的值域为（－∞，］.
9. 已知二次函数y＝－x2＋2ax＋(a－2)在x∈［－1，2］上有最大值4，求实数a的值.?
【思路解析】 该二次函数的图象开口向下，因而若x∈R，则y＝－(x－a)2＋a2＋a－2,即当x＝a?时，y max＝a2＋a－2,目前规定x∈［1,2］,解题时应分a∈［1,2］以及a＜1,a＞2三种情况讨论（三种情况中最大值的取值均不同）.2·1·c·n·j·y
【答案】 y＝－x2＋2ax＋(a－2)＝―（x―a）2＋a2＋a－2,?
①若a∈［－1,2］,则当x＝a时，y max＝a2＋a－2,由题意知a2＋a－2=4,而a2＋a－6＝0,a=-3或a＝2,21·世纪*教育网
∵a∈［－1,2］,∴a＝2符合条件.?
②若a＜－1，∵二次函数y＝f(x)在［a,＋∞)上单调递减，即在［－1，2］上单调递减，∴当x＝－1时，y max＝―1,―2a＋a－2＝―a―3,由―a―3＝4，得a＝－7(＜－1),?
∴a＝－7符合条件.
③若a＞2,则二次函数y＝f(x)在［－1,2］上单调递增，∴当x＝2时，y max＝－4＋4a＋a－2＝5a―6.由5a―6＝4得a＝2(≯2),∴此时不存在符合条件的a,综上，符合条件的a的值为2或－7.【来源：21cnj*y.co*m】
10. 已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,若f(-2)=10，求f(2)的值.
【思路解析】 观察函数的解析式可知函数x5,ax3,bx都是奇函数，所以x+ax3+bx也是奇函数，因此可构造一个新的奇函数来求解.
【答案】 构造函数g(x)=f(x)+8，则g(x)=x5+ax3+bx一定是奇函数.?
又∵f(-2)=10，∴g(-2)=18.
11. 若函数y=x2-3x-4的定义域为［0,m］，值域为［-,-4］，则m的取值范围是( )?
A. (0, 4］
B. ［, 4］
C. ［, 3］
D. ［, +∞)
【思路解析】 首先判断二次函数的对称轴，然后根据定义与该函数的增减性判断最值情况. y=x2-3x-4=(x-)2-.?
对称轴为x=,∴m∈［,3］.?
【答案】 ?C?
12. 若函数f(x)在区间（a，b）上为增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数f(x)在区间（a，c）上( )?
A. 必是增函数?
B. 必是减函数?
C. 是增函数或是减函数?
D. 无法确定增减性?
【思路解析】 考查单调性定义，即x=b时可能无定义.?
【答案】 D
13. 下列四个函数中是奇函数的是( )?
A. f(x)=
B. f(x)=x3+x
C. f(x)=x -2+x -1
D. f(x)=2x+1
【思路解析】 判断一个函数是不是奇函数，首先要判断定义域是否关于原点对称，然后再根据已知条件给定的函数解析式用定义法判断f(-x)与-f(x)是否相等，如果相等就是奇函数，如果不相等就不是奇函数.或者画出函数的图象进行判断.
∵A选项的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又∵f(-x)== =f(x)≠-f(x)，∴A不是奇函数；?
∵B的定义域是R，关于原点对称，又∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x)，∴B是奇函数；
∵C的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又∵f(-x)=(-x) -2+(-x) -1=x -2-x -1≠-f(x)，
∴C不是奇函数；?
∵D的定义域关于原点对称，又∵f(-x)=2·(-x)+1=-2x+1≠-f(x)，∴D不是奇函数.因此，选B.
【答案】 B
14. 已知f(x)在R上是奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x；当x<0时，求f(x)的表达式.?
【思路解析】 已知函数的奇偶性和原点右侧的函数解析式，求原点左侧的函数解析式，是函数奇偶性类型题目中比较典型的.其解题思路是：设待求原点左侧的自变量为x，则已知原点右侧的自变量就为-x，代入已知原点右侧的函数解析式，整理便得待求原点左侧的函数解析式.?2-1-c-n-j-y
【答案】 设x′<0，则-x′>0,∵f(x)在R上是奇函数，?
∴f(-x)=-f(x).?
∴f(-x′)=-f(x′).?
又∵当x≥0时，f(x)=x2-2x，把-x′代入f(x)=x2-2x,得f(-x′)=(-x′)2-2·(-x′)=x′2+2x′=-f(x)，即f(x′)=-x′2-2x′.因此当x<0时，f(x)=-x2-2x.当x=0时，符合题意.
15. 对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·5x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)>0,f(2)=1，
（1）求证：f(x)是偶函数；
（2）f(x)在(0,+∞)上是增函数;
（3）解不等式f(2x2-1)<2．
【思路解析】 本题的中心就是构造，如何利用已知条件构造出f(x)和f(-x)的关系，此题可用特值法.?
【答案】（1）令x1=x2=1，得f(1)=2f(1).∴f(1)=0.?
令x1=x2=-1，得f(-1)=0.
又f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x)，?
∴f(x)是偶函数．
（2）设x2>x1>0，则?
f(x2)-f(x1)?
=f(x1·)-f(x1)
=f(x1)+f()-f(x1)?
=f().?
∵x2>x1>0，∴>1，f()>0，即f(x2)-f(x1)>0.?
∴f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数．
（3）∵f(2)=1，?
∴f(4)=f(2)+f(2)=2.?
∵f(x)是偶函数,?
∴不等式f(2x2-1)<2可化为f(|2x2-1|)又∵函数在(0,+∞)上是增函数，∴|2x2-1|<4.?
解得-即不等式的解集为(-,)．
16. 已知偶函数f(x)在［0，4］上单调递增，那么f(-π)和f(3.1)中较大的一个是 .21教育名师原创作品
【思路解析】 要想比较f(-π)和f(3.1)的大小，最好的是能把它们两个放在同一个单调区间中进行.但是已知条件中并没有给出它们两个是否在一个单调区间，∴要把其中的一个进行转化.由于f(x)是偶函数，∴f(-π)=f(π)，转化成功.?21*cnjy*com
∵f(x)是偶函数，
∴f(-π)=f(π).
又∵f(x)在［0，4］上单调递增，而π∈［0，4］，3.1∈［0，4］.
又π>3.1，∴f(π)>f(3.1).
因此f(-π)>f(3.1).
故较大的是f(-π).
【答案】 f(-π)
1.3 函数的基本性质
知识导学
函数的单调性是对区间而言的,它是“局部”性质,不同于函数的奇偶性,函数的奇偶性是对整个定义域而言的,即是“整体”性质.对某一函数y=f(x),它在某区间上可能有单调性,也可能没有单调性;即使是同一个函数它在某区间上可能单调递增,而在另外一区间上可能单调递减;对某一函数y=f(x),它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增(减)函数,不能说y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是单调增(减)函数,即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的.例如函数y=在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数,因为当取x1=-1,x2=1时,对应的函数值为f(x1)=-1,f(x2)=1,显然有x1 函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数,它的图象是沿x轴正方向逐渐上升的;在单调区间上的减函数,它的图象是沿x轴正方向逐渐下降的.
关于函数的奇偶性的判断,应该注意以下几点:(1)定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数;(2)定义域关于原点对称的函数也不一定是奇偶函数;(3)定义域关于原点对称,且满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的函数才是偶函数或奇函数.2·1·c·n·j·y
函数奇偶性的应用:(1)利用奇偶性求有关函数值;(2)利用奇偶性求有关函数的解析式;(3)利用奇偶性研究函数的其他性质.21·cn·jy·com
另外,由奇(偶)函数图象的特征并结合函数单调性的定义不难得到:(1)奇(偶)函数在关于原点对称的区间上,具有相同(反)的单调性;(2)若奇函数f(x)在区间[a,b](0疑难导析
也存在一些函数,根本就没有单调区间,如函数:f(x)=5x,x∈{1,2,3}.
再者,因为一个固定点的函数值不会发生变化,所以函数的单调性不在某一个点去讨论,即使在定义域内,也不可以随便把单调区间写成闭区间(比如一些函数的区间端点正好是不连续的点).【来源：21·世纪·教育·网】
(1)在这个区间上的x1、x2必须是任意的.
(2)增函数自变量和函数值的关系是“大对大,小对小”,可以用“荣辱与共”这个词形容.
(3)说增函数必须谈及区间,脱离区间谈增函数是没有意义的.
(4)定义的内涵与外延:
内涵是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况;
外延:①一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增,自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.2-1-c-n-j-y
②几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降则为减函数.
若f(x)、g(x)都为增函数(减函数),则f(x)+g(x)为增函数(减函数).
若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)-g(x)为增函数;若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数.21*cnjy*com
奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反.
奇函数和偶函数还具有以下性质:
(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数,两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数,奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.【出处：21教育名师】
(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同,偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.
(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和,即f(x)=.【版权所有：21教育】
(5)若f(x)是(-a,a)(a>0)上的奇函数,则f(0)=0.
问题导思
函数的单调性是针对定义域内某个区间而言的,是函数的“局部”性质.
在几个不同区间的单调性并不意味着在这几个区间并集上也具有同样的单调性,必须严格按照函数单调性的定义加以证明才可以得出结论.21教育名师原创作品
一个函数具有奇偶性的前提条件是它的定义域关于原点对称,即定义域关于原点对称是函数为偶(或奇)函数的必要条件,这是奇、偶函数的本质属性之一.
奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同,偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.
关于奇偶性的几个命题:
命题1 函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件.
如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这一点可以由奇偶性定义直接得出.【来源：21cnj*y.co*m】
命题2 函数f(x)+f(-x)是偶函数,函数f(x)-f(-x)是奇函数.
由函数奇偶性易证.
命题3 已知函数f(x)是奇函数,且f(0)有定义,则f(0)=0.
由奇函数的定义易证.
命题4 已知f(x)是奇函数或偶函数,方程f(x)=0有实根,那么方程f(x)=0的所有实根之和为零;若f(x)是定义在实数集上的奇函数,则方程f(x)=0有奇数个实根.
方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标,由奇偶性的定义可知:若f(x0)=0,则f(-x0)=0.对于定义在实数集上的奇函数来说,必有f(0)=0.故原命题成立.
典题导考
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应该严格按照求差法的步骤,一步步地走,这个步骤也是个程式化的东西,不能为了省事而对其中的步骤加以简化.这个函数的图象(如图1-3-2所示):www-2-1-cnjy-com
图1-3-2
典题变式判断f(x)=在x∈(1,+∞)上的单调性.
答案:减函数.
绿色通道
如果一个函数在某个区间内单调,那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值,并结合函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值.21*cnjy*com
黑色陷阱
容易对a的分类不全面,造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值,也会造成解题错误.
典题变式
1.函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在［2,3］上有最大值5和最小值2,求a、b的值.
答案:
2.已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)确定f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数?在区间(0,+∞)上呢?证明你的结论.
答案:(1)f(x)为偶函数.
(2)f(x)在(-∞,0)上是增函数,由于f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数.
绿色通道
根据奇函数以及偶函数的定义,判断是不是有关系f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),前者是偶函数,后者是奇函数;如果这两个都不成立,则是非奇非偶函数.21教育网
对于一个命题若是假命题,只要举一反例来说明即可.比如,说一个函数是非奇非偶函数,只要说明它的定义域不合要求即可,而不必套用作差法进行检验.www.21-cn-jy.com
有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一.
黑色陷阱
要注意的是,有的函数既不是奇函数又不是偶函数,解题中容易忽视这一点.
典题变式判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
(2)f(x)=(x-1).
答案:(1)奇函数.
(2)偶函数.
典题变式
1.若f(x)是偶函数,当x∈［0,+∞时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是_________.
答案:{x|02.设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减,若f(1,m)答案:-1≤m<.
绿色通道
函数的单调性反映的是函数值y随自变量x的变化而变化的一种规律.本题给出的是个抽象函数问题,尽管它没有给出具体的解析式,但我们仍可以通过赋值去把握它,具体赋值时可结合式子不断赋于特殊值,如0、1等.21cnjy.com
典题变式对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.
(1)求证:f(x)是偶函数;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式f(2x2-1)<2.
答案:(1)(2)略;
(3)(-,).
1.3 函数的基本性质
课堂探究
探究一利用图象确定函数的单调区间,函数单调性的几何意义：在单调区间上，若函数的图象“上升”则为增函数，图象“下降”则为减函数．因此借助于函数图象来求其单调区间，是直观且有效的方法．21cnjy.com
【典型例题1】 作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
解：f(x)＝的图象如图所示，由图可知，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．
反思(1)对于初等函数y＝kx＋b(k≠0)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，y＝ (k≠0) 常借助函数图象去探求函数的单调区间．21教育网
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数，画出其图象，借助图象的变化趋势分析函数的单调性(区间)．www.21-cn-jy.com
(3)求函数的单调区间应在函数的定义域内进行，即函数的单调区间一定是函数定义域的子集．
探究二 证明函数的单调性
1．关于函数单调性的定义要注意以下几点：
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同区间上可以有不同的单调性．
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即f(x)是增(减)函数且f(x1)x2)．21·世纪*教育网
2．证明或判断函数的单调性，主要是利用定义法，其基本步骤是：
【典型例题2】 求证：函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
思路分析：在(0,1)上任取x1，x2，且x1f(x2)即可．
证明：设x1，x2是(0,1)上的任意两个实数，且x1＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)
＝.
∵0∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
规律总结利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧：
(1)因式分解．当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解．如f(x)＝x2－2x－3.
(2)通分．当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解．如本例．
(3)配方．当所得的差式含有x1，x2的二次三项式时，可以考虑配方，便于判断符号．
(4)分子有理化．当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化．
探究三 函数单调性的应用
1．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．
2．(1)若f(x)在区间D上是增函数，x1，x2是区间D内的任意两个实数，则f(x1)>f(x2)?x1>x2；2·1·c·n·j·y
f(x1)(2)若f(x)在区间D上是减函数，x1，x2是区间D内的任意两个实数，则f(x1)>f(x2)?x1f(x1)x2.
3．当抽象函数的不等式或函数式很复杂时，要注意考虑函数单调性的应用．
【典型例题3】 已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，试比较f(a2－a＋1)与f的大小．21世纪教育网版权所有
思路分析：要比较两个函数值的大小，需先比较自变量的大小．
解：∵a2－a＋1＝2＋≥，
∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．
又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，
∴f≥f(a2－a＋1)．
探究四 易错辨析
易错点 对“单调区间是……”和“在区间……上单调……”理解错误
【典型例题4】 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值(或取值范围)是__________．
(2)若函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的值(或取值范围)是__________．
错解：(1)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a.由于函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，因此1－a≥4，即a≤－3.故应填(－∞，－3]．21·cn·jy·com
(2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a.由于函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a＝4，即a＝－3.故应填－3.【来源：21·世纪·教育·网】
错因分析：函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调递减，则指此区间是相应单调递减区间的子集．错解颠倒了这两种说法的含义，从而导致出错．2-1-c-n-j-y
正解：(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.故应填－3.21*cnjy*com
(2)因为函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3.故应填(－∞，－3]．【来源：21cnj*y.co*m】
1.3 函数的基本性质
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解增函数和减函数的定义，明确定义中“任意”两字的重要性，以及图象的特征．
2．知道函数单调性的含义，能够利用定义证明函数的单调性．
3．能够利用定义或图象求函数的单调区间，能够利用函数的单调性解决有关问题.
一、增函数和减函数
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x1)f(x1)>f(x2)
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．区间D称为函数f(x)的单调递增区间
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．区间D称为函数f(x)的单调递减区间
图象特征
函数f(x)在区间D上的图象是上升的
函数f(x)在区间D上的图象是下降的
图示
名师点拨(1) 函数f(x)在区间D上是增函数，x1，x2∈D，且x1≠x2?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?>0.21世纪教育网版权所有
(2)函数f(x)在区间D上是减函数，x1，x2∈D，且x1≠x2?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?<0.21教育网
自主思考1 对于函数f(x)，若区间[a，b]上存在两个数x1，x2，且x1f(x2)成立，则能否说f(x)在[a，b]上是减函数？21·cn·jy·com
提示：不能．
对于自变量的选取一定是任意的，而不能是特殊值，如函数y＝x2，x∈[－1,1]，－1,0∈[－1,1]，显然－1<0，且f(－1)＝1>0＝f(0)，但并不能由此就说函数y＝x2在[－1,1]上是减函数．www.21-cn-jy.com
自主思考2已知函数f(x)在定义域[a，b]上是增函数，且f(x1)提示：当f(x)是增函数时，x1，x2满足a≤x1当f(x)是减函数时，x1，x2满足a≤x2二、单调性
名师点拨(1) 函数的单调性是函数的一个局部性质，即我们说函数单调性的时候一定要指出是在哪个区间上，而不能笼统地说函数是单调的，有些时候，函数并不一定在整个定义域上单调．21cnjy.com
(2)并不是所有的函数都具有单调性，例如，分段函数y＝它的定义域为R，但显然不具有单调性．
(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接或用“，”隔开．如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．2·1·c·n·j·y
(4)函数的单调区间，在书写时，只要在端点处有定义，用开区间或闭区间都可以，但若在端点处没有定义，必须用开区间．21·世纪*教育网
(5)函数的单调性反映了函数值在某个区间上的变化趋势．例如，函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则说明在区间D上，函数值随自变量的增大而增大(减少)，图象是上升(下降)的．www-2-1-cnjy-com
归纳总结 基本初等函数的单调性如下表所示：
函数
条件
单调递增区间
单调递减区间
正比例函数
(y＝kx，k≠0)
与一次函数
(y＝kx＋b，k≠0)
k>0
R
无
k<0
无
R
反比例函数
k>0
无
(－∞，0)和(0，＋∞)
k<0
无
(－∞，0)和(0，＋∞)
二次函数
(y＝ax2＋bx＋c，a≠0)
a>0
a<0
1.3 函数的基本性质
课堂探究
探究一 利用函数的图象求函数的最值
函数的最大值就是函数图象最高点的纵坐标，最小值就是函数图象最低点的纵坐标，因而只要作出函数的图象就可以求出函数的最值，这是求函数最值的常用方法之一．
【典型例题1】 已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)画出f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的最小值．
思路分析：(1)讨论x与±1的大小，化函数f(x)为分段函数形式；
(2)函数图象的最低点的纵坐标是f(x)的最小值．
解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝其图象如图所示．
(2)由图象，得函数f(x)的最小值是2.
方法小结用图象法求函数y＝f(x)的最值的步骤：
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值．
探究二 利用函数的单调性求最值
1．函数的单调性是其定义域的子集上的性质，是“局部”性质，而函数的最值是整个定义域上的性质，是“整体”性质．21·cn·jy·com
2．若函数f(x)在[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．2·1·c·n·j·y
3．若函数f(x)在[a，b]上是增(减)函数，在[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则函数f(x)在[a，b]上一定有最值．www.21-cn-jy.com
【典型例题2】 已知函数f(x)＝x＋，x∈[1,3]．
(1)判断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性；
(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值．
分析：(1)证明单调性的流程：取值→作差→变形→判断符号→结论；
(2)借助最值与单调性的关系，写出最值．
解：(1)设x1，x2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－
＝(x1－x2)
＝.
∵x1当1≤x1即x1x2－4<0.
∴f(x1)>f(x2)，
即f(x)在[1,2]上是减函数．
当2≤x10.
∴f(x1)(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)，f(2)＝2＋＝4.
又∵f(1)＝5，f(3)＝3＋＝∴f(x)的最大值为5.
方法总结利用函数的单调性求函数最值的步骤：
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)借助最值与单调性的关系写出最值．
探究三 二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值可作如下讨论.
对称轴x＝h与[m，n]的位置关系
f(x)的单调性
最大值
最小值
h[m，n]
f(n)
f(m)
h>n
[m，n]
f(m)
f(n)
m≤h≤n
m≤h<
[m，h]
[h，n]
f(n)
f(h)
h＝
f(m)或f(n)
f(h)
f(m)
f(h)
【典型例题3】 求函数y＝x2－2ax－1在[0,2]上的最值．
解：y＝(x－a)2－1－a2.
当a<0时，[0,2]是函数的递增区间，如图(1)．
故函数在x＝0时，取得最小值－1，
在x＝2时取得最大值3－4a.
当0≤a≤1时，结合函数图象(如图(2))知，
函数在x＝a时取得最小值－a2－1，
在x＝2时取得最大值3－4a.
当1函数在x＝a时取得最小值－a2－1，
在x＝0时取得最大值－1.
当a>2时，[0,2]是函数的递减区间，如图(4)．
函数在x＝0时取得最大值－1，
在x＝2时取得最小值3－4a.
规律总结探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据．21世纪教育网版权所有
二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：(1)对称轴在定义域区间右侧；(2)对称轴在定义域区间左侧；(3)对称轴在定义域区间内．21教育网
探究四 易错辨析
易错点 求函数的最值忽视定义域
【典型例题4】 已知函数f(x)＝－3x＋5，x∈[0,1]，则函数f(x)( )
A．有最大值2，有最小值5 B．有最大值5，有最小值2
C．有最大值1，有最小值0 D．不存在最值
错解：f(x)＝－3x＋5是一次函数，值域是R，不存在最值，故选D.
错因分析：错解中，忽视了f(x)的定义域是[0,1]，不是R.
正解：f(x)＝－3x＋5在[0,1]上是减函数，则函数f(x)的最大值是f(0)＝－3×0＋5＝5，最小值是f(1)＝－3×1＋5＝2.21cnjy.com
答案：B
1.3 函数的基本性质
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解函数的最大值和最小值的概念，明确定义中“任意”和“存在”表达的含义．
2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．
3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.
一、最大值和最小值
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
名师点拨 (1)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0.21cnjy.com
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．21教育网
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．21·cn·jy·com
自主思考1已知函数f(x)＝x2的定义域是(0，＋∞)，函数的最小值是0吗？它的值域又是什么？
提示：函数f(x)的最小值不是0.函数没有最小值，因为0不是该函数的值，它的值域是(0，＋∞)．
自主思考2函数的最值与值域是什么关系？
提示：(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
(2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在．
(3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，即此时函数的最大值是其值域中的最大值，函数的最小值是其值域中的最小值．21世纪教育网版权所有
1.3 函数的基本性质
课堂探究
探究一 判断函数的奇偶性
1．函数根据奇偶性分为：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数．
2．用定义判断函数奇偶性的步骤为：
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；www-2-1-cnjy-com
(3)结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式；
(4)求f(－x)；
(5)根据f(－x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性．
3．函数的奇偶性也可以用图象法判断，即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．
【典型例题1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x3－2x；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
思路分析：先求出定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．
解：(1)∵函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数．
(2)函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)由得x2＝1，即x＝±1.
∴函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f(1)＝f(－1)＝0，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)函数的定义域关于原点对称．
方法一：当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)．
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
方法二：函数f(x)＝的图象如图．
图象关于原点对称，∴f(x)是奇函数．
方法总结(1)用定义法判断函数的奇偶性时，为了判断f(－x)与f(x)的关系，既可以从f(－x)开始化简，也可以去考虑f(－x)＋f(x)或f(－x)－f(x)是否为0，当f(x)不等于0时也可考虑 ，与1或－1的关系．21世纪教育网版权所有
(2)在选择题、填空题中，也可以用如下性质判断函数奇偶性：
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
探究二 利用函数的奇偶性求解析式
对于偶函数f(x)有f(－x)＝f(x)，对于奇函数f(x)有f(－x)＝－f(x)，所以已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，可求该函数在与已知区间关于原点对称的区间上的解析式，求解时，先设出所求区间上的自变量，利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．21·cn·jy·com
【典型例题2】 已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．www.21-cn-jy.com
思路分析：若x>0的解析式是已知的，则利用奇函数的定义，即可求得x<0时的解析式．注意不要忽略x＝0时f(x)的解析式．【来源：21·世纪·教育·网】
解：当x<0时，－x>0，则
f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝2x2＋3x－1.
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，则f(0)＝－f(0)，
即f(0)＝0.
所以f(x)的解析式为f(x)＝
规律总结(1)这类问题常见的情形是：
已知当x∈(a，b)时，f(x)＝φ(x)，求当x∈(－b，－a)时f(x)的解析式．
若f(x)为奇函数，则当x∈(－b，－a)时，
f(x)＝－f(－x)＝－φ(－x)．
若f(x)为偶函数，则当x∈(－b，－a)时，
f(x)＝f(－x)＝φ(－x)．
(2)若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，不能漏掉．
探究三 函数单调性与奇偶性的综合应用
利用函数的单调性与奇偶性可以解一类抽象不等式问题．
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)【典型例题3】 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．21·世纪*教育网
思路分析：f(m)＋f(m－1)>0→f(1－m)解：由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数．21教育网
∴即
解得－1≤m< .
温馨提示当遇到抽象不等式或函数式很复杂时，一般要利用函数的单调性去掉“f”再求解．
探究四 易错辨析
易错点 忽视定义域，错判函数的奇偶性
【典型例题4】 判断函数f(x)＝(x－1) 的奇偶性．
错解：f(x)＝－＝－＝－，
∴f(－x)＝－＝－＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
错因分析：错解中，忽视函数f(x)的定义域，盲目化简变形，误认为定义域为[－1,1]，扩大x的取值范围．21cnjy.com
正解：函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数．2·1·c·n·j·y
1.3 函数的基本性质
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解奇函数、偶函数的定义，明确定义中“任意”两字的意义．
2．了解奇函数、偶函数图象的特征．
3．会用定义判断函数的奇偶性.
一、偶函数
二、奇函数
名师点拨 由奇偶函数的定义可得：
(1)函数f(x)是偶函数?对定义域内任意一个x，有f(－x)－f(x)＝0?f(x)的图象关于y轴对称．21世纪教育网版权所有
(2)函数f(x)是奇函数?对定义域内任意一个x，有f(－x)＋f(x)＝0?f(x)的图象关于原点对称．21教育网
(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．21cnjy.com
(4)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)＝f(－x)＝f(－|x|)．
自主思考1 奇、偶函数的定义域有什么特点？
提示：奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数；由于f(－x)与f(x)有意义，则－x与x同时属于定义域，即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．
自主思考2 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？
提示：有，如函数f(x)＝0，x∈D(其中定义域D是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有无数个，只要定义域是关于原点对称的任一个非空数集即可．
